Matematika Dasar INTEGRAL GARIS. Bila r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik ( x,y,z ) maka d r merupakan ( ) ( ) ( ) dx dy dz

Transkripsi

1 INTEGRAL GARIS Misal kurva dari titik A sampai titik B di R 3 ditentukan oleh persamaan parameter = (s), y = y(s) dan z = z(s) dengan s merupakan panjang busur dari yang diukur dari sebuah titik (,y,z ) pada. Maka didapatkan ( ds) ( d) = + ( dy) + ( dz). Bila r = i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik (,y,z ) maka d r merupakan ds vektor satuan # yang menyinggung kurva. Hal ini ditunjukkan berikut : dr ds d dy dz = i + j + k = ds ds ds = 1 ( ) ( ) ( ) d + dy + dz ( ds) Bila gaya yang bekerja di titik (,y,z ) dinyatakan dengan medan vektor, F (,y,z ) = f (,y,z ) i + g (,y,z ) j + h (,y,z ) k dengan medan skalar f, g dan h kontinu, maka besarnya kerja atau usaha, W yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik A ke titik B sepanjang kurva dicari sebagai berikut. dr Misal = T. Maka besar usaha, W yang dilakukan oleh F untuk ds menggerakkan partikel dari titik P (,y,z ) sejauh s sepanjang kurva adalah : W = F T s Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik A sampai titik B sepanjang kurva diberikan : d W = F T ds = F r = F r ds ds d Z Bentuk integral di atas dinamakan integral garis dari medan vektor F atas kurva. P(,y,z) F Dari r = i + y j + z k T didapatkan dr = d i + dy j + dz k. r B Maka besar usaha, W yang dilakukan A oleh gaya F sepanjang adalah : O Y X ( (,, ) (,, ) (,, ) ) W = F dr = f y z d + g y z dy + h y z dz Bila kurva yang dinyatakan dengan persamaan parameter ( t ), = (t), y = y (t) dan z = z (t) dengan a t b maka besar usaha : # vektor satuan adalah vektor yang mempunyai norm atau panjang satu

2 ( f (, y, z) d g(, y, z) dy h(, y, z) dz) W = + + b d dy = f t y t z t + + dt dt a ( ( ), ( ), ( )) g( ( t), y( t), z( t) ) h( ( t), y( t), z( t) ) dz dt dt Untuk medan vektor di R, F (,y ) = f (,y ) i + g (,y ) j, maka besar usaha yang dilakukan gaya F (,y ) sepanjang kurva yang dinyatakan oleh persamaan : = (t) dan y = y(t) dengan a t b dituliskan : ( (, ) (, ) ) W = f y d + g y dy b d = f t + dt a ( ( ), y( t) ) g( ( t), y( t) ) dy dt dt Bila kurva dinyatakan dalam bentuk y = v() dengan a b maka dapat dipandang sebagai parameter, menggantikan parameter t. Sehinggga kurva diberikan dengan persamaan : =, y = v() ; a b Besar usaha, W yang dilakukan oleh gaya F sepanjang kurva adalah : b W = ( f (, v( ) ) + g(, v( ) ) v'( ) ) d a ontoh Tentukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor ( gaya ), F (,y ) = ( + y ) i + ( - y ) j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva / lintasan yang diberikan π dengan persamaan : = cos t, y = 4 sin t dengan t. 4 [( ) ( ) ] W = F dr = + y d + y dy π 4 [( cos sin )( )sin ( cos sin ) cos ] = t + 8 t t + t 4 t 4 t dt = 1 π

