KONSEP FREKUENSI SINYAL WAKTU KUNTINYU & WAKTU DISKRIT

KONSEP FREKUENSI SINYAL WAKTU KUNTINYU & WAKTU DISKRIT

Sinyal Sinusoidal Waktu Kontinyu T=/F A A cos X Acos Ft a 0 t t Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner X Ae a j t Ω = πf adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per detik (Hz) A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian

Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit A 0 n n A n X cos n -A Dimana ω = πf frekuensi ( radian / cuplikan f = putaran per cuplikan phasa(radian) )

Typical real time DSP System x(t) Input filter ADC with sample & hold x(n) y(n) y(t) Digital Prosesor DAC Output filter

Analog to Digital converter x a t x n x q n Pencuplikan Kuantisasi Pengkodeaan 00.. x a t xn Sinyal Analog Sinyal Waktu Diskrit Sinyal Terkuantisasi Sinyal Digital

Proses Analog to Digital Conversion LPF Sample & Hold Quantizer Encoder X(t) Analog input F B Logic Circuit X(n) Digital output code Tiga tipe identifikasi : Sinyal input analog : Sinyal kontinyu dalam fungsi waktu dan amplitudo. Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinyu didefinisikan sebagai titik diskrit dalam waktu. Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,,,.sinyal dalam sumbu titik diskrit dalam waktu dan masing-masing titik akan dihasilkan nilai B.

Proses Konversi Analog ke Digital. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinyu waktu diskrit.. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinyu waktu diskrit dari sinyal sampel dikuantisasi dalam level B, dimana B adalah jumlah bit yang digunakan dalam Analog to Digital Conversion (ADC). 3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

Pencuplikan Sinyal Analog Pencuplikan periodik atau seragam: x(n)=x a (nt), -~< n< ~ Fs=/T, t=nt=n/fs Sinyal analog X a (t) Fs=/T X(n)=X a (nt) Sinyal waktu diskrit X a (t) Pencuplikan X(n) X a (t) X(n)=X a (nt) 0 t 0 3 4 5 6 7 8 9 0 n

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (Ft + ) Pencuplikan periodik dengan laju Fs=/T (cuplikan per sekon ) : nt X n ACos FnT X a X n nf ACos Fs Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit: f =F/Fs ekuivalen : = T f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi < F < ~ < < ~

Hubungan Variabel Frekuensi Sinyal waktu kontinu = F (Rad/sekon) =T, f = F/Fs Sinyal waktu diskrit = f (Rad/cuplikan) - -/ f / < < ~ < F < = /T, F = f.fs - /T /T - Fs/ F Fs/

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut : X (t) = cos 0πt X (t) = cos 00πt a. Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut. b. Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz Note: cos (π ± a) = cos a sin (π + a) = sin a sin (π - a) = -sin a

x x F x x s (t) (t) (n) cos[(0)t] cos[(50)t] 40Hz (n) cos[ 0 40 n] F F 0Hz 50 Hz cos( n) 50 5 cos[ n] cos( n) 40 cos( )n cos(n n) x (n) identik dengan x (n) 90 Hz, 30 Hz,. juga alias 0 Hz cos( n) x (n) F (50 Hz) = alias dari F (0 Hz)

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING ) Sinyal Analog : Xa(t) dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi : X a X t a t n n X a X a n F s g t dimana :Fmax = B, Laju cuplikan Fs > Fmax (B), n F s n sin B t n / B B Bt n / B g t sin Bt Bt Jika Xa(n/Fs) = Xa(nT) X(n), cuplikan minimum Fs = B, maka: Laju pencuplikan : F N = B = F max = Laju Nyquist

Syarat Nyquist untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah Fs Fmax(analog) Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

Frekuensi Alias Misal ada sinal analog : x (t) = A sin (0) t x (t) = A sin (50) t Kedua sinyal dicuplik dengan laju F s = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing: x (n) = A sin (0/40)n = sin (/) n x (n) = A sin (50/40)n = sin (5/) n

Karena : sin (5/) n = sin (n + n/ ) = sin n/ Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi F s = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama, sehingga frekuensi sinyal analog x (t) merupakan alias dari x (t), jadi frekuensi alias terjadi jika : F k = F 0 + k F s Dengan : k = ±,±, F k = frekuensi sinyal analog ke k F 0 = frekuensi sinyal analog ke dasar F s = frekuensi sampling

k kf F ) 8 ( 8 7 F Hz F Hz 8 7 F Hz 8 F s s Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada sinyal dengan frekuensi berbeda.

Contoh Dari sinyal analog berikut, X a (t)= 3 cos 00πt a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan. b) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=00Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. d) Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz.

