LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL

Transkripsi

1 LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL Zumrotus Sya diyah ) ) Dose Sekolah Tiggi Ilmu Komputer (STIKOM) Ambo zuma.yakuza@gmail.com Abstrak Kosep dasar barisa bilaga real merupaka hal yag medasar dalam aalisis matematika.barisa bilaga real yag selama ii dikeal adalah barisa bilaga real yag tuggal, amu dalam peelitia ii aka dibahas megeai barisa gada bilaga real. Adapu hal yag aka diaalisis da dibahas dalam peelitia ii adalah tetag ekor barisa gada bilaga real da hubuga suatu barisa gada bilaga real S : N NR:,,,, da,., Kata kuci: Limit, kovergesi da barisa gada bilaga real PENDAHULUAN Matematika adalah suatu studi da pegembaga struktur-struktur yag memuat beberapa pegertia dasar yag tak salig bertetaga, tak salig bergatug satu sama lai da salig megisi (meujag). Dalam meghadapi permasalaha sehari-hari yag rumit, permasalaha tersebut perlu dibagi mejadi permasalaha yag lebih sederhaa.betuk permasalaha dapat dibetuk dalam suatu fugsi.fugsi tersebutlah yag kemudia didekati utuk meyelesaika masalah yag dihadapi (Marjoo, 009).Fugsi tersebut dapat didekati dega megguaka kosep tetag barisa bilaga real, yaki perkawaa atara bilaga asli da bilaga real dega domaiya adalah bilaga asli da bilaga real bertidak sebagai kodomai. Oleh karea itu,kosep tetag barisa bilaga real merupaka salah satu dasar yag harus dipahami. Kosep tetag barisa bayak dimafaatka dalam meyelesaika permasalahapermasalaha sehari-hari.salah satu teori barisa yag mucul adalah pada permasalaha ekoomi, misalya pada perkembaga usaha yag pertumbuhaya kosta dari waktu ke waktu megikuti perubaha baris hitug.baris hitug maksudya barisa bilaga di maa pola perubaha dari satu suku ke suku berikutya besarya tetap da pola perubaha tersebut dapat diperoleh dari selisih atara suatu suku dega suku berikutya (Irawa, 00). Pada dasarya, suatu barisa bilaga real (atau suatu barisa di ) adalah suatu fugsi yag memetaka himpua dega daerah hasil yag termuat di. Dega kata lai, suatu barisa di memasagka masig-masig bilaga asli secara tuggal dega bilaga real (Bartle, 000: 53) (Riyato, 008). Limit da kovergesi barisa bilaga real merupaka dasar utuk memahami kosep tetag barisa bilaga real yag selajutya. Pada peelitia ii, pembahasa aka lebih ditekaka pada Limit da Kovergesi Barisa Gada Bilaga Real. Dalam peelitia sebelumya oleh Habil (008) haya dijelaska sebatas pada pembuktia tiap teoremaya.belum ditujukka melalui cotoh-cotoh agar dapat lebih mudah dipahami. Dalam peelitia ii aka dikaji ulag pembuktia teorema terkait 9

2 barisa gada bilaga real secara lebih medalam da aka diberika cotoh pada tiap defiisi da teorema agar dapat diaalisis, dipahami da dikembagka secara lebih medalam oleh peeliti laiya. METODE Lagkah pegerjaa yag dilakuka dalam pegerjaa skripsi ii, diurutka dalam beberapa lagkah, yaitu: i. Megidetifikasi defiisi barisa gada bilaga real Tahap selajutya adalah proses pegidetifikasia defiisi barisa gada bilaga real yag aka diguaka dalam pembahasa berikutya. ii. Mecari da membuktika sifat-sifat barisa gada bilaga real Setelah barisa gada bilaga real diidetifikasi dega bear, maka tahap selajutya adalah mecari da membuktika sifat-sifat barisa gada bilaga real. iii. Meuruka teorema-teorema terkait dega it barisa gada da kovergesiya Tahap ii telah mejelaska defiisi barisa gada bilaga real, selajutya pada tahap iii telah diketahui sifat-sifat barisa gada bilaga real. Maka, pada tahap ii aka dibuktika teorema-teorema barisa gada bilaga real utuk megetahui kovergesi barisa gada bilaga real. Dari tahap ii, aka diketahui tetag bagaimaa barisa gada bilaga real yag koverge da bagaimaa barisa gada bilaga real yag diverge. iv. Mearik kesimpula Dari hasil-hasil yag diperoleh pada lagkah-lagkah sebelumya, aka ditasik kesimpula megeai it da kovergesi barisa gada bilaga real. Pearika kesimpula ii merupaka tahap akhir peelitia yag didasarka pada hasil peelitia yag dilakuka. HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi (Habil, 008) Barisa gada bilaga real (barisa gada di R) adalah suatu fugsi pada himpua N dega daerah hasil yag termuat di R. Δ Dega kata lai, suatu barisa di R memasagka bilaga asli da bilaga asli secara tuggal dega bilaga R. Sehigga dapat disimpulka bahwa domai dari barisa gada bilaga real adalah hasil cross product atara bilaga asli (N) dega bilaga asli (N). Sedagka kodomai dari barisa gada bilaga real adalah sama dega kodomai dari barisa bilaga real yag tuggal, yaki himpua bilaga real ( ). Dari kesimpula ii, dapat dilihat bahwa perbedaa medasar atara barisa tuggal bilaga real da barisa gada bilaga real terletak pada domai fugsi pembagu barisaya. Barisa gada bilaga real S : NN R serig diotasika dega: S, (, ), ( s (, :, m N) Cotoh Bila 3 m ar, maka baris, a ;, m N adalah barisa ( a, a, a,..., a, a, a,..., a, a, a,...) Artiya; s (, : NN R m m s (, a ;, m NN a R. 30

3 , Jika it dari suatu barisa gada bilaga real, adalah a ditulis, a, maka barisa gada s (, dikataka koverge ke a. Dari hubuga tersebut, dalam bab berikutya aka dibahas tetag it barisa gada bilaga real. Defiisi (Habil, 008) Barisa gada dikataka koverge ke da ditulis, a, jika memeuhi, maka: s (, a, m k( )., Cotoh Tujukka bahwa 0., m Peyelesaia: Ambil sembarag 0, aka ditujukka bahwa k( ) N, a,, m k( ). Misalka, m p Sehigga diperoleh:, a 0 m p p p Dega demikia, diperoleh k ( ),, m. Dega kata lai, terbukti bahwa 0. m Defiisi 3 (Habil, 008) Misalka barisa gada bilaga real, maka: i) Barisa gada dikataka meuju ke da ditulis,, jika ii) Δ, sedemikia higga jika, m k( ) maka. Bari sa gada dikataka meuju ke da ditulis,, jika, sedemikia higga jika, m k( ) maka. Δ Cotoh 3 Tujukka bahwa 0., m Peyelesaia: Ambil sembarag 0, aka ditujukka bahwa k( ) N, a,, m k( ). Misalka, m p Sehigga diperoleh: m p, a 0 m m m p Diperoleh k( ) ;, m p,, m. p p. Teorema (Ketuggala Limit barisa gada) (Habil, 008) Barisa gada bilaga real haya memiliki satu it. 3

4 Bukti: Misalka it barisa gada koverge ke ; i) Limit adalah artiya 0k ( ) N, a,, m k ( ) ii) Limit adalah artiya 0k ( ) N, a',, m k ( ) Sehigga, a a' a,, a' a,, a', a, a' Karea a a' da, maka adalah bilaga positif. Sedagka disisi lai, ilai mutlak adalah suatu ilai yag selalu tak egatif. Maka, dapat disimpulaka bahwa: a a' 0 Sehigga Dega kata lai, it barisa gada adalah tuggal. Cotoh 4 Tujukka bahwa 0., m Peyelesaia: Ambil sembarag 0, aka ditujukka bahwa k( ) N s (, a,, m k( ). Misalka, m p. Sehigga diperoleh:, a 0 m p p p p Dega demikia, diperoleh k ( ),, m. Dega kata lai, terbukti bahwa 0. m Teorema (Habil, 008) Misalka,, a, artiya, a, ada, utuk setiap. Bukti: Asumsika bahwa, c utuk setiap Aka dutujukka bahwa c a, dega m. Ambil 0. Karea dimaa, m, utuk setiap k( ) N, sehigga:, a,, m k( ), Da karea N,, c dimaa m, k ( ) N, sehigga, c, m k ( ). 3

