FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FUNGSI SMTS 1101 / 3SKS"

Transkripsi

1 FUNGSI SMTS 0 / SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dr. Noerynti, M.Si 6

2 DFTR ISI Cover pokok hsn... 6 Dftr isi... 6 Judul Pokok hsn Pengntr Kompetensi Urin Mteri Definisi Fungsi Fungsi Stun dn Fungsi konstn Kesmn Fungsi Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif Penjumlhn Fungsi Pergndn Fungsi... 7 Ringksn Sol dn Penyelesin... 8 Sol-sol Ltihn

3 Dr. Noerynti, M.Si F U N G S I 6.. Pengntr. Mteri pokok ini merupkn ksus khusus dri sutu Relsi. Topik yng dierikn merupkn konsep dsr yng memerikn gmrn mengeni sutu fungsi, fungsi invers, fungsi ijektif, penjumlhn fungsi dn pergndn fungsi. 6.. Kompetensi: Setelh mempeljri mteri pokok hsn ini, mhsisw dihrpkn:. Mmpu menggunkn konsep-konsep dsr sutu fungsi ser enr.. Mmpu melkukn hitungn-hitungn dlm opersi-opersi penjumlhn dn pergndn sutu fungsi.. Termpil dlm mengerjkn sol-sol kuis / ltihn. 6.. Urin Mteri nyk pendektn yng ditempuh untuk mendefinisikn sutu fungsi. Dlm pokok hsn disini, sutu fungsi kn didefinisikn lngsung erdsrkn du himpunn dn, dn jug didefinisikn erdsrkn pergndn krtesius. Dlm hl ini sutu fungsi merupkn kedn khusus dri sutu relsi. Mislkn setip unsur sutu himpunn dikitkn dengn tept stu unsur dri himpunn, r pengkitn seperti ini diseut fungsi tu pemetn dri ke dinytkn segi: f : tu f 6... Definisi Fungsi: Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: 64

4 f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) = Unsur tunggl di yng dikitkn dengn oleh f dieri notsi f() diseut pet dri oleh f. Himpunn ini diseut domin f dn diseut kodomin dri f. Derh hsil dri fungsi f dieri notsi f[] yitu himpunn petpet, dinytkn segi f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngn-yngn (imge) dri unsur-unsur. Contoh (6.): Mislkn f mengkitkn setip ilngn rel dengn kudrtny. Sehingg, pil x ilngn riil, mk f(x) = x. Misl: x f(x) = x Pet dri dlh 9, dn ditulis f(-) = 9 tu f : - 9 Contoh (6.): Mislkn = {,,, d} dn = {,, }. Cr mengkitkn,, dn d merupkn fungsi dri ke. Disini f() =, f() =, f() = dn f(d) =. Derh hsil f dlh {, }, dn ditulis f[] = {, } d Contoh (6.): Mislkn R himpunn ilngn riil, dn f : R R mengitkn setip ilngn rsionl dengn dn setip ilngn tidk rsionl dengn. Jdi 65

5 Dr. Noerynti, M.Si f(x) =, jik xrsionl,jikxtidk rsionl ; f erkisr ntr dn : f[r] = {, -}. Contoh (6.4): Mislkn = {,,, d} dn = {x, y, z}. Fungsi f : didefinisikn dengn digrm erikut. Tmpk hw: x f() = y, f() = x, f() = z dn f(d) = y. Selin itu f[] =, yng errti y derh hsil dn ko-dominny z identik ( sm ). d Contoh (6.5): Mislkn dn didefinisikn dengn digrm erikut : f[] = {f( ), f( ), f( ), f( 4 )} = {,,, } = {,, } 4 4 Cttn: Contoh-ontoh dits, memperlihtkn hw setip unsur pd domin dri f (yitu ) mempunyi kwn tunggl di, tetpi tidk selikny Fungsi Stun dn Fungsi Konstn mil semrng himpunn. 66

6 Dientuk fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, mk f diseut fungsi stun pd, ditulis tu. Jug diktkn segi sutu fungsi terhdp diriny sendiri. Contoh (6.6): = {,, } = { f() = / } Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. Dengn kt lin, f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. Contoh (6.7): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f ukn sutu fungsi konstn, se ko-domin dri f terdiri dri dn Contoh (6.8): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f dlh fungsi konstn, kren ditetpkn untuk setip elemen. 67

7 Dr. Noerynti, M.Si 6... Kesmn Du Fungsi Mislkn du fungsi f dn g didefinisikn pd domin D yng sm yitu f : dn g: C. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g, didefinisikn segi : f = g jik dn hny jik( ) f()=g() Selikny : f g jik dn hny jik ( ) f() g() Contoh (6.9): Jik fungsi f didefinisikn oleh rumus f(x)=x, dimn x dlh ilngn riil dn g didefinisikn oleh rumus g(x) = x, dimn x dlh ilngn kompleks, mk fungsi f tidklh sm dengn g kren merek memiliki domin yng ered. Domin dri f : himpunn semu ilngn riel. x f(x)=x x gx)=x Domin dri g: himpunn semu ilngn kompleks jdi f g, kren Dominny ered Contoh (6.0): 4 Sutu fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri. Mislkn seuh fungsi g didefinisikn oleh rumus g(x) = x dimn domin g dlh {, }. Mk f = g, se keduny memiliki domin yng sm dn untuk f dn g menetpkn yngn yng sm untuk tip-tip elemen dlm dominny 68

8 6..4. Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Mk f diseut fungsi injektif (stu-stu) jik setip unsur-unsur dlm ditetpkn dengn tunggl unsur-unsur dlm, rtiny tk d du uh elemen dlm yng mempunyi yngn yng sm. Ditulis: f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f ukn fungsi stu-stu kren f() = f(-) = 4, yitu yngn dri du ilngn riil yng ered ykni dn, dlh ilngn yng sm, yitu 4. Keterngn: x f(x)=x - f()= f(-)=4 f ukn fungsi injektif Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f dlh fungsi stu-stu kren pngkt tig dri du ilngn riil yng ered jug ered. Keterngn: f()=8 x f(x)=x - f(-)=-8 f merupkn fungsi injektif 69

9 Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ke. Mk f() dri f dlh suset (himpunn gin) dri, tu f(). Jik f() =, rtiny jik setip unsur munul segi yngn dri sekurngkurngny stu unsur dlm, mk diktkn f sutu fungsi surjektif dri ke. Fungsi f ini jug diseut fungsi pd (onto funtion). f : diseut surjektif jik f() = Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x (liht ontoh 6.). Mk f ukn sutu fungsi surjektif, kren ilngn-ilngn negtif tk munul dlm dri f, yitu tidk d ilngn negtif yng merupkn kudrt seuh ilngn riil Keterngn: Mislny f : f[] = {x/ x 0} f[] jdi fungsi f tidk surjektif Contoh (6.4): Mislkn f : dlh sutu fungsi dri = {,,, d} ke {,, } d. f() = ; f() = ; dn f(d) =. diperoleh f() = {, }. Kren = {,, }, mk jngkun dri f tidk sm dengn koodominny, jdi f tidk surjektif 70

10 Contoh (6.5): Mislkn dlh himpunn ilngn riel dn himpunn ilngn riel non negtif. Dientuk perkwnn f dri ke didefinisikn segi f(x) = (x ) x f(x) = (x ) Keterngn: f : 0-9 ½ 0-5 -½ 4 dn liny f merupkn fungsi surjektif Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. Contoh (6.6): Mislkn S dlh himpunn ilngn-ilngn positif dn T dlh himpunn ilngn-ilngn riel. Dientuk perkwnn : f = S T dengn rumus ukti : f s = log s. kn ditunjukkn hw f ijektif. S = { x / x 0 } dn T = { x / x = ilngn riil } S T f f : S T log 0 = 0 0 log 0 = 00 log 00 =.... dst dst f ersift injektif jug surjektif. mk f dlh ijektif 7

11 Dr. Noerynti, M.Si Penjulhn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi : (f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. Contoh (6.7): Jik fungsi f :, dengn rumusn f(x) = x + dn g :, dengn rumusn g(x) = x Mk : (f + g) x = f(x) + g(x) = x + + x = x + x Pergndn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f tu g f sj, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. 7

12 Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. f g C go f Contoh (6.8) : () Mislny f : dn g : C yng didefinisikn seperti digrm di wh ini C f g x r y z s t Mk: (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (g o f) () = g (f()) = g (z) = r (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (). Dimil, dn C himpunn-himpunn ilngn riil. Jik fungsi f dn g didefinisikn segi f(x) = x dn g(x) = x + Mk : (g o f) x = g (f(x)) = g (x ) = x + (f o g) x = f (g(x)) = f (x + ) = (x + ) = x + 6x + 9 Jdi g o f f o g isny pergndn fungsi tidk ersift komultif, tetpi ersift ssositif. Seperti diilustrsikn erikut ini : mil semrng fungsi-fungsi f : ; g : C dn h : C D 7

13 Dr. Noerynti, M.Si Dientuk pergndn fungsi-fungsi s: () f g C h D g o f h o (g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() () f g C h D (h o g) o f h o g h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () Hsil dri () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung) Fungsi Invers Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. 74

