LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA"

Transkripsi

1 LEMBAR KERJA MAHASISWA MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS UDAYANA 05

2 LEMBAR KERJA MAHASISWA MATA KULIAH: MATEMATIKA Disusun ole: Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si., M.Si. Lu Putu Ida Harini, S.Si., M.Sc. Nama Maasiswa : NIM : JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 05

3 Matematika, MA-60 KATA PENGANTAR Kebutuan akan perangkat pembelajaran bagi maasiswa yang mengambil mata kulia Matematika MA-60 di Jurusan Biologi Fakultas MIPA, Universitas Udayana merupakan pertimbangan disusunnya Lembar Kerja Maasiswa LKM ini. Pemanfaatan LKM ini sebagai perangkat pembelajaran diarapkan dapat mengoptimalkan pembelajaran di kelas, dan diarapkan akan berdampak pada peningkatan asil belajar maasiswa pada mata kulia Matematika di Jurusan Biologi, FMIPA Universitas Udayana. Materi-materi yang disajikan dalam LKM ini disusun dalam enam bab, meliputi: Pendauluan, Fungsi dan Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Penggunaan Turunan, Integral, dan Penggunaan Integral. Materi-materi dari LKM ini diambil dari berbagai sumber tet book, internet, diktat, dan sumber lainnya yang disarikan sedemikian rupa dan disusun disesuaikan dengan kebutuan pengguna. Dalam setiap bab menguraikan teori-teori secara singkat, disertai dengan contoconto soal dan penyelesaian, seingga diarapkan dapat membantu maasiswa untuk memaami isi materi. Pada setiap bab berisikan materi pokok bab dan dilanjutkan dengan lembar kerja yang berisi soal-soal, yang merupakan tugas terstruktur untuk dikerjakan ole maasiswa. Lembar kerja pada setiap bab disusun sesuai dengan urutan sub-sub bab, dan disusun dari soal yang paling sederana dengan tingkat kesulitan renda sampai pada soal yang lebi kompleks. Lembar kerja dalam LKM ini dirancang untuk dikerjakan secara mandiri dan dipandu ole dosen pengampu mata kulia, dengan tujuan untuk dapat meningkatkan pemaaman maasiswa tentang konsep dari materi yang disajikan pada setiap bab dari LKM ini. Penilaian sebagian besar diberikan bobot pada penilaian proses. Akir kata, tiada gading yang tak retak, keterbatasan dari isi LKM ini memerlukan penyempuraan lebi lanjut di masa mendatang. Walaupun demikian, diarapkan LKM ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi pengguna. Denpasar, September 05 Penyusun i

4 Matematika, MA-60 DAFTAR ISI PENGANTAR..... DAFTAR ISI. i ii I. PENDAHULUAN Sistem Bilangan Real..... Persamaan dan Pertidaksamaan.... Nilai Mutlak Sistem Koordinat Kartesius Persamaan Garis Lurus.. Lembar Kerja..... Lembar Kerja II. FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI Fungsi dan Grafiknya..... Operasi pada Fungsi. Fungsi Trigonometri..4 Limit Fungsi... Lembar Kerja III. TURUNAN FUNGSI Pengertian dan Sifat Turunan Aturan Rantai... Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik...4 Turunan Fungsi Trigonometri...5 Turunan Tingkat Tinggi.... Lembar Kerja Lembar Kerja IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Uji Turunan Pertama Uji Turunan Kedua.... Lembar Kerja V. INTEGRAL Integral Integral Tak Tentu Pemakaian Integral Tak Tentu Integral Fungsi Trigonometri Integral dengan Substitusi Integral Parsial Integral Tentu ii

5 Matematika, MA-60 Lembar Kerja Lembar Kerja VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Luas Daera Bidang Rata Volume Benda Putar.. 6. Panjang Busur Luas Permukaan Benda Putar.. Lembar Kerja Lembar Kerja DAFTAR PUSTAKA iii

6 Matematika, MA-60 BAB I. PENDAHULUAN Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu memaami konsep konsep dasar dalam menyelesaikan ketaksamaan, sistem koordinat cartesius dalam penerapannya secara luas rumus jarak, persamaan lingkaran, kemiringan garis, persamaan garis sejajar dan tegak lurus, perpotongan antar grafik dan skets grafik. Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Memaami sistem Bilangan Riil: Definisi dan sifat-sifatnya; Menyelesaikan Ketaksamaan dengan mencari impunan pemecaannya; Menjelaskan definisi dan sifat-sifat dari Nilai Mutlak Memaami Sistem Koordinat Cartesius ; Menentukan Kemiringan garis dan Menentukan Persamaan Garis: melalui dua titik; garis-garis sejajar & garis-garis tegak lurus;. Sistem Bilangan Real Untuk memudakan dalam memaami konsep sistem bilangan real, berikut diberikan beberapa bilangan dan impunan bilangan, sebagai berikut:. Himpunan bilangan Asli Natural Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan N dan anggota-anggota bilangan asli adala,,, 4, 5, 6,... seingga N {,,,4,5,6,...} Bilangan asli tertutup teradap operasi penjumlaan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b bilangan asli maka a+b dan a.b bilangan asli. Ole karena itu, impunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.. Bilangan caca wole Bilangan caca dilambangkan dengan W dan anggota-anggota bilangan caca adala 0,,,, 4, 5, 6,..., seingga W {0,,,,4,5,6,...}. Bilangan caca tertutup teradap operasi penjumlaan dan perkalian, artinya untuk setiap a, b bilangan caca maka a+b dan a.b bilangan caca.. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan bulat. Bilangan bulat

7 Matematika, MA-60 dinotasikan dengan Z yang anggota-anggotanya adala...-, -, -,, 0,,,,..., seingga Z {...,,,0,,,,...}. 4. Bilangan pecaan atau bilangan rasional quotient. Bilangan rasional adala a bilangan yang secara umum dinyatakan dengan Q. a, b Z, b 0 b Conto: p ; q ; r 7 Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan desimal, yaitu: p 0,... ; q 0, ; dan r, Sifat-sifat Sistem Bilangan Real Untuk sebarang Sifat komutatif i. Sifat asosiatif i. ii. a a, b, c, d bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut: a b b a ii. a. b b. a a b c a b c. b. c a. b. c a. b. c a b c Sifat distibutif perkalian teradap penjumlaan a. b c a. b a. c a 4 i. a., b 0 b b a c a. d b. c ii., b 0, d 0 b d b. d a c a. c iii.., b 0, d 0 b d b. d 5 i. a. b a. b a. b ii. a. b a. b iii. a 0 6 i. 0 a a, untuk setiap bilangan a 0. ii. a tak terdefinisikan. 0

8 Matematika, MA-60 a iii., untuk setiap bilangan a 0. a 7 Hukum kanselasi i. Jika a. c b. c dan c 0 maka a b. a. c ii. Jika b, c 0 maka b. c 8 Sifat pembagi nol a b Jika a. b 0 maka a 0 atau b 0. Garis Bilangan. Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal origin, ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama dan disepakati ara positif disebela kanan O sedangkan ara negatif disebela kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif,,, dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan,,,... dengan titik-titik di sebela kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan,,, dst. Peratikan gambar berikut. 0 Gambar. Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Ole sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.. Persamaan dan Pertidaksamaan Persamaan adala kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peuba atau lebi dengan tanda sama dengan =. Conto: 4 ; 7 ; 4 0 ; ; Pertidaksamaan adala kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peuba atau lebi dan tanda ketidaksamaan <, >,,.