5 Sekarag, ambil m supk ( ), k( ). Dimaa k ( ), sehigga c a,, a c,, a. Oleh karea itu, c a, dimaa. c Cotoh 5 Tujukka bahwa, 0, jika diketahui m, 0. Perhatika barisa gada bilaga real s (, ;, m N. m, 0, megakibatka, 0. Teorema 3 (Habil, 008) Misal,,, a. Maka,, da, ada, jika da haya jika:, ada, da ii)., ada, Bukti: () Aka dibuktika bahwa,, a. Maka,, da, ada, jika:, ada, da, ada, Peyelesaia: Misalka, m a da, m a. Dari Teorema ),, a ) 3, diperoleh a jika, ada, da jika, ada. Dega demikia, maka terbukti bahwa,, a. Maka,, da, ada, jika:, ada, da, ada, () Aka ditujukka bahwa, ada, da, ada,, jika,, a. Maka,, da, ada. Peyelesaia: Karea, ada da, ada, maka, ada da, ada. Dega kata lai,, ada. Misalka, m a. Maka, terbukti bahwa, ada, ) da, ada,, jika,, a. Maka,,, ada. Dari teorema di atas, dapat dilihat bahwa ada kemugkia, m a, b Jika hal ii da sedagka. ) 33

6 terjadi, maka,, oleh cotoh berikut ii. Cotoh 6 Hal ii aka ditujukka Tujukka bahwa, belum tetu sama dega, dari barisa gada bilaga real s (, ;, N. m, 0, megakibatka, 0. m Sedagka,, megakibatka m,. m Dega demikia, it barisa gada tersebut tidak ada. Kekovergea suatu barisa gada bilaga real bergatug pada perilaku sukusuku akhirya. Berikut ii aka diberika defiisi tetag ekor suatu barisa gada bilaga real. Defiisi 4 Misalka S,),,),,3),...,,),,),,3),...,...,,, dimaa adalah barisa gada bilaga real. Jika adalah suatu bilaga asli maka -ekor/ -tail dari barisa gada bilaga real adalah p) : ( p ), ( p ),), ( p ),),..., ( p ),), ( p ),),... Δ Cotoh 7 Diberika barisa gada bilaga real sebagai berikut. s (, ;, m m,,...,,,...,,, ,,,...,,,,...,,,, Maka ekor- dari barisa, adalah sebagai berikut. s, ( m ),,...,,,...,,,, Ekor-5 dari barisa, adalah sebagai berikut. s, ( m 5),,...,,,...,,, Defiisi 5 Misalka S,),,),,3),...,,),,),,3),...,...,,, dimaa adalah barisa gada bilaga real. Jika adalah suatu bilaga asli maka -ekor/ -tail dari barisa gada bilaga real adalah q) :,( q ),( q )), (,( q )),...,,( q )),,( q )),... Δ 34