14 Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = } Perhtikn hw f ( ) dlh seuh himpunn gin dri, dn f di segi f invers tu invers dri fungsi f. Contoh (6.9): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut ini: f x y z Mk f ( x) = {, }, kren ik mupun keduny memiliki x segi titik yngn merek. Jug f ( y) = {}, kren hny yng dipetkn kepd y. Invers dri z, f ( z) dlh himpunn kosong,, kren tidk d elemen dlm yng dipetkn ke z. Contoh (6.0): Mislkn f : R # R #, dri ilngn-ilngn riel yng didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f (4) = {, -}, kren 4 dlh yngn dri mupun dn tidk d ilngn riel lin yng kudrtny dlh 4. Perhtikn hw f ( ) =, kren tk d unsur dlm R # yng kudrtny dlh. Contoh (6.): 75

15 Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ilngn-ilngn kompleks ke dlm ilngn-ilngn kompleks, dimn f didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f ( ) = {. i.i}, kren kudrt dri tip-tip ilngn ini dlh. Perlusn definisi invers dri fungsi. Mislkn f : dn mislkn D sutu himpunn gin dri, yitu D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemen-elemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D} Contoh (6.): Mislkn fungsi f = didefinisikn oleh digrm x r y s z t Mk f ({r, s}) = {y}, kren hny y yng dipetkn kepd r tu s. Jug f ({r, t}) = {x, y, z} =, kren tip-tip elemen dlm memiliki r tu t segi inversny. Contoh (6.): Mislkn f = R # R # didefinisikn oleh f(x) = x, dn D = [4, 9] = {x 4 x 9} Mk f (D) = { x - x - tu x } 76

16 Contoh (6.4): Mislkn f : dlh serng fungsi. Mk f () =, kren setip elemen dlm memiliki yngnny dlm. Jik f () menytkn jngkun dri fungsi f, mk f (f()) = Selnjutny, jik, mk f ()= f ({}). Disini f mempunyi du rti, yitu segi invers dri seuh elemen dn segi invers dri himpunn gin. Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Pd umumny, f () dpt terdiri dri leih dri stu elemen tu mungkin himpunn kosong, Jik f : dlh sutu fungsi injektif dn fungsi surjektif,mk untuk tip-tip, invers f () kn terdiri dri seuh elemen tunggl dlm. Dengn demikin, sutu turn yng menetpkn untuk tip-tip, sehingg elemen tunggl f (). Oleh se itu f dlh sutu fungsi dri ke dn ditulis segi: f : fi. Dlm kedn ini, il f : dlh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd), diktkn f fungsi ijektif dn mempunyi invers, mk invers dri f. f diseut fungsi Contoh (6.5): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut: f x y z 77

17 Dr. Noerynti, M.Si Perhtikn hw f dlh fungsi stu-stu dn pd. Sehingg f merupkn fungsi invers dri f, dn dpt digmrkn f : dengn digrm. f - x y z Perhtikn hw jik dirhkn nk pnh dlm rh yng terlik dri digrm f mk diperoleh digrm dri f. Contoh (6.6): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm f x y z Kren f() = y dn f() = y, mk fungsi f tidk stu-stu. Dengn demikin fungsi invers f tidk d. Jik f (y) = {, }, mk tidk dpt menetpkn dn kedu-duny untuk elemen y. Contoh (6.7): Mislkn f : R # R #, ilngn-ilngn riil yng didefinisikn oleh f(x) = x. Perhtikn hw f dlh stu-stu dn pd. Oleh kren itu f = R # R # 78

18 d. Pd kenytnny dipunyi sutu entuk yng dpt mendefinisikn fungsi invers ini, yitu f () x = x Mislkn sutu fungsi f : mempunyi fungsi invers f =. Mk dpt diliht dri digrm erikut : f f f o f hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi ( ke dlm, dn tmpk dri digrm erikut : f o f ) yng memetkn f -- f f o f - ke dlm. hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi (f o f ) yng memetkn Mislkn sutu fungsi f : dlh stu-stu dn pd yng errti fungsi invers f : d. Mk hsilkli fungsi ( f o f) : ; dlh fungsi stun pd, dn hsilkli fungsi (f o pd. f ) : ; dlh fungsi stun Jik f : dn g :, mk g dlh fungsi invers dri f yng errti hw g = f. Hsilkli fungsi (g o f) : dlh fungsi stun pd, dn (f o g) : dlh fungsi stun pd. 79

19 Dr. Noerynti, M.Si Contoh (6.8): Mislkn = {x, y} dn = {,, }. Didefinisikn sutu fungsi f : dengn digrm () di wh ini. Sekrng definisikn sutu fungsi g : dengn digrm () di ts. x y () () x y Dihitung fungsi (go f) : (g o f) (x) = g (f(x)) = g () = x (g o f) (y) = g (f(y)) = g () = y Dengn demikin hsilkli fungsi (go f) dlh fungsi stun pd. Tetpi g ukn fungsi invers dri f kren hsilkli fungsi (fo g) ukn fungsi stun pd, jdi f ukn fungsi surjektif (pd). Rngkumn.. Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) =. Jik sutu fungsi f : mk setip unsur, f() diseut pet dri. diseut domin f dn diseut ko-domin dri f. f[] dlh derh hsil dri fungsi f yitu himpunn pet-pet, yitu f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngnyngn (imge) dri unsur-unsur. 80

20 . Fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, diseut fungsi stun pd, ditulis tu. mislny: = {,, } = { f() = / } 4. Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. tu f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. 5. Jik du fungsi f dn g didefinisikn segi f : dn g: C. dengn domin D yng sm. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g jik dn hny jik.( ) f()=g(). Selikny f g jik dn hny jik ( ) f() g() 6. Sutu fungsi f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) 7. Sutu fungsi f : diseut surjektif jik f() = 8. Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. 9. Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi :(f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. 0. Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) 8

21 Dr. Noerynti, M.Si. Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. g C f go f Pergndn fungsi tidk ersift komultif yitu f og g o f Pergndn fungsi ersift sositif Mislny fungsi f : ; g : C dn h : C D f g C h D g o f h o(g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() f g C h D (h og) of h o g 8

22 h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung). Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = }. Perlusn invers dri fungsi. Misl dikethui f : dn D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemenelemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D}. Sol-sol dn Penyelesin. Nytkn pkh tip-tip digrm erikut ini mendefinisikn sutu fungsi dri = {,, } ke dlm = {x, y, z} tu tidk. x x x y y y z z z () () () () Tidk. Tidk d yng ditetpkn untuk elemen. () Tidk. Du elemen x dn z, ditetpkn untuk elemen. Dlm sutu fungsi hnylh stu elemen yng ditetpkn gi elemen dlm domin. 8

23 Dr. Noerynti, M.Si () Y. dlh mungkin dlm fungsi dimn elemen yng sm dlm kodomin ditetpkn gi leih dri stu elemen dlm domin.. Pergunkn sutu rumus untuk mendefinisikn kemli fungsi-fungsi erikut ini : () Untuk setip ilngn riil, f menetpkn pngkt tigny. () Untuk tip-tip ilngn riil, f menetpkn ilngn 5. () Untuk tip-tip ilngn positif, f menetpkn kudrtny dn untuk ilngn-ilngn riil linny, f menetpkn ilngn 4. () Fungsi f dlh pemetn dri R # ke dlm R # dpt didefinisikn oleh f(x) = x () Kren f menetpkn 5 untuk setip ilngn kit dpt mendefinisikn f dengn f( )= 5. () Kren d du turn yng ered yng digunkn dlm mendefinisikn f, mk kit mendefinisikn f segi erikut : > x jik; x 0 f (x) = 4 jik; x 0. Yng mn dri pernytn-pernytn erikut ini ered dri yng linny dn mengp? () f sutu fungsi dri ke dlm (4). f () f : (5). f pemetn dri ke dlm. () f : x f(x) ered dri yng linny. Kren tidk dikethui domin dn ko-dominny dlm (), mengingt untuk yng linny dikethui hw dlh domin dn ko-domin. 84

24 4. Mislkn f(x) = x mendefisikn sutu fungsi pd selng tertutup x 8. Crilh (). f(4); (). f(-); (). f(t ). () f(4) = 4 = 6 () f(-) tidk mempunyi rti, yng errti tk terdefinisikn kren tidk erd dlm domin dri fungsi. () f(t -) = (t - ) = t - 6t + 9. Tetpi rumus ini hnylh enr jik t erd dlm dominny, yitu t 8. Dengn kt lin, t hrus memenuhi t. 5. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh : jik x rsionl f(x) = jik x irsionl () Nytkn f dlm kt-kt. () Crilh ( ) f, f( π ), f(....), dn f( ). () Fungsi f menetpkn ilngn untuk tip-tip ilngn rsionl dn ilngn untuk tip-tipilngn irsionl. () Kren dlh ilngn rsionl mk ( ) =. f Kren π dlh ilngn irsionl mk f( π ) =. Kren, dlh desiml erulng yng menytkn sutu ilngn rsionl mk f(,..) =. Kren dlh irsionl mk f( ) =. 6. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh x jik x > f(x) = x jik x x + jik x < Crilh : () f(), () f(4), () f(-), (d) f(-) 85

