HANDOUT STATISTIKA LANJUT MAA 315. Oleh : Kismiantini, M.Si. NIP

Transkripsi

1 HANDOUT STATISTIKA LANJUT MAA 35 Oleh : Ksmantn, M.S. NIP JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI OGAKARTA 0

2 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk : Analss Korelas Analss korelas adalah analss statstka yang memahas tentang derajat (kekuatan) huungan antara peuah-peuah. Koefsen korelas lnear mengukur kekuatan huungan lnear antara peuah dan. Koefsen korelas lnear serngkal dseut juga dengan koefsen korelas Pearson (dtemukan oleh Karl Pearson pada tahun ). Rumus koefsen korelas lnear populas = Rumus koefsen korelas lnear sampel = (a) Korelas postf () Korelas postf yang kuat (c) Korelas postf sempurna antara dan antara dan antara dan

3 (d) Korelas negatf (e) Korelas negatf yang kuat (f) Korelas negatf sempurna antara dan antara dan antara dan (g) Tdak ada korelas antara dan (h) Huungan nonlnear antara dan Koefsen Determnas ag sampel (r ) Nla r menyatakan persentase keragaman yang dapat djelaskan oleh huungan lnear antara dan. Contoh : Data erkut adalah tentang anyaknya keketdakhadran dan nla akhr dar tujuh mahasswa yang dplh secara acak dar suatu kelas Statstka. Mahasswa A B C D E F G Banyaknya ketdakhadran () Nla Akhr () a) Buatlah dagram pencar dar data terseut. ) Tentukan koefsen korelas dan maknanya. c) Tentukan koefsen determnas dan maknanya.

4 Penyelesaan: a) Dagram pencar ag dan, terlhat ahwa ttk-ttk data mengkut arah gars lurus. 90 Scatterplot of vs ) Koefsen korelas r = -0,944 artnya ada korelas negatf yang kuat antara anyaknya ketdakhadran dan nla akhr, semakn anyak ketdakhadran maka semakn menurun nla akhrnya c) Koefsen determnas r = 0,89, artnya seesar 89,% keragaman nla akhr yang dapat djelaskan oleh huungan lnear antara anyaknya ketdakhadran dan nla akhr. Pengujan Korelas Populas Nla koefsen korelas antara - dan +. Bla nla r dekat + atau - maka ada huungan lnear yang kuat. Bla nla r dekat 0 maka huungan lnear tu lemah. Bla r samadengan 0 maka tdak ada huungan lnear antara dua peuah terseut. Pengujan Hpotess untuk sgnfkans huungan lnear antara dua peuah.. Hpotess H 0 : =0 (Tdak ada korelas antara dan ) H : 0 (Ada korelas sgnfkan antara dan ). Taraf nyata: α 3. Statstk Uj: = 4. Krtera Keputusan H 0 dtolak jka > () 3

5 Hpotess Nol Hpotess Alternatf Statstk Uj Krtera Keputusan H 0 : =0 H : 0 = H 0 dtolak jka > () H 0 : =0 H : <0 H 0 dtolak jka t < - t α(n-) H 0 : 0 H 0 : =0 H 0 : 0 H : >0 H 0 dtolak jka t > t α(n-) Lathan Pada soal-soal erkut, a. Tentukan mana yang seaga peuah eas dan peuah tak eas. Buatlah dagram pencar c. Tentukan koefsen korelas dan maknanya d. Tentukan koefsen determnas dan maknanya e. Apakah ada huungan lnear antara kedua peuah terseut? Gunakan α = f. Apakah ada huungan lnear postf antara kedua peuah terseut? Gunakan α = Seorang penddk ngn mengetahu huungan antara nla skor tes dan nla IPK dar mahasswa. Berkut data sampel. Nla skor tes IPK,,4 3,,7,,3 3,8 3,4. Seorang penelt ngn mengetahu apakah ada huungan antara umur dengan lamanya seseorang melakukan olahraga per mnggu. Berkut data sampelnya. Umur Lamanya olahraga (jam) 0 5 3,5 3. Seorang manajer perusahaan ngn mengetahu huungan antara anyaknya klan d rado per mnggu dan anyaknya penjualan (dalam jutaan rupah) untuk suatu arang. Berkut data sampelnya. Banyaknya klan d rado Banyaknya penjualan Empatelas mahasswa telah dplh secara acak dan dperksa tekanan darahnya. Berkut data tekanan darah sstolk dan dastolk (dalam mmhg). Sstolk Dastolk

6 Topk : Analss Regres Lnear Sederhana Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Analss regres adalah analss statstka yang memanfaatkan huungan antara dua atau leh peuah kuanttatf sehngga salah satu peuah dapat dramalkan dar peuah lannya. Model Regres Lnear Sederhana dengan adalah nla peuah tak eas dalam pengamatan ke- β 0 dan β adalah parameter adalah konstanta yang dketahu, yatu nla peuah eas dar pengamatan ke- ε adalah galat yang ersfat acak dengan rataan E[ε ]=0 dan ragam Var [ε ]=σ ; ε dan ε j tdak erkorelas sehngga peragam/kovarans σ {ε, ε j } =0 untuk semua,j ; j Model regres lnear sederhana: Dkatakan sederhana karena hanya ada satu peuah eas. Dkatakan lnear dalam parameter karena tdak ada parameter yang muncul seaga suatu eksponen atau dkalkan atau dag oleh parameter lan. Dkatakan lnear dalam peuah eas karena peuah dalam model terseut erpangkat satu. Model yang lnear dalam parameter dan lnear dalam peuah eas juga dnamakan model ordo-pertama. Bla sudah dperoleh data sampel (, ), selanjutnya hal yang pentng adalah memuat dagram pencar antara dan untuk mengetahu pola dar data. Bla pola data menunjukkan lnear maka model regres lnear sederhana dapat dgunakan. Perhatkan gamar erkut. 90 Scatterplot of vs (a) () 5

7 (c) (d) 3,848,60 e (ssaan ke-) adalah eda antara nla amatan dengan nla dugaannya Bagamana mendapatkan 0 dan? Penduga ag β 0 dan β dapat dperoleh dengan metode kuadrat terkecl, yatu dengan memnmumkan jumlah kuadrat galat. Msalkan model regres lnear sederhana d dengan ε ~ N ( 0, σ ) maka. n n n ε = = = = ( E( )) = ( Selanjutnya dturunkan terhadap masng-masng parameter. L = β 0 L = β n = n = ( ( β + β )) 0 ( ( β + β )) 0 = 0 ( β + )) = L = 0 0 β Penduga ag β 0 adalah 0 dan penduga ag β adalah yang dperoleh dengan kedua persamaan terseut. Sehngga dperoleh = n, ( ) 0 = n n = ( ) =. menyelesakan 6

8 Makna dugaan koefsen regres Msalkan ngn mengetahu huungan jarak tempuh kendaraan mol dalam km () dengan tngkat emsnya dalam ppm (). Plot data ternyata menunjukkan ada huungan lnear antara dan Dcoakan model lnear = β 0 + β + ε, dperoleh persamaan regres ˆ = , 47. Apa makna 0 dan pada konteks n? Makna dar yatu rata-rata ems menngkat 5,47 ppm untuk setap kenakan jarak tempuh kendaraan mol km (atau kenakan jarak tempuh kendaraan mol km akan menngkatkan ratarata ems yang dhaslkan mol seesar 5,47 ppm). Makna dar 0 yatu untuk mol dengan jarak tempuh kendaraan mol 0 km (mol aru) maka rata-rata tngkat ems yang dhaslkan seesar 364 ppm. 0 tdak selalu ermakna SOAL LATIHAN. Berkut data sampel tentang nla mutu rata-rata (NMR) mahasswa pada akhr tahun pertama () dan nla ujan masuk () ,5 4,8 4,7 3,9 4,5 6, 6,0 5, 4,7 4,3 4,9 5,4 5,0 6,3 4,6 4,3 5,0 5,9 4, 4,7 3,,3 3,0,9,5 3,7 3,4,6,8,6,0,9,3 3,,8,4,0 3,8,,5 a) Buatlah dagram pencar dan. ) Tentukan persamaan regres dugaannya eserta maknanya.. Data erkut merupakan hasl peneltan tentang huungan antara nla ulangan Matematka (dalam skala nla 0 sampa 00) dengan lama waktu elajar matematka (dalam jam selama semnggu) Nla ulangan matematka Lama waktu elajar matematka a) Tentukan peuah mana seaga peuah eas dan peuah tak eas. ) Tentukan persamaan regres dugaan dan erkan makna dugaan koefsen regresnya. 3. Suatu peneltan telah dlakukan untuk mengetahu huungan antara pengeluaran untuk klan ( dalam jutaan rupah) dengan penermaan melalu penjualan ( dalam jutaan rupah) pada perusahaan tertentu. Berkut rngkasan datanya : n = 0, = 0, = 500, = 606, = 470, = 5440 a) Tentukan persamaan regres dugaan! Berkan maknanya. ) Bla pengeluaran untuk klan seesar 6 juta rupah, erapakah penermaan dar hasl penjualan? 7

9 4. Tael n menunjukkan skor tes penalaran veral () dan skor tes Inggrs (), untuk setap sampel acak dar 8 anak yang mengkut kedua tes terseut: Anak A B C D E F G H a) Plot data dengan dagram pencar. Berkan penjelasan dar plot terseut. ) Tentukan persamaan regres lnear dugaan dan erkan maknanya 8

