UCAPAN TERIMA KASIH. Salam Hangat, Mahasiswa Kampus Mengajar

Transkripsi

1

2 UCAPAN TERIMA KASIH Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan hidayah-nya kami dapat menyelesaikan salah satu program kerja yang kami rencanakan pada kegiatan Kampus Mengajar Angkatan 3, yaitu menyusun modul pembelajaran dengan judul, Cepat dan Mudah Belajar Matematika Tingkat Sekolah Dasar. Buku ini kami persembahkan secara khusus kepada siswa-siswi di SD Negeri Satria Mekar 02, yang mudah-mudahan bisa meningkatkan pendidikan berkualitas dan bermutu. Kami berharap buku ini bisa menjadi motivasi bagi seluruh pelajar untuk memperluas wawasan dan mengembangkan ilmu pengetahuan seputar dunia numerasi. Terima kasih kami ucapkan kepada Dosen Pembimbing Lapangan kami, Bapak Dede Firmansyah Saefudin, M.Kom., terima kasih kepada Kepala SD Negeri Satria Mekar 02 Bapak Nasihin, S.Pd., terima kasih kepada guru pembimbing kami Ibu Nunung, S.Pd., Dan tak lupa, kami ucapkan terima kasih banyak kepada seluruh guru di SD Negeri Satria Mekar 02. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada dukungan semua pihak yang tidak bisa kami sebutkan satu-per-satu. Mohon maaf apabila terdapat banyak kekurangan dari penyusunan buku ini. Semoga hadirnya buku ini bisa menambah semangat dari para siswa-siswi untuk terus mempelajari ilmu matematika. Karena matematika itu mudah dan menyenangkan! Salam Hangat, Mahasiswa Kampus Mengajar 2

3 DAFTAR ISI BAB 1 KELIPATAN FAKTOR DAN BILANGAN Kelipatan dan Faktor Suatu Bilangan Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan Faktor Persekutuan Dua Bilangan Bilangan Prima Faktor Prima Suatu Bilangan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) FPB dari Dua Bilangan KPK dari Dua Bilangan... 9 BAB 2 OPERASI HITUNG BILANGAN Sifat Operasi Hitung Bilangan Sifat Komutatif (Pertukaran) Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Sifat Distributif (Penyebaran) BAB 3 PENGUKURAN Pengukuran Baku Panjang Pengukuran Baku Berat Pengukuran Baku Waktu BAB 4 BILANGAN BULAT Pengertian Bilangan bulat Operasi Bilangan Penjumlahan Bilangan Bulat Pengurangan Bilangan Bulat Perkalian Bilangan Bulat Pembagian Bilangan Bulat Pengerjaan Hitung Campuran

4 4.4 Sifat Operasi Bilangan Bulat Bilangan Bulat Berpangkat BAB 5 BILANGAN PECAHAN DAN BILANGAN DESIMAL Pengertian Pecahan Bilangan Pecahan Senilai Bilangan Pecahan Murni, Senama, dan Campuran Pengertian Bilangan Pecahan Desimal BAB 6 BANGUN RUANG DAN BANGUN DATAR Pengertian Bangun Ruang Pengertian Bangun Datar BAB 7 PERBANDINGAN DAN SKALA Perbandingan Skala BAB 8 KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR SEDERHANA BAB 9 LETAK BILANGAN PADA GARIS BILANGAN Cara Mengurutkan dan Menentukan Letak Bilangan di Garis Bilangan BAB 10 PENGOLAHAN DATA Pengumpulan Data Penyajian Data Pengolahan Data BAB 11 BILANGAN ROMAWI Mengenal Bilangan Romawi Membaca Bilangan Romawi Aturan Penjumlahan Bilangan Romawi Aturan Pengurangan Bilangan Romawi Aturan Gabungan BAB 12 PENGUKURAN SUDUT, WAKTU, PANJANG, DAN BERAT

5 12.1 Pengukuran Sudut Perbandingan Titik Sudut Pengukuran Sudut dengan Busur Hubungan Sudut dengan Arah Mata Angin Perputaran pada Jarum Jam Hubungan Antar Satuan Waktu, Panjang, dan Berat Satuan Waktu (hubungan antara hari, minggu, bulan dan tahun) Satuan Panjang Satuan Berat BAB 13 MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME Persegi Persegi Panjang Segitiga Lingkaran Belah Ketupat Trapesium Layang-Layang Jajar Genjang Rumus Luas Bangun Datar Bagian-bagian Bangun Ruang BAB 14 SISTEM KOORDINAT Pengertian Sistem Koordinat Kartesius BAB 15 PERPANGKATAN DAN AKAR DAFTAR PUSTAKA

6 BAB 1 KELIPATAN FAKTOR DAN BILANGAN 1.1 Kelipatan dan Faktor Suatu Bilangan Bilangan asli merupakan bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, 4,..., dan seterusnya. Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan asli (1, 2, 3, 4,...). Jika semua bilangan asli dikalikan dengan 2, maka diperoleh bilangan kelipatan dua, seperti 2, 4, 6, 8, 10, 12,... Dengan cara yang sama, maka: Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18,... dan seterusnya. Faktor suatu bilangan adalah pembagi habis dari suatu bilangan. Faktor disebut juga pembagi. Jika bilangan A habis dibagi oleh bilangan B, maka dikatakan B adalah faktor dari A Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan Untuk menentukan suatu kelipatan persekutuan dua bilangan, kita dapat melakukannya dengan cara berikut. a) Tentukan kelipatan dari setiap bilangan, b) Tentukan bilangan yang sama dari dua kelipatan bilangan, c) Tandai bilangan yang sama. Bilangan yang sama atau bersekutu dari dua bilangan tersebut disebut dengan kelipatan persekutuan. Contoh: Tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4! Jawaban: Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,. 6

7 Bilangan itu diperoleh dari 1 3 = = = = 12, dan seterusnya. Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,. Bilangan itu diperoleh dari 1 4 = = = = 16, dan seterusnya. Dari bilangan-bilangan di atas antara kelipatan 3 dan 4, terdapat beberapa bilangan yang sama, yaitu 12, 24, 36 dan seterusnya. Bilanganbilangan tersebut itulah yang merupakan kelipatan persekutuan Faktor Persekutuan Dua Bilangan Untuk menentukan faktor persekutuan dari dua bilangan dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut. a) Tentukan faktor dari kedua bilangan. b) Lingkari faktor-faktor yang sama dari kedua bilangan. c) Faktor-faktor yang sama (bersekutu) dari dua bilangan tersebut disebut faktor persekutuan. Contoh: Faktor dari 8 = 1, 2, 4, 8 Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 Bilangan-bilangan yang sama pada kedua faktor bilangan di atas disebut faktor persekutuan dari 8 dan 12. Jadi, faktor persekutuan dari 8 dan 12 adalah 1, 2, 4. 7

8 1.2 Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan yang mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan prima antara lain 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Perhatikanlah faktor dari beberapa bilangan berikut ini! Faktor dari 2 adalah 1 dan 2. Jadi, 2 adalah bilangan prima. Faktor dari 3 adalah 1 dan 3. Jadi, 3 adalah bilangan prima. Faktor dari 5 adalah 1 dan 5. Jadi, 5 adalah bilangan prima. Bilangan 1 bukan bilangan prima sebab bilangan 1 hanya memiliki satu faktor, yaitu bilangan 1 itu sendiri. Bilangan 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap Faktor Prima Suatu Bilangan Contoh: Tentukan faktor prima dari 12. Jawaban: Cara 1: Terlebih dahulu cari faktor 12. Faktor 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Faktor prima dari 12 = 2 dan 3. Cara 2: Dengan membuat pohon faktor dari

9 Jadi, faktor prima dari 12 adalah 2 dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) FPB dari Dua Bilangan Untuk menentukan FPB dari dua bilangan terlebih dahulu dicari faktor dari masing-masing bilangan. Kemudian dicari faktor persekutuannya. Setelah itu dipilih bilangan yang terbesar. Coba perhatikanlah contoh-contoh berikut ini! 1. Tentukanlah FPB dari 16 dan 30. Jawab: Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16. Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Faktor persekutuan dari 16 dan 30 adalah 1 dan 2. Jadi, FPB dari 12 dan 16 adalah Tentukanlah FPB dari 8 dan 24. Jawab: Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8. Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Faktor persekutuan dari 8 dan 24 adalah 1, 2, 4, 8. Jadi, FPB dari 8 dan 24 adalah KPK dari Dua Bilangan Untuk menentukan KPK dari dua bilangan, terlebih dahulu dicari kelipatan dari masing-masing bilangan tersebut, kemudian dicari kelipatan 9

10 persekutuannya. Setelah itu dipilih bilangan yang terkecil. Coba perhatikan contoh-contoh di bawah ini! 1. Berapakah KPK dari 6 dan 8? Jawab: Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,. Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,. Kelipatan persekutuan dari 6 dan 8 adalah 24, 48,. Jadi, KPK dari 6 dan 8 adalah Berapakah KPK dari 4 dan 5? Jawab: Kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,... Kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,... Kelipatan persekutuan dari 4 dan 5 adalah 20, 40,... Jadi, KPK dari 4 dan 5 adalah 20. LATIHAN SOAL 1. Tentukan kelipatan persekutuan dari 10 dan 20! 2. Apakah 45 dan 75 termasuk kelipatan persekutuan dari 15 dan 30? Jelaskan! 3. Tentukan faktor persekutuan dari 12 dan 18! 4. tentukan faktor prima dari 45! 5. Tentukan faktor prima dari 78 dengan menggunakan pohon faktor! 6. Tentukan FPB dari 20 dan 25! 7. Tentukan FPB dari 15 dan 30 dengan menggunakan pohon faktor! 8. Tentukan KPK dari 14 dan 28! 9. Tentukan KPK dari 18 dan 27 menggunakan pohon faktor! 10. Apakah 6 termasuk FPB dari 42 dan 60? Jelaskan! 10

11 PEMBAHASAN LATIHAN SOAL 1. Kelipatan 10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 80, 90, 100,... Kelipatan 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120,... Jadi, kelipatan persekutuan dua bilangan dari 10 dan 20 adalah 20, 40, 60, 80, 100, dan = 15, 30, 45, 60, 75, = 30, 60, 90, 120. Jadi, dapat disimpulkan bahwa 30, 60, 90,... adalah kelipatan persekutuan dua bilangan dari 15 dan 30, bukan 45 dan dan 18 Faktor persekutuan 12 = 12 = 1, 2, 3, 4, 6, = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan Faktor 45 = 1, 3, 5, 9, 15, dan 45 Jadi, faktor prima dari 45 adalah 3 dan Jadi, faktor prima dari 78 adalah 2, 3, dan

12 6. 20 dan = 1, 2, 4, 5, 10, = 1, 5, 25 Faktor persekutuan dari 20 dan 25 adalah 1 dan 5 Maka, FPB dari 20 dan 25 adalah dan = = FPB = 3 5 = 15. Jadi, FPB dari 15 dan 30 adalah dan = 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, = 28, 56, 84, 112, 140, 168,... Kelipatan persekutuan dari 14 dan 28 adalah 28, 56, 84,... KPKnya adalah dan

13 18 = = KPK = = dan = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Faktor persekutuan dari 42 dan 60 adalah 1, 2, 3, dan 6 Maka FPB dari 42 dan 60 adalah 6. 13

14 BAB 2 OPERASI HITUNG BILANGAN Operasi hitung bilangan merupakan kegiatan yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam suatu perhitungan susunan angka atau bilangan. Pengurangan: mengambil sejumlah bilangan dari bilangan tertentu sehingga jumlah bilangannya berkurang. Perkalian: penjumlahan yang berulang. Perkalian juga dapat diartikan dengan menjumlakan bilangan yang sama sebanyak bilangan pengali. Pembagian: pengurangan yang berulang, pembagian juga dapat diartikan dengan membagi suatu bilangan dalam beberapa kelompok dengan jumlah yang sama. 2.1 Sifat Operasi Hitung Bilangan Sifat Komutatif (Pertukaran) Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pertukaran atau sifat komutatif, yaitu: a + b = b + a a b = b a Contoh: Apakah benar = ? Jawaban: = =... Jadi, = =... Sifat bahwa: =

15 = disebut sifat komutatif atau pertukaran penjumlahan. Contoh: 4 2 = = = = 8 Dari perkalian di atas, terlihat bahwa 4 2 = Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pengelompokan atau sifat asosiatif, yaitu: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Contoh: Coba hitung dari dua sisi, yaitu dari kiri dan dari kanan. Jawab: Menjumlahkan dari kiri: = (3 + 7) + 8 = = 18 Menjumlahkan dari kanan: = 3 + (7 + 8) = = 18 Ternyata diperoleh hasil yang sama. Jadi, (3 + 7) + 8 = 3 + (7 + 8) Sifat Distributif (Penyebaran) Sifat penyebaran atau sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan sebagai berikut. 15

