EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF CYCEL DAN GRAF LINTASAN SKRIPSI SRI SUNDARI MATEMATIKA KOMPUTASI

Transkripsi

1 EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF CYCEL DAN GRAF LINTASAN SKRIPSI SRI SUNDARI MATEMATIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

2 EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF CYCEL DAN GRAF LINTASAN SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains SRI SUNDARI MATEMATIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

3 i PERSETUJUAN Judul : EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF CYCEL DAN GRAF LINTASAN Kategori : SKRIPSI Nama : SRI SUNDARI Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Januari 2009 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Prof. Dr. Herman Mawengkang Syahril Efendi, S.Si, M.IT NIP NIP Diketahui/Disetujui oleh Departeman Matematika FMIPA USU Ketua. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP

4 ii PERNYATAAN EKSENTRISITAS DIGRAPH PADA GRAPH CYCEL SKRIPSI Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Januari 2009 Sri Sundari

5 iii PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang. selaku pembimbing I dan Bapak Syahril Efendi, S.Si, M.IT selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. 2. Bapak Drs. James Piter Marbun, M.Kom. dan Bapak Drs. H. Haludin Panjaitan selaku dosen penguji penulis. 3. Bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku dosen wali penulis selama mengikuti perkuliahan. 4. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Sc. selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,. 5. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU. 6. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU dan pegawai di FMIPA USU. 7. Teman-teman di Departemen Matematika khususnya stambuk 2005, serta sahabat-sahabat penulis: Cinta, Feby, Dika, Lia, Rima, Radhi, Santri, Nenna dan Yuni yang selama ini telah memberikan semangat, dorongan dan saran dalam pengerjaan skripsi ini. 8. Kedua orang tua penulis yang tercinta Bapak Sumawan dan Ibunda Saidah, Almarhumah Nenek tercinta Ngadiyem, Bukde Zulaikha, kakak, abang dan adik-adik tersayang yang selalu berdoa dan memberikan dorongan, pengorbanan moril maupun materil kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.

6 iv Penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi maupun sistematika penyajian tulisan ini belum layak dikatakan sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Akhirnya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan yang memerlukannya. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT.

7 v ABSTRAK Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian, karena model-modelnya sangat berguna untuk aplikasi yang luas, seperti masalah dalam jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, dan lain sebagainya. Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah eksentrisitas digraf pada graf ED(G) yang diperkenalkan pertama kali oleh Fred Buckley. Boland (1999) memperkenalkan eksentrisitas digraf pada digraf ED(D). Teori ini terinspirasi dari penelitian yang dilakukan oleh Buckley. Jarak (distance) d(u,v) antara dua titik u dan v adalah panjang lintasan terpendek dari titik u ke titik v di G. Jika tidak ada lintasan dari u ke v, maka d(u,v) =. Eksentrisitas titik v di graf G, dinotasikan ec(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap titik di G. Titik v adalah titik eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas dari u atau d(v,u) = ec(u). Eksentrisitas digraf pada graf ED(G) didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan G atau V(ED(G)) = V(G) dimana arc menghubungkan titik u ke v, jika v adalah titik eksentrik dari u. Masalah yang di bahas dalam tugas akhir ini adalah menentukan eksentrisitas digraf dari graf cycle dan graf lintasan.

8 vi EKSENTRIC DIGRAPH AT CYCLE GRAPH AND PATH GRAPH ABSTRACT Graph theory is a topic that a lot of attention, because the model-model is very useful for broad applications, such as problems in communication networks, transportation, computer science, and so forth. One of the interesting topics in graph theory is the eccentricity of the graph digraph ED (G) which was first introduced by Fred Buckley. Boland (1999) introduced the eccentricity of the digraph digraph ED (D). This theory was inspired by research conducted by Buckley. Distance (distance) d (u, v) between two points u and v is the length of the shortest path from point u to point v in G. If there is no path from u to v, then d (u, v) =. Eccentricity of a point v in graph G, denoted ec (v) is the farthest distance (the maximum shortest path) from v to each point in G. Point v is an eccentric point of u if the distance from v to u equal to the eccentricity of u or d (v, u) = ec (u). Eccentricity in the graph digraph ED (G) is defined as a graph which has the same set of points with G or V (ED (G)) = V (G) where the arc joining u to v, if v is an eccentric point of u. The problems discussed in this final task is to determine the eccentricity cycle digraph of the graph and graph path.

9 vii DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN... i PERNYATAAN... ii PENGHARGAAN... iii ABSTRAK... v ABSTRACT... vi DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL... ix BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Penelitian Tujuan Penelitian Batasan Masalah Konstribusi Penelitian Metodologi Penelitian Tinjauan Pustaka... 3 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sejarah Graf Teori Graf Definisi dan notasi Macam-macam Graf Graf cycle (sikel) Graf Lintasan (Path) Graf n-partit Lintasan Terpendek (Short Path) Eksentrisitas Digraf BAB III PEMBAHASAN 3.1 Eksentrisitas Digraf pada Graf Cycel (Sikel) Eksentrisitas Digraf pada Graf Lintasan BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA

10 viii DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Jembatan KÖnigsberg dan Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg... 5 Gambar 2.2 Graf dengan lima verteks dan enam edge... 7 Gambar 2.3 Graf yang memuat loop dan sisi rangkap... 7 Gambar 2.4 Walk pada graf... 8 Gambar 2.5 Graph G... 9 Gambar 2.6 Graf berhingga Gambar 2.7 Graf tak berhingga Gambar 2.8 Graf berarah dan berbobot Gambar 2.9 Graf tidak berarah dan berbobot Gambar 2.10 Graf berarah dan tidak berbobot Gambar 2.11 Graf tidak berarah dan tidak berbobot Gambar 2.12 Grafsederhana Gambar 2.13 Graf ganda Gambar 2.14 Graf semu Gambar 2.15 Graf Sikel Gambar 2.16 Graf Sikel Gambar 2.17 Graf Lintasan Gambar 2.18 Eksentrisitas Gambar 2.19 Eksentrisitas Digraf Gambar 3.1 Graf C 3 dan eksentrisitas digrafnya Gambar 3.2 Graf C 5, C 7 dan eksentrisitas digrafnya Gambar 3.3 Graf C 4 dan eksentrisitas digrafnya Gambar 3.4 Graf C 6, C 8 dan eksentrisitas digrafnya Gambar 3.5 Graf P 3, P 5, P 7 dan eksentrik digrafnya Gambar 3.6 Graf P 2, P 4 dan eksentrisitas digrafnya Gambar 3.7 Graf P 6 dan eksentrisitas digrafnya... 30

11 ix DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Eksentrisitas dan titik eksentrik... 19