MATRIKS DAN RUANG 9(.75 4 Vektor di Bidang dan di Ruang
VEKTOR DI BIDANG DAN RUANG Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses Grafika Komputer Kuantisasi pada Proses Kompresi Least Square pada Optimisasi dan lain-lain.
NOTASI VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai arah Notasi Vektor Notasi Panjang Vektor ๐ ๐เดฑ = ๐ = ๐ ๐ฦธ + ๐ ๐ฦธ + ๐3 ๐ ๐3 ๐เดฑ = ๐ + ๐ + ๐3 Vektor Satuan adalah vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu
Operasi Vektor meliputi: A. Penjumlahan antar Vektor (Vektor-vektor yang berasal dari ruang yang sama) B. Perkalian Vektor i. Vektor dengan scalar ii. Vektor dengan vektor a. Hasil Kali Titik (Dot Product) b. Hasil Kali Silang (Cross Product) 4
Penjumlahan antar Vektor A. Penjumlahan antar Vektor Misalkan ๐ข dan ๐ฃเดฑ adalah vektor-vektor yang berada diruang yang sama. vektor ๐ข+๐ฃเดฑ didefiniskan ๐ Contoh: Misalkan ๐ข = (๐ข, ๐ข, ๐ข3 ) dan ๐ฃเดฑ = (๐ฃ, ๐ฃ, ๐ฃ3 ) maka ๐ข + ๐ฃเดฑ = (๐ข + ๐ฃ, ๐ข + ๐ฃ, ๐ข3 + ๐ฃ3 ) 5
Perkalian Vektor dengan Skalar i. Vektor dengan scalar Perkalian vektor ๐ข dengan scalar ๐, (๐ ๐ข) didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya ๐ kali panjang vektor ๐ข dengan arah: ๐๐ - Searah dengan ๐ข, jika ๐ > 0 - Berlawanan arah dengan ๐ข, jika ๐ < 0 ๐ Contoh: Misalkan ๐ข = (๐ข, ๐ข, ๐ข3 ) dan ๐ฃเดฑ = (๐ฃ, ๐ฃ, ๐ฃ3 ) maka. ๐ข ๐ฃเดฑ = (๐ข ๐ฃ, ๐ข ๐ฃ, ๐ข3 ๐ฃ3 ). ๐๐ข = (๐๐ข, ๐๐ข, ๐๐ข3 ) 6 -๐
Perkalian antar Vektor (Dot Product) ii. Vektor dengan vektor a. Hasilkali Titik (Dot Product) Hasilkali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah skalar. Misalkan ๐ข dan ๐ฃเดฑ adalah vektor pada ruang yang sama, Maka hasil kali titik antara vektor tersebut adalah: ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ cos ๐ผ dimana ๐ข : panjang ๐ข ๐ฃเดฑ : panjang ๐ฃเดฑ ๐ผ 7 : sudut antara keduanya
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_ Contoh: Tentukan hasil kali titik dari dua vektor ๐เดฑ = ๐ฦธ dan ๐ = ๐ฦธ + ๐ฦธ Jawab: ๐ฆ ๐ฅ Karena tan ๐ผ = ; artinya ๐ผ = 45 ๐เดฑ ๐ = ๐ = 8 =4 8 3//07 ๐ cos ๐ผ
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_3 Ingat aturan cosinus D F Perhatikan c = a + b ab cos ๐ผ b ๐เดฑ ๐ ๐เดฑ ๐เดฑ ๐ ๐ ๐เดฑ 9 3//07 = ๐เดฑ + ๐ ๐ ๐ ๐เดฑ ๐ cos ๐ผ
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_4 Selanjutnya dapat ditulis ๐เดฑ ๐ cos ๐ผ = ๐เดฑ + ๐ ๐ ๐เดฑ Ingat bahwa:. ๐เดฑ ๐ = ๐เดฑ ๐ cos ๐ผ. ๐เดฑ = ๐ + ๐ + + ๐๐ 3. ๐ = ๐ + ๐ + + ๐๐ 4. ๐ ๐เดฑ = ๐ ๐ + ๐ ๐ + + ๐๐ ๐๐ = ๐ + ๐ + + ๐๐ + ๐ + ๐ + + ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐เดฑ ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐ + + ๐๐ ๐๐ 0
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_5 Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan: ๐เดฑ ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐ + + ๐๐ ๐๐ Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya, maka ๐เดฑ ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐ = () + 0() =4 Beberapa sifat hasilkali titik:. ๐เดฑ ๐ = ๐ ๐เดฑ. ๐เดฑ ๐ + ๐เดฑ = ๐เดฑ ๐ + (๐เดฑ ๐) เดฑ 3. ๐ ๐เดฑ ๐ = ๐๐เดฑ ๐=๐เดฑ ๐๐, dimana ๐ ๐