16 a (b + c) = (a b) + (a c) a (b c) = (a b) (a c) Contoh: 1. (9 13) (9 3) = 9 (13 3) = 9 10 = = 25 ( ) = ( ) (25 1) = = LATIHAN SOAL = = (-28) = = (-42) + 72 : (-8) (-14) = : 5 = (-29) = (-154) = (18 + (-27)) = (-45) =... PEMBAHASAN LATIHAN SOAL = -(4 2) = = -(8 + 6) =

17 3. 32 (-28) =... (32 (-28)) =... (-896) =... -( ) = =... ( ) = = (-42) + 72 : (-8) (-14) =... (-42) + (72 : (-8)) (-14) =... (-42) + (-9) + 14 =... (-51) + 14 = -(51 14) = : 5 = (-29) =... ((-29) 21) + 36 =... (-50) + 36 = -(50 36) = = -( ) = x (18 + (-27)) = x (-9) = = -(45-30) =

18 BAB 3 PENGUKURAN 3.1 Pengukuran Baku Panjang Pengukuran baku merupakan suatu pengukuran yang hasilnya tetap atau standar. Pembelajaran sekolah di Indonesia lebih menggunakan pengukuran baku sistem metrik. Satuan baku yang berlaku untuk mengukur panjang sebuah benda ataupun jarak diantaranya yaitu kilometer (km), hektometer (hm), dekameter (dam), meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm), dan millimeter (mm). sumber: advernesia.com Mengonversikan satuan panjang dapat dilakukan dengan aturan sebagai berikut: setiap turun 1 satuan ukuran panjang maka dikalikan 10, setiap naik 1 satuan ukuran panjang maka dibagi

19 Contoh: 10 cm =... m Jawab: Jika dilihat dari satuan tangga, dari cm ke mm adalah turun satu tangga. Maka penyelesaiannya, 10 cm = mm 10 m = 100 mm 3.2 Pengukuran Baku Berat Untuk menentukan berat suatu benda dengan satuan baku dapat menggunakan alat yang disebut timbangan. Ada berbagai jenis timbangan sesuai dengan kegunaannya masing-masing. Timbangan berat badan, biasa digunakan untuk menimbang berat badan anak-anak hingga dewasa. Timbangan neraca, biasa digunakan untuk menimbang perhiasan. Timbangan rumah tangga, biasa digunakan untuk keperluan rumah tangga, seperti menimbang bahan-bahan kue. Timbangan bebek, biasa digunakan di pasar untuk menimbang buah, sayur, telur, tepung terigu, dan sebagainya. Timbangan digital, biasa digunakan di swalayan untuk menimbang buah, daging, sayur, dan sebagainya. Sama halnya dengan pengukuran baku satuan panjang yang memiliki tangga, pengukuran berat juga memilikinya. Satuannya terdiri dari kilogram (kg), hektogram (hg), dekagram (dag). Gram (g), desigram (dg), centigram (cg), miligram (mg). 19

20 sumber: advernesia.com Contoh: mg =... g Jawab: Jika dilihat dari satuan tangga, dari mg ke g adalah naik tiga tingkat. Jadi penyelesaiannya, mg = g mg = 10 g 3.3 Pengukuran Baku Waktu Alat yang biasa kita gunakan untuk mengukur waktu adalah arloji, jam dinding, dan stopwatch. Ketelitian sebuah arloji dan jam dinding umumnya satu detik, sedangkan stopwatch bias mencapai ketelitian 0,001 detik. Arloji adalah penunjuk waktu yang terus bertambah tampilan waktunya. Arloji lebih sering digunakan untuk menunjukan waktu pada saat tertentu. Namun, dengan mencatat waktu dua peristiwa masa 20

21 selang waktu terjadinya dua peristiwa tersebut dapat ditentukan. Selang waktu tersebut adalah selisih waktu yang ditampilkan oleh arloji. Stopwatch digunakan untuk mencatat lama waktu antara dua peristiwa. Stopwatch memiliki beberapa tombol. Tombol reset digunakan untuk menol-kan ltampilan. Tombol start digunakan untuk memulai pencatatan waktu. Tombol stop digunakan untuk menghentikan pencacahan waktu. Tombol start dan stop dapat merupakan satu rombol atau merupakan tombol yang berbeda. Jam pasir juga dapat digunakan untuk mencatat selang waktu. Jam ini terdiri dari dua buah wadah yang dihubungkan oleh pipa kecil. Material berupa butir-butir seukuran pasir diisi dalam wadah tersebut. Jika mula-mula semua material berisi di wadah atas maka material akan turun perlahan-lahan ke wadah bawah akibat gravitasi. Waktu yang diperlukan material untuk turun seluruhnya sudah tertentu. Ketika kita balik posisi jam maka waktu yang dibutuhkan oleh material turun ke wadah bawah kembali sama. Berikut bagan mengenai satuan waktu. 1 menit = 60 detik 1 tahun = 12 bulan 1 jam = 60 menit 1 tahun = 52 minggu 1 hari = 24 jam 1 tahun = 365 hari 1 minggu = 7 hari 1 windu = 8 tahun 1 bulan = 4 minggu 1 dasawarsa = 10 tahun 1 bulan = 30 hari 1 abad = 100 tahun 21

22 LATIHAN SOAL 1. bulan =... hari 2. 5 dasawarsa =... bulan 3. 5 jam + 30 menit =... menit km =... dm 5. 8 hm =... cm dm =... m 7. 0,7 dag =... cg 8. 7 hg =... kg cg =... g kg + 1 hg =... dg PEMBAHASAN LATIHAN SOAL 1. 3 bulan =... hari 1 bulan = 30 hari, maka 3 bulan = 3 30 = 90 hari 2. 5 dasawarsa =... bulan 1 dasawarsa = 10 tahun 1 tahun = 12 bulan 10 tahun = = 120 bulan Maka, 5 dasawarsa = = 600 bulan 3. 5 jam + 30 menit =... menit Jika 1 jam = 60 menit, maka (5 60) + 30 menit =... menit menit = 330 menit 22

23 4. 30 km =... dm 30 km = dm 30 km = dm 5. 8 hm =... cm 8 hm = cm 8 hm = cm dm =... m 3000 dm = m 3000 dm = 300 m 7. 0,7 dag =... cg 0,7 dag = 0, cg 0,7 dag = 700 cg 8. 7 hg =... kg 7 hg = 7 10 kg 7 hg = 0, 7 kg cg =... g 10 cg = g 10 cg = 0,1 g kg + 1 hg =... dg ( ) dg + ( ) dg =... dg = dg 23

24 BAB 4 BILANGAN BULAT 4.1 Pengertian Bilangan bulat Bilang bulat adalah semua bilang selain pecahan atau desimal, terdiri atas bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif Bilangan bulat negatif Nol Bilangan bulat positif Operasi Bilangan Penjumlahan Bilangan Bulat Jika menggunakan garis bilangan maka bilangan positif digambarkan dengan tanda panah arah ke kanan, sedangkan bilangan negatif digambarkan dengan tanda panah ke kiri. Penjumlahan bilangan bulat positif Pada penjumlahan bilangan bulat positif maka hasilnya adalah bilangan positif. Contoh: = 10 Hasilnya

25 Penjumlahan bilangan bulat negatif Pada penjumlahan bilangan bulat negatif maka hasilnya adalah bilangan negatif. Contoh: -7 + (-2) = -9 Penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif Pada penjumalahan bilangan bulat positif dengan negatif maka hasilnya mengikuti tanda pada nilai yang paling besar. Contoh: 10 + (-7) = 3 (hasilnya positif karena angka 10 positif memiliki nilai yang lebih besar daripada 7 negatif) = -3 (hasilnya negatif karena angka 10 negatif memiliki nilai yang lebih besar daripada 7 positif) Pengurangan Bilangan Bulat Pengurangan bilangan bulat positif Jika a > b maka berlaku: a - b, hasilnya positif Contoh: 7-3 = 4 Jika a < b maka berlaku: a - b, hasilnya negatif Contoh: 3-7 = -4 Pengurangan bilangan bulat negatif Jika nilai a > b maka berlaku: -a - (-b) = -a + b, 25

26 hasilnya negatif Contoh: -7-(-5) = -7+5 = -2 Pengurangan bilangan bulat positif dengan negatif Jika bilangan a positif dan b negatif maka berlaku a - (-b) = a + b, hasilnya positif Contoh: 5 - (-4) = = 9 -b -a hasilnya negatif Contoh: -4-5 = Perkalian Bilangan Bulat Perkalian bilangan positif Pada perkalian bilangan positif maka hasilnya adalah bilangan positif. Contoh: 7 3 = 21 Perkalian bilangan negatif Pada perkalian bilangan negatif maka hasilnya adalah bilangan positif. Contoh: -5 (-7) = 35 Perkalian bilangan positif dengan negatif Pada perkalian bilangan positif dengan negatif maka hasilnya adalah bilangan negatif. Contoh: 6 x (-8) = Pembagian Bilangan Bulat Pembagian bilangan positif 26

27 Pada hasilnya pembagian bilangan positif maka hasilnya adalah positif. Contoh: 25 : 5 = 5 Pembagian bilangan negatif Pada pembagian bilangan negatif maka hasilnya adalah positif. Contoh: -54 : -9 = 6 Pembagian bilangan positif dengan negatif Pada pembagian bilangan positif dengan negatif maka hasilnya adalah negatif. Contoh: 90 : -15 = Pengerjaan Hitung Campuran 1. Pekalian dan pembagian harus didahulukan daripada penjumlahan dan pengurangan. Contoh: = -2 x = = = Perkalian dan pembagian sama tingkatannya maka pengerjaannya dimulai dari sebelah kiri. Contoh: = 36 : 3 x 2 : 4 12 = 12 x 2 : 4 24 = 24 : 4 = 6 27

28 3. Penjumlahan dan pengurangan sama tingkatannya, pengerjaannya dimulai dari sebelah kiri. Contoh: = = = 16 7 = Sifat Operasi Bilangan Bulat 1. Sifat Komutatif (Pertukaran) pada Penjumlahan dan Perkalian Contoh: = = x 5 = 5 x 12 = 60 a + b = b + a a x b = b x a 2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) pada Penjumlahan dan Perkalian a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c Contoh: 5 + (6 + 7) = (5 + 6) + 7 = 18 3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5 = Sifat Distributif (Penyebaran) a x (b + c) = (a x b) + ( a x c) a x (b - c) = (a x b) - ( a x c) 28

29 Contoh: 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + ( 3 x 5) = 27 2 x (8-4) = (2 x 8) - ( 2 x 4) = Bilangan Bulat Berpangkat Jika A adalah suatu angka bilangan bulat dan n adalah pangkatnya maka bilangan pangkat dituliskan sebagai berikut: A n = A x A x A x A x A. (sebanyak n kali) Contoh: 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 (-6) 3 = (-6) x (-6) x (-6) = -216 LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Nilai dari 7 + ((-1) x 3) adalah... A. -11 B. -1 C. 1 D. 11 Pembahasan: 7 + ((-1) x 3) = 7 + ((-1) x 3) = (7 + (-3)) = (4 + 7) = (11-3)

30 = 8-9 = Hasil dari 5 + (6 : (-2)) adalah... A. 3 B. 2 C. 4 D. -5 Pembahasan: 5 + (6 : (-2)) = 5 + (-3) = 2 3. Berikut ini kalimat bilangan yang tepat adalah... A (4 x 6) = 11 B. (50-4) = 11 C (6 + 2) - 7 = 11 D x 6 + (2-7) = 11 Pembahasan: A (4 x 6) = 50 - (24) = ((26) + 2) - 7 = (28) - 7 = 21 B. (50-4)

31 = ((46) x 6) = ((276) + 2) - 7 = (274) - 7 = 267 C (6 + 2) - 7 = 50 - (4 x (8)) - 7 = (50 - (32)) - 7 = 18-7 = 11 D x 6 + (2-7) = 50 - (4 x 6) + (-5) = (50 - (24)) + (-5) = 26 + (-5) = 21 Jadi, jawaban yang tepat adalah C, yaitu 50-4 (6 + 2) - 7 = Tentukan hasil dari (10 : 2) + (2 x -5) 2 = A. 7 B. -7 C. -17 D. 17 Pembahasan: = (10 : 2) + (2 x -5) 2 31