7 Cotoh 8 Diberika barisa gada bilaga real sebagai berikut. s (, ;, m,,...,,,..,,,... m 3 3,,..,,,...,,,... Maka ekor- dari barisa, adalah s ( ),,,...,,,...,,, Ekor-5 dari barisa, adalah s ( 5),,,...,,,...,,, Teorema 4 (Pajag Ekor Barisa Gada) Misalka p) : ( p ), adalah ekor barisa gada bilaga real, da q) :,( q ) juga merupaka barisa gada bilaga real, maka ekor barisa q) :,( q ) p) : ( p ),. lebih pajag dari pada ekor barisa Bukti: Diberika, adalah barisa gada bilaga real.misal s (, m;, N, maka barisa, adalah sebagai berikut. s (, (,, 3,...) (,,...,,,...) Dega kata lai,, : NNR Karea m berjala terlebih dahulu, maka jika terdapat ekor barisa q) :,( q ) da ekor barisa p) : ( p ), diperoleh setiap aggota dari ekor barisa p) : ( p ), merupaka aggota dari ekor barisa q) :,( q ) amu tidak berlaku sebalikya. Cotoh 9 Diberika barisa gada bilaga real s (, ;, N sebagai berikut. s (, ( m ;, N),,,...,,,,...,,,,... Dari Defiisi 5 diperoleh: , ( m ;, N),,..,,,..,,, i),( m )),,...,,,...,,,... Suku pertama pada ekor barisa gada s (,( m )) adalah suku ke dua dari barosa gada s (,., ( m ;, N),,...,,,...,,, ii) ( ),,,,...,,,,... Suku pertama pada ekor barisa gada s (( ), adalah suku ke q dari barisa gada s (,, dimaa q ketika suku ke berjala. 35

8 Dari i da ii, tampak bahwa pajag ekor barisa s (,( m )) lebih pajag dari pada pajag ekor barisa ( ), Teorema 5 Misal, S (, :, N) adalah barisa gada bilaga real.maka, -ekor p) : ( p ), dari barisa gada s (, adalah koverge barisa gada s (, koverge.artiya p),. Bukti: () Aka dibuktika jika barisa, koverge, maka -ekor, juga koverge. Misalka, koverge ke artiya: 0, k( ) N k( ) memeuhi s (, a. Maka, utuk suku dari p), k k( ) memeuhi, a p. Sehigga dapat diambil ( ) k( ) p, dega kata lai p) a. () Jika -ekor dari, koverge, maka barisa s (, juga koverge. Jika -ekor dari, koverge, maka memeuhi: 0, k ( ) N k( ) k k ( ) memeuhi s (, a. Maka, utuk setiap suku-suku dari p m,, k( ) p memeuhi s (, a. Cotoh 0 Tujukka bahwa it barisa gada bilaga real s (, ( ;, N) yag m koverge ke 0, maka ( ), juga koverge ke 0. Peyelesaia: Dari Defiisi 5 diperoleh bahwa barisa gada bilaga real ( ), adalah ekor barisa dari barisa s (, ( ;, N) yag megakibatka m ( ) m m. Dari Teorema 5 megakibatka barisa gada bilaga real s (, ( ;, N) koverge.maka ( ), juga koverge. m Defiisi 6 (Habil, 008) Barisa gada bilaga real dikataka terbatas, jika terdapat suatu bilaga real G 0 sedemikia higga, G, dimaa, N. Oleh karea itu, barisa, terbatas jika da haya jika himpua { s (,. :, merupaka subset terbatas dalam. k p 36

9 Cotoh Diberika barisa gada bilaga real s (, ( ; 4, m 8;, N).Tampak m bahwa, N yag terbatas. Yaitu,,,3,4,..., 3da m,,3,4,...,7. Dega demikia, barisa gada bilaga real s (, ( ; 4, m 8;, N) m merupaka subset terbatas dari R. Teorema 6 (Habil, 008) Barisa gada bilaga real yag koverge adalah terbatas. Bukti: Misalaka, a. Artiya: Ambil terdapat sedemikia higga s (, a,. sehigga, a,, m k().,, a a, a a a Jik a diambil M sup,),,),,)..., k() ),,, maka s (, M,, N.Maka, s (, M,, N. Cotoh m Diberika barisa gada bilaga real, ( ) ;, N. Aka m ditujukka bahwa, 0. 0, k N Sehigga, m p diperoleh:, m s (, 0 ( ) p m p m Barisa gada bilaga real, ( ) ;, N adalah m, tidak ada.karea, tidak ada.da koverge.namu,, tidak ada.karea, tidak ada.dega demikia, barisa gada bilaga real yag koverge tidak selalu memiliki it. Teorema 7 (Habil, 008) Misal, adalah barisa gada bilaga real yag dapat ditulis, a a m sedemikia higga a l da a m l, maka,,, ll, Cotoh 3 Misalka diberika barisa gada bilaga real s (, ;, N. m Diketahui,,, 0., 37

10 , aam, maka diperoleh m a 0 da am 0. m Dari Teorema 7, diperoleh bahwa , m m m m m m Teorema 8 (Habil, 008) Misal, adalah barisa gada bilaga real yag dapat ditulis, a a m sedemikia higga a l da a m l, maka,,, l l, Bukti Dari hipotesisi, diperoleh, ( a am ) a am l l Da, m ( am a ) a am l l m Kemudia, aka ditujukka bahwa, l l., Diberika 0, dari hipotesis terdapat bilaga asli k k( ), sehigga a l da a m l,, N. Oleh karea itu, diperoleh, m k( ), ( l l ) a am l l a l am l Sehigga, terbukti bahwa, l l., Cotoh 4 Misalka diberika barisa gada bilaga real s (, ;, m N. m Diketahui,,, 0., m,, maka diperoleh 0. m, m m m Dari Teorema 8, diperoleh ( ) 0, m m Barisa gada bilaga real yag terbatas, belum tetu koverge.sebagai cotoh, m barisa gada bilaga real ;, N adalah barisa gada yag terbatas, amu tidak koverge. Defiisi 7 (Habil, 008) Misal, diberika, adalah barisa gada bilaga real (i) Jika, ( dalam N N, disebut barisa aik m 38

11 (ii) Jika, ( dalam N N, disebut barisa turu (iii) Jika, aik maupu turu, maka barisa tersebut barisa gada mooto Δ Cotoh 5 Diberika barisa gada bilaga real sebagai berikut., ;, N,,...,,,...,,,... m 3 3 Diperoleh barisa mooto sebagai berikut Defiisi 8 Diberika barisa gada bilaga real s (,. Barisa gada s (, dikataka aik tegas, jika, ( dalam N N.Da barisa gada s (, dikataka turu tegas, jika, ( dalam N N. Δ Cotoh 6 Diberisa barisa gada bilaga real sebagai berikut. s (, ;, N.,,,...,,,...,,,.. Diperoleh barisa mooto m tegas sebagai berikut Teorema 9 (Teorema Kovergesi Mooto) (Habil, 008) Suatu barisa gada bilaga real mooto dikataka koverge, jika da haya jika barisa tersebut terbatas. Dega kata lai, (i) Jika, adalah terbatas ke atas, maka,,, m sup{ s (, :, N ), (ii) Jika, adalah terbatas ke bawah, maka,,,, if{ s (, :, m N} Cotoh 7 Diberika barisa gada bilaga real yag diotasika sebagai berikut. s (, ;, N yag koverge ke 0. s (,,,...,,,..,,,... m Jika diambil sub barisa, s' (,,,,... adalah barisa gada mooto yag 3 terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 da. s" (,,,,... adalah barisa gada mooto 4 6 yag terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 da. 39

