PROSES BERPIKIR ARITMETIKA DAN BERPIKIR ALJABAR SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA Erry Hidayanto Jurusan Matematika FMIPA UM erryhidayantoum@gmail.com Abstrak: Soal cerita merupakan salah satu bentuk soal pemecahan masalah (problem solving). Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut siswa perlu melakukan suatu proses, yang dinamakan proses berpikir, sehingga dapat menemukan jawab dari soal yang ditanyakan. Penulisan artikel ini bertujuan untuk mendeskripsikan bagaimana proses berpikirnya siswa dalam menyelesaikan soal cerita. Dalam makalah ini dibicarakan hasil suatu survei tentang bagaimana proses berpikir siswa ketika menyelesaikan soal cerita. Subyek yang disurvei adalah siswa sekolah menengah tingkat pertama kelas 7 dan 8 di Malang. Hasil survei menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan soal cerita ini, ternyata masih ada siswa menggunakan proses berpikir aritmetika tetapi sudah ada pula sudah menggunakan proses berpikir aljabar.. Kata kunci: proses berpikir, berpikir aritmetika, berpikir aljabar, soal cerita. Soal cerita merupakan salah satu bentuk soal pemecahan masalah (problem solving). Soal cerita ini muncul pada pelajaran matematika di semua jenjang studi, mulai jenjang sekolah dasar sampai ke jenjang sekolah menengah tingkat atas. Soal cerita juga hampir muncul pada setiap topik bahasan pada pelajaran matematika di berbagai jenjang. Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut siswa perlu melakukan suatu proses, yang dinamakan proses berpikir, sehingga dapat menemukan jawab dari soal yang ditanyakan. Pada tulisan ini penulis bertujuan ingin mendeskripsikan bagaimana proses berpikir yang mungkin dilakukan siswa yaitu apakah proses berpikir aritmetika atau proses berpikir aljabar. Secara sederhana kemampuan kognitif dapat diartikan sebagai suatu proses berpikir atau kegiatan intelektual seseorang yang tidak dapat secara langsung terlihat dari luar. Apa yang terjadi pada seseorang yang sedang belajar tidak dapat diketahui secara langsung tanpa orang itu menampakkan kegiatan yang merupakan fenomena belajar. Kemampuan kognitif yang dapat dilihat adalah tingkah laku sebagai akibat terjadinya proses berpikir seseorang. Dari tingkah laku yang tampak itu dapat ditarik kesimpulan mengenai kemampuan kognitifnya. Kita tidak dapat melihat secara langsung proses berpikir yang sedang terjadi pada seorang siswa yang sedang dihadapkan pada sejumlah pertanyaan, akan tetapi kita dapat mengetahui kemampuan kognitifnya dari jenis dan kualitas respon yang diberikan. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan hasil survey terhadap terhadap siswa sekolah menengah pertama dalam menyelesaikan soal cerita. Berpikir Aritmetika 173
174, Prosiding Seminar Nasional Aljabar dan Pembelajarannya, UM, 20 April 2013 Berpikir aritmetika merupakan pola berpikir yang mengutamakan masalah menghitung bilangan, terutama tentang hasil dari operasi-operasi pada bilangan. Dalam aritmetika pendekatan yang dilakukan siswa dapat dari kondisi yang diketahui dan menemukan jawaban antara untuk sampai pada jawaban dari masalah yang diberikan. Menurut Kieran (2004) dalam kerangka aritmetika operasi yang dilakukan siswa cenderung tidak melihat aspek relasional dari operasi, mereka hanya fokus pada menghitung (calculating). Jadi menurut pendapat Kieran ini, berpikir aritmetika hanya fokus pada perhitungan jawaban numerik (numerical answer) bukan pada relasinya dan pada bilangan sendiri, bukan pada bilangan dan huruf. Pola berpikir dengan mengutamakan menghitung jumlah pada masing-masing sisi yang dinamakan berpikir aritmetika. Jika diberikan suatu masalah dalam matematika maka masalah itu akan dibawa ke dalam bentuk-bentuk perhitungan (komputasi) serta hasil operasi-oprasi pada bilangan, yaitu operasi penjumlahan pada bilangan, operasi pengurangan pada bilangan, operasi perkalian pada bilangan atau operasi pembagian pada bilangan. Pola berpikir di sini masih belum mengenal bentuk bilangan secara umum yang diwujudkan bentuknya dalam huruf sebagai simbolnya. Berpikir Aljabar Berpikir aljabar tidak hanya mengaritmetika-kan huruf berdasarkan suatu bilangan, tetapi berpikir aljabar ini merupakan berpikir yang berbeda dengan berpikir aritmetika. Dalam aljabar, operasi dasar merupakan sesuatu yang penting seperti pada artimetika. Ketika siswa mulai