Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Maret 2018

Transkripsi

1 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Maret 2018 Soal terdiri dari 30 nomor yang berbentuk pilihan ganda. Setiap soal terdapat 5 pilihan jawaban dan hanya 1 jawaban yang benar. Waktu pengerjaan ujian adalah selama 180 menit atau 3 jam. Lepaskan halaman terakhir pada soal ini dan tulis jawaban Anda pada lembar tersebut. Nama: Divisi: 1. Waktu sampai gagal T dari sebuah produk dimodelkan menggunakan distribusi uniform pada [0, 10]. Sebuah garansi membayarkan manfaat sebesar 100 jika kegagalan terjadi diantara waktu t = 1.5 dan t = 8. Nilai sekarang W dari manfaat ini adalah... 0, 0 T < 1.5 W = 100e 0.04T, 1.5 T < 8 0, 8 T < 10. Hitung Pr(W < 79) (a) 0.21 (b) 0.41 (c) 0.44 (d) 0.56 (e) Sebuah produk investasi memperoleh tingkat suku bunga tahunan R yang mengikuti distribusi uniform pada interval (0.04, 0.08). Nilai dari investasi awal sebesar 10,000 pada produk ini setelah satu tahun adalah sebesar V = 10, 000e R. Misalkan F adalah fungsi distribusi kumulatif dari V. Tentukan F (v) dari V untuk nilai v yang memenuhi 0 < F (v) < 1. (a) 10, 000ev/10,000 10, (b) 25e v/10, v 10, 408 (c) 10, , 408 (d) 25 v [ ( ) ] v (e) 25 ln , 000

2 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 2 of Sebuah polis asuransi membayar 100 setiap hari hingga 3 hari rawat inap dan 50 per hari untuk setiap rawat inap setelahnya. Banyaknya hari rawat inap X adalah sebuah peubah acak diskrit dengan fungsi peluang 6 k, untuk k = 1, 2, 3, 4, 5 P [X = k] = 15 0, k lainnya. Hitung ekspektasi dari pembayaran yang dilakukan untuk rawat inap berdasarakan polis tersebut. (a) 123 (b) 210 (c) 220 (d) 270 (e) Misalkan X dan Y menandakan nilai dari dua saham pada akhir tahun ke 5. X berdistribusi uniform pada interval (0, 12). Diberikan X = x, Y berdistribusi uniform pada interval (0, x). Hitung Cov(X, Y ) berdasarkan model ini. (a) 0 (b) 4 (c) 6 (d) 12 (e) Sebuah wadah terdapat 4 buah fair dice. Dua dadu mempunyai sisi bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6; satu dadu mempunyai sisi bernomor 2, 2, 4, 4, 6, dan 6; serta satu dadu mempunyai nomor 6 pada semua sisinya. Satu dari dadu dipilih secara acak dari wadah dan dilemparkan. Dadu yang sama dilemparkan untuk kedua kalinya. Hitung peluang angka 6 muncul pada kedua pelemparan tersebut. (a) (b) (c) (d) (e) 0.417

3 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 3 of Sebuah perusahaan asuransi akan menanggung kerugian yang terjadi dari tornado pada single calendar year. Akan tetapi, perusahaan asuransi hanya akan menanggung kerugian maksimum sebesar tiga tornado pada periode yang sama. Misalkan X adalah banyaknya tornado yang menghasilkan kerugian setidaknya 50 milyar dan misalkan Y adalah banyaknya tornado. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y adalah { c(x + 2y), untuk x = 0, 1, 2, 3, y = 0, 1, 2, 3, x y p(x, y) = 0, x, y lainnya, dengan c adalah konstanta. Hitung ekspektasi dari banyaknya tornado yang menghasilkan kerugian kurang dari 50 milyar (a) 0.19 (b) 0.28 (c) 0.76 (d) 1.00 (e) Misalkan X adalah random variable kontinu yang mempunyai funsi peluang x f(x) = 10, 2 x 4 0, x lainnya. Hitung ekspektasi dari X. (a) 1/5 (b) 3/5 (c) 1 (d) 28/15 (e) 12/5 8. Pada sebuah popolusi pasien, 20% mempunyai cancer tahap awal, 10% mempunyai cancer tahap akhir, dan 70% sisanya tidak mempunyai cancer. 6 pasien dari populasi diambil secara acak. Hitung ekspektasi dari pasien terpilih yang mempunyai cancer tahap akhir, diberikan bahwa paling tidak terdapat 1 pasien yang mempunyai cancer tahap awal. (a) (b) (c) (d) (e) 0.625