10 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 3 : Asums-asums dalam Analss Regres Lnear Sederhana Model regres lnear sederhana ergalat normal = β 0 + β + ε dengan 0 dan adalah parameter adalah konstanta yang dketahu nlanya adalah galat yang menyear N(0, ) dan eas satu sama lan Asums-asums dalam analss regres lnear sederhana adalah a. Galat memlk ragam yang konstan. Galat menyear normal c. Galat ersfat salng eas Penyeldkan terpenuh atau tdak asums-asums terseut dengan menggunakan analss ssaan. Ssaan atau nla dugaan galat ddefnskan seaga e = Galat memlk ragam yang konstan Pendeteksan apakah galat memlk ragam yang konstan atau tdak dengan menggunakan: a. Plot ssaan (e ) dengan nla dugaan ( ). Plot ssaan (e ) dengan peuah eas ( ) Krteranya : Bla ssaan-ssaan tdak mementuk suatu pola tertentu maka galat memlk ragam yang konstan. Perhatkan gamar erkut. (a) Galat memlk ragam konstan (tdak erpola) () Galat tdak memlk ragam konstan (erpola) Galat menyear normal Pendeteksan apakah galat menyear normal atau tdak dengan menggunakan plot peluang normal. Plot peluang normal ag ssaan yatu plot e versus h. Cara memuat plot peluang normal ag ssaan:. Menghtung nla ssaan, lalu durutkan dar kecl ke esar, selanjutnya dseut ssaan terurut. Menghtung h (nla harapan d awah asums kenormalan) dengan rumus 9

11 h = KTG z 0,375 n+0,5 KTG = JKG n, JKG = 0 Krteranya: la ttk-ttk (ssaan-ssaan) mengkut arah gars dagonal maka galat menyear normal. Perhatkan contoh erkut: Dar data sampel n dperoleh Ŷ = 0 + dengan KTG = 7,5. Selanjutnya akan duat plot peluang normal ag ssaan seaga erkut. Ŷ e Urutan nak e terurut z 0,375 n + 0, , , , , , , , , , ,4 h Gamar dsampng menunjukkan ahwa galat menyear normal karena ttk-ttk mengkut arah gars dagonal. Galat salng eas a. Bla data tdak damat secara ersamaan, melankan dalam suatu urutan waktu maka uatlah plot ssaan (e ) terhadap waktu. Tujuan adalah untuk melhat apakah ada korelas antara suku galat dengan suku galat erkutnya.. Bla data damat ersamaan, untuk melhat keacakan galat percoaan duat plot antara nla dugaan galat (e ) dengan nla dugaan respons ( Ŷ ) 0

12 Krteranya : apala ttk-ttk ssaan erfluktuas secara acak d sektar nol maka dapat dkatakan ahwa galat salng eas. Perhatkan gamar erkut. (a) () Gamar (a) Plot waktu versus ssaan menunjukkan ahwa ttk-ttk ssaan tdak erfluktuas secara acak dsektar nol maka galat tdak salng eas. Gamar () Plot nla dugaan versus ssaan menunjukkan ahwa ttk-ttk ssaan erfluktuas secara acak dsektar nol maka galat salng eas.

13 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 4 : Inferens dalam Analss Regres Lnear Sederhana Inferens terhadap a. Selang Kepercayaan ag Dketahu ahwa t s P t s ~ n, sehngga t n ; ; n P tα (n )s β + tα (n )s = α dengan s = KTG n Jad selang kepercayaan 00(-) ag adalah tα (n )s β + tα (n )s Msalkan dperoleh selang kepercayaan 95% ag,89, Artnya dduga ahwa rata-rata nak sektar antara,89 sampa, satuan untuk setap kenakan satu satuan.. Uj ag Uj ag =0 lawan 0 Hpotess H 0 : =0 (Tdak ada huungan lnear antara dan ) H : 0 (Ada huungan lnear antara dan ) Taraf nyata : Statstk Uj: Sumer d JK KT F ht Keragaman Regres JKR KTR F = KTR/KTG Galat n JKG KTG Total n JKT Krtera keputusan: H 0 dtolak jka F ht > F (, n )

14 Perhatkan smpangan total erkut: ˆ ˆ Jumlah kuadrat smpangan-smpangan terseut : JKT JKG ˆ ˆ JKT n JKR JKT JKG 0 n JKR JKR = JKG n n Hpotess Nol H 0 : = c H 0 : c H 0 : = c H 0 : c H 0 : = c Hpotess Alternatf H : c H : > c H : < c Statstk Uj t = c s Krtera keputusan H 0 dtolak jka t ht > tα n H 0 dtolak jka t ht > t α n H 0 dtolak jka t ht < t α n Inferens terhadap 0 a. Selang Kepercayaan ag Dketahu ahwa t s P t ; 0 ~ n, sehngga 0 0 t n ; n s 0 P 0 tα (n )s 0 β tα (n )s 0 = α dengan s 0 = KTG n + Jad selang kepercayaan 00(-) ag 0 adalah 0 tα (n )s 0 β tα (n )s 0 n 3

15 Msalkan dperoleh selang kepercayaan 90% ag 0 5,34 0 4,66 Artnya dduga ahwa rata-rata sektar antara 5,34 sampa 4,66 satuan untuk seesar 0. Selang kepercayaan ag 0 n tdak selalu memerkan nformas yang ermanfaat.. Uj ag 0 Uj ag 0 =0 lawan 0 0 Hpotess H 0 : 0 =0 H : 0 0 Taraf nyata : Statstk Uj: t = 0 s 0 Krtera keputusan: H 0 dtolak jka t ht > tα n Selang kepercayaan ag E h h tα (n ) s h E h h + tα (n )s h dengan s h = KTG n + h h = 0 + h Msalkan dperoleh selang kepercayaan 90% ag E h dengan h = 65 77,4 E h 3,4 Maknanya dengan tngkat kepercayaan 90% maka rata-rata untuk seesar 65 adalah 77,4 sampa 3,4 satuan. Selang predks ag h(aru) h tα s pred (n ) h(aru ) h + tα (n ) s pred dengan s pred = KTG + n + h h = 0 + h 4

16 Msalkan dperoleh selang predks 90% ag h(aru ) dengan h = 00 adalah 33, h(aru ) 506,6 Maknanya dengan tngkat kepercayaan 90% dapat dpredkskan ahwa rata-rata untuk proses erkutnya pada seesar 00 adalah 33, sampa 506,6 satuan. SOAL LATIHAN. Data erkut merupakan hasl peneltan tentang huungan antara nla ulangan Matematka (dalam skala nla 0 sampa 00) dengan lama waktu elajar matematka (dalam jam selama semnggu). Nla ulangan matematka Lama waktu elajar matematka a) Tentukan peuah mana seaga peuah eas dan peuah tak eas! Anggap asums-asums dalam model regres lnear sederhana terpenuh. ) Tentukan selang kepercayaan 99% ag 0 dan eserta maknanya! c) Ujlah apakah ada huungan lnear antara lama waktu elajar matematka dan nla ulangan matematka? Gunakan taraf nyata = 0,0. d) Ujlah apakah = 5 lawan 5? Gunakan taraf nyata = 0,0. e) Ujlah apakah 0 = 0 atau tdak? Gunakan taraf nyata = 0,0. f) Tentukan selang predks 95% ag h(aru) dengan h = 5. Suatu tes derkan pada semua mahasswa aru. Seseorang yang memperoleh nla d awah 35 tdak dznkan mengkut kulah matematka yang asa, tetap harus mengkut suatu kelas khusus (remedal class). Berkut rngkasan data dar nla tes dan nla akhr ag 0 mahasswa yang mengkut kulah matematka yang asa: = 0; = 73; = 67690; = 6700; = 7475 a. Tentukan peuah mana seaga peuah eas dan peuah tak eas!. Tentukan persamaan regres dugaan! c. Bla 60 adalah nla terendah agar lulus dar pelajaran matematka terseut, erapakah atas nla tes terendah d masa mendatang untuk dapat dznkan mengkut kulah terseut? Anggap asums-asums dalam model regres lnear sederhana terpenuh. d. Ujlah apakah ada huungan lner antara nla tes dan nla akhr? Gunakan taraf nyata 0,05. e. Tentukan selang kepercayaan 95% ag 0 dan eserta maknanya. f. Tentukan selang kepercayaan 95% ag E h dengan h = 75 eserta maknanya. 5

17 3. Suatu percoaan dlakukan pada jens mol aru merk tertentu, untuk menentukan jarak yang dutuhkan untuk erhent la mol terseut drem pada eraga kecepatan. Data yang dperoleh seaga erkut: Kecepatan (klometer per jam) Jarak sampa erhent (meter) a. Tentukan peuah mana seaga peuah eas dan peuah tak eas!. Tentukan persamaan regres dugaan dan erkan makna dugaan koefsen regresnya! Anggap asums-asums dalam model regres lnear sederhana terpenuh. c. Tentukan selang kepercayaan 95% ag dan erkan maknanya! d. Tentukan selang kepercayaan 95% ag 0 dan erkan maknanya! e. Ujlah apakah ada huungan lnear antara kecepatan dan jarak sampa erhent? Gunakan taraf nyata = 0,05. f. Ujlah apakah postf? Gunakan taraf nyata = 0,05. Analss Varans Uj F untuk Ketdakcocokkan Model Regres Lnear Sederhana Uj n mengasumskan ahwa pengamatan-pengamatan untuk suatu tertentu ersfat eas, tersear normal, memlk ragam yang sama. Uj n menghendak adanya pengamatan erulang pada satu atau leh nla. Hpotess H 0 : E{} = 0 + H : E{} 0 + Atau H 0 : Tdak ada ketdakcocokan model regres lnear sederhana dengan data H : Ada ketdakcocokan model regres lnear sederhana dengan data Atau H 0 : Model regres lnear sederhana cocok H : Model regres lnear sederhana tdak cocok Taraf nyata: Statstk Uj : J KKM F JKGM k n k Krtera keputusan : H 0 dtolak jka F ht > F α(k-,n-k) k= menyatakan anyaknya x yang ereda n = anyaknya pengamatan 6