3 ontoh 3 Hitung integral garis : ( yzd z dy + y dz) bila merupakan kurva yang dinyatakan dengan persamaan : = e t, y = e 3t dan z = e t ; t t 3 ( yz d z dy + y dz) = 3 e dt = 1 e ontoh 4 Tentukan besar usaha yang dilakukan oleh gaya F (,y ) = y i + j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva y = dari titik ( -,4 ) ke titik (,4 ). 3 ( ) ( ) W = y d + dy = + d = 16 3 Teorema Green Suatu kurva dari titik A ( 1,y 1 ) sampai titik B (,y ) dinyatakan dengan persamaan = (t) dan y = y(t) ; a t b dikatakan kurva tutup bila ujung-ujungnya saling berimpit, yaitu A = B atau 1 (a) = (b) dan y 1 (a) = y (b). Kurva tutup dikatakan kurva tutup sederhana bila kurva tidak berpotongan kecuali pada ujungujungnya. Misal diberikan medan vektor di R, F (,y ) = f (,y ) i + g (,y ) j dengan medan skalar f (,y ) dan g (,y ) kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama kontinu pada R ( Daerah R merupakan daerah yang dibatasi atau dilingkupi oleh kurva tutup sederhana ). Maka integral garis dari medan vektor F atas kurva tutup sederhana dengan arah positif ( arah positif dari lintasan tutup sederhana dapat diketahui bila kita berjalan mengikuti larah lintasan tersebut daerah R selalu terletak di sebelah kiri kita ) dapat diselesaikan menggunakan integral rangkap dua berikut : g f + = da R ( f (, y) d g(, y) dy) Bentuk di atas dinamakan Teorema Green ( di Bidang ).

4 ontoh 5 Hitung integral garis ( y d y dy) (,) ke (, ) dan berakhir di (,3 )., kurva merupakan segmen garis dari titik = 1 U U 3 dengan : 1 segmen garis dari (, ) ke (, ) segmen garis dari (, ) ke (,3 ) 3 segmen garis dari (,3 ) ke (, ) Oleh karena itu, Bilamana integral garis diselesaikan secara langsung didapatkan perhitungan berikut : ( y d y dy) = ( y d y dy) + ( y d y dy) + ( y d y dy) 1 3 Sedangkan bila digunakan teorema Green maka didapatkan : f g f (, y) = y = y ; g(, y) = y = y 3 R = (, y), y ( ) y d y dy = 4 y da = 4y dy d = 18 R 3 / Dari bentuk teorema green di bidang, misal f (,y ) = -y dan g (,y ) =. Maka : ( y d + dy) = ( ) ( ) = y da y da. Hal ini dapat disimpulkan bahwa R R luas daerah yang dilingkupi lintasan tutup sederhana yaitu daerah R mempunyai luas : 1 Luas R = + ( y d dy) ontoh 6 Hitung luas Ellips yang dinyatakan dengan : = a cos t, y = b sin t Y 3 R 1 X

5 π 1 1 Luas = ( y d + dy) = [( a cos t)( b cos t) ( bsin t)( asin t) ] dt = π ab Kebebasan Lintasan Secara umum, integral garis dari medan vektor F sangat bergantung dari bentuk kurva yang diberikan walaupun ujung-ujung dari kurva sama. Berikut akan dibahas syarat perlu dan cukup agar integral garis dari suatu medan vektor F atas kurva bernilai sama walaupun bentuk kurva berbeda asal ujung-ujungnya tetap. Hal ini, kita katakan integral garis bebas kurva / lintasan / tapak. Misal D merupakan daerah pada bidang XOY dan F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j dengan medan skalar f (,y ) dan g (,y ) kontinu pada D. Maka integral garis : ( f (, y) d + g(, y) dy) bebas lintasan di D bila terdapat fungsi P (,y ) ( disebut fungsi potensial ) sehingga berlaku: P (, y) P (, y) = f (, y) dan = g(, y) Syarat di atas dapat juga dituliskan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlaku : f (, y) g (, y) = P(, y) P(, y) Dari deferensial total fungsi P (,y ), dp(, y) = d + dy. Maka didapatkan : dp(,y ) = f (,y ) d + g (,y ) dy. Bila kurva mempunyai arah dari titik ( 1, y 1 ) ke titik (, y ) maka : (, y) ( f (, y) d + g(, y) dy) = ( f (, y) d + g(, y) dy) ( 1, y1) (, y ) = d P(, y) ( 1, y1 ) = P(, y ) P(, y ) 1 1 Medan vektor F sehingga integral garis dari F atas lintasan bebas lintasan dinamakan Konservatif. Untuk medan vektor di R, F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j konservatif bila dan hanya bila f (, y) g (, y) =. Sedangkan untuk medan vektor di

