PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Transkripsi

1 8/3/00 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA 8 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar 3 Agustus 00 PEMETAAN (FUNGSI) Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi:. Fungsi titik. Fungsi himpunan A A B B PEUBAH ACAK Peubah acak, yaitu pemetaan X : S R 3

2 8/3/00 CONTOH Percobaan pelemparan sebuah dadu S = {,,..., } X = {,,, 6 } KEUNTUNGAN PEUBAH ACAK Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. Dapat dipetakan. Lebih mudah dalam penulisan 5 JENIS PEUBAH ACAK Peubah Acak Diskrit himpunan terhitung,,..., berhingga atau tak berhingga, dan s : X( s) ie S Peubah Acak Kontinu peubah acak yang fungsi distribusinya (F()) merupakan fungsi kontinu untuk semua є R 6

3 8/3/00 Contoh Peubah Acak X Tipe Banyak mata kuliah yang diambil semester ganjil oleh mahasiswa MA tahun ke- Nilai IP yang diperoleh mahasiswa MA tahun ke- di semester ganjil X = 0, jika tidak mengambil satupun =, jika mengambil mata kuliah =, jika mengambil mata kuliah dst X = (0, ], jika 0 < IP X = (, ], jika < IP X = (, 3], jika < IP 3 X = (3, ], jika 3 < IP Asumsi: mahasiswa yang diamati setidaknya mempunyai mata kuliah dengan nilai tidak E Diskrit Kontinu 7 FUNGSI PELUANG P(X = X) DAN F(X) Diskrit P(X = ), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p). Kontinu f(), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p). 8 X : S R Diskrit Kontinu. P(X=) 0. P X 3. P(X=) = f(). F PX f t t. f(), R. f d 3. P(a<Xb) = f d. F P X f t dt b a Contoh: Contoh: X=banyaknya sukses X= waktu menunggu di jalan tol dalam n percobaan X= berat badan siswa X=banyaknya tikus yang ada per m angkatan

4 8/3/00 CONTOH GRAFIK FUNGSI PELUANG Diskrit f() P(X=) Kontinu Jumlah peluang untuk semua titik = Luas di bawah grafik = by LCK FUNGSI DISTRIBUSI Fungsi distribusi F dari peubah acak X Sifat-sifat. F fungsi yang monoton tidak turun,. lim F( ) 3. lim F( ) 0. F kontinu dari kanan. lim F( ) F( a) a CONTOH Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, sebut baik dan tidak. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {,,, }, Dimana = baik, = tidak. Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan

5 8/3/00 ILUSTRASI CONTOH P (T = t) T 0 ¼ ½ Ruang Sampel 3 JAWAB a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0,, } dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah: /, t PT ( t) /, t0, 0, t yang lain b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t 0, maka F0 PT 0 PT 0 PT 0 PT 0, peluang di T0 bernilai 0 ¼ Ambil 0 t, maka Ft PT t PT 0 PT 0 P0 T t 0 ¼ 0 ¼ 5 5

6 8/3/00 Ambil t =, maka F() = P(T ) = P(T 0) + P(0<T<) + P(T=) = ¼ ½ = ¾ Ambil t =, maka F() = P(T ) = P(T ) + P(<T<) + P(T = ) = ¾ ¼ = 6 Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : 0, t 0 /, 0 t Ft () 3/, t, t Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik di bawah ini: F(t) ¾ ½ ¼ t CONTOH Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botol suatu minuman soda antara - ½ ml dan ½ ml. Dianggap setiap pengisian oleh mesin tidak akan kekurangan maupun kelebihan ½ ml. Jika Y adalah peubah acak yang menyatakan kekurangan maupun kelebihan volume isi minuman soda tersebut, tentukan : a. peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian botol antara kekurangan 0, ml dan kelebihan 0,5 ml, b. peluang kelebihan volume minuman soda tersebut lebih dari 0, ml, dan c. F(y) serta gambarkan. 8 6

7 8/3/00 JAWAB : Diketahui Y menyatakan volume kesalahan mesin mengisi botol coca cola (ml)., y f( y) 0, y yang lain a. P Y PY PY 5 5 / /5 0 dy dy 0 dy dy / b. PY 0, PY 0, Fungsi distribusi : PY 5 5 0, y 0 dy dy Fyy, y , y y c. Fy f( y) dy y 0 dy dy y F(y) y -½ ½ 0 EKSPEKTASI Ekspektasi dari X EX [ ] semua P( X ), jika X peubah acak diskrit f ( ) d, jika X peubah acak kontinu dimana : P(X=) : nilai-nilai pada X : peluang untuk setiap nilai 7

8 8/3/00 SIFAT EKSPEKTASI Untuk peubah acak X dan Y, maka E(X+Y) = E(X) + E(Y) Bila Y = ax + b, a dan b tetapan, maka E(Y) = ae(x)+b ekspektasi g() didefinisikan sebagai: gpx ( ) ( ), jika Xpeubah acak diskrit semua Eg [ ( )] g( ) f ( ) d, jika X peubah acak kontinu Jika g() ( ) = X p, maka E[X p ] disebut momen ke-p, tetapi jika g() = (X-a) p disebut momen ke-p di sekitar a. Umumnya diambil a = =E[X] atau rataan X (momen ke satu) 3 VARIANSI Jika diambil g() = (X-), maka E[(X-) ] disebut variansi variabel acak X Var X E X ( ) [( ) ]. EX.. [ EX [ ] ] EX [ ] EX [ ] ( EX [ ]) 8

9 8/3/00 SIFAT VARIANSI Bila Y = ax + b, a dan b tetapan, maka Var(Y) = a Var(X) Bila X suatu peubah acak dan g suatu fungsi bernilai riil, maka: Var(g()) = E g [( ( ) ) ] semua = ( g ( ) ) PX ( ), jika Xpeubah acak diskrit ( g ( ) ) f( ) d, jika Xpeubah acak kontinu 5 CONTOH 3 Misal X adalah kesalahan dalam pengukuran untuk suatu lemari kayu (dalam mm). Jika ditetapkan fungsi peluang sebagai berikut:, f ( ) 3 0, yang lain Tentukan: a. Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran di atas. b. Jika dibangun Y = X + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y ini. 6 JAWAB: a. Rataan dari X Variansi dari X E X d 3 Var X E X 5 d

10 8/3/00 b. Y X EX 3 E E 3 d X EX 5 Var Y E d 3 8 SOAL LATIHAN. Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang sebagai berikut : 3 ( t ), untuk - t f ( t) 0, untuk t lainnya Cari E[ X ], E[ X-], E[X]. /3,,,3. Jika PX ( ) 0, yang lain maka nilai F(, 85) = Seorang investor mengasuransikan lapangan eksplorasi migas sebesar US$ Perusahaan asuransi AAA menaksir kerugian 00% (US$ 0.000) dengan peluang 0,00; kerugian 50% dengan peluang 0,0; kerugian 5% dengan peluang 0,, sisanya dikategorikan sebagai tidak rugi. Selanjutnya jika X menyatakan besarnya kerugian, maka distribusi peluang X adalah, US$ US$ US$.500 P(X = ) 0,00 0,0 0, Tentukan: a. Rataan dan variansi dari X b. Fungsi distribusi F() dan gambarkan c. Besar premi yang diajukan oleh perusahaan asuransi AAA agar memperoleh keuntungan US$

11 8/3/00 REFERENSI Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Eploration and Analysis of Data, USA: Dubury Press, 997. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi, Bandung: Penerbit ITB, 995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 007. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 000. Pasaribu, U.S., 007, Catatan Kuliah Biostatistika by UM