PENENTUAN TRACE PADA MATRIKS 2 2 BERPANGKAT INTEGER POSITIF DAN PERLUASANNYA PADA MATRIKS BLOK

Transkripsi

1 PENENTUAN TRACE PADA MATRIKS 2 2 BERPANGKAT INTEGER POSITIF DAN PERLUASANNYA PADA MATRIKS BLOK Jeriko Gormatara 1*, Amir Kamal Amir 2, Jusmawati Massalesse 3 1,2,3 Dearteme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Hasauddi, Jl. Peritis Kemerdekaa, Makassar, Sulawesi Selata, Kode Pos * jeriko.025@gmail.com ABSTRAK Trace matriks adalah jumlaha eleme-eleme ada diagoal utama matriks. Trace dari matriks A berukura 2 2 beragkat iteger ositif secara maual daat ditetuka dega mecari matriks A terlebih dahulu, lalu dari matriks tersebut dihitug trace ya. Cara tersebut meghabiska bayak waktu, sehigga ditemuka lagi satu cara, yaitu dega mejumlahka semua ilai eige beragkat. Namu utuk kasus tertetu, cara tersebut masih meghabiska cuku bayak waktu. Maka dibutuhka suatu formula yag lebih efektif utuk meetuka trace dari matriks A beragkat. Hasil eelitia meujukka bahwa trace dari matriks A beragkat daat ditetuka dega suatu formula yag haya membutuhka trace da determia dari matriks A. Da dega formula tersebut, eulis meerakaya ada matriks blok tertetu. Kata kuci : Trace, Nilai Eige, Determia 1. PENDAHULUAN Aljabar liear meruaka salah satu bagia dari matematika yag memelajari matriks, vektor, ruag vektor, trasformasi liear, da sistem ersamaa liear. Matriks ertama kali ditemuka oleh Arthur Cayley ( ) ada tahu 1859 di Iggris dalam sebuah studi sistem ersamaa da trasformasi liear. Namu ada awalya, matriks haya diagga ermaia karea belum bisa dialikasika. Kemudia ada tahu 1925, matriks diguaka ada mekaika kuatum. Selajutya matriks megalami erkembaga yag esat da diguaka dalam berbagai bidag [1]. Trace matriks ada dasarya adalah jumlaha eleme-eleme ada diagoal utama matriks. Trace dari matriks beragkat serig diguaka ada beberaa bidag di matematika, khususya Aalisis Jariga (Network Aalysis), Teori Bilaga, Sistem Diamik, Teori Matriks, da Persamaa Differesial. Misalya ketika megaalisa jariga komleks, ermasalaha utamaya adalah meghitug jumlah segitiga dari graf terhubug sederhaa. Solusiya dieroleh dega meghitug Tr(A 3 )/6, dimaa A adalah matriks ketetaggaa dari graf [2]. 1

2 Dalam eelitia ii terdaat istilah trace, maka dari itu erlu diahami terlebih dahulu defiisi trace [3], Defiisi 1.1 Misalka A = [a ij ] matriks bujur sagkar. Trace dari matriks A, diotasika Tr(A), didefiisika sebagai jumlaha dari eleme-eleme diagoal utama A, yaitu Tr(A) = a 1,1 + a 2,2 + + a, = a i,i. Misalka diberika matriks A berukura dega ilai eige λ 1, λ 2,, λ maka berlaku [4], Det(A) = λ i Tr(A) = λ i da karea ilai eige dari matriks beragkat A k, k = 2,3, berukura adalah λ 1 k, λ 2 k,, λ k, maka Tr(A k ) = λ i k, k = 1,2, Sebuah matriks daat dibagi atau diartisi (artitioed) mejadi beberaa matriks yag lebih kecil dega cara meyisika garis-garis horizotal da vertikal di atara baris da kolom yag diigika. Sebagai cotoh, berikut ii tiga kemugkia artisi yag daat dibuat utuk suatu matriks umum A berukura 3 4. Pertama adalah artisi A mejadi 4 submatriks (submatrix) A 11, A 12, A 21, da A 22. Kedua adalah artisi A mejadi matriks baris r 1, r 2, da r 3. Da ketiga adalah artisi A mejadi matriks kolom c 1, c 2, c 3, da c 4 [5]. A = [ a 21 A = [ a 21 A = [ a 21 a 24 ] = [ A 11 A 12 ], a A 21 A r 1 a 24 ] = [ r 2 ], a 34 r 3 a 24 ] = [c 1 c 2 c 3 c 4 ]. a 34 Jika matriks blok tersebut membetuk matriks diagoal, ati diagoal, segitiga atas, atau segitiga bawah, maka matriks blok tersebut disebut matriks blok diagoal, ati diagoal, segitiga atas, atau segitiga bawah. 2