12 Berikut ii aka diulas tetag kotribusi barisa gada bilaga real yag mooto dalam sub barisa da kovergesi sub barisa gada. Defiisi 9 (Habil, 008) Misalka, adalah barisa gada bilaga real da misalka r k, r k, r... k adalah barisa gada bilaga real yag aik tegas dari, 3 3 ( k, r bilaga asli (N). Maka, s ) disebut sub barisa dari, m ) Δ Cotoh 8 Diberika barisa gada bilaga real sebagai berikut. s, a, a, a,..., a, a, a,..., a, a,,... dega ketetua, ( a33 a a3..., a a a3... a 3 a3 a33... (, m s '(, a a a3 a, Jika diambil sub barisa dari s ), yaitu... Maka s' (, disebut sub barisa dari,. Teorema 0 (Habil, 008) Jika, adalah barisa gada bilaga real yag koverge ke a, maka sembarag sub barisa dari, juga koverge ke a. Dega kata lai; (i) Jika barisa gada, koverge, maka sub barisa dari, juga koverge (ii) Jika sub barisa dari barisa gada bilaga real, koverge, maka belum tetu barisa gada, juga koverge. Bukti Ambil sembarag 0, k( ) N, sehigga, a. Karea, N berlaku ( k, mk ) ( k, mk ), utuk setiap, m k( ) sehigga s (, a. Terbukti bahwa s, k, m ) koverge ke a. ( k Cotoh 9 Misalka m, ( ) ;, N diverge.maka barisa, adalah sebagai berikut.,,,,,,,,... Jika diambil sub-sub barisa sebagai berikut, '(,,,,,... s" (,,,,... Tampak bahwa s' (, koverge ke s m da s" (, koverge ke, padahal, ( ) ;, N diverge. Dega kata lai, suatu barisa gada bilaga real yag diverge, belum tetu sub barisa dari barisa gada bilaga real tersebut juga diverge. Da setiap barisa gada bilaga real, selalu terdapat sub barisa dari barisa gada bilaga real yag mooto, berikut ii aka diberika defiisiya. Defiisi 0 (Habil, 008) Jika, adalah barisa gada bilaga real, maka terdapat sub barisa dari, yag mooto. Δ 40

13 Cotoh 0 Diberika barisa gada bilaga real sebagai berikut. s (, ;, N yag koverge ke 0. s (,,,...,,,...,,,... m Jika diambil sub barisa, s' (,,,,... s "(,,,, Tampak bahwa sub barisa s '(, da s" (, adalah barisa yag mooto. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarka hasil aalisa da pembahasa yag telah diuraika, dapat disimpulka bahwa Sifat-sifat barisa gada bilaga real da itya dapat diuraika sebagai berikut. a. Barisa gada koverge ke da ditulis, a, jika, maka:, a, m f ( )., b. Barisa gada bilaga real yag koverge haya memiliki satu it. c. Misal,,, a. Maka,, da, ada, jika da haya jika:, ada, da, ada, d. Misalka S,),,),,3),...,,),,),,3),...,...,,, dimaa adalah barisa gada bilaga real. Jika adalah suatu bilaga asli maka -ekor/ -tail dari barisa gada bilaga real adalah s ( p) : ( p ), ( p ),), ( p ),),..., ( p ),), ( p ),),... e. Misalka p) : ( p ), q) :,( q ) barisa q) :,( q ) p) : ( p ),. adalah ekor barisa gada bilaga real, da juga merupaka barisa gada bilaga real, maka ekor lebih pajag dari pada ekor barisa f. Barisa gada bilaga real dikataka terbatas, jika terdapat suatu bilaga real G 0 sedemikia higga, G, dimaa, N Kovergesi barisa gada bilaga real yag mooto dapat disimpulka sebagai berikut. a. Suatu barisa gada bilaga real mooto dikataka koverge, jika da haya jika barisa tersebut terbatas. b. Jika, adalah barisa gada bilaga real, maka terdapat sub barisa dari, yag mooto. Utuk pegembaga, peulis memberika sara-sara agar peeliti berikutya megaalisis tetag barisa gada bilaga kompleks atau melajutkaya ke deret gada bilaga real. 4

14 DAFTAR RUJUKAN Bartle, R. G. da Sherbert, D.R. 000.Itroductio to Real Aalisis.Joh Wiley ad Sos. New York. Habil E. D Double Sequeces ad Double Series.Islamic Uiversity of Gaza.Gaza, Palestie. Irawa, J. F. P. 00. Matematika Ekoomi. Salemba Empat. Jakarta Marjoo.009. Kotribusi Matematika dalam Pegembaga SDM. Pegembaga-SDM-980-id.html. (Diakses Pada Taggal 6 Maret 07, 5.4 WIT) Riyato, Z Pegatar Aalisis Real I. Uiversitas Gajah Mada, Yogyakarta. 4