FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS"

Transkripsi

1 FUNGSI SMTS 0 / SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dr. Noerynti, M.Si 6

2 DFTR ISI Cover pokok hsn... 6 Dftr isi... 6 Judul Pokok hsn Pengntr Kompetensi Urin Mteri Definisi Fungsi Fungsi Stun dn Fungsi konstn Kesmn Fungsi Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif Penjumlhn Fungsi Pergndn Fungsi... 7 Ringksn Sol dn Penyelesin... 8 Sol-sol Ltihn

3 Dr. Noerynti, M.Si F U N G S I 6.. Pengntr. Mteri pokok ini merupkn ksus khusus dri sutu Relsi. Topik yng dierikn merupkn konsep dsr yng memerikn gmrn mengeni sutu fungsi, fungsi invers, fungsi ijektif, penjumlhn fungsi dn pergndn fungsi. 6.. Kompetensi: Setelh mempeljri mteri pokok hsn ini, mhsisw dihrpkn:. Mmpu menggunkn konsep-konsep dsr sutu fungsi ser enr.. Mmpu melkukn hitungn-hitungn dlm opersi-opersi penjumlhn dn pergndn sutu fungsi.. Termpil dlm mengerjkn sol-sol kuis / ltihn. 6.. Urin Mteri nyk pendektn yng ditempuh untuk mendefinisikn sutu fungsi. Dlm pokok hsn disini, sutu fungsi kn didefinisikn lngsung erdsrkn du himpunn dn, dn jug didefinisikn erdsrkn pergndn krtesius. Dlm hl ini sutu fungsi merupkn kedn khusus dri sutu relsi. Mislkn setip unsur sutu himpunn dikitkn dengn tept stu unsur dri himpunn, r pengkitn seperti ini diseut fungsi tu pemetn dri ke dinytkn segi: f : tu f 6... Definisi Fungsi: Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: 64

4 f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) = Unsur tunggl di yng dikitkn dengn oleh f dieri notsi f() diseut pet dri oleh f. Himpunn ini diseut domin f dn diseut kodomin dri f. Derh hsil dri fungsi f dieri notsi f[] yitu himpunn petpet, dinytkn segi f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngn-yngn (imge) dri unsur-unsur. Contoh (6.): Mislkn f mengkitkn setip ilngn rel dengn kudrtny. Sehingg, pil x ilngn riil, mk f(x) = x. Misl: x f(x) = x Pet dri dlh 9, dn ditulis f(-) = 9 tu f : - 9 Contoh (6.): Mislkn = {,,, d} dn = {,, }. Cr mengkitkn,, dn d merupkn fungsi dri ke. Disini f() =, f() =, f() = dn f(d) =. Derh hsil f dlh {, }, dn ditulis f[] = {, } d Contoh (6.): Mislkn R himpunn ilngn riil, dn f : R R mengitkn setip ilngn rsionl dengn dn setip ilngn tidk rsionl dengn. Jdi 65

5 Dr. Noerynti, M.Si f(x) =, jik xrsionl,jikxtidk rsionl ; f erkisr ntr dn : f[r] = {, -}. Contoh (6.4): Mislkn = {,,, d} dn = {x, y, z}. Fungsi f : didefinisikn dengn digrm erikut. Tmpk hw: x f() = y, f() = x, f() = z dn f(d) = y. Selin itu f[] =, yng errti y derh hsil dn ko-dominny z identik ( sm ). d Contoh (6.5): Mislkn dn didefinisikn dengn digrm erikut : f[] = {f( ), f( ), f( ), f( 4 )} = {,,, } = {,, } 4 4 Cttn: Contoh-ontoh dits, memperlihtkn hw setip unsur pd domin dri f (yitu ) mempunyi kwn tunggl di, tetpi tidk selikny Fungsi Stun dn Fungsi Konstn mil semrng himpunn. 66

6 Dientuk fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, mk f diseut fungsi stun pd, ditulis tu. Jug diktkn segi sutu fungsi terhdp diriny sendiri. Contoh (6.6): = {,, } = { f() = / } Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. Dengn kt lin, f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. Contoh (6.7): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f ukn sutu fungsi konstn, se ko-domin dri f terdiri dri dn Contoh (6.8): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f dlh fungsi konstn, kren ditetpkn untuk setip elemen. 67

7 Dr. Noerynti, M.Si 6... Kesmn Du Fungsi Mislkn du fungsi f dn g didefinisikn pd domin D yng sm yitu f : dn g: C. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g, didefinisikn segi : f = g jik dn hny jik( ) f()=g() Selikny : f g jik dn hny jik ( ) f() g() Contoh (6.9): Jik fungsi f didefinisikn oleh rumus f(x)=x, dimn x dlh ilngn riil dn g didefinisikn oleh rumus g(x) = x, dimn x dlh ilngn kompleks, mk fungsi f tidklh sm dengn g kren merek memiliki domin yng ered. Domin dri f : himpunn semu ilngn riel. x f(x)=x x gx)=x Domin dri g: himpunn semu ilngn kompleks jdi f g, kren Dominny ered Contoh (6.0): 4 Sutu fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri. Mislkn seuh fungsi g didefinisikn oleh rumus g(x) = x dimn domin g dlh {, }. Mk f = g, se keduny memiliki domin yng sm dn untuk f dn g menetpkn yngn yng sm untuk tip-tip elemen dlm dominny 68

8 6..4. Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Mk f diseut fungsi injektif (stu-stu) jik setip unsur-unsur dlm ditetpkn dengn tunggl unsur-unsur dlm, rtiny tk d du uh elemen dlm yng mempunyi yngn yng sm. Ditulis: f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f ukn fungsi stu-stu kren f() = f(-) = 4, yitu yngn dri du ilngn riil yng ered ykni dn, dlh ilngn yng sm, yitu 4. Keterngn: x f(x)=x - f()= f(-)=4 f ukn fungsi injektif Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f dlh fungsi stu-stu kren pngkt tig dri du ilngn riil yng ered jug ered. Keterngn: f()=8 x f(x)=x - f(-)=-8 f merupkn fungsi injektif 69

9 Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ke. Mk f() dri f dlh suset (himpunn gin) dri, tu f(). Jik f() =, rtiny jik setip unsur munul segi yngn dri sekurngkurngny stu unsur dlm, mk diktkn f sutu fungsi surjektif dri ke. Fungsi f ini jug diseut fungsi pd (onto funtion). f : diseut surjektif jik f() = Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x (liht ontoh 6.). Mk f ukn sutu fungsi surjektif, kren ilngn-ilngn negtif tk munul dlm dri f, yitu tidk d ilngn negtif yng merupkn kudrt seuh ilngn riil Keterngn: Mislny f : f[] = {x/ x 0} f[] jdi fungsi f tidk surjektif Contoh (6.4): Mislkn f : dlh sutu fungsi dri = {,,, d} ke {,, } d. f() = ; f() = ; dn f(d) =. diperoleh f() = {, }. Kren = {,, }, mk jngkun dri f tidk sm dengn koodominny, jdi f tidk surjektif 70

10 Contoh (6.5): Mislkn dlh himpunn ilngn riel dn himpunn ilngn riel non negtif. Dientuk perkwnn f dri ke didefinisikn segi f(x) = (x ) x f(x) = (x ) Keterngn: f : 0-9 ½ 0-5 -½ 4 dn liny f merupkn fungsi surjektif Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. Contoh (6.6): Mislkn S dlh himpunn ilngn-ilngn positif dn T dlh himpunn ilngn-ilngn riel. Dientuk perkwnn : f = S T dengn rumus ukti : f s = log s. kn ditunjukkn hw f ijektif. S = { x / x 0 } dn T = { x / x = ilngn riil } S T f f : S T log 0 = 0 0 log 0 = 00 log 00 =.... dst dst f ersift injektif jug surjektif. mk f dlh ijektif 7

11 Dr. Noerynti, M.Si Penjulhn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi : (f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. Contoh (6.7): Jik fungsi f :, dengn rumusn f(x) = x + dn g :, dengn rumusn g(x) = x Mk : (f + g) x = f(x) + g(x) = x + + x = x + x Pergndn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f tu g f sj, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. 7

12 Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. f g C go f Contoh (6.8) : () Mislny f : dn g : C yng didefinisikn seperti digrm di wh ini C f g x r y z s t Mk: (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (g o f) () = g (f()) = g (z) = r (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (). Dimil, dn C himpunn-himpunn ilngn riil. Jik fungsi f dn g didefinisikn segi f(x) = x dn g(x) = x + Mk : (g o f) x = g (f(x)) = g (x ) = x + (f o g) x = f (g(x)) = f (x + ) = (x + ) = x + 6x + 9 Jdi g o f f o g isny pergndn fungsi tidk ersift komultif, tetpi ersift ssositif. Seperti diilustrsikn erikut ini : mil semrng fungsi-fungsi f : ; g : C dn h : C D 7

13 Dr. Noerynti, M.Si Dientuk pergndn fungsi-fungsi s: () f g C h D g o f h o (g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() () f g C h D (h o g) o f h o g h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () Hsil dri () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung) Fungsi Invers Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. 74

14 Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = } Perhtikn hw f ( ) dlh seuh himpunn gin dri, dn f di segi f invers tu invers dri fungsi f. Contoh (6.9): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut ini: f x y z Mk f ( x) = {, }, kren ik mupun keduny memiliki x segi titik yngn merek. Jug f ( y) = {}, kren hny yng dipetkn kepd y. Invers dri z, f ( z) dlh himpunn kosong,, kren tidk d elemen dlm yng dipetkn ke z. Contoh (6.0): Mislkn f : R # R #, dri ilngn-ilngn riel yng didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f (4) = {, -}, kren 4 dlh yngn dri mupun dn tidk d ilngn riel lin yng kudrtny dlh 4. Perhtikn hw f ( ) =, kren tk d unsur dlm R # yng kudrtny dlh. Contoh (6.): 75

15 Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ilngn-ilngn kompleks ke dlm ilngn-ilngn kompleks, dimn f didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f ( ) = {. i.i}, kren kudrt dri tip-tip ilngn ini dlh. Perlusn definisi invers dri fungsi. Mislkn f : dn mislkn D sutu himpunn gin dri, yitu D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemen-elemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D} Contoh (6.): Mislkn fungsi f = didefinisikn oleh digrm x r y s z t Mk f ({r, s}) = {y}, kren hny y yng dipetkn kepd r tu s. Jug f ({r, t}) = {x, y, z} =, kren tip-tip elemen dlm memiliki r tu t segi inversny. Contoh (6.): Mislkn f = R # R # didefinisikn oleh f(x) = x, dn D = [4, 9] = {x 4 x 9} Mk f (D) = { x - x - tu x } 76

16 Contoh (6.4): Mislkn f : dlh serng fungsi. Mk f () =, kren setip elemen dlm memiliki yngnny dlm. Jik f () menytkn jngkun dri fungsi f, mk f (f()) = Selnjutny, jik, mk f ()= f ({}). Disini f mempunyi du rti, yitu segi invers dri seuh elemen dn segi invers dri himpunn gin. Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Pd umumny, f () dpt terdiri dri leih dri stu elemen tu mungkin himpunn kosong, Jik f : dlh sutu fungsi injektif dn fungsi surjektif,mk untuk tip-tip, invers f () kn terdiri dri seuh elemen tunggl dlm. Dengn demikin, sutu turn yng menetpkn untuk tip-tip, sehingg elemen tunggl f (). Oleh se itu f dlh sutu fungsi dri ke dn ditulis segi: f : fi. Dlm kedn ini, il f : dlh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd), diktkn f fungsi ijektif dn mempunyi invers, mk invers dri f. f diseut fungsi Contoh (6.5): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut: f x y z 77

17 Dr. Noerynti, M.Si Perhtikn hw f dlh fungsi stu-stu dn pd. Sehingg f merupkn fungsi invers dri f, dn dpt digmrkn f : dengn digrm. f - x y z Perhtikn hw jik dirhkn nk pnh dlm rh yng terlik dri digrm f mk diperoleh digrm dri f. Contoh (6.6): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm f x y z Kren f() = y dn f() = y, mk fungsi f tidk stu-stu. Dengn demikin fungsi invers f tidk d. Jik f (y) = {, }, mk tidk dpt menetpkn dn kedu-duny untuk elemen y. Contoh (6.7): Mislkn f : R # R #, ilngn-ilngn riil yng didefinisikn oleh f(x) = x. Perhtikn hw f dlh stu-stu dn pd. Oleh kren itu f = R # R # 78

18 d. Pd kenytnny dipunyi sutu entuk yng dpt mendefinisikn fungsi invers ini, yitu f () x = x Mislkn sutu fungsi f : mempunyi fungsi invers f =. Mk dpt diliht dri digrm erikut : f f f o f hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi ( ke dlm, dn tmpk dri digrm erikut : f o f ) yng memetkn f -- f f o f - ke dlm. hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi (f o f ) yng memetkn Mislkn sutu fungsi f : dlh stu-stu dn pd yng errti fungsi invers f : d. Mk hsilkli fungsi ( f o f) : ; dlh fungsi stun pd, dn hsilkli fungsi (f o pd. f ) : ; dlh fungsi stun Jik f : dn g :, mk g dlh fungsi invers dri f yng errti hw g = f. Hsilkli fungsi (g o f) : dlh fungsi stun pd, dn (f o g) : dlh fungsi stun pd. 79

19 Dr. Noerynti, M.Si Contoh (6.8): Mislkn = {x, y} dn = {,, }. Didefinisikn sutu fungsi f : dengn digrm () di wh ini. Sekrng definisikn sutu fungsi g : dengn digrm () di ts. x y () () x y Dihitung fungsi (go f) : (g o f) (x) = g (f(x)) = g () = x (g o f) (y) = g (f(y)) = g () = y Dengn demikin hsilkli fungsi (go f) dlh fungsi stun pd. Tetpi g ukn fungsi invers dri f kren hsilkli fungsi (fo g) ukn fungsi stun pd, jdi f ukn fungsi surjektif (pd). Rngkumn.. Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) =. Jik sutu fungsi f : mk setip unsur, f() diseut pet dri. diseut domin f dn diseut ko-domin dri f. f[] dlh derh hsil dri fungsi f yitu himpunn pet-pet, yitu f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngnyngn (imge) dri unsur-unsur. 80

20 . Fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, diseut fungsi stun pd, ditulis tu. mislny: = {,, } = { f() = / } 4. Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. tu f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. 5. Jik du fungsi f dn g didefinisikn segi f : dn g: C. dengn domin D yng sm. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g jik dn hny jik.( ) f()=g(). Selikny f g jik dn hny jik ( ) f() g() 6. Sutu fungsi f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) 7. Sutu fungsi f : diseut surjektif jik f() = 8. Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. 9. Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi :(f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. 0. Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) 8

21 Dr. Noerynti, M.Si. Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. g C f go f Pergndn fungsi tidk ersift komultif yitu f og g o f Pergndn fungsi ersift sositif Mislny fungsi f : ; g : C dn h : C D f g C h D g o f h o(g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() f g C h D (h og) of h o g 8

22 h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung). Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = }. Perlusn invers dri fungsi. Misl dikethui f : dn D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemenelemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D}. Sol-sol dn Penyelesin. Nytkn pkh tip-tip digrm erikut ini mendefinisikn sutu fungsi dri = {,, } ke dlm = {x, y, z} tu tidk. x x x y y y z z z () () () () Tidk. Tidk d yng ditetpkn untuk elemen. () Tidk. Du elemen x dn z, ditetpkn untuk elemen. Dlm sutu fungsi hnylh stu elemen yng ditetpkn gi elemen dlm domin. 8

23 Dr. Noerynti, M.Si () Y. dlh mungkin dlm fungsi dimn elemen yng sm dlm kodomin ditetpkn gi leih dri stu elemen dlm domin.. Pergunkn sutu rumus untuk mendefinisikn kemli fungsi-fungsi erikut ini : () Untuk setip ilngn riil, f menetpkn pngkt tigny. () Untuk tip-tip ilngn riil, f menetpkn ilngn 5. () Untuk tip-tip ilngn positif, f menetpkn kudrtny dn untuk ilngn-ilngn riil linny, f menetpkn ilngn 4. () Fungsi f dlh pemetn dri R # ke dlm R # dpt didefinisikn oleh f(x) = x () Kren f menetpkn 5 untuk setip ilngn kit dpt mendefinisikn f dengn f( )= 5. () Kren d du turn yng ered yng digunkn dlm mendefinisikn f, mk kit mendefinisikn f segi erikut : > x jik; x 0 f (x) = 4 jik; x 0. Yng mn dri pernytn-pernytn erikut ini ered dri yng linny dn mengp? () f sutu fungsi dri ke dlm (4). f () f : (5). f pemetn dri ke dlm. () f : x f(x) ered dri yng linny. Kren tidk dikethui domin dn ko-dominny dlm (), mengingt untuk yng linny dikethui hw dlh domin dn ko-domin. 84

24 4. Mislkn f(x) = x mendefisikn sutu fungsi pd selng tertutup x 8. Crilh (). f(4); (). f(-); (). f(t ). () f(4) = 4 = 6 () f(-) tidk mempunyi rti, yng errti tk terdefinisikn kren tidk erd dlm domin dri fungsi. () f(t -) = (t - ) = t - 6t + 9. Tetpi rumus ini hnylh enr jik t erd dlm dominny, yitu t 8. Dengn kt lin, t hrus memenuhi t. 5. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh : jik x rsionl f(x) = jik x irsionl () Nytkn f dlm kt-kt. () Crilh ( ) f, f( π ), f(....), dn f( ). () Fungsi f menetpkn ilngn untuk tip-tip ilngn rsionl dn ilngn untuk tip-tipilngn irsionl. () Kren dlh ilngn rsionl mk ( ) =. f Kren π dlh ilngn irsionl mk f( π ) =. Kren, dlh desiml erulng yng menytkn sutu ilngn rsionl mk f(,..) =. Kren dlh irsionl mk f( ) =. 6. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh x jik x > f(x) = x jik x x + jik x < Crilh : () f(), () f(4), () f(-), (d) f(-) 85

25 Dr. Noerynti, M.Si () Kren erd dlm selng tertutup [-, ], mk digunkn rumus f(x) = x -. Oleh kren itu f() = = 4 =. () Kren 4 termsuk selng (, ) mk dipergunkn rumus f(x) = x -. Jdi f(4) = (4) = =. () Kren erd dlm selng [-, ], mk kit pergunkn rumus f(x) = x -. Diperoleh f(-) = (-) - = =. (d) Kren leih keil dripd, yng errti termsuk selng teruk (-, -) mk digunkn rumus f(x) = x+. Jdi f(-) = -6 +=-. Perhtikn hw hny terdpt stu fungsi yng didefinisikn meskipun d tig rumus yng digunkn untuk mendefinisikn f. 7. Mislkn = {,, } dn = {, 0}. erp nyk fungsi-fungsi yng ered yng dpt dientuk dri ke, dn p sj? ut dftr semu fungsi dri ke dengn digrm-digrm. Dlm tip-tip fungsi ditetpkn tu 0, tetpi tidk kedu-keduny, untuk tip-tip elemen dlm. f f f f f 0 86 f 7 0

26 f 4 0 f 8 0 Perhtikn hw d terdpt delpn uh fungsi. 8. Mislkn = {,,, 4, 5}. Definisikn fungsi f : dengn digrm Tentukn jngkun dri fungsi f? Jngkun (rnge) terdiri dri semu titik yngn. Oleh kren itu hny ilngn-ilngn, dn 5 yng munul segi titik-titik yngn, mk jngkun dri f[]dlh himpunn {,, 5}. 9. Mislkn W = {,,, d}. Dientuk fungsi f dri W ke W didefinisikn segi f() =, f() =, f() =, f(d) =. Crilh jngkun dri fungsi f : W W Jngkun dri f terdiri dri elemen-elemen yng munul segi titik-titik yngn. Sehingg dn yng munul segi titik-titik yngn dri elemen-elemen W. Oleh se itu, jngkun dri f dlh {, }. 0. Mislkn V = {-, -, 0,, }. Dientuk fungsi g : V R # didefinisikn oleh rumus: g(x) = x + Crilh jngkun dri g. 87

27 Dr. Noerynti, M.Si Dihitung yngn dri tip-tip elemen dlm V, yitu: g(-) = (-) + = 4 + = 5 g() = () + = + = g(-) = (-) + = + = g() = () + = 4 + = 5 g(0) = (0) + = 0 + = Jdi jngkun dri g dlh himpunn dri titik-titik yngn {5,,,, 5} = himpunn {5,,}. Tip-tip rumus erikut mendefinisikn sutu fungsi dri R # ke R #. Crilh jngkun dri tip-tip fungsi. (). f(x) = x (). g(x) = sin x, (). h(x) = x + () Setip ilngn riil memiliki sutu kr pngkt tig yng riil ; oleh kren itu ( ) ( ) f = = Jdi, jngkun dri f dlh himpunn dri semu ilngn-ilngn riil. () Sinus dri serng ilngn riil terletk dlm selng tertutup [-, ]. Dn, semu ilngn-ilngn dlm selng ini dlh sinus dri serng ilngn riil. Mk jngkun dri g dlh selng [-, ]. () Jik ditmhkn pd tip-tip ilngn riil, kit peroleh himpunn ilngn-ilngn yng leih esr dripd tu sm dengn. Dengn perktn lin, jngkun dri h dlh selng tk erhingg [, ].. Mislkn fungsi-fungsi f, f, f, f 4 dri R # kedlm R # didefinmisikn oleh. () f(x) = x (). f(z) = z () f(y) = y (d). f 4 menetpkn kudrt tip-tip ilngn riil. Tentukn fungsi-fungsi yng sm. Merek semuny sm. Tip-tip fungsi menetpkn ilngn yng sm untuk setip ilngn riil. 88

28 . Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h didefinisikn oleh : () () () f(x) = x dimn 0 x g(y) = y dimn y 8 h(z) = z dimn z ε R # Tentukn yng mn dri fungsi-fungsi ini yng sm? Tk d stu fungsipun yng sm. Meskipun turn-turn korespondensi sm, derh definisiny ered. Jdi fungsi-fungsiny ered. 4. Mislkn = {x,y} dn = {,,, d}. Fungsi terliht seperti pd digrm erikut pkh ersift injektif tukh surjektif? x y d f merupkn fungsi injektif (stu-stu) 5. Mislkn = {,,, d, e}, dn himpunn dri huruf-huruf dlm jd. Dientuk fungsi-fungsi f, g dn h dri ke didefinisikn oleh : () f() = r, f() =, f() = s, f(d) = r, f(e) = e () g() =, g() =, g() = e, g(d) = r, g(e) = s () h() = z, h() = y, h() = x, h(d) = y, h(e) = z Nytkn pkh tip-tip fungsi ini injektif (stu-stu) tu tidk. Perhtikn hw gr sutu fungsi dlh stu-stu, i hrus menetpkn yngn-yngn yng ered untuk elemen-elemen yng ered dlm domin. 89

29 Dr. Noerynti, M.Si () f uklh fungsi stu-stu kren f menetpkn r untuk dn d, keduduny, yitu f()=f(d) = r. () g dlh fungsi stu-stu. () h uknlh fungsi stu-stu kren h() = h(e). 6. Nytknlh pkh tip-tip fungsi erikut stu-stu tu tidk. () Untuk tip-tip penduduk umi, tetpkn ilngn yng erkitn dengn usiny. () Untuk tip-tip negr di duni, tetpkn jumlh penduduk negr-negr itu. () Untuk tip-tip uku yng ditulis oleh seorng pengrng, tetpkn pengrngny. (4) Untuk tip-tip negr di duni yng mempunyi perdn menteri, tetpkn perdn menteriny. () nyk orng di duni yng mempunyi usi sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. () Meskipun du uh negr mungkin mempunyi jumlh penduduk yng sm, sttistik memperlihtkn hw dews ini tidklh demikin; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. () dlh mungkin untuk du uh uku yng ered mempunyi pengrng yng sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. (4) Tidk d du negr yng ered di duni ini mempunyi perdn menteri yng sm; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. 7. Mislkn = [-, ] = {x - x }, = [, ] dn C = [-, -]. Mislkn fungsi-fungsi f : R #, f : R # dn f : C R # didefinisikn oleh turn : Untuk tip-tip ilngn, tetpkn kudrtny. Yng mn dri fungsi-fungsi ini stu-stu? 90

30 Fungsi f : R # tidklh stu-stu kren f ( ) f( ) =, yitu kren du ilngn yng ered dlm derh definisi ditetpkn yngn yng sm. Fungsi f : R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn positif yng ered dlh ered. Jug, f : C R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn negtif yng ered dlh ered. Perhtikn, sekli lgi, hw sutu rumus sendiri tidklh mendefinisikn sutu fungsi. Kenytnny, hw rumus yng sm memerikn fungsifungsi yng ered yng memiliki sift-sift yng sm. 8. Crilh selng teresr D dimn rumus f(x) = x mendefinisikn sutu fungsi stu-stu. Selm selng D memut ilngn-ilngn positif tu negtif, tetpi tidk kedu-duny mk fungsiny dlh stu-stu. Jdi D dptlh erup selng-selng teruk [0, ] tu (-, 0]. d terdpt selng-selng tk terhingg linny dimn f dlh stu-stu, tetpi merek kn erup suhimpunn-suhimpunn dri slh stu dri kedu ini. 9. Dlm sol 7 didftr semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke = {,0}. Yng mnkh dri fungsi-fungsi ini dlh stu-stu? Tk stupun dri fungsi-fungsi itu stu-stu. Dlm tip-tip fungsi, sekurngkurngny du elemen mempunyi yngn yng sm. 0. Mislkn f :. Crilh f(), yitu jngkun dri f, jik f dlh fungsi pd 9

31 Dr. Noerynti, M.Si Jik f dlh fungsi pd mk setip elemen dlm psngn domin (kodomin) f dlh dlm jngkun, oleh kren itu f() =.. pkh fungsi f : dlm Sol 8 surjektif (pd)? ilngn-ilngn dn 4 dlm ko-domin uknlh yngn-yngn dri serng elemen dlm domin; oleh kren itu f tidklh fungsi pd. Dengn kt lin, f() = {,, 5} dlh seuh suhimpunn sejti dri.. milkn = [-, ]. Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h dri ke dlm didefinisikn oleh : () f(x) = x, (). g(x) = x, () h(x) = sinx Fungsi yng mn, dlh pd? () Tk d ilngn-ilngn negtif yng munul dlm derh nili f; oleh kren itu f uknlh fungsi pd. () Fungsi g dlh pd, yitu g() =. () Fungsi h uknlh pd. Kren tidk d ilngn x dlm sehingg sinx=.. Dptkh fungsi konstn menjdi sutu fungsi surjektif (pd)? Jik ko-domin dri fungsi f terdiri dri elemen tunggl, mk f sellu sutu fungsi konsn dn dlh pd. 4. Pd himpunn-himpunn yng mn, fungsi stun : kn surjektif (pd)? Fungsi stun sellu pd; oleh kren itu dpt erup himpunn p pun. 9

32 5. Dlm sol 7 didftrkn semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke dlm = {, 0}. Yng mn dri fungsi-fungsi ini dlh fungsi pd? Semu fungsi-fungsi itu dlh pd keuli f dn f 8 6. Mislkn fungsi-fungsi f : dn g : C didefiniskn oleh digrm f x g C r y s z t () Crilh hsilkli fungsi (g o f) : C () Crilh jngkun dri f, g dn g o f. () Digunkn definisi hsilkli fungsi dn menghitung : (g o f)() g(f()) = g(y) = t (g o f)() g(f()) = g(x) = s (g o f)() g(f()) = g(y) = t Perhtikn hw didptkn jwn yng sm jik kit mengikuti tnd pnh : y t x s y t () Menurut digrm, jngkun dri f dlh {x, y}, dn jngkun dri g dlh {r, s, t}. Menurut (), jngkun dri g o f dlh {s, t}. Perhtikn hw jngkun dri g dn g o f ered. 7. Mislkn = {,,, 4, 5} dn fungsi-fungsi f : didefinisikn oleh : f() =, f() = 5, f() =, f(4) =, f(5) = 5 g() = 4, g() =, g() =, g(4) =, g(5) = 9

33 Dr. Noerynti, M.Si Crilh fungsi-fungsi komposisi f o g dn g o f. Dengn menggunkn definisi hsilkli fungsi dn dihitung : (f o g)() f(g()) = f(4) = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)(4) f(g(4)) = f() = 5 Jug, (f o g)(5) f(g(5)) = f() = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)() g(f()) = g(5) = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)(4) g(f(4)) = g() = 4 (g o f)(5) g(f(5)) = g() = Perhtikn hw fungsi-fungsi fo g dn go f tidk sm. 8. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x +, g(x) = x - Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn hsilkli fungsi go f dn fog. Pertm dihitung go f : R # R #. Pd dsrny disustitusikn rumus untuk f di dlm rumus g. Digunkn definisi hsilkli fungsi segi erikut : (g o f)(x) g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = 4x + 4x - Mungkin jik fungsi-fungsi didefinisikn segi y = f(z) = x +, z = g(y) = y - Kemudin y dieliminsikn dri kedu rumus : z = y = (x ) = 4x + 4x - Sekrng menghitung fo g : R # R # : 94

34 (f o g)(x) f(g(x)) = f(x ) = (x ) + = x 9. Mislkn fungsi-fungsi f dn g pd ilngn-ilngn riil R # didefinisikn oleh f(x) = x + x, g(x) = x - 4 () Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn go f dn fog. () Perikslh rumus-rumus itu dengn memperlihtkn (go f)() = g(f()) dn (f o g)() = f(g()). () (go f)(x) g(f(x)) = g(x + x ) = (x + x ) 4 = x + 6x (f o g)(x) f(g(x)) = f(x 4) = (x 4) + (x 4) = 9x 8x + 5 () (go f)() = () + 6() = + = g(f()) = g( + () ) = g(5) = (5) 4 = (f o g)() = 9() 8() + 5 = = 5 f(g()) = f(() 4) = f() = + () = 5 0. uktikn : Jik f : dlh pd dn g : C dlh pd mk fungsi hsilkli (go f) : C dlh pd. Mislkn serng elemen dlm C. Kren g dlh pd, mk terdpt sutu elemen sehingg g() =. Jug, kren f dlh pd mk terdpt sutu elemen sehingg f() =. Sekrng (go f)() g(f()) = g() =. Jdi untuk serng C, terdpt sekurng-kurngny stu elemen sehingg (go f)() =. Dengn demikin go f dlh fungsi surjektif (pd).. uktikn hw jik f :, g : C dn h : C D; mk (h o g) o f = h o (g o f) Kedu fungsi dlh sm jik merek menetpkn yngn yng sm dlm domin, yitu, jik ((ho g)o f)(x) = (h o (g o f))(x) 95

35 Dr. Noerynti, M.Si untuk setip x ε. Dengn menghitung, ((h o g)o f) (x) (h o g)(f(x)) h(g(f(x))) dn (h o(go f))(x) h((g o f)(x)) h(g(f(x))) Oleh kren itu (h o g) o f = h o (g o f). milkn = {,,, 4, 5}. Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm Crilh () f (), () f (), () f (4), (4) f {,}, (5) f {,,4} () f () terdiri dri elemen-elemen yng yngnny dlh. Hny 4 yng mempunyi yngn ; oleh kren itu f () = {4}. () () f f () = kren uknlh yngn dri elemen ppun. (4) = {,,5} kren f() = 4, f() = 4, f(5) = 4 dn kren 4 uknlh yngn elemen yng linny. (4) f {,} terdiri dri elemen-elemen yng yngnny tu ; oleh kren itu f {,} = {, 4}. (5) f {,,4} = {4,,,5} kren tip-tip ilngn ini, dn tidk yng linny, memiliki, tu 4 segi titik yngn. 96

36 . Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x. Crilh : () () f (5), (). 5)] f (-9), (4). f ([-, )], (5). f ([-, 0)] f ([4, () f (5) = {5, -5} kren f(5) = 5 dn f(-5) = 5 dn kren tidk d ilngn lin yng kudrtny dlh 5. () f (5) = kren tidk d ilngn riil yng kudrtny dlh 9, yitu persmn x = -9 tidk mempunyi kr riil. () f ([-,]) = [-, ] kren jik x mk errti x yitu jik x termsuk [-, ] mk f(x) = x jug termsuk [-, ]. (4) f ((-, 0]) = {0} kren 0 = 0 ε (-, 0] dn kren tidk d ilngn linny yng kudrtny termsuk (-, 0] (5) f ([4, 4]) terdiri dri ilngn-ilngn yng kudrtny termsuk [4, 5], yitu ilngn-ilngn x sehingg 4 x 5. Oleh kren itu. f ([4, 5]) = {x x 5 tu 5 x -} 4. Mislkn f :. Crilh f (f()), yitu, rilh invers dri jngkun f. Kren yngn dri setip elemen erd dlm jngkun f, mk f (f()) = untuk semu kedn. 5. Mislkn f :, dn f mempunyi fungsi infers f :. Seutkn du sift dri fungsi f. Fungsi f hruslh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd). 97

37 Dr. Noerynti, M.Si 6. Mislkn W = {,,, 4, 5}, dn fungsi-fungsi f : W W, g : W W dn h : W W didefinisikn oleh digrm-digrm diwh. 4 5 f g h 4 5 Dri fungsi-fungsi di ts mn yng memiliki fungsi invers? gr sutu fungsi memiliki invers, mk fungsi itu hruslh stu-stu dn pd. Hnylh h yng stu-stu dn pd; oleh kren itu hnylh h yng memiliki fungsi invers. 7. mil = [-, ]. Mislkn fungsi f, f, f, dn f 4 dri ke dlm didefinisikn oleh () f (x) = x, () f (x) = x, () f (x) = sin x, (4) 4() sin f x = π x Nytkn pkh tip-tip fungsi ini memiliki invers tu tidk. () f tidklh stu-stu tu pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. () f dlh stu-stu kren jik x y mk 5 5 x y. Jug, f dlh surjektif (pd). Oleh kren itu f memiliki fungsi invers. () f dlh fungsi stu-stu tetpi tidk pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. (4) f 4 memiliki invers kren tidk i dlh stu-stu dn pd. 98

38 8. uktikn : Mislkn f : dn g : C memiliki fungsi-fungsi invers f : dn g : C. Mk fungsi-komposisi g o f : C memiliki fungsi invers f o g : C. Perhtikn hw: ( f o g ) o (g of ) = dn (g o f )o ( f o g ) = Dihitung ( f o g )o (g o f ) = f o ( g o (g o f )) = f o (( g o g) o f) = f o (of ) = f o f = Menggunkn sift hw g o g dlh fungsi stun dn hsilkli, yitu fungsi fungsi stun dn f dlh f. Dengn r yng sm, (g o f ) o ( g o (o f o g ) = g o g ) = g o ( f o ( g = f o g )) = g o (( f o f ) o f) 9. Mislkn f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x -. Dengn mengmil f dlh stu-stu dn pd, sehingg f memiliki fungsi infers f : R # R #. Crilh rumus yng mendefinisikn fungsi invers f. Mislkn y dlh yngn x di wh fungsi f. Mk y=f(x) = x - kitny, x kn merupkn yngn y di wh fungsi invers f, yitu : x = f (y) Dengn memehkn untuk x dlm y dri persmn di ts. x = (y + )/ Mk f (y) = (y + )/ ini dlh rumus yng mendefinisikn fungsi invers. oleh kren itu f (x) = (x + )/ jug mendefinisikn fungsi invers. 99

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

BAB VI PEWARNAAN GRAF

BAB VI PEWARNAAN GRAF 85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh : RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI

Lebih terperinci

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi 804 Mtemtik Relsi dn Fungsi - - RELASI DAN FUNGSI - - Modul ini singkron dengn Apliksi Android, Downlod mellui Ply Store di HP Kmu, ketik di penrin dlpfungsi Jik Kmu kesulitn, Tnykn ke tentor gimn r downlodny.

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Suku banyak. Akar-akar rasional dari Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd

Lebih terperinci

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Mtemtik SMA Semester B : Bentuk Pngkt,Akr & Logritm Mteri Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Kometensi Dsr : Menggunkn sift dn turn tentng ngkt, kr dn logritm dlm emechn mslh Kometensi Dsr : Melkukn

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Kegitn Beljr Mengjr 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Drs. Zinuddin, M.Pd Kegitn eljr mengjr 3 ini kn memhs tentng persmn kudrt. Kegitn eljr mengjr 3 ini menckup du pokok hsn, yitu pokok hsn I tentng

Lebih terperinci

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc. M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng

Lebih terperinci

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1. 1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn

Lebih terperinci

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier 8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh

Lebih terperinci

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt

Lebih terperinci

RELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-12 dan 13)

RELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-12 dan 13) ELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-1 dn 13) 1. elsi Ekuivlensi. Definisi 1. Dikethui A himpunn tidk kosong. elsi pd A (dri A ke A) diseut refleksif jik untuk setip nggot dri semestny erlku refleksif ( A).. Contoh:

Lebih terperinci

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor

Lebih terperinci

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt

Lebih terperinci

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh

Lebih terperinci

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp

Lebih terperinci

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti

Lebih terperinci

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri

Lebih terperinci

http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Konsep yng erkitn dengn : www.ujinnsionl.we.id Ringksn Teori Ujin Nsionl 011 Sekolh Menengh Ats / Mdrsh Aliyh IPA SMA / MA IPA Mt Peljrn : Mtemtik Brisn dn Deret = U = S 1 1 U n = S n S n1 untuk n =, 3,

Lebih terperinci

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()

Lebih terperinci

BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR

BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR i UKU JR MTEMTIK DSR Mohmmd Fizl mir, M.Pd. yu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. UMSID PRESS Jl. Mojophit 666 Sidorjo ISN: 978-979-40-8-6 ii UKU JR MTEMTIK DSR Mohmmd Fizl mir, M.Pd. yu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd.

Lebih terperinci

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu

INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C

Lebih terperinci

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn

Lebih terperinci

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011 LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik

Lebih terperinci

Bab I. Pendahuluan BAB I PENDAHULUAN

Bab I. Pendahuluan BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Pengntr Logik dn Himpunn Mtemtik mempunyi hs dn turn yng terdefinisi dengn ik, penlrn yng jels dn sistemtik, dn struktur yng sngt kut. Dengn ergi keungguln ini mtemtik digunkn segi sutu

Lebih terperinci

Graf Berarah (Digraf)

Graf Berarah (Digraf) Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh

Lebih terperinci

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA MODUL IX TEORI BAHASA DAN AUTOMATA Tujun :. Mhsisw memhmi turn produksi sutu finite stte utomt dn dpt merekonstruksi kemli FSA dri sutu hs reguler. 2. Mhsisw mengenl pengemngn leih juh dri sutu mesin otomt

Lebih terperinci

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.

Lebih terperinci

Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)

Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative) Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6

Lebih terperinci

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT) VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 2015 SMA NEGERI 8 JAKARTA

SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 2015 SMA NEGERI 8 JAKARTA SOAL LATIHAN UJIAN NASIONAL 0 SMA NEGERI 8 JAKARTA. Dierikn premis-premis segi erikut: Premis : Jik urh hujn tinggi dn irigsi uruk, mk tnmn pdi memusuk Premis : Tnmn pdi tidk memusuk tu petni menderit

Lebih terperinci

MODUL 3: FINITE AUTOMATA

MODUL 3: FINITE AUTOMATA Diktt Kulih: Finite utomt uthor: Suryn Setiwn, MSc., Fk. Ilmu Komputer UI MODUL 3: FINITE UTOMT DEFINISI F Sutu Finite utomton (F) tu kdng-kdng diseut Finite Stte utomton (FS) dlh mesin yng dpt mengeni

Lebih terperinci

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB

ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( 08411.060 ) 2. Chndr Andmri ( 08411.095 ) 3. Mei Citr D.A ( 08411.186 ) 4. Nur Alfin Lil

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng

Lebih terperinci

1. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II)

1. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II) MATA KULIAH KODE MK Dosen : FISIKA DASAR II : EL-22 : Dr. Budi Mulynti, MSi Pertemun ke-6 CAKUPAN MATERI. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II) SUMBER-SUMBER:.

Lebih terperinci

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)

Lebih terperinci

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu hn jr Sttik ulyti, ST, T erteun, I, II III Struktur lk III endhulun lk (e) dlh sutu nggt struktur yng ditujukn untuk eikul en trnsversl sj, sutu lk kn ternlis dengn secr lengkp pil digr gy geser dn digr

Lebih terperinci

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R

MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R MODUL 4 EUBAH ACAK engntr Sutu percon melempr mt ung yng setimng senyk kli. Rung smpel dri percon terseut dlh S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA, GAA, GGG } Sutu kejdin A : dri ketig lemprn nykny gmr sejumlh

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS

BAB III MATRIKS BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn

Lebih terperinci

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn

Lebih terperinci

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1 . Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny

Lebih terperinci

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1) BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : thereiveni.wordpre.om NM : KELS : BB TRIGONOMETRI thereiveni.wordpre.om Pengukurn Sudut d du tun pengukurn udut yitu : derjt dn rdin Stun derjt Definii : = putrn 36 Ingt : putrn = 36 Jdi : putrn = 8 putrn

Lebih terperinci

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm

Lebih terperinci

Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Integral Kompleks (Bagian Kesatu) Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl

Lebih terperinci

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,

Lebih terperinci

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e.

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e. . Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 e. Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = (

Lebih terperinci

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor) Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Routh

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Routh Intitut Teknologi Sepuluh Nopemer Sury Anli Ketiln Routh Pengntr Mteri Contoh Sol Ringkn Ltihn Aemen Pengntr Mteri Contoh Sol Konep Stil Proedur Ketiln Routh Ringkn Ltihn Aemen Pengntr Pengntr Mteri Contoh

Lebih terperinci

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc. PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

5. RELASI DAN FUNGSI. Gambar 5.1

5. RELASI DAN FUNGSI. Gambar 5.1 5. RELSI DN FUNGSI 5. Relsi tu Pemetn Cr memsngkn nggot ke nggot Gmr 5. Hsil Kli Krtesin Mislkn n lh himpunn-himpunn. Hsil kli Krtesin engn (simol x ) lh himpunn semu psngn erurutn (, ) engn n. x {(, ),

Lebih terperinci

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan 2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,

Lebih terperinci

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kometensi (Bgin PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Menentukn Jenis Akr-Akr Persmn Kudrt Menggunkn Diskriminn (D Bentuk Umum: D = - 4c + x + c ; 0 Pengertin: x = α dlh kr-kr ersmn + x + c α

Lebih terperinci

Matematika SKALU Tahun 1978

Matematika SKALU Tahun 1978 Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log

Lebih terperinci

MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL

MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL MATEMATIKA IPA PAKET KUNCI JAWAAN SOAL. Jwn : Mislkn p: ir sungi jernih q: Tidk terkndung zt pencemr r: Semu ikn tidk mti Diperoleh : Premis : p q Premis : ~r ~q q r Jdi, kesimpuln dri premis-premis terseut

Lebih terperinci

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA Yogyakarta 2011

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA Yogyakarta 2011 Progrm Sudi M Kulih Pokok hsn : Memik : Geomeri : Kesengunn isusun oleh r. li Mhmudi FKULTS MTEMTIK N ILMU PENGETHUN LM UNIVERSITS NEGERI YOGYKRT Yogykr 0 Lemr Kegin Mhsisw Geomeri Lemr Kegin Mhsisw M

Lebih terperinci

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR (lanjut..)

RUANG VEKTOR (lanjut..) RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field

Lebih terperinci

Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1

Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1 Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung

Lebih terperinci

(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])

(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X]) DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction

Lebih terperinci

10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c

10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c Integrl Tk Tentu INTEGRAL. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k x n k n +. ( x + n ( n +. x ln x + x n + + ; n - n+ (x+ + ; dn 4. ( f ( x ± g( x f ( x ± g ( x n - n. os (x+sin(x+ ( n + n+ os (x+ + ( + (. sin x

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik ii Drpulic BAB Mononom dn Polinom Mononom dlh perntn tunggl ng erentuk k n, dengn k dlh tetpn dn n dlh ilngn ult termsuk nol. Fungsi polinom merupkn jumlh terts

Lebih terperinci

THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM. Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7

THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM. Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7 THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM Prepred y: Romli Shodikin, M.Pd stu., 3 Novemer 013 Pertemun 7 TEOREMA SISA dn TEOREMA FAKTOR Teorem Sis untuk Pemgin Bentuk Liner Teorem Sis : 1.Jik sutu

Lebih terperinci

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.

Lebih terperinci

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.

Lebih terperinci

Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )

Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z ) Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1992

Matematika EBTANAS Tahun 1992 Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu

Lebih terperinci

MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks

Lebih terperinci

dinamakan bentuk aljabar

dinamakan bentuk aljabar o o o o o o o o Kompetensi Dsr:.1 Mengenli entuk ljr dn unsur-unsurny Amti gmr di smping! Dptkh And menyeutkn nyk dn jenis msing-msing gmr? Dengn menyeutkn nyk dn jenisny, And telh mengenl entuk ljr. A.

Lebih terperinci

Universitas Esa Unggul

Universitas Esa Unggul ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin

Lebih terperinci

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks). Prol dlh tempt kedudukn titik-titik ng jrkn ke stu titik tertentu sm dengn jrkn ke seuh gris tertentu (direktriks). Persmn Prol 1. Persmn Prol dengn Punck O(,) Perhtikn gmr erikut ini! PARABOLA g A P(,

Lebih terperinci

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah PERSAMAAN LINIER ). Persmn Linier Stu Vriel Bentuk umum : x, imn n konstnt Penyelesin : x Contoh : ). 5x x x 5 8 ). x 8 x x 8 ). Persmn Linier Vriel Bentuk umum : ). Persmn Linier Tig Vriel Bentuk umum

Lebih terperinci

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?

Lebih terperinci

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS // DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.

Lebih terperinci

BAB VI RELASI DAN FUNGSI

BAB VI RELASI DAN FUNGSI BB VI ELSI DN FUNGSI 6.. Pendhulun Mteri pd ini teri menjdi du in yitu relsi dn unsi. Topik tentn relsi dihs pd Minu ke- meliputi penertin relsi jenis-jenis relsi dn relsi ekuivlensi yn memunulkn prtisi

Lebih terperinci

HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1

HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1 HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d

Lebih terperinci

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &

,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, & PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Minggi, M.Si J fruddin,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si Shln Sidjr,

Lebih terperinci