BAB XVI. ALJABAR MATRIKS DAN VEKTOR RANDOM

Transkripsi

1 BAB VI. ALJABAR MATRIKS DAN VEKTOR RANDOM Vektor. atau,,..., Defiisi ier roduct (hasil kali dalam) dari dua vektor y y, y,..., y y y y y,,..., da Pasaga vektor da y dega dimesi yag sama dikataka deede liear jika terdaat kosta c da c yag tidak ol sedemikia higga c + c y = 0 Vektor-vektor,,..., k dega dimesi yag sama dikataka deede liear jika terdaat kosta c, c,..., c k yag semuaya tidak ol sedemikia higga c + c c k k = 0 Vektor-vektor,,..., k dega dimesi yag sama yag tidak deede liear disebut ideede liear. Matriks a a a a a a A a a a Eksistesi Ivers Matriks. Suatu matriks A kk memuyai ivers matriks jika k kolom dari A ideede liear atau c a + c a c k a k = 0 haya jika c = c =... =c k = 0

2 Suatu matriks bujur sagkar Q adalah ortogoal jika QQ = Q Q = I Defiisi Defiit ositi Betuk kuadrat A disebut defiit ositif jika A > 0 utuk semua 0, sedagka matriks simetrik A kita sebut matriks defiit ositif jika A betuk kuadrat defiit ositi Matriks simetrik A adalah defiit ositif jika da haya jika ilai eige A adalah ositif Matriks A da betuk kuadrat A disebut Semi defiit ositif jika A 0 utuk semua defiit egatif jika A < 0 utuk 0 Semi defiit egatif jika A 0 utuk semua Tidak defiit jika A memuyai baik ilai ositif mauu egative. Defiisi Jika A adalah matriks, maka vektor takol di dalam R diamaka vektor eige dari A jika A adalah keliata skalar dari, yaki, A =, utuk suatu skalar. Skalar diamaka vektor eige yag bersesuaia dega. Utuk mecari ilai eige guaka ersamaa det( I A) 0 Cotoh 3 0 A det 3 0 ( 5)( 6 9 4) ( 5) ( ) Jika =

3 Vektor eige t t t 0 0 Vektor da Matriks Radom Vektor Radom adalah vektor yag eleme-elemeya variabel Matriks Radom adalah matriks yag eleme-elemeya variabel Misalka ={ ij } adalah matriks maka E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) Cotoh Misalka [, ], da variabel radom memuyai f 0 ( ) 0,3 0,3 0,4 Maka E( ) ( ) ( )(0,3) (0)(0,3) ()(0, 4) 0, Misalka variabel radom memuyai f 0 ( ) 0,8 0, Maka E( ) ( ) (0)(0,8) ()(0, ) 0,

4 E( ) 0, Jadi E( ) E( ) 0, Vektor Mea da Matriks kovarias E( ) E( ) E( ) E( ) E( μ)( μ) E,,..., ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) E ( )( ) ( )( ) ( ) E( ) E( )( ) E( )( ) E( )( ) E( ) E( )( ) E( )( ) E( ) Jadi Karea ik ki maka

5 Vektor da Matriks disebut sebagai (vektor ) mea oulasi da (matriks) variaskovarias oulasi. Koefisie korelasi oulasi ik ik. ii kk Koefisie korelasi megukur hubuga liear atara variabel radom i da k. ρ Matriks deviasi stadard V /

6 Hubuga atara ketiga rumus tersebut adalah da / / V ρv / / ρ ( V ( V PR Meghitug matriks korelasi dari matriks kovarias Adaika diuyai matriks kovarias Matriks deviasi stadard adalah V / Da matriks korelasi adalah / / ρ ( V ( V / / / 5 Partisi Matriks Kovarias / / /

7 () () da μ... () μ... () μ () () () (),,..., ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) E = () () () () =,,,,,,,,, () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) ( ( ) () () () () () () () () (( ) ) ( ) (( ) ) ( ( )) Σ E = ( ) )

8 ,,,,,,, Vektor mea da Matriks kovarias utuk kombiasi liear dari variabel radom. Jika suatu variabel radom, maka E(c ) = c E( ) = c. Jika suatu variabel radom ke dua, maka E(c ) = c E( ) = c var(c ) = E(c c ) = c var( ) = c. cov(a, b ) = E(a a ) (b b ) = abe( ) ( ) = ab cov(, )= ab Utuk kombiasi liear a + b E(a + b ) = ae( ) + be( ) = a + b var(a + b ). = E[(a + b ) ( a + b )] = E[a ( ) + b ( ) + ab( ) ( )] = a var( ) + b var( ) + ab cov(, ) = a + b + ab Jika c [ a, b], maka a + b daat dituliska sebagai E(a + b ) daat dituliska sebagai [, ] a b c

9 da jika Maka karea cσc = [ a, b] μ [, ] μ c μ, a b Σ, var(a + b ). = var ( c ) = c Σc a b = a ab b Dega demikia kombiasi liear dari c = c + c c memuyai mea : E( c ) = c μ Variasi : var( c ) = c Σc. Secara umum jika terdaat kombiasi liear dari variable radom,,, Z = c + c c Z = c + c c Z = c + c c Atau Kombiasi liear Z = C memuyai Z c c c Z c c c Z c c c ( ) ( ) ( ) Z = E(Z) = E(C) = C Σ Z = cov (Z) = cov(c) = CΣ C

10 Cotoh. Jika [, ] μ da matriks variaskovarias vektor radom dega vektor mea, Jika Yag daat diyataka dalam Σ =. Z da Z, Dalam hal ii Z Z Z C μz E( Z) Cμ Σ cov( ) Z Z CΣ C Partisi vektor mea samel da matriks kovarias. Misalka [,,..., ] adalah vektor dari samel rata-rata observasi ada variabel,,...,, da misalka S s s ( j ) ( j )( j ) j j s s ( j i )( j ) ( j ) j j

11 ( ) () () s s s s s s s s,, S ( ) s, s, s, s, s s s s, = S S S S )