18 Perhatkan erkut n: ˆ ˆ j j JKG j JKGM j j JKKM j Contoh: Lakukan uj kecocokan model regres lnear sederhana dengan taraf nyata 0,05 pada data sampel erkut j Hpotess H 0 : E{} = 0 + H : E{} 0 + Taraf nyata : = 0,05 Statstk Uj : F = KTKM/KTGM Krtera keputusan: n=, k=6, d(km)=k-=6-=4,d(gm)=n-k=-6=5 F 0,05(4,5) =5,9 H 0 dtolak jka F ht > 5,9 Htungan: JKG=70696-(50,7588)-(0, )=474 JKGM=(8-35) +(4-35) +(-4) +(36-4) +(60-55) +(50-55) +(5-5) +(56-40) +(4-40) +(4-4) +(04-4) =48 JKKM=JKG-JKGM=474-48=3594 F=(3594/4)/(48/5)=4,80 Kesmpulan : Karena F ht =4,80>5,9 maka H 0 dtolak Jad dengan taraf nyata 0,05 dapat dsmpulkan ahwa model regres lnear sederhana tdak cocok dgunakan. 7

19 SOAL LATIHAN Seorang kmawan mempelajar huungan konsentras suatu larutan () dengan waktu (). Berkut data sampel yang dperoleh: 9 0,07 9 0, , ,6 a. Tentukan persamaan regres lnear dugaan. Lakukan uj F untuk memerksa apakah ada ketdakcocokan model la dgunakan model regres lnear sederhana, gunakan taraf nyata 0,05. c. Buatlah dagram pencar antara dan , , 7 5 0, , ,53 0 3, 3,5 3,07 3,84 4,57 5 3,0 8

20 9 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 5 : Pendekatan Matrks terhadap Analss Regres Lnear Sederhana Perhatkan kemal model regres lnear sederhana erkut = β 0 +β +ε Bla daml seanyak n maka dperoleh n n n ε β β ε β β ε β β + + = + + = + + = M Dalam notas matrks dtulskan seaga erkut + = n n n ε ε ε β β M M M M 0 atau ε β + = n n n Perhatkan ahwa β adalah vektor nla-nla harapan ag amatan-amatan sea E{ }= β 0 +β, sehngga { } = β n n E Asums : ε adalah suatu vektor peuah acak normal yang eas dengan E{ε } = 0 dan = Persamaan normal regres lnear sederhana : + = + = Dtuls dalam notas matrks = = = n n n n M K K M M K K 0

21 0 = = n n n M M K K ' = = n n M K K ' ( ) ( ) = n n ' Uj terhadap β Untuk menguj apakah ada huungan lnear antara dengan, dlakukan pengujan erkut : Hpotess : H 0 : β = 0 H : β 0 Taraf nyata : α Statstk Uj : = Krtera Keputusan : H 0 dtolak jka F ht > F α(,n-) '' = ' JKG, J ' ' = n JKT, = ', ( ) = J ' = L M M M L J Selang Kepercayaan ag β k ( ) { } ( ) { } k n k k k n k s t s t, /, / + α α β { } ( ) = ' KTG s, { } { } { } { } { } = 0 0 0,, s s s s s

22 SOAL LATIHAN. Suatu percoaan telah dlakukan untuk menentukan apakah erat seekor kamng (dalam klogram) dapat dpredkskan (setelah pada perode tertentu) erdasarkan jumlah makanan yang dmakan (dalam klogram). Berkut data yang telah dnyatakan dalam notas matrks ' =, ' =, 376 = [ 70083], ' ' J = [ 68065] Anggap asums-asums dalam model regres lnear sederhana terpenuh. a) Tentukan persamaan regres dugaan eserta maknanya. ) Bla jumlah makanan seekor kamng seesar 300 kg, erapakah predks erat kamng terseut? c) Buatlah selang kepercayaan 99% ag β dan erkan maknanya. d) Tentukan koefsen korelasnya.. Data erkut merupakan hasl peneltan tentang huungan antara nla ulangan Matematka (dalam skala nla 0 sampa 00) dengan lama waktu elajar matematka (dalam jam selama semnggu). Nla ulangan matematka Lama waktu elajar matematka a) Tentukan peuah mana seaga peuah eas dan peuah tak eas! Anggap asums-asums dalam model regres lnear sederhana terpenuh. ) Tentukan selang kepercayaan 99% ag β 0 dan β eserta maknanya! c) Ujlah apakah ada huungan lnear antara lama waktu elajar matematka dan nla ulangan matematka? Gunakan taraf nyata α = 0,0.

23 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 6 : Analss Regres Lnear Ganda Analss regres lnear ganda adalah analss statstka yang dgunakan untuk mengetahu huungan lnear antara satu peuah tak eas dengan eerapa peuah eas (,,, p- ). Model regres lnear ganda p p, 0 dengan : 0,,, p- adalah parameter,,,p- adalah konstanta yang dketahu nlanya salng eas dan menyear N(0, ) =,,, n Persamaan Normal p p p p p p p p p p p p n Persamaan regres dugaan, 0 ˆ p p n n n n n ' n n n ' ' '

24 Memakna Persamaan Regres Dugaan Msalkan : Ingn mengetahu apakah volume penjualan (, gros) erhuungan dengan jumlah penduduk (, ruan jwa) dan pendapatan per kapta (, dolar). Dperoleh persamaan regres dugaannya alah ˆ 3,453 0,496 0, 0090 Persamaan n menunjukkan ahwa rataan volume penjualan dharapkan akan nak 0,496 gros la jumlah penduduk nak ru jwa kalau pendapatan per kapta tetap, dan ahwa rataan volume penjualan dharapkan akan nak 0,009 gros la pendapatan per kapta nak dolar kalau jumlah penduduk tetap. Bla jumlah penduduk seesar 0 jwa dan pendapatan per kapta 0 dollar maka rata-rata volume penjualan seesar 3,453 gros (tdak ermakna). Uj terhadap Huungan Regres Untuk menguj apakah peuah tak eas erhuungan dengan peuah-peuah eas (,,, p- ), dlakukan pengujan erkut : Hpotess : H 0 : = = = p- =0 H : Tdak semua k (k=,,,p-)sama dengan nol Taraf nyata : Statstk Uj : JKR p F = JKG n p Krtera Keputusan : H 0 dtolak jka F ht > F (p-,n-p) JKT ' ' J, JKG ' ' ' n Uj terhadap k Hpotess Nol H 0 : k = c H 0 : k c H 0 : k = c H 0 : k c H 0 : k = c Hpotess Alternatf H : k c H : k > c H : k < c Statstk Uj t = k c s k Krtera keputusan H 0 dtolak jka t ht > tα n p H 0 dtolak jka t ht > t α n p H 0 dtolak jka t ht < t α n p s KTG' 3

25 s s s 0 s 0, s 0, p s, 0 s s, p, s, s p 0 p p Selang kepercayaan ag k k tα (n p )s k β k k + tα (n p )s k Makna Selang Kepercayaan ag k Msal dperoleh selang kepercayaan 95% ag β adalah 0,08,773 Artnya dengan tngkat kepercayaan 95% dduga ahwa rata-rata nak sektar antara 0,08 sampa,773 satuan untuk setap kenakan satu satuan la tetap. Selang Kepercayaan Serempak ag k Selang kepercayaan ersama Bonferron dapat dgunakan untuk menduga eerapa koefsen regres secara serempak. Jka g uah parameter akan dduga secara ersamaan (asalkan g p), maka atas-atas kepercayaan serempak dengan tngkat kepercayaan - adalah k dengan B s B t k n p g k k B s k Makna Selang Kepercayaan Serempak Msalkan : Ingn mengetahu apakah volume penjualan (, gros) erhuungan dengan jumlah penduduk (, ruan jwa) dan pendapatan per kapta (, dolar). Dperoleh selang kepercayaan serempak 90% seaga erkut : (g=) 0,483 0,509; 0,007 0,03 Selang kepercayaan serempak n mengndkaskan ahwa dan keduanya postf, hal n sesua harapan teorts ahwa volume penjualan memang harus nak jka jumlah penduduk nak dan pendapatan per kapta nak, tentu saja asalkan peuah-peuah lan dpertahankan konstan. 4