6 R 3, F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) k konservatif bila dan hanya bila rot F = curl F = F = atau g(, y, ) h y z z = (,, ), f (, y, ) h(, y, z) = dan z g (, y, ) f (, y, z) =. Bila merupakan kurva tutup dan medan vektor F ( di R atau R ) konservatif maka ( f (, y) d + g(, y) dy) = atau ( f (, y, z) d + g(, y, z) dy + h(, y, z) dz) =. Permasalahan yang dihadapi disini adalah bagaimana menentukan fungsi Potensial P bila F konservatif. Misal F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j konservatif. Maka untuk menentukan fungsi P(,y ) sehingga berlaku P (, y) P (, y) = f (, y) dan = g(, y) dilakukan berikut. P(, y) Dari = f (, y), misal P(, y) = f (, y) d = f1 (, y) + k ( y). Maka P (, y) f 1(, y) = + k' ( y) = g(, y). Sehingga diperoleh bentuk k (y) berikut : f (, y) k( y) = g(, y) 1 dy. Dengan cara sama dapat ditentukan fungsi potensial, P dari medan vektor, F konservatif di R 3. ontoh 7 Selidiki apakah medan vektor F konservatif. Bila ya, tentukan P ( fungsi potensial ) a. F (,y ) = 3 y i + 3 j F, y, z = e cos y + yz i + z e sin y j + yk b. ( ) ( ) ( ) a. f (,y ) = 3 y dan g (,y ) = 3. Karena f g = = 3 maka F konservatif. Misal P (,y ) fungsi potensial. Maka :

7 ( ) P, y = f (, y) d = y d = y + ( y) P(, y) 3 3 = g(, y) 3 + '( y) = 3 ( y) = Jadi P(, y) = 3y + b. f y z e f y yz e f (,, ) = cos + = sin y + z dan = y z g y z z e g g y z e (,, ) = sin = sin y dan = z h h h(, y, z) = y = y dan = Jadi F konservatif. Misal P (,y,z ) fungsi potensial. Maka P(, y, z) = e cos y + yz d = e sin y + yz + ( y, z) P P z Jadi ( ) g y z e = (,, ) sin y + z + = e sin y + z ( y, z) = L( z) = h(, y, z) y + L ' ( z) = y L( z) = P(, y, z) = e sin y + yz + Soal latihan [ y d y dy] ( Nomor 1 sd 3 ) Hitung integral ( ) + ( ) dengan lintasan menghubungkan titik (,1) ke titik ( 1, ) berbentuk : 1. Garis lurus.. Garis lurus dari (,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari ( 1,1 ) ke ( 1, ). 3. Parabola = t dan y = t + 1. ( Nomor 4 sd 6 ) Diketahui (, y, z) = ( 3 6yz) + ( y + 3z) + ( 1 4yz ) F i j k. Hitung F dr dari titik (,, ) sampai titik ( 1,1,1 ) melalui lintasan 4. = t, y = t, z = t Garis lurus. 6. Garis lurus dari (,, ) sampai (,,1 ) kemudian menuju (,1,1 ) seterusnya menuju ( 1,1,1 ).

8 [ y d y dy] ( Nomor 7 sd 8 ) Hitung integral ( ) + ( + ).Lintasan berupa lengkung tertutup merupakan batas dari daerah yang dibatasi oleh y = dan y =. 7. Perhitungan langsung. 8. Gunakan teorema Green. ( Nomor 9 sd 14 ) Hitung integral garis berikut : ; merupakan segiempat dibatasi oleh y = 1, y =, = -, = 4. [ y d + dy] ; + y = 9 9. ( 3y d + y dy) 1. ( ) ; kubus dengan titik sudut (, ), (, ½ π ), ( ½ π,½ 11. ( cos y d y sin dy) π ) dan ( ½ π, ). [ y d + dy] ; + y = 4 [ e + y d + e y + dy] ; y = dan y = [ e y 3 d + cos y + 3 dy] ; + y = 1 1. ( ) 13. ( ) ( ) 14. ( ) ( ) ( Nomor 15 sd 19 ) Hitung integral berikut dengan mencari potensialnya terlebih dahulu. ( 1, π / ) 15. [ e sin y d e + cos y dy] (,) ( 3,) 16. [ e y d e y + dy] (,) ( 111,, ) 17. [( 6y 3 + z ) d + 9 y dy + ( 4z + 1) dz] (,, ( 111,, ) 18. [( yz + 1) d + ( z + 1) dy + ( y + 1) dz] (,1,) ( 1,, π ) 19. [( y + z) d + ( + z) dy + ( + y) dz] (,,)