Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = ( ) Panjang sat ektor x di R dan R dinamakan norm dari x dan dinotasikan x Jadi ntk sat ektor x = (x x ) R dirmskan x = x x smb x x (x x ) Gambar 5: Vektor x = (x x ) Sejalan dengan it ntk ektor x = ( x x x ) R didefinisikan x = x x x Meskipn tidak bisa digambar di dimensi yang tinggi generalisasi ntk R n adalah jelas: norm dari ektor x = (x x x n) R n didefinisikan oleh x = x xn x smb x Norm tidaklah linear pada R n Untk memaskkan linearitas ke pembahasan diperkenalkan hasil kali titik Untk x y R n hasil kali titik (dot prodct) dari x dan y dinotasikan x y didedifinisikan oleh x y = x y + + x ny n Perl dicatat bahwa hasil kali titik dari da ektor di R n adalah sat bilangan bkan sat ektor Jelasnya x x = x ntk sema x R n Secara khss x x ntk sema x R n dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x = Selanjtnya ntk y R n maka secara jelas pemetaan dari R n ke R yang membawa x R n ke x y adalah linear Lebih jah lagi x y = y x ntk sema x y R n Sat hasil kali dalam adalah sat generalisasi dari hasil kali titik 9 Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam DEFINISI 5 Sat hasil kali dalam (inner prodct) pada sat rang ektor V atas field F adalah sat fngsi yang membawa setiap pasang ektor (x y) dari elemenelemen V ke sat bilangan x y F dan dinotasikan : V V F sehingga aksioma-aksioma berikt dipenhi ntk sema x y z V dan sebarang k F: HKD Simetris: x y = y x; HKD Aditif-homogen: kx + y z = kx z + y z; HKD Positif dan terbatas: x x dan x x = x = V Sat rang ektor V yang dilengkapi dengan sat hasil kali dalam disebt rang hasil kali dalam (inner prodct space) Khssnya jika F = R maka V disebt rang hasil kali dalam real sedangkan jika F = C maka V disebt rang hasil kali dalam kompleks Selanjtnya di bab ini ditetapkan hasil kali dalam yang mengac pada field R Sifat-sifat yang secara cepat bisa ditrnkan dari ketiga aksioma hasil kali dalam antara lain: V x = x V = V; x y + z = x y + x z; x ky = kx y CONTOH 5 Diberikan ektor x = (x x x n) dan y = (y y y n) di R n dan didefinisikan hasil kali titik dari da ektor x dan y yait x y = x y + x y + + x ny n Akan ditnjkkan bahwa hasil kali titik memenhi sema aksioma dari hasil kali dalam Bahasan Diambil sebarang ektor x y z = (z z z n) R n dan k R (i) x y = x y + x y + + x ny n = y x + y x + + y nx n = y x (ii) kx + y z = k(x x x n) + (y y y n) (z z z n) = (kx kx kx n) + (y y y n) (z z z n) = (kx + y kx + y kx n + y n) (z z z n) = (kx + y )z + (kx + y )z + + (kx n + y n)z n = k(x z + x z + + x nz n) + (y z + y z + + y nz n) = kx z + y z (iii) x x = x x + x x + + x nx n = x + x + + x n ; x x = x + x + + x n = x = x = = x n = x = x x = x x + x x + + x nx n = Hasil kali dalam yang didefinisikan tersebt dinamakan hasil kali dalam Eclid CONTOH 5 Untk setiap ektor = ( ) = ( ) R didefinisikan: = + Akan ditnjkkan bahwa adalah sat hasil kali dalam di R Bahasan Diambil sebarang ektor w = (w w ) R dan k R (i) = + = + = (ii) k + w = (k( ) + ( ) (w w )) = ((k k ) + ( ) (w w )) = ((k + k + ) (w w )) = (k + )w + (k + )w = k w + k w + w + w = k w + w (iii) = + = + ; = + = = = = + = Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Diberikan rang ektor M (R) yait himpnan sema matriks berkran dengan sema nsrnya bilangan real Untk ektor-ektor: U = dan V = di M (R) berlak bahwa rms U V = + + + mendefinisikan sat hasil kali dalam CONTOH 5 Rms p q = a b + a b + a b dengan p = a + a x + a x dan q = b + b x + b x adalah sebarang da ektor di P [x](r) mendefinisikan sat hasil kali dalam di P [x](r) CONTOH 55 dan didefinisikan Diberikan sebarang polinomial p = p(x) dan q = q(x) di P n[x](r) p q = b p ( x) q( x) dx a dengan a b R dan a < b Rms p q mendefinisikan hasil kali dalam di P n[x](r) Bahasan Diambil sebarang p q r P n[x](r) dan k R (i) p q = b p ( x) q( x) dx = a b q ( x) p( x) dx = q p a b (ii) kp + q r = x) q( x) (iii) p p = b px a p p = b px a dx 5 Norm a kp ( r( x) dx = k b p( x) r( x) dx + a b q ( x) r( x) dx a = kp r + q r dx b px a ; dx = p p = = px p(x) = P n[x](r) DEFINISI 5 Diberikan V adalah sat rang hasil kali dalam dan ektor V Norm dari ektor didefinisikan oleh = Perl dicatat bahwa = jika dan hanya jika = (sebab = jika dan hanya jika = ) Sifat mdah yang lainnya dari norm adalah k = k ntk sema k F dan sema V Di sini bisa dibktikan k = k k = k k = kk = k dan dengan pengambilan akar da akan memberikan persamaan yang diinginkan Bkti tersebt menggambarkan sat prinsip mm: bekerja dengan norm kadrat pada mmnya lebih mdah daripada bekerja secara langsng dengan norm Selanjtnya jarak antara da ektor dan dinotasikan dengan d( ) didefinisikan oleh d( ) = Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Jika = ( n) dan = ( n) adalah ektorektor di R n dengan hasil kali dalam Eclid maka dan = = d( ) = = n = n n CONTOH 5 dan Pada Contoh 5 jika diambil = ( ) dan = ( ) maka = ( )( ) = = d( ) = = ( ) = ( )( ) = ( )( ) = 5 DEFINISI 5 Diambil ektor V Vektor dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap jika = Secara simbolis ditliskan (dibaca: tegak lrs (perpendiclar) terhadap ) Jelas bahwa jika dan hanya jika Selanjtnya jika ortogonal terhadap setiap ektor di sat himpnan S maka dikatakan bahwa ortogonal terhadap S Secara jelas ektor ortogonal terhadap setiap ektor Lebih jah lagi ektor menjadi sat-satnya ektor yang tegak lrs dengan dirinya sendiri DEFINISI 5 Sat himpnan V dikatakan ortogonal dengan himpnan V ditliskan V V jika ntk setiap V dan V Sat himpnan bagian U dari sat rang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika ntk setiap U dan maka = CONTOH 5 Pada rang ektor P [x](r) dengan hasil kali dalam p q = p ( x) q( x) dx jika diambil p = x dan q = x maka p q = x x dx = Karena p q = maka ektor p = x ortogonal terhadap q = x relatif terhadap hasil kali dalam yang diberikan TEOREMA 5 (Teorema Pythagoras) Jika adalah ektor-ektor ortogonal di V maka + = + Bkti Diketahi ortogonal berarti = dan karena it + = ( + ) ( + ) = + + = + Diandaikan V Selanjtnya dimaksdkan ntk menliskan sebagai sat kelipatan skalar dari ditambah sat ektor w yang ortogonal terhadap seperti yang ditnjkkan pada Gambar 5 Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam w k Gambar 5: Dekomposisi ortogonal ektor Untk menemkan bagaimana cara menlis sebagai sat kelipatan skalar ditambah sat ektor ortogonal terhadap diambil k R dan dinyatakan = k + ( k) Jadi hars dipilih k sehingga ortogonal terhadap ( k) Dengan kata lain harslah = k = k Persamaan tersebt mennjkkan bahwa dapat dipilih k (diandaikan bahwa V ntk menghindari pembagian oleh ) Dari pemilihan k tersebt dapat ditliskan Jika V maka dari persamaan tersebt dapat ditliskan sebagai sat kelipatan skalar dari ditambah sat ektor ortogonal terhadap Persamaan tersebt akan dignakan dalam pembktian teorema di bawah ini yang memberikan sat dari banyak ketaksamaan penting dalam matematika TEOREMA 5 (Ketaksamaan Cachy) Jika V dengan V adalah rang hasil kali dalam maka berlak dan kesamaannya terjadi jika dan hanya jika and adalah tidak bebas linear Bkti Diambil sebarang V Jika and adalah tidak bebas linear maka dapat diambil = k yang mengakibatkan keda sisi dari ketaksamaan sama dengan k Secara khss jika = V maka keda sisi dari ketaksamaan sama dengan Selanjtnya ntk and yang tidak bebas linear (disajikan seperti pada Gambar 5) maka dapat diandaikan bahwa Diberikan dekomposisi ortogonal w dengan w ortogonal terhadap Berdasarkan Teorema Pythagorean = w = Karena > maka dengan mengalikan keda sisi dengan dan mengambil akar kadrat diperoleh ketaksamaan Cachy seperti yang diinginkan w Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Ketaksamaan Cachy sering jga disebt dengan ketaksaman Cachy-Schwarz ata Cachy-Schwarz-Bnyakosky Selanjtnya dengan mengingat sifat harga mtlak ketidaksamaan Cachy dapat ditlis menjadi ata ekialen dengan Dari hasil tersebt ntk sat rang hasil kali dalam real didefinisikan cos( θ) Dengan mengambil nilai tama [ ] diperoleh sdt antara ektor dan yang serpa dengan sdt biasa antara da ektor di R mapn di R CONTOH 5 Diberikan ektor = ( ) dan = ( ) di rang ektor R dengan sat hasil kali dalam Eclid Diperoleh = ( ) = dan karena it ata = ( ) = 8 = ( ) + + + ( ) = 9 cos( θ) 9 8 6 arccos arccos 6 6 CONTOH 55 Pada Contoh 5 jika diambil U dan V maka sdt antara matriks U dan V sama dengan karena U V cos( θ ) U V U V Hasil berikt ini dinamakan ketaksamaan segitiga sebab dari interpretasi geometrisnya bahwa panjang sat sisi segitiga adalah krang dari jmlahan panjang keda sisi lainnya + Gambar 5: Jmlahan ektor dan dengan atran segitiga Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 5 LEMMA 5 (Ketaksamaan Segitiga) Jika V maka + + Ketaksamaan menjadi kesamaan jika dan hanya jika sat dari ata adalah kelipatan tak negatif dari yang lainnya Bkti Diambil V maka + = + + = + + + = + + + + + + = ( + ) Dengan mengambil akar kadrat dari keda sisi akan diperoleh + + Hasil beriktnya dinamakan kesamaan jajaran genjang sebab interpretasi geometrisnya adalah bahwa dalam sat jajaran genjang jmlah dari kadrat panjang diagonal-diagonal sama dengan jmlah dari kadrat panjang keempat sisinya - + Gambar 5: Jmlahan ektor dan dengan atran jajaran genjang LEMMA 5 (Kesamaan Jajaran Genjang) Jika V maka + + = ( + ) Bkti Diambil V maka + + = + + + = + + + + + = ( + ) 5 Basis Ortonormal dan Ortogonalisasi Gram-Schmidt Dalam banyak persoalan yang berkenaan dengan rang ektor pemilihan sat basis ntk rang tergantng pada kemaan penyelesai masalah Tent saja strategi yang terbaik adalah memilih basis ntk menyederhanakan dengan mdah penyelesaian dari sat persoalan Di rang hasil kali dalam seringkali terjadi bahwa pilihan terbaik adalah sat basis yang sema ektornya saling ortogonal Di sini akan dibahas bagaimana basis-basis tersebt dapat dibentk DEFINISI 5 Sat himpnan ortogonal yang setiap ektornya mempnyai norm dikatakan ortonormal Dengan kata lain { n} dari ektor-ektor di V adalah ortonormal jika j k j k j k ( j k n) Didit B Ngroho

