ESTIMATOR TAK BIAS TERBAIK PADA FUNGSI DISTRIBUSI KONTINU DENGAN TEOREMA BATAS BAWAH RAO CRAMER SKRIPSI. Oleh : IZZAH FANANI RUSYDA NIM.

Transkripsi

1 ESTIMATOR TAK BIAS TERBAIK PADA FUNGSI DISTRIBUSI KONTINU DENGAN TEOREMA BATAS BAWAH RAO CRAMER SKRIPSI Oleh : IZZAH FANANI RUSYDA NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 009

2 ESTIMATOR TAK BIAS TERBAIK PADA FUNGSI DISTRIBUSI KONTINU DENGAN TEOREMA BATAS BAWAH RAO CRAMER SKRIPSI Diajuka Kepada: Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag Utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais S.Si Oleh : IZZAH FANANI RUSYDA NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 009

3 ESTIMATOR TAK BIAS TERBAIK PADA FUNGSI DISTRIBUSI KONTINU DENGAN TEOREMA BATAS BAWAH RAO CRAMER SKRIPSI Oleh : IZZAH FANANI RUSYDA NIM Telah disetujui oleh: Dose Pembimbig, Usma Pagalay.M,Si NIP Taggal: 5 Juli 009 Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M. Si NIP

4 ESTIMATOR TAK BIAS TERBAIK PADA FUNGSI DISTRIBUSI KONTINU DENGAN TEOREMA BATAS BAWAH RAO CRAMER SKRIPSI Oleh : IZZAH FANANI RUSYDA NIM Telah Dipertahaka di Depa Dewa Peguji Skripsi da Diyataka Diterima Sebagai Salah Satu Persyarata Utuk Memperoleh Gelar Sarjaa Sais S.Si Taggal: 8 Juli 009 Susua Dewa Peguji: Tada Taga. Peguji Utama : Sri Harii, M.Si NIP Ketua : Abdussakir, M.Pd NIP Sekretaris : Usma Pagalay, M.Si NIP Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Sri Harii, M. Si NIP

5 Motto Barag siapa yag megerjaka kebaika seberat dzarrahpu, iscaya dia aka melihat balasa ya. Da barag siapa yag megerjaka kejahata seberat dzarrahpu, iscaya dia aka melihat balasa ya pula Q.S. Az-Zalzalah: 7-8 Sesugguhya sesudah kesulita itu ada kemudaha. Maka apabila kamu telas selesai dari sesuatu urusa, kerjakalah dega suguh-sugguh urusa yag lai da haya kepada Tuhamulah hedakya kamu berharap Qs. Alam Nasyrah, ayat 6-8

6 SURAT PERNYATAAN ORISINALITAS PENELITIAN Saya yag bertada taga dibawah ii: Nama : IZZAH FANANI RUSYDA NIM : Fakultas/Jurusa Judul Peelitia : Sais da Tekologi/Matematika : Estimator Tak Bias Terbaik pada Fugsi Distribusi Kotiu dega Teorema Batas Bawah Rao Cramer Meyataka dega sebear-bearya bahwa hasil peelitia yag saya tulis ii tidak terdapat usure-usur pejiplaka karya peelitia atau karya ilmiah yag perah dilakuka atau dibuat oleh orag lai, kecuali yag secara tertulis dikutip dalam askah ii da disebutka dalam sumber kutipa da datar pustaka. Apabila teryata hasil peelitia ii terbukti terdapat usur-usur jiplaka, maka saya bersedia utuk mempertaggug jawabka, serta diproses sesuai peratura yag berlaku. Malag, 8 Juli 009 Yag Membuat Peryataa. IZZAH FANANI RUSYDA NIM

7 PERSEMBAHAN Skripsi ii aku persembahka kepada: Ayah Buda tercita da kakak-kakakku serta yag terhormat kedua mertua yag selalu memberika motivasi da medoaka kesuksesaku. Suami tercita Mas'udi Eko Wahyudi da aada tersayag Wai Prasojo Rusyda Wahyudi, yag selalu meemai serta memberi motivasi da semagat dalam meyelesaika tugas akhir.

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Ilahi Rabbi yag seatiasa memberika rahmat, tauiq, hidayah serta iayah-nya kepada kita, sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii sebagai syarat utuk medapatka gelar sarjaa sais dega judul Estimator Tak bias Terbaik Pada ugsi Distribusi kotiu dega Teorema Batas Bawah Cramer-Rao. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahka kepada Bagida Rasul Muhammad SAW yag telah megagkat kita dari jurag keistaa meuju samudera yag terag bederag yaki agama Islam. Kesekia kaliya peulis haturka terima kasih kepada berbagai pihak yag telah membatu peulis dalam meyelesaika skripsi ii. Berhasiya proses peyusua skripsi ii juga tak lepas dari taggug jawab, bimbiga, motivasi da segala macam batua dari mereka baik moril maupu materiil. Oleh karea itu pada kesempata ii peulis sampaika terimakasih kepada:. Bapak Pro. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Uiversitas Islam Negeri Malag.. Bapak Pro. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU., D.Sc. selaku Deka Fakultas Saitek. 3. Bapak Usma Pagalay, M.Si sebagai dose Pembimbig yag telah mgorbaka waktuya utuk membimbig, megarahka, da memberika masuka higga terselesaiya skripsi ii. 4. Ibu Sri Harii, M.Si selaku Ketua Jurusa Matematika. 5. Kedua orag tua peulis yag seatiasa medoaka kesuksesa bagi peulis.