belajar aljabar, mereka pasti mencoba memecahkan masalah dengan berpikir aritmetika. Itu hal yang wajar untuk dilakukan, mengingat pada awalnya semua upaya telah dilakukan untuk menguasai aritmetika. Sehingga ketika mereka dihadapkan pada masalah aljabar maka pendekatan sederhana dengan cara aritmetika ini yang dilakukan. Bahkan siswa yang berpikir aritmetikanya kuat, akan dapat berkembang semakin jauh dalam aljabar dengan menggunakan berpikir aritmetika. Sebagai contoh siswa dapat memecahkan masalah persamaan 2 kuadrat x x 6 0 hanya dengan menggunakan aritmetika dasar tanpa menggunakan aljabar sama sekali. Tetapi sebagai akibat adanya fenomena ini mungkin siswa justru akan merasa kesulitan untuk belajar aljabar. Karena untuk belajar aljabar siswa harus berhenti memikirkan cara berhitung seperti dalam aritmetika dan harus belajar untuk berpikir secara aljabar. Berpikir aljabar atau penalaran aljabar melibatkan pembentukan generalisasi dari pengalaman dengan bilangan dan perhitungan, memformalkan ide-ide dengan menggunakan simbol yang berarti, dan mengeksplorasi konsep dari pola dan fungsi. Berpikir aljabar dimulai pada saat sebelum taman kanak-kanak dan dilanjutkan sampai pada sekolah yang lebih tinggi. Berpikir aljabar terus dimasukkan dalam setiap tingkat sekolah (Van de Walle dkk, 2010). Secara garis besar, Van de Walle dkk (2010) menulis ada tiga aspek dari berpikir aljabar, yaitu generalisasi (generalizations), pola (patterns), dan fungsi (functions). Sementara Kaput (dalam Van de Walle, 2010), mendiskripsikan lima bentuk berpikir aljabar, yaitu: menggeneralisasikan dari aritmetika dan dari pola dalam semua dari matematika (generalization from arithmetic and from patterns in all of mathematics), penggunaan simbol yang bermakna (meaningful use of symbols), mengkaji struktur dalam sistem
Hidayanto, Erry, Proses Berpikir Aritmetika dan Aljabar Siswa, 175 bilangan (study of structure in the number systems), mengkaji pola dan fungsi (study of patterns and functions), dan mengolah model-model matematika dan mengintegrasikan 4 item tersebut (process of mathematical modeling, integrating the first four list items). Lebih lanjut Kaput menjelaskan bahwa berpikir aljabar bukanlah merupakan ide tunggal tetapi disusun dari bentuk-bentuk berbeda dari pikiran dan pemahaman dari suatu simbol. Sejalan dengan Kaput, Van de Walle dkk (2010) berpendapat bahwa dalam berpikir aljabar ada lima tema yang dibicarakan yaitu: generalisasi dari aritmetika dan dari pola (generalization from arithmetic and from patterns), penggunaan simbol yang bermakna (meaningful use of symbols), membuat struktur dalam sistem bilangan secara eksplisit (making structure in the number system explicit), mengkaji pola dan fungsi (study of patterns and functions), dan memodelkan matematika (mathematical modeling). Hasil dan Pembahasan Soal cerita yang penulis gunakan adalah sebagai berikut: Andi mempunyai dua kantong kosong, yaitu kantong A dan kantong B seperti pada gambar berikut ini 1. Menurut pendapatmu berapa saja banyaknya kelereng yang mungkin dapat diisikan masing-masing ke kantong A dan ke kantong B tersebut? 2. Jika banyaknya kelereng di kantong A tertentu, tentukan banyaknya kelereng yang dapat dimasukkan ke kantong B? 3. Jika banyaknya kelereng di kantong A harus dua kali lipat dari banyaknya kelereng di kantong B, tentukan banyaknya kelereng yang dapat dimasukkan masing-masing ke kantong A dan ke kantong B? 4. Jika banyaknya kelereng di kantong A harus tiga kali lipat dari banyaknya kelereng di kantong B, tentukan banyaknya kelereng yang dapat dimasukkan masing-masing ke kantong A dan ke kantong B? Jawaban siswa terhadap soal tersebut adalah sebagai berikut. Untuk siswa kelas 7, dalam menjawab pertanyaan nomor 1, mereka mendaftar semua kemungkinan dengan cara memasangkan bilangan-bilangan yang berjumlah 24, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 1 butir dan kelereng di kantong B 23 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 2 butir dan kelereng di kantong B 22 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 3 butir dan kelereng di kantong B 21 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 4 butir dan kelereng di kantong B 20 butir, dan seterusnya sehingga menuliskan ada sebanyak 12 kemungkinan. Dalam menjawab pertanyaan nomor 2, siswa juga menjawab dengan cara yang sama seperti menjawab soal nomor 1, yaitu bilangan tertentu dimisalkan 1, makakelereng di kantong B ada 23, jika di kantong A ada 2, maka di kantong B ada 22, dan seterusnya. Dalam menjawab soal nomor 3, siswa membagi 24 dengan 3, hasilnya 8, kekosong Kantong-kantong tersebut akan diisi kelereng berjumlah 24 butir, seperti pada gambar
176, Prosiding Seminar Nasional Aljabar dan Pembelajarannya, UM, 20 April 2013 mudian 8 dikalikan 2, hasilnya 16 itu yang dimasukkan ke kantong A. Sedangkan di kantong B diisikan sisanya 8 butir kelereng. Dalam menjawab soal nomor 4, caranya sama seperti dalam menjawab soal nomor 3, yaitu membagi 24 dengan 4, hasilnya 6, kemudian 6 dikalikan 3 yaitu 18. Selanjutnya 18 kelereng dimasukkan ke kantong A, sedangkan sisanya 6 kelereng dimasukkan ke kantong B. Dari jawaban siswa kelas 7 tersebut, penulis menyimpulkan bahwa pola berpikir siswa tersebut adalah berpikir aritmetika dalam menyelesaikan soal cerita. Hal ini sesuai dengan pendapat Kieran (2004) bahwa berpikir aritmetika hanya fokus pada perhitungan jawaban numerik (numerical answer). Sedangkan untuk siswa kelas 8 yang penulis temui, dalam menjawab pertanyaan nomor 1, ternyata mereka juga masih mendaftar semua kemungkinan dengan cara memasangkan bilanganbilangan yang berjumlah 24, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 1 butir dan kelereng di kantong B 23 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 2 butir dan kelereng di kantong B 22 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 3 butir dan kelereng di kantong B 21 butir, yaitu kelereng di kantong A sebanyak 4 butir dan kelereng di kantong B 20 butir, dan seterusnya sehingga menuliskan ada sebanyak 12 kemungkinan. Dalam menjawab pertanyaan nomor 2, siswa-siswa kelas 8 ini teryata sudah memisalkan bilangan tertentu yang diamsukkan ke kantog A adalah x, sehingga jumlah kelereng yang diamsukkan ke kantong B adalah 24- x. Jadi siswa sudah tidak lagi mendaftar semua kemungkinan seperti dalam menjawab soal nomor 1. Dalam menjawab soal nomor 3, siswa kelas 8 ini sudah memisalkan jumlah kelereng di kantong A adalah A, sedangkan jumlah keereng di kantong B adalah B, selanjutnya dibuat persamaan A = 2B. Selanjutnya menyelesaikan persamaan sebagai berikut 24 = A + B. Kemudian A diganti dengan 2B sehingga diperoleh 24 = 2B + B. Diperoleh 24 = 3B. Sehingga akhirnya diperoleh B = 8. Jadi kelereng yang diisikan ke kantong A adalah 2 kali 8 yaitu 16 butir sedangkan kelereng yang dimasukkan ke kantong B ada 8 butir. Dalam menjawab soal nomor 4, siswa kelas 8 ini juga sudah memisalkan jumlah kelereng di kantong A adalah A, sedangkan jumlah keereng di kantong B adalah B, selanjutnya dibuat persamaan A = 3B. Selanjutnya menyelesaikan persamaan sebagai berikut 24 = A + B. Kemudian A diganti dengan 3B sehingga diperoleh 24 = 3B + B. Diperoleh 24 = 4B. Sehingga akhirnya diperoleh B = 6. Jadi kelereng yang diisikan ke kantong A adalah 3 kali 6 yaitu 18 butir sedangkan kelereng yang dimasukkan ke kantong B ada 6 butir. Dari jawaban siswa kelas 8 ini penulis menyimpulkan bahwa siswa kelas 8 ini ketika menjawab soal nomor 1, berpikir aritmetika, tetapi ketika menjawab soal nomor 2, nomor 3, dan nomor 4 berpikir aljabar. Hal ini merupakan salah satu bentuk berpikir aljabar yang dikemukakan oleh Kaput (dalam Van de Walle, 2010), yaitu: penggunaan simbol yang bermakna (meaningful use of symbols). KESIMPULAN Dari pembahasan di atas menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan soal cerita ini, ternyata masih ada siswa menggunakan proses berpikir aritmetika tetapi sudah ada pula sudah menggunakan proses berpikir aljabar. Berpikir aritmetika dalam menyelesaikan soal cerita dilakukan oleh siswa kelas 7, sedangkan berpikir aljabar dalam menyelesaikan soal cerita dilakukan oleh siswa kelas 8. Dari
Hidayanto, Erry, Proses Berpikir Aritmetika dan Aljabar Siswa, 177 kesimpulan tersebut penulis membidik suatu dugaan untuk diteliti lebih lanjut tentang adanya suatu transisi berpikir dari berpikir aritmetika ke berpikir aljabar. DAFTAR RUJUKAN Kieran, Carolyn. 2004. Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It? The Mathematics Educator. Vol. 8. N0. 1, 139-151. Van de Walle, John A., Karp, Karen S, and Bay-Williams, Jennifer M. 2010. Elementary and Middle School Mathematics, Teaching Develop-mentally (7 th ed). Boston: Allyn & Bacon.