MATRIKS DAN RUANG 9(.725. Vektor di Bidang dan di Ruang

Transkripsi

1 MATRIKS DAN RUANG 9(.75 4 Vektor di Bidang dan di Ruang

2 VEKTOR DI BIDANG DAN RUANG Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses Grafika Komputer Kuantisasi pada Proses Kompresi Least Square pada Optimisasi dan lain-lain.

3 NOTASI VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai arah Notasi Vektor Notasi Panjang Vektor 𝑐 𝑐റ = 𝑐 = 𝑐 𝑖Ƹ + 𝑐 𝑗Ƹ + 𝑐3 𝑘 𝑐3 𝑐റ = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐3 Vektor Satuan adalah vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu

4 Operasi Vektor meliputi: A. Penjumlahan antar Vektor (Vektor-vektor yang berasal dari ruang yang sama) B. Perkalian Vektor i. Vektor dengan scalar ii. Vektor dengan vektor a. Hasil Kali Titik (Dot Product) b. Hasil Kali Silang (Cross Product) 4

5 Penjumlahan antar Vektor A. Penjumlahan antar Vektor Misalkan 𝑢 dan 𝑣റ adalah vektor-vektor yang berada diruang yang sama. vektor 𝑢+𝑣റ didefiniskan 𝒖 Contoh: Misalkan 𝑢 = (𝑢, 𝑢, 𝑢3 ) dan 𝑣റ = (𝑣, 𝑣, 𝑣3 ) maka 𝑢 + 𝑣റ = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣, 𝑢3 + 𝑣3 ) 5

6 Perkalian Vektor dengan Skalar i. Vektor dengan scalar Perkalian vektor 𝑢 dengan scalar 𝑘, (𝑘 𝑢) didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya 𝑘 kali panjang vektor 𝑢 dengan arah: 𝟐𝒖 - Searah dengan 𝑢, jika 𝑘 > 0 - Berlawanan arah dengan 𝑢, jika 𝑘 < 0 𝒖 Contoh: Misalkan 𝑢 = (𝑢, 𝑢, 𝑢3 ) dan 𝑣റ = (𝑣, 𝑣, 𝑣3 ) maka. 𝑢 𝑣റ = (𝑢 𝑣, 𝑢 𝑣, 𝑢3 𝑣3 ). 𝑘𝑢 = (𝑘𝑢, 𝑘𝑢, 𝑘𝑢3 ) 6 -𝒖

7 Perkalian antar Vektor (Dot Product) ii. Vektor dengan vektor a. Hasilkali Titik (Dot Product) Hasilkali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah skalar. Misalkan 𝑢 dan 𝑣റ adalah vektor pada ruang yang sama, Maka hasil kali titik antara vektor tersebut adalah: 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ cos 𝛼 dimana 𝑢 : panjang 𝑢 𝑣റ : panjang 𝑣റ 𝛼 7 : sudut antara keduanya

8 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_ Contoh: Tentukan hasil kali titik dari dua vektor 𝑎റ = 𝑖Ƹ dan 𝑏 = 𝑖Ƹ + 𝑗Ƹ Jawab: 𝑦 𝑥 Karena tan 𝛼 = ; artinya 𝛼 = 45 𝑎റ 𝑏 = 𝑎 = 8 =4 8 3//07 𝑏 cos 𝛼

9 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_3 Ingat aturan cosinus D F Perhatikan c = a + b ab cos 𝛼 b 𝑎റ 𝑏 𝑎റ 𝑎റ 𝑏 𝑏 𝑎റ 9 3//07 = 𝑎റ + 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎റ 𝑏 cos 𝛼

10 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_4 Selanjutnya dapat ditulis 𝑎റ 𝑏 cos 𝛼 = 𝑎റ + 𝑏 𝑏 𝑎റ Ingat bahwa:. 𝑎റ 𝑏 = 𝑎റ 𝑏 cos 𝛼. 𝑎റ = 𝑎 + 𝑎 + + 𝑎𝑛 3. 𝑏 = 𝑏 + 𝑏 + + 𝑏𝑛 4. 𝑏 𝑎റ = 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + + 𝑏𝑛 𝑎𝑛 = 𝑏 + 𝑏 + + 𝑏𝑛 + 𝑎 + 𝑎 + + 𝑎𝑛 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑎റ 𝑏 = 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 0

11 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_5 Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan: 𝑎റ 𝑏 = 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya, maka 𝑎റ 𝑏 = 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 = () + 0() =4 Beberapa sifat hasilkali titik:. 𝑎റ 𝑏 = 𝑏 𝑎റ. 𝑎റ 𝑏 + 𝑐റ = 𝑎റ 𝑏 + (𝑎റ 𝑐) റ 3. 𝑘 𝑎റ 𝑏 = 𝑘𝑎റ 𝑏=𝑎റ 𝑘𝑏, dimana 𝑘 𝑅

12 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_6 𝑎റ 𝑤 𝑐റ = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ 𝑏 Terlihat bahwa 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ = 𝑐=𝑘𝑏 റ Karena 𝑎റ = 𝑤 + 𝑐റ 𝑎റ 𝑏 = (𝑤 + 𝑐) റ 𝑏 = 𝑤 𝑏 + 𝑐റ 𝑏 =𝑘𝑏 𝑏 𝑘= =𝑘 𝑏 𝑎റ 𝑏 𝑏 Sehingga dapat disimpulkan 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ = 𝑐= റ 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏

13 Perkalian antar Vektor (Dot Product)_7 Contoh: Tentukan proyeksi orthogonal vektor 𝑢 = 4 terhadap vektor 𝑣റ = Jawab: 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 = = = 𝑢 𝑣 𝑣റ 𝑣 = ( ) 6 6 =

14 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_ b. Hasilkali silang (Cross Product) Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang ℝ3. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah vektor di ℝ𝟑 yang tegak lurus terhadap kedua vektor lainnya. 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘 𝑐റ = 𝑎റ 𝑏 = 𝑎 𝑎 𝑎3 𝑏 𝑏 𝑏3 𝑎 𝑎3 𝑎 𝑎3 𝑎 𝑎 = 𝑏 𝑏 𝑖Ƹ 𝑏 𝑏 𝑗Ƹ + 𝑏 𝑏 𝑘 3 3! 4

15 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_ Contoh: Tentukan 𝑤 = 𝑢 𝑣റ dimana 𝑢 =,,, 𝑣റ = 3,0, Jawab: 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑤 = 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑢 v v 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘 = 3 0 𝑘 𝑢3 v3 =. 0 𝑖+(3(-)-()) Ƹ 𝑗+((0)-3()) Ƹ 𝑘 = 𝑖Ƹ 7𝑗Ƹ 6𝑘 5

16 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_3 Beberapa sifat Cross Product: a. 𝑢 𝑢 𝑣റ = 0 b. 𝑣റ 𝑢 𝑣റ = 0 c. 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ 𝑢 𝑣റ Dari sifat ke-3 diperoleh 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ 𝑣റ cos 𝛼 = 𝑢 𝑣റ 𝑢 = 𝑢 𝑣റ + cos 𝛼 = 𝑢 𝑣റ sin 𝛼 Jadi 𝑢 𝑣റ = 𝑢 6 𝑢 𝑣റ sin 𝛼 𝑣റ cos 𝛼

17 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_4 Perhatikan Ilustrasi berikut: 𝑣റ 𝑣റ sin 𝛼 𝛼 𝑢 𝑢 Luas Jajar Genjang= 𝑢 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ sin 𝛼 Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah 𝑢 𝑣റ 7

18 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_5 Diketahui titik-titik diruang adalah 𝐴 =,, 𝐵 = 4,,0 𝐶 = (,3,3) Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC! Jawab: Orientasi pada titik A. 𝐴𝐵 = 𝐵 𝐴 = 4,,0 -,, =(3,,). 𝐴𝐶 = 𝐶 𝐴 = (,3,3) -,, =(,4,5) 𝑖Ƹ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 3 𝑗Ƹ 4 𝑘 = 𝑖Ƹ 3𝑗Ƹ + 0𝑘 5 Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah Luas= = 73

19 Perkalian antar Vektor (Cross Product)_6 Orientasi pada titik B. 𝐵𝐴 = 𝐴 𝐵 =,, 4,,0 =(-3,-,-). 𝐵𝐶 = 𝐶 𝐵 = (,3,3) - 4,,0 =(-,,3) 𝑖Ƹ 𝐵𝐴 𝐵𝐶 = 3 𝑗Ƹ 𝑘 = -𝑖Ƹ + 3𝑗Ƹ 0𝑘 3 Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah Luas= = 73

20 LATIHAN- LATIHAN. Tentukan cos α sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut: 6 a) 𝑢 = dan 𝑣റ = 8 8 b) 𝑢 = 3 dan 𝑣റ = 7. Tentukan proyeksi orthogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: 3 a) 𝑢 = dan 𝑣റ = b) 𝑢 = dan 𝑣റ = 3 3. Tentukan buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap 3 𝑢= 0

21 LATIHAN- LATIHAN_ 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor 7 𝑢 = 3 dan 𝑣റ = Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut 𝑃,0, 3, 𝑄(,4,5) dan 𝑅(7,,9)