25 Dr. Noerynti, M.Si () Kren erd dlm selng tertutup [-, ], mk digunkn rumus f(x) = x -. Oleh kren itu f() = = 4 =. () Kren 4 termsuk selng (, ) mk dipergunkn rumus f(x) = x -. Jdi f(4) = (4) = =. () Kren erd dlm selng [-, ], mk kit pergunkn rumus f(x) = x -. Diperoleh f(-) = (-) - = =. (d) Kren leih keil dripd, yng errti termsuk selng teruk (-, -) mk digunkn rumus f(x) = x+. Jdi f(-) = -6 +=-. Perhtikn hw hny terdpt stu fungsi yng didefinisikn meskipun d tig rumus yng digunkn untuk mendefinisikn f. 7. Mislkn = {,, } dn = {, 0}. erp nyk fungsi-fungsi yng ered yng dpt dientuk dri ke, dn p sj? ut dftr semu fungsi dri ke dengn digrm-digrm. Dlm tip-tip fungsi ditetpkn tu 0, tetpi tidk kedu-keduny, untuk tip-tip elemen dlm. f f f f f 0 86 f 7 0

26 f 4 0 f 8 0 Perhtikn hw d terdpt delpn uh fungsi. 8. Mislkn = {,,, 4, 5}. Definisikn fungsi f : dengn digrm Tentukn jngkun dri fungsi f? Jngkun (rnge) terdiri dri semu titik yngn. Oleh kren itu hny ilngn-ilngn, dn 5 yng munul segi titik-titik yngn, mk jngkun dri f[]dlh himpunn {,, 5}. 9. Mislkn W = {,,, d}. Dientuk fungsi f dri W ke W didefinisikn segi f() =, f() =, f() =, f(d) =. Crilh jngkun dri fungsi f : W W Jngkun dri f terdiri dri elemen-elemen yng munul segi titik-titik yngn. Sehingg dn yng munul segi titik-titik yngn dri elemen-elemen W. Oleh se itu, jngkun dri f dlh {, }. 0. Mislkn V = {-, -, 0,, }. Dientuk fungsi g : V R # didefinisikn oleh rumus: g(x) = x + Crilh jngkun dri g. 87

27 Dr. Noerynti, M.Si Dihitung yngn dri tip-tip elemen dlm V, yitu: g(-) = (-) + = 4 + = 5 g() = () + = + = g(-) = (-) + = + = g() = () + = 4 + = 5 g(0) = (0) + = 0 + = Jdi jngkun dri g dlh himpunn dri titik-titik yngn {5,,,, 5} = himpunn {5,,}. Tip-tip rumus erikut mendefinisikn sutu fungsi dri R # ke R #. Crilh jngkun dri tip-tip fungsi. (). f(x) = x (). g(x) = sin x, (). h(x) = x + () Setip ilngn riil memiliki sutu kr pngkt tig yng riil ; oleh kren itu ( ) ( ) f = = Jdi, jngkun dri f dlh himpunn dri semu ilngn-ilngn riil. () Sinus dri serng ilngn riil terletk dlm selng tertutup [-, ]. Dn, semu ilngn-ilngn dlm selng ini dlh sinus dri serng ilngn riil. Mk jngkun dri g dlh selng [-, ]. () Jik ditmhkn pd tip-tip ilngn riil, kit peroleh himpunn ilngn-ilngn yng leih esr dripd tu sm dengn. Dengn perktn lin, jngkun dri h dlh selng tk erhingg [, ].. Mislkn fungsi-fungsi f, f, f, f 4 dri R # kedlm R # didefinmisikn oleh. () f(x) = x (). f(z) = z () f(y) = y (d). f 4 menetpkn kudrt tip-tip ilngn riil. Tentukn fungsi-fungsi yng sm. Merek semuny sm. Tip-tip fungsi menetpkn ilngn yng sm untuk setip ilngn riil. 88

28 . Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h didefinisikn oleh : () () () f(x) = x dimn 0 x g(y) = y dimn y 8 h(z) = z dimn z ε R # Tentukn yng mn dri fungsi-fungsi ini yng sm? Tk d stu fungsipun yng sm. Meskipun turn-turn korespondensi sm, derh definisiny ered. Jdi fungsi-fungsiny ered. 4. Mislkn = {x,y} dn = {,,, d}. Fungsi terliht seperti pd digrm erikut pkh ersift injektif tukh surjektif? x y d f merupkn fungsi injektif (stu-stu) 5. Mislkn = {,,, d, e}, dn himpunn dri huruf-huruf dlm jd. Dientuk fungsi-fungsi f, g dn h dri ke didefinisikn oleh : () f() = r, f() =, f() = s, f(d) = r, f(e) = e () g() =, g() =, g() = e, g(d) = r, g(e) = s () h() = z, h() = y, h() = x, h(d) = y, h(e) = z Nytkn pkh tip-tip fungsi ini injektif (stu-stu) tu tidk. Perhtikn hw gr sutu fungsi dlh stu-stu, i hrus menetpkn yngn-yngn yng ered untuk elemen-elemen yng ered dlm domin. 89

29 Dr. Noerynti, M.Si () f uklh fungsi stu-stu kren f menetpkn r untuk dn d, keduduny, yitu f()=f(d) = r. () g dlh fungsi stu-stu. () h uknlh fungsi stu-stu kren h() = h(e). 6. Nytknlh pkh tip-tip fungsi erikut stu-stu tu tidk. () Untuk tip-tip penduduk umi, tetpkn ilngn yng erkitn dengn usiny. () Untuk tip-tip negr di duni, tetpkn jumlh penduduk negr-negr itu. () Untuk tip-tip uku yng ditulis oleh seorng pengrng, tetpkn pengrngny. (4) Untuk tip-tip negr di duni yng mempunyi perdn menteri, tetpkn perdn menteriny. () nyk orng di duni yng mempunyi usi sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. () Meskipun du uh negr mungkin mempunyi jumlh penduduk yng sm, sttistik memperlihtkn hw dews ini tidklh demikin; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. () dlh mungkin untuk du uh uku yng ered mempunyi pengrng yng sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. (4) Tidk d du negr yng ered di duni ini mempunyi perdn menteri yng sm; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. 7. Mislkn = [-, ] = {x - x }, = [, ] dn C = [-, -]. Mislkn fungsi-fungsi f : R #, f : R # dn f : C R # didefinisikn oleh turn : Untuk tip-tip ilngn, tetpkn kudrtny. Yng mn dri fungsi-fungsi ini stu-stu? 90

30 Fungsi f : R # tidklh stu-stu kren f ( ) f( ) =, yitu kren du ilngn yng ered dlm derh definisi ditetpkn yngn yng sm. Fungsi f : R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn positif yng ered dlh ered. Jug, f : C R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn negtif yng ered dlh ered. Perhtikn, sekli lgi, hw sutu rumus sendiri tidklh mendefinisikn sutu fungsi. Kenytnny, hw rumus yng sm memerikn fungsifungsi yng ered yng memiliki sift-sift yng sm. 8. Crilh selng teresr D dimn rumus f(x) = x mendefinisikn sutu fungsi stu-stu. Selm selng D memut ilngn-ilngn positif tu negtif, tetpi tidk kedu-duny mk fungsiny dlh stu-stu. Jdi D dptlh erup selng-selng teruk [0, ] tu (-, 0]. d terdpt selng-selng tk terhingg linny dimn f dlh stu-stu, tetpi merek kn erup suhimpunn-suhimpunn dri slh stu dri kedu ini. 9. Dlm sol 7 didftr semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke = {,0}. Yng mnkh dri fungsi-fungsi ini dlh stu-stu? Tk stupun dri fungsi-fungsi itu stu-stu. Dlm tip-tip fungsi, sekurngkurngny du elemen mempunyi yngn yng sm. 0. Mislkn f :. Crilh f(), yitu jngkun dri f, jik f dlh fungsi pd 9

31 Dr. Noerynti, M.Si Jik f dlh fungsi pd mk setip elemen dlm psngn domin (kodomin) f dlh dlm jngkun, oleh kren itu f() =.. pkh fungsi f : dlm Sol 8 surjektif (pd)? ilngn-ilngn dn 4 dlm ko-domin uknlh yngn-yngn dri serng elemen dlm domin; oleh kren itu f tidklh fungsi pd. Dengn kt lin, f() = {,, 5} dlh seuh suhimpunn sejti dri.. milkn = [-, ]. Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h dri ke dlm didefinisikn oleh : () f(x) = x, (). g(x) = x, () h(x) = sinx Fungsi yng mn, dlh pd? () Tk d ilngn-ilngn negtif yng munul dlm derh nili f; oleh kren itu f uknlh fungsi pd. () Fungsi g dlh pd, yitu g() =. () Fungsi h uknlh pd. Kren tidk d ilngn x dlm sehingg sinx=.. Dptkh fungsi konstn menjdi sutu fungsi surjektif (pd)? Jik ko-domin dri fungsi f terdiri dri elemen tunggl, mk f sellu sutu fungsi konsn dn dlh pd. 4. Pd himpunn-himpunn yng mn, fungsi stun : kn surjektif (pd)? Fungsi stun sellu pd; oleh kren itu dpt erup himpunn p pun. 9

32 5. Dlm sol 7 didftrkn semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke dlm = {, 0}. Yng mn dri fungsi-fungsi ini dlh fungsi pd? Semu fungsi-fungsi itu dlh pd keuli f dn f 8 6. Mislkn fungsi-fungsi f : dn g : C didefiniskn oleh digrm f x g C r y s z t () Crilh hsilkli fungsi (g o f) : C () Crilh jngkun dri f, g dn g o f. () Digunkn definisi hsilkli fungsi dn menghitung : (g o f)() g(f()) = g(y) = t (g o f)() g(f()) = g(x) = s (g o f)() g(f()) = g(y) = t Perhtikn hw didptkn jwn yng sm jik kit mengikuti tnd pnh : y t x s y t () Menurut digrm, jngkun dri f dlh {x, y}, dn jngkun dri g dlh {r, s, t}. Menurut (), jngkun dri g o f dlh {s, t}. Perhtikn hw jngkun dri g dn g o f ered. 7. Mislkn = {,,, 4, 5} dn fungsi-fungsi f : didefinisikn oleh : f() =, f() = 5, f() =, f(4) =, f(5) = 5 g() = 4, g() =, g() =, g(4) =, g(5) = 9

33 Dr. Noerynti, M.Si Crilh fungsi-fungsi komposisi f o g dn g o f. Dengn menggunkn definisi hsilkli fungsi dn dihitung : (f o g)() f(g()) = f(4) = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)(4) f(g(4)) = f() = 5 Jug, (f o g)(5) f(g(5)) = f() = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)() g(f()) = g(5) = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)(4) g(f(4)) = g() = 4 (g o f)(5) g(f(5)) = g() = Perhtikn hw fungsi-fungsi fo g dn go f tidk sm. 8. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x +, g(x) = x - Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn hsilkli fungsi go f dn fog. Pertm dihitung go f : R # R #. Pd dsrny disustitusikn rumus untuk f di dlm rumus g. Digunkn definisi hsilkli fungsi segi erikut : (g o f)(x) g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = 4x + 4x - Mungkin jik fungsi-fungsi didefinisikn segi y = f(z) = x +, z = g(y) = y - Kemudin y dieliminsikn dri kedu rumus : z = y = (x ) = 4x + 4x - Sekrng menghitung fo g : R # R # : 94

34 (f o g)(x) f(g(x)) = f(x ) = (x ) + = x 9. Mislkn fungsi-fungsi f dn g pd ilngn-ilngn riil R # didefinisikn oleh f(x) = x + x, g(x) = x - 4 () Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn go f dn fog. () Perikslh rumus-rumus itu dengn memperlihtkn (go f)() = g(f()) dn (f o g)() = f(g()). () (go f)(x) g(f(x)) = g(x + x ) = (x + x ) 4 = x + 6x (f o g)(x) f(g(x)) = f(x 4) = (x 4) + (x 4) = 9x 8x + 5 () (go f)() = () + 6() = + = g(f()) = g( + () ) = g(5) = (5) 4 = (f o g)() = 9() 8() + 5 = = 5 f(g()) = f(() 4) = f() = + () = 5 0. uktikn : Jik f : dlh pd dn g : C dlh pd mk fungsi hsilkli (go f) : C dlh pd. Mislkn serng elemen dlm C. Kren g dlh pd, mk terdpt sutu elemen sehingg g() =. Jug, kren f dlh pd mk terdpt sutu elemen sehingg f() =. Sekrng (go f)() g(f()) = g() =. Jdi untuk serng C, terdpt sekurng-kurngny stu elemen sehingg (go f)() =. Dengn demikin go f dlh fungsi surjektif (pd).. uktikn hw jik f :, g : C dn h : C D; mk (h o g) o f = h o (g o f) Kedu fungsi dlh sm jik merek menetpkn yngn yng sm dlm domin, yitu, jik ((ho g)o f)(x) = (h o (g o f))(x) 95

35 Dr. Noerynti, M.Si untuk setip x ε. Dengn menghitung, ((h o g)o f) (x) (h o g)(f(x)) h(g(f(x))) dn (h o(go f))(x) h((g o f)(x)) h(g(f(x))) Oleh kren itu (h o g) o f = h o (g o f). milkn = {,,, 4, 5}. Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm Crilh () f (), () f (), () f (4), (4) f {,}, (5) f {,,4} () f () terdiri dri elemen-elemen yng yngnny dlh. Hny 4 yng mempunyi yngn ; oleh kren itu f () = {4}. () () f f () = kren uknlh yngn dri elemen ppun. (4) = {,,5} kren f() = 4, f() = 4, f(5) = 4 dn kren 4 uknlh yngn elemen yng linny. (4) f {,} terdiri dri elemen-elemen yng yngnny tu ; oleh kren itu f {,} = {, 4}. (5) f {,,4} = {4,,,5} kren tip-tip ilngn ini, dn tidk yng linny, memiliki, tu 4 segi titik yngn. 96

36 . Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x. Crilh : () () f (5), (). 5)] f (-9), (4). f ([-, )], (5). f ([-, 0)] f ([4, () f (5) = {5, -5} kren f(5) = 5 dn f(-5) = 5 dn kren tidk d ilngn lin yng kudrtny dlh 5. () f (5) = kren tidk d ilngn riil yng kudrtny dlh 9, yitu persmn x = -9 tidk mempunyi kr riil. () f ([-,]) = [-, ] kren jik x mk errti x yitu jik x termsuk [-, ] mk f(x) = x jug termsuk [-, ]. (4) f ((-, 0]) = {0} kren 0 = 0 ε (-, 0] dn kren tidk d ilngn linny yng kudrtny termsuk (-, 0] (5) f ([4, 4]) terdiri dri ilngn-ilngn yng kudrtny termsuk [4, 5], yitu ilngn-ilngn x sehingg 4 x 5. Oleh kren itu. f ([4, 5]) = {x x 5 tu 5 x -} 4. Mislkn f :. Crilh f (f()), yitu, rilh invers dri jngkun f. Kren yngn dri setip elemen erd dlm jngkun f, mk f (f()) = untuk semu kedn. 5. Mislkn f :, dn f mempunyi fungsi infers f :. Seutkn du sift dri fungsi f. Fungsi f hruslh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd). 97

37 Dr. Noerynti, M.Si 6. Mislkn W = {,,, 4, 5}, dn fungsi-fungsi f : W W, g : W W dn h : W W didefinisikn oleh digrm-digrm diwh. 4 5 f g h 4 5 Dri fungsi-fungsi di ts mn yng memiliki fungsi invers? gr sutu fungsi memiliki invers, mk fungsi itu hruslh stu-stu dn pd. Hnylh h yng stu-stu dn pd; oleh kren itu hnylh h yng memiliki fungsi invers. 7. mil = [-, ]. Mislkn fungsi f, f, f, dn f 4 dri ke dlm didefinisikn oleh () f (x) = x, () f (x) = x, () f (x) = sin x, (4) 4() sin f x = π x Nytkn pkh tip-tip fungsi ini memiliki invers tu tidk. () f tidklh stu-stu tu pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. () f dlh stu-stu kren jik x y mk 5 5 x y. Jug, f dlh surjektif (pd). Oleh kren itu f memiliki fungsi invers. () f dlh fungsi stu-stu tetpi tidk pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. (4) f 4 memiliki invers kren tidk i dlh stu-stu dn pd. 98

38 8. uktikn : Mislkn f : dn g : C memiliki fungsi-fungsi invers f : dn g : C. Mk fungsi-komposisi g o f : C memiliki fungsi invers f o g : C. Perhtikn hw: ( f o g ) o (g of ) = dn (g o f )o ( f o g ) = Dihitung ( f o g )o (g o f ) = f o ( g o (g o f )) = f o (( g o g) o f) = f o (of ) = f o f = Menggunkn sift hw g o g dlh fungsi stun dn hsilkli, yitu fungsi fungsi stun dn f dlh f. Dengn r yng sm, (g o f ) o ( g o (o f o g ) = g o g ) = g o ( f o ( g = f o g )) = g o (( f o f ) o f) 9. Mislkn f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x -. Dengn mengmil f dlh stu-stu dn pd, sehingg f memiliki fungsi infers f : R # R #. Crilh rumus yng mendefinisikn fungsi invers f. Mislkn y dlh yngn x di wh fungsi f. Mk y=f(x) = x - kitny, x kn merupkn yngn y di wh fungsi invers f, yitu : x = f (y) Dengn memehkn untuk x dlm y dri persmn di ts. x = (y + )/ Mk f (y) = (y + )/ ini dlh rumus yng mendefinisikn fungsi invers. oleh kren itu f (x) = (x + )/ jug mendefinisikn fungsi invers. 99

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.