26 Koefsen Determnas Ganda (R ) R = JKR/JKT = - (JKG/JKT) Koefsen n mengukur propors pengurangan keragaman total d dalam akat dgunakannya peuah-peuah eas,,, p-. Sfat koefsen determnas ganda : 0 R. R akan ernla 0 la semua k = 0 (k=,,p-). R akan ernla la semua amatan erada tepat pada permukaan respons dugaannya, = Ŷ untuk semua. Koefsen determnas ganda terkoreks (R a ) Penamahan leh anyak peuah eas ke dalam model selalu akan menakkan nla R tdak pernah menurunkannya, sea JKG tdak pernah menjad leh esar la peuah easnya leh anyak, sedangkan JKT tdak akan eruah la data responsnya tetap sama. Karena R serng sa duat esar dengan cara menyertakan peuah eas, maka ada yang menyarankan agar ukuran n dmodfkas untuk mempertmangkan anyaknya peuah eas d dalam model. Koefsen determnas ganda terkoreks R a JKG JKT n p n JKG n n p JKT Memakna Koefsen Determnas Ganda Msalkan : Ingn mengetahu apakah volume penjualan (, gros) erhuungan dengan jumlah penduduk (, ruan jwa) dan pendapatan per kapta (, dolar) Dperoleh R = 0,9989, artnya la kedua peuah salng eas, jumlah penduduk dan pendapatan per kapta kut dperhtungkan maka keragaman volume penjualan dapat dkurang seanyak 99,9%. atau seesar 99,9% keragaman dar volume penjualan yang dapat djelaskan oleh jumlah penduduk dan pendapatan per kapta. Koefsen Korelas Ganda Koefsen korelas ganda R adalah akar kuadrat postf dar R R R Uj F untuk Kecocokan Model Regres Lnear Ganda Uj n mengasumskan ahwa pengamatan-pengamatan untuk suatu tertentu ersfat eas, tersear normal, memlk ragam yang sama. Uj n menghendak adanya pengamatan erulang pada satu atau leh nla. 5

27 Hpotess H 0 : E{} = p- p- H : E{} p- p- Atau H 0 : Tdak ada ketdakcocokan model regres lnear ganda dengan data H : Ada ketdakcocokan model regres lnear ganda dengan data Atau H 0 : Model regres lnear ganda cocok H : Model regres lnear ganda tdak cocok Taraf nyata: Statstk Uj: JKKM F JKGM k n p k Krtera Keputusan H 0 dtolak jka F ht > F α(k-p,n-k) Dengan j j JKGM, JKG ' ' ', JKKM JKG JKGM Contoh Perhatkan data tentang kesukaan merk erkut : derajat kesukaan terhadap merk, : kandungan uap ar, : kemansan produk k = 8, JKG = 94,3, Ŷ = 37, ,45 + 4,375 Ujlah ketdakcocokan model regres lnear ganda dengan taraf nyata 0,0. j j 4 64; ; ; ;

28 Hpotess H 0 : E{} = H : E{} Taraf nyata : = 0,0 Statstk Uj: JKKM k p F JKGM n k Krtera keputusan: n=6, k=8, d(km)=k-p=8-3=5,d(gm)=n-k=6-8=8, F 0,05(5,8) = 3,69 H 0 dtolak jka F ht > 3,69 Htungan: SOAL LATIHAN. Suatu peneltan telah dlakukan untuk mengetahu huungan antara persentase kehadran mahasswa ( ) dan lama elajar dalam jam per mnggu ( ) terhadap nla akhr ujan suatu mata kulah (). Seanyak 30 mahasswa telah dplh secara acak untuk menjad suyek peneltan. Dketahu : 9, ,358 0, ,358 0, , , 06000, 980, 5674, 0, ,0005 0, , , a) Tentukan persamaan regres dugaan dan erkan maknanya. ) Bla danggap asums-asums dalam analss regres lnear ganda terpenuh, ujlah apakah ada huungan antara persentase kehadran mahasswa dan lama elajar dalam jam per mnggu terhadap nla akhr ujan suatu mata kulah. Gunakan = 0,05. c) Tentukan selang kepercayaan 95% ag dan maknanya. d) Buatlah selang kepercayaan serempak 95% ag dan eserta maknanya e) Htunglah koefsen determnas ganda dan erkan maknanya. 7

29 f) Htunglah koefsen korelas ganda.. Seorang pegawa admnstras rumah sakt ngn mengetahu huungan antara kepuasan pelanggan () dan umur pasen (, dalam tahun), tngkat keparahan penyakt (, dalam ndeks) dan tngkat kecemasan ( 3, dalam ndeks). Ia mengaml secara acak 3 pasen dan mengumpulkan data terseut. Berkut datanya: ,3,3,,8,8,9,,4,9,,4, ,,3,,0,5,9,,4,3,9, Anggap asums-asums dalam model regres lnear ganda terpenuh. a. Tentukan fungs regres dugaan. Ujlah huungan regres, gunakan taraf nyata 0,0. c. Tentukan selang kepercayaan serempak ag, dan 3 dengan tngkat kepercayaan 90%. Interpretaskan haslnya. d. Htung koefsen korelas ganda dan erkan maknanya. 3. Seorang penelt ngn mengevaluas huungan antara gaj tahuan penelt matematka golongan menengah dan senor (, dalam ruan dolar) dan ndeks kualtas pulkas (), jumlah tahun pengalaman () dan ndeks kesuksesan dalam memperoleh hah (3). Berkut data sampel 4 penelt matematka golongan menengah dan senor ,5 5,3 5, 5,8 4, 6,0 6,8 5,5 3, 7, 4,5 4, , 6,4 7,4 6,7 7,5 5,9 6,0 4,0 5,8 8,3 5,0 6,4 33, 40,3 38,7 46,8 4,4 37,5 39,0 40,7 30, 5,9 38, 3, ,0 6,5 6,6 3,7 6, 7,0 4,0 4,5 5,9 5,6 4,8 3, ,6 7,0 5,0 4,4 5,5 7,0 6,0 3,5 4,9 4,3 8,0 5,0 43,3 44, 4,8 33,6 34, 48,0 38,0 35,9 40,4 36,8 45, 35, 8

30 Anggap asums-asums dalam model regres lnear ganda terpenuh. a. Tentukan fungs regres dugaan. Ujlah huungan regres, gunakan taraf nyata 0,05. c. Ujlah apakah masng-masng k sgnfkan. Gunakan taraf nyata 0,05. d. Tentukan selang kepercayaan serempak ag, dan 3 dengan tngkat kepercayaan 95%. Interpretaskan haslnya. e. Htung koefsen korelas determnas dan erkan maknanya. f. Buatlah selang kepercayaan 95% ag masng-masng k. 9

31 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 7 : Asums-asums dalam Analss Regres Lnear Ganda Asums-asums dalam analss regres lnear ganda adalah a. Lneartas. Tdak terjad multkolneartas c. Tdak terjad heteroskedaststas d. Normaltas e. Tdak ada autokorelas Lneartas Model regres lnear ganda dasumskan lnear dalam parameter regres. Asums lneartas dalam regres ganda leh sult dpenuh erkatan dmens data yang semakn tngg. Asums n dapat ddeteks dengan plot pencar ssaan dakukan dengan masng-masng peuah eas. Krtera: asums n terpenuh la pada plot n menunjukkan ttk-ttk erpencar secara acak, la erpola maka mengndkaskan terjadnya pelanggaran asums. Jka asums lneartas tdak terpenuh maka lakukan transformas pada dan atau peuah eas tertentu. Gamar. Plot ssaan dakukan dengan masng-masng peuah eas Pada Gamar, pada masng-masng plot menunjukkan ahwa ttk-ttk erpencar secara acak sehngga asums lneartas dalam parameter regres terpenuh. Multkolneartas Multkolneartas atau kekolnearan ganda adalah terjadnya korelas antar peuah eas. Model regres yang ak seharusnya tdak terjad korelas antar peuah eas. Metode yang anyak dgunakan untuk mendeteks adanya multkolneartas adalah faktor nflas ragam (varance nflaton factor/vif) dengan rumus VIF k ( R ), k k,,..., p Rk adalah koefsen determnas ganda la k dregreskan terhadap p- peuah lannya d dalam model. 30

32 Krtera terjadnya multkolneartas adalah VIF > 0 atau nla TOLERANCE < 0, (TOLERANCE = /VIF) Heteroskedaststas Ragam galat dasumskan konstan dar satu pengamatan ke pengamatan lan, hal n dseut homoskedaststas. Jka ragam galat ereda dseut heteroskedaststas. Model regres yang ak adalah tdak terjad heteroskedaststas. Untuk mendeteks heteroskedaststas adalah dengan memuat plot nla dugaan yang dakukan (standardzed predcted value) dengan ssaan yang dakukan (studentzed resdual). Jka ada pola tertentu (ergelomang, melear kemudan menyempt) maka terjad heteroskedaststas. Jka tdak ada pola jelas, maka tdak terjad heteroskedaststas. Gamar. Plot nla dugaan dakukan dengan ssaan dakukan Pada Gamar, plot menunjukkan ahwa ttk-ttk erpencar secara acak (tdak erpola) yang mengndkaskan homoskedaststas. (Galat memlk ragam yang sama). Normaltas Galat dasumskan erdstrus Normal ~ N0,. Model regres yang ak adalah dstrus data normal atau mendekat normal. Untuk mendeteks normaltas dgunakan normal p-p plot. Jka ttk-ttk (ssaan) menyear d sektar gars dagonal dan mengkut arah gars dagonal, maka model regres memenuh asums normaltas. Jka ttk-ttk (ssaan) menyear jauh dar gars dagonal dan atau tdak mengkut arah gars dagonal, maka model regres tdak memenuh asums normaltas. 3

33 Gamar 3. Plot P-P Normal Pada Gamar 3 terlhat ahwa ttk-ttk dekat dengan gars dagonal sehngga galat memlk dstrus normal. Autokorelas Bla dalam model regres lnear ganda ada korelas antara galat pada perode t dengan galat pada perode t-, maka dnamakan ada masalah autokorelas. Model regres yang ak adalah model regres yang eas dar autokorelas. Autokorelas serng dtemukan pada regres yang datanya adalah tme seres atau erdasarkan waktu erkala sepert ulanan, tahunan. Deteks autokorelas dengan menggunakan esaran Durn -Watson (D-W) d n ( e e n e ) Hpotess Nol H 0 : = 0 (Tdak ada autokorelas) Hpotess Alternatf H : > 0 (Ada autokorelas postf) H : < 0 (Ada autokorelas negatf) H : 0 (Ada autokorelas) Taraf Nyata Krtera Keputusan Jka d > d U maka terma H 0 (tdak ada autokorelas) Jka d < d L maka tolak H 0 (ada autokorelas postf) Jka d L d d U, maka uj tdak meyaknkan Jka 4-d > d U maka terma H 0 (tdak ada autokorelas) Jka 4-d < d L maka tolak H 0 (ada autokorelas negatf) Jka d L 4-D d U, maka uj tdak meyaknkan Jka d < d L atau 4-d < d L maka tolak H 0 (ada autokorelas) Jka d > d U dan 4-d > d U maka terma H 0 (tdak ada autokorelas ) Selan tu, maka uj dkatakan tdak meyaknkan 3

34 SOAL LATIHAN Seuah stud untuk mengetahu huungan lama ekerja dan kepuasan kerja dengan pendapatan. Berkut data sampel dar semlan pekerja. Pendapatan per tahun (ruan dolar) Lama ekerja Indeks kepuasan kerja 5,6 6,3 6,8 6,7 7,0 7,7 7,0 8,0 7,8 Seldk pemenuhan asums-asums dalam model regres lnear ganda. Berkut output SPSS. 33

35 34

36 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 8 : Jumlah Kuadrat Ekstra Kegunaan Jumlah Kuadrat Ekstra: a. Mengukur pengurangan JKG akat dmasukkannya atau leh peuah eas ke dalam model regres, jka dketahu peuah-peuah lan telah ada d dalam model. Mengukur kenakan JKR akat dmasukkannya atau eerapa peuah eas ke dalam model regres c. Untuk menguj apakah peuah k dapat duang dar model regres ganda d. Untuk menguj apakah eerapa peuah eas dapat duang dar model regres ganda Defns Jumlah kuadrat esktra JKR mengukur pengaruh marjnal akat penamahan dalam model regres yang sudah ada. JKR = JKR, JKR atau JKR = JKG JKG, Perluasan JKR 3, = JKR,, 3 JKR, atau JKR 3, = JKG, JKG,, 3 Contoh Perhatkan tael erkut ˆ,496 0,857 3,634 0,8565 Sumer varas JK d KT Regres JKR( )=35,7 35,7 Galat JKG( )=43, 8 7,95 Total 495,39 9 ˆ Sumer varas JK d KT Regres JKR( )=38,97 38,97 Galat JKG( )=3,4 8 6,30 Total 495,39 9 ˆ ˆ 7,08 4,334,857, 86 9,74 0,4 0, Sumer varas JK d MS Sumer varas JK d KT Regres JKR(, )=385,44 9,7 Galat JKG(, )=09,95 7 6,47 Total 495,39 9 Regres JKR(,, 3 )=396,98 3 3,33 Galat JKG(,, 3 )=98,4 6 6,5 Total 495,

37 Jumlah kuadrat galat la dan ada dalam model, JKG, = 09,95 leh kecl dandngkan la dalam model hanya ada, JKG = 43,. Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjnal akat penamahan dalam model regres yang sudah ada. JKR = JKG JKG, = 43, 09,95 = 33,7 atau JKR = JKR, JKR = 385,44 35,7 = 33,7 Jumlah kuadrat ekstra untuk pengaruh marjnal akat penamahan 3 dalam model regres yang sudah ada dan. JKR 3, = JKG, JKG,, 3 = 09,95 98,4 =,54 atau JKR 3, = JKR,, 3 JKR, = 396,98 385,44 =,54 Dekomposs JKR menjad Jumlah Kuadrat Ekstra Dalam regres ganda dapat dperoleh eerapa dekomposs JKR menjad Jumlah Kuadrat Ekstra. Msal untuk dua peuah eas. JKT = JKR + JKG Lalu susttus JKG dengan JKR + JKG, sehngga JKT = JKR + JKR + JKG, JKT = JKR, + JKG, Tael. Contoh Tael ANOVA dengan Dekomposs JKR untuk Tga Peuah Sumer Varas JK d KT Regres 3, JKR(,, 3 ) JKR( ) JKR( ) JKR( 3, ) 3 KTR(,, 3 ) KTR( ) KTR( ) KTR( 3, ) Galat JKG(,, 3 ) n - 4 KTG(,, 3 ) Total JKT n - Uj masng-masng β k = 0 Bentuk β k k dapat dkeluarkan dar model regres ganda, dengan hpotess alternatf seaga erkut Hpotess Nol Hpotess Alternatf Statstk Uj Krtera keputusan H 0 : β k = 0 H : β k 0 t = k H 0 dtolak jka t > tα (n p ) s k 36

38 Hpotess : H 0 : k = 0 H : k 0 Taraf nyata : Statstk Uj : JKR F,,,,, JKG,, KTR Krtera Keputusan : k k,, k k KTG H 0 dtolak jka F ht > F (,n-p), k k,, p p : n p p Uj Apakah Semua k = 0 Hpotess : Taraf nyata : Statstk Uj : H 0 : = = = p- = 0 H : Tdak semua k (k=,, p-) sama dengan nol JKR F Krtera Keputusan :,, JKG, p, p p H 0 dtolak jka F ht > F (p-,n-p) : n p KTR KTG Uj Apakah Beerapa k = 0 Hpotess : Taraf nyata : Statstk Uj : H 0 : q = q+ = = p- = 0 H : Tdak semua k d dalam H 0 sama dengan nol JKR F KTR q,, p KTG Krtera Keputusan : q,, p,, q JKG,, p q,, H 0 dtolak jka F ht > F (p-q,n-p) q : n p p 37

39 Msalkan model regres orde pertama dengan tga peuah eas = β 0 + β + β + β ε Uj apakah β 3 = 0. Hpotess Nol Hpotess Alternatf H 0 : β 3 = 0 H : β 3 0 Statstk Uj F = JKR 3, JKG,, 3 n 4 Krtera keputusan H 0 dtolak jka F > F α (,n 4) Contoh Dar contoh. Apakah 3 dapat dkeluarkan dar model regres? Gunakan taraf nyata α = 0.0. Hpotess H 0 : β 3 = 0 H : β 3 0 Taraf nyata: α = 0,0 Statstk Uj: F = JKR 3, JKG,, 3 n 4 Krtera keputusan: F 0,0(,0-4) = F 0,0(,6) = 8,53 H 0 dtolak jka F ht > 8,53 Htungan: F =,54 98,4 6 =,88 Kesmpulan: Karena F ht =,88 < 8,53 maka H 0 dterma. (β 3 = 0) Jad pada taraf nyata 0,0 dapat dsmpulkan ahwa 3 dapat dkeluarkan dar model regres. Msalkan model regres orde pertama dengan tga peuah eas = β 0 + β + β + β ε Apakah and 3 dapat dkeluarkan dar model regres. (Model Lengkap) Null Hypothess H 0 : β = β 3 = 0 Alternatve Hypothess H : Tdak semua β dan β 3 sama dengan nol Statstk Uj F = JKR, 3 JKG,, 3 n 4 Krtera Keputusan H 0 dtolak jka F > F α(,n 4) Contoh 3 Dar contoh. Apakah dan 3 dapat dkeluarkan dar model regres? Gunakan taraf nyata α = 0,0. 38

40 Hpotess H 0 : β = β 3 = 0 H : Tdak semua β dan β 3 sama dengan nol Taraf nyata: α = 0,0 Statstk Uj: F = JKR, 3 JKG,, 3 n 4 Krtera keputusan: F 0,0(,0-4) = F 0,0(,6) = 6,3 H 0 dtolak jka F ht > 3,63 Htungan: F = 44,7/ = 3,63 98,4 6 Htungan: Karena F ht = 3,63 < 6,3 maka H 0 dterma. (β = β 3 = 0) Jad pada taraf nyata 0,0 dapat dsmpulkan ahwa dan 3 dapat dkeluarkan dar model regres. Koefsen Determnas Parsal Untuk mengukur sumangan marjnal satu peuah eas, la semua peuah eas lan telah ada d dalam model. Model regres ganda ordo-pertama dengan peuah eas 0 Maka koefsen determnas parsal antara dan la dalam model sudah ada adalah JKR r. JKG Ukuran n mengukur propors penurunan keragaman yang dakatkan oleh dmasukkannya dalam model yang seelumnya sudah ada. Msalkan dperoleh JKR 33,7 43, r. JKG 0,3, artnya jka dmasukkan ke dalam model regres yang d dalamnya sudah ada maka JKG akan erkurang 3,%. Berkut eerapa rumus koefsen determnas parsal JKR r., JKG JKR 4,, r 4.3 JKG,, JKR, 3 r.3, JKG, JKR, 3 r.3, JKG, 3 r 3. JKR 3, JKG, 39

41 Koefsen Korelas Parsal a. Koefsen korelas parsal merupakan akar kuadrat koefsen determnas parsal.. Koefsen n mempunya tanda yang sama dengan koefsen regres padanannya d dalam fungs regres dugaannya. Contoh 4 Dar contoh. Tentukan koefsen korelas parsal la sudah ada dalam model regres? ˆ 9,74 0,4 0, 6594 r = R = 0,3 = 0,48 Koefsen r n ernla postf karena = 0,6594 ernla postf. 40

42 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 9 : Seleks Model Langkah-langkah dalam memangun model. Plh satu set peuah eas. Sesuakan model regres dengan nla VIF 3. Jka nla VIF > 5 maka elmnas peuah eas yang memlk nla VIF tertngg, jka semua nla VIF 5 maka lanjut ke langkah 5 4. Sesuakan model regres dengan nla VIF untuk model yang aru (tanpa peuah yang telah dhapus) 5. Lakukan est-susets regresson dengan peuah eas yang terssa 6. Daftar seluruh model yang mempunya Cp (p+), dengan p adalah anyaknya peuah eas dalam model 7. Pada langkah 6, plh model terak dengan menggunakan krtera Cp, R adj, s 8. Lanjutkan analss yang lengkap dengan analss ssaan 9. Perak model la ada ndkas pelanggaran asums 0. Gunakan model terak yang telah dperoleh sa untuk predks dan nferens Best-Suset Regresson Krtera dalam memlh model terak pada est-suset regresson:. Cp, plh nla Cp p+ (Cp mengukur ketepatan model). S, plh nla smpangan aku yang terkecl ( s = KTG) 3. R adj, plh nla R adj mendekat (00%) 4. Prnsp parsmony, model dengan peuah eas yang leh sedkt adalah leh ak darpada leh anyak peuah eas. Contoh Berkut hasl output Mnta Best Susets Regresson: versus,, 3, 4 Response s Mallows Vars R-Sq R-Sq(adj) Cp S Model terak adalah = β 0 + β + β + β β ε, karena memlk nla R adj = 55, teresar, R = 6,3 teresar, Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 3,835 terkecl. 4

43 Forward Regresson Pada metode forward regresson, penamahan peuah eas ke dalam model dlakukan satu per satu erdasarkan kekuatan koefsen korelas. Gamar. Dagram Alur untuk Forward Selecton Contoh Berkut hasl output Mnta Stepwse Regresson: versus,, 3, 4 Forward selecton. Alpha-to-Enter: 0.5 Response s on 4 predctors, wth N = 6 Step 3 4 Constant T-Value P-Value T-Value P-Value T-Value P-Value T-Value.0 P-Value S R-Sq R-Sq(adj) Mallows Cp

44 Model terak adalah = β 0 + β + β + β β ε, karena memlk nla R adj = 55,3 teresar, R = 6,3 teresar, Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 3,8 terkecl. Backward Regresson Pada metode ackward regresson, dawal dengan memasukan semua peuah eas ke dalam model lalu mengeluarkan peuah eas yang memlk nla R terkecl. Gamar. Dagram Alur untuk Backward Elmnaton Contoh 3 Berkut hasl output Mnta Stepwse Regresson: versus,, 3, 4 Backward elmnaton. Alpha-to-Remove: 0. Response s on 4 predctors, wth N = 6 Step Constant T-Value 3.0 P-Value T-Value -.8 P-Value T-Value -.5 P-Value T-Value.0 P-Value

45 S 3.8 R-Sq 6.3 R-Sq(adj) 55.3 Mallows Cp 5.0 Model terak adalah = β 0 + β + β + β β ε, karena memlk nla R adj = 55,3 teresar, R = 6,3 teresar, Cp Mallows = 5,0 ( 5) dan S = 3,8 terkecl. Stepwse Regresson Pada metode stepwse regresson merupakan komnas antara forward dan ackward. Contoh 4 Berkut hasl output Mnta Stepwse Regresson: versus,, 3, 4 Alpha-to-Enter: 0.5 Alpha-to-Remove: 0.5 Response s on 4 predctors, wth N = 6 Step Constant T-Value P-Value Model terak adalah = β 0 + β + β + ε, karena memlk nla R adj = 44,56 teresar, R = 48,99 teresar, Cp Mallows = 8,4 (> 3) tdak memenuh dan S = 35,4 terkecl T-Value -.36 P-Value 0.07 S R-Sq R-Sq(adj) Mallows Cp

46 SOAL LATIHAN Data Seorang drektur operas penyaran d suatu stasun televs ngn mempelajar tentang jam saga. Ia ngn memperoleh model terak untuk mempredkskan erapa jumlah jam saga per mnggu () ag pekerja. Peuah eas yang telah terseda adalah jumlah pekerja yang hadr ( ), jumlah jam strahat ( ), jumlah jam suk ( 3 ) dan total jam kerja ( 4 ). Berkut data selama 6 mnggu Tentukan model terak dengan krtera est-susets regresson, forward selecton dan ackward elmnaton. Data Data tentang rumah sakt. Peuah tak eas adalah jumlah jam perawat ekerja per ulan () dan peuah eas adalah rata-rata jumlah pasen per har (), jumlah pasen yang rontgen (), jumlah tempat tdur yang ters per ulan (3), rata-rata daya tampung pasen aru yang mengnap (4) dan rata-rata lama pasen mengnap (5) ,5 5, ,9 8 4,45 696,8 44, ,8 9,5 6, , 0, ,3,8 4, ,6 8, ,3 36,7 3,9 5 6,4 49, ,6 35,7 5,5 6 63,3 44, ,8 4 4, , 55, ,3 5,6 8 60,6 59, ,9 46,7 5, ,6 94, ,3 78,7 6,8 45

47 0 3503,9 8, , 80,5 6,5 357,9 96, ,9 5,88 374,4 3, ,7 4, ,5 7, ,7 6,8 5, ,8 5, , 57, , 409, ,3 69,4 0, ,9 463, ,4 33,4 7, ,4 50, ,6 6,35 Tentukan model terak dengan krtera est-susets regresson, forward selecton dan ackward elmnaton. Data 3 Berkut data sampel

48 Tentukan model terak dengan krtera est-susets regresson, forward selecton dan ackward elmnaton. 47

49 Unverstas Neger ogyakarta Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Penddkan Matematka Topk 0 : Analss Varans Analss varans dgunakan untuk menguj kesamaan tga rata-rata populas atau leh dengan hpotess nol H 0 : μ = μ = μ 3 = = μ k, dan hpotess alternatf : palng sedkt ada sepasang rata-rata tdak sama dengan nol (H : μ μ j,, =,,, k). Defns Analss varans (ANAVA) adalah metode pengujan kesamaan tga atau leh rata-rata populas dengan analss varans sampel. Metode ANAVA menggunakan dstrus F. Dstrus F mempunya sfat-sfat erkut:. Dstrus F tdak smetr dengan kemrngan ke kanan.. Nla F dapat 0 atau postf, tetap tdak dapat ernla negatf. 3. Dstrus F memlk dua derajat eas yatu untuk pemlang dan penyeut. Gamar. Dstrus F Analss Varans Satu Arah Analss varans satu arah (analss varans satu faktor) dgunakan untuk menguj tga atau leh rata-rata populas dengan satu karakterstk dalam populas. Analss varans dgunakan pula untuk menganalss data yang dperoleh dar rancangan percoaan. Berkut eerapa stlah yang dgunakan dalam merancang percoaan. Defns Perlakuan : suatu prosedur atau metode yang dterapkan pada unt percoaan. Setara dengan taraf dar faktor. Unt Percoaan : unt terkecl dalam suatu percoaan yang der suatu perlakuan. Unt dmana perlakuan derkan secara acak. Satuan Pengamatan : anak gugus dar unt percoaan, tempat dmana respon perlakuan dukur. 48

50 Faktor : peuah eas yang dcoakan dalam percoaan seaga penyusun struktur perlakuan. Taraf : jens-jens suatu faktor yang dcoakan dalam percoaan Asums-asums dalam analss varans. Sampel erasal dar populas erdstrus normal. Sampel erasal dar populas yang memlk varans sama Ada dua pendekatan untuk menduga nla yatu. Varans antara sampel (varans antar perlakuan) adalah penduga varans populas erdasarkan varans antar rata-rata sampel. Varans dalam sampel (varans akat galat) adalah penduga varans populas erdasarkan varans sampel Statstk Uj untuk Anava satu arah F = varans antar sampel varans dalam sampel Perhatkan kedua kasus erkut. Pengaruh Rata-rata pada Statstk Uj F A dtamahkan 0 B Sampel Sampel Sampel 3 Sampel Sampel Sampel n = 4 n = 4 n = 4 x = 5,5 x = 6,0 x 3 = 6,0 s = 3,0 s =,0 s 3 =,0 Tael A Varans antar sampel ns = 4 0,0833 = 0,333 Varans dalam sampel s p = s + s + s 3 3 = 3,0 +,0 +,0 3 Derajat Beas Derajat eas pemlang = k Derajat eas penyeut = k(n - ) =,3333 k = anyaknya perlakuan, n = ukuran sampel n = 4 n = 4 n = 4 x = 5,5 x = 6,0 x 3 = 6,0 s = 3,0 s =,0 s 3 =,0 49

51 Perhtungan analss varans untuk ukuran sampel sama Sumer varas Penduga ag σ Statstk Uj Krtera keputusan Antar sampel ns = n k = F = ns H 0 dtolak jka k k S F > F (k-, k(n-)) = Dalam sampel k k S = k Perhtungan analss varans untuk ukuran sampel ereda Sumer varas Penduga ag σ Statstk Uj Krtera Keputusan Antar sampel k n k = n H 0 dtolak jka = k F = k F > F α(k, n k Dalam sampel k n S n S = k = n = k = n Perhtungan datas ekuvalen dengan menghtung komponen-komponen Anava erkut : ) JKT (Jumlah Kuadrat Total) mengukur varas total (sektar ) dalam seluruh sampel. JKT = x x JKT dapat durakan menjad komponen JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan) dan JKG (Jumlah Kuadrat Galat). ) JKP (Jumlah Kuadrat Perlakuan), dmaksudkan untuk JK antar sampel, mengukur varas antara rata-rata sampel. JKP = n j xj x 3) JKG (Jumlah Kuadrat Galat), dmaksudkan untuk JK (dalam sampel), adalah jumlah kuadrat yang menunjukkan varas dalam sampel. JKG = n j s j Sumer varas Derajat eas (d) Jumlah Kuadrat (JK) Kuadrat Tengah (KT) Perlakuan k - n j xj x JKP /(k-) Galat n k n j s j JKG/(n-k) Statstk Uj F = KTP KTG Krtera keputusan H 0 dtolak jka F > F α(k,n k) Total n x x 50

52 Contoh Seorang admnstrator perguruan tngg mengklam ahwa tdak ada peredaan rata-rata nla UAN sswa dar tga SMA ereda yang masuk perguruan tngg terseut. Data erkut adalah 5 mahasswa tahun pertama yang dplh secara acak dar tga sekolah terseut dengan masng-masng sekolah daml 5 orang. Apakah pernyataan admnstrator terseut cukup eralasan? Gunakan taraf nyata 0,05. SMA A SMA B SMA C 3,,8,5,7 3,0,8 3,0 3,3,4 3,3,5,,6 3, 3,0 Penyelesaan: Msal : SMA A, : SMA B, 3: SMA C. SMA A SMA B SMA C 3,,8,5,7 3,0,8 3,0 3,3,4 3,3,5,,6 3, 3,0 xj,96,94,58 s j 0, , ,39374 n j x = 4,4 ; x =,46; x =,867 JKT = x nx =,46 5,867 =,6065 JKP = n j xj nx = 5,96 + 5,94 + 5,58 5,867 j = 0,308 9,8535 = 0,4545 JKG = JKT JKP =,6065 0,4545 =,5 Hpotess H 0 : μ = μ = μ 3 H : μ μ j,, =,, 3 Taraf nyata: = 0.05 Statstk Uj: JKP k F = JKG n k Krtera keputusan: k = 3, n = 5; F 0,05(,) = 3,89 H 0 dtolak jka F ht > 3,89 Htungan: 0,4545 / F = =,367,5 5

53 Kesmpulan: Karena F ht =,367 < 3,89 maka H 0 dterma. Jad pada taraf nyata 0,05 dapat dsmpulkan ahwa tdak ada peredaan rata-rata nla UAN sswa dar tga SMA ereda yang masuk perguruan tngg terseut. SOAL LATIHAN. Lma elas sswa kelas I d suatu sekolah menengah pertama dengan kemampuan relatf sama telah dplh secara acak untuk dkelompokkan dalam 3 grup yang selanjutnya derkan perlakuan tga metode mengajar artmetka yang ereda. Pada akhr semester, tes yang sama derkan kepada lma elas sswa terseut. Berkut tael hasl tes dar sswa terseut. Metode I Metode II Metode III Apakah dapat dsmpulkan ahwa rata-rata hasl tes sswa dar ketga metode tu ereda? Gunakan taraf nyata 0,05 dan anggap ahwa asums-asums dalam analss varans terpenuh.. Empat desan srkut komputer dgtal yang ereda telah dtelt untuk dandngkan volume suara yang muncul. Hasl erkut dperoleh: Desan Srkut Volume suara (dalam db) Komputer Dgtal 9; 6; 7; 30 36; 34; 33; 35; ; 4; 35; ; 38; 37; 4; 45 Apakah rata-rata volume suara yang muncul sama untuk semua desan srkut komputer dgtal? Gunakan α = 0,05. Anggap ahwa asums-asums dalam analss varans terpenuh. 5

54 Rancangan Acak Lengkap (RAL) (Complete Randomzed Desgn) Latar elakang dar rancangan acak lengkap: a. Basanya dgunakan jka konds unt percoaan relatf homogen. Umumnya percoaan dlakukan d laoratorum c. Unt percoaan tdak cukup esar dan jumlah perlakuan teratas d. Sederhana Beerapa keuntungan dar penggunaan RAL Bagan rancangan percoaan leh mudah Analss statstka terhadap suyek percoaan sederhana Fleksel dalam penggunaan jumlah perlakuan dan jumlah ulangan Kehlangan nformas relatf sedkt dalam hal data hlang dandngkan rancangan lan Pengacakan dan Bagan Percoaan Msalkan ada 3 perlakuan (A, B, C) ulangan Maka dperlukan 3 = 6 unt percoaan Bagan percoaan Salah satu hasl pengacakan adalah C A 3 A 4 B 5 C 6 B Taulas data Ulangan Perlakuan Total Keseluruhan A B C 3 3 Total Perlakuan (. )

55 Model lner adtf dalam RAL Model Tetap Model tetap merupakan model dmana perlakuan-perlakuan yang dgunakan dalam percoaan erasal dar populas yang teratas dan pemlhan perlakuan dtentukan langsung oleh penelt dan kesmpulan yang dperoleh teratas hanya pada perlakuan-perlakuan yang dcoakan saja tdak sa dgeneralsaskan. Model Acak Model acak merupakan model dmana perlakuan-perlakuan yang dcoakan merupakan sampel acak dar populas perlakuan dan kesmpulan yang dperoleh erlaku secara umum untuk seluruh populas perlakuan. Model lner adtf dar RAL adalah j dengan,,, a j,,, r d ~ N 0, j j j : pengamatan pada perlakuan ke- dan ulangan ke-j μ : rataan umum : pengaruh perlakuan ke- j : pengaruh acak pada perlakuan ke- ulangan ke-j a Asums untuk model tetap alah τ = 0 Asums untuk model acak alah τ ~ N 0, σ τ =. d. Analss pada Model Tetap Ingn menguj persamaan dar rata-rata a perlakuan, dketahu E,,, a j, Sehngga entuk hpotess H 0 : a (Semua perlakuan memerkan respons yang sama) H :,,,, a ', Dketahu a a sehngga a 0 a a a erakat, a a 54

56 Sehngga entuk hpotess datas ekuvalen dengan hpotess erkut H 0 : 0 (perlakuan tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) a H : 0,,, a, Analss pada Model Acak Dketahu Var j Var j Var j, Var Var j konstanta Sehngga entuk hpotessnya adalah, dan salng eas H 0 : 0 (Keragaman perlakuan tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) j H : 0 (Keragaman perlakuan erpengaruh postf terhadap respons yang damat) Dekomposs Jumlah Kuadrat Total Keragaman total dapat durakan seaga erkut: j Jka kedua ruas dkuadratkan maka akan dperoleh j j Kemudan jka djumlahkan untuk semua pengamatan a r a r a r j j j karena j j a r j j j j 0 j Sehngga Jumlah Kuadrat Total = Jumlah Kuadrat Perlakuan + Jumlah Kuadrat Galat JKT = JKP + JKG j Perhtungan Analss Varans (Anava) Ulangan sama FK ar JKP JKT a a r j FK FK JKG JKT JKP r j Ulangan tdak sama FK a r JKP JKT a a r j FK FK JKG JKT JKP r j 55

57 Tael Analss Varans Ulangan sama SV d JK KT F htung Perlakuan a- JKP KTP KTP/KTG Galat a(r-) JKG KTG Total ar- JKT Krtera keputusan H 0 dtolak jka F ht > F (a-, a(r-)) Ulangan tdak sama SV d JK KT F htung Perlakuan a- JKP KTP KTP/KTG Galat (r -) JKG KTG Total r - JKT Krtera keputusan H 0 dtolak jka F ht > F (a-, (r -) ) SOAL LATIHAN. Suatu peneltan telah dlakukan untuk mengetahu pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam oat penurun panas terhadap waktu yang dperlukan untuk menurunkan panas dar 39 menjad 37. Untuk keperluan n telah dplh secara acak 5 penderta sakt panas dengan suhu 39 dar usa yang hampr sama dan tanpa keluhan sakt yang lan. Keduapuluh lma pasen terseut dag secara acak menjad 5 kelompok dan masng-masng kelompok yang terdr dar 5 orang terseut der oat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berkut data tentang waktu (dalam jam) yang dperlukan oleh para pasen terseut sampa dengan panas adan mereka turun menjad 37. KADAR PARACETAMOL 40% 50% 60% 75% 90% Apakah ada pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam oat penurun panas terhadap waktu yang dperlukan untuk menurunkan panas dar 39 menjad 37? Gunakan taraf nyata 0,05.. Seuah lemaga peneltan d suatu perguruan tngg ngn mengetahu pengaruh metode mengajar yang dgunakan dosen terhadap hasl elajar mahasswa khusus untuk mata kulah Statstka Elementer. Ada eraga macam metode mengajar dalam pemelajaran, pada peneltan n telah dplh secara acak empat metode yang danggap sesua dengan karakterstk mata kulah terseut yatu metode ceramah, tanya jawa, prolem solvng dan dskus. Untuk keperluan tu telah dplh secara acak 0 kelas yang relatf seragam, dengan rata-rata kemampuan awal mahasswa dalam Statstka Elementer yang relatf sama. Secara acak 0 kelas terseut dag 56