9 6. Suami tercita Mas udi Eko Wahyudi tercita da putra tersayag Wai Prasojo Rusyda Wahyudi, yag selalu memberi motivasi da selalu meemai selama proses peulisa skripsi higga selesai 7. Para sahabat khususya Gus Ahmad Rodhi yag telah membatu da memberi sara atas peulisa skripsi ii higga selesai. Kepada semua pihak yag telah membatu dalam peyelesaia lapora ii kami ucapka terimakasih, semoga Allah memberika imbala atas segala kebaikaya da dicatat sebagai amal yag sholeh. Ami. Peulis meyadari bahwa dalam peulisa skripsi ii masih terdapat kekuraga, sehigga peulis megharapka sara da kritik yag kostrukti demi kesempuraa skripsi ii. Akhirya peulis berharap semoga skripsi ii dapat bermaaat, khususya bagi peulis da pembaca pada umumya. Ami Ya Rabbal Alami. Malag, 5 Juli 009 Peulis Izzah Faai Rusyda Nim: 05004

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS TULISAN HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii ABSTRAK... v BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah.... Rumusa Masalah Tujua Peelitia Maaat Peelitia Batasa Masalah Metode Kajia... 4 BAB II KAJIAN TEORI. Fugsi Distribusi Pegertia Fugsi Distribusi Jeis-Jeis Fugsi Distribusi Fugsi Distribusi Deskret Fugsi Distribusi Kotiu Fugsi Distribusi Kotiu Distribusi Normal..... Distribusi Ekspoesial Jeis-Jeis Metode Estimasi Metode Mome Metode Maksimum Likelihood... 7

11 .4 Estimasi Tak Bias Terbaik UMVUE... 8 BAB III PEMBAHASAN 3. Distribusi Normal Distribusi Ekspoesial Distribusi Gamma... 9 BAB IV PENUTUP 4. Kesimpula Sara-sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN LAMPIRAN

12 ABSTRAK Rusyda, Izzah Faai Estimator Tak Bias Terbaik pada Fugsi Distribusi Kotiu dega Teorema Batas Bawah Cramer Rao, Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig: Usma Pagalay, M.Si Kata kuci: Fugsi distribusi, keluarga eksposial, Estimasi maksimum, Cramer- Raou Lower Boud CRLB, estimator tak bias terbaik UMVUE Dalam statistik matematika, suatu distribusi dikataka eksposial, apabila ugsi desitas peluagya dapat diyataka dalam betuk: h c ep wi ti. i Adapu yag termasuk dalam ugsi distribusi ekspoesial adalah distribusi diskret da distribusi kotiu. distribusi diskret mecakup distribusi Beroulli, distribusi poisso, da distribusi biomial. Sedagka distribusi kotiu mecakup distribusi ormal, distribusi ekspoesial,distribusi gamma, distribusi seragam, distribusi beta, distribusi ormal baku, distribusi khi kuadrat, da distribusi weibul Fugsi distribusi yag dibahas adalah ugsi distribusi kotiu yaitu distribusi ormal, distribusi ekspoesial, distribusi gamma.dari ugsi distribusi tersebut dapat dicari estimasi parameter berbagai metode, salah satuya dega megguaka metode maksimum Likelihood. Utuk meetuka ukura kebaika suatu estimator pada distribusi ekspoesial, dapat diguaka Teorema Cramer-Rao Lower Boud. Batas bawah Cramer-Rao atau Cramer-Rao lower boud CRLB utuk variasi adalah. [ g' ] Var T g ; g' E X Sebelum meetuka variasi terlebih dahulu dibuktika ketakbiasa esmiator, dega ketetua: statistik dikataka estimator tak bias parameter bila E. Jika estimator adalah estimator tak bias, dapat diilajutka meetuka variasi. Estimator tak bias terbaik UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mecapai batas bawah variasi. Beberapa estimator distribusi kotiu yag didasarka pada parameter dega metode maksimum Likelihood mecapai batas bawah Cramer-Rao sehigga merupaka estimator tak bias terbaik UMVUE.Namu tidak semua estimator distribusi ekspoesial mecapai batas bawah Cramer-Rao sehigga buka merupaka estimator tak bias terbaik UMVUE.

13 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Salah satu permasalaha dalam statistika adalah pegambila kesimpula tetag karakteristik populasi berdasarka iormasi sampel. Hal ii dikareaka tujua dari peguaa statistika adalah utuk medapatka kesimpula dari populasi yag diamati. Dalam hal ii statistika ieresial sagat dibutuhka selai statistika deskripti. Statistika ierasial/idukti adalah bidag ilmu pegetahua statistik yag mempelajari tata cara pearika kesimpula megeai keseluruha populasi berdasarka data yag ada dalam suatu bagia dari populasi tersebut Djarwato da Subagyo, 996:. Pada ruag sampel suatu eksperime dapat ditetuka probabilitas dari ilaiilai variabel acak X, yag selajutya dapat diguaka utuk meetuka ugsi probabilitas X. Dari distribusi peluag tersebut, dapat ditetuka suatu ugsi distribusi tertetu dega cara megetahui eksperime yag medasari. Estimasi harga parameter merupaka salah satu cakupa statistika ieresial/idukti. Berbagai cara utuk megestimasi parameter telah dipelajari dalam statistik matematika, misaya Maksimum Likelihood, Metode Bayes, da Metode Mome. Pada keluarga ekspoesial dapat ditetuka estimasi paramter dega megguaka Metode Maksimum likelihood Dewi, 005:3. Namu ilai

14 estimasi pada distribusi keluarga ekspoesial dega megguaka Metode Maksimum Likelihood belum dapat dikataka sebagai estimator yag baik. Harus dilakuka suatu peyelidika utuk meetuka bahwa estimator atau ilai estimasi likelihood pada distribusi keluarga ekspoesial adalah estimator yag baik dega berpedoma pada kriteria estimator yag baik. Ada dua kriteria yag harus dipeuhi utuk medapatka estimator terbaik yaitu tak bias da mempuyai variasi miimum. Peaksir yag tak bias da bervariasi mimum diamaka peaksir terbaik Sudjaa, 996:99. Estimator T * di sebut estmator tak bias terbaik C bila * ET g da utuk sebarag estimator lai T yag memeuhi ET g maka berlaku VarT * VarT utuk setiap. * T disebut estimator tak bias variasi miimum seragam atau UMVUE dari g Subaar,996:36. Utuk meetuka estimator tak bias terbaik bukalah pekerjaa yag mudah, diperluka peagaa yag meyeluruh. Salah satuya adalah melalui batas bawah Rao Cramer. Misaya igi dicari peaksir tak bias dega ragam miimum dari g, parameter sebara tertetu. Dega megguaka ketidaksamaa Rao Cramer dapat ditetuka batas bawah variasi semua peaksir tak bias dari g. Jika kemudia dapat ditemuka suatu statistik yag ilai harapaya sama dega g da ragamya sama dega batas bawah variasi yag ditetuka dari ketidaksamaa Rao Cramer, maka statistik ii adalah estimator tak bias dega variasi miimum yag dicari.

15 3 Dega demikia Teorema Batas Bawah Rao Cramer dapat juga di guaka utuk meetuka estimator tak bias terbaik pada keluarga ekspoesial. Sehigga berdasarka uraia diatas, maka peulis megambil judul Estimator Tak bias Terbaik Pada Fugsi Distribusi Kotiu dega Teorema Batas Bawah Rao Cramer.. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas, maka dirumuska permasalaha yaitu, bagaimaa cara meetuka estimator tak bias terbaik pada ugsi distribusi kotiu dega megguaka Teorema Batas Bawah Rao Cramer..3 Tujua Peulisa Dari rumusa masalah diatas, maka kajia ii bertujua utuk mejelaska atau megkaji cara meetuka estimator tak bias terbaik pada ugsi distribusi kotiu dega megguaka Teorema Batas Bawah Rao Cramer..4 Maaaat Peulisa Sebagaimaa yag telah dikemukaka dalam latar belakag da rumusa masalah, serta tujua peulisa diatas, maka kajia ii diharapka bagi peulis da pembaca dapat bermaaat dalam meambahka pegetahua yaitu dalam meetuka ekstimator tak bias terbaik pada ugsi distribusi kotiu da juga meambah perbedaharaa pegetahua utuk memperdalam bidag matematika

16 4 khususya, serta bidag-bidag lai pada umumya. Kajia ii juga dapat dijadika sebagai reeresi bagi pembaca megeai peetua estimator tak bias terbaik pada ugsi distribusi kotiu dega megguaka Teorema Batas Bawah Rao Cramer, serta dapat diguaka sebagai tambaha wawasa disampig ilmu pegetahua yag didapatka dari bagku kuliah..5 Batasa Masalah Utuk membatasi permasalaha agar sesuai dega yag dimaksud da tidak meimbulka permasalaha yag baru, maka pada peelitia ii dibatasi pada ugsi distribusi kotiu yag terdiri dari ugsi distribusi ormal, ekspoesial da gamma. Sedagka cara meetuka estimator tak bias terbaikya dikerjaka secara maual tapa megguaka program..6 Metode Kajia Metode yag diguaka dalam pembahasa ii adalah megguaka studi literatur atau studi kepustakaa. Pada pembahasa masalah diatas peulis medapatka materi atau baha dalam betuk iormasi dari meghimpu literaturliteratur yag termuat dalam teks book. Selajutya, peulis mempelajari semua materi atau baha yag terkumpul yaitu tetag ugsi distribusi kotiu, estimator tak bias atau UMVUE estimator da Teorema Batas Bawah Rao Cramer.

17 5 Adapu pegujia hasil pembahasa, dalam hal ii dilakuka dega cara megkomuikasika atau mediskusika hasil pembahasa dega para ahli di bidag matematika, khususya dose pembimbig sehigga aka dihasilka gambara pembahasa yag jelas sebagaimaa yag diharapka.

18 6 BAB II KAJIAN TEORI Pada kajia teori aka dibahas beberapa teori yag meujag pembahasa pada bab selajutya, yaitu megeai ugsi distribusi, macam-macam ugsi distribusi, estimasi parameter, da estimator tak bias terbaik UMVUE. Variabel acak X dibedaka mejadi dua jeis, yaitu varibel acak diskrit da variabel acak kotiu. Variabel acak diskrit adalah variabel acak yag mempuyai ilai-ilai terhigga. Jadi, variabel acak diskrit X dapat berilai,,..., R, 3. Sedagka variabel acak kotiu adalah variabel acak yag ilai-ilaiya tak terhigga. Jadi ilai-ilai vaiabel acak kotiu X dapat merupaka semua ilai dalam satu iterval terhigga, yaitu -,, dimaa bayakya bilaga yag terkadug pada iterval tersebut adalah tak terhigga atau tak terbilag.. Fugsi Distribusi.. Pegertia Fugsi Distribusi Fugsi distribusi merupaka kumpula himpua berbagai asumsi dari pasaga ilai-pasaga ilai yag salig berhubuga tiap obyek dari variasi acak. Dalam hal diskret suatu ugsi distribusi dapat diyataka sebagai jumlah yag

19 7 meyagkut ugsi peluag titik, sedagka dalam hal kotiu suatu ugsi distribusi dapat diyataka sebagai itegral dari apa yag disebut ugsi padat peluag. Pada ruag sampel S yag merupaka kumpula semua hasil yag mugki terjadi, kita dapat meetuka probabilitas dari ilai-ilai variabel acak X, sebab titik sampel-tiik sampel S mempuyai ilai probabilitas. kumpula pasaga ilai-ilai dari variabel acak X, yaitu PX di sebut distribusi probabilitas X atau ugsi peluag da disigkat distribusi X, yag dapat dituliska dalam betuk tabel atau dalam betuk pasaga terurut Boedioo da Koster,00:86. Himpua pasaga terurut {,} merupaka ugsi peluag atau distribusi peluag peubah acak diskrit X jika utuk setiap kemugkia hasil memeuhi: PX Maka distribusi peluag dari X tersebut disebut distribusi peluag peubah àcak diskrit X Walpole da Myers, 995:77. Fugsi adalah distribusi peluag peubah acak kotiu X, yag dideiisika di atas himpua semua bilaga real R, bila:. 0 utuk semua R.. d

20 8 b 3. P a < X < b a Walpole da Myers, 995:85. Dalam bayak soal diperluka meghitug peluag bahwa ilai amata peubah acak X aka lebih kecil atau sama dega suatu bilaga real. bila F PX utuk setiap bilaga real, maka F di sebut sebagai ugsi distribusi kumulati peubah acak X Walpole da Myers, 995;79 Distribusi kumulati F suatu peubah acak diskrit X dega distribusi peluag diyataka oleh: F PX t t Utuk - < < Walpole da Myers, 995:79 Distribusi kumulati F suatu peubah acak kotiu X dega ugsi peluag diberika oleh: F PX t dt Utuk - << Walpole da Myers, 995:87.. Jeis-jeis Fugsi Distribusi Bermacam-macam ugsi distribusi yag dapat diguaka meyataka pasaga ilai-pasaga ilai yag merupaka distribusi keluarga ekspoesial. Distribusi keluarga ekspoesial mempuyai tada kekeluargaa/ symbol keluarga, yaitu:

21 9 h c ep wi ti Dewi, 005:9. i Distribusi keluarga ekspoesial sediri terdiri dari beberapa ugsi distribusi, yaitu: ugsi distribusi deskrit terhigga, da ugsi distribusi kotiu tak terhigga.... Fugsi Distribusi Deskrit Fugsi distribusi dari suatu peubah acak X sembarag bermatra sebagai F P[X ] utuk semua, +. Peubah acak seperti itu disebut diskret, pada dasarya jika da haya jika utuk semua F P ' ' dega P ' > 0 Fugsi distribusi deskrit terhigga sediri ada beberapa macam, atara lai: a. Distribusi Beroulli Distribusi beroulli diperoleh dari percobaa Beroulli, yaitu suatu percobaa radom yag haya meghasilka dua keluara yag biasaya dikategorika sebagai sukses {S} da gagal {G}. utuk masig-masig percobaa kita medapatka : E j kejadia suatu percobaa ke-j da diselidiki hasiya S j {S,G}

22 0 b. Distribusi Biomial Distribusi biomial dihasilka da pegulaga percobaa Beroulli p sebayak m kali c. Distribusi Poisso Distribusi poisso adalah distribusi peluag peubah acak poisso X, yag meyataka bayakya sukses yag terjadi dalam suatu selag waktu atau daerah tertetu... Fugsi Distribusi Kotiu Disebut peubah acak kotiu mutlak bila ugsi distribusi F dapat diyataka sebagai y dy < < + Disii y meyataka ugsi padat peluag.p.p yaki meurut deiisi, y 0 utuk semua y da y dy Dalam hal ii disebut ugsi distribusi kotiu mutlak. Distribusi kotiu sediri juga mempuyai beberapa macam, atara lai: a. Distribusi Normal b. Distribusi Ekspoesial

23 c. Distribusi Gamma d. Distribusi Seragam e. Distribusi Beta. Distribusi Normal Baku g. Distribusi Khi Kuadrat h. Distribusi Weibul Dalam peelitia ii diokuska haya pada ugsi distribusi kotiu yag mecakup distribusi ormal, distribusi ekspoesial da distribusi gamma.. Fugsi Distribusi Kotiu.. Distribusi Normal Distribusi Normal adalah ugsi distribusi peubah acak ormal X, dega rataa µ da variasi σ. Betuk ugsi desitasya adalah: µ, σ e σ π [ µ / σ ] < < Distribusi ormal merupaka salah satu aggota keluarga ekspoesial, karea µ, σ e σ π [ µ / σ ] memeuhi syarat keluarga ekspoesial, yaitu

24 h c Teorema: ep wi ti Dewi, 005:5 i Distribusi Normal X µ, σ mempuyai rataa da variasi E X µ da Var X σ Walpole da Myers, 995 : 7.. Distribusi Ekspoesial Desitas distribusi ekspoesial berhubuga erat dega distribusi poisso, yaitu peubah acak kotiu berdistribusi ekspoesial dega parameter λ. t λ.e λ,t. Dimisalka λ dega meyataka variabel acak X mempuyai distribusi ekspoesial, jika dideiisika dega: e 0 Dimaa parameterya 0. Jadi, waktu sampai perubaha pertama dalam proses poisso mempuyai distribusi ekspoesial dega λ e 0 Distribusi ekspoesial merupaka salah satu aggota keluarga ekspoesial, karea

25 3 e memeuhi syarat keluarga ekspoesial, yaitu h c Teorema: ep wi ti Dewi, 005:6 i Distribusi Ekspoesial Ө mempuyai rataa da variasi: E X µ da Var X Ө Walpole da Myers, 995 : Distribusi Gamma Distribusi gamma adalah peubah acak kotiu X berdistribusi gamma, parameter a da β, bila ugsi desitasya berbetuk: β Γ e β > 0 Dimisalka β Ө sehigga mejadi, Γ e > 0 Distribusi gamma merupaka salah satu aggota keluarga ekspoesial, karea, Γ e memeuhi syarat keluarga ekspoesial, yaitu h c ep wi ti Dewi, 005:7 i

26 4 Teorema: Distribusi gamma, mempuyai rataa da variasi E X µ da Var X Walpole da Myers, 995 : 7.3 Estimasi Parameter.3. Pegertia Estimasi Parameter Melakuka estimasi berarti meakar keadaa parameter dega megguaka statistik. Dari sebuah populasi dapat diperoleh berbagai macam parameter, demikia juga dari suatu sample juga dapat dihitug statistikya. Oleh karea itu dega sebuah sample dapat ditaksir dega berbagai macam parameter, yag perlu diperhatika adalah bahwa statistik peaksir itu harus sejeis dega parameterya. Pada umumya estimasi parameter meempuh lagkah-lagkah sebagai berikut: a. Meetapka besara parameter yag aka diestimasi b. Memilih keragka estimasi, yaitu distribusi samplig yag sejeis dega besara parameter yag aka diestimasi c. Meetuka tara kepercayaa d. Proses perhituga e. Membuat kesimpula berdasarka proses perhituga

27 5 Statistik idukti atau ieresial adalah proses memperoleh iormasi dari data sampel yag diguaka utuk mearik kesimpula tetag populasi dari sampel yag dipilih. Tekik statistik idukti dapat dibagi dalam dua bagia besar, yaitu estimasi parameter da pegujia hipotesis. Namu, dalam pembahasa ii haya megeai estimasi parameter. Cara-cara megestimasi parameter ada tiga metode, yaitu metode Mome, metode bayes, da metode maksimum Likelihood. Suatu estimasi dari suatu parameter populasi adalah suatu ilai tuggal dari suatu titik Walpole da Myers, 995 : 6. Utuk lebih jelasya, jika X, X,..,X sebuah sampel radom yag besarya dari X, maka statistik X, X,..,X yag berhubuga dega disebut estimator. Perhatika bahwa estimator adalah sebuah variabel radom, karea estimator tersebut merupaka sebuah ugsi data sampel. Setelah sampel di pilih, diperoleh berdasarka ilai tertetu yag disebut estimasi tuggal. Proses pearika kesimpula dari suatu sampel disebut samplig. Salah satu alasa dasar utuk samplig adalah bahwa iormasi yag terkadug dalam sampel bergua utuk megestimasi parameter populasi Bruce da Cliord, 990:9..3. Jeis-Jeis Metode Estimasi Dalam estimasi parameter terdapat tiga metode estimasi, yaitu: metode mome, metode maksimum, da metode bayes.

28 6.3.. Metode Mome Dalam metode mome sediri terdiri dari dua macam, yaitu metode mome I da metode mome II. a. Metode mome Misalka,, sampel radom dari populasi dega desitas, k m, µ EX m, µ EX m k, µ k EX k b. Metode mome II Estimator metode mome ô,,ô k dari,, K didapat dega meyelesaika sistem persamaa m µ,, K m µ,, K m k µ K,, K

29 7.3.. Metode Maksimum Likelihood Sejauh ii metode maksimum likelihood adalah metode yag palig populer dalam meghasilka estimasi. Misalka X,...,, X, X 3 X adalah sampel da populasi dega desitas X Ө, Ө,, Ө dimaa parameter tuggal 0 tidak diketahui. Misalka X,...,, X, X 3 X mejadi ilai yag diobservasi didalam suatu sampel radom yag besarya, maka ugsi likelihood dideiisika sebagai: L X L,,..., X, X,..., X,,...,, i X i,..., Deiisi: Utuk setiap titik sampel, misalka adalah harga parameter dimaa L X sebagai ugsi dega megaggap X kosta mecapai maksimumya. estimasi maksimum likelihood dari parameter berdasarka sampel X adalah X Subaar, 996:3 Perhatika bahwa dari kostruksiya, jelajah dari estimasi maksimum likelihood berimpit dega jelajah dari parameter. Secara ituiti, estimasi maksimum likelihood adalah estimasi yag masuk akal, karea estimasi maksimum likelihood adalah titik parameter dega sampel terobservasi palig mugki terjadi.

30 8 Jika ugsi likelihood terdeiisika dalam maka calo estimasi maksimum likelihood yag mugki adalah harga-harga Ө, Ө,, Ө k sedemikia higga L X i 0; i,,..., k.4 Estimator Tak Bias Terbaik UMVUE Suatu estimasi titik dari suatu parameter populasi adalah suatu ilai tuggal dari suatu titik Walpole da Myers 995:6. Sehigga dapat dilakuka estimasi dega berbagai metode yag sudah tersedia. Tidak diharapka suatu estimator aka megestimasi parameter tapa kesalaha. Tidak beralasa megharapka X aka meaksir µ dega tepat, tetapi tetuya diharapka bahwa estimator yag dihasilka tidak terlalu jauh meyimpag. Agar dapat melakuka pemiliha metode estimasi parameter yag baik, maka diberika kriteria da syaratsyarat utuk medapatka estimator terbaik. Estimator terbaik adalah estimator yag bersiat tak bias da bervariasi miimum Sudjaa. 996:99 Deiisi: Statistik dikataka estimator tak bias parameter bila E Walpole da Myers, 995:388.

31 9 Deiisi: Estimator bervariasi miimum ialah estimator dega variasi terkecil diatara semua estimator utuk parameter yag sama. Jika da dua estimator Deiisi: utuk dimaa variasi utuk lebih kecil dari variasi utuk, maka merupaka peaksir bervariasi miimum Sudjaa,996:99. Estimator * T disebut estimator tak bias terbaik utuk * g bila ET g da utuk sebarag estimator lai T yag memeuhi ET g maka berlaku * VarT VarT utuk setiap. * T disebut estimator tak bias variasi miimum seragam atau a uio miimum variace ubiased estimator atau UMVUE da g Subaar, 996:36. Utuk meetuka estimator tak bias terbaik diperluka peagaa yag meyeluruh. Salah satuya adalah melalui batas bawah Rao Cramer Cramer-Rao Lower Boud / CRLB. Misalka dalam melakuka estimasi g dari desitas ditetuka estimator tak bias, kemudia dapat ditetuka batas bawah variasi dari setiap estimator tak bias. Katakalah b, maka setiap estimator tak bias yag mecapai batas bawah variasi ii adalah estimator tak bias terbaik dari g Subaar, 996:36.

32 0 Teorema: Jika T adalah sebuah estimator tak bias dari g, maka batas bawah Rao Cramer atau Cramer-Rao Lower Boud CRLB utuk variasi T pada sebuah sampel radom adalah, [ g' ] Var T E X, g ; g' Bai da Egelhardt, 99:305 Bukti: Diberika ugsi yag dideiisika dega u,...,,..., Juga dapat dituliska u,...,,...,,..., Jika dideiisika sebuah variabel radom U u,..., Ө, maka U... u,...,,..., d E... d......,..., d d...,...,... d d d d 0

33 Catat juga bahwa jika T l X,...,X adalah estimator tak bias utuk g, maka gө ET l,..., Ө,..., Ө d d Jika dideeresialka terhadap, maka g Ө l,..., Ө,..., Ө d d l,..., Ө u,...,,..., Ө d d E TU Megikuti E U 0,maka VarU E U da Cov T,U E TU Dega memakai ketaksamaa Cauchy-Schwrz, maka berlaku: [CovT,U] Var T Var U Bila ketaksamaa itu disusu kembali, aka didapatka batas bawah dari variasi T. Var T [ Cov T, U ] Var U Var T [ g' ] E X,..., X Ketika X,. X mewakili sebuah sampel radom,,..., Ө Ө,.. Ө Sehigga u,..., Ө i i

34 Dalam kasus ii, X E X Var U Var U E Jadi,..., ] ' [ X X E g T Var ] ' [ E g T Var Teroma terbukti. Yag perlu di ketahui, bahwa: X E X E Bai da Egelhardt 99:306. Sehigga ' ;, ] ' [ g g X E g T Var

35 3 BAB III PEMBAHASAN Dalam bab ii aka dibahas tetag aplikasi Teorema Batas Bawah Rao Cramer utuk meetuka estimator tak bias terbaik pada ugsi distribusi kotiu. Fugsi distribusi kotiu yag diambil dalam peelitia ii terbatas pada distribusi Normal, distribusi Ekspoesial da distribusi Gamma. 3. Distribusi Normal Pada bab sebelumya telah dijelaska bahwa ugsi distribusi peluag dari distribusi ormal dega parameter µ,σ adalah: µ, σ e σ π [ µ σ ] < < Estimator Maksimum Likelihood adalah ˆµ i i X Utuk meetuka estimator tak bias terbaik UMVUE dari µ, terlebih dulu aka ditetuka ilai dari: [ g' µ ], E X µ µ kemudia dibuktika bahwa estimator µˆ adalah estimator tak bias.

36 4 Jika estimator µˆ adalah estimator tak bias, maka lagkah selajutya adalah meetuka variasi dari estimator µˆ. Estimator tak bias terbaik UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mecapai batas bawah variasi. Batas Bawah Rao Cramer atau Cramer-Rao Lower Boud CRLB utuk variasi µ adalah, ' ;, ] ' [ ˆ µ µ µ µ µ µ g g X E g Var [ ] < < e, σ µ π σ σ µ [ ], σ µ π σ σ µ + e [ ] e e + + σ µ π σ π σ σ µ,, 0 0 0, σ σ µ µ σ µ σ σ µ µ σ µ σ σ µ µ +, σ σ µ µ E E

37 5 σ [ g' µ ] E X µ µ σ σ Pembuktia ketakbiasa estimator µˆ : ˆµ i i X E ˆ µ E X µ Karea E ˆ µ E X µ memeuhi syarat estimator tak bias yaitu E ˆ maka µˆ X adalah estimator tak bias. σ Var ˆ µ Var X Estimator tak bias µˆ X mecapai batas bawah variasi, yaitu : Var ˆ µ [ g' µ ] E X µ µ σ σ

38 6 Sehigga i i ˆµ X estimator tak bias terbaik UMVUE dari µ. 3. Distribusi Ekspoesial Pada bab sebelumya telah dijelaska bahwa ugsi distribusi peluag dari distribusi ekspoesial dega parameter adalah. e 0 Sedagka Estimator Maksimum Likelihood adalah ˆ i i X Utuk meetuka estimator tak bias terbaik UMVUE dari, terlebih dulu aka ditetuka ilai dari [ g' ], E X kemudia dibuktika bahwa estimator adalah estimator tak bias. Jika estimator adalah estimator tak bias maka lagkah selajutya adalah meetuka variasi dari estimator. Estimator tak bias terbaik UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mecapai batas bawah variasi.

39 7 Batas Bawah Rao Cramer atau Cramer-Rao Lower Boud CRLB utuk variasi adalah: ' ;, ] ' [ ˆ g g X E g Var 0 e e + e E E 3 3 E

40 8 [ g' ] E X Pembuktia ketakbiasa estimator : ˆ i i X E ˆ E i EX i Karea E ˆ E X memeuhi syarat estimator tak bias yaitu E ˆ, maka X adalah estimator tak bias. Var ˆ Var X Estimator tak bias X mecapai batas bawah variasi, yaitu Var ˆ [ g' ], g ; g' E X

41 9. Sehigga i ˆ i X estimator tak bias terbaik UMVUE dari. 3.3 Distribusi Gamma Pada sub bab sebelumya telah dijelaska bahwa ugsi distribusi peluag dari distribusi gamma dega parameter, adalah:, Γ e > 0 Sedagka Estimator maksimum Likelihood adalah ˆ i ˆ i Utuk meetuka estimator tak bias terbaik UMVUE dari,terlebih dulu aka di tetuka ilai dari [ g' ], E X kemudia dibuktika bahwa estimator adalah estimator tak bias.

42 30 Jika estimator adalah estimator tak bias maka lagkah selajutya adalah meetuka variasi dari estimator. Estimator tak bias terbaik UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mecapai batas bawah variasi. Batas Bawah Rao Cramer atau Cramer-Rao Lower Boud CRLB utuk variasi adalah ' ;, ] ' [ ˆ g g X E g Var e e + + Γ > Γ, 0, e e + Γ + + Γ + + Γ, 3,, 0 0, , E E

43 3 3 3 E ] ' [ E X E g Pembuktia ketakbiasa estimator : ˆ ˆ i i ˆ ˆ E E i i

44 3 X E E i i Karea ˆ E memeuhi syarat estimator tak bias yaitu ˆ E, maka adalah estimator tak bias. ˆ ˆ Var Var i i ˆ X Var X Var

45 33 Estimator tak bias mecapai batas bawah variasi, yaitu Var ˆ [ g' ] E X Sehigga i ˆ i estimator tak bias terbaik UMVUE dari. ˆ

46 34 BAB IV PENUTUP 4. Kesimpula Dari hasil pembahasa pada bab-bab sebelumya dapat diambil kesimpula bahwa: Suatu distribusi dikataka distribusi keluarga ekspoesial, apabila ugsi distribusi tersebut dapat diyataka sebagai: h c ep wi ti Subaar, 996:3. i Dega h 0; t i ugsi real ;c 0 ; da w i ugsi real dari. Jika diberika sampel radom X, X,,..., X, sampel da populasi yag berdistribusi idetik da idepede, maka dapat dilakuka estimasi parameter distribusi ugsi kotiu. Utuk meetuka ukura kebaika suatu estimator, yaitu estimator tak bias terbaik UMVUE pada distribusi ugsi kotiu, dapat diguaka Teorema Cramer- Rao Lower Boud. Terlebih dulu aka ditetuka ilai dari [ ' ] g, E X

47 35 kemudia dibuktika bahwa estimator adalah estimator tak bias. Jika estimator adalah estimator tak bias, maka lagkah selajutya adalah meetuka variasi dari estimator. Estimator tak bias terbaik UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mecapai batas bawah variasi. Batas bawah Rao Cramer atau Cramer-Rao Lower Boud CRLB utuk variasi adalah, Var ˆ [ g' ], g ; g' E X Beberapa estimator distribusi kotiu yag didasarka pada estimasi parameter mecapai batas bawah Rao Cramer sehigga merupaka estimator tak bias terbaik UMVUE yaitu ormal, ekspoesial da gamma. 4. Sara Pada distribusi ugsi kotiu dapat ditetuka estimator tak bias terbaik UMVUE dega megguaka teorema Cramer-Rao Lower Boud, tetapi kemugkia ada aggota baru yag merupaka distribusi ugsi kotiu selai yag tertera pada pembahasa da distribusi yag lai yag juga dapat ditetuka estimator tak bias terbaikya dega teorema Cramer-Rao Lower Boud. Selai itu utuk aggota keluarga ekspoesial yag buka merupaka estimator tak bias terbaik UMVUE da aggota baru yag merupaka distribusi keluarga ekspoesial, dapat dilakuka estimasi parameter dega metode lai.

48 36 Oleh karea itu, jika ada yag tertarik utuk megkajiya, maka disaraka utuk membahasya pada aggota baru yag merupaka keluarga ekspoesial, pada distribusi yag buka keluarga ekspoesial da melakuka estimasi parameter dega metode lai utuk aggota keluarga ekspoesial yag buka merupaka estimator tak bias terbaik UMVUE da aggota baru yag merupaka distribusi keluarga ekspoesial.

49 37 DAFTAR PUSTAKA Bai, L.J da, M. 99. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics. Calioria: Dubury Press. Boedioo da Koster, Waya. 00. Teori da Aplikasi Statistika da Probabilitas. Badug: Remaja Rosdakarya. Bruce da Clliord Mathematical Statistics. Calioria: Dubury Press. Dewi Estimasi Parameter Distribusi Keluarga Ekspoesial dega Megguaka Metode Maksimum Likelihood. Malag: UMM. Djarwato, Ps da Subagyo.996. Statistik Idukti. Yogyakarta: BPFE. Sudjaa Metoda statistika. Badug: Tarsito. Subaar.99. Prohabilitas, Variabel Radom, da Proses Stokastik. Yogyakarta: UGM. Subaar.996. Statistik malematika II. Yogyakarta: UGM. Walpole da Myers Ilmu Peluag da Statistika utuk Isiyur da ilmuwa. Badug: ITB. Estimasi Parammeter. Mercubuaa.ac.id. Diakses Taggal 9 juli 009