Lebih terperinci

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu

V B Gambar 3.1 Balok Statis Tertentu hn jr Sttik ulyti, ST, T erteun, I, II III Struktur lk III endhulun lk (e) dlh sutu nggt struktur yng ditujukn untuk eikul en trnsversl sj, sutu lk kn ternlis dengn secr lengkp pil digr gy geser dn digr

Lebih terperinci

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)

Lebih terperinci

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc. PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

Konsep Teori Bahasa dan Otomata

Konsep Teori Bahasa dan Otomata Konsep Teori Bhs dn Otomt Teori hs dn otomt merupkn slh stu mt kulih yng wji di jurusnjurusn teknik informtik mupun ilmu komputer. Teori hs dn otomt merupkn mt kulih yng cenderung ersift teoritis tidk

Lebih terperinci

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.

Lebih terperinci

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS // DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.

Lebih terperinci

Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai

Matematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit

Lebih terperinci

Pertemuan III, IV II. Gaya Luar dan Gaya Dalam

Pertemuan III, IV II. Gaya Luar dan Gaya Dalam hn jr Sttik ulyti, ST, T ertemun III, I II Gy ur dn Gy Dlm II1 endhulun Konstruksi sutu ngunn sellu diciptkn untuk dn hrus dpt menhn ergi mcm mutn utn yng dimksud dlh mutn yng terseut dlm erturn utn Indonesi

Lebih terperinci

IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB

IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Respons Respons IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Rncngn Ack Lengkp Pol Fktoril AxB dlh rncngn ck lengkp yng terdiri dri d peh es (Fktor dlm klsfiksi silng yit fktor A yng terdiri dri trf dn

Lebih terperinci

Beberapa Aplikasi Graf

Beberapa Aplikasi Graf B 6 Grf 139 Beerp Apliksi Grf. Lintsn Terpenek (Shortest Pth) grf eroot (weighte grph), lintsn terpenek: lintsn yng memiliki totl oot minimum. Contoh pliksi: 1. Menentukn jrk terpenek/wktu tempuh tersingkt/ongkos

Lebih terperinci

Bab. 2.1. Beton. Beton terdiri dari campuran. ratorium. kan. Apa bila (L)yang

Bab. 2.1. Beton. Beton terdiri dari campuran. ratorium. kan. Apa bila (L)yang B 2. Dsr Teori Toni Tnuwiy/ 15002030 2.1. Beton Beton terdiri dri mpurn semen, ir, gregt, dn hn tmhn linny. Cmpurn semen dengn ir menghsilkn pst yng setelh mengers memiliki kekutn seperti tu, pst inilh

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Palembang, 5 September 2011 Penulis, Sudiadi

KATA PENGANTAR. Palembang, 5 September 2011 Penulis, Sudiadi KATA PENGANTAR Pertm-tm penulis mengucpkn puji dn syukur kehdirt Tuhn Yng Mh Kus ts segl limphn rhmt Ny, hingg Diktt Mtemtik Dsr ini dpt diselesikn. Mudh-mudhn diktt ini dpt membntu mhsisw STMIK Globl

Lebih terperinci

KOMPONEN SIMETRI. Electric Power Systems L4 - Olof Samuelsson

KOMPONEN SIMETRI. Electric Power Systems L4 - Olof Samuelsson KOMPONEN SMETR Smuelsson Pengertin Dsr Komponen Simetri Tig phsor tk seimbng dri sistem tig phs dpt diurikn menjdi tig phsor yng seimbng (Fortescue) komponen urutn positif (positive components) yng terdiri

Lebih terperinci

Yijk = µ + Ai + Bj(i) + є ijk

Yijk = µ + Ai + Bj(i) + є ijk XI. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA TERSARANG Rncngn Ack Lengkp Pol Tersrng dlh rncngn percon dengn mteri homogen t tnp peh penggngg, terdiri dri d peh es t fktor dlm klsfiksi tersrng yit Fktor A terdiri dri

Lebih terperinci

Soal Latihan dan Pembahasan Dimensi Tiga

Soal Latihan dan Pembahasan Dimensi Tiga Sol Ltihn dn embhsn imensi ig i susun Oleh : Yuyun Somntri http://bimbingnbeljr.net/ i dukung oleh : ortl eduksi rtis Indonesi Open Knowledge nd duction http://oke.or.id utoril ini diperbolehkn untuk di

Lebih terperinci

BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.

BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA. Stndr Koetensi Menggunkn oersi dn sift sert niulsi ljbr dl eechn slh yng berkitn dengn bentuk ngkt, kr dn rit, ersn kudrt dn fungsi kudrt, syste ersn linier kudrt, ertidksn stu vrible, ik tetik. BENTUK

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Kompetensi: mengpliksikn konsep persmn dn pertidksmn. Sub Kompetensi: menentukn himpunn penyelesin persmn dn pertidksmn liner, menerpkn persmn dn pertidksmn kudrt, menyelesikn

Lebih terperinci

II. Potensial listrik

II. Potensial listrik II. Potensil listik Penjelsn/deskipsi gejl listik: * gy * potensil * medn * enegi Enegi Potensil Listik enegi yng dipelukn untuk memindhkn seuh mutn ( melwn gy listik) q E enegi potensil pestun mutn potensil

Lebih terperinci

Buku Ajar Aljabar Linear

Buku Ajar Aljabar Linear i Aljr Liner Buu Ajr Aljr Liner Oleh Yulint Sironi S.Si PROGRAM PERKULIAHAN DASAR UMUM SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM BANDUNG Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom ii Aljr Liner Kt Pengntr Dengn mengucpn

Lebih terperinci

Spesifikasi pilar dan kepala jembatan beton sederhana bentang 5 m sampai dengan 25 m dengan fondasi tiang pancang

Spesifikasi pilar dan kepala jembatan beton sederhana bentang 5 m sampai dengan 25 m dengan fondasi tiang pancang SNI 5:00 Stndr Nsionl Indonesi Spesifiksi pilr dn kepl jemtn eton sederhn entng 5 m smpi dengn 5 m dengn fondsi ting pncng Copy stndr ini diut oleh BSN untuk Bdn Penelitin dn Pengemngn Deprtemen Pekerjn

Lebih terperinci

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Diktt Aljr Lier Sistem Persm Lier d Mtriks. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.. PENGANTAR DEFINISI. : PERSAMAAN LINEAR Sutu persm lier deg peuh x, x 2,, x dpt diytk dlm etuk : x + 2 x 2 + + x = (.) dim,

Lebih terperinci

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran Mtei Pesn Gis Singgung Lingkn Mellui Titik di Lu Lingkn Oleh: Anng Wibowo, S.Pd Apil MtikZone s Seies Eil : tikzone@gil.co Blog : www.tikzone.wodpess.co HP : 8 87 87 Hk Cipt Dilindungi Undng-undng. Dilng

Lebih terperinci

Matematika X Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

Matematika X Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Mtemtik X Sekolh Menengh Kejurun (SMK) Kelompok Penjuln dn Akuntnsi Untuk kels X To li Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl ii Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik X

Lebih terperinci

DATA FLOW DIAGRAM : sebagai alat bantu desain sistem

DATA FLOW DIAGRAM : sebagai alat bantu desain sistem DATA FLOW DIAGRAM : sebgi lt bntu desin sistem Disusun oleh : Ninuk Budini Bgin Pemelihrn Sistem Apliksi Biro Pengembngn Apliksi Komputer Bdn Pelynn Kemudhn Ekspor dn Pengolhn Dt Keungn Deprtemen Keungn

Lebih terperinci

Definisi dan Asal Mula Psikometri Teori Umum Pengukuran

Definisi dan Asal Mula Psikometri Teori Umum Pengukuran BAB I PENDAHULUAN Definisi dn Asl Mul Psikometri Psikometri tu Psychometric didefinisikn dlm Chmbers Twentieth-Century Dictionry sebgi brnch of psychology deling with mesurble fctors. Untuk menelusuri

Lebih terperinci

ANALISIS PENGARUH STRATEGI BAURAN PEMASARAN TERHADAP MINAT BELI ULANG PRODUK BARU

ANALISIS PENGARUH STRATEGI BAURAN PEMASARAN TERHADAP MINAT BELI ULANG PRODUK BARU ANALISIS PENGARUH STRATEGI BAURAN PEMASARAN TERHADAP MINAT BELI ULANG PRODUK BARU Oleh : Bmng Srjono Sf Pengjr Polieknik Negeri Semrng Jl. Prof. Sudro SH. Temlng. Semrng 50275 Asrk Peneliin ini unuk mengehui

Lebih terperinci

KESEIMBANGAN TITIK SIMPUL / BUHUL

KESEIMBANGAN TITIK SIMPUL / BUHUL KESEIMNGN TITIK SIMPUL / UHUL zukawi@gmail.com 081 2281 7739 MEKNIK TEKNIK atau NLIS STRUKTUR MERUPKN SUTU DISIPLIN ILMU YNG MEMEPELJRI GY GY & PERGESERN PERGESERN YNG TERJDI PD SUTU STRUKTUR KIT EN EN

Lebih terperinci

Penerapan Pohon Untuk Algoritma Pencarian Kata Pada Inverted File Dalam Sistem Temu Balik Informasi

Penerapan Pohon Untuk Algoritma Pencarian Kata Pada Inverted File Dalam Sistem Temu Balik Informasi Penerpn Pohon Untuk Algoritm Penrin Kt P Inverte File Dlm Sistem Temu Blik Informsi Inu Hikm NIM: 13505038 Progrm Stui Informtik, Institut Teknologi Bnung Jl.Gnesh 10, Bnung 40135, emil: if15038@stuents.if.it..i

Lebih terperinci

BAB 7 Struktur Kristal dan Nonkristal

BAB 7 Struktur Kristal dan Nonkristal BAB 7 Struktur Kristl dn Nonkristl Penjelsn ukup detil mengeni struktur ini dpt diliht pd uku Willim G. Mofftt dn pd uku Zigniew D Jstrzeski.[2,5]. Di ini kit kn meliht struktur kristl sets pd entuk-entuk

Lebih terperinci

KOORDINASI RELAY JARAK, RELAY ARUS LEBIH DAN RELAY GANGGUAN TANAH TERHADAP TAHANAN RESISTIF GANGGUAN HUBUNG SINGKAT

KOORDINASI RELAY JARAK, RELAY ARUS LEBIH DAN RELAY GANGGUAN TANAH TERHADAP TAHANAN RESISTIF GANGGUAN HUBUNG SINGKAT KOORDNAS RELAY JARAK, RELAY ARUS LEBH DAN RELAY GANGGUAN TANAH TERHADAP TAHANAN RESSTF GANGGUAN HUBUNG SNGKAT Ari Setyo Nugroho LF 559 Jurusn Teknik Elektro Fkults Teknik Universits Diponegoro Semrng Abstrk

Lebih terperinci

RENCANA STRATEGIS (RENSTRA) TAHUN 2010 2014 PENGADILAN TINGGI PEKANBARU

RENCANA STRATEGIS (RENSTRA) TAHUN 2010 2014 PENGADILAN TINGGI PEKANBARU RENCANA STRATEGIS (RENSTRA) TAHUN 2010 2014 PENGADILAN TINGGI PEKANBARU PENGADILAN TINGGI PEKANBARU Jl. Jenderl Sudirmn No. 315 Peknru Telp/ Fx No. 0761-21523 Emil:dmin@ptpeknru.go.id BAB I PENDAHULUAN

Lebih terperinci

Mberkat kerjasama CPPR MEP UGM dengan

Mberkat kerjasama CPPR MEP UGM dengan KATA PENGANTAR odul Monitoring dn Evlusi Pengdn Brng/Js Pemerinth ini telh erhsil disusun Merkt kerjsm CPPR MEP UGM dengn Kemitrn Jkrt. Modul ini ditujukn untuk memerikn pemhmn wl mengeni konsep monitoring

Lebih terperinci

ABSTRAK ABSTRACT. e-mail: tutik@bio.its.ac.id

ABSTRAK ABSTRACT. e-mail: tutik@bio.its.ac.id 1 Pengruh Konsentrsi Ntrium Benzot dn Medi Simpn terhdp Kulits Biji Eoni (Diospyros celeic Bkh.) Selm Ms Simpn Hryono Siswnto, Tutik Nurhidyti, dn Trimnto 1 Biologi, Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm,

Lebih terperinci

ANALISIS KOMPONEN UTAMA

ANALISIS KOMPONEN UTAMA ANALISIS PEUBAH GANDA ANALISIS KOMPONEN UAMA Hzmir Yozz Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Andls LOGO Anlisis Komponen Utm www.themegllery.com Sutu nlisis sttistik yng bergun untuk mereduksi p peubh menjdi

Lebih terperinci

PEMBUATAN PENYEARAH TERKONTROL PENUH SATU FASA SEBAGAI PENGEMUDI MOTOR DC 3 HP

PEMBUATAN PENYEARAH TERKONTROL PENUH SATU FASA SEBAGAI PENGEMUDI MOTOR DC 3 HP PEMBUATAN PENYEARAH TERKONTROL PENUH SATU FASA SEBAGAI PENGEMUDI MOTOR DC 3 HP Khrl Aji Whyu Hudy (LF3498) Jurusn Teknik Elektro, Fkults Teknik, Universits Diponegoro Abstrk Pengturn keceptn motor DC dlh

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN

FUNGSI DAN GRAFIKNYA KULIAH-4. Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan PERTIDAKSAMAAN KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 FUNGSI DAN GRAFIKNYA PERTIDAKSAMAAN Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan

Lebih terperinci

PERTAMA KALI YANG HARUS KAMU PAHAMI.

PERTAMA KALI YANG HARUS KAMU PAHAMI. PERTM KLI YNG HRUS KMU PHMI. 1. TURN DSR. Robot akan mengikuti garis dan berjalan lurus ketika sensor tengah masih mendeteksi garis. Ketika sensor tengah tidak mendeteksi garis robot akan berusaha bergerak

Lebih terperinci

SIAP UN MATEMATIKA IPS SMA PAHOA 2. EKSPONEN, AKAR, & LOGARITMA 1. LOGIKA MATEMATIKA 3. PERS, PERTIDAKSAMAAN, FUNGSI KUADRAT.

SIAP UN MATEMATIKA IPS SMA PAHOA 2. EKSPONEN, AKAR, & LOGARITMA 1. LOGIKA MATEMATIKA 3. PERS, PERTIDAKSAMAAN, FUNGSI KUADRAT. SIAP UN MATEMATIKA IPS SMA PAHOA N: Kels : IPS diut oleh: Joo Setiw, ST., MT. ( - - 5 ) eurut kisi-kisi UN -. LOGIKA MATEMATIKA Meetuk igkr tu kesetr dri sutu ert jeuk tu ert erkutor. Meetuk kesiul dri

Lebih terperinci

7. Nama Unit Kerja (eselon II/III) :... (sebutkan unit tempat Saudara bekerja sekarang) 8. Alamat Unit Kerja :... ... Kode Pos :...

7. Nama Unit Kerja (eselon II/III) :... (sebutkan unit tempat Saudara bekerja sekarang) 8. Alamat Unit Kerja :... ... Kode Pos :... PUSBINDIKLATREN BAPPENAS FORMULIR CALON PENERIMA BEASISWA PROGRAM PASCASARJANA DAN DOKTOR (ISILAH SEMUA KETERANGAN DENGAN JELAS DAN BENAR. HARUS DI ISI SEMUA DENGAN HURUF BALOK/BESAR) 1. Nm (sesui ijzh

Lebih terperinci

Jurnal Mina Laut Indonesia Vol. 03 No. 12 Sep 2013 (22 35) ISSN : 2303-3959

Jurnal Mina Laut Indonesia Vol. 03 No. 12 Sep 2013 (22 35) ISSN : 2303-3959 Jurnl Min Lut Indonesi Vol. 03 No. 12 Sep 2013 (22 35) ISSN : 2303-3959 Pengruh Jrk Tli Gntung dn Jrk Tnm yng Berbed Terhdp Pertumbuhn Rumput Lut (Kppphycus lvrezii) Strin Hiju Mellui Seleksi Klon Dengn

Lebih terperinci

TAP MPRS No. VIII/MPRS/1965 1

TAP MPRS No. VIII/MPRS/1965 1 K E T E T A P A N MAJELIS PERMUSYAWARATAN RAKYAT SEMENTARA REPUBLIK INDONESIA No. VIII/MPRS/1965 TENTANG PRINSIP-PRINSIP MUSYAWARAH UNTUK MUFAKAT DALAM DEMOKRASI TERPIMPIN SEBAGAI PEDOMAN BAGI LEMBAGA-LEMBAGA

Lebih terperinci

ANALISIS PERENCANAAN SUMBER DAYA MANUSIA PADA DINAS CIPTA KARYA KABUPATEN KARAWANG. Sungkono, Rachmat Hasbullah, Azis Nugraha.

ANALISIS PERENCANAAN SUMBER DAYA MANUSIA PADA DINAS CIPTA KARYA KABUPATEN KARAWANG. Sungkono, Rachmat Hasbullah, Azis Nugraha. ANALISIS PERENCANAAN SUMBER DAYA MANUSIA PADA DINAS CIPTA KARYA KABUPATEN KARAWANG Sungkono, Rchmt Hsbullh, Azis Nugrh Abstrk Perencnn Sumber Dy Mnusi dlh sebgi gmbrn tentng memperkirkn kedn pegwi sesui

Lebih terperinci

Bab. Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bab. Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Bb II Suber: www.jkrt.go.id Betuk Pgkt, Akr, d Logrit Mteri tetg bilg bergkt telh Ad eljri sebeluy di Kels IX. Pd bb ii k dieljri bilg bergkt d dikebgk si deg bilg bergkt bult egtif d ol. Seli itu, k dieljri

Lebih terperinci

UJIAN KUALIFIKASI. Program Doktor Teknik Sipil. Jawaban Soal Ujian Tertulis. Wiryanto Dewobroto NPM : 2003832003

UJIAN KUALIFIKASI. Program Doktor Teknik Sipil. Jawaban Soal Ujian Tertulis. Wiryanto Dewobroto NPM : 2003832003 UJIAN KUAIFIKASI rogrm Doktor Teknik Sipil Jwbn Sol Ujin Tertulis Wirynto Dewobroto NM : ROGRAM ASCASARJANA UNIVERSITAS KATOIK ARAHYANGAN Februri Jwbn Ujin Kuliiksi Tertulis rogrm Doktor Teknik Sipil -

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

PEMETAAN PERMUKAAN BAWAH TANAH DI TAMAN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS NEGERI MALANG DENGAN METODE GEOLISTRIK POTENSIAL DIRI

PEMETAAN PERMUKAAN BAWAH TANAH DI TAMAN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS NEGERI MALANG DENGAN METODE GEOLISTRIK POTENSIAL DIRI PEMETAAN PERMUKAAN BAWAH TANAH DI TAMAN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS NEGERI MALANG DENGAN METODE GEOLISTRIK POTENSIAL DIRI Ferum Mhendr Prnit, Mrkus Dintoro, Burhn Indriwn Universits Negeri Mlng Emil: ferum.mhendr@gmil.com

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan II: Analisis Keseimbangan Statik dan Arti Keseimbangan

CATATAN KULIAH Pertemuan II: Analisis Keseimbangan Statik dan Arti Keseimbangan CATATAN KULIAH ertemun II: Anl Keemngn Sttk n Art Keemngn A. engertn Ekulrum Ekulrum: kumpuln vrle-vrel terplh yng lng erhuungn tu engn lnny lm moel, yng er lm ken (tte) tk keenerungn yng melekt untuk

Lebih terperinci

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. 1 FUNGSI Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita

Lebih terperinci

STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR (SOP) KESEKRETARIATAN

STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR (SOP) KESEKRETARIATAN STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR (SOP) KESEKRETARIATAN No 2 BAGIAN UMUM TATA PERSURATAN A Pengeloln Surt Msuk Mengelompokkn dn Mentt seluruh identits surt ke dlm uku gend surt msuk 5 Pentt 2 Memerikn lemr

Lebih terperinci

PORANAKHIR PROGRAM INSENTIF RISET TERAPAN

PORANAKHIR PROGRAM INSENTIF RISET TERAPAN PORANAKHIR PERAKITAN TEKNOLOGI LADA BERBUAH CEPAT (1 KG/ PHNITH & INPUT RENDAH (25%) (PERAKITAN TEKNOLOGI LADA BERBUAH CEPAT (< 1 THN) DGN PRODUKTIVITAS

Lebih terperinci

b. Remisi bagianak Pidana diberikan kepada Anak Pidana yang telah memenuhi syarat:

b. Remisi bagianak Pidana diberikan kepada Anak Pidana yang telah memenuhi syarat: KMNTRIAN HUKUM DAN HAK ASASI MANUSIA RI DI RKTORAT NDRAL PMASYARAKATAN ln Vetern Nmr 11 krt Nmr Lmpirn Perihl PAS ' PK 'r ' 1' - t% 3 (tig) lembr Pelksnn pemberin Remisi Ank Pidn thun 2013 bgi Ank Pidn.

Lebih terperinci

UN SMA IPA 2010 Matematika

UN SMA IPA 2010 Matematika UN SMA IPA 00 Matematika Kode Soal P0 Doc. Name: UNSMAIPA00MATP0 Doc. Version : 0-0 halaman 0. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (a - ) x + =0 adalah α dan β. Jika a > 0 maka nilai a =. 8 x 0. Diketahui

Lebih terperinci

UMN. Di antara Pusaran Gelombang Korea (Menyimak Fenomena K-Pop di Indonesia) Di antara Pusaran Gelombang Korea (Menyimak K-Pop di Indonesia)

UMN. Di antara Pusaran Gelombang Korea (Menyimak Fenomena K-Pop di Indonesia) Di antara Pusaran Gelombang Korea (Menyimak K-Pop di Indonesia) Di ntr Pusrn Gelombng Kore Di ntr Pusrn Gelombng Kore (Menyimk Fenomen K-Pop di Indonesi) AG. Ek Wents Wurynt Universits Prmdin ek.wents@prmdin.c.id ABSTRACT tion solved in n effort to nd Interntionl PRAWACANA

Lebih terperinci

MENGHITUNG MOMEN GAYA DALAM STATIKA BANGUNAN

MENGHITUNG MOMEN GAYA DALAM STATIKA BANGUNAN MENGHITUNG MOMEN GY DLM STTIK BNGUNN BG- TKB.002.-77 24 JM 5 kn 2 kn 10 kn 4 kn 3 m 5 kn 10 kn 4 kn 2 kn 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m Penyusun : TIM FKULTS TEKNIK UNIVERSITS NEGERI YOGYKRT DIREKTORT PENDIDIKN

Lebih terperinci

BAB I ALJABAR. Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar

BAB I ALJABAR. Kompetensi. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat : Menyelaikan persoalan operasi: perpangkatan, logaritma,dan penarikan akar Mtemtk Terpn I etut Drm Teknk Mesn Polteknk Neger Bl BB I LJBR ompetens Setelh mempeljr mter n mhssw dpt : Menyelkn persoln opers: perpngktn, logrtm,dn penrkn kr DSR-DSR OPERSI BILNGN Hukum-Hukum Opers

Lebih terperinci

ANALISA RANCANG BANGUN MESIN PENGADUK BAHAN BAKU SABUN MANDI CAIR

ANALISA RANCANG BANGUN MESIN PENGADUK BAHAN BAKU SABUN MANDI CAIR Anli Rncng Bngun Mein Pengduk Bhn Bku Sbun Mndi Cir ANALISA RANCANG BANGUN MESIN PENGADUK BAHAN BAKU SABUN MANDI CAIR Nur Hbni Amiludin D3 Teknik Mein, Fkult Teknik, Univerit Negeri Surby Emil : Amiludin01@ymil.com

Lebih terperinci

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI MATERI DAN SOAL MATEMATIKA SMP Mter Dn Sol Mtetk SMP GEOMETRI Geoetr dn MODUL Bnun Run PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : GEOMETRI STANDAR KOMPETENSI LULUSAN. Meh

Lebih terperinci

SURAT PEMBERITAHUAN (SPT) MASA PAJAK PENGHASILAN PASAL 21 DAN/ATAU PASAL 26

SURAT PEMBERITAHUAN (SPT) MASA PAJAK PENGHASILAN PASAL 21 DAN/ATAU PASAL 26 r t p l SURAT PEMBERITAHUAN (SPT) MASA PENGHASILAN PASAL 21 DAN/ATAU PASAL 26 FORMULIR 1721 Formulir ini digunkn untuk mlporkn Pmotongn Pjk Pnghiln Pl 21 dn/tu Pl 26 r b r c o d [mm - yyyy] H.01 - Bclh

Lebih terperinci

SOAL UJIAN NASIONAL. PROGRAM STUDI IPA ( kode P 45 ) TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL UJIAN NASIONAL. PROGRAM STUDI IPA ( kode P 45 ) TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL UJIAN NASIONAL PROGRAM STUDI IPA ( kode P 4 ) TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

PENGALIRAN AIR PADA TANAH KONDISI TIDAK JENUH

PENGALIRAN AIR PADA TANAH KONDISI TIDAK JENUH PENGALIRAN AIR PADA TANAH KONDISI TIDAK JENUH Bmbng Wissono* 1 ABSTRACT T he flow through the porous medi t sturted condition hs been nown nd the flow described by Drchy's flow lw, which sttes tht the

Lebih terperinci

Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang

Bilangan dan bangun Ruang Oleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang Oleh: Risii,S.Pd.I Guru Mtemtik MIN Plembg. ALJABAR A. Pegerti Aljbr Aljbr dlh cbg ilmu mtemtik yg mempeljri mslh bilg d opersi perhitugy. B. Bgi-bgi Aljbr. Bilg Bilg dlh sutu ide. Sifty bstrk. Bilg buk

Lebih terperinci

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c,

BAB VI LIMIT FUNGSI. 6.1 Definisi. A R. Titik c R adalah titik limit dari A, jika untuk setiap persekitaran-δ dari c, BAB VI LIMIT FUNGSI Sesungguhnya yang dimaksud dengan fungsi f mempunyai limit L di c adalah nilai f mendekati L, untuk x mendekati c. Dengan demikian dapat diartikan bahwa f(x) terletak pada sembarang

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

PEMBENTUKAN RADIKAL BEBAS AKIBAT GANGGUAN RITME SIRKADIAN DAN PAPARAN DEBU BATUBARA

PEMBENTUKAN RADIKAL BEBAS AKIBAT GANGGUAN RITME SIRKADIAN DAN PAPARAN DEBU BATUBARA Qomriytus S. dn M. Aris W., Pembentukn Rdikl Bebs PEMBENTUKAN RADIKAL BEBAS AKIBAT GANGGUAN RITME SIRKADIAN DAN PAPARAN DEBU BATUBARA Free Rdicl Formtion Interference from Circdin Rhythm Disorder nd Col

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE

BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE BB 2 FUNGSI MEN RESIDUL LIFE 2. Sifat-Sifat Peluang 2.. Identitas dasar Pertama akan ditunjukkan sebuah hubungan dasar di antara fungsi survival dan momen dari distribusi. Untuk sebuah random variabel

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Konstruksi Rangka Batang

Konstruksi Rangka Batang Konstruksi Rangka atang Salah satu sistem konstruksi ringan yang mempunyai kemampuan esar, yaitu erupa suatu Rangka atang. Rangka atang merupakan suatu konstruksi yang terdiri dari sejumlah atang atang

Lebih terperinci

PENGELOLAAN PROYEK SISTEM INFORMASI PERENCANAAN MANAJEMEN WAKTU PROYEK 10/11/2011

PENGELOLAAN PROYEK SISTEM INFORMASI PERENCANAAN MANAJEMEN WAKTU PROYEK 10/11/2011 0//0 LOGO Hendri Sopryadi, M.T.I PENGELOLN SISTEM INFORMSI PERENCNN MNJEMEN WKTU KELOMPOK PROSES DLM MNJEMEN PENUTUPN 9 IDNG PENGETHUN YNG PERLU DIKUSI MNJER (SUMER: SCHWLE, I.T.PROJECT MNGEMENT, THOMSON

Lebih terperinci

BAB 3 GAMBAR PERSPEKTIF

BAB 3 GAMBAR PERSPEKTIF BB 3 GMBR ERSEKTIF 1 engertian erspektif erspektif, kadang disebut proyeksi sentral adalah cara menggambarkan suatu benda dengan mempergunakan garis-garis yang berpusat pada satu titik. Dengan perspektif

Lebih terperinci

Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4

Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4 1. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4 D. (8-2 ) cm B. (4 - ) cm E. (8-4 ) cm C. (4-2 ) cm Jawaban : E Diketahui segitiga sama kaki = AB = AC Misalkan : AB = AC = a

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

printer dari kemasan dan periksa komponennya Komponen yang disertakan dalam kotak kemasan dapat berbeda, tergantung negara Anda.

printer dari kemasan dan periksa komponennya Komponen yang disertakan dalam kotak kemasan dapat berbeda, tergantung negara Anda. Pnun Cept Muli Di Sini DCP-J140W Blh Prout Sfety Guie (Pnun Keselmtn Prouk) terleih hulu seelum mengtur printer An. Kemuin, lh Pnun Cept ini untuk pengturn n instlsi yng enr. PERINGATAN PERHATIAN PERINGATAN

Lebih terperinci

Penerimaan Peserta Didik Baru Tahun Pelajaran 2013/2014. Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta

Penerimaan Peserta Didik Baru Tahun Pelajaran 2013/2014. Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta m st Ddk Bu Thu lj 3/4 Ds ddk ovs DKI Jkt 3 . ASAS. Objktf;. Tsp; 3. Akutbl; 4. dskmtf; d 5. Kompttf. 3. lks. Uggul (SMANU MHT);. Iklus; 3. sts; 4. Rgul; 5. SM/SMA Rgu 5. ENGERTIAN. Jlu Umum : Utuk smu

Lebih terperinci

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci

Prakiraan Maju Rencana Tahun 2016 Pemerintahan Daerah, dan

Prakiraan Maju Rencana Tahun 2016 Pemerintahan Daerah, dan 52. SKPD : KELURAHAN BUTUH No Urusn/Bidng Urusn Indiktor Rencn Thun 2015 Aloksi kinerj Kinerj Anggrn Thun 2013 Prkirn Mju Rencn Thun 2016 Pemerinthn Derh, dn Kinerj Progrm/ Loksi Trget Cpin Vol Stun Keutuhn

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Bab. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar. A. Kesebangunan Bangun Datar B. Kekongruenan Bangun Datar

Bab. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar. A. Kesebangunan Bangun Datar B. Kekongruenan Bangun Datar ab 1 umber: Image Kesebangunan dan Kekongruenan angun atar i Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang,

Lebih terperinci

Pengintegralan Fungsi Rasional

Pengintegralan Fungsi Rasional Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

Lebih terperinci

ffiffiffi ",ffi - lr. SYawaluddin Lubis' MT 2. Kabid Sumber Daya Mineral Distamben Prov' Maluku

ffiffiffi ,ffi - lr. SYawaluddin Lubis' MT 2. Kabid Sumber Daya Mineral Distamben Prov' Maluku HASIL RUMUSAN PERTEMUAN TEKNIS TNiUruNru KEPALA INSPEKTUR TAMBANG (KAIT) SELURUH INDONESIA pada KEGIATAN peniervreanan MINERAL DAN BATUBARA TAHUN 20{O 1. 2. 3. 4. 5. Telh disepkti revisi perubhn kuliiksi

Lebih terperinci

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah : 1. Terdapat sebuah fungsi H yang memetakan dari himpunan bilangan asli ke bilangan asli lainnya dengan ketentuan sebagai berikut. Misalkan akan dicari nilai fungsi H jika x=38. 38 terdiri dari 3 puluhan

Lebih terperinci

𝑥 Mempunyai Solusi 𝑥 R???

𝑥 Mempunyai Solusi 𝑥 R??? Mempunyai Solusi R??? ( )... ... m n m n m n a b... a b ... > >... ... ( ) ( ) > ( ) ( ). >...... > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) > >

Lebih terperinci

Mempunyai Solusi untuk Setiap x R???

Mempunyai Solusi untuk Setiap x R??? Mempunyai Solusi untuk Setiap R??? a a m m q q b b c c d e e h h j j k k m m q q y y f f n n y y g g p p z z. a a a a a {, } . ( ).......... ( ). ( ). ( ) ( ). ( ) ( )... ( )... ( ) ( ) ( ) a a a a

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK

SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK MEDI PRASETIA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus Unand Limau Manis, Padang 25163 mediprasetia@gmail.com

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci

PENENTUAN JUMLAH PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA INDUSTRI PANGAN (Studi Kasus Pada Industri Roti PT NIC)

PENENTUAN JUMLAH PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA INDUSTRI PANGAN (Studi Kasus Pada Industri Roti PT NIC) PENENTUAN JUMLAH PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA INDUSTRI PANGAN (Stud Ksus Pd Industr Rot PT NIC) Ivelne Anne Mre 1, Erytno 2, Yndr Arkemn 3, Ddn Umr Dhn 4 1 Pengjr

Lebih terperinci

4. Bentuk sederhada dari : 3 2 ... D. E. 5. Bentuk sederhana dari

4. Bentuk sederhada dari : 3 2 ... D. E. 5. Bentuk sederhana dari . Pernyataan yang senilai dengan kalimat Jika Fatah dan Ichwan datang maka semua siswa senang adalah. A. Jika Fatah dan Ichwan tidak datang maka semua siswa tidak senang B. Jika Fatah atau Ichwan tidak

Lebih terperinci

BAB VIII RENCANA ANGGARAN BIAYA

BAB VIII RENCANA ANGGARAN BIAYA VIII 1 VIII RENN NGGRN IY 8.1. TINJUN UMUM Rencana nggaran iaya merupakan perkiraan biaya yang diperlukan dalam suatu pekerjaan konstruksi. Didalam menentukan Rencana nggaran iaya dibutuhkan perhitungan

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR

STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR STANDAR OPERASIONAL PROSEDUR No Pnnun Urin Kitn Wktu Plksn Urut Jw 4 5 6 7 BAGIAN KEUANGAN PERENCANAAN ANGGARAN Mnit Jm Hri Mmut n mnyusun RKAKL n t pnukun klnkpn untuk isrh k 7 Kunn Wsk Biro Prnnn Mhkmh

Lebih terperinci

URAIAN WEWENANG DAN TANGGUNG JAWAB PEJABAT STRUKTURAL STRUKTUR ORGANISASI UPT SIM (CUTS) UNIVERSITAS BINA DARMA

URAIAN WEWENANG DAN TANGGUNG JAWAB PEJABAT STRUKTURAL STRUKTUR ORGANISASI UPT SIM (CUTS) UNIVERSITAS BINA DARMA SEBUTN JBTN : K. UPT-SIM (CUTS) GOLONGNJBTN : JOB IDENTIFICCTION T S N B W H N Pengembangan Sistem TNGGUNG JWB HUBUNGN LINI STRUKTUR ORGNISSI UPT SIM (CUTS) UNIVERSITS BIN DRM REKTOR Wakil Rektor KEPL

Lebih terperinci

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Univesitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Kompute Teknik Infomatika Integal Gais Integal Gais Definisi Integal gais Integal gais di bidang Misalkan pesamaan paamete kuva mulus ( di bidang (t (t ; a

Lebih terperinci