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_6 ๐เดฑ ๐ค ๐เดฑ = ๐๐๐๐๐ ๐เดฑ ๐ Terlihat bahwa ๐๐๐๐๐ ๐เดฑ = ๐=๐๐ เดฑ Karena ๐เดฑ = ๐ค + ๐เดฑ ๐เดฑ ๐ = (๐ค + ๐) เดฑ ๐ = ๐ค ๐ + ๐เดฑ ๐ =๐๐ ๐ ๐= =๐ ๐ ๐เดฑ ๐ ๐ Sehingga dapat disimpulkan ๐๐๐๐๐ ๐เดฑ = ๐= เดฑ ๐ ๐ ๐ ๐
Perkalian antar Vektor (Dot Product)_7 Contoh: Tentukan proyeksi orthogonal vektor ๐ข = 4 terhadap vektor ๐ฃเดฑ = 3 3 4 Jawab: ๐๐๐๐๐ฃ ๐ข = = = ๐ข ๐ฃ ๐ฃเดฑ ๐ฃ 4 3 3 4 +3 + 4 3 4 3 = 3 4 4 + +( ) 6 6 = 6 3 3 4
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_ b. Hasilkali silang (Cross Product) Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang โ3. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah vektor di โ๐ yang tegak lurus terhadap kedua vektor lainnya. ๐ฦธ ๐ฦธ ๐ ๐เดฑ = ๐เดฑ ๐ = ๐ ๐ ๐3 ๐ ๐ ๐3 ๐ ๐3 ๐ ๐3 ๐ ๐ = ๐ ๐ ๐ฦธ ๐ ๐ ๐ฦธ + ๐ ๐ ๐ 3 3! 4
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_ Contoh: Tentukan ๐ค = ๐ข ๐ฃเดฑ dimana ๐ข =,,, ๐ฃเดฑ = 3,0, Jawab: ๐ฦธ ๐ฦธ ๐ค = ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ข v v ๐ฦธ ๐ฦธ ๐ = 3 0 ๐ ๐ข3 v3 =. 0 ๐+(3(-)-()) ฦธ ๐+((0)-3()) ฦธ ๐ = ๐ฦธ 7๐ฦธ 6๐ 5
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_3 Beberapa sifat Cross Product: a. ๐ข ๐ข ๐ฃเดฑ = 0 b. ๐ฃเดฑ ๐ข ๐ฃเดฑ = 0 c. ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ ๐ข ๐ฃเดฑ Dari sifat ke-3 diperoleh ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ ๐ฃเดฑ cos ๐ผ = ๐ข ๐ฃเดฑ ๐ข = ๐ข ๐ฃเดฑ + cos ๐ผ = ๐ข ๐ฃเดฑ sin ๐ผ Jadi ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข 6 ๐ข ๐ฃเดฑ sin ๐ผ ๐ฃเดฑ cos ๐ผ
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_4 Perhatikan Ilustrasi berikut: ๐ฃเดฑ ๐ฃเดฑ sin ๐ผ ๐ผ ๐ข ๐ข Luas Jajar Genjang= ๐ข ๐ฃเดฑ = ๐ข ๐ฃเดฑ sin ๐ผ Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah ๐ข ๐ฃเดฑ 7
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_5 Diketahui titik-titik diruang adalah ๐ด =,, ๐ต = 4,,0 ๐ถ = (,3,3) Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC! Jawab: Orientasi pada titik A. ๐ด๐ต = ๐ต ๐ด = 4,,0 -,, =(3,,). ๐ด๐ถ = ๐ถ ๐ด = (,3,3) -,, =(,4,5) ๐ฦธ ๐ด๐ต ๐ด๐ถ = 3 ๐ฦธ 4 ๐ = ๐ฦธ 3๐ฦธ + 0๐ 5 Luas segitiga ๐ด๐ต๐ถ yang berimpit di ๐ด adalah Luas= 8 4 + 69 + 00 = 73
Perkalian antar Vektor (Cross Product)_6 Orientasi pada titik B. ๐ต๐ด = ๐ด ๐ต =,, 4,,0 =(-3,-,-). ๐ต๐ถ = ๐ถ ๐ต = (,3,3) - 4,,0 =(-,,3) ๐ฦธ ๐ต๐ด ๐ต๐ถ = 3 ๐ฦธ ๐ = -๐ฦธ + 3๐ฦธ 0๐ 3 Luas segitiga ๐ด๐ต๐ถ yang berimpit di ๐ด adalah Luas= 9 4 + 69 + 00 = 73
LATIHAN- LATIHAN. Tentukan cos α sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut: 6 a) ๐ข = dan ๐ฃเดฑ = 8 8 b) ๐ข = 3 dan ๐ฃเดฑ = 7. Tentukan proyeksi orthogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: 3 a) ๐ข = dan ๐ฃเดฑ = b) ๐ข = dan ๐ฃเดฑ = 3 3. Tentukan buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap 3 ๐ข= 0
LATIHAN- LATIHAN_ 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor 7 ๐ข = 3 dan ๐ฃเดฑ = 0 4 5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut ๐,0, 3, ๐(,4,5) dan ๐ (7,,9)