9 Matematika, MA-60 Conto: 4 ; ; 5 ; 8; 0 ; ; 4 Himpunan semua bilangan real yang merupakan penyelesaian dari suatu persamaan atau pertidaksamaan disebut impunan penyelesaian. Sifat-sifat dan ukum dalam R sangat membantu dalam menentukan penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan yang diberikan. Conto : Tentukan penyelesaian persamaan 4 0 Jawab: atau 0 4 atau Jadi penyelesaian persamaan 4 0 adala = 4 atau = - Conto : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan Jawab: Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adala > -4 Conto : Tentukan penyelesaian Jawab: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperole: 0 ; 4

10 Matematika, MA-60 Tela diketaui bawa asil kali bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Ole karena itu, i. Jika ke dua faktor positif maka: 0 dan 0 dan Seingga diperole:. ii. Jika ke dua faktor negatif, maka: Diperole:. 0 dan 0 dan Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adala < atau >. Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika atau. Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi bagian:,, dan. < << > 0 4 Gambar. Pada bagian, nilai dan keduanya negatif, seingga asil kali keduanya positif. Pada segmen, bernilai positif sedangkan bernilai negatif. Akibatnya, asil kali keduanya bernilai negatif. Terakir, pada bagian, dan masing-masing bernilai positif seingga asil kali keduanya juga positif. Tanda nilai Kesimpulan < Pertidaksamaan dipenui << Pertidaksamaan tidak dipenui > Pertidaksaman dipenui Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adala < atau >. 5

11 Matematika, MA-60 Conto 4: Tentukan penyelesaian pertidaksamaan. Jawab: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditamba, maka 0 0 diperole: Jika 0, maka diperole:,, atau. Selanjutnya, peratikan tabel berikut: Nilai-nilai peuba = -, =, = disebut titik kritis. Tanda nilai/nilai Kesimpulan < Pertidaksamaan dipenui - < < Pertidaksamaan tidak dipenui < < Pertidaksamaan dipenui > Pertidaksamaan tidak dipenui = Pertidaksamaan dipenui = 0-0 Pertidaksamaan dipenui = 0 0 Pertidaksamaan dipenui Jadi, penyelesaian pertidaksamaan atau. Cara lain untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan. adala dengan menggunakan garis bilangan 0 0, Seingga titik kritis,, dan pertidaksamaan adala Dengan memili satu titik sebarang disetiap interval diatas diperole: Gambar. Berdasarkan garis bilangan di atas penyelesaian pertidaksamaan adala atau. Berdasarkan conto di atas, penyelesaian suatu persamaan berupa titik diskrit, sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval kontinu. 6

12 Matematika, MA-60 Selang Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan Berturut-turut didefinisikan: [ a, b] [ a, b [ a,, a] a b. a b a, b a b a b a, b] a b a a, a a, a a. Nilai Mutlak Misal suatu bilangan real, nilai mutlak dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Misal real maka:,, untuk 0 untuk 0 Bentuk lain dari definisi di atas adala:. Conto: 8 8, 5 5,,, dst Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut. Sifat-sifat Nilai Mutlak Sifat. Jika a 0 b 0 0 c. y. y, y R maka: d, asal y 0 y y e y y Ketaksamaan segitiga f y y 7

13 Matematika, MA-60 Secara geometris, nilai mutlak a dapat diartikan sebagai jarak dari a ke. Sebagai conto, jika 7 maka artinya berjarak 7 unit di sebela kanan atau di sebela kiri, seperti gambar di bawa. Jadi penyelesaian Gambar.4 adala 4,0. Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya muda dipaami sifat berikut: Sifat. Jika a 0, maka: a a atau a. Conto: 7 unit 7 unit 4 berarti 4 atau atau 5 5 Dengan cara yang sama atau 5 7 berarti 7 atau 7 Sifat. Jika a 0, maka: 0 atau a a a a. 5 atau b a a atau a. Conto: 4 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak: 7. Jawab: 7 7 atau 4 atau 0 atau 5 7 Jadi penyelesaian pertidaksamaan adala atau 5 8

14 Matematika, MA-60 Sifat 4: y a b Conto: Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Jawab: Menurut sifat 4 di atas, maka: Titik kritis pertidaksamaan adala = 7/ dan = 5 seingga gambar garis bilangan / Gambar.5 Jadi penyelesaian pertidaksamaan adala -,7 / 5 5,.4 Sistem Koordinat Kartesius Y 0 y 0 0, y 0 Kwadran II Kwadran I X Kwadran III Kwadran IV 0, y 0 0, y 0 Gambar.6 Pada gambar.6, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi ole sumbu-sumbu koordinat sumbu X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi ole bidang 9

15 Matematika, MA-60 dinamakan kwadran. Terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I 0, y 0, kwadran II 0, y 0, kwadran III 0, y 0, dan kwadran IV 0, y 0. Misalkan P, y sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran dan y. Misal P, y, maka disebut absis, y disebut ordinat dan P, y disebut koordinat. Peratikan gambar berikut ini. Misal P, y dan terletak di kwadran I al ini berarti 0 dan y 0. M 0, y Y P, y y O0,0 Gambar.7 M,0 Berdasarkan gambar di atas, terdapat segitiga yang sala satu sudutnya siku-siku dititik M OPM. Menurut teorema Pytagoras X OP OM MP 0 y 0 y OP y Bentuk ini dinamakan rumus jarak dua titik yang mengubungkan titik O0,0 dengan titik P, y Jarak antara Dua Titik pada Bidang Misal titik P, y dan titik Q, y terletak pada bidang, maka jarak dua titik P dan Q dapat dinyatakan dengan rumus PQ y y Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan teorema Pytagoras. 0

16 Matematika, MA-60 Conto: Tentukan jarak titik P,5 dan Q,-6. Jawab: Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus PQ = = Q p yq yp 6 = 4 = 5 5 Gradien Garis Lurus Y m P, y M, y n M, y ' Q, y Q', y R, y Gambar.8 Jika garis PQ pada gambar.8 diperpanjang, maka garis tersebut akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang dibentuk ole garis PQ dengan sumbu X disebut disebut inklinasi. Selanjutnya peratikan PQR, menurut perbandingan goniometri diperole QR tan = PR y y = Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan atau gradien atau tangensial dan dinotasian dengan m tan y y X

17 Matematika, MA-60 Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen dari sudut inklinasi. Misal l dan l dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka beberapa al yang mungkin adala kedua garis sejajar, berpotongan, atau saling tegak lurus. Jika l dan l sejajar maka ml ml Jika l dan l tegak lurus maka, peratikan gambar di bawa ini l l Y Gambar.9 Karena l dan l saling tegak lurus, maka, seingga tan tan sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin Jika masing-masing dibagi dengan cos cos diperole tan tan m m tan tan m m X o Karena l dan l tegak lurus, maka 90, seingga m m 0 atau m m Catatan: Misal l dan l dua garis dalam bidang yang sama, maka kemungkinan kedua garis tersebut adala: Sejajar jika dan anya jika ml ml Tegak lurus jika dan anya jika ml ml. Berimpit jika dan anya ml ml dan koefisien-koefisiennya yang sejenis saling berkelipatan

18 Matematika, MA-60.5 Persamaan Garis Lurus Y Q, y M, y ` P, y X Gambar.0 Menurut definisi kemiringan gradien, garis PQ pada gambar di atas mempunyai kemiringan tan y m, y Misal M, y sebarang titik pada garis lurus PQ, maka dengan cara yang sama dapat ditentukan gradien garis lurus PM. y tan y y tan m y y y m y m m y Karena m, y R, maka persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk, y m c, c R. Dengan kata lain, persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan gradien m dapat dinyatakan dengan y m c Atau secara umum ditulis dalam bentuk A By C 0 dengan gradien m A B

19 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan dibawa ini! a. 4 5 Penyelesaian: b Penyelesaian:.... c. Penyelesaian:

20 Matematika, MA-60 d. 5 Penyelesaian:..... Tentukan semua nilai yang memenui! a. 4 Penyelesaian: b. Penyelesaian:

21 Matematika, MA-60 c d. Penyelesaian: Buatla ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketaui berikut ini: a. P4,5 dan Q-, 6

22 Matematika, MA-60 b. P8,- dan Q, Tentukan gradien dan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik a., dan,. b.,5 dan 7,-. 5. Tentukan nilai k sedemikian rupa seingga garis + ky = 5 a. melalui titik,. 7

23 Matematika, MA-60 b. sejajar sumbu. c. sejajar garis + y = -. d. tegak lurus garis y- = Diketaui dua garis lurus l dan l, l dengan persamaan -y =, l dengan persamaan 4 + y = 6. Lukiskan grafik kedua persamaan garis tersebut, dan tentutakan titik potongnya!

24 Matematika, MA Tentukan persamaan garis lurus yang memenui kondisi yang diberikan berikut: a. mempunyai slope 4 dan melalui titik, - b. Melalui dua titik, dan -5,4 c. Melalui titik -, -4 dan sejajar sumbu Y. 9

25 Matematika, MA-60 d. Melalui titik, -7 dan sejajar sumbu X 8. Tentukan persamaan garis lurus melalui, dan, -, nyatakan persamaan dalam bentuk y = m + b! Untuk setiap titik-titik yang diberikan, tentukan persamaan garis lurus yang melalui ketiga titik berikut! a.,, -4, -7, 5,

26 Matematika, MA-60 b. -, 6,,, 9,- Penyelesaian: Diketaui dua garis l dan l, l dengan persamaan + y - 5 = 0, l dengan persamaan + 5y 8 = 0. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong l dan l dan tegak lurus pada garis dengan persamaan + y =

27 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dibawa ini! a. 5 Penyelesaian: b Penyelesaian:... 4 c. Penyelesaian:......

28 Matematika, MA-60 7 d. Penyelesaian: e.. Penyelesaian: Tentukan semua nilai yang memenui! a. 5 Penyelesaian:

29 Matematika, MA-60 b. Penyelesaian: c. Penyelesaian: d. Penyelesaian:

30 Matematika, MA-60. Buatla ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketaui berikut ini: a. P-,- dan Q-,-8.. b. P5, dan Q, Tentukan gradien dan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik a.,5 dan 6,5 b.,-4 dan 4,9 5

31 Matematika, MA Carila nilai c sedemikian seingga persamaan c y = 0 sejajar garis y = +4 a. tegak lurus garis y 4 = 0. b. tegak lurus garis + y = Diketaui suatu garis lurus l dengan persamaan + y 5 = 0. Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis l dan melalui titik A-,!

32 Matematika, MA Tentukan persamaan garis lurus yang memenui kondisi yang diberikan berikut: a. Memotong sumbu X di -, 0 dan sumbu Y di 0, 4 b. Melalui titik,4 dan sejajar garis lurus dengan persamaan -5y+7 = 0 c. mempunyai slope - dan memotong sumbu X di 4, 0 8. Untuk setiap titik-titik yang diberikan, tentukan persamaan garis lurus yang melalui ketiga titik berikut! a., -,,,, 4 7

33 Matematika, MA b. 4, 6,,, -5, Diketau garis l dengan persamaan -y = 4 dan titip P, -, tentukan persamaan suatu garis yang melalui P dan tegal lurus l

34 Matematika, MA Diketaui dua garis l dan l, l dengan persamaan + y - 5 = 0, l dengan persamaan + 5y 8 = 0. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong l dan l dan melalui titik,!

35 Matematika, MA-60 BAB II. FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu memaami tentang fungsi dan operasinya serta mampu mengitung limit suatu fungsi menggunakan teorema-teorema yang ada. Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Membuat sketsa grafik dari suatu fungsi pada bidang koordinat; Menentukan rumusan asil pengoperasian dua fungsi atau lebi dan menentukan daera asalnya; Maasiswa dapat mengkomposisikan dua fungsi; Memaami kesamaan fungsi Trigonometri; Memaami Teorema-teorema limit dan mengitung limit menggunakan teorema yang ada; Menentukan Penyelesaian limit fungsi.. Fungsi dan Grafiknya Misal A a, a, a, a, }, B b, b, b, b, } adala dua impunan yang { 4 a5 { 4 b5 anggotanya beringga, berdasarkan fakta tersebut selanjutnya dapat dibuat ubungan relasi antara impunan A dan B. Relasi yang dibuat dapat berupa lebi besar, kuadrat dari, selisinya, atau relasi yang lain. Peratikan gambar berikut ini. A B a. a a a a b. b. b. b 4. b 5 Gambar. 0

36 Matematika, MA-60 Berdasarkan relasi yang digambarkan pada gambar. di atas, tampak bawa semua anggota impunan A mempunyai pasangan peta di B, sebaliknya tidak semua atau anggota impunan B yang tidak mempunyai prapeta di A. Jika setiap anggota impunan A mempunyai pasangan satu dan anya satu di B maka relasi tersebut dinamaka fungsi atau pemetaan. Dengan demikian dapat disimpulkan bawa setiap fungsi adala relasi, akan tetapi tidak setiap relasi belum tentu fungsi. Gambar berikut ini adala relasi akan tetapi bukan fungsi. A B a. a a a a b. b. b. b 4. b 5 Definisi: Gambar. Fungsi adala suatu aturan korespondensi satu-satu yang mengubungkan setiap objek dalam suatu impunan, yang disebut daera asal domain dengan sebua nilai tunggal f dari suatu impunan yang kedua. Himpunan nilai yang diperole secara demikian disebut daera asil range. Secara umum untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f atau F. Maka f dibaca fungsi f pada. Hal ini menunjukkan nilai yang diberikan ole fungsi f teradap nilai. Jadi secara umum jika f : A B adala fungsi f dari impunan A ke impunan B. A disebut daera asal dan B disebut daera asil. Untuk menentukan daera asal dan daera asil statu fungsi secara lengkap kita arus menyatakan, disamping aturan yang bersesuian daera asal fungsi. Misalnya jika f adala fungsi dengan aturan f maka daera asal alamia domain f adala semua bilangan real dan daera asil range adala semua bilangan real. f daera asal alamianya semua bilangan real karena untuk setiap bilangan real f mempunyai nilai.

37 Matematika, MA-60 Conto: Tentukan daera asal alamia dan range dari:. f Jawab Daera asal alamia D { }, ] Daera asil R { y y 0} [0,. f Jawab Daera asal alamia D { }, Daera asil R { 0 } 0, Catatan Jika f, g fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu dalam R maka:. Jika f f maka f disebut fungsi genap Conto a f adala fungsi genap b f 6adala fungsi genap. Jika f f maka f disebut fungsi ganjil Conto a f adala fungsi ganjil b f 4 adala fungsi ganjil karena f 4 4. Operasi Pada Fungsi Misal f dan g operasi pada kedua fungsi dinyatakan dengan:. f g f g. f g f g. f. g f. g dua fungsi yang terdefinisi pada suatu selang tertentu,

38 Matematika, MA-60 f f 4. asalkan g 0 g g n 5. f. f. f. f... f f. f. f. f. f... f f f n faktor n Selain dengan menggunakan operasi di atas, dua fungsi atau lebi dapat dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daera asil f n dan fungsi g mempunyai daera definisi g f, maka dapat dikatakan kita tela mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang diasilkan disebut komposisi fungsi g dengan fungsi f dan dinotasikan dengan gof, seingga gof g f Dengan cara yang sama kita juga dapat melakukan komposisi f dengan g. Fungsi yang diasilkan disebut komposisi fungsi f dengan fungsi g dan dinotasikan dengan fog seingga fog f g Conto. f 4, g a f g 4 b f g 4 ` c f. g 4` d f g 4 4. f, g a. fog f g g b. gof g f f Berdasarkan a dan b fog gof

39 Matematika, MA-60. Fungsi Trigonometri C y y r B A Gambar. Pada gambar. di atas, ABC adala segitiga yang sala satu sudutnya dan siku-siku pada CBA. Misal AB =, BC = y dan AC = r, berdasarkan segitiga ABC yaitu: Karena BC AC, AB AC BC,, AB AB BC AC AB, AC BC A = maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan: BC y. sin AC r AB. cos AC r BC y BC / AC sin. tan AB AB / AC cos AB AB / AC cos 4. cot BC y BC / AC sin AC 5. sec AB AB / AC / r cos AC r 6. csc BC BC / AC y / r y sin Karena ABC sala satu sudutnya siku-siku, seingga menurut teorema Pytagoras berlaku: AB BC AC 4

40 Matematika, MA-60 y r Selanjutnya secara berurutan persamaan y r dibagi, y, r diperole persamaan baru y r. r r r r y r cos sin cos sin y r. y tan r sec tan sec y r. y y y y cot r y csc cot csc Persamaan,, dan dinamakan rumus-rumus identitas. Selanjutnya berdasarkan perbandingan tersebut dapat dibuat beberapa rumus tentang fungsi trigonometri, berikut: sin sin cos sin cos... 4 cos cos cos sin sin... 5 sin sin cos cos sin...6 cos cos cos sin sin...7 tan tan tan... 8 tan tan 5

41 Matematika, MA-60 tan tan tan... 9 tan tan Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adala:. sin sin. cos cos. tan tan 4. sin sin sin cos 5. cos cos cos cos 6. sin sin cos 7. cos cos sin cos sin 8. sin sin cos cos 9. cos cos cos cos 0. sin cos sin sin. sin cos. cos cos.4 Limit Fungsi Untuk memaami limit secara intuisi, mari kita peratikan conto berikut. Misalkan fungsi f didefinisikan ole f f terdefinisi untuk setiap kecuali =. Kita akan menyelidiki nilai fungsi bilamana dekat dengan tetapi tidak sama dengan. 0,9 0,99 0,999 0, ,000,00,0, f 4,8 4,98 4,998 4, ?... 5,000 5,00 5,0 5, 6

42 Matematika, MA-60 Dari tabel di atas nampak bawa bila bergerak semakin dekat dengan, baik dari kiri < maupun dari kanan >, f bergerak semakin dekat ke 5. Dalam lambang matematis ditulis lim f 5 atau lim 5 Definisi Untuk mengatakan bawa lim f L, berarti bawa bilamana dekat a tetapi berlainan dari a, maka f dekat ke L. Teorema Limit Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, f dan g adala fungsi-fungsi yang memiliki limit di titik. lim k k c c, maka:. lim c c. lim k f k lim f c c 4. lim f g lim f lim g c c c 5. lim f g lim f lim g c c c 6. lim f g lim f lim g c c a f lim f c 7. lim, asalkan lim g 0 c g lim g c c n 8. lim f lim f n c c 9. lim n f n lim f c c Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak al pada penyelesaian soal-soal tentang limit. 7

43 Matematika, MA-60 Conto:. lim lim... lim...8. =... = lim lim...7 lim lim lim lim...5. Jika lim f dan lim g a Tentukan: a a. lim f g... a Jawab lim f g lim{ f g a a...9 lim f lim g...4 a a lim f lim g...8 a a 0 8

44 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan daera definisi dan daera asil fungsi-fungsi berikut: a. b. g.. g Penyelesaian: c. f 4, 9

45 Matematika, MA-60 d. g Penyelesaian: Diberikan dua fungsi berikut dan gof! f, g, Tentukan fog. Tentukan fog dan gof jika a. f, g.. 40

46 Matematika, MA-60 b. f, g.. c. f, g... d. f 4, g.. 4

47 Matematika, MA-60 e. f, g 4. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap ataupun ganjil 4 a. f 7 5 b. g 5 8 Penyelesaian: c. 5 8 Penyelesaian:... 4

48 Matematika, MA Jika lim f dan lim g a a a. lim f g a tentukan: Penyelesaian: b. f g lim a f g Penyelesaian: Tentukan nilai limit berikut: lim

49 Matematika, MA Tentukan nilai limit berikut: lim Tentukan nilai limit berikut: lim

50 Matematika, MA-60 BAB III. TURUNAN FUNGSI Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu menurunkan berbagai macam fungsi dengan berbagai macam aturan pencarian turunan. Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Memaami pengertian dan sifat turunan; Mengitung turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Rantai. Mengitung turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik Mengitung turunan Fungsi Trigonometri Mengitung turunan tingkat tinggi.. Pengertian dan Sifat Turunan Peratikan gambar berikut. L f+ y = f L + f Gambar.. Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f di titik, f, sedangkan garis L melalui titik, f dan titik +, f+. Jika mendekati nol, maka garis L akan mendekati garis L, seingga gradien garis L akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut: 45

51 Matematika, MA-60 Bentuk lim 0 dinotasikan dengan m L f lim 0 m L lim 0 f f. f dikenal sebagi turunan fungsi y = f, yang dy df, y,, atau f. d d Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva fungsi tersebut. Conto: Tentukan garis singgung kurva Penyelesaian: Gradien garis singgung kurva y di titik,4 y di titik,4 adala f f m = f ' lim lim lim Ole karena itu persamaan garis singgungnya adala 0 y y0 m 0 y 4 4 y 4 4 Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan. berikut: Beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi, adala sebagai. Aturan perkalian dengan konstanta Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka d d d d cf c f. Aturan jumla. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka d d d d d d f g f g 46

52 Matematika, MA Aturan selisi Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka g d d f d d g f d d 4. Aturan asil kali Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka f d d g g d d f g f d d 5. Aturan asil bagi Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka g g d d f f d d g g f d d Bukti:. Aturan perkalian dengan konstanta Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka lim lim lim f d d c f f c f f c cf cf cf d d. Aturan jumla Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka ] [ lim ] [ lim ] [ lim ] [ lim g d d f d d g g f f g g f f g f g f g f d d. Aturan selisi Untuk latian

53 Matematika, MA Aturan asil kali Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka ] [ lim ] [ lim lim ] [ lim ] [ lim ] [ ] [ lim lim f d d g g d d f f f g g g f f f g g g f f f g g g f g f g f g f d d 5. Aturan asil bagi Untuk latian. Beberapa rumus dasar turunan, disajikan pada tabel berikut. Nomor Fungsi Turunan fungsi y = k, k konstanta y = 0 y = n y = n n- y = ln y = Bukti:. 0 lim lim ' 0 0 k k f f y k y. f f y y n n n lim lim ' ]... lim [ ]... [ lim... lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n. f f y y ln ln lim lim ' ln 0 0

54 Matematika, MA e ln ] lim [ ln ln lim ] ln[ lim ln lim Aturan Rantai Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan = f o g adala fungsi komposisi yang didefinisikan ole = fg, maka mempunyai turunan, yaitu yang dinyatakan ole = f g. g Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = g keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka d du du dy d dy. Bukti: ' ' lim. lim lim. lim. lim lim lim ' g g f t g t g p g f p g f t g t g g t g g f t g f t g t g g t g g f t g f t g f t g f t t t t p t t t t t Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawa ini. Fungsi Turunan fungsi y = e y = e y = a, a y = a ln a y = a log, a >0, a y = ln a

55 Matematika, MA-60. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik Pada pembaasan sebelumnya, dibaas tentang turunan fungsi eksplisit. Pada bagian ini akan dibaas turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit. Conto : dy a. Jika + y = 5, carila d b. Jika = t + y = t + t tentukan Penyelesaian: dy. d a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan + y = 5 teradap, maka akan kita perole: d d d d d y 5 d d y 0 d Mengingat y adala fungsi dari dan dengan menggunakan aturan rantai, diperole d d d dy y y dy y dy d d dy Ole karena itu + y = 0, seingga d dy d y b. Jika variabel dan y kita turunkan teradap parameter t, maka akan kita perole d dt dy sedangkan t. dt dy Karena yang akan kita cari adala maka d dy d dy dy dt dt t. =. dt d d dt 50

56 Matematika, MA-60.4 Turunan Fungsi Trigonometri Rumus dasar dari turunan trigonometri adala turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai. Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawa ini. y = sin y = cos Bukti:.. Fungsi y sin y' lim 0 f f y = cos y = - sin sin sin lim 0 cos sin lim 0 sin lim cos lim. cos cos f f cos cos y cos y' lim lim 0 0 sin sin lim 0 sin lim sin lim. sin sin.5 Turunan Tingkat Tinggi Jika f Turunan fungsi fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya f juga berupa fungsi. Jika f mempunyai turunan, maka turunan f kita notasikan dengan f. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f adala d d dy d d y d D f. 5

57 Matematika, MA-60 Umumnya turunan ke-n dari y = f dinyatakan dengan n n d y n y D f. n d Conto: a. Carila d y dari : d a. + y = 5 b. y = ln t, = e t c. y = t e t, = ln e t +. Carila turunan ke n dari fungsi di bawa ini: a. k y e b. y ln Penyelesaian :. Dari conto sub bab 4. tela diperole dy dari + y = 5, yaitu d dy d. y Karena d y d d d dy d d d y Dan mengingat y adala fungsi dari, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperole d d y. d. dy y.. d d y y. y y y y Jadi d y d y. y.a. y = ln t, = e t dy d dy dy dt. dt = dt d d dt t t e d dy d y d dy d. d d d dt = t te dt d d dy d dt d dt = 5

58 Matematika, MA-60 5 Ole karena t t t t t e t t e t te e te dt d d dy dt d dan t e dt d maka t t t e t t e e t t d y d. b. y = t t e, = ln e t + dt d dt dy d dy = e e e t t t t t = t t e e t dt d dt d dy d d d dy d d y d = t e t t t t t t t e e e tt e t e e = t t t t t t t t e e tt e e t e e. a. k n n k k k k e k y e k y e k y ke y e y... ''' '' ' b. n n n n y y y y y!...!. ''' '' ' ln

59 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang diberikan. a. b. y di titik -, - 7 Penyelesaian:.... y, di titik, Penyelesaian:..... Carila turunan fungsi: a. y Penyelesaian:

60 Matematika, MA-60 b. y = 6 Penyelesaian:..... Jika = g dan g = 5 dan g =, carila. Penyelesaian: Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. Gs = s + s + s + Penyelesaian:..... b. Gy = y + y 7 Penyelesaian:... 55

61 Matematika, MA-60.. c. d. a b c d Penyelesaian: y a b c Penyelesaian: Tulisla fungsi komposisi dalam bentuk fg. Tentukan fungsi sebela dalam dy u = g dan fungsi sebela luar y = fu. Kemudian carila d a. y 4 6 Penyelesaian:

62 Matematika, MA b. y Penyelesaian: c. y 7 Penyelesaian: Carila turunan pertama dari fungsi di bawa ini : a. y + ln y = Penyelesaian:

63 Matematika, MA-60 b. ln + y + e y = Penyelesaian: c. cos + y e y = Penyelesaian: d. sin y + ln + y = e Penyelesaian: e. e y + ln y = sin Penyelesaian:

64 Matematika, MA Carila nilai turunan pertama dari fungsi di bawa ini pada titik yang diberikan a. y ln y = ; 0, Penyelesaian: b. + y + y = 0;,0 Penyelesaian: c. y + y = 0;, Penyelesaian:

65 Matematika, MA-60 d. y + 4y = y;, Penyelesaian: Carila turunan fungsi: a. y tan Penyelesaian: b. y cot Penyelesaian: c. y sec Penyelesaian:

66 Matematika, MA-60 d. y csc Penyelesaian: Carila nilai y dari fungsi di bawa ini pada titik yang diberikan a. + y = y; 0,0 Penyelesaian:..... b. y 4y = 4;, Penyelesaian:.... 6

67 Matematika, MA-60 c. + y = 5;,4 Penyelesaian: Carila turunan ke n dari fungsi di bawa ini: a. y sin Penyelesaian: b. y cos Penyelesaian:... 6

68 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Carila persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan. a. y, di titik, b. y, di titik,. c. y, di titik 4 ; 0,4. 6

69 Matematika, MA-60 d. y, di titik,.. Carila turunan fungsi-fungsi berikut a. 0 y 5... b. y s s

70 Matematika, MA-60. a Gunakan atura asil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bawa jika f, g, dan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku fg = f g + fg + fg.. b Gunakan bagian a untuk menentukan turunan fungsi y = Carila turunan fungsi: a. y sin 4 e ln 65

71 Matematika, MA-60 b. y e sin.. 5. Carila turunan pertama fungsi yang diberikan a. y = ln t, = e t b. y = t e t, = ln e t +. 66

72 Matematika, MA-60.. c. y = e t +, = e -t d. y = e t + ln t, = e t + e. y = te t + t, = e t + t.. 67

73 Matematika, MA-60 f. y = t + t, = t Carila turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawa ini a. + y 8y + y = b. y + y = 68

74 Matematika, MA-60 c. 4y =. d. y... e. y ln... 69

75 Matematika, MA-60 BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu memaami penggunaan turunan, dan mampu menerapkan dalam berbagai masala/aplikasi turunan Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Menentukan titik-titik kritis dari suatu fungsi dengan menggunakan turunan pertama; Menentukan nilai ekstrim maksimum dan minimum dari suatu fungsi; Menentukan kemonotonan naik dan turun grafik dari suatu fungsi dengan menggunakan turunan pertama; Menentukan kecekungan kebawa dan keatas dan titik balik grafik dari suatu fungsi dengan menggunakan turunan kedua; Menggambarkan grafik suatu fungsi dimana dari grafik tersebut dapat diketaui nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan dan titik balik serta sifat fungsinya. 4.. Maksimum dan Minimum. Definisi 4... nilai maksimum dan minimum Misalkan S daera asal f dan S memuat titik c, kita katakan bawa :. f c adala nilai maksimum f pada S jika f c > f, untuk setiap S.. f c adala nilai minimum f pada S jika f c < f, untuk setiap S.. f c adala nilai ekstrim f pada S jika f c adala nilai maksimum atau nilai minimum. Tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum. Fungsi yang tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat mempunyai maksimum atau minimum dengan membatasi daera asalnya. Teorema 4.. eksistensi ekstrim Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum dan minimum. 70

76 Matematika, MA-60 Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan minimumkan akan mempunyai suatu interval I sebagai daera asalnya. Beberapa dari interval ini mempunyai titik ujung. Jika sebua titik dimana f c = 0, maka c disebut titik stasioner. Jika c adala titik dalam dari I dimana f c tidak ada, maka c disebut titik singular. Sebarang titik dalam daera asal f yang termasuk sala satu dari ketiga titik yang dikemukakan di atas disebut tittik kritis dari f. Definisi 4... titik kritis Misalkan fungsi f kontinu pada interval terbuka I yang memuat c, titik c, f c dinamakan titik kritis dari f jika f c = 0 atau f c tidak ada. Catatan : titik kritis tidak selalu merupakan tittik ekstrim. Teorema 4... titik kritis teradap nilai ekstrim Misalkan f punya turunan pada interval I yang memuat titik c. Jika f c adala nilai ekstrim maka c arusla suatu titik kritis yaitu c berupa sala satu dari :. Titik ujung dari I. Titik stasioner dari f atau titik c dimana f c = 0.. Titik singular dari f atau titik c dimana f c tidak ada. Conto 4.. Carila nilai ekstrim dari fungsi f = - +, pada I = [- ½, ] Penyelesaian: f = - +, pada [- ½, ]. Sebelum mencari nilai ekstrim maka akan di cari titik-titik kritis yaitu :. Titik ujung : karena I merupakan interval tertutup maka = - ½ dan = merupakan titik-titik ujung dari f pada I.. Titik stasioner : f = - + f = , untuk menentukan titik stasioner, misalkan f = 0 seingga = 0 atau -6 = 0 seingga = 0 atau = merupakan titik stasioner dari f pada I.. Titik singular : karena f terdefinisi pada seluru bilangan riil maka titik singular tidak ada. Jadi titik kritis dari fungsi f adala : = - ½, = 0, = dan =. 7

77 Matematika, MA-60 Untuk menentukan nilai ekstrim dari f, gantila nilai pada f = - + dengan titik-titik kritis, maka f - ½ = - - ½ + - ½ =, f 0 = = 0, f = - + =, dan f = - + = - 4. Dari nilai-nilai tersebut maka nilai ekstrim dari f adala : nilai maksimum fmaks = dicapai pada = - ½ dan =, dan nilai minimum fmin = - 4 dicapai pada =. Grafik fungsinya dapat diliat pada gambar berikut sumbu y maks maks min sumbu Gambar 4.. Grafik f = Uji Turunan Pertama Definisi 4. kemonotonan Misalkan f terdefinisi pada interval I terbuka, tertutup, atau tak satupun, kita katakan bawa :. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan dan dalam I dimana <, maka f < f.. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan dan dalam I dimana <, maka f > f.. f monoton pada I jika ia naik atau turun pada I. 7

78 Matematika, MA-60 Teorema 4.. uji turunan pertama untuk kemonotonan Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I,. Jika f > 0 untuk setiap I, maka f naik pada I.. Jika f < 0 untuk setiap I, maka f turun pada I. Conto. 4.. Jika f = + 7, tentukanla dimana grafik f naik dan dimana grafik f turun. Penyelesaian: berdasarkan teorema 4., maka kita perlu mencari f untuk menentukan kemonotonan. Jika f = + 7 f = 6 6. untuk menentukan dimana f > 0 dan dimana f < 0, misalkan f = = 0 atau 6 + = 0 dengan demikian diperole titik pemeca = - dan = yang akan membagi garis bilangan riil menjadi tiga bagian yaitu < -, - < < dan >. Dan dengan mengambil titik-titik uji : -, 0, dan, maka kita dapatkan kesimpulan seperti yang dinyatakan dalam tabel berikut : Interval Titik uji Hasil uji f = 6 6 Tanda -, , 0 - -, 4 + atau dengan garis bilangan riil : uji teradap f jadi dapat di simpulkan bawa grafik fungsi f naik pada I = -, - dan I =,, dan grafik fungsi f turun pada I = -, Grafik fungsinya dapat diliat pada gambar 4.. 7

79 Matematika, MA f naik f turun f naik sumbu y sumbu Gambar 4.. Grafik f = Uji Turunan Kedua Definisi 4... Misalkan f punya turunan pada interval terbuka, I = a, b, jika f naik pada I maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f turun pada I maka f dan grafiknya cekung kebawa pada I. Teorema 4.. uji turunan kedua untuk kecekungan Misalkan f terdiferensialkan dua kali punya turunan kedua pada interval terbuka I = a, b, ole karenanya :. Jika f > 0 untuk semua I, maka grafik f cekung ke atas pada I. Jika f < 0 untuk semua I, maka grafik f cekung ke bawa pada I Definisi 4... titik belok / titik balik Andaikan fungsi f kontinu di titik c, kita sebut c, fc suatu titik balik dari grafik fungsi f jika f cekung keatas pada suatu sisi dan cekung ke bawa pada sisi lainnya dari titik c. 74

80 Matematika, MA-60 Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik dimana f = 0 dan dimana f tidak ada, kemudian kita periksa apaka ianya benarbenar merupakan titik balik. Conto 4.. Jika diberikan fungsi f = + 4, tentukan dimana grafik fungsi f naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawa. Penyelesaian: Menentukan kemonotonan dengan uji turunan pertama f = + 4 f = = +, misalkan f = 0 + = 0 diperole titik pemeca = - atau = yang mebagi grais bilangan riil menjadi tiga bagian, seingga dengan mengambil titik uji di dapat kesimpulan yang dinyatakan dalam tabel berikut : Interval Titik uji Hasil uji f = Tanda -, , 0 - -, dengan garis bilangan riil uji teradap f - f naik pada -, - dan,, turun pada -,. Menentukan kecekungan f =, maka f =. berdasarkan teorema 4., maka kita menguji turunan kedua. misal f = 0 = 0 =, seingga - + uji teradap f maka f cekung kebawa pada -, dan cekung keatas pada,. Grafik fungsinya dapat diliat pada gambar

81 Matematika, MA sumbu y sumbu Gambar 4.. Grafik f =/

82 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan titik-titik kritis dari fungsi f yang didefinisikan ole persamaan: a. f 4 / / b. f 7 5. c. f

83 Matematika, MA-60. Carila nilai ekstrim dari fungsi f pada selang I = [-, ½] Tentukan nilai ekstrim dari fungsi f 4 pada selang I = -, ], tentukan juga nilai nya, dan gambarkan sketsa grafik pada selang yang diberikan tersebut!

84 Matematika, MA Tentukan nilai ekstrim dari fungsi f pada selang I = -,, 9 tentukan juga nilai nya, dan gambarkan sketsa grafik pada selang yang diberikan tersebut! Tentukan nilai ekstrim dari fungsi f pada selang I = [, 5], tentukan juga nilai nya, dan gambarkan sketsa grafik pada selang yang diberikan tersebut!

85 Matematika, MA Diketaui f 6 9, tentukanla dimana grafik f naik dan dimana grafik f turun

86 Matematika, MA Diketaui f, tentukanla dimana grafik f naik dan dimana grafik f turun Jika diberikan fungsi f 9 5 5, tentukan dimana grafik fungsi f naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawa

87 Matematika, MA-60 BAB V. I N T E G R A L Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu memaami dan dapat mengitung Integral Tak Tentu dan Integral Tentu. Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Memaami definisi dari Integral Tak Tentu dan Integral Tentu; Mengitung Integral Tak Tentu; Mengitung Integral dari Fungsi Trigonometri; Menentukan Integral suatu fungsi dengan menggunakan cara substitusi; Menentukan Integral suatu fungsi dengan metode parsial; dan Mengitung Integral Tentu. 5. Integral Integral adala kebalikan dari turunan diferensial, seingga integral disebut juga anti turunan. Terdapat dua macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang nilainya tertentu, yaitu ada batas bawa dan batas atasnya yang digunakan untuk menentukan nilai integral tersebut. Sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya tak tentu. Integral dapat digunakan untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral ini diaplikasikan pada berbagai bidang ilmu selain matematika, seperti bidang ilmu ekonomi, fisika, biologi, teknik, dan bidang ilmu lainnya. 5. Integral Tak Tentu Karena integral merupakan kebalikan invers dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f dy adala y = f atau, sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f d adala y d f d yang dibaca integral y teradap. 8

88 Matematika, MA-60 8 Turunan suatu fungsi konstan adala 0 atau integral 0 adala suatu fungsi konstan, biasanya diwakili ole notasi c. Rumus umum integral dari n a y adala c n a n atau ditulis : c n a d a n n untuk n Conto: Tentukan : d d d c d b d a Penyelesaian : c c d d d c c d d c c d b c c d a Pemakaian Integral Tak Tentu Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka arus ada data yang lain seingga arga c dapat diketaui. Conto : Diketaui f = 5 dan f = 8. Tentukan f! Penyelesaian: c f c d f c 6 8 c c Jadi 5 f

89 Matematika, MA-60 Conto : Jika gradien garis singgung di titik,y pada sebua kurva yang melalui dy titik,4 ditentukan 8 5, maka tentukan persamaan kurva d tersebut! Penyelesaian : f 8 5 d 4 f c c 4 c Jadi f = c 5.4 Integral Fungsi Trigonometri Kita tela mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan sebagai berikut : sin cos sin cos sin tan sec cot cos ec artinya turunan. Karena integral adala invers dari turunan maka : Conto: Tentukan : a. b. Penyelesaian : a. b. 5sin cos d cos 4sin d 5sin cos d 5cos sin c cos 4sin d sin 4cos c 84

90 Matematika, MA Integral dengan Substitusi Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi, yaitu dengan menguba bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebi sederana seingga muda menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain. Conto : Tentukan integral dari a. b. Penyelesaian : 4 sin 5 0 d cos d a. Misal : u 4 Maka: du 8 d du d 8 Seingga : 0 0 du 4 d. u. u 8 4 b. Misal u = sin du cos d du d cos Seingga : 5 5 du sin cos d u.cos cos 4. 0 du u c u du u c sin 5.6 Integral Parsial Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu dengan bagian lainnya? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan integral parsial. Seperti tela kita ketaui pada turunan jika y = uv maka y =u v + uv. Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat : y ' d u' v d uv' d uv' d y u' v d uv 6 44 u' v d c c 85

91 Matematika, MA-60 Rumus di atas sering disingkat dengan : udv uv vdu Conto : Tentukan : a. b. 5 sin d Penyelesaian : a. Misal = u maka d = du 6 d 5 d v Misal dv = 5 6 d. 5 b. Misal = u maka d = du 5.7 Integral Tentu b a d c c Misal dv = sin d maka v = -cos sin d. cos cos d cos sin b a f d F F b F a Conto: Hitungla Penyelesaian: 4 d d.. c 86

92 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Hitungla integral berikut! a. b. c. d. e d d d d d Jawaban a. 5 d b. 5 4 d c. d 4 d d 87

93 Matematika, MA-60 e. 6 8 d. Tentukan rumus f jika diketaui : a. f = dan f4 = 0 b. f = 8 dan f- = 0. Diketaui titik, terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik,y pada kurva tersebut didefinisikan. Tentukan persamaan kurva tersebut!

94 Matematika, MA Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan ole v t t 6t. Setela benda itu bergerak detik, jarak yang ditempu 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu! Tentukan integral berikut! a. 8cos 6sin d b. sin d... 89

95 Matematika, MA Tentukan integral dari fungsi fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi! a. b. c. d. e. Jawaban: a d d d d 6 d d b d c. 5 4 d

96 Matematika, MA d. 4 d 5 e d Tentukan integral berikut dengan metode parsial! a. b. c. d. e d d sin d 5 d d 9

97 Matematika, MA-60 Jawaban: a. 5 6 d b. 8 d c. 4 d d. d

98 Matematika, MA-60 e. sin d Tentukan nilai integral di bawa ini : 0 a. 4 d b. 6 d

99 Matematika, MA Tentukan a jika a d Tunjukkan dengan arsiran, luas daera yang dinyatakan dengan integral berikut : 4 0 a. d b. d

100 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Tentukan integral berikut! a. b. c. d e Jawaban: a. 5 d 6 d d 4 d d d b. 6 d d c

101 Matematika, MA-60 d e 5 4 d d Tentukan rumus f jika diketaui : a. f = dan f =

102 Matematika, MA-60 b. f = - dan f4 = dy. Gradien suatu kurva pada setiap titik,y ditentukan ole dan d kurva itu melalui titik -,. Tentukan persamaan kurva itu! Diketaui rumus percepatan at= t dan kecepatan v0 = 6. Tentukanla dv rumus kecepatan vt jika at= dt

103 Matematika, MA Tentukan integral fungsi berikut! a. 5sin d.... b. sin cos d Tentukan integral dari fungsi fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi! a. 4 5 d

104 Matematika, MA-60 b. 6 6 d.... c sin 5 d.... d. cos. sin d

105 Matematika, MA-60 e. cos sin d Tentukan integral berikut dengan metode parsial! a. cos d.... b. sin d

106 Matematika, MA-60 c. 6 d.... d. cos d e sin 6 d.... 0

107 Matematika, MA Tentukan nilai integral di bawa ini : 5 6 a. d.... b. d Tentukan nilai integral dari : a. d

108 Matematika, MA-60 5 b. 4 d. c. 5 d d. 6 4 d... 0

109 Matematika, MA Tentukan nilai integral berikut ini : a. sin cos d b. 4cos d.... c. cos d

110 Matematika, MA-60 d. cos d

111 Matematika, MA-60 BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Kompetensi Dasar: Maasiswa mampu menggunakan Integral untuk mengitung Luas daera dan Volume Benda. Indikator Pencapaian: Maasiswa dapat: Mengitung luas daera bidang rata dengan menggunakan integral tertentu; Mengitung volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu; Mengitung panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu; Mengitung luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu. 6. Luas Daera Bidang Rata Daera antara Kurva dan Sumbu Koordinat Peratikan gambar daera rata dibawa ini R adala bidang datar yang dibatasi ole grafik-grafik y f, a, b, dan y 0 Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan b A R f d a Jika luasan terletak dibawa sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daera tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral 06

112 Matematika, MA-60 tersebut dimutlakkan. Seingga luas luasan daera negatif dinyatakan dalam bentuk b A R f d f d a b a Untuk mengitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langka-langka sebagai berikut : a Gambar daera yang bersangkutan b Potong daera menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu c Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang d Jumlakan luas jalur-jalur pada daera tersebut e Ambil limit dari jumla diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperole integral tertentu. Conto : Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Titik A0,0, B,0 dan C,7. Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC. y C,7 A0,0 B,0 Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus y y A A ycy c A A y Diperole persamaan 0 7 y 7 atau y b Seingga luas yang dicari dinyatakan den A R f d a 07

113 Matematika, MA d ,5 6 Conto : Peratikan gambar luasan berikut ini : Luasan R dibatasi ole grafik-grafik g y, y c, y d, dan 0. Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebela kanan sumbu dinyatakan dalam bentuk d A R g y dy c Jika gambar terletak disebela kiri sumbu maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daera tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, seingga diperole: d A R g y d g y dy c d c Conto : Tentukan luas daera antara kurva y =, sumbu X, = - dan =! Penyelesaian : Y - 0 X L d d 0 0 satuan luas

114 Matematika, MA-60 Daera antara Kurva Peratikan kurva-kurva y f dan y g dengan g seperti gambar berikut : f pada selang b a,, A f g Seingga luas luasannya dinyatakan dengan: b A R f g d a Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu, jika luasannya disebela kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi ole dua kurva dinyatakan dengan 6. Volume Benda Putar a. Pemutaran mengelilingi sumbu X d A R f y g y dy c b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y. V dy d c 09

115 Matematika, MA-60 d. V dy c Benda putar yang sederana dapat kita ambil conto adala tabung dengan besar volume adala asilkali luas alas luas lingkaran dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat diitung dari asilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A dan tinggi benda putar adala panjang selang [a, b] maka volume benda putar dapat diitung menggunakan integral tentu sebagai berikut : V b A d a Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daera diputar teradap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua bua metode yaitu metode cakram dan kulit tabung. a. Metode Cakram Misal daera dibatasi ole y f, y 0,, dan b diputar dengan sumbu putar sumbu. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat diitung dengan memandang bawa volume benda padat tersebut merupakan jumla tak beringga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang a, b. Misal pusat cakram dan jari-jari f,0 0 r. 0 Maka luas cakram dinyatakan : A f 0 0 b a Ole karena itu, volume benda putar : V f d 0

116 Matematika, MA-60 Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan g y, 0, y c dan y d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar : y d V g y c Bila daera yang dibatasi ole y f 0, y g 0, f g a b a dan b,, diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume: b a Y = dy V f g d Bila daera yang dibatasi ole f y 0, gy 0, f y g y c d y c dan y d untuk setiap untuk setiap y,, diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume : Conto : d V f y g y c Hitung volume benda yang terjadi jika daera pada kuadran yang dibatasi ole kurva y = dan garis = diputar mengelilingi sumbu. Jawab: dy X = Daera pada kuadran yang dibatasi ole kurva y =, sumbu dan garis = Hitung volume dengan menggunakan persamaan: = = π = =

117 Matematika, MA-60 Conto : y y= y= o Gambar daera yang dibatasi y = dan y = Hitung volume benda putar dari daera yang dibatasi y = pada sumbu y. Jawab: Tentukan titik potong kedua kurva tersebut: dan y = jika diputar Jadi titik potongnya adala 0,0 dan, Hitung volume dengan persamaan: V = π = π = π = π = satuan volume

118 Matematika, MA-60 b. Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam peritungan volume benda putar yang mungkin lebi muda diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan diitung adala volume dari kulit tabung. Untuk lebi memperjelas kita liat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r dan r, tinggi tabung. Maka volume kulit tabung adala : V r r rr r r dengan : r rata rata, jari jari, r r r Bila daera yang dibatasi ole y f, y 0, a, b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bawa jari-jari r dan r dan tinggi tabung f Ole karena itu volume benda putar yang terjadi adala V b a f d Misal daera dibatasi ole kurva y f y g, f g, a, b, a dan b, diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar V b f g d a Bila daera dibatasi ole grafik yang dinyatakan dengan f y, 0, y c, y d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume = V d y f y dy c Sedang untuk daera yang dibatasi ole y gy, f y g y, y c, d dan y c dan y d f,, diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan V d y f y g y d c

119 Matematika, MA-60 Conto : Hitung volume benda jika daeranya dibatasi dengan y= dan = dan diputar mengelilingi sumbu y. Jawab: Daera yang dibatasi y =, sumbu dan garis = y y= Hitung volume dengan menggunakan persamaan:. = = π = = = 8π satuan volume Conto : Hitungla volume benda putar pada gambar dibawa ini jika diputar mengelilingi sumbu. Jawab: Hitung volume dengan menggunakan persamaan: y. y= = π A y= = π O Daera yang dibatasi y = dan y = = π = satuan volume 4

120 Matematika, MA Panjang Busur Y P i y f P n B P P j P o A P X Pada gambar di atas, AB adala suatu bagian kurva y f. Berdasarkan definisi, AB merupakan limit penjumlaan dari panjang sekumpulan tali busur AP,, P P, P P4,... Pn Pn Pn B yang mengubungkan titik-titik pada busur itu. Jika banyaknya titik-titik pada kurva y f banyaknya menuju tak ingga maka panjang tiap tali busur tersebut menuju nol. Selanjutnya jika A a, c dan B b, d sebarang dua titik pada kurva y f dengan turunan y f adala y' f ' yang masing-masing kontinu pada interval s b a AB ds a b maka panjang tali busur dinyatakan ole dy d d Dengan cara yang sama, jika A a, c dan B b, d dua titik pada kurva yang persamaannya dinyatakan dengan f y dengan f y turunannya adala ' f ' y yang masing-masing kontinu pada c y d maka panjang busur AB dinyatakan ole s d c AB ds d dy dy 5

121 Matematika, MA-60 Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik f t dengan t y g t t t Dan jika syarat kontinuitasnya dipenui maka panjang tali busur AB dinyatakan ole: s t t AB ds d dt dy du dt Conto : Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis y antara titik,5 dan,9. Bandingkan asilnya dengan menggunakan rumus jarak. Jawab: dy Karena y diperole seingga d s dy d d d Dengan menggunakan rumus jarak yang mengubungkan dua titik AB X BX A YB YA AB Kedua cara memberikan asil yang sama. Conto : Tentukan panjang tali busur AB pada kurva Jawab : Karena seingga dy atau d y 8 maka y 6 y 8 jika 0,0 A dan B, dy 6 dan beruba dari 0 dan d 8 6

122 Matematika, MA-60 s dy d 6 8 d d d Luas Permukaan Benda Putar Jika sebua luasan R yang terbatas bidang XOY mengelilingi sala satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral tertentu Peratikan gambar berikut. R adala suatu luasan yang dibatasai ole kurva y f, a, b diputar mengelilingi sumbu X y f R a b X Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas diputar mengelilingi sumbu X seingga terbentuk benda pejal. 7

123 Matematika, MA-60 Y y f a R b X Gambar di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas r dan r Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adala A rerata jari atau r r A t Selanjutnya andaikan jari tinggi y f, a b dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n bagian dengan menggunakan a o... n n. Dengan demikian kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan panjang potongan ke i dan andaikan si menyatakan y i adala sebua titik pada potongan Karena pita potongan diputar mengelilingi sumbu maka luas pita tersebut dapat si. diampiri ole A y s. Apabila luas semua potongan pita dijumlakan i i i dengan 0 diperole luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan i limit partisi sebagai berikut: A n lim y s P 0 i i i 8

124 Matematika, MA-60 A b a yds b y a dy d d Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu Y dalam batasan garis y c dan y d maka luas permukaannya dinyatakan dengan A d c ds d c d dy dy Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik f t, y g t dengan a t b maka luas permukaan benda pejal dinyatakan ole rumus A b a yds b g t a d dt dy dt dt Conto : Luasan R dibatasi ole kurva y 6, 0, diputar mengelilingi sumbu. Tentukan luas permukaannya dengan terlebi daulu menggambar benda putarnya! Jawab: Y y 6 Y y 6 R X X 9

125 Matematika, MA-60 Karena dy y 6 maka 6 d Luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus: A b a yds 0 y dy d 6 7d d d 0 Conto : Luasan R dibatasi ole kurva y, y 0, y diputar mengelilingi sumbu y. Sketsa gambar benda putarnya dan kemudian tentukan luas permukaannya! Jawab: Y y Y X X Karena y maka y seingga d dy y Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus: 0

126 Matematika, MA-60 b a A ds dy dy d y 0 dy y y 0 dy y y 0 dy y y y dy y y y 0 4 dy y y 5 5 6

127 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Lukisla daera antara beberapa kurva di bawa ini : a.,, y dan y b. y, y dan y c. d. e. y y dan y y dan y 4 dan y 4 Jawaban: a.,, y dan y b. y, y dan y

128 Matematika, MA-60 c. y dan y... d. y dan y... e. y 4 dan y 4...

129 Matematika, MA-60. Tentukan luas daera yang diarsir pada gambar di bawa ini : a. Y b. Y y = + y = X X Penyelesaian soal a: Penyelesaian soal b: Tentukan luas daera antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan : a. y, sumbu X, = - dan = 4

130 Matematika, MA b. y, sumbu X, = 0 dan = Hitungla luas daera yang diarsir pada gambar di bawa ini :. Y y = Y = 0 X... 5

131 Matematika, MA Hitungla luas daera yang dibatasi ole dua kurva berikut : a. b. c. d. y y 9 y y dan y dan dan y 0 y dan y 0 Jawaban: a. y dan y... b. y 9 dan y 0 c.... y dan y 6

132 Matematika, MA d. y dan y Pada gambar di bawa, itungla volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X sejau 60! a. Y b. Y y = y = X 0 X Penyelesaian soal 6a:

133 Matematika, MA-60 Penyelesaian soal 6b: Hitungla volume benda putar yang terjadi jika daera yang dibatasi ole kurvakurva yang diketaui diputar mengelilingi sumbu X sejau a. y =, = dan = 0 b. y = 60!..., sumbu X, sumbu Y dan =

134 Matematika, MA Hitungla volume benda putar yang terjadi jika daera yang dibatasi ole dua kurva diputar sejau a. y = dan y = 60 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan! mengelilingi sumbu X... b. y = dan y mengelilingi sumbu Y Tentukan panjang tali busur pada kurva a. 4y 4 8 antara dan 9

135 Matematika, MA-60 b. t, y t,0 t Sebua luasan R dibatasi kurva y, 7 diputar mengelilingi sumbu. Hitung luas permukaan dengan terlebi daulu menggambar benda putarnya!

136 Matematika, MA-60 LEMBAR KERJA. Lukisla daera antara beberapa kurva di bawa ini : a. b. c. d. e. y dan y y, 4 dan sumbu X y 8,, 4 dan 5 y sin, 0 y dan y Jawaban: a. y dan y..... b. y, 4 dan sumbu X

137 Matematika, MA-60 c. y 8,, 4 dan 5... d. y sin, 0... e. y dan y....

138 Matematika, MA-60. Tentukan luas daera yang diarsir pada gambar di bawa ini : Y y = -4 4 X.... Tentukan luas daera antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan : a. y dan sumbu X. b. y 8, sumbu X dan = 4

139 Matematika, MA Hitungla luas daera yang diarsir pada gambar di bawa ini :. y = Y y = 0 X Hitungla luas daera yang dibatasi ole dua kurva berikut : a. b. c. d. y y y y, y 6 dan sumbu Y dan y 4 dan y 0,,, dan sumbu X Jawaban: a. y, y 6 dan sumbu Y 4

140 Matematika, MA-60 b. y dan y..... c. y 4 dan y d. y,,, dan sumbu X.. 5

141 Matematika, MA Hitungla volume benda putar yang terjadi jika daera yang dibatasi ole kurvakurva yang diketaui diputar mengelilingi sumbu X sejau a. y =, = 0 dan = b. y = 60!..., sumbu X, = - dan = Hitungla volume benda putar yang terjadi jika daera yang dibatasi ole kurvakurva y =, y = 0 dan y = diputar mengelilingi sumbu Y sejau 60!

142 Matematika, MA Hitungla volume benda putar yang terjadi jika daera yang dibatasi ole dua kurva diputar sejau a. y = b. y = c. y =, y = 60 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan!, mengelilingi sumbu Y... dan y = 4 mengelilingi sumbu X... dan y = 6 mengelilingi sumbu X... 7

143 Matematika, MA-60 d. y = dan y = 9 mengelilingi sumbu X Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan ole a. 6y 4 antara dan... b. t, y t, t

144 Matematika, MA Kurva y 5, diputar mengelilingi sumbu, tentukan luas permukaan benda pejal dengan terlebi daulu menggambarkan

145 Matematika, MA-60 DAFTAR PUSTAKA Baisuni, H.M. Hasyim Kalkulus. Jakarta: UI Press. Leitold, Louis Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Diterjemakan ole: Drs. M. Marga. Jakarta: PT. Bina Aksara Leitold, Louis Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Diterjemakan ole: Drs. M. Marga. Jakarta: PT. Bina Aksara Purcell, Edwin J. dan Varberg, Dale Calculus Wit Geometry Analytic. 5 t Edition. New-York: Jon Wiley & Sons, Inc. Widana, I Nyoman Diktat Kalkulus I. Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Udayana ttps://srimawarni.files.wordpress.com/009/06/bab-4-penggunaan-turunan.doc ttps://dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com/0/0/bab-i-pendauluanrevisi.doc+&cd=&l=en&ct=clnk&gl=id ttps:// file ttps://dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com/0//bab-ii-fungsi-danlimit-fungsi.doc. ttps:// Mansur-Amriatul

146

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +

Lebih terperinci

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA) MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini

Lebih terperinci

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Matematika ITB Tahun 1975

Matematika ITB Tahun 1975 Matematika ITB Taun 975 ITB-75-0 + 5 6 tidak tau ITB-75-0 Nilai-nilai yang memenui ketidaksamaan kuadrat 5 7 0 atau atau 0 < ITB-75-0 Persamaan garis yang melalui A(,) dan tegak lurus garis + y = 0 + y

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung

Lebih terperinci

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI

SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Suciati

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh : KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

dapat dihampiri oleh:

dapat dihampiri oleh: BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Bagian 3 Differensiasi

Bagian 3 Differensiasi Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep

Lebih terperinci

Rangkuman Materi dan Soal-soal

Rangkuman Materi dan Soal-soal Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.co.cc Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y'

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCN PELKSNN PEMBELJRN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IP/ lokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan). Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam

Lebih terperinci

E-learning Matematika, GRATIS

E-learning Matematika, GRATIS Penyusun : Arik Murwanto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecaan masala Kompetensi

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan

65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari

Lebih terperinci

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain

Lebih terperinci

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi

A B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL TURUNAN / DIFERENSIAL 4. Devinisi Turunan Derivati Turunan ungsi adala yang nilainya pada bilangan dan dideinisikan ole : ' lim0 untuk semua dengan limit tersebut ada. Conto Andaikan cari 4? Penyelesaian

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA MAKALAH OLEH KELOMPOK DUA NAMA : GIYATNI ( 40077 ) SEPTI PRATIWI ( 400796 ) 3HARI YADI (400763 ) PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA MATA KULIAH : GEOMETRI TRANSFORMASI DOSEN PENGAMPU : PADLI MPd SEKOLAH

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur

Lebih terperinci

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75 Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Galeri Soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika kususnya Bab Limit Kami mengusaakan agar soal-soal yang kami baas

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.

integral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2. integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

PENGGUNAAN TURUNAN. Maksimum dan Minimum. Definisi. Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa: 1. f c adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x untuk semua x di S;. f c adalah nilai minimum f

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci