PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI DUA-ARAH

Transkripsi

1 PENDEKAAN REGRES UNUK ANALSS RAGAM KLASFKAS DUA-ARAH Dw sprant Program Stud Statstka urusan Matematka FMPA UNDP l Prof H Soedarto, SH, Semarang 5075 Abstract Regresson approach can be used for solvng analss of varance problems, wether of one wa or two was ANOVA n ANOVA, model s an mportant factor n ths paper, we wll stud two was classfcaton ANOVA wth regresson approach for solvng the fxed effect model t can be done f the model s ndentfed trul and f the preventve procedure have been done so we have an ndependent normal equaton A characterstc of ANOVA s that the analss model s overparameterzed, so we have to make constrant for the parameters n the Regresson model approach for ANOVA problems, the ndependent varable X at categorcal form 0 and, or we have to make dumm varables at row and colom factors Kewords: ANOVA, constrant PENDAHULUAN Analss regres pada dasarna adalah stud mengena ketergantungan varabel tak bebas dengan satu atau lebh varabel bebas, dengan tuuan untuk mengestmas dan/atau mempredks rata-rata populas atau nla rata-rata varabel tak bebas berdasarkan nla varable bebas Hasl analss regres adalah berupa koefsen (parameter untuk masng-masng varabel bebas Prosedur regres berganda untuk memperoleh parameterna, ( X Y b = ( X X atu, dsaratkan bahwa matrks ( X X bersfat tdak sngular, n berart bahwa persamaan normalna harus terdr atas persamaan-persamaan ang bebas satu sama lan ang banakna sama dengan banakna parameter ang harus dduga Akan tetap, kalau datana dar suatu percobaan ang terancang, perlu dperksa bahwa semua persamaan tu bebas, kalau ternata tdak demkan, maka harus dambl langkah-langkah ang dperlukan untuk memperoleh nla dugaan Metode ang banak dgunakan untuk menganalss data dar suatu percobaan ang terancang adalah teknk analss ragam Serngkal teknk n dpandang sama sekal berbeda dar regres secara umum, belum banak penelt ang menadar bahwa setap masalah analss ragam dambl = 0 dengan pengaruh tetap dapat dtangan melalu teknk regres secara umum kalau modelna ddentfkas secara benar dan langkah-langkah pencegahan telah dambl agar dperoleh persamaan normal ang bebas Suatu cr analss ragam adalah model n terparametersaskan secara berlebh, artna model n mengandung lebh banak parameter darpada ang dbutuhkan untuk merepresentaskan pengaruh-pengaruh ang dngnkan Parametersas berlebhan n basana dkompensas dengan membuat kendala terhadap parameter-peremeterna Kendala pada percobaan untuk klasfkas arah dengan nteraks α = β dan dengan nteraks α = β = γ = 0, Serngkal tanpa dsadar bahwa semua stuas analss ragam mempuna model, dan bahwa model tulah ang menad dasar bag pembuatan tabel analss ragam Pendekatan regres untuk suatu rancangan percobaan, maka peubah bebas (X dber nla satu ( dan nol (0, atau dengan membuat peubah boneka ang bersfat pengelompokan Contoh penerapan dalam tulsan n adalah suatu percobaan, dmana pengusaha menghadap masalah dengan lau produks dalam sebuah pabrkna Masalah ang 5

2 urnal Matematka Vol 0, No, Aprl 007:5- dhadap adalah gagalna mencapa lau produks ang sama dbawah konds ang dentk Untuk tu dlakukan percobaan dengan 4 amatan ang berasal dar dua belas kombnas antara pereaks dan katalsator ANALSS RAGAM KLASFKAS ARAH ANPA NERAKS Dalam suatu percobaan, ang terdr dar perlakuan, dan kelompok, maka tabel data dapat dbuat sepert abel Faktor A (bars : : umlah Rataan abel Data Klasfkas arah Faktor B ( kolom umla h Rataa n Secara matematk model tersebut tanpa nteraks dapat dtuls sebaga berkut = µ + α + β + ε, ( dengan =,,,, =,,, dmana = Nla pengamatan dar perlakuan ke dalam kelompok ke, µ = Nla tengah populas, serng dsebut dengan rataan umum, α = Parameter ang menatakan rataan bars ke, β = Parameter ang menatakan rataan kolom ke, ε = Galat pada pengamatan ke (, Penaan dengan matrks untuk ( datas dapat dtuls sebaga berkut = (,,,,,,,,,, : : : : : : : : : X = : : : : : : : : :, : : : : : : : : : : ε ε µ α ε ε : ε β = α, dan ε = β ε ε β ε ε ka kta perhatkan matrks X d atas, maka terlhat bahwa kolom matrk X tdak bebas satu sama lan Karena X X sngular, sehngga persamaan normal tdak memberkan awaban ang tunggal untuk parameter ang ngn dtaksr Agar persamaan normal mempuna awab ang tunggal, maka sarat kendala perlu dtambahkan Kendala ang memberkan awaban sepert tu adalah = α β = 0 ( = = Dengan kendala tersebut, maka persamaan normalna ( X X b = X Y mempuna awab tunggal, atu 6

3 Dw sprant (Pendekatan Regres Untuk Analss Ragam Klasfkas Dua-Arah : : : : : : : X X = : : : : : : : 0 0 Bla b 0, a dan b merupakan penaksr dar µ, α, dan β, maka persamaan normalna ( X X b = X Y dapat dtuls a = b 0 + b 0 + a + b 0 + a + b 0 + a + b 0 + b = b = b = b = b = + b = a a + b = Akbat dar kendala (, maka persamaan d atas dapat dsederhanakan menad, b 0 = b 0 = / = Karena b = 0, maka persamaan bars Sumber Keragaman A(Bars B (Kolom Ssa kedua menad a = ( b0 / = a = a = Karena a = 0, maka b = ( b0 / = b = ad persamaan normal d atas menad b 0 = ˆ µ =, a = ˆ α =, =,,,, b = ˆ β =, =,,, Persamaan ( dengan menggant parameterna menad ˆ + a + b = = ( ŷ = ( a + b K regres = ( + (, K regres = ( + ( KA KB KA = umlah kuadrat karena bars, KB = umlah kuadrat karena kolom K ssa = ( ŷ, dk = ( n ( ( = ( ( = ( ( Sehngga dperoleh abel abel Analss Ragam klasfkas arah tanpa nteraks DB umlah Kuadrat Kuadrat angah - - (-(- ( ( ( ˆ otal - ( ( / ( / ( ŷ /( ( 7

4 urnal Matematka Vol 0, No, Aprl 007:5- Dalam penguan hpotess: H 0 : α = α = = α = 0, H = mnmal ada satu α 0, =,,, H 0 : β = β = = β = 0, H = mnmal ada satu β 0 ( =,,, Untuk penguan, KA / F = KS /( ( Bla F ((-,(-(-,α < F untuk suatu α tertentu, maka H 0 dtolak, sebalkna H dterma Untuk penguan, KB / F = KS /( ( Bla F ((-,(-(-, α < F untuk suatu α tertentu, maka H 0 dtolak, sebalkna H dterma ANALSS RAGAM KLASFKAS ARAH DENGAN NERAKS Bla kedua faktor ada nteraks, maka banakna pengamatan per sel haruslah lebh besar dar satu agar nteraks dan ssa dapat dpsah Dengan adana nteraks maka persamaan ( menad = µ + α + β + γ + ε, =,,,; =,,,; k=,,,k K = adalah banakna dalam pengamatan dalam tap sel Agar persamaan normal mempuna awab tunggal, maka dperlukan kendala = = = k α β = 0, γ = 0, untuk setap, = γ = 0, untuk setap = Rata-rata keseluruhan / n; n = = k k K Rata-rata taraf ke faktor A k / K; =,,, = k Rata-rata taraf ke faktor B k / K; =,,, = Rata-rata sel ke (, = K k k / k Penaksran parameter dlakukan dengan memnmumkan umlah kuadrat sesatan terhadap parameter-parameterna, sehngga dperoleh b0 = ˆ µ =, a = α =, =,,, b = β =, =,,,, g = ˆ γ = +, dan ŷ k = + ( + ( + ( + = K Regres = ( ŷk k = ( k = K ( KA + K ( KB + K ( + K( AB K ssa = ( k k Sehngga analss ragamna dapat dtulskan sepert pada abel Dalam penguan hpotess: H 0 : α = α = = α = 0, H = mnmal ada satu = α 0 H 0 : β = β = = β = 0, H = mnmal ada satu β 0 H 0 : γ = γ = = γ K = 0, H = mnmal ada satu γ 0 K 8

5 abel abel Analss Ragam Klasfkas arah dengan nteraks Sumber DB umlkuadrat Kuadrat angah Keragaman A(Bars B (Kolom AB(nteraks - - (-(- KA KB K(AB s A =KA/- s B = KB/- s AB = K(AB/(-(- Ssa (K- KS s = KS/(K- otal K- K KA / Untuk penguan, F = KS / ( K Bla F ((-,(K-, α < F untuk suatu α tertentu, maka tolak H 0, sebalkna H dterma KB / Untuk penguan, F = KS / ( K Bla F ((-(K-, α < F untuk suatu α tertentu, maka tolak H 0, sebalkna H dterma Untuk penguan, K( AB /( ( F = KS / ( K Bla F ((-(-,(K-, α < F untuk suatu α tertentu, maka tolak H 0, sebalkna H dterma PENGGUNAAN PEUBAH BONEKA Cara lan untuk menangan permasalahan d atas adalah dengan menggunakan peubah boneka Prnsp dasar pemakaan peubah boneka bla mempuna t kelompok, maka peubah bonekana adalah (t-, karena ka banakna peubah boneka sama dengan banakna kelompok, maka peubah boneka tersebut secara keseluruhan tdak lag bebas satu sama lan, karena umlahna merupakan vektor ang semua unsurna sama dengan Dalam keadaan sepert tu maka matrks X X menad sngular, sehngga persamaan normal ( X X b = X Y tdak mempuna awab ang tunggal Banak cara untuk memlh peubah boneka dan kta harus hat-hat agar peubah boneka ang dplh tdak menadkan matrks X X sngular Msalna, bla ada tga metode mengaar ang ngn dbandngkan, maka dperlukan dua peubah boneka, peubah boneka tersebut dapat dtulskan sepert berkut X 0, bla murd masuk kelompok atau =, bla masuk kelompok X 0, bla murd masuk kelompok atau =, bla masuk kelompok Sehngga bla murd masuk kelompok maka X = X = 0 Sehngga bla ada kelompok, maka peubah bonekana adalah X X X X : : : : : Pada kasus klasfkas arah, dalam pembentukan peubah boneka, bars mempuna (- peubah boneka, msal dnatakan dengan peubah X, faktor kolom mempuna (- peubah boneka ang dapat dnatakan dengan peubah lan, msal Z, sedangkan nteraksna adalah perkalan antara XZ Sehngga bla taraf faktor cukup besar, atu bla dan besar, maka cukup banak peubah boneka ang harus dgunakan Untuk mendapatkan masng-masng umlah kuadrat regres ang berasal dar satu koefsen b dapat dgunakan prnsp umlah kuadrat ekstra, atu kolomkolom X ortogonal terhadap kolom-kolom 9

6 urnal Matematka Vol 0, No, Aprl 007:5- X untuk, =,,t (, dengan kata X = lan X 0, maka K( b = b ( X Y = K(b + K(b ++K(bt SUD KASUS Seorang pengusaha menghadap masalah dengan lau produks dalam sebuah pabrkna Setelah dskus panang lebar dengan bagan rsetna, dputuskan untuk meneldk pengaruh dua belas kombnas ang berasal dar empat pereaks dan katalsator Salah satu masalah ang dhadap adalah gagalna mencapa lau produks ang sama dbawah konds ang tampakna dentk Untuk memperoleh nla dugaan bag keragaman, maka dputuskan untuk mengulang setap kombnas perlakuan tersebut dua kal Sehngga percobaan n terdr dar 4 amatan, dan tu dkerakan secara acak Data dsakan pada abel 4 abel 4 Data 4 amatan dar Katalsator dan Pereaks Katalsator Pereaks A 4;6 ;7 5;9 B 6;4 ;5 97 C ;5 5;9 ; D ; ;4 7;9 Sumber data : Draper N (99 Percobaan n mempuna 4 faktor bars atu pereaks ang terdr dar 4 taraf, sedangkan faktor kolom adalah katalsator ang terdr dar taraf ap sel mengandung ulangan dan n memungknkan adana nteraks antara kedua faktor, sehngga modelna dapat dtuls sebaga berkut = µ + α + β + γ + ε ; =,,,4; =,,; k=, Dengan menggunakan rumus rumus datas dengan mudah dapat dhtung: µˆ = 0, α = -, α = -, α =, α = ˆ ˆ k ˆ ˆ 4 ˆβ -, βˆ =, βˆ = -, γˆ = ; γˆ = 0; γ =, γˆ = ; γˆ = 6, γˆ = 0, γˆ = γˆ = -; γˆ =, γˆ 4 = ; γˆ 4 = 0 ; γˆ 4 = -, KA=0, KB=48, K(AB=84, K= 00 dan KS = 48 abel 5 Analss Ragam klasfkas arah Sumber DB K RK F Bars (pereaks Kolom (katalsator AB(nterkas Galat 48 4 otal 00 Dengan mengambl F tabel untuk α = 005, maka F htung > F tabel, sehngga dapat dsmpulkan bahwa H 0 dtolak, ang berart ada pengaruh nteraks antara pereaks dan katalsator Berkut n solus ka menggunakan peubah boneka Karena bars ada 4 faktor maka dbuat peubah boneka X, X dan X, sedangkan kolom mempuna faktor maka dbuat peubah boneka, atu Z dan Z Faktor nteraksna adalah X Z, X Z, X Z, X Z, X Z, dan X Z, sehngga dsn ada peubah boneka Faktor nteraks dperoleh dengan mengalkan faktor pereaks dengan katalsator Model regresna dapat dtuls sebaga berkut Yˆ = β 0 X 0 + βx + β X + βx + β 4Z + β5z + β6 XZ! + β7 XZ + β 9 X Z + β0 X Z + βx Z + β8x Z Suku β X + β X + β X untuk pereaks, suku β 4Z + β5z untuk katalsator, suku β 6 X Z! + β7 XZ + β8 X Z + β9 X Z β 0 X Z + βx Z untuk nteraks pereaks dan katalsator Untuk mendapatkan kolom-kolom X ortogonal terhadap kolom-kolom X, maka dbuat peubah boneka sebaga berkut 0

7 Dw sprant (Pendekatan Regres Untuk Analss Ragam Klasfkas Dua-Arah abel 6 Data peubah boneka X, X, X X X X Pereaks A 0 - B 0 - C 0 D abel 7 Data peubah boneka Z, Z Z Z Katalsator Dengan peubah boneka d atas dapat dbuat matrks X ang berukuran 4, X suatu matrk dagonal berukuran, atu: X X = dag{ 4,,, 46,, 48, 8, 46,, 48 }, X Y = { 40,,, 48, 0, 48,, 8, 6, 8 6, 8, 0, 6 } X Dengan demkan b = ( X X X Y mempuna nla: b = { 0,,,, 0,, / 4, / 4, / 4, / 4 5 / 4, / 4 }, KR = b ( X Y = 65, KS = Y Y b ( X Y abel 8 Analss ragam klasfkas arah dengan Pendekatan regres Sumber DB K RK F Pereaks Katalsator Katals*Pereaks Galat otal Hasl ang dperoleh dengan menggunakan peubah boneka sama dengan abel 8 d atas, sehngga kesmpulanna sama, atu ada pengaruh ang nata pada nteraks katalsator dan pereaks dan sumbangan ang palng nata dberkan oleh b 0 dan b Hal n menandakan adana nteraks ang sesungguhna antara X dan Z dengan X dan Z 4 KESMPULAN Dalam analss ragam semua peubah bebas atau faktor bersfat katagor, sedangkan dalam analss regres bersfat kuanttatf Matrk X X pada analss ragam bersfat sngular, sehngga perlu sarat tambahan, sedangkan pada analss regres arang sekal hal tu terad Pemlhan peubah boneka adalah hal pentng dan mendapatkan umlah kuadrat masng-masng parameter dgunakan prnsp umlah kuadrat ekstra 4 Semakn rumt rancanganna, semakn rumt konvers bentuk regresna, dan semakn besar ukuran matrks X na 5 DAFAR PUSAKA [] Drapper, NR and Harr Smth, S (99, Analss Regres erapan, Eds kedua, Grameda Pustaka Utama, akarta [] RK Sembrng (995, Analss Regres, Eds ke, Penerbt B Bandung [] Kutner, Nachtshem, Neter (004, Appled Lner Regresson Models, Mc Graw-Hll, New York