Penyelesaian: a) F = 50 Hz dengan F s minimum = 00 Hz b) 00 x(n) 3cos n 3cos n 00 c) 00 4 x( n) 3cos n 3cos n 3cos( ) n 75 3 3 d) x ( n) 3cos( ) n 3cos( ) n f 3 3 3 Fo f Fo f Fs (75) 5 Hz F 3 F k s F o kf s 5 k(75) k,, 3cos( 3 ) n Fs 75 0 F 37,5 F Fo 5 Hz

Contoh Sinyal Analog : X a (t) = 3 cos 000t + 5 sin 6000t + 0 cos 000t a) Berapa laju Nyquist? b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan? c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000cuplikan/detik

Penyelesaian: a) b) F khz F 3kHz F 6 khz 3 B Fmaks 6kHz F N B khz 000 6000 000 x( n) 3cos n 5sin n 0cos n 5000 5000 5000 3 6 3cos( ) n 5sin( ) n 0 cos( ) n 5 5 5 x( n) 3cos[ ( ) n] 5sin[ ( ) n] 0 cos[ ( ) n] 5 5 5 x( n) 3cos[ ( ) n] 5sin[ ( ) n] 0 cos[ ( ) n] 5 5 5 x( n) 3cos[ ( ) n] 5sin[ ( ) n] 0 cos[ ( ) n] 5 5 5 x( n) 3cos[ ( ) n] 5sin[ ( ) n] 5 5 c) ( t) 3cos(000 t) 5sin(4000 t) y a

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinyu KUANTISASI : Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan : X q n n X(n) merupakan hasil pencuplikan, Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi Q X X q ( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi

Pada sinyal digital, sinyal diskrit hasil proses sampling diolah lebih lanjut. Sinyal hasil sampling dibandingkan dengan beberapa nilai threshold tertentu sesuai dengan level-level digital yang dikehendaki. Apabila suatu nilai sampel yang didapatkan memiliki nilai yang lebih tinggi dari sebuah threshold, maka nilai digitalnya ditetapkan mengikuti nilai integer diatasnya, tetapi apabila nilainya lebih rendah dari threshold ditetapkan nilainya mengikuti nilai integer dibawahnya. Proses ini dikenal sebagai kuantisasi dalan ADC.

KESALAHAN KUANTISASI (Error Kuantisasi eq(n) ) Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga. Secara matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya. e q (n) = X q (n) X (n)

Amplitudo KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA 4 3 0 - - -3 Cuplikan Terkuantisasi X q (nt) Sampel analog Aslinya Xa(t) Sampel Terkuantisasi Diskritsasi waktu Diskritsasi amplitudo Tingkat kuantisasi Langkah kuantisasi Interval Pengkuanti sasi -4 0 T T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T t

,0 0,8 0,6 0,4 0, X(n)=0,9 n Xa(t)=0,9 t,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 3 4 5 6 7 8 T X a (t)=0,9 t X q (n) T=s 0 3 4 5 6 7 8 n n Tingk. Kuantisasi L=jml tingkatan kuantisasi Langkah kuantisasi X max X L min

Tabel Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan digit n X(n) Sinyal diskrit Xq(n) (bulat ke bawah) Xq(n) (bulat ke atas) eq(n)=xq(n)-x(n) (bulat ke atas) 0.0.0 0.0 0.9 0.9 0.9 0.0 0.8 0.8 0.8-0.0 3 0.79 0.7 0.7-0.09 4 0.656 0.6 0.7 0.439 5 0.59049 0.5 0.6 0.0095 6 0.5344 0.5 0.5-0.0344 7 0.478969 0.4 0.5 0.003 8 0.430467 0.4 0.4-0.030467 9 0.38740489 0.3 0.4 0.05795

Persamaan Sinyal Sinusoida analog : t X a Acos 0 t Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata P q dt P q 0 e q t e q t / t, dim ana t Karena :, maka : P q t dt 0 menunjukkan waktu X a (t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan A, maka langkah kuantisasi : = A/ b. A P q b / 3 Daya rata-rata sinyal Xa(t) : P x A cos 0t T T p 0 dt A

Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq e q (t) / / - -/ 0 t - 0 t Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya kebisingan (noise). SQNR P P x q 3. b db 0log0 SQNR,76 6. b SQNR 0

Rumus SQNR(dB) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata. Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44, Khz dan resolusi sampling 6 bit, yang menyatakan SQNR lebih dari 96 db. Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut.

Pengkodean Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit. Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis (0 dan ). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya. Representasi ini akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk. 3

Jika nilai 0-5 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 6 tahap (dari 0 bertahap naik volt hingga nilai 5 atau setara dengan 0000 atau ). Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan n nilai skala, sehingga 4 =6 skala). Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka nilai 0-5 volt dapat di representasikan oleh 8 (56) skala atau setara dengan skala 6.5mV, Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca. Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

RESOLUSI Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital. Sebuah sinyal analog dalam rentang 6 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). Besar resolusi sebanding n. Semakin besar jumlah bit, resolusi akan semakin bagus.

Contoh pada ADC 0804 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan : Resolusi 5 tegangan Volt 55 skala n 9,6 mvolt penuh Artinya : setiap kenaikan bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 9,6 mvolt 34

TUGAS Diketahui sebuah sinyal analog x a (t) = 3 cos (50 t) + 0 sin(300 t) - cos (00 t) a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 00 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 00 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan