Statistik dan Probabilitas 3

Transkripsi

1 Stattk da Probablta

2 BAB II TEKNIK SAMPLING II.. Pegerta Samplg dalam Idutr Dalam dutr bayak pegukura dambl dar ba data. Sebelum lagkah dambl, data perlu dkumpulka dahulu. Malya data yag dperluka utuk megotrol temperatur, tekaa, kecepata da waktu dalam uaha mempertahaka tadar opera dar peralata. Data juga perlu utuk megotrol la karaktertk dar baha da produk, malya tetag beratya, bearya, tetaya, komp dar bahaya, da ebagaya. Akhrya begtu juga megea efe, produk, fracto defectve da baya dapat debut data. Data tu meujukka tua proe dar uatu produk, buka merupaka kualta dar lot (kumpula). Dalam bayak hal data tu dperoleh melalu amplg. Tetu aja tdak mugk dlakuka pemerkaa pada etap produk, tetap dega pegambla ampel da kemuda dbuat etma utuk keeluruha lot. Meurut Stadard Idutr Jepag (JISZ 80 Gloary of Term Ued Qualty Cotrol ) def ampel alah baga yag dambl dar uatu popula utuk tujua tertetu. Perhatka gambar. ampel dtark dar lot utau produk yag udah elea utuk mempelajar karaktertk dar keeluruha lot. Sampel yag dtark dar l produk (producto le) utuk meetuka kod proe pada l terebut, mempertmbagka metode proe yag aka datag, da utuk memperoleh data ebaga daar pegambla lagkah-lagkah uatu tdaka. Gambar. Hubuga atara popula, ampel da data Stattk da Probablta 4

3 Jad popula merupaka grup yag memugkka dbuatya perecaaa utuk megambl lagkah-lagkah tdaka berdaarka ampel atau data yag dtark darpadaya. Pada gambar. (a) dtujukka bahwa dalam hal lagkah-lagkah tdaka pada proe produk, popula dpertmbagka dalam kod proe yag pat. Produk dhalka oleh uatu proe pembuata yag tdak terbata (fte populato). Hal merupaka obyek dar kotrol proe da aal. Pada gambar. (b) dtujukka lagkah-lagkah kegata pada lot. Jumlah lot elalu terbata, malya 00 to batubara, atau 50 batag pel. Populaya damaka popula terbata (fte populato). Hal merupaka objek dar pek da evalua kualta. Oleh karea tu tujua pegumpula data dar ampel yag dtark dar uatu popula adalah utuk megetagu lebh jauh tetag keadaa yag ebearya dar popula tu, da lagkah-lagkah elajutya dapat dambl dega tepat. II.. Daar Pemkra Stttk da Samplg Data yag dkumpulka tdak eluruhya ama, tetap elalu megadug dper. Data tak terbata debabka oleh dper dalam proe pembuata (maufaktur). Mekpu kod produk ada dalam keadaa terkedal (tate of cotrol) bebrapa dper tdak dapat dhdar, malya dper datara lot, datara produk dalam lot yag ama, da la-la. Oleh karea dper tu terjad pada uatu lot atau pada proe, jad dper tu memperlhatka uatu dtrbu frekue. Ada beberapa cara pegukura dtrbu frekue. Apabla la rata-rata da jumlah yag memperlhatka dper (vara atau deva tadar) dapat dketemuka, baaya gambara megea dtrbu dapat dtetuka. Apabla popula meujukka dtrbu frekue, radom amplg (pegambla ampel ecara acak) dega tepat haru tetap dpertahaka, artya jaga ampa haya memlh barag yag bak aja atau yag jelek aja, da jaga megambl ampel haya dar atu baga dar lot. Sampel haru bear-bear repreetatf dtark dar uatu lot. Stattk da Probablta 5

4 Utuk megevalua uatu lot dapat dega cara megetma dtrbu frekue lot terebut, yatu megea la rata-rata da dper dtrbu, aka tetap pertmbaga ekoom da tekk agat berat utuk memerka eluruh lot. Utuk megataya dapat dtark ampel dar lot terebut, dukurya da kemuda detma la rata-rata da dperya. Hal berart dalam amplg faktor-faktor ekoom, tek da tattk haru bear-bear dpertmbagka. Kod utuk amplg haru : () Bear, () Dapat dpercaya, () Cepat da (4) Ekoom. Nla data yag dambl dar ampel berbeda dega la data dar popula. Agar tdak membgugka dber mbol-mbol yag berbeda epert pada tabel. Nla rata-rata Vara Deva Stadar Tabel. Popula, ampel da data Popula rata-rata popula µ vara popula σ deva tadar popula σ Sampel rata-rata ampel X vara ampel S deva tadar popula S II.. Radom Samplg (Samplg Secara Acak) () Kod utuk radom amplg Suatu ampel dkataka radom, apabla etap ut yag berada d dalam popula mempuya keempata yag ama (mempuya probablta yag ama) utuk dkutertaka dalam ampel yag beragkuta. Radom amplg dar uatu popula adalah tdak mudah. Malmya memlh ampel ecara radom dar uatu yag terbugku buka aja ult tetap juga mahal. Pegambla ampel dar to bjh be halu edag dagkut dalam koveyor. Stattk da Probablta 6

5 () Metode radom amplg a) Radom Samplg Sederhaa Dega megguaka Tabel Radom Number (lhat pada lampra tabel) Malya pegambla ampel ebayak 0 ut dar produk ebayak 600 ut.. Berlah omor urut ut dar 00 /d 600. Tetuka ecara radom tempat mulaya pemakaa tabel, yatu kelompok rbua, bar da kolom. Malya pada rbua ke-, bar ke-0, da kolom ke-8. jad agka-agkaya adalah : da eteruya ampa terkumpul 40 buah. batalka omor-omor yag lebh bear dar 600. apabla omor yag tdak dbatalka mucul kedua kalya, omor tu haru dbatalka b) Samplg Stemat Malka aka dtark 5 ut ampel dar 50 ut produk. Berlah omor urut pruduk terebut dar /d 50. terval pegambla ampel adalah, jka omor pertama yag terplh adalah 5, maka 0 omor berkutya yag dplh adalah : 5, 5, 65, 95, 5 Stattk da Probablta 7

6 II.4. Samplg Error Bla duj eluruh lot etelah dlakuka amplg da dketemuka la ampel yag berbeda dbadgka dega la lot berart telah terjad euatu kealaha (error). Kealaha dapat dbag dalam kategor : () Ba Ba terjad bla terdapat perbedaa atara rata-rata ampel da rata-rata popula. Baaya karea amplg yag kurag merata. Malya amplg pada bjh be haya pada bjh be yag bear-bear aja. Keadaa edapat mugk haru dhdar. Perhatka gambar. dbawah : µ populato mea ample mea (a) Large ba µ µ (b) Small ba () Dper (ketelta) Gambar. Ba Nla ampel yag dambl berulag-ulag dar uatu lot dgambarka dalam uatu htogram. Deva tadar dar htogram tu meetuka tgkat ketelta tertetu. () Samplg Error Ba yag tdak terkotrol, dper atau keduaya da ampel yag tdak terkotrol aka myebabka terjadya error. Utuk mecapa tgkat kepercayaa, pegotrola terhadap proe haru tetap dpertahaka. Halhal yag dperluka adalah : a) Aal beyebab ba, da jama ketelta. b) Adaya truk pegotrol peyebab terjadya kealaha. Stattk da Probablta 8

7 c) Dbuatkaya truk tertetu yag dapat dkut oleh pelakaa produk. d) Pegotrola terhadap trume ukur da peralata. II.5. Tpe-tpe Samplg () Tpe radom amplg Megambl ampel ecara radom dar keeluruha lot (gambar.) () Samplg dua tgkat Gambar. Radom Samplg Pada tahap pertama, ampel pertama dambl dar lotya. Pada tahap kedua ampel dambl dar ampel pertama. Metoda baaya dguaka dalam uatu pabrk (gambar.4) o * o * o o o * o * o *** * o ooo Gambar.4 Samplg dua tahap () Stratfed amplg Lot dbag dalam beberapa trata (lapa) da pada tap-tap trata dambl ampel. Setap trata daggap homoge (gambar.5) Stattk da Probablta 9

8 ******** oooooooo * o o * o * Gambar.5 Stratfed Samplg (4) Cluter amplg Pada uatu pabrk yag produkya djadka objek amplg, metode jarag dguaka. Jka metode tdak dlakaaka dega hat-hat dapat meuruka ketelta da mambulka ba. Agar cara cluter berjala dega bakemua baga dar lot haru terwakl dalam propor yag ama. (gambar.6) (5) Selected amplg Gambar.6 Cluter Samplg Utuk medapatka la rata-rata dar uatu lot lebh bak melakuka amplg yag repreetatf dar eluruh lot. Suatu ampel dapat dambl dar uatu baga khuu da berdaarka la dar ampel tu, la lot dapat detma. Malya elected ampel dambl pada waktu tertetu, pada koveyor tertetu, da ebagaya. Selected amplg relatf lebh tepat darpada ampel radom ederhaa da metode adalah lebh mudah da ekoom mekpu tetap megadug ba dar rata-rata popula. Stattk da Probablta 0

9 BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI III.. Pedahulua Data yag dkumpulka baaya tdak teratur. Salah atu cara utuk megatur/meyuu/mergkaka data alah dega membetuk dtrbu frekue (frequecy dtrbuto). Dtrbu frekue meurut je data dbag dalam gologa : a) Dtrbu frekue blaga (umercal frequecy dtrbuto) Cotoh Agka uja Jumlah Swa Jumlah 50 b) Dtrbu frekue kategor (categorcal frequecy dtrbuto) Cotoh : berdaarka kemampua produk Me gergaj Terzago tpe T-4 Terzago tpe F-0 Terzago tpe F-5 Frekue (buah) Jumlah 90 III.. Pembetuka Htogram Data pada tabel. meujukka ketebala (mm) dar 00 buah blok metal yag merupaka baga-baga dar uatu peralata optk. Stattk da Probablta

10 Tabel. Ketebala blok metal (mm) Data X L X * * * * * * * * * * Keteraga : la terbear pada bar * la terkecl pada bar Pada tabel data dapat dlhat bahwa dega N 00 dperoleh la terbear (X L ),68 da la terkecl (X S ),0 Setelah data data dgambarka ecara graf aka tampak betuk kecederugaya. Dar eka bayak macam grafk yag palg umum adalah htogram (gambar.) Cara membuat htogram (lhat tabel.) () Htug jumlah data () Bag data tu dalam 0 ub grup. Catat atau tada la terbear da terkecl pada tap ub grup. Kemuada catat atau tada la terkecl da terbear dar grup tu (dar keeluruha). Dalam hal la terbear grup adalah X L,66 da terkecl X S,0 () Rage (R) dar eluruh data adalah R L S,68,0 0,8. Rage dapat ddtrbuka kedalam etap kela. Jumlah kela dtetuka berdaarka tabel. Jumlah Data (N) Tabel. Ketetua jumlah kela Jumlah Kela (K) Stattk da Probablta

11 Utuk N 00 dplh K 0 (atau 9) L S 0,8 Iterval Kela : h 0, 08 K 0 (4) Iterval kela (h) haru agka dbelakag koma, atau ut pegukuraya adalah 0,0. Dega demka h dbulatka mejad 0,04 atau utuk mempermudah tetuka aja h 0,05 (5) Bata kela dtetuka utuk membuat htogram. Jka hal pegukura tepat dbata kela aka meyultka. Utuk meghdar tu ut bata dambl etegah dar ut pegukura, jad ut bata adalah 0,005. Lebar bar (bata kela) mejad,75,5 ;,5,75 da elajutya lhat tabel. Tabel. Tabel Frekue No Bata Kela Nla Tegah Tally Frekue ,75,5,5,75,75,45,45,475,475,55,55,575,575,65,65,675,675,75,0,5,40,45,50,55,60,65,70 III III IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII III IIII IIII III I I Berdaarka tabel. htogram dapat dbuat epert dperlhatka pada gambar. Pada htogram haru dcatumka tetag jumlah data (N), omor me, la rata-rata ( ), deva tadar ampel (), da tark pula gar lmt pefka bawah (lower pecfcato lmt, LSL) da lmt pefka ata (upper pecfcato lmt, USL). Pada gambar. telah dcatat N 00 ;,476 ; 0,065 ; LSL,8 ; USL,6 da me o. Stattk da Probablta

12 40 LSL,8 USL,6 0 0 Me o. N 00,476 S 0,065 0,,4,5,6,7 mm III.. Nla rata-rata Gambar. Htogram ketebala blok metal Yag dmakud dega la rata-rata d adalah la rata-rata htug. Nla rata-rata lah yag palg erg dguaka. Nla rata-rata la adalah la rata-rata ukur da la rata-rata harmo. Nla rata-rata adalah : () Nla dektar ebara data yag berupa agka-agka () Suatu harga yag dapat dpaka utuk mewakl ekumpula data () Ukura tede pertegaha (meaure of cetral tedecy) Je la rata-rata htug : a) Rata-rata htug data tak teruu Bla,,..., terdr dar buah la dar varabel, la ratarataya : Stattk da Probablta 4

13 atau : Per.. Cara la yag lebh umum dega megguaka frekueya. Bla blaga-blaga,,..., mag-mag terdapat ebayak f, f,..., f rata-rata htugya adalah : f + f f + + f f f f Per.. b) Rata-rata htug data teruu Dalam dtrbu frekue la-la tdak dperhtugka atu peratu melaka dalam kela-kela. Pada umumya la tegah kela mewakl kela tu (tabel.4) No Bata Kela Nla Tegah ( ),75,5,0,5,75,5,75,45,40 4,45,475,45 5,475,55,50 6,55,575,55 7,575,65,60 8,65,675,65 9,675,75,70 Tabel.4 Nla Tegah Frek (f ) f 9,90 0,05 0,60 0,40,00 5,50 0,80,65,70 Σ 00 47,60 f f Per.. 47,60, Stattk da Probablta 5

14 Meghtug rata-rata htug dega cara duga Malka M harga rata-rata duga d elh atara la tegah kela ke- dega M atau d M Jad : + f d f ( M ) f d f M f + M f d ( f M ) f f d atau, f M + f d edagka f atau f atau M + f d Per..4 Berdaarka peramaa data dbuat tabel rata-rata duga (tabel.5) Tabel.5 Rata-rata duga No Nla Tegah ( ),0,5,40,45,50,55,60,65,70 M d Frek (f ),50-0,0,50-0,5,50-0,0 9,50-0,05,50 0,00 8,50 0,05 0,50 0,0,50 0,5,50 0,0 f d -0,60-0,45-0,90 -,60 0,00 0,50 0,0 0,5 0,0 Σ 00 -,40,50 + (,40),50 0,04, Je la rata-rata laya adalah rata-rata ukur da rata-rata harmo Nla rata-rata ukur : Stattk da Probablta 6

15 U... Per..5 atau logu (log + log log log U log ) Per..6 Nla rata-rata harmo : H ( ) H Per..7 III.4. Ukura Peyebara a) Rage ; elh atara la terkecl da la terbear dalam uatu dereta la Cotoh :,56,46,50,4,4,5,49,44,50 Rage (R),56,4 0,4 b) Deva (mpaga) rata-rata Dketahu ekumpula data,,..., mempuya rata rata htug 0, jad deva atara la-la tu dega harga rata-rataya adalah : ( - 0), ( - 0),...,( - 0) Harga mutlakya adalah : Stattk da Probablta 7

16 - 0, - 0,..., - 0 Jad deva (mpaga) rata-rata utuk : Data tdak teruu SR Per..8.a Data teruu SR f Per..8.b Cotoh No Kela,75,5,5,75,75,45,45,475,475,55,55,575,575,65,65,675,675,75,75,775 Tabel.6 Smpaga rata-rata dega harga mutlak Nla Tegah Frek Nla rata-rata ( ) (f ) (0) - 0 f - 0,0,476 0,76 0,58,5,476 0,6 0,78,40 9,476 0,076 0,684,45,476 0,06 0,8,50 8,476 0,04 0,9,55 0,476 0,074 0,740,60,476 0,4 0,7,65,476 0,74 0,74,70,476 0,4 0,4,75 0,476 0,74 0,000 Σ 00 4,844 SR f 4,844 SR 00 0,04844 c) Deva Stadar (tadard devato). Data tak teruu Vara adalah pagkat mpaga-mpaga aatara la-la pegamata dega rata-rata htug dar kumpula data tu. Stattk da Probablta 8

17 Stattk da Probablta 9 Vara : ) ( Utuk megembalka vara tu kepada ukura mpaga, la vara tu haru dakar pagkat. la yag dperoleh debut deva tadar (). Deva tadar : ) ( Cara khuu (hort method) utuk memperoleh deva tadar tapa melalu perhtuga harga rata-rata lebh dahulu, ebaga berkut : [ ] + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) (. Data teruu Vara : f ) ( Per..9 Per..0 Per.. Per..

18 Stattk da Probablta 0 Dega : : jumlah pegamata d dalam pecara frekue k : jumlah kela : la tegah kela ke- 0 : harga rata-rata htug f : frekue kela ke- Deva tadar : f ) ( Dega cara yag ama dega peramaa (.0) da (.), peramaa (. dapat dubah mejad : f f Peramaa (.4) dapat dpaka utuk meghtug la deva tadar dega tdak lebh dahulu meghtug la harga rata-rata htug. Dampg peramaa (.0) da (.4) dapat dguaka peramaa (.5) berkut : U f U f Dega : : elh atara la tegah yag berdekata U : varabel dega la -4, -, -, -, 0, +, +, +, +4 (letak 0 dtegah-tegah kela) Per.. Per..4 Per..5

19 No Cotoh : Tabel.7 Nla tegah dega varabel U Nla Tegah f U U f U f U, , , ,45 - -, , ,60 4 6,65 9 9, Σ , ,05,9 0,04 0,0646 III.5. Meda, Modu, Skewe Da Kurto a) Meda Meda adalah uatu la yag membag dua uatu dereta la, ehgga bayak la dar baga dereta tu ama. Dalam uatu dereta la, 6, 7, 9, 0,, 7 meda dereta la tu adalah 9, jad meda tu merupaka rata-rata letak yatu la yag terletak dtegah. Bag dereta la yag geap malya, 6, 7, 9, 0,, 7, 8 medaya adalah ½ (9 + 0) 9,5 Sebelum meetuka meda, dereta la haru duu dahulu meurut uruta bear la-laya. b) Meda data teruu Bla la dderetka, meda aka dtujukka oleh la yag ke-/. meda dar dtrbu frekue pada tabel.6 dtujukka oleh la yag ke 00/ 50. la yag ke-50 tu terdapat dkela yag ke-5, karea d dalam kela ke-, ke-, ke- da ke-4 haya terdapat buah la aja. Ddalam kela ke-5 terdapat 8la. Dapat dtetuka Stattk da Probablta

20 bahwa meda tu dtujukka oleh la yag ke- dar la yag terdapat d dalam kela ke- dar la yag terdapat d dalam kela ke-5 tu jad : Meda, , 05 8, ,004,479 Utuk hal yag umum : Dega : Me : meda Bb : bata bawah meda : terval kela Me Bb + : elh atara la meda da frekue komulatf dar kela-kela dmuka (ebelum) kela meda f M : frekue kela meda f M Per..6 c) Modu data tak teruu Merupaka blaga terbayak yag terdapat d dalam uatu kumpula data Cotoh :,, 5, 6, 7, 7, 7, 9, 0,, (modu 7 u modal),,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, (modu 0) 5, 6, 7, 8, 8, 8, 0,,,,,,4 (modu 8 da b modal) d) Modu data teruu Dtetuka dalam peramaa : Mo B d + d + d Per..7 Stattk da Probablta

21 Dega : Mo : Modu d : elh atara frekue d dalam modu da frekue d kela yag medahuluya d : elh atara frekue d dalam kela modu da frejue d kela berkutya : terval modu Pada Tabel.4 dapat dlhat bahwa : B :,475 d : 8 6 d : : 0,05 Jad : 6 Mo, , , ,009,484 e) Kemrga kurva (kewe) Dtrbu frekue berbetuk U terbalk atau loceg da metr dtujukka pada gambar. frekue pegukura Gambar. Dtrbu ormal Stattk da Probablta

22 Dtrbu frekue yag lebh mrg ke kaa damaka dtrbu frekue dega kewe egatf (gambar.) Me Mo Gambar. Skewe egatf (0 < Mo) Dtrbu frekue dega betuk yag lebh mrg ke kr damaka dtrbu frekue dega kewe potf (gambar.) Mo Me Gambar. Skewe potf (0 > Mo) Mak tgg derajat ametr dar dtrbu frekue mak ber pula peympaga atara tga macam harga rata-rata (0, Me da Mo), elhya dapat djadka ukura bag kewe. Ukura kaar kewe adalah :. Skewe potf bla 0 > Mo. Skewe egatf bla 0 < Mo Stattk da Probablta 4

23 Aka tetap pemakaa elh atara harga-harga rata-rata htug dega modu aka berubah dega perubaha kala, ehgga ukura kaar terebut tdak berlaku. Ukura la dega memperguaka peramaa koefe kewe Pearo : ( Me) S k S Per..8 Jka Sk 0 berart kurva ormal (metr) Sk > 0 berart kewe potf Sk < 0 berart kewe egatf Skewe dapat pula dukur dega ukura mome : S f ( ) k S Per..9 Betuk-betuk kewe dapat dlhat pada gambar.4 Sk 0 Sk > 0 Sk < 0 f) Kerucga kurva (kurto) Gambar.4 Betuk-betuk kewe utuk Sk > 0 ; Sk 0 da Sk < 0 Kurto merupaka kerucga dtrbu frekue. Kurto terdr dar je, yatu : leptokurt (hampr rucg) ; platkurt (hampr datar) da meokurt (ormal). Sepert dtujukka pada gambar.5 Stattk da Probablta 5

24 (a) (b) (c) Gambar.5 Dtrbu (a) leptokurt (b) platkurt (c) meokurt Kurto dapat dukur dega memperguaka peramaa.9 K t f ( ) 4 4 S Per..0 Betuk-betuk kurto dapat dlhat pada gambar.6 Kt > 0 Kt 0 Kt < 0 Gambar.6 Betuk-betuk kurto utuk Kt > 0 ; Kt 0 da Kt < 0 Jka Kt < 0 berart kurva platkurt (lebh tumpul darpada kurva ormal) Jka Kt 0 berart kurva meokurt (ormal) Jka Kt > 0 berart kurva leptokurt (lebh rucg darpada kurva ormal) Stattk da Probablta 6

25 BAB IV TEORI PROBABILITAS IV.. Pedahulua Hal-hal percobaa dapat dyataka dalam betuk agka-agka atau gologa-gologa yag debut outcome dar percobaa tu. Jka ebuah mata uag dlemparka ebayak kal, outcome yag keluar mugk berupa THT. H meujukka muka (head) da T meujukka belakag (tal) dar mata uag tu. Utuk megaal uatu percobaa buka outcome yag terjad aja yag dperhatka tetap perlu dketahu pula hubuga atara emua outcome yag mugk dhalka. Kumpula emua outcome yag mugk dhalka oleh uatu percobaa damaka ampel pace dar percobaa terebut. Setap outcome yag mejad aggota ar ampel pace damaka ttk ampel (ample pot). Def-def : () Probablta (kemugka) adalah eutau yag tmbul apabla ada harapa aka terjad atau aka tdak terjad uatu pertwa. () Jka uatu pertwa A mugk terjad d dalam m cara dar kemugka, da kemugka tu mempuya keempata yag ama utuk terjad, ehgga probablta A ama dega m/ atau : Pr( A ) m Per. 4. () Jka dalam melakuka uatu dereta percobaa, perbadga atara terjad pertwa A dega jumlah kal percobaa tu dlakuka hampr ama dega atau medekat p dega bertambah ergya percobaa tu dulag, probablta dar pertwa ama dega p, atau : Pr(A) p Per. 4. Stattk da Probablta 7

26 IV.. Perhtuga Probablta Jka dyataka uatu pertwa dega A da ttk-ttk ampelya a, a,...,a jad : Pr( A) Pr( a ) Per. 4. Syarat-yarat perhtuga probablta : () Jka A adalah pertwa, da buka A atau A c (kompleme A) adalah uatu pertwa juga yag mempuya probablta : Pr(A c ) Pr(A) Per. 4.4 () Kalau A da B merupaka dua buah pertwa yag mutually ecluve (dua pertwa yag tdak mugk terjad eretak), dperoleh : Pr(A atau B) Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) Per. 4.5 () Jka A da B merupaka dua buah pertwa yag buka mutually ecluve, probablta terjad pertwa A atau B adalah ama dega jumlah probablta-probablta dar pertwa A da pertwa B dkurag dega probablta dar pertwa A B, atau : Pr(A atau B) Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Per. 4.6 (4) Jka A da B merupaka dua buah pertwa yag beba, maka : Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Pr(B) Per. 4.7 (5) Jka pertwa A da pertwa B merupaka dua buah pertwa yag tdak beba, terjadya kedua pertwa tu ecara eretak mempuya probablta : Pr(A da B) Pr(A B) Pr(A) Pr(B/A) Per. 4.8 Stattk da Probablta 8

27 dega : Pr(B/A) probablta B eudah A terjad atau probablta kodoal dar B IV.. Permuta Def : permuta dar ejumlah obyek adalah peyuua dar obyek-obyek terebut dalam uatu uruta tertetu. a) Permuta dar objek eluruhya Jumlah permuta yag dapat dbuat dar objek eluruhya yag berbeda atu ama la adalah!, atau : P r! Per. 4.9.a Cotoh : Dalam beberapa carakah 4 buah buku A, B, C da D dapat duu? Jawab : 4 Permutaya : P r! 4 4 Jad buku-buku tu duu dalam 4 cara b) Permuta dar objek yag tereda da dambl ebayak r : P r! ( r)! Per. 4.9.b dega : jumlah objek yag tereda r jumlah objek yag duu cotoh : ada 4 buah buku A, B, C, da D. Dalam berpa carakah buku-buku terebut dapat duu, jka etap uua ber buah buku? Jawab : 4 ; r Stattk da Probablta 9

28 P r! 4! ( r)! (4 )! 4 Jad buku tu dapat duu dalam cara IV.4. Komba Def : Komba dar ejumlah objek merupaka cara pemlha objekobjek terebut tapa meghrauka uruta (uua) dar objek-objek yag beragkuta. Jad dalam hal objek A, B da C. Suua ABC BCA da BAC merupaka komba tetap meurut permuta uua tu terdr dar permuta. a) Komba dar objek keeluruha. Bayakya komba dar uatu et yag terdr dar objek atau : C Per. 4.0.a Cotoh : Suatu pata haru terdr dar 4 orag aggota. Calo aggota utuk pata terebut haya 4 orag. Berpa carakah pata terebut dapat dbetuk, jka keduduka aggota dalam pata dabaka perbedaya Jawab : pata yag dapat dbetuk C cara b) Komba dar objek tetap tdak emua objek terpaka. Jka jumlah objek yag atu ama laya berbeda, berjumlah buah, da yag dambl ebaga uatu komba berka r buah dataraya, jumlah komba yag dapat dbuat adalah : C r! r!( r)! Per. 4.0.b Stattk da Probablta 0

29 Cotoh ; Berpakah komba buah buku dar 5 buah buku A, B, C, D da E yag tereda : Jawab : 5 ; r 5 5! Kombaya C 0!(5 )! Cotoh ; Calo-calo utuk duduk dalam ebuah pata berjumlah 8 orag, terdr dar 5 pra da wata. Berapa cara pata dapat dbetuk? Jawab : Pemlha pra dar 5 pra dapat dbetuk dalam 5 5! C 0 cara ( )!(5 )! Pemlha wata dar wata dapat dbetuk dalam! C cara ( )!( )! Utuk meghtug keeluruha cara yag dapat dbuat dalam pembetuka pata terebut yag terdr dar pra da wata dguaka aaz perkala permuta. Dalam hal dega 0 da ; P, jad pembetuka pata tu ada 0 cara 0 cara. Cotoh ; Calo-calo utuk duduk dalam ebuah pata terdr dar 5 pra da wata. Peryarataya pembetuka pata terebut haru terdr dar palg edkt orag pra da jumlah aggotaya 5 orag. Dega berpa carakah pata terebut dapat dbetuk? Jawab : Palg edkt pra merupaka yarat, jad pata dapat dbetuk dega alah atu cara :. Terdr dar pra da wata Stattk da Probablta

30 Jumlah cara yag dapat dbetuk 0 cara (dtujukka dalam cotoh ). Terdr dar 4 pra da wata 5 Jumlah cara yag dapat dbetuk C 4 C 5!! 4!(5 4)!!( )! 5 5 cara. Haya terdr dar 5 pra Jumlah cara yag dapat dbetuk 5 C 5 Jad jumlah cara yag dapat dbetuk yag terjad dar palg edkt pra adalah : cara Stattk da Probablta

31 BAB V DISTRIBUSI PROBABILITAS, BINOMIAL, POISSON da NORMAL IV.5. Pedahulua Dtrbu probablta beramaa ekal dega peramaa frekue relatf jka probaltaya dulag ebayak tdak berhgga, atau dapat dyataka dega rumu : lm Probablta ( f / ) Dega f/ ebaga frekue relatf. Dtrbu probablta mugk berbetuk dkret atau kotu. Dtrbu probablta dkret alah probablta yag varabel radomya haya megambl la-la yag terola atu dar yag laya. Dtrbu probablta kotu alah dtrbu yag varabel radomya megambl lala yag kotu. Dtrbu Bomal merupaka dtrbu dkret, dkembagka dar percobaa Beroull. Dtrbu Poo juga merupaka dtrbu dkret, dguaka utuk jumlah ampel yag lebh bear. Dtrbu Normal merupaka dtrbu yag kotu. Pegalama telah membuktka bahwa ebaga bear dar varabel radom yag kotu d berbaga bdag aplka yag berbeda da beraeka ragam, umumya memlk dtrbu yag dapat ddekat dega dtrbu ormal atau dapat megguakaya ebaga model teort. IV.6. Dtrbu Probablta Suatu dtrbu probablta dapat duu berdaarka pegalama-pegalama dwaktu yag lampauatau berdaarka pertmbaga-pertmbaga teort.utuk memperjela pegerta tetag dtrbu probablta dkret dambl atu cotoh, malya damat baayakya gambar (dyataka dega H berart head) yag keluar dar pelempara mata uag logam. Kemugka terjadya gambar (H) da tula (dyataka dega T yag berart tal) yatu probablta muculya H atau muculya T adalah ½. Kemugka-kemugka yag aka terjad epert pada tabel 5. dbawah Stattk da Probablta

32 Tabel 5. Probablta muculya H Probablta ttk ampel No Ttk Sampel ke Jumlah H T T T 0 /8 T T H /8 T H T /8 4 H T T / H T H H H T T H H /8 /8 /8 8 H H H /8 Tabel 5. data dapat dederhaaka mejad Tabel 5. Dega memaka Tabel 5. dapat dlukka grafk dtrbu probablta tu dalam betuk htogram probablta (gambar 5.) atau betuk grafk la Bayakya H 0 Tabel 5. Probablta f() da probablta komulatf F() Frekue f f() /8 Probablta f() /8 /8 /8 /8 Probablta Komulatf F() /8 4/8 7/8 8/8 /8 /8 Gambar 5. Htogram Probablta Pada tabel 5. dapat dlhat pula hubuga atara f() da fug dtrbu probablta komulatf F(), yatu bahwa la F() ama dega jumlah dar la-la f(). Malka bahwa a adalah ebuah la yag dapat dambl oleh maka dapat dyataka : F ( a) f ( ) Per. 5. Stattk da Probablta 4

33 Dega a Gambar 5. meujukka grafk dtrbu probablta komulatf berdaarka Tabel 5. 8/8 7/8 4/8 /8 Gambar 5. Grafk dtrbu komulatf Def : Suatu fug f() dapat debut fug probablta yag dkret jka yarat-yarat berkut dpeuh : da, f() 0 f ( ) Per. 5. Harga rata-rata htug uatu varabel radom da dkret yag fug probabltaya f() adalah : µ f ( ) Per. 5. dega : µ harga rata-rata htug bayakya la yag mugk Vara (σ ) dar uatu varabel radom, yag fug probabltaya f() adalah : Stattk da Probablta 5

34 atau σ ( µ ) f ( ) Per. 5.4 σ jad deva tadarya adalah : f ( ) µ Per. 5.5 σ f ( ) µ Per. 5.6 cotoh : Jka buah dadu dlemparka pada aat yag beramaa, da pelempara dlakuka berulag kal dega jumlah yag agat bayak, dtayaka jumlah mata dadu rata-rata etap pelempara (µ) da deva tadarya (σ) Peyeleaa : Jka dlemparka buah dadu, kemugka jumlah mata dadu yag dperoleh adalah dega al-la epert d bawah : f() 0 0 (, ) /6 (, ) ; (, ) /6 4 (, ) ; (, ) ; (, ) /6 5 (, 4) ; (, ) ; (, ) ; (4, ) 4/6 6 (, 5) ; (, 4) ; (, ) ; (4, ) ; (5, ) 5/6 7 (, 6) ; (, 5) ; (, 4) ; (4, ) ; (5, ) ; (6, ) 6/6 8 (, 6) ; (, 5) ; (4, 4) ; (5, ) ; (6, ) 5/6 9 (, 6) ; (4, 5) ; (5, 4) ; (6, ) 4/6 0 (4, 6) ; (5, 5) ; (6, 4) /6 (5, 6) ; (6, 5) /6 (6, 6) /6 Fug frekue jumlah mata dadu dar halpelempara buah dadu tu dkembagka pada tabel 5. utuk medapatka la µ da σ. Stattk da Probablta 6

35 Tabel 5. Nla-la f( ) da f( ) dar hal pelempara buah dadu Prob. f( ) f( ) f( ) /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 0 /6 6/6 /6 0/6 0/6 4/6 40/6 6/6 0/6 /6 /6 0 4/6 8/6 48/6 00/6 80/6 94/6 0/6 4/6 00/6 4/6 44/6 Σ 5/6 974/6 5 µ 7 6 σ σ 0, 45 6 IV.7. Dtrbu Bomal Ketmewaa dar dtrbu bomal adalah dtrbu dapat dpaka utuk agat bayak pertwa. Dtrbu bomal berdaarka percobaa Beroull dega cr-cr ebaga berkut : () Setap percobaa drumuka dega ampel (S, G), yatu etap percobaa haya memlk hal, yatu uke (S) da gagal (G). () Pada etap percobaa, probablta utuk uke haru ama bear, baaya dyataka dega p. () Setap percobaa haru berdr edr (depede evet), yatu terjad atau tdak terjadya pertwa pertama tdak member akbat terhadap terjad atau tdak terjadya pertwa berkutya. (4) Jumlah percobaa yag merupaka kompoe percobaa haru tertetu. Stattk da Probablta 7

36 Malya pada pelempara ebuah uag logam. Setap pelempara aka meghalka datara kemugka, yatu gambar dapat dumpamaka uke da dber tada H ; tula, dapat dumpamaka gagal da dber tada T. Hal eluruhya dar pelempara-pelempara ebuah mata uag logam tu dtujukka tabel 5.4 Tabel 5.4 Probablta pertwa dar pelempara ebuah mata uag logam Mata Uag ke Jumlah Probablta Pertwa T H T T T H H T H H T T H T H H T H T H T T T H H H 0 0 (½) (½) 0 *(½) /8 (½) (½) (½) (½) *(½) (½) /8 (½) (½) (½) (½) (½) (½) *(½) (½) /8 (½) (½) (½) 0 (½) *(½) /8 Bla uatu percobaa Beroull terdr dar dega probablta utuk uke da utuk gagal bag etap percobaa adalah mag-mag berturut-turut ebear p da q, fug probabltaya dyataka dega ota : dega : C komba dar q p B(,p) C p!!( )! q ( ) Per. 5.8 Pada Tabel 5.4 dapat dlhat bahwa p ½ da. Dega memperguaka ota peramaa 5.8 dperoleh Tabel 5.5 Stattk da Probablta 8

37 Tabel 5.5 Nla-la B(,p) dar pelempara Sebuah mata uag logam! C ( ) p q!( )! B(,p) 4 0! 0!( 0)! (½) 0 (½) 8!!( )! (½) (½) 8!!( )! (½) (½) 8!!( )! (½) (½) 0 8 Σ Agka-agka pada kolom 4 tabel 5.5 dapat dbaca lagug pada tabel Bomal utuk da p 0,5. Rata-rata htug : µ 0 p q ( ) Per. 5.9 Kalau peramaa 5.9 duraka teru aka dperoleh : µ.p Per. 5.0 Vara : σ ( µ ) p q ( ) Per. 5. Kalau peramaa 5. duraka teru aka dperoelh : σ.p.q Jad deva tadar : σ. p. q Per. 5. Per. 5. Dar cotoh data dapat dhtug : Rata-rata htug : µ.p 0,5,5 Vara : σ.p.q 0,5 0,5 0,75 Stattk da Probablta 9

38 Deva tadar : σ. p. q 0, 75 0,866 IV.8. Dtrbu Poo Meurut dtrbu Bomal uatu ampel dega ukura (ze) megadug cacat (defectve) ejumlah, probablta dar jumlah defectve terebut adalah : B(,p) C p q ( ) dega : p frak cacat (defectve fracto) q ( p) Dega meghtug lagug atau memperguaka tabel Bomal, la B() dega egera dapat dketahu. Aka tetap peramaa d ata aka mejad ukar dalam pegguaaya la bear da p kecl (p 0,). Baaya tabel Bomal haya dbuat ampa dega 00. Utuk meghtug probablta jumlah defectve dar ukura ampel yag lebh bear dar 00 dguaka peramaa fug probablta Poo : Dega : rata-rata htug : e epoetal (e,78) µ m.p vara : σ m.p deva tadar : σ m p ( p) P() ( p)! e Per. 5.5 Per. 5.6 Per. 5.7 Per. 5.4 Cotoh : Dar uatu lot dtark ampel dega 00 yag teryata megadug defectve 5%. I berart P 5 atau p 0,05 p 00 0,05 0 Rata-rata htug Vara Deva tadar Stattk da Probablta 40

39 Bla ampel dar lot tu megadug defectve 8, probablta adalah : 8 0 P ( 8 ) 0 8!(,78) 0,6 Atau dapat dguaka tabel dtrbu Poo utuk p 0 ebaga berkut P (0) 0,0000 P (5) 0,078 P (0) 0,5 P () 0,0005 P (6) 0,06 P () 0,7 P () 0,00 P (7) 0,090 P () 0,0948 P () 0,0076 P (8) 0,6 P () 0,079 P (4) 0,089 P (9) 0,5 da eteruya IV.9. Dtrbu Normal Dtrbu Normal adalah alah atu je dtrbu yag erg dpaka dalam tattk. Fug dar dtrbu ormal dyataka dalam peramaa : utuk - dega : f ( µ ) σ ( ) σ e π Per. 5.8 e : blaga tetap Euler,78 π :,45 µ : la rata-rata htug σ : deva tadar Grafk dar fug berbetuk loceg (bell hape curve), merupaka kurva yag metr terhadap gar vertkal melalu µ. Oleh karea adalah uatu varabel radom yag kotu, etap gar vertkal yag meghubugka ttk dar kurva ormal tu dega umbu medatar, demka juga lua daerah dbawah kurva ormal da data umbu medatar dapat daoaka dega la probablta. Stattk da Probablta 4

40 Pada gambar 5. dapat dlhat bahwa gar AB merupaka probablta dar A atau f(a). f() B E F Gambar 5. Kurva Normal Lua daerah CEFD adalah probablta dar atara C da D. Lua daerah dbawah kurva ormal adalah jumlah dar probablta utuk emua la yag tetu aja ama dega. Secara matemat dapat dtul : A µ C D f ( ) d Per. 5.9 Kalau tegral dtark ampa a, hal tegral tu ama dega lua daerah d bawah kurva ormal d ebelah kr gar vertkal a yag ama dega la dar fug dtrbu komulatf f() utuk a atau f(a), jad : a F(a) f ( ) d Per. 5.0 yag ama juga dega P( a) F(a) Jka a da b merupaka buah la yag berbeda, dapat dtulka : Stattk da Probablta 4

41 a P (a b) b f ( ) d F(b) F(a) Per. 5. Dega dguakaya peramaa 5.8 utuk membetuk kurva ormal terlalu memerluka bayak waktu. Cara tu dapat dhdar dega dguakaya dtrbu Normal Stadar. Dtrbu Normal Stadar mempuya µ 0 da σ. Varabel radom yag terdtrbu ecara ormal dyataka dega z, jad : utuk - f () z e π Per. 5. Artya etap baga dar lua daerah d bawah kurva ormal yag la dapat dyataka d dalam lua daerah d bawah kurva ormal tadar. Jad lua daerah d bawah kurva ormal tadar telah dbuat daftarya utuk la-la z, lua daerah d bawah kurva ormal baa d ebelah kr la-la tertetu dapat dcar berdaarka peramaa : atau z µ σ µ + z σ Per. 5. Per. 5.4 Malya utuk z + dperoleh µ + σ. Dapat dlhat pada tabel dtrbu ormal, bahwa : F (z +) F ( µ + σ) 0,977 F (z -) F ( µ - σ) F (z +z) - 0,977 0,08 Bla g dketahu lua daerah d bawah kurva ormal utuk - z + yatu utuk z datara z - da z + dapat dperguaka peramaa 5. Stattk da Probablta 4

42 P (- z +) F (z +) F (z -) 0,977 0,08 0,9544 Cotoh oal Spefka dameter luar dar haft eal uatu motor pompa adalah,55 ch /d,55 ch. Rata-rata htug popula (µ),50 ch, da deva tadar (σ) 0,000 ch. Berapa pere eal yag eua dega pefka? Peyeleaa : µ,50 σ 0,000 z lmt ata utuk,55 :,55,50 z +,4 0,000 P (,55) P (z,4) 0,008 µ σ,55,55 Area equal 0,00466 Area equal 0, , z Gambar 5.4. Kurva Normal Stadar dar haft eal motor pompa lmt bawah utuk,55 : z,55,50 0,000 -,6 Oleh karea tabel dtrbu ormal haya mempuya la-la z yag potf, jad -,6 haru daggap potf. Pada tabel dperoleh la 0, la tu merupaka probablta utuk ukura haft eal kurag dar,555 ch atau : Stattk da Probablta 44

43 P (,55) P (z -,6) 0,00466 Jad probablta dameter haft eal yag eua dega pefka adalah : (0, ,008) 0,9874 atau 98,74 % Stattk da Probablta 45

44 BAB VI DISTRIBUSI SAMPLING IV.0. Pedahulua Pegambla ampel bertujua memperoleh keteraga megea popula dega megamat haya ebaga aja dar popula tu. Pegambla ampel dlakaaka karea erg tdak mugk dlakuka pegamata terhadap eluruh aggota popula atau ekalpu memugkka, tetap tdak prakt da tdak efe. Ada tujua utama dar pegambla ampel. Ketga tujua tu meujukka juga je keteraga yag bagamaa yag dkehedak dar pearka ampel tu, yatu peakra (etmato), peguja hpote (tetg of hypothee) da peramala (predcto). Dampg ketga tujua tu tetu ada lag beberapa tujua la, dataraya peyeldka apakah dua varabel tu mempuya hubuga atau tdak. VI.. Dtrbu Sampel Ekpermetal Eam buah bola domor dar 0 /d 5 dtempatka d dalam ebuah kotak. Dar dalam kotak tu ecara radom dtark ampel-ampel yag terdr dar buah bola. Blaga-blaga yag meujukka omor-omor bola terebut daggap merupaka aggota-aggota ampel. Seudah dtark ebuah ampel da dhtug harga rata-rata htugya, ketga bola tu dkembalka ke dalam kotak. Pearka ampel dlakuka ebayak.000 kal. Hal pearka tu dtujukka oleh dtrbu frekue pada tabel 6. dtrbu frekue epert damaka dtrbu ekpermetal Stattk da Probablta 46

45 Tabel 6. Dtrbu Sampel Ekpermetal f f/ (f/) (f/)( ),00,,67,00,,67,00,,67 4, ,00 0,040 0,075 0,50 0,05 0,5 0,50 0,065 0,050 0,00 0,00 0,05 0,5 0,00 0,475 0,600 0,450 0,7 0,8 0,0 0,00 0,07 0,09 0,600,007,60,50 0,7 0,67 0,480 Σ.000,54 6,74 Rata-rata htug : Σ (f/),54 Deva tadar : ( ) ( f / ) ( ) 0,5 Deva tadar dar ebuah tattk epert damaka tadar error ekpermetal dar tattk tu. Dtrbu probabltaya dapat dlhat pada tabel 6. Tabel 6. Dtrbu probablta dar popula 6 buah bola f() f() ( - µ) ( - µ) f() /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 -,5 -,5-0,5 +0,5 +,5 +,5 (6,5) /6 (,5) /6 (0,5) /6 (0,5) /6 (,5) /6 (6,5) /6 Σ,5 (7,50) /6 Dar tabel 6. dperoleh : Rata-rata htug : µ,5 Deva tadar : σ 7,5 6,7 Nla-la hampr ama dega da pada tabel 6. Stattk da Probablta 47

46 VI.. Dtrbu Sampel Teort Dtrbu ampel teort dar popula yag terdr dar 6 buah bola dapat dlhat pada tabel 6. yag hampr ama dega tabel 6., haya kolom frekue relatf dgat dega kolom probablta. Pembetuka kolom probablta tu berdaarka pertmbaga teort, buka pertmbaga ekpermetal. Bayakya komba yag beraggotaka yag dapat dbetuk dar popula yag terdr dar N meurut peramaa 4.0 adalah : C N N N!!( N )! Jad bayakya komba yag beraggotaka buah bola yag dapat dbetuk dar ebuah popula yag terdr dar N 6 buah bola adalah : 6 6 6! C 0 ampel, terdr dar :!! Tabel 6. Komba dar 6 buah bola Komba Komba Komba (0,, ) (0,, ) (0,, 4) (0,, 5) (0,, ) (0,, 4) (0,, 5),00,,67,00,67,00, (0,, 4) (0,, 5) (0, 4, 5) (,, ) (,, 4) (,, 5) (,, 4),,67,00,00,,67,67 (,, 5) (, 4, 5) (,, 4) (,, 5) (, 4, 5) (, 4, 5),00,,00,,67 4,00 Berdaarka tabel 6. duu tabel 6.4 epert dbawah : Tabel 6.4 Probablta dar 6 buah bola f Probablta f Probablta,00,,67,00, 0,05 0,05 0,0 0,5 0,5,67,00,,67 4,00 0,5 0,5 0,0 0,05 0,05 Σ 0,00 Stattk da Probablta 48

47 Setap ampel mempuya probablta yag ama (0,05). Utuk meghtug harga rata-rata htug da deva tadar (tadar error) dar dtrbu ampel teort, dbuat dahulu tabel 6.5 Tabel 6.5 Dtrbu f( ) f( ) ( ) f( ),00,,67,00,,67,00,,67 4,00 0,05 0,05 0,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0 0,05 0,05 0,0500 0,0665 0,670 0,000 0,500 0,4000 0,4500 0, 0,8 0,000 0, , , , , ,068000,50000, 0,6744 0, Σ,00,5000 6,890 σ µ f (),50 ( ) f ( ) ( µ ) 0,76 Nla-la dar ketga dtrbu dapat dbadgka epert yag terlhat pada tabel 6.6 Tabel 6.6 Nla-la parameter dar dtrbu Je dtrbu µ µ σ σ Dtrbu ampel ekpermetal Dtrbu probablta Dtrbu ampel teort, , ,5 - -, , ,75 Dapat dmpulka bahwa dapat dpaka utuk meakr atau medekat µ atau µ, jad ba daggap : Stattk da Probablta 49

48 µ µ Per. 6. Hubuga atara deva tadar popula (dar dtrbu probablta) σ da tadard error σ adalah : σ σ N N Per. 6. (ampel dar popula yag kecl) atau : σ σ Per. 6. (ampel dar popula yag bear) dega : N bayak aggota dar popula bayak ampel yag dtark σ tadard error dar harga rata-rata htug ampel teort σ deva tadar dar popula Stattk da Probablta 50

49 BAB VII PENAKSIRAN & PENGUJIAN HIPOTESIS IV.. Pedahulua Ada cara peakra yatu : peakara ttk (pot etmato) da peakara terval (terval etmato). Pada peakra ttk dcoba lagug meakr ebuah la; jad buka memaka ebuah terval epotog gar maupu beberapa ttk. Pada peakra terval, dalam teor pegambla ampel, dmalka bahwa dtrbu dar popula yag damat tu telah dketahu da berdaarka hal tu perhtuga probablta-probablta megea ampelya dperoalka. Ddalam praktek ebalkya, yag dketahu alah megea ampel yag dtark dar uatu popula da berdaarka ampel tu dcoba meark kempula-kempula megea populaya (parameterparameterya). Peakra memaka teor pegambla ampel adalah pecara bata-bata terval dar parameter yag hedak dtakr dega probablta tertetu. Dalam mecoba meyeldk uatu peroala erg dguaka uatu aggapa atau keteraga emetara megea gejala yag edag deldk tu. Suatu popula dapat daggap mempuya fat tertetu. Aggapa tu mugk alah atau juga bear. Aggapa epert tu damaka hpote, edagka peyeldka apakah hpote tu bear atau alah damaka peguja hpote (tetg of hypothe). Jad hpote adalah aggapa teort yag dapat dpertega atau dtolak ecara empr. IV.. Peakara. Peakra Ttk Peakra ttk tu meggka agar uatu parameter dtakr dega memaka atu blaga aja. Malka yag dtakr parameter-parameter µ, σ, atau ρ dega memaka tattk-tattk, da / Je-je takra ttk : a) Takra tak berpalg (ubed etmate) Stattk da Probablta 5

50 Bla ada atu parameter β da peakrya b, peakr b merupaka peakr tak berpalg bla : E(b) β Per. 7. dega E(b) pegharapa matemat dar b. Harga rata-rata htug ampel ( ) da vara ( ) merupaka peakr tak berpalg utuk harga rata-rata htug popula (µ) da vara popula (σ ), jad : E( ) µ Per. 7. E( ) σ Per. 7. buka peakr tak berpalg bag σ karea E() σ, kalau E() kσ dega k blaga tetap, ubaed etmate bag σ adalah /k, karea : E(/k) /k E() σ Per. 7.4 b) Takra efe Jka parameter yag dtakr dyataka dega β da tattk. Peakra Iterval utuk ampel bear ( > 0) Peakra memaka teor pegambla ampel adalah pecara batabata terval dar parameter yag hedak dtakr berada pada probablta tertetu. Malka aka dtakr harga rata-rata htug uatu popula (µ) yag aggotaya terdtrbu ecara ormal. Rata-rata htug terebut terletak datara : dega : z α µ + z rata-rata htug ampel tadar deva ampel z α faktor tadar atau koefe yag eua dega terval keyaka yag dpaka dalam pedugaa terval da yag laya dberka dalam tabel lua kurva ormal. α Per. 7.5 Stattk da Probablta 5

51 Cotoh Dketahu : cofdece coefcet 95% Dtaya : *) Iterval rata-rata htug popula Peyeleaa :,5% 95%,5% z + z α - α Gambar 7.. Dtrbu Normal Meurut tabel dtrbu ormal (lampra-) : 95% +,5% berart z α,96 da - z α -,96 da 0 00 Jad : 60,96. µ 60 +,96. 58,04 µ 6,96. Peakra terval utuk ampel kecl ( < 0) Utuk ampel kecl dguaka Tabel dtrbu-t (lampra). Cotoh : Dketahu : 6 0 da 8 Dtayaka : Iterval rata-rata htug popula bla cofdece coefcet 99% Peyeleaa : α 00% - 99% % atau α 0,00 ½α ½ 0,0 0,005 Meurut tabel Dtrbu-t, utuk t 0,005 da degree of freedom (df) dperoleh z α,947 Rata-rata htugya terletak datara : Stattk da Probablta 5

52 z 0,947 + α µ z 8 8 µ 0 +, ,06 µ 5,894 α 4. Meetuka bear mmum ampel Perhatka peramaa 7.5, baga ebelah kaa adalah ( z µ z z α α α µ σ ) ( µ ) Karea - µ E merupaka kealaha yag dperkeaka, dperoleh : ( z E σ ) α Jad : ( z σ α dega σ deva tadar popula (daggap dketahu) E ) Per. 7.6 Cotoh : Pajag ppa merupaka dtrbu ormal dega σ 0 cm. Berapa ampel mmal yag haru dambl agar kealaha tdak melebh cm. Dketahu cofdece coefcet 90% Jawab : 5% 90% 5% z + z α - α Stattk da Probablta 54

53 E ( - µ) cm σ 0 cm α 00% - 90% 0% ½α ½ 0% 5% Utuk lua daerah 90% + 5% 95% dperoleh Meurut peramaa 7.6 ( z ) α σ E dperoleh : (,65 7,5 0) z,65 α 5. Peakra terval utuk deva tadar Megguaka peramaa : σ z α z α Per Cotoh : Dketahu 00, deva tadar ampel () 5, cofdece coefcet 99%. Buatka peakra terval utuk deva tadard popula (σ) : Peyeleaa : Lhat tabel dtrbu Normal (lampra III) α 00% - 99% % ½α ½ % 0,5% (level of gfcat) Utuk lua daerah 99% + 0,5% 99,5% atau cofdece coefcet 0,995 dperoleh z,58 α Jad : + 5,58 * 00 σ 5,58 * 00 Stattk da Probablta 55

54 IV.. Peguja Hpote. Ukura ampel bear ( 0) Hpote yag aka duj berupa : Ho : µ µ o terhadap H : µ µ o ( ) Ho : µ µ o terhadap H : µ > µ o ( kaa) Ho : µ µ o terhadap H : µ < µ o ( kr) Keteraga : Ho H hpote yag aka duj (hpote ol) hpote alteratf µ rata-rata ukur ebearya dar popula µ o uatu la yag telah dtetapka Caraya dega : a) peguja hpote b) peguja hpote kr c) peguja hpote kaa a) Peguja Hpote Crtcal rego (dtolak) z + α - α acceptace rego (dterma) z Crtcal rego (dtolak) Kompo peguja Ho : µ µ o H : µ µ o Fug peakra : z o µ o Per. 7.8 Stattk da Probablta 56

55 Atura peguja : Tolak Ho bla z o > z α atau z o < z α Terma Ho bla - z α < z o < z α Cotoh : Suatu ampel yag terdr dar 6 buah bola baja mempuya 00 kg, µ o 0 kg da 4 kg. Cofdece coefcet 95%. Lakaaka peguja! Peyeleaa : Bla hpotea 00 kg teryata bear, berart H o dterma. Aka tetap bla hpotea 00 kg teryata alah, berart Ho dtolak atau H dterma. α 00% - 95% 5% ½α ½ 5%,5% Utuk lua daerah 95% +,5% 97,5% dperoleh z,96 da α z,96 - α teryata z < - z α 00 0 z o 4 6 jad Ho dtolak atau H dterma, berart ukura ampel 6 karug tu tdak beraal dar popula yag ama dega popula yag mempuya µ o 0 kg Stattk da Probablta 57

56 b) Peguja Hpote kr Crtcal rego (dtolak) z - α acceptace rego (dterma) Kompo peguja : Ho : µ µ o H : µ < µ o Fug peakra : z o µ o Atura peguja : Tolak Ho bla z < z α Cotoh : Terma Ho bla z > z α Suatu ampel yag terdr dar 6 buah bola baja mempuya 00 kg, 4, µ o 5 da cofdece coefcet 95%. Lakaaka peguja terhadap µ < 5 kg Peyeleaa : Ho : µ µ o H : µ < 5 cofdece coefcet 95% α 00% - 95% 5% 00 0 z o -, Jad taraf yata atau level of gfcace 0,05 Stattk da Probablta 58

57 Meurut tabel dtrbu ormal (lampra III) - z α -,65 Peratura peguja : Tolak Ho jka z < -z α, teryata z -,75 da z α -,65 jad Ho dtolak atau H dterma c) Peguja Hpote kaa acceptace rego (dterma) z Crtcal rego (dtolak) + α Kompo peguja : Ho : µ µ o H : µ > µ o Fug peakra : z o µ o Atura peguja : Tolak Ho bla z > z α Cotoh ; Terma Ho bla z < z α Ukura ampel 6 karug, 00 kg, 4, cofdece coefcet 95%. Adaka peguja terhadap peryataa µ > 95 kg Peyeleaa : Ho : µ µ o H : µ > 95 cofdece coefcet 95% z o,5 4 6 Stattk da Probablta 59

58 α 00% - 95% 5% 0,05 Berdaarka tabel Dtrbu Normal (lampra III) z α,65 Peratura peguja Tolak Ho jka z > z α Teryata z < z α Jad Ho dterma atau H dtolak. Ukura ampel kecl ( < 0) Peguja hpote utuk ukura ampel kecl dguaka Tabel Dtrbu-t (lampra IV). Cotoh ; t µ o Per. 7.9 Meurut kla mobl A meempuh rata-rata 0 km utuk etap lter be yag dpaka. Utuk meguj bear tdakya peryataa terebut telah dambl 0 buah mobl da teryata rata-rata haya meempuh 9,7 km utuk etap lter be dega deva tadar 0,4 km. Level of gfcace 0,05 Peyeleaa : Yag duj hpote ol (Ho) yag meyataka bahwa µ 0 terhadap hpote alteratf yag meyataka bahwa µ < 0. adalah peguja hpote kr. Utuk degree of freedom (df) 9 da t 0,05 pada tabel Dtrbu-t (lapra IV) memberka agka -,9. µ o 9,7 0 t -,7 0,4 0 Teryata -,7 < t 0,05, jad Ho yag meyataka µ 0 dtolak, atau yag meyataka µ < 0 dterma. Stattk da Probablta 60

59 BAB VIII ANALISIS REGRESI & KORELASI IV.4. Pedahulua Data yag terdr dar dua atau lebh varabel dapat dpelajar cara bagamaa varabel-varabel tu berhubuga. Hubuga yag ddapat pada umumya dyataka dalam betuk peramaa matematk yag meyataka hubuga fugoal atara varabel-varabel. Stud yag meyagkut maalah dkeal dega aal regre. Peroala berkutya yag draaka perlu, jka data hal pegamata terdr dar bayak varabel, alah berapa kuat hubuga atara varabelvarabel tu terjad. Dega kata la, perlu dtetuka derajat hubuga atara varabel-varabel. Stud yag membaha tetag derajat hubuga, terutama tetag data kuattatf damaka koefe korela. Aal korela ukar utuk dpahka dega aal regre. IV.5. Aal Regre a. Macam-macam hubuga a.. Hubuga Potf Jka faktor yag atu bertambah, faktor yag laya-pu bertambah pula. Cotoh : Hubuga atara berat bada da umur a.. Hubuga Negatf Gambar 8. Hubuga Potf Apabla faktor yag atu bertambah, faktor yag laya aka berkurag. Stattk da Probablta 6

60 Cotoh : Hubuga atara paoka da harga a.. Hubuga Cekug Gambar 8. Hubuga Negatf Apabla faktor yag atu bertambah, faktor yag laya aka berkurag tetap elajutya bertambah Cotoh : Hubuga atara umur eeorag dega baya perawata. a.4. Hubuga Cembug Gambar 8. Hubuga Cekug Apabla faktor yag atu bertambah, faktor yag laya aka bertambah lebh bear tetap kemuda meuru lag Cotoh : hubuga atara pedapata da pegeluara Gambar 8.4 Hubuga Cembug b. Peyeldka ada tdakya hubuga b.. Dega memperguaka tabel Tabel terdr dar kolom utama. Kolom pertama faktor yag la-laya berubah beratura dar la yag kecl ke la yag bear. Sedgka kolom yag laya meyataka berapa Stattk da Probablta 6

61 laya pada waktu faktor d kolom pertama mecapa uatu la tertetu. Pada tabel 8. dtujukka hubuga atara umur da berat eeorag. Tabel 8. Hubuga atara umur da berat Umur Berat Ttk , ,5 4,5 9 4, H G I C D M A E K N B J F L b.. Dega Scattergram Hubuga atara umur da berat pada tabel 8. dapat dtujukka dega grafk yag debut Scattergram epert pada gambar H I G C D E M A K N F B J L Gambar 8.5 Scattergram hubuga atara umur da berat eeorag Stattk da Probablta 6

62 c. Gar Regre Gar regre adalah gar yag meujukka arah da bearya hubuga atara faktor, eudh pegaruh-pegaruh laya dhlagka. Gambara gar regre dapat dlakuka dega beberapa cara : c.. Cara Perkraa Cara palg ederhaa. Dega perkraa meetuka bagamaa ebakya letak da arah gar yag mewakl data yag telah d plot pada tem umbu XY. Mugk aka dtark gar yag berbeda oleh orag yag berbeda. Pada gambar 8.5 gar tu dtark ebaga l atau l. c.. Cara Pegambla rata-rata Dega cara dambl rata-rata dar beberapa agka teredah da rata-rata dar beberapa agka tertgg Cotoh (lhat tabel 8.) Rata-rata htg utuk 4 agka teredah : Umur : Berat : ( ) 4 ( ) 4,8,8 Halya alah ttk (A) dega ab,8 da ordat,8 Rata-rata htug utuk 4 agka tertgg : Umur : ( ) 4 Berat : ( ,5) 4 46,6 Halya alah ttk (B) dega ab da ordat 46,6 Stattk da Probablta 64

63 Dega cara dua rata-rata dapat pula dtemuka gar regre dalam betuk peramaa gar. Utuk gar yag meghubugka buah ttk (, y ) da (, y ) adalah yag memeuh peramaa y y y y ( ) Jad gar yag meghubugka ttk-ttk (,8 ;,8) da ( ; 46,6) dperoleh dega perhtuga : c.. Metode Leat Square 46,6,8 y,8 (,8),8 4,8 y,8 (,8) 8, y,8,8 4,8 y,8 + 7 Cara adalah cara yag palg lazm dpaka. Utuk memperoleh gar regre dalam betuk peramaa gar y a + b dperluka dua peramaa : a a + b ( y ) + Nb y Sebaga cotoh, tabel 8. dapat dkembagka mejad Tabel 8. ebaga berkut : Tabel 8. Tabel utuk Metode Leat Square y y , ,5 4,5 9 4, , ,5 807, ,5 Per. 8. Per. 8. Stattk da Probablta 65

64 a b + y 477 a + 5 b 095 () a + Nb y 5 a + 4 b 554 () () * 4 : a +.54 b 44.0 () * 5 : a +.54 b dar peramaa () 5 a + 4 b a b 554 (5,8) b 6,5 a,8 Peramaa gar regre : y,8 + 6,5 Peramaa gar regre dapat dguaka utuk memperkraka faktor-faktor yag tdak terdapat dalam faktor yag meetuka gar regre terebut. Memperkraka faktor yag ada d atara data daar debut terpola. Malka memperkraka berat bada dar orag yag berumur 5 tahu, dega 5 dapat dhtug y berdaarka peramaa gar regre y,8 + 6,5 ehgga dperoleh y,95. Jad utuk umur 5 tahu, berat bada orag terebut adalah,95 kg. Memperkraka faktor d luar bata data daar debut ektrapola. Malka memperkraka berat bada orag yag berumur 4 tahu atau 4, dperoleh y 50,4 atau berat bada orag terebut adalah 50,4 kg. IV.6. Aal Korela a. Nla-la koefe korela (r) Stattk da Probablta 66

65 a.. Bearya la koefe korela terletak datara - da + atau - r + a.. Apabla dua faktor mempuya hubuga yag tepat ekal, koefe korelaya adalah r + atau r - a.. koefe korela r 0 meyataka tdak ada hubuga atara kedua faktor a.4. uatu hubuga dyataka potf, apabla la-la faktor pertama megkat, la-la faktor kedua megkat pula a.5. uatu hubuga dyataka egatf, apablala-la faktor pertama megkat, la-la faktor kedua meuru b. Tekk meghtug koefe korela (cara Pearo) b.. Dega rata-rata deva Utuk medapatka la r, dperguaka la perbedaa etap faktor ( ) dega rata-rata htugya, yatu y y y dalam peramaa : b.. Dega metode Raw Score Cotoh : r r y y y y. y N. da Aka dhtug koefe korela r dar kedua paaga la da y epert pada Tabel 8. kolom da. Gua keperlua ubttu utuk peramaa (8.) da (8.4) yag dpaka, Tabel 8. dlegkap dega kolom-kolom elajutya berka faktor-faktor yag dperluka. Per. 8. Per. 8.4 Stattk da Probablta 67

66 5 7 9 y Tabel 8. Tabel utuk koefe korela y y y y y y y Kolom ke- da eteruya dperoleh etelah terlebh dahulu megtug rata-rata htug dar da da y. Koefe korela dega : a. Rata-rata deva y mag-mag, yatu 7 y r y b. Metode Raw Score 8 5 0,8 Utuk meghtug deva tadar dapat dguaka dua cara. Cara baa, meurut peramaa (.0) ( ) y ( y y) Stattk da Probablta 68

67 5 y Cara khuu (hort method), meurut peramaa (.) ( ) 7 (455) 7 4 y y ( y) 7 y (45) 6 Jad koefe korela dega metode Raw Score adalah : r y. y N. y (7 ) 4 6 r 0, ,7 4 0,8 Stattk da Probablta 69

68 BAB IX ANALISIS VARIANS IV.7. Def Aal vara adalah alah atu cara aal yag bergua bag maajeme dalam megambl kempula ecara tattk. Dega perkataa la adalah alah atu cara aal vara yag terjad datara kelompok data. IV.8. Peramaa Fher & Wlk Utuk dtrbu ampel dega 00, Fher da Wlk member peramaa vara da deva tadar : ( ) ( ) Per. 9. Per. 9. Peramaa (9.) dapat dederhaaka mejad : ( ) Per. 9. Deva tadar ebetulya dguaka utuk peakra yag tdak ba (ubaed etmate) terhadap deva tadar popula. Bayak tatt yag megajurka pegguaa pembag dalam meghtug vara da deva tadar ampel gua meakr vara da deva tadard popula. Bla jumlah kecl, hal pegguaa peramaa (9.) megk berbeda ecara berart dbadgka dega hal pegguaa peramaa (.). ebalkya bla jumlah bear ekal, perbedaa tu mejad tdak berart. f ( ) Per.. Stattk da Probablta 70