3 2. HASIL PENELITIAN Peetua trace dari matriks 2 2 beragkat iteger ositif ditulis dalam Teorema 2.1 da Teorema 2.2. Pertama-tama ditijau utuk agkat gajil. Teorema 2.1 Jika m iteger ositif da A matriks riil 2 2, maka m Tr(A 2m+1 ) = ( 1)r (2m r)!. (2m + 1). [ r! (2m + 1 2r)! ]. [Det(A)] r. [Tr(A)] (2m+1) 2r r=0 Utuk membuktika Teorema 2.1, daat dibuktika dega iduksi matematika. Teorema 2.2 Jika m iteger ositif da A matriks riil 2 2, maka m Tr(A 2m ) = ( 1)r (2m r 1)! (2m) [ ]. [Det(A)] r. [Tr(A)] 2m 2r r! (2m 2r)! r=0 Utuk membuktika Teorema 2.2, daat dibuktika dega iduksi matematika. Akibat 3.1 Jika A adalah matriks blok diagoal berukura A A A 1 0 [ A ] dega A M 2 2 utuk = 1,2,3 da 0 = [ 0 0 Maka eetua Tr(A ) dilakuka dega meeraka Teorema 2.1 utuk = 2m + 1 da Teorema 2.2 utuk = 2m ada blok-blok di diagoal utama A lalu dijumlahka seerti berikut, Tr(A ) = Tr(A j ) Utuk membuktika Akibat 3.1, daat dibuktika dega iduksi matematika. Akibat 3.2 Jika A adalah matriks blok segitiga bawah berukura A B 1 A B 1 C 1 A 1 0 [ B C A ] D 3

4 dega A, B, C, da D M 2 2 utuk = 1,2,3 da 0 = [ 0 0 Maka eetua Tr(A ) dilakuka dega meeraka Teorema 2.1 utuk = 2m + 1 da Teorema 2.2 utuk = 2m ada blok-blok di diagoal utama A lalu dijumlahka seerti berikut, Tr(A ) = Tr(A j ) Utuk membuktika Akibat 3.2, daat dibuktika dega iduksi matematika. Akibat 3.3 Jika A adalah matriks blok segitiga atas berukura A 1 B 1 B 1 B 0 A 2 C 1 C 0 0 A 1 D [ A ] dega A, B, C, da D M 2 2 utuk = 1,2,3 da 0 = [ 0 0 Maka eetua Tr(A ) dilakuka dega meeraka Teorema 2.1 utuk = 2m + 1 da Teorema 2.2 utuk = 2m ada blok-blok di diagoal utama A lalu dijumlahka seerti berikut, Tr(A ) = Tr(A j ) Utuk membuktika Akibat 3.3, daat dibuktika dega iduksi matematika. 3. KESIMPULAN Berdasarka hasil eelitia megeai trace da ati trace ada matriks beragkat, maka disimulka bahwa eetua trace ada matriks 2 2 beragkat iteger ositif daat dihitug dega megetahui trace da determia dari matriks tersebut. Peetua trace ii ditulis dalam dua teorema, yaitu Teorema 3.1 utuk agkat gajil da Teorema 3.2 utuk agkat gea. Kemudia eetua trace ada matriks blok segitiga (diagoal, segitiga atas, da segitiga bawah) beragkat iteger ositif dega eleme-eleme blok adalah matriks 2 2 daat dihitug dega meeraka Teorema 3.1 utuk agkat gajil da Teorema 3.2 utuk agkat gea ada eleme blok di diagoal utama dari matriks blok lalu dijumlahka. 4

5 DAFTAR PUSTAKA [1] Higham, N. J. (2008). Fuctios of Matrices: Theory ad Comutatio. Philadelhia: SIAM. [2] Pahade, J., & Jha, M. (2015). Trace of Positive Iteger Power of Real 2x2 Matrices. 1. [3] Ato, H., & Rorres, C. (2005). Elemetary Liear Algebra, Nith Editio. New York: Joh Wiley & Sos. [4] Abadir, K. M., & Magus, J. R. (2005). Matrix Algebra. New York: Cambridge Uiversity Press. [5] Harville, D. A. (1997). Matrix Algebra From a Statisticia's Persective. USA: IBM T.J. Watso Research Ceter. 5