32 = 5 + (-10) (2) = = 7 Jadi hasil dari (10 : 2) + (-5 x 2) 2 =. adalah 7 5. Hitunglah hasil dari operasi hitung bilangan dari x : 9 = A B C D Pembahasan: = x : 9 = 20 + (56 x 48) (216:9) = = Hitunglah operasi hitung campuran bilangan dari (-8) 6 x (-72) : A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 Pembahasan: (-8) 6 x (-72) : =. = (-8) (6 x (-72) : = (-8) (-432 :16) 10 = (-8) (-27) 10 32

33 = (-8) = 9 Jadi hasil dari (-8) 6 x (-72) : =. adalah 9 Jadi, jawaban yang tepat adalah B (12 : 3) x 2 =.. A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 Pembahasan: = 8 + (4) x 2 = = 16 Sehingga hasil dari 8 + (12 : 3) x 2 adalah 16. Jadi, jawaban yang tepat adalah C 8. Tentukan hasil dari (10 : 2) + (2 x -5) 2 = A. -3 B. -5 C. -9 D. -7 Pembahasan: = (10 : 2) + (2 x -5) 2 = 5 + (-10) (2) = = 7 33

34 Jadi hasil dari (10 : 2) + (-5 x 2) 2 =. adalah 7 Jadi, jawaban yang tepat adalah D 9. Berapa hasil dari (125 x 8) + 2 =. A. 202 B. 204 C. 210 D. 212 Pembahasan: (125 x 8) + 2 = (125 x 8) + 2 = (125 x 8) + 2 = 202 Jadi, jawaban yang tepat adalah A 10. Berapa hasil dari (-14) (-37) + (-25) =. A. -4 B. -6 C. -2 D. -8 Pembahasan: (-14) (-37) + (-25) = (-25) (-14) (-37) + (-25) = 23 + (-25) (-14) (-37) + (-25) = (-14) (-37) + (-25) = -2 Jadi, jawaban yang tepat adalah C 34

35 BAB 5 BILANGAN PECAHAN DAN BILANGAN DESIMAL 5.1 Pengertian Pecahan Perhatikan gambar di bawah ini! Jika sebuah kertas kita gunting menjadi 6 bagian yang sama besar maka masing-masing bagiannya adalah 1 (dibaca satu per enam ) bagian dari 6 semula Bilangan Pecahan Senilai Perhatikan ilustrasi berikut ini! Bilangan-bilangan pecahan senilai adalah bilangan-bilangan pecahan yang cara penulisannya berbeda tetapi mempunyai hasil bagi yang sama, atau bilangan-bilangan itu mewakili daerah yang sama, atau mewakili bagian yang sama. 35

36 5.1.2 Bilangan Pecahan Murni, Senama, dan Campuran A. Bilangan Pecahan Murni Berikut akan diuraikan tentang bilangan pecahan murni, senama, dan campuran. 1) Bilangan Pecahan Murni Bilangan pecahan murni disebut juga bilangan pecahan sejati adalah bilangan pecahan yang paling sederhana (tidak dapat disederhanakan lagi). Contoh bilangan murni antara lain: B. Bilangan Pecahan Senama Bilangan-bilangan pecahan yang mempunyai penyebut sama dinamakan bilangan-bilangan pecahan senama. Contoh bilangan pecahan senama antara lain: C. Bilangan Pecahan Campuran Perhatikan gambar berikut! 1/2 bagian 1/2 bagian 1/2 bagian Bagian yang diarsir dari seluruh gambar di atas adalah 3 2 bagian. 1 bagian 1/2 bagian Bagian yang diarsir dari seluruh gambar di atas adalah 1 bagian ditambah 1 2 bagian atau

37 5.2 Pengertian Bilangan Pecahan Desimal Bilangan desimal adalah bilangan yang memuat tanda koma (,) Mengubah Penulisan Bilangan Pecahan dari Bentuk Biasa ke Desimal dan Sebaliknya. Mengubah penulisan bilangan pecahan dari bentuk pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: (1) menggunakan bilangan pecahan senama dengan penyebut kelipatan 10, dan (2) menggunakan cara pembagian panjang. Untuk mengubah penulisan bilangan pecahan dari bentuk pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal menggunakan cara (1), perhatikan contoh berikut ini. 37

38 Mengubah penulisan bilangan pecahan dari bentuk pecahan desimal ke bentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan memperhatikan bilangannya. Jika bilangan yang ditulis sebagai pecahan desimal itu memuat sejumlah bilangan yang berhingga, maka kita dapat memanfaatkan sistem nilai tempat; sedangkan jika bilangan yang ditulis sebagai pecahan desimal itu memuat sejumlah bilangan yang tidak berhingga tetapi berulang, maka kita harus memanipulasi bilangan itu sehingga bentuk pecahan desimalnya diperoleh. LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN 1. 25% jika diubah ke bentuk pecahan biasa menjadi Pembahasan: 25% = 25/100 = 1/4 2. Bentuk persen dari 1/5 adalah Pembahasan: 1/5 = 20/100 = 20% 3. Bentuk desimal dari 1/5 adalah Pembahasan: 1/5 = 2/10 = 0,2 4. Bentuk persen dari 0,5 adalah Pembahasan: 0,5 = 5/10 = 50/100 = 50% 5. Nilai pecahan dari 0,25 adalah Pembahasan: 38

39 0,25 = 25/100 = 1/4 6. Hasil dari 21³ adalah. Pembahasan: 21 3 = 21 x 21 x 21 = 441 x 21 = Hitunglah hasil dari 2³ + ³ 64 adalah. Pembahasan: ³ 64 = = Bentuk persen dari 1/5 adalah Pembahasan: 1/5 = 20/100 = 20% 9. Nilai pecahan dari 0,25 adalah Pembahasan: 0,25 = 25/100 = ¼ % dari 120 adalah Pembahasan: 25% = 25/100 25/100 x 120 = 3000/100 = 30 39

40 BAB 6 BANGUN RUANG DAN BANGUN DATAR 6.1 Pengertian Bangun Ruang Bangun Ruang adalah bangunan tiga dimensi, adalah jenis bangun yang mempunyai ruang serta sisi-sisi yang membatasinya. Beberapa jenis bangun ruang antara lain, kubus, balok, tabung, kerucut, limas segitiga, limas segi empat, prisma segitiga, dan bola. 1. Balok Sifat-sifat atau ciri-ciri balok: 1) mempunyai 12 rusuk 2) mempunyai 6 sisi 3) mempunyai 8 titik sudut 4) mempunyai 12 diagonal sisi atau diagonal bidang 5) mempunyai 4 diagonal ruang 6) mempunyai 6 bidang diagonal 7) mempunyai 3 pasang bidang sejajar Aturan penamaan balok: 1) Penamaan balok menggunakan 8 huruf kapital dengan diberi tanda titik setelah huruf pertama, contohnya ABCD.EFG 2) Penamaan dimulai dari bidang bawah berputar berlawanan arah jarum jam kemudian ke bidang atas juga berputar berlawanan arah jarum jam. Rumus menentukan volume balok: V = p x l x t Rumus menentukan panjang balok: p = V : (l x t) 40

41 Rumus menentukan lebar balok: l = V : (p x t) Rumus menentukan tinggi balok: t = V : (p x l) 2. Kubus Sifat-sifat atau ciri-ciri kubus: 1) mempunyai 12 rusuk yang panjang sama 2) mempunyai 6 sisi berbentuk persegi 3) mempunyai 8 titik sudut 4) mempunyai 12 diagonal sisi atau diagonal bidang 5) mempunyai 4 diagonal ruang 6) mempunyai 6 bidang diagonal 7) sebanyak 3 pasang bidang sejajarnya sama dan sebangun Rumus menentukan volume kubus: V = s x s x s Rumus menentukan volume kubus: V = s 3 Rumus menentukan sisi: s = 3 V 3. Limas Segiempat Sifat-sifat atau ciri-ciri limas segiempat: 1) mempunyai 8 rusuk 2) mempunyai 5 sisi yang terdiri atas 4 sisi berbentuk segitiga dan satu sisi berbentuk persegipanjang. 3) mempunyai 5 titik sudut. 4) mempunyai 2 diagonal sisi atau diagonal bidang 5) bangun ruang ini tidak mempunyai diagonal ruang Rumus limas segi empat: Luas Permukaan 41

42 Luas = Jumlah luas semua sisi limas segiempat Volume = 1/3 x luas alas x tinggi 4. Prisma Segitiga Sifat-sifat atau ciri-ciri prisma segitiga: 1) mempunyai 9 rusuk 2) mempunyai 5 sisi terdiri atas 3 sisi berbentuk persegi dan 2 sisi berbentuk segitiga. 3) mempunyai 6 titik sudut 4) mempunyai 6 diagonal sisi atau diagonal bidang 5) prisma segitiga tidak mempunyai diagonal ruang Rumus menentukan volume prisma segitiga: V = luas alas x tinggi Karena alas prisma berbentuk segitiga, maka: Rumus menentukan volume prisma segitiga: V = luas segitiga x tinggi Rumus menentukan volume prisma segitiga: V = (alas segitiga x tinggi segitiga) : 2 x tinggi prisma 5. Limas Segitiga Sifat-sifat atau ciri-ciri limas segitiga: Bangun limas segitiga disebut juga bidang empat karena mempunyai sisi 4 buah berbentuk segitiga. 1) mempunyai 6 rusuk 2) mempunyai 4 sisi berbentuk segitiga 3) mempunyai 4 titik sudut Rumus menentukan volume limas segitiga: 1/3 x luas alas x tinggi 42

43 6. Tabung Sifat-sifat atau ciri-ciri tabung: 1) mempunyai 3 sisi, yaitu 2 sisi berbentuk lingkaran dan 1 sisi lengkung 2) mempunyai 2 rusuk 3) tidak mempunyai titik sudut Rumus menentukan volume tabung: V = π x r x r x t Rumus menentukan volume tabung: V = π x r² x t 7. Kerucut Sifat-sifat atau ciri-ciri kerucut: 1) mempunyai 2 sisi, yaitu sisi alas berbentuk lingkaran dan selimut 2) mempunyai 1 rusuk; 3) tidak mempunyai titik sudut, tetapi mempunyai titik puncak. Rumus menentukan volume kerucut: 1/3 x luas alas x tinggi Rumus menentukan volume kerucut: 1/3 x π x r² x t 8. Bola Sifat-sifat dari bola adalah: 1) Hanya mempunyai satu buah sisi 2) Tidak mempunyai titik sudut 3) Hanya mempunyai sebuah sisi lengkung yang tertutup Rumus Bola: Luas Permukaan 43

44 Luas bola = 4. π. r 2 Volume Volume bola = 4 3. π. r2 6.2 Pengertian Bangun Datar Bangun datar merupakan bagian dari bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis lurus atau lengkung. 1. Persegi Sifat-sifat persegi yaitu sebagai berikut: 1) Memiliki empat sisi yang sama panjang. 2) Memiliki dua diagonal yang berpotongan tegak lurus. 3) Memiliki empat sudut siku-siku. 4) Sudut yang berhadapan sama besar. Rumus mencari luas dan keliling persegi yaitu sebagai berikut. L = S x S K = S + S + S + S atau K = 4 x S Keterangan: L K S : Luas : Keliling : Sisi 2. Persegi Panjang Sifat-sifat persegi panjang yaitu sebagai berikut. 1) Memiliki dua pasang sisi yang sejajar dan sama panjang. 44

45 2) Memiliki 4 sudut siku-siku. 3) Memiliki dua diagonal yang sama panjang. 4) Memiliki 2 sumbu simetri lipat dan putar. Rumus mencari luas dan keliling persegi panjang yaitu sebagai berikut. L = p x l K = 2 x (p + l) Keterangan: L K p l : Luas : Keliling : Panjang : Lebar 3. Segitiga Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu: segitiga sama siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul. Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sembarang. Adapun sifat-sifat segitiga yaitu sebagai berikut: 1) Mempunyai 3 sisi dan tiga titik sudut. 2) Jumlah ketiga sudutnya adalah 180. Rumus mencari luas dan keliling persegi panjang yaitu sebagai berikut. Luas = ½ x a x t Keliling = s + s + s atau K = a + b + c Keterangan: 45

46 a : alas t : tinggi a, b, c : sisi 4. Jajar Genjang Sifat-sifat jajar genjang yaitu sebagai berikut: 1) Jajar Genjang memiliki 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang. 2) Sudut yang berhadapan memiliki ukuran sama besar. 3) Tidak memiliki simetri lipat. 4) Memiliki simetri putar tingkat dua. 5) Diagonalnya memiliki panjang yang tidak sama. 6) Memiliki 4 sisi serta 4 sudut. 7) Memiliki 2 sudut tumpul dan 2 sudut lancip. Rumus mencari luas dan keliling jajar genjang yaitu sebagai berikut. Keliling = 2 (a + b) Luas = a t Sisi Alas (a) a = (K 2) b Sisi Sisi Miring (b) b = (K 2) a t diketahui L t = L a a diketahui L a = L t Keterangan: K L : Keliling : Luas 46

47 a b t : Sisi alas : Sisi miring : Tinggi 5. Trapesium Sifat-sifat trapesium yaitu sebagai berikut: 1) Memiliki sepasang sisi sejajar. 2) Jumlah besar sudut yang berdekatan di antara dua garis sejajar adalah 180 derajat. 3) Memiliki dua pasang sudut sama besar (trapesium sama kaki) atau memiliki dua sudut siku-siku (trapesium siku-siku). Rumus mencari luas dan keliling trapesium yaitu sebagai berikut. Luas = ½ jumlah panjang sisi sejajar tinggi Keliling = sisi + sisi + sisi + sisi Tinggi (t) = 2 x luas trapesium dibagi a + b Sisi = K - (Jumlah sisi yang diketahui) Keterangan: t a b : tinggi : alas : sisi atas 6. Lingkaran Sifat-sifat lingkaran yaitu sebagai berikut: 1) Tidak memiliki titik sudut. 2) Memiliki satu buah sisi. 47

48 3) Mempunyai simetri putar tak terhingga. 4) Mempunyai simetri lipat dan juga sumbunya yang tak terhingga. Rumus mencari luas dan keliling trapesium yaitu sebagai berikut. d = 2 r L = p x r2 r = d 2 atau K = p x d atau r = vl / vp L = p x r x r r = k / 2p Keterangan: d : Diameter r : Jari-jari L : Luas K : Keliling p : 3,14 atau 22/7 LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Tinggi balok yang volumenya 175 cm 3 dengan luas alas 25 cm 2 adalah... a. 5 cm b. 6 cm c. 7 cm d. 8 cm PEMBAHASAN: Tinggi balok = volume : luas alas = 175 cm3 : 25 cm2 = 7 cm Jawaban: c. 7 48

49 2. Jika diketahui panjang rusuk kubus seluruhnya 72 cm, maka volume kubus tersebut adalah... a. 100 cm 3 b. 144 cm 3 c. 125 cm 3 d. 216 cm 3 PEMBAHASAN: Panjang rusuk kubus = panjang rusuk kubus seluruhnya : 12 = 72 cm : 12 = 6 cm Volume kubus = rusuk x rusuk x rusuk = 6 cm x 6 cm x 6 cm = 216 cm 3 Jawaban: d. 216 cm 3 3. Volume sebuah balok 720 cm 3. Jika tinggi balok 8 cm, maka luas alasnya adalah... a. 90 cm 2 b. 80 cm 2 c. 70 cm 2 d. 60 cm 2 PEMBAHASAN: Luas alas balok = volume : tinggi = 720 cm 3 : 8 cm = 90 cm 2 Jawaban: a. 90 cm 2 49

50 4. Ukuran sebuah bak truk 4 m x 3 m x 2 m. Jika bak tersebut berisi pasir sampai penuh. Volume pasir adalah... a. 8 m 3 b. 12 m 3 c. 16 m 3 d. 24 m 3 PEMBAHASAN: Volume pasir Jawaban: d. 24 m 3 = 4 m x 3 m x 2 m = 24 m 3 5. Panjang rusuk kubus yang volumenya dm 3 adalah... a. 13 dm b. 14 dm c. 15 dm d. 16 dm PEMBAHASAN: Panjang rusuk kubus Jawaban: b. 14 dm = volume = dm 3 = 14 dm 6. Luas alas sebuah kubus 169 cm 2, maka volume kubus tersebut adalah... a cm 3 b cm 3 c cm 3 50

51 d cm 3 PEMBAHASAN: Panjang sisi kubus = 169 cm 2 = 13 cm Volume kubus = sisi x sisi x sisi = 13 cm x 13 cm x 13 cm = cm3 Jawaban: b cm 3 7. Sebuah lemari berbentuk balok. Panjang sisi alasnya sama. Volume lemari dm 3 dan tingginya 2 m. Lebar lemari tersebut adalah... a. 80 cm b. 90 cm c. 100 cm d. 110 cm PEMBAHASAN: Volume = dm 3 = x cm3 = cm 3 Tinggi = 2 m = 2 x 100 cm = 200 cm Luas alas balok = volume : tinggi = cm 3 : 200 cm = cm 2 Panjang sisi alas = cm 2 = 90 cm Jadi, lebar lemari tersebut adalah 90 cm. Jawaban: b. 90 cm 51

52 8. Volume sebuah kubus 729 cm3, maka panjang semua rusuknya adalah... a. 108 cm b. 100 cm c. 98 cm d. 86 cm PEMBAHASAN: Panjang rusuk kubus = volume = 729 cm3 = 9 cm Panjang seluruh rusuk kubus = panjang rusuk x 12 = 9 cm x 12 = 108 cm Jawaban: a. 108 cm 9. Panjang rusuk kubus 15 cm. Volume kubus itu adalah... cm 3. a b c d PEMBAHASAN: Volume kubus Jawaban: c = rusuk x rusuk x rusuk = 15 cm x 15 cm x 15 cm = cm 3 52

53 10. Sebuah balok kayu mempunyai luas alas 168 cm 2. Jika volume balok 672 cm3, maka tinggi balok tersebut adalah... a. 1 cm b. 2 cm c. 3 cm d. 4 cm PEMBAHASAN: Tinggi balok = volume : luas alas = 672 cm 3 : 168 cm 2 = 4 cm Jawaban: d. 4 cm 53

54 BAB 7 PERBANDINGAN DAN SKALA 7.1 Perbandingan Perbandingan dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan. perbandingan merupakan bentuk paling sederhana dari suatu pecahan. Perbandingan dua bilangan dapat ditulis a : b atau dengan b 0. Notasi a adalah rasio bilangan pertama dan notasi b adalah rasio bilangan kedua. 7.2 Skala Skala merupakan bentuk perbandingan yang ditulis 1 : p, dengan p suatu bilangan asli.skala banyak digunakan pada peta dan denah. Rumus Skala Skala = Jarak pada peta = skala x jarak sebenarnya. Jarak sebenarnya = 54

55 LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Siti membuat 1 gelas jus jeruk membutuhkan 6 buah jeruk. Berapa buah jeruk yang dibutuhkan Siti untuk membuat 3 gelas jus jeruk? PEMBAHASAN: Setiap 1 gelas x 6 jeruk Jus (gelas) Banyak Jeruk Apabila dibandingkan antara banyaknya jus yang dibuat dengan banyaknya buah jeruk diperoleh 1 gelas 3 gelas = 6 gelas 18 gelas 2. Beni memiliki 50 kelereng, sedangkan Edo memiliki 80 kelereng. Perbandingan kelereng Beni dan Edo adalah PEMBAHASAN: Diketahui: Kelereng Beni = 50 butir Kelereng Edo = 80 butir 50 : 80 5 : 8 3. Perbandingan uang Dayu dengan uang Beni adalah 8:5. Uang Beni Rp Berapakah uang Dayu? PEMBAHASAN: Perbandingan Uang Dayu Beni 8 5 Rp75.000,00 55

56 Uang Dayu Uang Beni = 8 5 Uang Dayu = 8 5 Uang Dayu = 8 5 x = Perbandingan umur Ali, Beni, Chaca adalah 2:3:4. Jumlah umur mereka 18 tahun. Berapa umur mereka masing-masing? PEMBAHASAN: Perbandingan Umur Ali Beni Chaca Total Umur tahun Umur Ali Total Umur = Umur Ali 18 = 2 9 Umur Ali = 2 x 18 = 4 tahun 9 Umur Beni = 3 x 18 = 6 tahun 9 Umur Chaca = 4 x 18 = 8 tahun 5 5. Sebuah kolam berbentuk persegi panjang. Panjangnya berukuran 14 m dan lebarnya 8 m. Kolam tersebut digambar dengan Panjang 7 cm dan lebar 4 cm. Tentukan skala gambar tersebut! PEMBAHASAN: 1 m = 100 cm Skala = Jarak daerah/peta/gambar Jarak sebenarnya = 4 cm 8 m = 4 cm (: 4) 800 cm (: 4) =

57 6. Sebuah taman berbentuk persegi dengan sisi 18 m. Taman tersebut Digambar dengan Panjang sisi 5 cm. Tentukan skala gambar! PEMBAHASAN: Skala = Jarak daerah/peta/gambar Jarak sebenarnya = 5 cm 5 cm (: 5) = 18 m 1800 cm (: 5) = Jarak sebenarnya Palangkaraya dengan Samarinda adalah 42 km. Jika jarak pada peta 7 cm, Tentukanlah skala yang digunakan pada peta! PEMBAHASAN: S JP JS S = JP JS Skala= Jarak peta : jarak sebenarnya Skala = 7 cm : (42 x ) = 1 : cm 8. Sebuah mobil menghabiskan 8 liter bensin untuk menempuh jarak 56 km. Jika jarak tempuh 84 km, maka bensin yang diperlukan? PEMBAHASAN: Bensin Jarak x = X = 12 57

58 9. Untuk membuat 60 pasang pakaian, seorang penjahit memerlukan waktu selama 18 hari. Jika penjahit tersebut bekerja selama 24 hari, berapa pasang pakaian yang dapat dibuat? PEMBAHASAN: Pakaian Hari = 60 = 18 x 24 X = 10 x 8 = Pak Yono memelihara 27 ayam jantan dan 63 ayam betina di kandang. Berapakah perbandingan antara jumlah ayam jantan dengan ayam betina? PEMBAHASAN: Perbandingan = *Disederhanakan pecahannya Jumlah ayam jantan 27 (: 9) = Jumlah ayam betina 63 (: 9) =

59 BAB 8 KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR SEDERHANA sisi sisi PERSEGI Luas = Sisi x sisi Keliling = 4 x sisi l p PERSEGI PANJANG Luas = Panjang x lebar Keliling = 2 x (Panjang + lebar) a t SEGI TIGA Luas = Alas x Tinggi 2 Keliling = Sisi + sisi + sisi t a b TRAPESIUM Luas = Alas x Tinggi 2 Keliling = Sisi + sisi + sisi 59

60 t a JAJARGENJANG Luas = Alas x tinggi Keliling = Jumlah seluruh sisi r d LINGKARAN Luas = π x r x r Π = 22 atau 3,14 7 Keliling = π x d LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN Perhatikan gambar berikut! 1. Luas bangun tersebut adalah... A. 72 m 2 B. 68 m 2 C. 56 m 2 D. 47 m 2 PEMBAHASAN: 60

61 Pada soal diketahui: alas = a = 17 m tinggi = t = 8 m Maka: L = 17 m x 4 m L = 68 m 2 Perhatikan gambar berikut! 2. Luas bangun tersebut adalah... A cm 2 B cm 2 C cm 2 D cm 2 PEMBAHASAN: Luas lingkaran = π x r x r Pada soal diketahui: Diameter (d) = 42 cm L = π x r x r L = 22/7 x 21 cm x 21 cm L = 22 x 3 cm x 21 cm L = cm 2 Jari-jari (r) = 42 cm : 2 = 21 cm 61

62 Perhatikan gambar berikut! 3. Luas bangun tersebut adalah... A. 176 cm2 B. 168 cm2 C. 154 cm2 D. 144 cm2 PEMBAHASAN: Luas persegi panjang = p x l Pada soal diketahui: Panjang = 24 cm Lebar = 6 cm L = p x l L = 24 cm x 6 cm L = 144 cm 2 Perhatikan gambar berikut ini! 4. Luas bangun tersebut adalah.. 62

63 A. 166 m2 B. 178 m2 C. 189 m2 D. 199 m2 PEMBAHASAN: Luas jajar genjang = a x t Pada soal diketahui: Alas = 9 m Tinggi = 21 m Maka: L = a x t L = 9 m x 21 m L = 189 m 2 Perhatikan gambar berikut! 5. Luas bangun tersebut adalah... A cm 2 B cm 2 C. 882 cm 2 D. 441 cm 2 PEMBAHASAN: 63

64 Pada soal diketahui: Maka luasnya adalah: Diagonal 1 = 42 cm x 2 = 84 cm Diagonal 2 = 21 cm x 2 = 42 cm L = 84 cm x 21 cm L = cm2 Perhatikan gambar berikut! 6. Luas bangun tersebut adalah... A. 25 cm 2 B. 35 cm 2 C. 45 cm 2 D. 55 cm 2 PEMBAHASAN: Pada soal diketahui: Alas = 18 cm Tinggi = 5 cm 64

65 Maka: L = 9 cm x 5 cm L = 45 cm2 Perhatikan gambar di bawah ini! 7. Luas daerah bangun tersebut adalah... A. 784 cm 2 B. 541 cm 2 C. 231 cm 2 D. 144 cm 2 PEMBAHASAN: Luas jajar genjang = a x t Pada soal diketahui: Alas = 21 cm Tinggi = 11 cm Maka: L = a x t L = 21 cm x 11 cm L = 231 cm2 65

66 Perhatikan gambar berikut! 8. Luas bangun tersebut adalah A. 196 cm 2 B. 246 cm 2 C. 256 cm 2 D. 289 cm 2 PEMBAHASAN: Luas persegi = s x s Pada soal diketahui: sisi = 14 cm Maka: L = s x s L = 14 cm x 14 cm L = 196 cm 2 Perhatikan gambar berikut! 9. Luas bangun tersebut adalah A. 225 cm 2 B. 235 cm 2 C. 245 cm 2 D. 255 cm 2 66

67 PEMBAHASAN: Pada soal diketahui: Diagonal 1 = 15 cm Diagonal 2 = d2 = 30 cm Maka: L = 15 cm x 15 cm L = 225 cm 2 Perhatikan gambar berikut! 10. Luas bangun datar tersebut adalah A. 493 cm 2 B. 487 cm 2 C. 393 cm 2 D. 327 cm 2 PEMBAHASAN: L = ½ a t L = ½ L = 493 cm 2 67

68 BAB 9 LETAK BILANGAN PADA GARIS BILANGAN Coba teman-teman perhatikan penggaris yang sering kita gunakan untuk mengukur panjang suatu benda. Pada penggaris itu ada berbagai angka yang berurutan. Nah, angka-angka itu dapat juga kita sebut sebagai garis bilangan. Garis bilangan adalah garis yang memiliki bilangan secara berurutan, dimulai dari bilangan terkecil hingga terbesar. Sehingga, bilangan atau angka yang berada di sebelah kiri garis bilangan adalah angka yang kecil. Sedangkan semakin ke kanan, maka angkanya semakin besar. Dalam memahami garis bilangan, maka teman-teman harus memiliki kemampuan membilang, yaitu menyebutkan angka atau bilangan secara berurutan. Ketahui cara mengurutkan dan menentukan letak bilangan pada garis bilangan, yuk! 9.1 Cara Mengurutkan dan Menentukan Letak Bilangan di Garis Bilangan Jika teman-teman sudah bisa membilang, maka hal ini akan memudahkan kita untuk bisa mengurutkan letak bilangan pada garis bilangan. Contohnya, jika bilangan pada garis bilangan tersusun secara acak atau tidak berurutan, maka kita dapat mengurutkan bilangan itu dengan tepat. Caranya adalah dengan mengetahui bilangan mana yang lebih kecil atau lebih besar dari bilangan yang sudah ada. Dengan mengetahui nilai-nilai bilangan dan mengetahui bilangan apa yang lebih besar serta lebih kecil, maka kita bisa mengurutkan bilangan yang ada pada garis bilangan dengan lebih mudah. Lalu bagaimana jika ada bilangan di garis bilangan yang kosong atau 68

69 belum terisi? Hal ini disebut dengan menentukan letak bilangan pada garis bilangan. Menentukan letak bilangan pada garis bilangan juga bisa dilakukan dengan mudah jika teman-teman sudah memiliki kemampuan membilang. Untuk bisa menentukan letak bilangan pada garis bilangan, maka caranya adalah dengan melihat bilangan atau angka yang ada di sebelah kiri dan kanan bilangan yang kosong. Perhatikan selisih nilah dari setiap bilangan, kemudian tuliskan nilai dari bilangan yang kosong itu. 69

70 70

71 71

72 72

73 BAB 10 PENGOLAHAN DATA 10.1 Pengumpulan Data Tahukah kamu, sebelum kita memperoleh sebuah data, maka kita harus melaksanakan proses pengumpulan data. Data merupakan himpunan dari fakta dalam kenyataan yang ada. Fakta itu mempunyai bentuk yang beragam, contohnya fakta angka, pengamatan, simbol, dan sebagainya. Pengumpulan data artinya proses mengumpulkan dan mengukur informasi yang dibutuhkan sesuai tujuan atau untuk menjawab pertanyaan yang berhubungan. Ada beberapa cara yang biasa dilakukan untuk mendapat data, diantaranya melalui: Penelitian Wawancara Polling/angket Penghitungan langsung Penyajian Data Setelah memperoleh data, biasanya data-data tersebut disajikan dalam bermacam-macam bentuk. Salah satunya contohnya yaitu nilai matematika dari siswa yang ada di sebuah sekolah. Berikut yaitu beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menyajikan sebuah data: A. Menggunakan Tabel Tabel adalah kumpulan data yang disusun secara rapi berdasarkan baris dan kolom. Menyajikan dan mengolah data dalam bentuk ini umumnya digunakan untuk data tunggal atau data yang memiliki rentang nilai atau data dengan 73

74 jumlah yang cukup banyak. Berikut ini adalah contoh penyajian data dalam bentuk tabel. Tabel nilai matematika siswa SD Satria Mekar. No Nilai Jumlah Siswa Total 50 Dari tabel di atas, maka kita dapat mengetahui: Ada 5 siswa yang memperoleh nilai 65 Ada 9 siswa yang memperoleh nilai 70 Ada 14 siswa yang memperoleh nilai 75 Ada 10 siswa yang memperoleh nilai 80 Ada 5 siswa yang memperoleh nilai 85 Ada 7 siswa yang memperoleh nilai 90 B. Menggunakan Diagram Diagram atau grafik adalah cara penyajian data berupa gambaran yang bisa mempermudah kita dalam membaca dan menafsirkan datanya. Ada beberapa bentuk diagram, mulai dari diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. 74

75 1. Diagram Batang Mari kita ubah data tabel diatas ke dalam bentuk diagram batang Nilai Matematika Siswa SD Satria Mekar Diagram Lingkaran Untuk menciptakan diagram lingkaran, kita harus mencari persentase besar sudut dari data yang di dapat. Nilai 65 = 5/50 x 3600 = 360 Nilai 70 = 9/50 x 3600 = Nilai 75 = 14/50 x 3600 = Nilai 80 = 10/50 x 3600 = 720 Nilai 85 = 5/50 x 3600 = 360 Nilai 90 = 7/50 x 3600 = Maka gambar diagramnya akan menjadi seperti ini: 75

76 Nilai Matematika Siswa SD Satria Mekar Diagram Garis Hampir sama menyerupai diagram batang hanya saja bentuknya diubah menjadi garis Nilai Matematika Siswa SD Satria Mekar Pengolahan Data Setelah data disajikan dalam berbagai bentuk yang ada, kita perlu mengolah data tersebut menjadi sebuah informasi yang diinginkan. Mengolah data adalah kegiatan memproses data ke dalam bentuk-bentuk yang 76

77 lebih berarti. Dengan mengatur data sedemikian rupa, kita akan menghasilkan yang namanya informasi. Informasi adalah data yang telah diolah dan memiliki makna karena telah diberikan konteks serta telah menjadi sebuah gagasan. Ada beberapa hal yang perlu kita lakukan dalam mengolah data, diantaranya menghitung nilai data terendah dan tertinggi, menghitung modus, median, dan rata-rata. Untuk mendapatkan hasil tersebut, diperlukan beberapa rumus matematika. Di dalam pengolahan sebuah data ada beberapa hal yang harus kita cari dengan memakai rumus matematika, yaitu: A. Mean Mean yaitu nilai rata-rata dari keseluruhan data yang di dapat. Nilai rata-rata diperoleh dengan menjumlahkan seluruh nilai kemudian dibagi dengan banyaknya data Mean = Jumlah Data Banyak Data Sebagai contoh dari data di atas, maka kita bisa mencari meannya dengan cara menjumlahkan nilai yang ada kemudian dibagi dengan jumlah siswa yang ada seperti dibawah ini: Mean = = Jadi, rata-rata nilai Matematika siswa di SD Satria Mekar adalah 9,3 = 9, 3 77

78 B. Modus Modus merupakan nilai yang paling sering muncul di dalam data tersebut. Bila dilihat dari data nilai matematika siswa SD Satria Mekar 02 sebelumnya, maka nilai yang paling sering muncul yaitu 70 alasannya karena ada 14 siswa yang mendapat nilai 70. C. Median Median yaitu nilai tengah. Diperoleh dengan cara mengurutkan nilai-nilai yang ada dari yang terkecil hingga terbesar. Perhatikan contoh rumus median berikut ini: Misalnya, nilai ulangan harian Bahasa Indonesia kelas III di SD Satria Mekar berturut-turut adalah: 5, 6, 7, 8, 9, 7,8, 7, 10, 5. Maka carilah median dari data tersebut! Jawab: Untuk mencari median, maka kita harus mengurutkan nilai-nilai tersebut dari yang terkecil hingga terbesar. Menjadi seperti ini: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10 (dimana jumlah datanya ada 10) Ambil nilai yang ada ditengah-tengah, bila jumlah datanya genap ambil dua nilai yang ada ditengah kemudian dibagi dengan 2. Seperti pada soal diatas, alasannya jumlah datanya genap (10) maka kita ambil dua nilai yang ada di tengah yaitu 7 dan 7. Maka perhitungan mediannya adalah: Median = Jadi, median dari data tersebut yaitu 7. = 14 2 = 7 78

79 LATIHAN SOAL 1. Retha mendapatkan nilai ulangan sebanyak 4 kali yaitu 10, 8, 9, 6. Supaya nilai rata-ratanya 8,5, maka ulangan kelima, Retha harus mendapat nilai berapa? 2. Hasil ulangan matematika 21 anak kelas III di SD Satria Mekar adalah: 7, 8, 9, 8, 7, 8, 10, 9, 5, 7, 9, 9, 8, 7, 10, 8, 9, 6, 8,7, dan 5. Apabila data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar, maka nilai tengah dari data tersebut adalah? 3. Ibu membeli gula 8 kg, jagung 10 kg, beras 15 kg, kedelai 12 kg dan kentang 5 kg. Berapakah berat rata-rata belanjaan Ibu? 4. Tira mengikuti ulangan Bahasa Indonesia sebanyak 4 kali. Hasil dari ulangan tersebut adalah 10, 8, 9, dan 6. Supaya nilai rata-ratanya 8, maka nilai ulangan kelima yang harus didapatkan oleh Tira adalah? 5. Di sebuah pertenakan ayam, jumlah telur yang dihasilkan dalam 15 hari adalah sebagai berikut (dalam butir) Modus dari banyak telur yang dihasilkan tersebut adalah berapa butir? 6. Hasil panen Ayah selama 5 bulan dalam ton adalah 10, 6, 7, 9, 8. Rata-rata hasil panen Ayah tiap bulan adalah berapa ton? 7. Hasil panen Ayah selama 5 bulan dalam ton adalah 10, 6, 7, 9, 8. Berapakah median dari hasil panen Ayah dalam ton? 8. Data hasil ulangan Matematika Vika sebanyak 4 kali yaitu 10, 8, 9, 6. Nilai rata-rata yang diperoleh Vika adalah? 79

80 9. Banyak jeruk yang dapat dijual oleh seorang pedagang selama 30 hari tercatat sebagai berikut (dalam kg) 30, 30, 31, 28, 26, 31, 26, 27, 29, 27 27, 28, 26, 29, 28, 29, 29, 26, 31, 25 25, 30, 29, 27, 28, 29, 26, 25, 30, 28 Berapa kilogram rata-rata jeruk yang terjual setiap harinya? 10. Nilai ulangan akhir Inayah adalah 7, 8, 7, 6, dan 8. Jika Inayah ingin mendapat nilai rata-rata 7,5, maka nilai ulangan keenam Inayah harus mendapatkan? PEMBAHASAN LATIHAN SOAL 1. Rata-rata yang ingin dicapai Retha = 8,5 Nilai yang diperoleh Retha = ( ) Nilai yang harus didapat Retha dinotasikan dengan n Frekuensi = 4 kali (sudah dilakukan) + 1 (akan dilakukan) = 5 kali Rata-rata = total seluruh nilai : frekuensi 8,5 = ( n) : 5 8,5 = (33 + n) : 5 n = (8,5 x 5) - 33 n = 9,5 Jadi, nilai yang harus didapat Retha adalah 9,5 2. Mengurutkan data dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh data sebagai berikut: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10 Jadi, median atau data tengahnya adalah 8 80

81 3. Rata-rata = Jumlah data : banyaknya data Rata-rata = ( ) : 5 Rata-rata = 10 Jadi rata-rata berat belanjaan Ibu adalah 10 kg 4. Rata-rata yang ingin dicapai Tira = 8 Nilai yang diperoleh Tira = ( ) Nilai yang harus didapat Tira dinotasikan dengan n Frekuensi = 4 kali (sudah dilakukan) + 1 (akan dilakukan) = 5 kali Rata-rata = total seluruh nilai : frekuensi 8 = ( n) : 5 8 = (33 + n) : 5 n = (8 x 5) - 33 n = 7 Jadi, nilai yang harus didapat Tira adalah 7 5. Banyak telur 60 butir = 7 kali Banyak telur 61 butir = 3 kali Banyak telur 62 butir = 4 kali Banyak telur 63 butir = 1 kali Jadi, modus untuk banyak telur yang dihasilkan adalah 60 butir 6. Rata-rata = Jumlah data : banyaknya data Rata-rata = Jumlah hasil panen : banyaknya bulan Rata-rata = ( ) : 5 Rata-rata = 40 : 5 = 8 Jadi rata-rata hasil panen Ayah tiap bulan adalah 8 ton. 81

82 7. Mengurutkan data dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh data sebagai berikut: 6, 7, 8, 9, 10. Jadi, median atau data tengahnya adalah 8 8. Rata-rata = Jumlah data : banyaknya data Rata-rata = ( ) : 4 Rata-rata = 8,25 Jadi rata-rata nilai Vika adalah 8,25 9. Rata-rata = Jumlah data : banyaknya data Rata-rata = Jumlah jeruk : banyaknya hari Rata-rata = 840 : 30 Rata-rata = 28 Jadi rata-rata jeruk yang terjual setiap harinya adalah 28 kg 10. Rata-rata yang ingin dicapai Inayah = 7,5 Nilai yang diperoleh Inayah = ( ) Nilai yang harus didapat Inayah dinotasikan dengan n Frekuensi = 5 kali (sudah dilakukan) + 1 (akan dilakukan) = 6 kali Rata-rata = total seluruh nilai : frekuensi 7,5 = ( n) : 6 7,5 = (36 + n) : 6 n = (7,5 x 6) - 36 n = 9 Jadi, nilai yang harus didapat Inayah adalah 9 82

83 BAB 11 BILANGAN ROMAWI 11.1 Mengenal Bilangan Romawi sumber: Tahukah kamu, selain harus mengetahui bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, maupun bilangan pecahan yang telah dipelajari sebelumnya, kita juga harus mempelajari himpunan bilangan lainnya yaitu, bilangan romawi. Bilangan romawi tidak banyak digunakan dalam kehidupan seharihari. Mari kita perhatikan contoh berikut ini. Retha tinggal di Bekasi, tepatnya di Jalan Nuri III nomor 9 Daerah Istimewa Yogyakarta dipimpin oleh Sri Sultan Hamengku Buwono X Memasuki abad XXI kita dituntut untuk lebih menguasai teknologi 83

84 Coba kamu perhatikan kembali huruf-huruf yang dicetak tebal pada contohcontoh kalimat diatas. III, X, XXI merupakan bilangan-bilangan romawi Membaca Bilangan Romawi sumber: Aturan Penjumlahan Bilangan Romawi Pada sistem bilangan romawi tidak dikenali bilangan 0 (nol). Untuk membaca bilangan romawi, kamu harus hafal dengan benar ketujuh lambang bilangan dasar romawi. Bagaimana aturan-aturan dalam membaca lambang bilangan romawi? Bagaimana menyatakan bilangan romawi ke bilangan asli? Mari kita pelajari bersama! Contoh: II = I+I 84

85 = 1+1 = 2 Jadi, bilangan romawi II dibaca 2 VIII = V+I+I+I = = 8 Jadi, bilangan romawi VIII dibaca 8 LXXVI = L+X+X+V+I = = 76 Jadi, bilangan romawi LXXVI dibaca 76 CXXXVII = C+X+X+X+V+I+I = = 137 Jadi, bilangan romawi CXXXVII dibaca 137 Coba kita perhatikan secara seksama lambang bilangan romawi pada contoh-contoh diatas. Semakin kekanan, nilainya semakin kecil. Tidak ada lambang bilangan dasar yang berjajar lebih dari tiga. Dari contoh-contoh tersebut dapat kita tuliskan aturan pertama dalam membaca lambang bilangan romawi adalah, jika lambang yang menyatakan angka lebih kecil terletak di kanan, maka lambang-lambang romawi tersebut dijumlahkan. Penambahannya paling banyak tiga angka. 85

86 Aturan Pengurangan Bilangan Romawi Bagaimana jika lambang yang menyatakan angka lebih kecil terletak di sebelah kiri? Untuk membaca bilangan romawi dapat kita uraikan dalam bentuk pengurangan seperti pada contoh berikut ini. Contoh: IV = V-1 = 5-1 = 4 Jadi, bilangan romawi IV dibaca 4 IX = X-I = 10-1 = 9 Jadi, bilangan romawi IX dibaca 9 XL = L-X = = 40 Jadi, bilangan romawi XL dibaca 40 Dari contoh-contoh tersebut dapat kita tuliskan aturan kedua dalam membaca lambang biangan romawi adalah, jika lambang yang menyatakan bilangan lebih lebih kecil terletak di kiri maka lambang-lambanag romawi tersebut dikurangkan. Pengurangan paling banyak satu angka Aturan Gabungan Dari kedua aturan di atas (penjumlahan dan pemgurangan) dapat digabung sehingga bisa lebih jelas dalam membaca lambang bilangan romawi. Mari kita perhatikan contoh berikut ini. Contoh: 86

87 XIV = X + (V-I) = 10 + (5-1) = = 14 Jadi, bilangan romawi XIV dibaca 14 MCMXCIX = M + (M-C) + (C-X) + (X-I) = 1000+( )+(100-10)+10-1) = = 1999 Jadi, bilangan romawi MCMXCIX dibaca 1999 LATIHAN SOAL Ubahlah bilangan asli berikut menjadi bilangan romawi!

88 PEMBAHASAN LATIHAN SOAL 1. Angka 5 dalam bilangan romawi ditulis V 2. Angka 7 dapat dibuat dalam bentuk penjumlahan yaitu Dalam romawi penjumlahan ini dapat ditulis = V + II = VII 3. Angka 9 dapat dibuat menjadi dua bentuk yaitu sebagai berikut : Penjumlahan = Pengurangan = 10 1 (INGAT! yang dijumlahkan atau dikurangkan itu adalah bilangan romawi dasar, jadi tidak boleh kita buat 9 itu adalah atau 11 2, karena 6 dan 11 bukan bilangan romawi dasar) Bentuk romawi penjumlahan dan pengurangan angka 9 adalah sebagai berikut: Penjumlahan = = V + IIII = VIIII Pengurangan = 10 1 = X I = IX Yang kita pilih sebagai lambang romawi angka 9 adalah yang bentuk pengurangan yaitu IX. Bentuk penjumlahan (VIIII) tidak sesuai dengan aturan pertama karena terdapat pengulangan lambang I sebanyak 4 kali. Jadi, lambing romawi 9 adalah IX 4. Angka 10 dalam bilangan romawi ditulis dengan X 5. Angka 16 dalam dapat dinyatakan dalam dua bentuk yaitu: Penjumlahan = = X + VI = XVI Pengurangan = 20 4 = XX IIII = IIIIXX (tidak sesuai dengan aturan no 1) Jadi lambang romawi angka 16 adalah XVI 88

89 Catatan: Mengapa 4 ditulis IIII bukan IV. Alasannya kembali lagi pada aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan romawi yaitu V dan X hanya boleh dikurangi oleh I saja. 6. Angka 18 dalam bilangan romawi ditulis = XVIII 7. Angka 19 dalam bilangan romawi ditulis = XIX 8. Angka 23 dalam bilangan romawi ditulis = XXIII 9. Angka 28 dalam bilangan romawi ditulis = XXVIII 10. Angka 56 dalam bilangan romawi ditulis = LVI 89

90 BAB 12 PENGUKURAN SUDUT, WAKTU, PANJANG, DAN BERAT 12.1 Pengukuran Sudut Sudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari pertemuan dua garis pada satu titik tertentu. Ada dua cara memberi nama sudut yaitu pertama, memberi nama sudut dengan tiga huruf kapital dan titik sudutnya diletakkan di tengah. Sudut ( ) merupakan daerah yang dibatasi oleh dua garis. Misalnya ada garis A dan garis B. Nah, di antara garis A dan B ada daerah yang besarnya disebut sudut. Di kehidupan sehari-hari, kita bisa melakukan pengukuran sudut. Contohnya pada jam dinding yang menunjukkan pukul 5 tepat, di mana jarum jam panjang dan jarum jam pendek membentuk sebuah sudut Perbandingan Titik Sudut Jika ada dua sudut (<) seperti <A dan <B maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: <A sama dengan <B <A lebih kecil dari <B <A lebih besar dari <B Cara melakukan perbandingan yaitu dengan mengetahui sudut dari A dan B lalu membandingkan besaran sudut tersebut Pengukuran Sudut dengan Busur Satuan sudut yaitu derajat ( ). Cara untuk mengukurnya dengan menggunakan busur derajat. Busur derajat berbentuk lingkaran yang skalanya 90

91 mulai dari 0 sampai 180. Cara mengukur sudut dengan busur derajat yaitu dengan meletakkannya di titik sudut dan dihimpitkan dengan titik pusat sudut derajat Hubungan Sudut dengan Arah Mata Angin Setiap hari pasti kita melihat matahari yang terbit pada pagi hari dan tenggelam pada sore hari. Matahari terbit dari timur dan tenggelam ke arah barat. Kita sudah mengenal arah mata angin mulai dari utara, timur laut, timur, tenggara, selatan, barat daya, barat, barat laut. Kedelapan arah mata angin tersebut memiliki sudut yang besaran sudut diantara dua arah mata angin tersebut yaitu 45. Contohnya seperti sudut antara timur dan timur laut yaitu 45. Sudut antara timur dan barat yaitu Perputaran pada Jarum Jam Permukaan jarum jam dibagi menjadi 12 bagian. Setiap bagian besarnya 30. Pada jarum pendek setiap satu jam berputar sebesar 30. Pada jarum panjang setiap satu jam berputar sebesar 360. Jarum panjang berputar sebesar 30 setiap 5 menit Hubungan Antar Satuan Waktu, Panjang, dan Berat Satuan Waktu (hubungan antara hari, minggu, bulan dan tahun) Pengukuran waktu dilakukan untuk mengukur berapa lama sesuatu berlangsung. Misalnya, berapa menit waktu yang dibutuhkan siswa untuk sampai ke sekolah, atau berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan tugas. Nama-nama dalam hari dalam satu minggu yaitu senin, 91

92 selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, dalam waktu satu minggu terdapat 7 hari. Hubungan antar satuan waktu dapat dilihat sebagai berikut: 1 minggu = 7 hari 1 bulan = 28, 29, 30 atau 31 hari 1 tahun = 12 bulan 1 tahun = 365 hari 1 dasawarsa = 10 tahun 1 abad = 100 tahun 1 hari = 24 jam 1 jam = 60 menit 1 menit = 60 detik 1 jam = 3600 detik Satuan Panjang Tinggi, lebar, dan jarak itu menggunakan pengukuran panjang yang satuannya bisa berupa cm, m, km, dan lainnya. Alat bantunya juga beragam, misalnya penggaris, meteran, atau jangka sorong. Satuan panjang digunakan untuk mengetahui ukuran panjang dari suatu benda. Seperti panjang ruang kelas, tinggi badan, atau jarak Satuan Berat Berat atau massa dipakai untuk mengukur berat sebuah objek. Contohnya, siswa mengukur berat badan menggunakan alat bantu timbangan. Satuan pengukuran berat sendiri adalah gram dan kilogram. 92

93 LATIHAN SOAL 1. Retha mempunyai pita sepanjang 10 dm. Jika pitanya diberikan ke Tira sepanjang 20 cm, maka sisa pita Retha adalah cm. 2. Berat badan Inayah adalah 59 kg dan berat sebuah balok kayu adalah 120 ons. Selisih berat Inayah dan balok kayu itu adalah kg km cm dm = m. 4. Vika berusia 2,5 windu dan Retha berusia 24 tahun. Selisih usia mereka adalah tahun. 5. Ibu membeli 3 buah semangka dan 4 buah melon. Setiap semangka beratnya 2 kg dan setiap melon 15 hg. Jumlah berat semua buah adalah. gram. 6. Berapa besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam panjang jika bergerak selama 25 menit? 7. Nisa berangkat ke SD Satria Mekar pada pukul Nisa sampai di SD Satria Mekar pada pukul Berapakah lama perjalanan yang ditempuh Nisa pada saat berangkat hingga sampai ke SD Satria Mekar? 8. Ibu Vika mengajar di SD Satria Mekar dari pukul hingga pukul Berapa lama Ibu Vika mengajar di sekolah tersebut? 9. Tira mempunyai tongkat sepanjang 125 cm, tongkat Retha sepanjang 14 dm dan Nisa mempunyai tongkat sepanjang 2 m. Maka berapa meterkah panjang semua tongkat jika dijumlahkan? 10. Pada tahun 2022 Inayah telah memanen semua tanamannya di sawah. Dari panen itu menghasilkan padi seberat 2 ton, jagung 15 kuintal dan kedelai seberat kg. Berapa kg jumlah semua panen Inayah pada tahun 2022? 93

94 PEMBAHASAN LATIHAN SOAL dm 20 cm = 100 cm 20 cm = 80 cm kg 12 kg = 47 kg m 60 m + 20 m = m tahun ( 2,5 x 8 tahun ) = 24 tahun 20 tahun = 4 tahun 5. = ( 3 x 2 kg ) + ( 4 x 15 hg ) = ( 3 x g ) + ( 4 x g ) = g g = g 6. Pada jarum panjang besar sudut setiap 5 menit berputar selama 30. Jadi jika bergerak selama 25 menit. = 25 menit : 5 menit = 5 = 5 x 30 = 150 Jadi jawabannya adalah Nisa berangkat pukul dan sampai pukul = = 25 Jadi, lama perjalanan yang ditempuh Nisa yaitu 25 menit = Jadi Ibu Vika mengajar selama 4 jam lebih 45 menit. 94

95 9. Diketahui: Panjang tongkat Tira = 125 cm = 1,25 m Panjang tongkat Retha = 14 dm = 1,4 m Panjang tongkat Nisa = 2 m Ditanya = Panjang semua tongkat? Maka, panjang semua tongkat adalah = 125 cm + 14 dm + 2 m = 1,25 m + 1,4 m + 2 m = 4, 65 m 10. Diketahui: Jumlah panen padi = 2 ton = kg Jumlah panen jagung = 15 kuintal = kg Jumlah panen kedelai = kg Ditanya = Jumlah seluruh panen tahun 2022? Maka, jumlah seluruh panen adalah = 2 ton + 15 kuintal kg = kg kg kg = kg 95

96 BAB 13 MENGHITUNG LUAS DAN VOLUME 13.1 Persegi Persegi adalah bangun datar segi empat yang keempat sisinya memiliki panjang yang sama. Selain itu, persegi juga memiliki empat sudut siku-siku (90 ). Persegi adalah bangun datar yang mempunyai ciri: Sisi sama panjang, Sudut sama besar, Diagonal sama panjang, berpotongan tegak lurus dan merupakan sumbu simetri lipat Simetri lipat Simetri putar Mempunyai 4 sudut Jumlah seluruh sudut 360 derajat Secara matematis, rumus semua luas bangun datar persegi adalah: Luas (L) = sisi (s) x sisi (s) Rumus luas persegi adalah mengalikan panjang sisinya. Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut: 1. Jika sebuah cover buku berbentuk persegi memiliki panjang 10 cm. Lalu, berapa luas cover buku tersebut? Jawab: Luas = sisi x sisi 96

97 Luas = 10 x 10 Luas = 100 cm² Jadi, luas sampul buku di atas adalah 100 cm². Tanda (²) digunakan untuk mengukur luas. Tanda tersebut biasa disebut dengan persegi Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar yang terdiri dari sisi panjang dan sisi lebar, di mana panjang dan lebarnya tidak sama. Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang mempunyai ciri: pasang sisi sama panjang sudut sama besar diagonal sama panjang 2 simetri lipat 2 simetri putar Mempunyai 4 sudut Jumlah seluruh sudut 360 derajat Contoh barang yang berbentuk persegi panjang adalah pintu sekolah, papan tulis, dan permukaan meja. Berikut adalah rumus menghitung luas bangun datar persegi panjang: Luas (L) = sisi (s) x sisi (s) Rumus luas persegi panjang mengalikan panjang dan lebar. Berikut adalah contoh soal luas persegi panjang: 1. Berapa luas papan tulis jika memiliki sisi panjang 60 cm dan sisi lebarnya adalah 200 cm? 97

98 Jawab: Luas = panjang x lebar Luas = 60 x 200 Luas = cm² Maka, luas persegi panjang tersebut adalah cm² 13.3 Segitiga Segitiga merupakan bangun datar yang dibentuk dengan cara menghubungkan tiga buah titik. Ada beberapa jenis segitiga, yaitu segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku, dan segitiga sembarang. Rumus luas segitiga adalah ½ (alas x tinggi). Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut ini: 1. Sebuah segitiga siku-siku memiliki alas sepanjang 14 cm dan tinggi 5 cm. Berapa luas segitiga siku-siku tersebut? Jawab: Luas = ½ (a x t) Luas = ½ (14 x 5) Luas = ½ x 70 Luas = 35 cm² Jadi, luas segitiga siku-siku di atas adalah 35 cm². 98

99 13.4 Lingkaran Lingkaran adalah salah satu bangun datar yang tidak memiliki sikusiku. Pada bangun datar lingkaran, nantinya akan ada nilai diameter dan jarijari. Jika kamu ingin mencari tahu luas lingkaran, maka rumusnya adalah: Luas = π x r². Untuk nilai π (phi) adalah setara 3,14 atau 22/7. Sedangkan untuk r, jari-jari dari lingkaran atau setengah diameter lingkaran. Perlu diingat, jika nilai jari-jari atau diameter yang diketahui berkelipatan tujuh, maka nilai phi yang digunakan adalah 22/7. Namun, jika nilai jari-jari atau diameter tidak berkelipatan tujuh, maka nilai phi yang digunakan adalah 3,14. Berikut adalah contoh soalnya: 1. Jika sebuah jam berbentuk lingkaran memiliki diameter 14 cm, berapa keliling jam tersebut? Jawab: Luas = π x r² Luas = 22/7 x 14² Luas = 22/7 x 196 Luas = 22 x 28 Luas = 616 cm² 13.5 Belah Ketupat Cara mencari rumus belah ketupat terdiri dari unsur nilai diagonal satu dan diagonal dua. Nilai diagonal tersebut adalah panjang garis yang 99

100 menghubungkan dari suatu titik sudut ke titik yang berada di seberangnya. Garis diagonal juga biasa disebut dengan sumbu simetris. Pada gambar disamping, terdapat panjang dua garis diagonal, yaitu 6 cm dan 8 cm. Untuk menjawab luas belah ketupat tersebut, berikut adalah caranya: Jawab: Luas belah ketupat = ½ x diagonal I x diagonal II Luas belah ketupat = ½ x 8 x 10 Luas belah ketupat = 4 x 10 Luas belah ketupat = 40 cm² 13.6 Trapesium Trapesium merupakan segi empat yang memiliki sepasang sisi yang berhadapan sejajar. Untuk menghitung luas trapesium, rumusnya adalah: Luas = ½ jumlah panjang sisi sejajar tinggi Pada gambar disamping, berapakah luasnya? Agar lebih jelas, berikut adalah jawaban luas trapesium di atas: 100

101 Jawab: Luas = ½ jumlah panjang sisi sejajar tinggi. Luas = ½ x (5 + 8) x 4 Luas = ½ x 13 x 4 Luas = 13 x 2 Luas = 26 cm 13.7 Layang-Layang Layang layang adalah bangun datar segi empat yang mempunyai ciri: 2 pasang sisi berdekatan sama panjang 2 diagonal berpotongan tegak lurus Salah satu diagonal merupakan sumbu simetri lipat 1 simetri lipat Mempunyai 4 sudut Jumlah seluruh sudut 360 derajat Pada gambar disamping, berapakah luasnya? Agar lebih jelas, berikut adalah jawaban luas layang-layang di atas: Diketahui d1 = 6 cm dan d2 = 10 cm L = ½ d1 d2 L = ½ 6 10 L =

102 L = 30 cm² Jadi, luas layang-layang tersebut adalah 30 cm² Jajar Genjang Jajar Genjang adalah bangun datar segi empat yang mempunyai ciri sebagai berikut: 2 pasang sisi sejajar 2 pasang sisi sama panjang 2 diagonal sama panjang 2 simetri putar Mempunyai 4 sudut Sudut berhadapan sama besar Jumlah seluruh sudut 360 derajat Pada gambar disamping, berapakah luasnya? Agar lebih jelas, berikut adalah jawaban luas jajar genjang di atas: Jawab: L = a t L = 10 4 L = 40 cm² Jadi, luas jajar genjang tersebut adalah 40 cm². 102

103 13.9 Rumus Luas Bangun Datar Nama Bangun Persegi Persegi Panjang Segitiga Trapesium Jajar Genjang Belah Ketupat Layang-Layang Lingkaran Rumus Luas L = s s Keterangan s : panjang sisi persegi L = p l Keterangan p : panjang l : lebar L = ½ a t Keterangan a : panjang alas segitiga t : tinggi segitiga L = ½ (a+b) t Keterangan a dan b : sisi yang sejajar t : tinggi segitiga L = a t Keterangan a : panjang alas t : tinggi segitiga L = ½ d1 d2 Keterangan d1 : diagonal pertama d2 : diagonal kedua L = ½ d1 d2 Keterangan d1 : diagonal pertama d2 : diagonal kedua L = π r² Keterangan π : 22/7 atau 3,14 r : jari-jari lingkaran 103

104 LATIHAN SOAL 1. Diketahui persegi dengan panjang sisinya 12 cm. Berapa cm luas persegi tersebut? 2. Diketahui luas sebuah persegi 289 cm². Tentukan panjang sisi persegi tersebut! 3. Persegi panjang berukuran panjang 14 cm dan lebar 8 cm. Hitunglah luas persegi panjang tersebut! 4. Sebuah segitiga ABC memiliki alas yang panjangnya 15 cm dan tingginya 24 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut! 5. Sebuah kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 m. Luas tanah tersebut adalah... cm². PEMBAHASAN LATIHAN SOAL Pembahasan Latihan Soal Nomor 1 L = s x s L = 12 x 12 L = 144 Jadi, luas persegi adalah 144 cm² Pembahasan Latihan Soal Nomor 2 s = L s = 289 s = 17 Jadi, panjang sisi persegi tersebut adalah 17 cm 104

105 Pembahasan Latihan Soal Nomor 3 L = p x l L = 14 x 8 L = 112 Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah 112 cm² Pembahasan Latihan Soal Nomor 4 L = 1 2 x a x t L = 1 2 x 15 x 18 L = 135 Jadi, luas segitiga tersebut adalah 135 cm² Pembahasan Latihan Soal Nomor 5 L = s x s L = 60 x 60 L = Jadi, luas persegi tersebut adalah cm² Bagian-bagian Bangun Ruang Inilah bagian-bagian dari suatu bangun ruang: Bidang Sisi: suatu bidang yang membatasi wilayah antara ruang satu dengan ruang lainnya. Rusuk: pertemuan antara dua sisi pada bangun datar yang terlihat sebagai ruas garis 105

106 Titik sudut: titik hasil pertemuan dua rusuk. Bidang diagonal: bidang datar yang terbentuk dari diagonal sisi dan rusuk. Diagonal sisi: garis yang merupakan diagonal dari sisi pada bangun ruang tersebut. Diagonal ruang: garis yang merupakan diagonal dari suatu bidang diagonal. Rumus Volume Bangun Ruang Nama Bangun Kubus Balok Tabung Rumus Volume V = r³ V = r r r Keterangan : r = panjang rusuk kubus V = p l t V = Luas Persegi Panjang Tinggi Keterangan p = panjang l = lebar t = tinggi V = π r² t V = Luas Lingkaran Tinggi Keterangan r = jari-jari lingkaran t = tinggi 106

107 Prisma Limas Kerucut Bola V = Luas Alas Tinggi Keterangan Luas alas ini kondisional. Tergantung dari bentuk bangun datar yang menjadi alasnya. V = ⅓ Luas Alas Tinggi Keterangan Luas alas ini kondisional. Tergantung dari bentuk bangun datar yang menjadi alasnya. V = ⅓ π r² t V = ⅓ Luas Lingkaran Tinggi Keterangan r = jari-jari lingkaran t = tinggi V = 4/3 π r³ Keterangan r = jari-jari lingkaran Contoh Soal Volume Bangun Ruang 1. Sebuah tabung memiliki jari-jari 14 cm dan panjang 20 cm. Volume bangun ruang tersebut adalah Pembahasan: Diketahui jari-jari (r) = 14 cm dan tinggi = 20 cm. V = π x r2 x t V = 22/7 x 14^2 x

108 V = 22/7 x 196 x 20 V = cm2 2. Sebuah akuarium berbentuk kubus mempunyai panjang rusuk 60 cm. Apabila akuarium diisi air sampai penuh, berapa liter air yang dibutuhkan? Pembahasan: V = 60 cm x 60 cm x 60 cm V = cm3 V = 216 dm3 = 216 liter 3. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 72 cm dan mampu mengangkut 648 balok satuan yang berukuran sama. Panjang balok satuan yaitu 12 cm dan lebarnya yaitu 6 cm. Berapa banyak tumpukan balok satuan dalam kardus? Pembahasan: Volume kubus: V = 72 x 72 x 72 V = cm3 Volume balok kecil: V= 12 x 6 x t V = 72 x t = 72t Persamaannya yaitu: 108

109 648 x 72t = t = : t = 576 T = 576/72 = 8 cm Jadi, banyaknya tumpukan balok satuan di dalam karudd yaitu 72 : 8 = 9 LATIHAN SOAL 1. Hitunglah volume prisma segitiga berikut. 2. Hitunglah volume bangun gabungan berikut. 3. Jika diketahui panjang rusuk kubus seluruhnya 72 cm, maka volume kubus tersebut adalah

110 4. Ukuran sebuah bak truk 4 m x 3 m x 2 m. Jika bak tersebut berisi pasir sampai penuh. Volume pasir adalah Perbandingan panjang : lebar : tinggi sebuah balok diketahui 4 : 2 : 1. Jika panjangnya 12 cm, maka volumenya adalah... PEMBAHASAN LATIHAN SOAL Pembahasan Latihan Soal Nomor 1 Volume = ½ x luas alas x tinggi Volume = ½ x 20 x 15 x 36 Volume = ½ x Volume = cm 3 Pembahasan Latihan Soal Nomor 2 Volume = (panjang x lebar x tinggi) + (panjang x lebar x tinggi)\ Volume = (18 x 5 x 6) + (12 x 5 x 5) Volume = Volume = 840 cm 3 Pembahasan Latihan Soal Nomor 3 Panjang rusuk kubus = panjang rusuk kubus seluruhnya : 12 = 72 cm : 12 = 6 cm 110

111 Volume kubus = rusuk x rusuk x rusuk = 6 cm x 6 cm x 6 cm = 216 cm 3 Pembahasan Latihan Soal Nomor 4 Volume pasir = 4 m x 3 m x 2 m = 24 m 3 Pembahasan Latihan Soal Nomor 5 Panjang = 12 cm Lebar = 2/4 x 12 cm = 6 cm Tinggi = ¼ x 12 cm = 3 cm Volume = panjang x lebar x tinggi = 12 cm x 6 cm x 3 cm = 216 cm 3 111

112 BAB 14 SISTEM KOORDINAT 14.1 Pengertian Sistem Koordinat Kartesius Di dalam ilmu matematika, sistem koordinat kartesius dipergunakan untuk memilih posisi ataupun letak dari sebuah titip pada suatu bidang datar. posisi titik tersebut ditentukan oleh dua buah garis yanng ditarik secara vertikal dan horizontal dimana titik pusatnya berada pada titik 0 (titik asal). Garis horizontal disebut sebagai sumbu X dimana X positif digambarkan mendatar ke kanan sedangkan X negatif digambar mendatar ke kiri. Sementara itu garis Vertikal disebut sebagai sumbu Y dimana Y positif digambarkan kearah atas dan Y negatif digambarkan ke arah bawah. Bidang koordinat disebut sebagai bidang koordinat kartesius yang dipakai untuk memilih posisi dari sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan angka/bilangan. Contoh Soal: 1. Tentukan posisi titik koordinat pada bidang kartesius kalau diketahui koordinat titik E (2,2), F (-2,1), dan G (-3,-3). Jawab: Titik koordinat kartersius Dalam sistem koordinat kartesius ada yang disebut sebagai titik koordinat. Titik koordinat adalah gabungan dari koordinat x dan y dan dilambangkan dengan (x,y). Dilansir dari Cuemath, koordinat x suatu titik adalah jarak tegak lurus dari sumbu y dan koordinat y suatu titik adalah jarak tegak lurusnya dari sumbu x. Misalnya, kita ingin menggambarkan titik koordinat P (4, 2). Maka, kita harus mencari dahulu koordinat x, yaitu 4 satuan dari titik 0. Setelah mendapat koordinat x, kita dapat mencari koordinat y yaitu 2 satuan dari sumbu y=0. 112

113 Dari gambar terlihat titik P (4,2). Dilansir dari Mathematics LibreTexts, angka pertaman dari koordinat titik disebut dengan absis dan angka kedua disebut dengan ordinat. Artinya, 4 adalah absis atau jarak titik secara horizontal disumbu x. Adapun 2 adalah ordinat atau jarak titik secara vertikal di sumbu y. Kuadran koordinat kartesius Sumbu x dan y diagram kartesius saling berpotongan membentuk sudut 90. Kedua sumbu tersebut membagi diagram kartesius menjadi empat buah daerah yang disebut dengan kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV. Kuadran I: absis dan ordinat bernilai positif (+, +). Kuadran II: absis bernilai negatif dan ordinatnya bernilai positif (, +). Kuadran III: absis dan ordinat bernilai negatif (, ). Kuadran IV: absis bernilai positif dan ordinat bernilai negatif (+, ). LATIHAN SOAL Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor Titik A dan E berturut-turut berkoordinat 2. Titik yang letaknya berada di kuadran IV adalah 113

114 3. Titik yang berjarak 3 satuan di atas sumbu-x dan berjarak 5 satuan di kanan sumbu-y adalah 4. Titik manakah yang terletak pada sumbu koordinat? 5. Perhatikan gambar berikut. Sebuah pesawat semula berada di titik A. Pesawat itu bergerak 3 satuan ke selatan, lalu belok ke arah barat sejauh 4 satuan, dan belok ke arah utara sejauh 2 satuan. Koordinat pesawat tersebut saat ini adalah 6. Diketahui koordinat P(4,4), Q( 2,4), R(4, 4), dan S(4, 2). Pasangan titik berikut yang bila dihubungkan menggunakan garis lurus membentuk garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 7. Diketahui titik K( 5,3), L(2,3), M( 3, 1), N( 3,5), dan O(2, 2). Setiap dua titik dihubungkan menggunakan garis lurus. Pasangan garis yang saling berpotongan adalah 8. Diketahui titik K(4,3) dan L( 5,3). Jika dibuat garis yang melalui kedua titik tersebut, maka kedudukan garis tersebut adalah 9. PQRS merupakan bangun trapesium siku-siku. Koordinat titik P, Q, dan R berturut-turut adalah ( 3,2), (5,2), dan (2, 2). Titik S terletak pada koordinat 10. Diketahui titik P( 2,3), Q(2,3), R(0, 3), dan S( 4, 3). Jika PQRS dihubungkan, maka terbentuk segi empat yang luasnya adalah satuan luas. 114

115 PEMBAHASAN LATIHAN SOAL 1. Penulisan koordinat titik adalah (x,y) di mana x adalah absis dan y adalah ordinat. Dari gambar, tampak bahwa koordinat A adalah (0,2) dan koordinat E adalah (2, 4). 2. Pada bidang Kartesius, kuadran IV terletak di daerah pada posisi kanan bawah dari pusat koordinat. Di kuadran IV, absis (nilai x) bertanda positif, sedangkan ordinat (nilai y) bertanda negatif. Dari gambar, titik A tidak terletak di kuadran mana pun, titik B di kuadran I, titik C di kuadran II, titik D di kuadran III, dan titik E di kuadran IV. 3. Titik A terletak 2 satuan di atas sumbu-x dan tepat di sumbu-y. Titik B terletak 3 satuan di atas sumbu-x dan 5 satuan di kanan sumbu-y. Titik C terletak 3 satuan di atas sumbu-x dan 3 satuan di kiri sumbu- Y. Titik D terletak 2 satuan di bawah sumbu-x dan 1 satuan di kiri sumbu-y. Titik E terletak 4 satuan di bawah sumbu-x dan 2 satuan di kanan sumbu-y. Jadi, titik yang dimaksud adalah (5,3). 4. Dari gambar, tampak bahwa titik A(0,2) terletak di sumbu koordinat, atau lebih tepatnya terletak di sumbu-y. 115

116 5. Dari titik A(1,2), bergerak 3 satuan ke selatan menuju titik (1, 1), kemudian belok ke arah barat sejauh 4 satuan menjadi ( 3, 1). Terakhir belok ke arah utara sejauh 2 satuan menjadi ( 3,1). Jadi, koordinat pesawat tersebut saat ini adalah (-3,1) 6. Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-x. Perhatikan gambar. Tampak bahwa titik P(4,4) dan Q( 2,4) memiliki ordinat yang sama, sehingga pasangan titik yang dimaksud adalah P dan Q. 7. Gambarkan kelima titik tersebut pada bidang Kartesius seperti berikut. Tampak bahwa garis KL dan MN akan berpotongan di titik ( 3,3), sedangkan tiga pasangan garis lainnya tidak. 116

117 8. Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-x. Perhatikan gambar. Tampak bahwa titik K(4,3) dan Q( 5,3) memiliki ordinat yang sama, sehingga kedudukan garis yang melalui dua titik ini adalah sejajar dengan sumbu-x. 9. Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius. Agar terbentuk trapesium siku-siku, titik S seharusnya terletak di sekitar kuadran III dan sudutnya harus siku-siku. Agar hal itu terjadi, maka titik S harus terletak di ( 3, 2) seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas. Jadi, koordinat titik S adalah (-3,-2) 10. Gambarkan keempat titik tersebut pada bidang Kartesius dan hubungkan dengan menggunakan garis lurus. 117

118 Kita peroleh sebuah segi empat berupa jajar genjang. Panjang alas diwakili oleh panjang SR, yaitu a = 4. Tingginya diwakili oleh panjang OR, yaitu t = 6. Jadi, luas jajar genjang PQRS adalah a t = 4 6 = 24 satuan luas. 118

119 BAB 15 PERPANGKATAN DAN AKAR Pengertian dari bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan berpangkat itu dengan perkalian berulang sejumlah pangkatnya. Bilangan berpangkat dua dan akar pangkat dua, akar pangkat itu hanyalah kebalikan dari pangkat. Sedangkan, bilangan berpangkat tiga dan akar pangkat tiga biasa disebut dengan kubik. 7 2 = 49 akar pangkat dua dari 49 = 7 CATATAN PENTING! Pangkat dua biasa disebut dengan kuadrat Akar pangkat dua biasa disebut dengan akar kuadrat Lambang akar kuadrat seperti ini sumber: 119

120 sumber: Bilangan pangkat tiga adalah bilangan yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri berturut-turut sebanyak 3 kali. Sedangkan bilangan kubik adalah hasil bilangan yang dipangkatkan tiga. Sedangkan akar pangkat tiga dari suatu bilangan merupakan operasi kebalikan dari bilangan pangkat tiga. Akar pangkat tiga suatu bilangan dilambangkan dengan 3... Bilangan yang di dapat dari hasil perkalian berulang sebanyak tiga kali disebut bilangan kubik. Dan apabila bilangan kubik itu di akarkan dengan akar pangkat tiga maka hasilnya adalah bilangan yang dipakai pada perkalian berulang tadi. Contoh akar pangkat tiga dari 512 adalah 8. Operasi Hitung Akar dan Pangkat Tiga Dalam operasi hitung akar dan pangkat tiga, harus diperhatikan bahwa: 120