58 menjad 4 kelompok, masng-masng kelompok mendapatkan pemelajaran dengan salah satu metode terseut. Dosen yang mengajar d kelas-kelas terseut telah dplh sedemkan hngga dapat danggap mempunya karakterstk yang hampr sama. Setelah pemelajaran selesa, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berkut n adalah data tentang rata-rata nla tes mahasswa dar ke-0 kelas yang dgunakan dalam peneltan. Kelas Metode Mengajar Tanya Prolem Jumlah Ceramah Dskus Jawa Solvng 8, 7,0 8,7 6, 30, 9, 6,8 7,5 6,8 30,3 3 9,4 5,8 9,3 7,5 3,0 4 7,5 5,3 8,9 5,5 7, 5 6, 8,0 7,6 5,7 7,5 Jumlah 40,5 3,9 4 3,7 47, a) Tentukan rancangan apa yang sesua dengan peneltan yang dmaksud. ) Tentukan model lnear dan maknanya c) Model tetap atau model acak? Seutkan alasannya. d) Anggap asums-asums dalam Anava terpenuh, lakukan pengujan hpotess sesua dengan peneltan yang dmaksud. Gunakan taraf nyata 0,05. 57

59 Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL) (Randomzed Complete Block Desgn) Alasan penggunaan rancangan acak kelompok lengkap a. Keheterogenan unt percoaan erasal dar satu sumer keragaman. Mengatas kesultan dalam mempersapkan unt percoaan dalam jumlah esar c. Kelompok yang dentuk harus merupakan kumpulan dar unt-unt percoaan yang relatf homogen sedangkan keragaman antar kelompok dharapkan cukup tngg Pengacakan dan Bagan Percoaan Msalkan ada 6 perlakuan (P, P, P3, P4, P5, P6) dan 3 kelompok, maka ada 6 unt percoaan pada setap kelompok Total unt percoaan ada 36 = 8 unt percoaan Pengacakan dlakukan pada masng-masng kelompok Salah satu agan percoaan \ Taulas data Kelompok Perlakuan P P P3 P4 P5 P6 Total kelompok ( j ) Total Perlakuan ( ) Total keseluruhan ( ) Model lner adtf dar RAKL j Dengan,,, a j,,, ~ N j d j 0, j j : pengamatan pada perlakuan ke- dan kelompok ke-j μ : rataan umum : pengaruh perlakuan ke- j : pengaruh kelompok ke-j j : pengaruh acak pada perlakuan ke- kelompok ke-j 58

60 Asums untuk model tetap alah a 0 dan 0 j Asums untuk model acak alah d d ~ N0, dan ~ 0, j N Hpotess Model Tetap Hpotess pengaruh perlakuan H 0 : 0 H : 0,,,, a Hpotess pengaruh kelompok H : 0 0 H : 0, j,,, j Hpotess Model Acak Hpotess pengaruh perlakuan H 0 : 0 H : 0 Hpotess pengaruh kelompok H 0 : H : 0 0 Perhtungan Analss Varans FK a JKP a FK Tael Analss Varans j a (perlakuan tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) (kelompok tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) JKK JKT SV d JK KT F htung a j a j j Perlakuan a- JKP KTP KTP/KTG Kelompok - JKK KTK KTK/KTG Galat (a-)(-) JKG KTG Total a- JKT Krtera Keputusan :. Ho dtolak jka F ht > F (a-, (a-)(-)). Ho dtolak jka F ht > F (-, (a-)(-)) (keragaman perlakuan tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) (keragaman perlakuan erpengaruh postf terhadap respons yang damat) (keragaman kelompok tdak erpengaruh terhadap respons yang damat) (keragaman kelompok erpengaruh postf terhadap respons yang damat) FK j FK JKG JKT JKP JKK 59

61 SOAL LATIHAN. Suatu peneltan akan dlakukan untuk memandngkan pengaruh jens meda pemelajaran yang dgunakan guru terhadap hasl elajar sswa kelas SMA khusus untuk pokok ahasan peluang. Jens meda yang dmaksudkan adalah cetak, audo, vsual dan erass komputer. Untuk keperluan terseut telah dplh secara acak kelas, namun setelah dlakukan tes kemampuan awal ternyata kelas-kelas terseut dapat dgolongkan menjad 3 kelompok (kategor kemampuan awal rendah, kategor kemampuan awal sedang, kategor kemampuan awal tngg). Masng-masng kelompok mendapatkan perlakuan 4 jens meda terseut. Setelah pemelajaran selesa, semua kelas mendapat tes dengan soal dan waktu yang sama. Berkut adalah data tentang rata-rata nla tes sswa dar keduaelas kelas yang dgunakan dalam peneltan. Kategor kelas kemampuan awal Jens Meda Cetak Audo Vsual Berass Komputer Rendah 8, 6,5 7,4 8,4 Sedang 8,9 6,8 6 7,4 Tngg 7,7 5,9 5,9 9,4 Jumlah 4,7 9, 9,3 5,. Suatu percoaan yang telah dlakukan untuk mengetahu pengaruh eraga suplemen makanan terhadap perkemangan kecerdasan anak (dukur dengan pertamahan skor IQ). Unt percoaan dalam hal n anak yang terseda ereda umur, karenanya dlakukan pengelompokkan menjad 4 kelompok umur. Berkut rata-rata pertamahan kecerdasan anak untuk keempat suplemen adalah Jens Suplemen A B C D Rata-rata pertamahan skor IQ 7,5,5 5,75 7 Dasumskan asums-asums dalam Anava terpenuh. Kerjakanlah Anava erkut dengan cara melengkap Tael Anava erkut: Sumer Varas d JK KT F htung F tael Perlakuan 89,875 Kelompok 4,79 Galat Total,9375 Lakukan pengujan hpotess sesua dengan yang dmaksud gunakan = 0,05 dalam menympulkannya. 60

62 UJI LANJUT SETELAH ANALISIS VARIANSI Uj lanjut n hanya erlaku untuk pengujan model tetap la hpotess nol pengaruh perlakuan dtolak. Beda Nyata Terkecl (BNT) atau Least Sgnfcant Dfference (LSD) Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ Taraf nyata : Statstk Uj : BNT t KTG d( G) ' r r Krtera Keputusan : H 0 dtolak jka > BNT ' Beda Nyata Jujur (BNJ) atau Honest Sgnfcant Dfference (Tukey test) Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ Taraf nyata : Statstk Uj : BNJ q a, d( g) a Krtera Keputusan : H 0 dtolak jka KTG a ' r > BNJ Uj Perandngan Berganda Duncan atau Duncan Multple Range Test (DMRT) Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ Taraf nyata : Statstk Uj : R p r p, d( g) a Krtera Keputusan : H 0 dtolak jka KTG a r > R p ' 6

63 Contoh Suatu peneltan telah dlakukan untuk mengetahu pengaruh persentase kandungan paracetamol dalam oat penurun panas terhadap waktu yang dperlukan untuk menurunkan panas dar 39 menjad 37. Untuk keperluan n telah dplh secara acak 5 penderta sakt panas dengan suhu 39 dar usa yang hampr sama dan tanpa keluhan sakt yang lan. Keduapuluh lma pasen terseut dag secara acak menjad 5 kelompok dan masng-masng kelompok yang terdr dar 5 orang terseut der oat penurun panas dengan persentase kandungan paracetamol tertentu. Berkut data tentang waktu (dalam jam) yang dperlukan oleh para pasen terseut sampa dengan panas adan mereka turun menjad 37. Lakukan uj lanjut setelah Anava la hpotess nol pengaruh perlakuan dtolak? Gunakan taraf nyata 0,05. Uj lanjut dengan BNT Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ,, =,, 3, 4, 5 Taraf nyata : =0,05 Statstk Uj : BNT t KTG d( G) r r ' Krtera Keputusan : t 0,05(0) =,086 BNT,086,880, H 0 dtolak jka >,389 Htungan: ,,4,6 3,8,6 KADAR PARACETAMOL 40% 50% 60% 75% 90% ' ,8 5,,4, 6

64 Kesmpulan =, = 3, 3 = 4, 4 = 5 4, 5, 5, 3, 4, 3 5 Uj lanjut dengan BNJ Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ,, =,, 3, 4, 5 Taraf nyata : =0,05 Statstk Uj : BNJ q a, d( g) a KTG a r Krtera Keputusan : q 0,05(5,0) = 4,4,880 BNJ 4,4 3,79 5 H 0 dtolak jka Htungan: Kesmpulan,,4,6 3,8,6 > 3,79 ' = = 3, 3 = 4 = 5, = 3 = 4 5, 5, ,8 5,,4, Uj Lanjut dengan DMRT Hpotess H 0 : μ = μ H : μ μ,, =,, 3, 4, 5 Taraf nyata : = 0,05 63