6 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam CONTOH 5 Diberikan himpnan V = { } dengan = () = = adalah ektor-ektor di R yang dilengkapi hasil kali dalam Eclid Diperoleh = = = = = = Selanjtnya dihitng norm dari setiap ektor di V sebagai berikt: = = = Karena setiap ektor di V adalah ortogonal dan mempnyai norm maka V adalah ortonormal Jika adalah ektor tak nol dalam sat rang hasil kali dalam maka ektor mempnyai norm karena = = DEFINISI 5 Proses perkalian sat ektor tak nol dengan kebalikan panjangnya (norm) ntk memperoleh sat ek tor dengan norm disebt dengan normalisasi (normalizing) TEOREMA 5 Jika { n} adalah ortonormal maka k + k + + k n n = k + k + + k n ntk n V dan k k k n F Bkti Karena setiap j (j = n) mempnyai norm ini mengikti dengan mdah aplikasi yang dilang pada Teorema Pythagoras AKIBAT 5 Setiap ektor di himpnan ortonormal adalah bebas linear Bkti Diandaikan { n} adalah ortonormal dengan n V dan k k k n F sehingga k + k + + k n n = Selanjtnya berdasarkan Teorema 5 maka k + k + + k n = yang berarti bahwa sema k i sama dengan Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 7 Sat basis dari rang hasil kali dalam V yang ortonormal disebt basis ortonormal ata basis satan dari V Jika basisnya hanya ortogonal maka disebt basis ortogonal Teorema berikt ini memperlihatkan bahwa sederhana sekali ntk menyatakan sat ektor dalam sk-sk dari sat basis ortonormal TEOREMA 5 Jika { n} adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V dan adalah sebarang ektor di V maka = + + + n n dan = + + + n Bkti Karena { n} adalah basis maka bisa dinyatakan dalam bentk = k + k + + k n n Untk melengkapi bkti ini akan ditnjkkan bahwa ntk i = n berlak k i = i Setiap ektor i akan mempnyai bentk i = k + k + + k n n i = k i + k i + + k n n i Karena himpnannya adalah ortonormal berarti i i = i = dan i j = ntk i j dan karena it i = k i Selanjtnya dengan menggnakan Teorema 5 diperoleh = + + + n n = + + + n CONTOH 5 Diberikan ektor-ektor = () = 5 5 = 5 5 Mdah diperiksa bahwa himpnan S = { } adalah basis ortonormal ntk R dengan hasil kali dalam Eclid Selanjtnya diambil sat ektor = () dan akan dicari kombinasi linearnya dari ektor-ektor di S = + + = = 5 5 5 7 = 5 5 5 Berdasarkan Teorema 5 diperoleh 7 5 5 TEOREMA 5 Diberikan himpnan ortonormal { n} di sat rang hasil kali dalam V Jika W adalah rang yang direntang oleh n maka setiap ektor V bisa dinyatakan dalam bentk = w + w dengan w W dan w ortogonal terhadap W yang dirmskan oleh w = + + + n n w = w = n n Didit B Ngroho

8 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Berikt ini ilstrasi dari Teorema 5 di rang R w Gambar 55: Proyeksi ektor Berdasarkan gambar di atas ektor w disebt proyeksi ortogonal dari pada W disingkat proy W sedangkan ektor w disebt komponen dari yang ortogonal terhadap W CONTOH 5 Diberikan rang ektor R dengan hasil kali dalam Eclid dan rang ektor W yang direntang oleh ektor-ektor ortonormal = () dan 5 5 Proyeksi ortogonal dari ektor = () pada W adalah proy W = + = () 5 5 5 = 5 5 sedangkan komponen dari yang ortogonal terhadap W adalah 8 proy W = () = 5 5 5 5 AKIBAT 5 Setiap rang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempnyai sat basis ortonormal Bkti Diambil rang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi n dan sat himpnan U = { n} sebagai basis ntk V Langkah-langkah berikt ini dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram-Schmidt akan menghasilkan sat basis ortogonal { n} ntk V Langkah Mengambil = Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh yait = proy W = k = [Untk mendapatkan k w lihat kembali pembahasan dekomposisi ortogonal pada halaman 87 88] Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dan dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan yait = proyw = W Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 9 Langkah Membentk ektor yang ortogonal terhadap dan dengan cara menghitng komponen dari yang ortogonal terhadap rang W yang direntang oleh dan yait = proyw = Proses dilanjtkan sampai n Dihasilkan himpnan ortogonal { n} yang terdiri dari n ektor bebas linear di V dan merpakan sat basis ortogonal ntk V Penormalan ektor-ektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis ortonormal Rms Gram-Schmidt dapat dinyatakan secara mm sebagai berikt: k k j k k j k = n j j CONTOH 5 Diberikan V = R dengan hasil kali dalam Eclid dan akan diterapkan algoritma Gram-Schmidt ntk mengortogonalkan basis {( ) ( ) ( )} Langkah = ( ) Langkah = ( ) = ( ) = Langkah = ( ) 5 = ( ) = Selanjtnya dengan menormalkan ektor-ektor dan akan diperoleh basis ortonormal 6 6 6 6 6 Seringkali diperlkan ntk mengetahi tidak hanya adanya sat basis ortonormal tetapi jga ektor-ektor ortonormal yang dapat diperlas ke sat basis ortonormal Pada akibat berikt ini algoritma Gram-Schmidt mennjkkan bahwa sat perlasan adalah mngkin AKIBAT 5 Setiap ektor-ektor ortonormal di V dapat diperlas ke sat basis ortonormal ntk V Bkti Diandaikan bahwa { m} adalah sat himpnan ektor-ektor ortonormal di V maka { m} adalah bebas linear dan karena it dapat diperlas ke sat basis { m n} ntk V Sekarang diaplikasikan algoritma Gram- Schmidt ntk { m n} yang menghasilkan sat ektor-ektor ortonormal { m w w n} Jelas bahwa himpnan tersebt adalah sat basis ortonormal ntk V karena bebas linear dan rentangannya sama dengan V Oleh karena it dipnyai perlasan dari { m} ke sat basis ortonormal ntk V Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 5 Perbahan Basis DEFINISI 5 Jika B = { n} adalah sat basis ntk rang ektor V berdimensi berhingga maka ntk setiap V dapat dinyatakan: = k + k + + k n n Skalar-skalar k k k n disebt koordinat-koordinat dari relatif terhadap B sedangkan ektor koordinat dari relatif terhadap B dinyatakan dengan ( ) B didefinisikan oleh () B = (k k k n) Matriks koordinat dari relatif terhadap B dinyatakan oleh [] B didefinisikan oleh k [] B = k k n CONTOH 5 (a) Diberikan basis B = { } ntk R dengan = ( ) = ( 9 ) dan = ( ) Tentkan ektor koordinat dan matriks koordinat dari ektor = (5 9) yang relatif terhadap basis B (b) Tentkan sat ektor di R yang ektor koordinat relatif terhadap B adalah () S = ( ) Penyelesaian (a) Dibentk kombinasi linear k ( ) + k ( 9 ) + k ( ) = (5 9) dengan k k k R Dengan menyelesaikan sistem tersebt maka akan diperoleh k = k = dan k = Jadi (b) () B = ( ) dan [] B = Dengan menggnakan Definisi 5 diperoleh = ( ) + ( 9 ) + ( ) = ( 7) Vektor koordinat dan matriks koordinat ditentkan oleh rtan bagaimana ektor-ektor basis ditlis Perbahan rtan dari ektor-ektor basis menghasilkan perbahan yang bersesaian dari rtan ntk nsr-nsr matriks koordinat dan ektor koordinat CONTOH 5 Diberikan basis B = { x x } ntk P [x](r) Vektor koordinat dan matriks koordinat yang relatif terhadap B ntk p = a + a x + a x adalah a (p) S = (a a a ) dan [p] B = a a CONTOH 5 Jika B = { n} adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V maka berdasarkan Teorema 5 ntk sebarang V diperoleh () B = ( n n) Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho dan [] B = n Selanjtnya diandaikan {w w w k} dan { k} adalah da basis ntk sat rang bagian B dari R n Bagaimanakah mereka berhbngan? Dibentk matriks W = [w w w k] dan V = [ k] berkran nk Diklaim bahwa terdapat sat matriks inersibel R berkran kk sehingga V = WR CONTOH 5 Diberikan matriks 9 A yang mempnyai basis (tnjkkan sebagai latihan) {w w w } dan { } dengan w = w = w = dan = = = Dari sit dibentk matriks W dan V Benarkah bahwa V = WR ntk sat matriks inersibel R berkran? Jika ya hars dipnyai W T V = (W T W)R dan karena it R = (W T W) - W T V Jika dihitng akan didapatkan bahwa W T W adalah inersibel dan 6 R Dapat diperiksa bahwa V = WR Jika basis B ntk sat rang ektor dibah ke basis B bagaimanakah matriks koordinat [] B dihbngkan dengan matriks koordinat B? Berikt ini akan difokskan pada ektor-ektor di R yang dapat digeneralisasikan ke R n Basis bak di R adalah dan ditentkan basis lain dengan acan sistem koordinat kartesis Diberikan basis B = { w} dan w B ntk R Diandaikan bahwa ektor basis dan w ntk B mempnyai koordinat relatif ntk basis B sebagai berikt: b a B d c w B

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam yang mempnyai arti bahwa = a + bw w = c + dw Untk sebarang ektor V dimisalkan k B = k yang mempnyai arti = k k Dengan mensbstitsikan dan w ke akan diperoleh = k (a + bw) + k (c + dw) = (k a + k c) + (k b + k d)w Dengan kata lain matriks koordinat dari terhadap basis B adalah ak ck a ck a c [] B = = bk dk = b d k B b d Persamaan tersebt menyatakan bahwa jika matriks koordinat dari relatif terhadap basis B sdah diketahi maka matriks koordinat B dikalikan dari sebelah kiri dengan matriks a c P b d akan menghasilkan matriks koordinat dari relatif terhadap basis B Matriks P disebt matriks perbahan koordinat (matriks transisi) dan bersifat inersibel Oleh karena it jika P adalah matriks perbahan koordinat dari B ke B maka P - adalah matriks perbahan koordinat dari B ke B dan B = P - [] B CONTOH 55 Diberikan basis B dan B Matriks transisi dari B ke B adalah P Jika diketahi B = maka ektor mempnyai koordinat [] B = = yang relatif terhadap basis B Karena P 5 5 5 5 maka dapat dinyatakan bahwa B = = 5 5 5 5 Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Contoh berikt ini memperkenalkan sat basis ketiga ntk melihat hbngan antara da basis tak bak CONTOH 56 Diberikan B Untk menemkan matriks perbahan koordinat dari basis B pada Contoh 55 ke basis B pertama kali dinyatakan ektor basis dan di B sebagai kombinasi linear dari ektor-ektor basis dan di B : = a + b = c + d Dengan menyelesaikan sistem-sistem di atas akan diperoleh 9 a = b = c = d = 7 7 7 7 Jadi matriks transisi dari B ke B adalah 9 7 7 7 7 Vektor dengan koordinat relatif terhadap basis B mempnyai koordinat 9 7 7 = 7 7 7 7 yang relatif terhadap basis B CONTOH 57 (Rotasi Smb Koordinat) Diandaikan diperoleh sistem koordinat bar dari sistem koordinat kartesis bak dengan rotasi berlawanan arah jarm B dari ektor satan sepanjang smb x dan jam bersdt Basis bar smb y bertrt-trt mempnyai koordinat cos( θ) sin( θ) B B sin( θ) cos( θ) Diperoleh cos( θ) sin( θ) cos( θ) sin( θ) P dan P sin( θ) cos( θ) sin( θ) cos( θ) Jadi sat ektor x y B pada sistem koordinat awal mempnyai koordinat dirmskan oleh x cos( θ) sin( θ) x y = B sin( θ) cos( θ) y B pada sistem koordinat rotasi x y B yang Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho Gambar 56: Rotasi smb koodinat kartesis Misalnya jika ektor [] B = pada sistem koordinat awal dirotasikan sebesar = 5 maka koordinat barnya adalah B = ) cos(5 ) sin(5 ) sin(5 ) cos(5 = = 5 Berikt ini diberikan definisi yang mm ntk memdahkan dalam memperoleh sat matriks transisi dari da basis DEFINISI 5 Diberikan B = { n} dan B = { n} sebagai basis ntk sat rang ektor V Diberikan A M n(f) sebagai matriks yang mempnyai i sebagai kolom-kolomnya dan B M n(f) sebagai matriks yang mempnyai i sebagai kolom-kolomnya Matriks P = B A dinamakan matriks transisi dari B ke B sedangkan matriks P = A B dinamakan matriks transisi dari B ke B CONTOH 58 Diberikan basis ntk R B = dan B = Tentkan matriks transisi dari B ke B dan jga matriks transisi dari B ke B Tentkan jga koordinat dari B relatif terhadap basis B Penyelesaian Diambil A B Matriks transisi dari B ke B adalah P = B A yait x y x y

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho 5 P = = Matriks transisi dari B ke B adalah P Diperoleh koordinat dari B relatif terhadap basis B yait = SOAL-SOAL UNTUK BAB 5 Diberikan V = C n F = C x y = x y Diambil x = (x x x n) dengan x j = j dan y = (y y y n) dengan y j = ( + i)j dan i = Hitng x y y x x x dan y y Diambil A dan x y = Ax y ntk sema x y R Tnjkkan bahwa mendefinisikan sat hasil kali dalam pada R Diambil A sebagai matriks real mn dan A T sebagai transposnya Tnjkkan bahwa Ax y = x A T y ntk sema x R n dan y R m Pada setiap rms di bawah ini tentkan apakah adalah sat hasil kali dalam atas rang ektor yang diberikan: (a) = ; R (b) = + + ; R (c) = ; R 5 Bktikan apakah ) ( ) ( dt t g t f g f adalah sat hasil kali dalam pada C [ ]

6 Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 6 Tnjkkan apakah rms yang didefinisikan berikt ini adalah sat hasil kali dalam pada R : (a) a b = a b a b + a b (b) a b = a b + a b + a b 7 Tnjkkan bahwa = sat rang hasil kali dalam real ntk sembarang dan dalam 8 Didefinisikan a a a a pada R Tnjkkan bahwa ini sebenarnya tidak terdefinisi dengan baik (not well-defined) dan tent saja bkan sat norm 9 Didefinisikan a a a a dengan baik (well-defined) dan merpakan sat norm pada R Tnjkkan bahwa ini terdefinisi Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan V dengan = = = dan = Hitng + dan + Jika diandaikan bahwa + = maka hitnglah Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan V R Bktikan bahwa (a) V = (b) = (c) = (d) + + = ( + ) Diandaikan V Bktikan bahwa a b = jika hanya jika + ntk sema F Diandaikan V Hitng jika diketahi = + = = 6 Diandaikan V dan k F Bktikan bahwa = jika dan hanya jika + k 5 Diandaikan bahwa ektor-ektor w di sat rang hasil kali dalam V memenhi = w = w = 5 = = dan w = 7 Hitng: (a) + + w (b) w + w (c) w + (d) + (e) w (f) + w 6 Bktikan bahwa jika V adalah sat rang hasil kali dalam real maka ntk sema V = 7 Diambil V sebagai sat rang hasil kali dalam dan n V Bktikan bahwa jika ortogonal terhadap n maka ortogonal terhadap rentangan { n} Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam 7 8 Menggnakan ketaksamaan Cachy-Scharwz tnjkkan bahwa jika a a a n adalah bilangan-bilangan real positif maka a a an n a a a n 9 Nyatakan ( ) sebagai sat kombinasi linear dari ektor -ektor dalam basis ortogonal {( ) ( ) ( 5)} Tnjkkan bahwa = ( ) = ( ) dan = ( ) membentk sat basis ortogonal ntk R terhadap hasil kali dalam Eclid Selanjtnya tliskan = ( ) sebagai kombinasi linear dari Diperhatikan P [x](r) sebagai rang bagian dari C[ ] Periksalah bahwa { x x } adalah sat basis ortogonal terhadap hasil kali dalam f g = f( )g( ) + f()g() + f()g() Diambil { n} sebagai sat kelarga ektor-ektor ortonormal dalam sat rang hasil kali dalam V Bktikan bahwa + + + n = n Tentkan basis ortonormal di R ntk rentangan {( ) ( ) ( )} Tentkan sat basis ortogonal ntk R yang memat ektor-ektor ( 5 ) dan ( ) 5 Diberikan S yang menotasikan kelarga ektor-ektor di R yang berkorespondensi dengan titik-titik pada bidang x y + z = (a) Tentkan sat basis ortonormal { } ntk S (b) Tentkan sehingga { } adalah basis ortonormal ntk R 6 Diambil V = R dan = ( ) = ( ) = ( ) V Tentkan basis ortonormal ntk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt 7 Diberikan = ( ) = ( ) dan = ( 5) Tnjkkan bahwa { } adalah sat basis ntk R dan aplikasikan proses Gram-Schmidt ntk basis tersebt agar menemkan sat basis ortonormal ntk R 8 Tnjkkan bahwa ektor-ektor = ( ) = ( ) = ( ) dan = ( ) membentk sat basis ntk R Selanjtnya aplikasikan proses Gram-Schmidt ntk menemkan sat basis ortogonal bagi R Tentkan jga basis ortonormal yang berkorespondensi 9 Gnakan algoritma Gram-Schmidt pada = ( ) = ( ) dan w = ( ) ntk memperoleh sat basis ortonormal bagi R Ulangi masalah tersebt dengan = ( ) = ( ) w = ( ) Apa yang bisa disimplkan? Didit B Ngroho

Bab 5 Rang Hasil Kali Dalam Didit B Ngroho 8 Diambil V = C dan = (i ) = ( i ) = (i ) V Tentkan basis ortonormal ntk V dengan menerapkan algoritma Gram-Schmidt Pada P [x](r) diberikan hasil kali dalam p q = ) ( ) ( dx x q x p Aplikasikan algoritma Gram-Schmidt ntk basis { x x } ntk menghasilkan sat basis ortonormal dari P [x](r) Periksa bahwa ektor-ektor ( ) ( ) ( ) dan ( ) membentk sat basis ntk R Gnakan algoritma Gram-Schmidt ntk mengbah ektor-ektor tersebt menjadi sat basis ortonormal Diberikan ektor-ektor bebas linear di R a = a = a = a = (a) Tentkan koordinat dari terhadap basis {a a a a } (b) Tentkan koordinat dari terhadap basis {a a a a } Diandaikan bahwa B = dan B = adalah basis-basis ntk R Tentkan matriks transisi dari B ke B 5 Diandaikan bahwa B = dan B = adalah basis-basis ntk R Tentkan matriks transisi dari B ke B dan selanjtnya tentkan koordinat dari terhadap B

INDEKS B basis ortogonal 7 ortonormal 7 H hasil kali dalam dalam Eclid titik 9 K kesamaan jajaran genjang 5 ketaksamaan Cachy segitiga 5 koordinat M matriks koordinat transisi N norm 9 normalisasi 6 O ortogonal ortogonalisasi Gram-Schmidt 8 ortonormal 5 R rang hasil kali dalam T Teorema Pythagoras V ektor

koordinat