4 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 4 of Sebuah perusahaan asuransi menawarkan produk asuransi perjalanan. Kerugian pada produk tersebut diasumsikan berdistribusi uniform pada interval [0, 5]. Perusahaan asuransi akan me-reimburse pemegang polis untuk kerugian hingga maksimal 4. Hitung peluang distribusi kumulatif F dari manfaat yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang polis yang mengalami sebuah kerugian. (a) (b) (c) (d) (e) 0, x < 0 F (x) = 0.20x, 0 x < 4 1, x 4. 0, x < 0 F (x) = 0.20x, 0 x < 5 1, x 5. 0, x < 0 F (x) = 0.25x, 0 x < 4 1, x 4. 0, x < 0 F (x) = 0.25x, 0 x < 5 1, x 5. 0, x < 1 F (x) = 0.25x, 1 x < 5 1, x Sebuah perusahaan asuransi menjual asuransi kendaraan tahunan dengan deductible sebesar 2. Peluang tertanggung akan mengalami kerugian adalah Jika terdapat kerugian, peluang kerugian sebesar N adalah K/N, untuk N = 1,..., 5 dan K bernilai konstan. Kerugian tidak bisa lebih dari satu kejadian. Hitung ekspektasi pembayaran asuransi tersebut. (a) (b) (c) (d) (e) 0.150

5 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 5 of Sebuah kumpulan orang dewasa yang ikut tes mendapatkan surat izin mengemudi terdiri dari 50% lowrisk drivers, 30% moderate-risk drivers, dan 20% high-risk drivers. Karena tidak ada data historis cara mengemudi sebelumnya maka perusahaan asuransi mengasumsikan setiap pengemudi dipilih secara acak dari kumpulan tersebut. Bulan ini perusahaan asuransi menjual 4 polis baru untuk orang dewasa yang mendapatkan surat izin mengemudi pertama mereka. Tentukan peluang bahwa 4 orang tersebut terdiri dari setidaknya dua high-risk drivers lebihnya dari low-risk drivers. (a) (b) (c) (d) (e) Sebuah perusahaan asuransi menawarkan program kesehatan kepada karyawan dari suatu perusahaan. Pada program ini, setiap karyawan memilih tepat dua dari supplementary coverages A, B, dan C, atau mereka diperbolehkan tidak memilih sama sekali. Proporsi dari karyawan yang memilih tanggungan A, B, dan C berturut - turut adalah 1/4, 1/3, dan 5/12. Tentukan nilai peluang dari seorang karyawan yang dipilih secara acak tidak memilih tanggungan sama sekali. (a) 0 (b) 47/144 (c) 1/2 (d) 97/144 (e) 7/9 13. Diberikan nilai P [A B] = 0.7 dan P [A B c ] = 0.9. Hitung P [A]. (a) 0.2 (b) 0.3 (c) 0.4 (d) 0.6 (e) Sebuah asuransi topan menanggung water damage X dan wind damage Y dengan X dan Y memiliki fungsi gabungan { 0.13e 0.5x 0.2y 0.06e x 0.2y 0.06e 0.5x 0.4y e x 0.4y, x > 0, y > 0 f(x, y) = 0, x, y lainnya. Hitung standar deviasi dari X. (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5

