Penerapan Optimasi Chaos Dan Metode Broyden, Fletcher, Goldfarb, and Shanno Pada Penyelesaian Permasalahan Sistem Persamaan Nonlinier

Transkripsi

1 Peerapa Optmas Chaos Da Metode Broyde, Fletcher, Goldarb, ad Shao Pada Peyelesaa Permasalaha Sstem Persamaa Noler Rully Soelama,, Nur Chasa, Yudh Purwaato, Maurdh H. Puromo Jurusa Tekk Iormatka, Fakultas Tekolog Iormas Program Pascasarjaa, Jurusa Tekk Elektro, Fakultas Tekolog Idustr Isttut Tekolog Sepuluh Nopember, Surabaya, 0. Emal : rully@s.ts.ac.d Abstrak Peyelesaa permasalaha sstem persamaa oler merupaka salah satu hal yag palg sult dalam kasus komputas umerk da metode Newto merupaka salah satu metode yag bayak dguaka utuk meyelesakaya. Koverges dar metode Newto sagat sest terhadap perkraa awal solus. Namu memlh perkraa awal solus yag optmal utuk sebaga besar sstem persamaa oler, juga merupaka masalah yag sult. Sela tu, pegguaa matrks Jacoba membuat baya komputas utuk metode Newto mejad mahal. Metode Broyde, Fletcher, Goldarb, ad Shao (BFGS merupaka salah satu tekk metode Quas- Newto yag merupaka perbaka dar metode Newto. Dega memaaatka kemampua pecara global dar optmas chaos da koverges yag optmal dar metode Quas-Newto, maka pedekata gabuga dar kedua metode tersebut dusulka pada peelta. Dar hasl peguja da evaluas, dega pedekata gabuga dperoleh tgkat koverges yag tgg da tdak dperluka lag perkraa awal solus utuk dapat meyelesaka permasalaha sstem persamaa oler. Kata kuc : metode Broyde, Fletcher, Goldarb, ad Shao, metode Quas-Newto, optmas chaos, sstem persamaa oler.. Pedahulua Peyelesaa sstem persamaa o ler merupaka salah satu hal yag palg sult dalam kasus komputas umerk. Dperluka usaha yag besar utuk bsa meyelesaka stem persamaa o ler da sampa sekarag terdapat bayak macam teor da algortma yag dguaka utuk meyelesaka kasus. Para ahl berlomba mecar metode yag palg akurat, palg eekt da palg ese. Tetap pada keyataaya mash dtemu rtaga dalam peyelesaa sstem persamaa o ler. Setap metode da algortma yag ada mempuya kelebha da kekuraga masg-masg. Chaos, sat kacau atau tdak beratura yag sebearya bersat determstk atau bsa dtetuka, merupaka eomea yag bayak terjad d bayak sstem dalam bdag lmu pegetahua. Chaos Optmzato Algorthm (COA merupaka algortma optmas yag berdasarka ergodcty, stochastc propertes, da regularty dar chaos tu sedr. Metode Newto merupaka metode yag palg bayak dguaka utuk meyelesaka sstem persamaaa o ler. Tetap metode mempuya kelemaha, atara la tggya waktu yag dguaka karea pada metode terdapat teras yag d dalamya megadug matrks Jacoba. Utuk megatas masalah tersebut, mucullah metode Quas- Newto yag merupaka perbaka dar metode Newto. Quas-Newto meggat komputas yag bersat dervat dega ugs komputas lagsug. Quas-Newto merupaka salah satu ucostraed Optmzato utuk permasalaha o ler. D dalam makalah aka dcar peyelesaa sstem persamaa o ler dega megguaka suatu pedekata yag merupaka peggabuga atara dua metode d atas yatu Chaos Optmzato Algorthm (COA dega metode Quas-Newto. Dharapka kelebha dar kedua metode tersebut aka meghaslka peyelesaa yag ese yatu dega megambl kemampua global search dar COA da rata-rata koverges lokal yag tgg yag dmlk oleh metode Quas-Newto.. Sstem Persamaa Noler Peyelesaa persamaa o ler adalah peetua akar-akar persamaa oler, dmaa akar sebuah persamaa ( = 0 adalah la-la yag meyebabka la ( sama dega ol. Sstem persamaa oler adalah kumpula dar beberapa persamaa oler yag dcar peyelesaaya. Betuk persamaaya adalah sebaga berkut

2 (, (, M, K, (,, K,, K, = 0 = 0 = 0 ( Hasl peyelesaaya adalah = (,,..., T. Utuk meyelesaka sstem persamaa o ler ekuvale dega memmalka ugs utama yag d jabarka sebaga berkut: Dcar : = (,,..., T, Φ M : F ( = ( ( = dmaa Φ adalah ruag peyelesaa. Fugs det post da memlk global mmum d setap akar pemecahaya. Bla mmsas dar F( adalah 0, maka adalah solus yag tepat [].. Metode Quas-Newto dega BFGS Metode merupaka perbaka dar metode Newto. Metode Newto bergerak berdasarka ormas dervat da berasal dar aalss deret Taylor []. Format terat utuk metode Newto dapat dtuls sebaga berkut ( k + ( k ( k ( k = J ( ( ( dmaa J( adalah matrks Jacoba ( ( ( L ( ( ( ( L J ( = M M M ( ( ( L Utuk kasus optmas, metode Newto dterapka pada kods ( = 0 []. Jacoba dar ( adalah ( da basa dsebut matrks Hessa, sehgga ( k + ( k ( k ( k = H ( J ( ( Metode Quas-Newto meggat komputas yag bersat dervat dega ugs komputas lagsug. Matrks Hessa H dgat dega aproksmas atau perkraa matrks Hessa A yag merupaka matrks det post yag mempuya sat sepert matrks Hessa []. Format terat dar metode adalah sebaga berkut: ( k ( k ( k ( k + = + α S ( (k dmaa α adalah step legth yag dapat ( k ( k ( k (k memmumka ugs ( α = ( + α S da S adalah search drecto. Search drecto ddeska sebaga berkut: ( k ( k ( k S = ( A ( ( Metode Quas-Newto berbeda dalam bagamaa perkraa matrks Hessa dbetuk da dupdate. Metode Quas-Newto yag palg sederhaa meetapka perkraa matrks Hessa sebaga matrks dettas. Cara update yag palg terkeal adalah dega metode Broyde, Fletcher, Goldarb, ad Shao (BFGS. Metode dkeal aka ketahaaya (robustess da dapat mecapa koerges superlear dega bak []. Rumus yag dguaka utuk update matrks Hessa adalah ( k ( k T ( k ( k T ( k ( k q ( q g ( g A + = A + + ( k T ( k ( k T ( k ( q s ( δ g ( dmaa q = ( + ( ( k ( k (, g = (, ( k ( k k ( k ( k δ = S, s = Δ = ( k ( k+ ( k. Algortma Optmas Chaos (COA Optmas chaos merupaka tekk pembagkta blaga radom dega megguaka ugs chaos, bsa berbetuk ugs polomal atau ekspoesal sepert persamaa logstk d dalam ekolog yag dguaka utuk meghtug pertumbuha populas suatu speses [0]. Salah satu ugs chaos sederhaa adalah persamaa logstk (logstc map. Persamaa logstk dyataka sebaga berkut [] tk + = λ tk ( tk (9 dmaa kostata λ meyataka laju pertumbuha ugs, yag dalam hal 0 λ, 0 t 0, k = 0,,,..., Ketka λ [., ] meyebabka persamaa (9 mejad chaotc. Chaos Optmzato Algorthm (COA merupaka algortma optmas yag berdasarka ergodcty, stochastc propertes, da regularty dar chaos tu sedr. Utuk masalah optmas sepert dbawah m (,, K,, [ a, b ], =,, K, (0 dperkraka k k k k k k k k = (,, K,, t = ( t, t, K, t. Secara umum gars besar algortma optmas chaos dapat dberka sebaga berkut: Step. Isalsas k r k adalah varabel tada utuk setap teras chaos, r adalah varabel tada utuk pecara. Tetapka jumlah teras maksmum utuk varabel chaos yatu K ma da jumlah teras maksmum utuk pecara (e search yatu r ma. Membuat la t 0 dega radom la atara [0,] da kemuda memastka bahwa t 0 (0, 0., 0., 0.,.0. Tetapka bahwa la

3 k 0 0 r r t = t, t* = t, a = a, b = b, dmaa t* adalah varabel chaos terbak pada saat, a da b adalah batas ruag pecara (search space, kemuda tetuka la * dega megacak (radom dega batas ruag pecara [a,b] da htug *= (*. Step. Mappg varabel yatu k Memetaka t ke daerah optmas, sehgga k r k r r = a + t ( b a Step Htug ( k, badgka haslya dega *. Jka ( k < * maka * = ( k, * = k k, t * = t Step. Iteras varabel chaos k k k k = k + ; t = t (.0 t Step Jka k < K ma maka ulag step. Jka tdak, maka r = r + da lajutka ke step. Step. Ubah batas pecara r+ * r r r+ * r r a = γ ( b a ; b = + γ ( b a r+ a < a r maka r r+ Jka a = a. Jka r+ b > r r+ b maka b = b r dmaa γ (0,0. Step Jka r < r ma, maka buat t 0 melalu radom, tetuka 0 k da t k = t, kemuda kembal ke step. Jka tdak, maka COA dakhr da * adalah solusya.. Pedekata gabuga Ide utama dalam makalah adalah meggabugka dua metode optmas utuk meyelesaka permasalaha sstem persamaa oler. Optmas chaos (COA dguaka utuk meyelesaka sstem persamaa oler dega megoptmas persamaa (, sedagka metode Quas-Newto dguaka utuk meyelesaka sstem persamaa oler berdasarka persamaa ( dega megguaka solus yag dhaslka dar optmas chaos (COA sebaga perkraa awal solus. Proses aka dulag sampa ddapatka solus yag akurat []. Gabuga atara metode bsa djabarka sepert berkut : Step I. Meetuka soluto error ε 0 da mejalaka step dar metode COA. Step II. Mejalaka step - dar metode COA da ugs objektya ddeskrpska sebaga persamaa ( Step III. Jadka solus * yag ddapatka dar COA sebaga salsas awal pada metode quas Newto, kemuda selesaka sstem persamaa o lear yag ddeskrpska d persamaa ( da dapatka solus **; jka F(** < F(*, buat * = **. Step IV Jka ε = ma ( (* ( =,,..., < ε 0. algortma hybrd dhetka; jka tdak r > r ma, hetka algortma hybrd, jka tdak buat * sebaga perkraa awal dar pecara chaos. Haslka t 0 dega acak, k t k = t 0, r := r +, kemuda kembal ke step. Uj Coba da Aalss Uj coba dlakuka pada sebuah PC dega prosesor Itel(R Core(TM Duo CPU ( CPUs dega memor sebesar MB RAM. Sstem operas yag dguaka adalah Wdows Vsta Home Basc da bahasa komputas yag dguaka utuk mplemetas metode adalah Matlab Vers.0. Utuk membuktka kapabltas metode yag dtawarka, uj coba dlakuka terhadap sstem persamaa oler yag berbeda.. Sstem persamaa oler Betuk dar sstem persamaa oler adalah ( = ( = ( = ( = ( = ( = e e Solus utuk sstem persamaa oler [] adalah * = (-,, -,, -, T, *= (-.,.0, -0.,.9, -0.,.9 T da *= (-.0, -0.09, 0.9,.9, -.09,.9 T. Ujcoba dlakuka dega megguaka k ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0, 0]. Hasl perhtuga dar percobaa adalah sebaga berkut : - Solus COA : (0.99, 0.09,.9, 0.9,.,.9 - Solus Akhr : (-,, -,, -, - Jumlah teras : 0 Pada tahap uj coba, setap sstem persamaa oler memlk grak trayektor yag merepresetaska pergeraka la aproksmas solus yag dhaslka oleh metode peyelesaa pada tap teras.

4 Gambar merupaka grak trayektor peyelesaa sstem persamaa oler dega megguaka COA, sedagka gambar merupaka grak trayektor peyelesaa sstem persama oler dega megguaka metode gabuga. Dar Gambar dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujukka perorma kestabla da koverges pada satu ttk kesetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler. Utuk megetahu kebeara dar solus yag dhaslka dar metode gabuga, maka solus yag sudah ddapat dbadgka dega solus sebearya yag sudah terseda pada [] da dar Gambar dapat terlhat bahwa tgkat kesalaha dar solus yag ddapat utuk sstem persamaa oler mecapa agka 0. Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega COA Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega metode gabuga Gambar Grak tgkat kesalaha SPNL Selsh terakhr atara solus yag dhaslka dar metode gabuga dega solus sebearya adalah (0, 0, 0, 0, 0, 0 da solus sama dega *.. Sstem persamaa oler Betuk dar sstem persamaa oler adalah sebaga berkut A = bh ( b t ( h t, I I y bh ( b t ( h t = ( h t ( b t t = h + b t Sstem persamaa oler merupaka pecara solus utuk ukura geometr dar baga balok peyagga (grder secto rectagular pada suatu bagua []. b adalah lebar dar baga grder, h adalah tgg dar baga grder da t adalah ketebala dar baga grder. Dketahu bahwa A=, I y = 99, I =. Utuk kasus, terdapat kods bahwa h > b > t >0. Kods mejadka sstem persamaa oler mempuya batasa (costrat yag berupa pertdaksamaa, batasa tersebut adalah g( = b h < 0, g ( = t b < 0, g ( = t < 0 Utuk megatas permasalaha karea adaya batasa, maka dguaka ugs pealty, sehgga ugs objekt drumuska sebaga berkut: = ( + M F ( = ma( 0, g ( ( = Dmaa M adalah koese pealty. Solus sebearya berdasarka [] adalah * = (.99,.,.9 T, * = - *, *= (.,.909,.9 T, *= - *, * = (., -.0,.00 T, * = - *.,

5 Ujcoba dlakuka dega megguaka k ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0, 0]. Dar Gambar dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujukka perorma kestabla da koverges pada satu ttk kesetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler. Hasl perhtuga dar uj coba adalah sebaga berkut : - Solus COA : (.,.,. - Solus Akhr : (.909,.,.0 - Jumlah teras : Gambar Grak tgkat kesalaha SPNL Da dar Gambar dapat dlhat juga bahwa tgkat kesalaha dar solus yag ddapat utuk sstem persamaa oler medekat agka 0, hal meujukka bahwa solus yag dhaslka merupaka solus yag tepat. Selsh terakhr atara solus yag dhaslka dar metode gabuga dega solus sebearya adalah (0.0, 0.0, da solus megarah pada *. Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega COA Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega metode gabuga. Sstem persamaa oler Betuk dar sstem persamaa oler adalah sebaga berkut 9 0 = = = = = K = K = K = = K = K = K R ( 0 j = 0 j= + ( p / + ( p / p / ( p / ( p / R Sstem persamaa oler dguaka utuk mecar solus dar permasalaha Combusto o Propae []. Masalah kesetmbaga kma meggambarka pembakara propae d udara. Terdapat varabel, dmaa ( =,,,..., 0 adalah jumlah mol dar setap produk yag terbetuk utuk setap pembakara propae. Varabel ke- dguaka utuk meyederhaaka persamaa da

6 merupaka jumlah dar 0 varabel yag la. Terdapat 0 produk dar pembakara yag dtujukka dega ( =,,,..., 0. Persamaa merupaka syarat bahwa jumlah dar 0 varabel ( =,,,..., 0 adalah sama dega varabel ke-. Parameter yag sudah past adalah p (tekaa pada atmoser da R (perbadga udara tehadap baha bakar. K, K, K, K, K 9, da K 0 adalah ukura data. Idealya, dharapka semua ( =,,,..., mejad ol. Parameter-parameter yag dguaka utuk sstem persamaa oler adalah : R p K =.0, K =.0, K =.0, K = 0., K 9 =.0, K 0 = 0.. Karea sstem persamaa oler megguaka operas, maka,,,, da harus lebh besar dar ol. Metode quas-ewto tdak bsa mejam hal. Berdasarka percobaa yag sudah dlakuka, jka program dmplemetas berdasarka persamaa maka aka selalu terjad keaeha. Sehgga, operas drubah mejad. Berdasarka [], solus sebearya utuk sstem persamaa oler adalah * = (.,.909,.0,.,.0,.099, 0.9, 0.0,.0, 0.0, 9.00 T * = (.0,.9,., -.0, -.9,.90,.000, -0., -.0, 0.0,. T. Ujcoba dlakuka dega megguaka k ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0,0]. Dar Gambar dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujukka perorma kestabla da koverges pada satu ttk kesetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler Hasl perhtuga dar uj coba adalah sebaga berkut: - Solus COA : (.,.0,.9, 0.99, 0.,.,., 0.,.9,.,. - Solus akhr : (.,.9,.,.,.0,.099, 0.909, 0.0,., 0.0, Jumlah teras : Gambar meujukka tgkat kesalaha dar solus yag dhaslka metode peyelesaa terhadap solus sebearya. Dar gambar tersebut terlhat bahwa tgkat kesalaha medekat agka 0. Selsh hasl berdasarka perhtuga adalah ( , , , , , , , , , , Dega demka solus yag dhaslka bsa dkataka bear da solus sesua dega *. Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega COA Gambar Grak trayektor peyelesaa SPNL dega metode gabuga

7 Gambar 9 Grak tgkat kesalaha SPNL Utuk megetahu pegaruh dar varabel-varabel yag ada, maka dlakuka ujcoba utuk masgmasg sstem persamaa oler dega merubah la varabel-varabel tersebut. Varabel-varabel yag duj adalah k ma, r ma, da batas ruag pecara a da b. Khusus utuk sstem persamaa oler, perubaha la M juga dperhtugka. Dar beberapa uj coba yag dlakuka ddapatka hasl sepert pada Tabel, Tabel, Tabel, da Tabel. Tabel Pegaruh kma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Skearo Skearo Skearo Solus ter Solus ter Solus ter Keteraga Tabel : Iter : jumlah teras Skearo = kma 00, rma 00, a b = 0 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 0 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 0 Tabel Pegaruh kma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Skearo Skearo Skearo Solus ter Solus ter Solus ter Keteraga Tabel : Skearo = kma 00, rma 00, a b = 00 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 00 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 0 Tabel Pegaruh M terhadap solus SPNL Solus ter M = M = M = M = M = Dar Tabel, Tabel, da Tabel terlhat bahwa jumlah teras maksmum utuk algortma COA cukup berpegaruh terhadap solus yag dhaslka. Hal dapat dlhat dar jumlah teras da selsh atara solus yag dhaslka dega solus sebearya. Semak besar teras maksmum, maka semak akurat solus yag dhaslka. Semak sempt batas ruag pecara, maka semak mudah solus dtemuka. Tabel Pegaruh kma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Skearo Skearo Skearo Solus ter Solus ter Solus ter Keteraga Tabel : Skearo = kma 00, rma 00, a b = 00 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 00 Skearo = kma 00, rma 00, a b = 0 Tabel meujukka pegaruh la pealty M terhadap solus yag dhaslka pada sstem persamaa oler. Uj coba dlakuka dega megguaka la kma = 00, rma = 00, a da b = 0. Nla perkraa awal solus tdak dambl dar algortma COA, tetap dtetapka berla (,, T. Dar tabel tersebut terlhat bahwa haya uj coba dega M = 0 yag dapat memberka hasl yag sesua dega solus sebearya, dega demka la M yag optmal utuk sstem persamaa oler adalah 0.. Kesmpula Setelah dlakuka uj coba da aalss terhadap aplkas yag dbuat, maka dapat dambl smpula sebaga berkut:. Metode gabuga dar algortma optmas chaos (COA da metode Quas-Newto BFGS dapat meyelesaka sstem persamaa oler dega bak.. Algortma optmas chaos mampu bekerja dega bak dalam medapatka la perkraa awal solus yag selajutya dguaka sebaga masuka pada metode quas-newto BFGS. Koverges utuk algortma optmas chaos terjad pada jumlah teras yag besar. Semak besar la k ma da r ma maka solus yag dhaslka semak medekat solus sebearya sehgga memudahka dalam

8 peghtuga meggua-ka metode quas-newto BFGS.. Perubaha la batas ruag pecara (search space sagat mempegaruh keberhasla metode. Ketka batas ruag pecara semak sempt da semak medekat batas ruag solus, maka solus sebearya aka semak mudah ddapatka.. Khusus utuk sstem persamaa oler, la koese pealty juga mempegaruh keberhasla metode. Koese pealty harus maksmal berla 0 utuk bsa meyelesaka sstem persamaa tersebut. o Chaos. Joural o Zhejag Uversty Scece A, ISSN Datar Pustaka [] Luo, Ya-Zhog, Guo-J Tag, L-N Zhou. (00. Hybrd approach or solvg systems o olear equatos usg chaos optmzato ad quas-newto method. SceceDrect, Appled Sot Computg (00, 0-0. [] Vekatarama, P. (00. Appled Optmzato wth Matlab Programmg. Joh Wley & Sos, New York. [] Arora, Jasbr. S. (000. Itroducto to Optmum Desg. [] Dg, Yag, Ekeleda Lush, Qgguo L. Ivestgato o Quas-Newto Methods or Ucostraed Optmzato. Smo Fraser Uversty, Caada. [] Nash, Stephe G., Arela Soer. (99. Lear ad Nolear Programmg. McGraw-Hll, USA. [] Rao, S.S. (9. Optmzato, Theory ad Applcatos (Secod Edto. Wley Easter Lmted, New Delh. [] Hlbor, Robert C. (99. Chaos ad Nolear Dyamcs. Oord Uversty Press, New York. [] Rasbad, S. Nel. (000. Chaotc Dyamcs o Nolear Systems. Joh Wley & Sos, New York. [9] Jaqag, Chuhua Wag, Yaoa Wag, Jke Gog. (00. A New Adaptve Mutatve Scale Chaos Optmzato Algorthm ad ts Applcato. Cotrol Theory ad Applcato, 00, ( : -. [0] Davedra, Doald, Iva Zelka, Godrey Owubolu. (00. Chaotc Optmzato. Proceedgs st Europea Coerece o Modellg ad Smulato. [] Teg, Hao, Baohua Zhao, Bgru Yag, B He. Study o Quatum Geetc Algorthm Based o Mutatve Scale Chaotc Optmzato. Cha. [] Hu-Jua, Lu, Zhag Huo-mg, Ma Log-hua. (00. A ew Optmzato Algorthm Based