BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

Transkripsi

1 BAB PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER.. Permasalaha Persamaa No Liier Peyelesaia persamaa o liier adalah peetua akar-akar persamaa o liier.dimaa akar sebuah persamaa =0 adalah ilai-ilai yag meyebabka ilai sama dega ol. Dega kata lai akar persamaa adalah titik potog atara kurva da sumbu X. akar persamaa sebagai peyelesaia Gambar.. Peyelesaia persamaa o liier Peyelesaia persamaa liier m + c = 0 dimaa m da c adalah kostata, dapat dihitug dega : m + c = 0 = - m c Peyelesaia persamaa kuadrat a 2 + b + c = 0 dapat dihitug dega megguaka rumus ABC. 2 b ± b 4ac 2 = 2a Beberapa persamaa polyomial yag sederhaa dapat diselesaika theorema sisa.sehigga tidak memerluka metode umeric dalam meyelesaikaya, karea metode aalitik dapat dilakuka.tetapi bagaimaa meyelesaika persamaa e - = 0 Tampakya sederhaa, tetapi utuk meyelesaika persamaa o liier merupaka metode pecaria akar secara berulag-ulag. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 0

2 Theorema.. Suatu rage =[a,b] mempuyai akar bila a da b berlawaa tada atau memeuhi a.b<0 Theorema di atas dapat dijelaska dega graik-graik sebagai berikut: a a b X Karea a.b<0 maka pada rage =[a,b] terdapat akar. b a b a a b X Karea a.b>0 maka pada rage =[a,b] tidak dapat dikataka terdapat akar. b a b Gambar. Peetua akar persamaa X Secara sederhaa, utuk meyelesaika persamaa o liier dapat dilakuka dega megguaka metode table atau pembagia area.dimaa utuk = [ a, b] atau di atara a da b dibagi sebayak N bagia da pada masig-masig bagia dihitug ilai sehigga diperoleh tabel : X 0 =a a 2 2 =b b Dari tabel ii, bila ditemuka k =0 atau medekati ol maka dikataka bahwa k adalah peyelesaia persamaa k =0.Bila tidak ada k yag sama dega ol, maka dicari ilai k da k+ yag berlawaa tada, bila tidak ditemuka maka Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi

3 dikataka tidak mempuyai akar utuk = [ a,b], da bila ditemuka maka ada 2 pedapat utuk meetuka akar persamaa, yaitu :. Akar persamaa ditetuka oleh ilai maa yag lebih dekat, bila k k+ maka akarya k, da bila k+ < k maka akarya k+. 2. Akarya perlu di cari lagi, dega rage = [ k, k + ]. Secara grais, metode table ii dapat dijelaska utuk = [ a, b], ugsi dibagi mejadi N bagia seperti gambar berikut : Gambar.. Metode Tabel Gambar di atas mejelaska bahwa peyelesaia diperoleh dega membagi = [ a, b] sebayak-bayakya higga diperoleh suatu garis yag melalui akar persamaa da ilai dari garis tersebut adalah peyelesaia dari persamaa F = 0. Cotoh.: Selesaika persamaa : +e = 0 dega rage = [,0] Utuk medapatka peyelesaia dari persamaa di atas rage = [,0] mejadi 0 bagia sehigga diperoleh : X -,0-0,622-0,9-0,494-0,8-0,5067-0,7-0,204-0,6-0,059-0,5 0,065-0,4 0,2702-0, 0, ,2 0,687-0, 0, ,0,00000 dibagi Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 2

4 Dari table diperoleh peyelesaia berada di atara 0,6 da 0,5 dega ilai masig-masig -0,052 da 0,065, sehigga dapat diambil keputusa peyelesaiaya di = 0,6.Bila pada rage = [ 0,6, 0,5] dibagi 0 maka diperoleh terdekat dega ol pada = -0,57 dega F = 0,00447 Cotoh. 2: Selesaika persamaa e - + = 0. Utuk meyelesaika persamaa tersebut, hal pertama yag harus dilakuka adalah meaksir rage yag tepat, dega cara meggambarka..dari rage ii dibuat table dega membagi rage mejadi 0 bagia sehigga diperoleh : -0,60-0,0927-0,59-0,0645-0,58-0,0590-0,57-0,0079-0,56 0,0962-0,55 0,0467-0,54 0,076-0,5 0, ,52 0,255-0,5 0,5070-0,50 0,7564 Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaa berada pada rage [ 0.6, 0.5] Dari table tersebut dapat dikataka bahwa akar persamaa berada atara 0,57 da 0,56, atau dega megguaka selisih terkecil maka dapat dikataka bahwa akar persamaa terletak di = -0,57 dega F = -0,0079. Metode table ii secara umum sulit medapatka peyelesaia dega error yag kecil, karea itu metode ii tidak diguaka dalam peyelesaia persamaa o liier, Tetapi metode ii diguaka sebagai taksira awal megetahui area peyelesaia yag bear sebelum megguaka metode yag lebih baik dalam meetuka peyelesaia. Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi

5

6 Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: e 0 Metode umerik yag dapat diguaka utuk memperoleh solusi dari persamaa o-liear atara lai:. Metode Biseksi Bisectio 2. Metode Regula Falsi False Positio. Metode Newto-Raphso 4. Metode Secat 5. Metode Iterasi Tetap Fied Poit Iteratio

7 2 Algoritma Metode Biseksi Algoritma Metode Regula Falsi = Algoritma Metode Biseksi haya tiggal meggati rumus 2 mid mejadi *.

8 Represetasi Grais Metode Regula Falsi Perhatika kesebagua 2 segitiga Pcb da PQR, maka diperoleh 0 a b a b b b c a b a b c b b RQ PR bc Pb

9 Graik Metode Regula Falsi Graik Metode Biseksi 4

10 Metode Biseksi Hal-hal yag perlu diperhatika dalam metode biseksi Fugsi harus kotiu pada iterval da +. Meetuka da + dapat diperoleh dega membuat graik ugsiya. Nilai tolerasi error dapat ditetuka oleh peggua ataupu didasarka pada bidag ilmu dari permasalaha yag diselesaika. Kelebiha Metode Biseksi Selalu berhasil meemuka akar solusi yag dicari, atau dega kata lai selalu koverge. Kekuraga Metode Biseksi Metode biseksi haya dapat dilakuka apabila ada akar persamaa pada iterval yag diberika. Jika ada beberapa akar pada iterval yag diberika maka haya satu akar saja yag dapat ditemuka. Memiliki proses iterasi yag bayak sehigga memperlama proses peyelesaia. Tidak memadag bahwa sebearya akar atau solusi yag dicari dekat sekali dega batas iterval yag diguaka. 5

11 Cotoh: Tetuka solusi dari persamaa o-liier: y = 7 + dega error Peyelesaia: - Dega Metode Biseksi Lagkah : Membuat graik dari y = 7 + utuk memperoleh batas iterval da +. Dega program Maple diperoleh graik y = 7 + sebagai berikut: Solusi eksak + Terlihat dari graik di atas bahwa solusi dari y = 7 + ada pada iterval 2.5 da 2.6, maka diguaka = 2.5 da + =

12 Lagkah 2 : Hitug ilai, +, Tabel mid 2 da mid. No + + mid mid mid mid

13 Lagkah : Apakah da mid sama tada? Jika sama tada maka mid meggatika, sedagka jika berbeda tada maka mid meggatika +. Terlihat dari tabel, = da mid = sama tada, maka mid = 2.55 meggatika = 2.5. Tabel 2 No + + mid mid sama tada Lagkah 4 : Apakah mid 0.005? Jika ya, maka mid = 2.55 merupaka solusi dari persamaa o liier tersebut, jika tidak, ulagi lagkah 2 dega = 2.55 da + = 2.6. Dikareaka mid = > maka ulagi lagkah 2 sehigga diperoleh hasil sebagai berikut: 8

14 Tabel No + + mid mid sama tada beda tada sama tada sama tada beda tada sama tada mid = > mid = > mid = 0.7 > mid = 0.04 > mid = 0.00 > mid = 0.05 > mid = maka iterasi dihetika da diperoleh solusi persamaa o liier yag diigika yaitu =

15 Cotoh: Tetuka solusi dari persamaa o-liier: y = 7 + dega error peyelesaia : - Dega Metode Regula Falsi Lagkah : Membuat graik dari y = 7 + utuk memperoleh batas iterval da +. Dega program Maple diperoleh graik y = 7 + sebagai berikut: Solusi eksak + Terlihat dari graik di atas bahwa solusi dari y = 7 + ada pada iterval 2.5 da 2.6, maka diguaka = 2.5 da + =

16 Lagkah 2 : Hitug ilai, +, * Tabel da *. No + + * * * * Lagkah : Apakah da * sama tada? Jika sama tada maka * meggatika, sedagka jika berbeda tada maka * meggatika +. Terlihat dari tabel, = da * = sama tada, maka * = 2.57 meggatika = 2.5.

17 Tabel 2 No + + * * sama tada Lagkah 4 : Apakah * 0.005? Jika ya, maka * = 2.57 merupaka solusi dari persamaa o liier tersebut, jika tidak, ulagi lagkah 2 dega = 2.57 da + = 2.6. Dikareaka mid = 0.05 > maka ulagi lagkah 2 sehigga diperoleh hasil sebagai berikut: Tabel No + + * * sama tada mid = 0.05 > mid = maka iterasi dihetika da diperoleh solusi persamaa o liier yag diigika yaitu =

18 Metode Newto-Raphso Algoritma Newto-Raphso Kelebiha: Kovergesi yag dihasilka lebih cepat. Kelemaha: Tidak selalu meemuka akar diverge. Kemugkia sulit dalam mecari. Peetapa harga awal yag sulit.

19 4 Cotoh: Tetuka solusi dari persamaa o-liier: y = 7 + dega error 0.0. Peyelesaia : Lagkah : Meetuka ilai awal,. Misalka dipilih = 2.5. Lagkah 2 : Hitug +, +, da. Tabel No

20 Lagkah : Apakah + 0.0? Jika ya, maka + = merupaka solusi dari persamaa o liier tersebut, jika tidak, ulagi lagkah 2 dega = Dikareaka + = 0.04 > 0.0 maka ulagi lagkah 2 sehigga diperoleh hasil sebagai berikut: Tabel 2 No = 0.04 > = 0.02 < 0.0 maka iterasi dihetika da diperoleh solusi persamaa o liier yag diigika yaitu = Tugas Tetuka solusi dari persamaa o-liier berikut sampai iterasi ke- dega megguaka metode biseksi, regula alsi, da ewto-raphso.. + 5, dega = 0 da + = ⅓ - - 9, dega = - da + = , dega = 0 da + = , dega = 0 da + = ½ - - 9, dega = 2.5 da + = , dega = -0.5 da + = , dega = -.5 da + = -. 5

21 Metode Secat Disebut juga Metode Iterpolasi Liear Dalam prosesya tidak dilakuka pejepita akar [ 0, ] tidak harus megadug akar yag aka dicari, sehigga 0 da bisa bertada sama. Mecari 2, yaitu 2 Utuk iterasi berikutya aka diperoleh iterval baru [ 0, ] dega cara pergesera: 0, 2 Iterasi berlagsug sampai batas maksimum atau sampai dipeuhiya batas Tolerasi T

22 Cotoh: Tetuka solusi dari persamaa o-liier: y = 7 + dega error 0.0. Peyelesaia: Lagkah : Meetuka da 0. Misalka dipilih = 2,5 da 0 =2. Lagkah 2 : Hitug 0,, 2 0 0, da 2. Tabel No

23 Lagkah : Apakah 2 0.0? Jika ya, maka 2 = merupaka solusi dari persamaa o liier tersebut, jika tidak, ulagi lagkah 2 dega mejadi 0 da 2 mejadi. Dikareaka 2 = 0.8 > 0.0 maka ulagi lagkah 2 sehigga diperoleh hasil sebagai berikut: Tabel 2 No = 0.8 > = maka iterasi dihetika da diperoleh solusi persamaa o liier yag diigika yaitu =

24 9

25 Fied Poit Iteratio Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap adalah metode yag memisahka dega sebagia yag lai sehigga diperoleh : = g atau dalam betuk persamaa iterasi, i + = g i misal: = 0 = 2 + /2 si = 0 = si + Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap. Deiisika F da g. 2. Tetuka tolerasi error e da iterasi maksimum.. Tetuka pedekata awal 0 4. Utuk iterasi = s/d atau F [iterasi] e : i = g i da hitug F i 5. Akar adalah terakhir yag diperoleh. 20

26 Cotoh: Selesaika + e = 0, maka persamaa diubah mejadi = e atau g = e. Peyelesaia: Ambil titik awal di 0 = -, maka Iterasi : = -e-= da F = 0,24 Iterasi 2 : = -e-0,679 = -0,6922 da F = -0,97 Iterasi : = -e-0,6922 = -0,50047 da F = 0,0577 Iterasi 4 : = -e-0,50047 = -0,60624 da F = -0,06085 Iterasi 5 : = -e-0,60624 = -0,5454 da F = 0,0427 Pada iterasi ke 0 diperoleh = -0,5684 da F = 0,

27 = e - - akar akar y = y2 = e - v 22