6 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 6 of Sebuah asuransi menanggung tabung gas selama satu tahun. Pada tahun tersebut, hanya terjadi satu dari tiga masalah yang mungkin terjadi: The igniter switch mungkin perlu diganti dengan biaya 60. Peluangnya adalah sebesar 0.1. The pilot mungkin perlu diganti dengan biaya 200. Peluangnya adalah sebesar The furnace mungkin perlu diganti dengan biaya Peluangnya adalah sebesar Hitung deductible yang akan menghasilkan ekspektasi pembayaran klaim sebesar 30. (a) 100 (b) Setidaknya 100 tetapi kurang dari 150 (c) Setidaknya 150 tetapi kurang dari 200 (d) Setidaknya 200 tetapi kurang dari 250 (e) Setidaknya Kerusakan pada mobil pada sebuah kecelakaan dimodelkan dengan sebuah random variable dengan fungsi densitas { c(x 2 60x + 800), 0 < x < 20 f(x) = 0, x lainnya, dengan c adalah sebuah konstanta. Sebuah mobil tertentu diasuransikan dengan deductible sebesar 2. Mobil ini terlibat pada sebuah kecelakaan yang menghasilkan kerusakaan melebihi dari deductible yang diberikan. Hitung peluang kerusakaannya melebihi 10. (a) 0.12 (b) 0.16 (c) 0.20 (d) 0.26 (e) Masa hidup sebuah lampu memiliki fungsi densitas f dengan f(x) proporsional terhadap 0 < x < 5, dan 0 untuk x lainnya. Hitung modus dari distribusi ini. x x 3, (a) 0.00 (b) 0.79 (c) 1.26 (d) 4.42 (e) Seorang murid mengikuti ujian yang terdiri dari 20 true-false questions. Murid tersebut mengetahui jawaban sebanyak N pertanyaan, yang dijawab dengan benar dan menebak sisanya. Peluang bersyarat bahwa murid tersebut mengetahui jawaban dari sebuah pertanyaan, diberikan murid tersebut menjawabnya dengan benar adalah Hitung N. (a) 8 (b) 10 (c) 14 (d) 16 (e) 18

7 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 7 of Saat sebuah kebakaran dilaporkan kepada perusahaan asuransi kerugian, perusahaan akan membuat estimasi awal X yang merupakan nilai yang akan dibayar kepada tertanggung karena kebakaran dan kerugian tersebut. Ketika klaim sudah selesai, perusahaan akan membayar sebesar Y kepada tertanggung. Perusahaan menetapkan bahwa X dan Y mempunyai fungsi peluang gabungan f(x, y) = 2 x 2 (x 1) e (2x 1)/(x 1), x > 1, y > 1. Diberikan bahwa estimasi awal klaim sebesar 2, hitung peluang klaim akhir diantara 1 dan 3. (a) 1/9 (b) 2/9 (c) 1/3 (d) 2/3 (e) 8/9 20. Kekuatan minimum yang diperlukan untuk menghancurkan suatu jenis kabel berdistribusi normal dengan rata - rata 12,432 dan standar deviasi 25. Sebanyak 400 kabel sejenis dipilih sebagai sampel acak. Hitung peluang setidak 349 dari kabel yang terpilih tidak akan hancur pada kekuatan sebesar 12,400. (a) 0.62 (b) 0.67 (c) 0.92 (d) 0.97 (e) Perusahaan asuransi A dan B masing - masing mendapatkan keuntungan tahunan yang berdistribusi normal dengan rata - rata yang sama. Standar deviasi dari keuntungan perusahaan A adalah setengah dari rata - ratanya. Pada tahun tertentu, peluang perusahaan B mengalami kerugian adalah 0.9 kali peluang perusahaan A mengalami kerugian. Hitung rasio dari standar deviasi keuntungan perusahaan B dengan standar deviasi tahunan perusahaan A. (a) 0.49 (b) 0.90 (c) 0.98 (d) 1.11 (e) Proporsi X dari klaim gigi tahunan yang melebihi 200 adalah random variable dengan fungsi peluang { 60x 3 (1 x) 2, 0 < x < 1 f(x) = 0, x lainnya. Hitung V ar[x/(1 X)]. (a) 149/900 (b) 10/7 (c) 6 (d) 8 (e) 10

8 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 8 of Sebuah random variable X mempunyai fungsi kumulatif 0, x < 1 x F (x) = 2 2x + 2, 1 x < 2 2 0, x 2. Hitung variansi dari X. (a) 7/72 (b) 1/8 (c) 5/36 (d) 4/3 (e) 23/ Misalkan T 1 adalah waktu antara kecelakaan mobil dengan pelaporan klaim kepada suatu perusahaan asuransi. Misalkan T 2 adalah waktu antara pelaporan klaim dengan pembayaran klaim. Fungsi peluang gabungan dari T 1 dan T 2 yaitu f(t 1, t 2 ) adalah konstan terhadap daerah 0 < t 1 < 6, 0 < t 2 < 6, t 1 +t 2 < 10, dan 0 untuk x, y lainnya. Hitung E[T 1 + T 2 ], ekspektasi waktu antara kecelakaan mobil dengan pembayaran klaim. (a) 4.9 (b) 5.0 (c) 5.7 (d) 6.0 (e) Nilai total klaim untuk sebuah polis asuransi kesehatan mengikuti sebuah distribusi dengan fungsi peluang f(x) = e x/1000, x > 0 Premi untuk polis ditetapkan sebesar ekspektasi total klaim ditambah dengan 100. Jika 100 polis terjual dengan distribusi yang saling bebas, hitung peluang secara hampiran bahwa perusahaan asuransi akan mempunyai nilai besaran klaim yang lebih besar dibandingkan dengan premi yang dikumpulkan. (a) (b) (c) (d) (e) 0.460

9 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 9 of Sebuah perusahaan asuransi mengasuransikan mobil merah dan hijau. Seorang aktuaris merangkum data yang ada dan diperoleh data berikut; Warna mobil Merah Hijau Banyaknya yang ditanggung Peluang terjadi kecelakaan Peluang klaim melebihi deductible, diketahui kecelakaan berasal dari grup ini Aktuaris memilih secara acak sebuah klaim dari semua klaim yang melebihi deductible. Hitung peluang yang terambilnya klaim dari mobil merah. (a) (b) (c) (d) (e) Masa hidup dalam tahun suatu komputer berdistribusi eksponensial. Peluang masa hidupnya lebih besar empat tahun adalah 0.3. Misalkan f(x) adalah fungsi peluang dari masa hidup komputer dalam tahun untuk x > 0. Tentukan f(x). (a) 1 (0.3) x/4 (b) 1 (0.7) x/4 (c) 1 (0.3) x/4 ln 0.7 (d) (0.7) x/4 4 ln 0.3 (e) (0.3) x/ Banyaknya kecelakaan N pada pabrik untuk suatu hari berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ adalah random variable yang ditentukan berdasarkan tingkat aktifitas di pabrik dan berdistribusi uniform [0, 3]. Hitung V ar[n]. (a) λ (b) 2λ (c) 0.75 (d) 1.50 (e) 2.25

10 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 10 of Sebuah perusahaan asuransi kendaraan mempunyai 10,000 pemegang polis. Setiap pemegang polis diklasifikasikan sebagai muda atau tua; pria atau wanita; dan menikah atau bujang. Dari pemegang polis tersebut, 3000 adalah muda, 4600 adalah pria, dan 7000 sudah menikah. Pemegang polis juga bisa diklasifikasikan sebagai 1320 pria muda, 3010 pria yang sudah menikah, dan 1400 yang menikah dan muda. Terakhir, 600 pemegang polis adalah pria muda yang sudah menikah. Hitung banyaknya pemegang polis wanita muda yang bujang. (a) 280 (b) 423 (c) 486 (d) 880 (e) Seorang pengemudi dan penumpang sedang mengalami kecelakaan mobil. Masing - masing independently mempunyai peluang untuk dirawat di rumah sakit sebesar 0.3. Ketika sebuah perawatan di rumah sakit terjadi maka kerugian yang terjadi berdistribusi uniform [0, 1]. Ketika dua perawatan di rumah sakit terjadi maka kerugiannya saling bebas. Hitung ekspektasi banyaknya orang di dalam mobil yang mendapat perawatan di rumah sakit, diketahui bahwa total loss karena perawatan akibat kecelakaan adalah kurang dari 1. (a) (b) (c) (d) (e) 0.800

11 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 11 of 12 NORMAL CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION x

12 Actuary Club A20 Probabilitas dan Statistika Page 12 of 12 Nama: Divisi: No Jawaban 1 A B C D E 2 A B C D E 3 A B C D E 4 A B C D E 5 A B C D E 6 A B C D E 7 A B C D E 8 A B C D E 9 A B C D E 10 A B C D E 11 A B C D E 12 A B C D E 13 A B C D E 14 A B C D E 15 A B C D E 16 A B C D E 17 A B C D E 18 A B C D E 19 A B C D E 20 A B C D E 21 A B C D E 22 A B C D E 23 A B C D E 24 A B C D E 25 A B C D E 26 A B C D E 27 A B C D E 28 A B C D E 29 A B C D E 30 A B C D E Don't wish it were easier; wish you were better. Jim Rohn The End.