(a) Simbol tumpuan rol. (b) Simbol tumpuan sendi. (c) Simbol tumpuan jepit Gambar 1. Simbol tumpuan konstruksi

Transkripsi

1 . alok Sederhana alok sederhana adalah balok tunggal yang didukung oleh dua tumpuan sendi dan rol atau satu tumpuan jepit. Untuk rol reaksi atau gaya tumpuan yang sembarang hanya menerima gaya tumpuan yang tegak lurus (vertikal) sumbu bumi (V). Sendi selain V juga reaksi horisontal H. Jepit meneriman V, H dan reaksi lentur momen. Gambar simbol tumpuan rol, sendi jepit pada Gambar (a), (b) dn (c). (a) Simbol tumpuan rol (b) Simbol tumpuan sendi (c) Simbol tumpuan jepit Gambar. Simbol tumpuan konstruksi alok sederhana dengan beban tunggal (P) sebesar ton pada balok sepanjang 6.50 m dengan letak P lebih dekat ke tumpuan sejauh.50 m, maka analisis secara grafis diperoleh R dan berikut (Gambar ). P = 3 ton.5 4 I = Garis Penutup.5 4 R I P Skala Gaya = cm # ton Skala Panjang = cm # m Gambar. alok tunggal dengan beban tunggal P asimetris

2 a. Secara grafis diperoleh : R =,85 cm R =,85 cm x ton =,85 ton =,5 cm =,5 cm x ton =,5 ton Kontrol : R + = P,85 +,5 = 3 ton (ok) b. Secara nalitis M = 0 R.6,5 P.4 = 0 M = ,5 + P.,5 = 0 Perhitungan alok Tunggal dengan eban Majemuk arah berlawanan dianalisis secara garfis seperti terlihat maupun secara analitis (Gambar 3). P 4 = 5t P = 4t P = t P 3 = 3t,50,50,50,50 8,00 R P P 3 P 4 s 3 5 s P 4 s = Jari-jari Pembagi Skala Gaya cm # ton Skala Panjang cm # ton Gambar 3. alok tunggal dengan beban majemuk

3 Dari Gambar 3 didapatkan: a. Secara grafis didapat : R =,85 cm R =,85 cm x ton = 3,7 ton =,5 cm =,5 cm x ton = 4,3 ton b. Secara nalitis didapat : M = 0 R.8 P.(8,00,50) - P (8,00-,50-,00) + P 3 (8,00-,50-,00-,50) - P 4 (8,00-,50-,00-,50-,50) = 0 R.8 P.6,50 - P. 4,5 + P 3. 3,00 -P 4.,50 = 0 M = P 4.6,50 P P.3,5 +P.,50 = 0 Kontrol : P + P - P 3 +P 4 =R = 3, ,35 8 = 8 (OK) Catatan: Pemecahan masalah secara grafis didapat angka bulat, sedang secara analitis terdapat angka desimal. Hasil akhir antara secara grafis dan analitis tidak jauh berbeda. Pada soal di atas didapat: R =3,7 ton dan =4,3 ton (grafis). Sedang secara analitis didapat R = 3,6875 ton dan = 4,35 ton (analitis). 3

4 alok tunggal dengan beban majemuk terpusat arah tidak terarur (Gambar 4), diselesaikan dengan cara grafis dan analitis P = t P = t P 4 = t 45 R P 3 = t R,00,50,00,50,3, Skala Gaya cm # ton Skala Panjang cm # m Gambar 4. alok tunggal dengan beban terpusat majemuk arah tidak terarur a. Secara grafis didapat : R =,4 cm R =,4 cm x ton =,4 ton =,3 cm =,3 cm x ton =,3 ton b. Secara nalitis didapat : P, P 3 dan P 4 arah gaya dijadikan tegak lurus garis. P sudah tegak lurus garis (P = tetap ton) 4

5 P PV = P cos 45 o = (ke bawah) P 3 PV 3 = P 3 cos 45 o = (ke atas) P 4 PV 4 = P 4 cos 45 o = (ke bawah) Reaksi tumpuan di titik : M = 0 R.7 P.(7,00,00) - P. (7,00-,50-,00) + P 3. (7,00-,00-,50-,00) - P 4.(7,00-,00-,50-,00) = 0 R.7 Pv.5 - P. 3,5 + Pv 3.,5 -Pv 4.,5 = 0 (+) Reaksi tumpuan di titik : M = P 4.6,50 P P.3,5 +P.,50 = 0 (+) Kontrol: P V + P - P V3 +P V4 =R + =,4040 +,3030,707 ~,7070 (OK),7 =,7 (Pembulatan) 5

6 R=3.85 alok tunggal dengan beban merata dan terpusat majemuk arah tidak teratur (Gambar 5). Menghitung reaksi tumpuan R dan cara grafis dan analitis. P = t P =t P 4 =,5t P 5 =t Q t 45 P 3 = t,00,00,00,00,00,00 P R R Q=4t 4 Q P 3 R P P 3 P Rv = 4.85 R P 5 H =.70 Skala Panjang: cm # m Skala Gaya: cm # ton Gambar 5. alok tunggal dengan beban merata dan terpusat majemuk arah tidak teratur a. Secara grafis didapat : R = 3,85 cm R = 3,85 cm x ton = 3,85 ton V = 4,85 cm V = 4,85 cm x ton = 4,85 ton H =,70 cm H =,70 cm x ton =,70 ton Q = 4 ton 6

7 b. Secara nalitis didapat : Menghitung reaksi tumpuan di titik : M = 0 R.8 P.Sin 60 o.7 - P. 5 + P 3. Sin 45 o.5 - P 4.Sin 60 o.3 P 5.- Q.4 = 0 R = 3,8605 ton (+) Menghitung reaksi tumpuan di titik : M = Q.4 + P P 4.Sin 60.5 P 3.Sin P.3 +P. Sin 60. = 0 = 4,8898 ton (+) Kesimpulan: da perbedaan hasil akhir perhitungan antara grafis dan analitis. Perbedaan tidak terlalu besar dan dilakukan pembulatan angka. Secara grafis didapat R = 3,85 ton (+) = 4,85 ton (+) Secara analitis didapat R = 3,8605 ton (+) mendekati ~ 3,85 ton.= 4,8908 ton (+) mendekatai ~ 4,85 ton Perbedaan terjadi pada ketelitian garis gambar cara grafis. 7

8 7,7,8,68 9,36,0 3,60 alok tunggal dengan beban merata terbatas dan terpusat menyudut (Gambar 6) diselesaikan dengan cara grafis dan analitis q = t/m P = 3t R Q 4 Q 3 C 30 D 4 4 R S P R Q 3 3 P Skala Panjang: cm # m Skala Gaya: cm # ton R S (+) (M ) (+) (D) -0,83 -,33 -,60 (N) Gambar 6. alok tunggal dengan beban q terbatas dan P menyudut a. Secara Grafis diperoleh: R = 3,6 cm =3,6 x t = 7, ton =, cm =, x t =,4 ton 8

9 b. Secara nalitis : P diuraikan menjadi: P V = P.sin = ½.P = ½ ton P H = P.cos = ½ 3.P =,6 ton Reaksi tumpuan: R V dan M = 0 R V. Q.0 - P V. 4 = 0 R V..4.0,5. 4 = 0 V = 0 R V - Q P V + = 0 R = 8+,5 7,7 =,33 ton c. Momen (M) M x = R V.x ½ q x = 7,7. x ½..x 7,7 - x = 0 Momen M MX, M C dan M D. M max = 7,7.x ½.q.x M max M C M D = 7,7.3,585 ½..(3,585) = +,85 tm = R V. x Q.x = 7, = 8,68 6 = +,68 tm = R V. x Q.x = 7, = 57,36 48 =+ 9,36 tm d. Gaya Lintang (D) D = R V = + 7,7 ton (+) D C = R V Q = 7,7.4 = -0,83 ton (-) D D = R V Q - P V = 7,7.4,5 = -,33 ton (-) e. Gaya Normal (N) H = P H =,6 ton ( ) H = N ; N =,6 ton ( ) Menuju ke titik sebagai Gaya Tekan (-) 9

10 alok tunggal dengan kantilever/overstek/overhang/konsol dengan beban terpusat di tengan bentang dan di ujung kantilever (Gambar 7) diselesaikan dengan cara grafis dan analitis, diselesaikan secara grafis dan analitis P = 4 P = D c 3 3 R s 3 s P P 4/3 t,3 t (+) (+) t P (D ) 4 t Skala Gaya = cm # ton Skala Panjang = cm # m 4 tm (-) (+) (M ) 4 tm Gambar 7. alok tunggal dengan kantilever dengan beban terpusat di tengan bentang dan di ujung overstek a. Secara grafis didapat : R =,3 cm =,3 x t =,3 ton (+) = 4,7 cm = 4,7 x t = 4,7 ton (+) 0

11 b. Secara nalitis : Reaksi tumpuan di titik M = 0 R. 6 P.3 + P. = 0 (+) Reaksi tumpuan di titik M = P. 8 + P.3 = 0 (+) c. Momen (M) M = M = 0 M D M = R. 3 =,33. 3 = 4 tm = R.6 P. 3 =, = - 4 tm d. Gaya Lintang (D) D = R =,33 ton (+) D D(l) = D =,33 ton (+) D D(r) = D D(l) P =,67 ton (-) D (l) = D D(r) =,67 ton (-) D (r) = D (l) + = ton (+) D C(l) = D (r) = ton (+) D C(r) = D C(l) P = 0 ton (OK) Catatan: = Jarak dari D (l) -- D (r) =,67 = 4,67 ton Kesimpulan: Hasil akhir yang dihitung secara grafis dan analitis didapatkan nilai yang sama.

12 alok Tunggal dengan merata penuh, sendi di dan rol di mendapat beban merata (q) terlihat pada Gambar 8. alok ini dihitung secara analitis untuk mendapatkan reaksi tumpuan (R dan ) dan momen lenturan yang terjadi (M). q = t/m ql R qx L = m x ½ x D R N M N Gambar 8. alok sederhana dengan beban merata (q) Keterangan: ) Q = ql adalah gaya (aksi) dan menimbulkan reaksi, yaitu R dan ) Penjumlahan aksi dan reaksi (resultan, R=0), maka +R + Q = 0 3) Tanda positip (+) karena arah kedua gaya, R dan ke atas, sedangkan tanda negatip (-) pada beban Q sebaliknya. 4) Pada bidang gaya lintang (D) terdapat garis miring dan lurus memotong garis nol atau netral axis (N) merupakan turunan pertama dari fungsi y (y ), dimana y adalah persamaan dari momen lentur yang terjadi akibat beban merata. Kondisi ini terjadi apabila terjadi lenturan yang maksimum sejauh x (M X ) tidak akan pernah terjadi patah (D x = 0). Dengan kata lain ketika terjadi M X, maka D X = 0. 5) Fungsi y sebagai fungsi dari besarnya momen, secara sederhana dihitung dengan memformulasikan gaya dikali panjang lengan.

13 6) Tanda positip (+) pada bidang momen (M) terjadi apabila suatu benda dibebani dan pada serat bawah tertarik, maka momen lentur bertanda positip, demikian sebaliknya. 7) Gambar momen lentur (M) di bawah garis nol, maka bertanda positip, demikian sebaliknya. Dari penjelasan no ( s.d 7) dihitung: a. Reaksi Tumpuan M = 0, merupakan persaman kesetimbangan V = 0 b. Momen (M) M max = M x Keterangan: M X sebagai fungsi y (y = M X ), terjadi apabila gaya lintang di tempat sejauh x sama dengan nol (D X =0). Dx turunan pertama (y ) dari Mx. Sesuai dengan gejala alam, ketika terjadi lentur yang maksimum TIDK KN PERNH TERJDI PTH di tempat tersebut. Secara matematis ditulis, bila y, maka y = 0. 3

14 N=P N=0 alok tunggal terjepit penuh di stu tumpuan (Overstek) dengan satu gaya pada ujung yang bebas (Gambar 9) P (D ) l (+) x Q x Qx = +P (sepanjang batang - terdapat vektor gaya P) Mx = -P.x (tanda negatif karena serat atas tertarik) Mx = -P.L D (+); Lihat Gambar.9) (M ) M(-) serat atas tertarik M = -P.l M x = -P.x Gambar 9. Overstek dengan satu gaya pada ujung yang bebas alok overstek/kantilever/konsol dengan beban horisontal setinggi h di ujung bebas (Gambar 0) dapat dihitung reaksi secara analitis. 3 P l h D. = 0 (tidak ada gaya yang tegak lurus sepanjang batang -) D.3 = P (karena gaya P sebagai vektor bisa berpindah setinggi -3) (D ) Q = 0 M X = -P.h P.l (M ) N. = P (gaya P dapat berpindah di titik, sebagai batang tarik, karena sejajar serat batang -) N.3 = 0 (tidak ada gaya yang sejajar serat batang setinggi -3) (+) (N) Gambar 0. alok overstek dengan beban horizontal setinggi h di ujung bebas 4

15 alok tunggal dengan eban Segitiga yang satu hadap saja (Gambar ) seperti terlihat pada gambar di bawah ini. a. Titik berat segitig q q X /3 x x /3 L /3 x L a X /3 L Titik erat Titik erat b. Reaksi Tumpuan M = 0 R / ql.x / q.l M = 0 x = 0,577L V = 0 R + R - ½.q.L = 0 M c. Momen (M) y qlx qx L M X =0,0064 ql /6 q.l D D X = 0 /3 q.l y ql qx L Jadi Gambar. alok tunggal dengan eban Segitiga yang satu hadap saja 5

16 alok sederhana dengan beban segitiga simetris (Gambar ) seperti terlihat pada gambar di abwah ini (q = 000 kg/m),75,75 53,5 D 45 q (,75 ) ( ),75 C q x q 53,5 REKSI TUMPUN R = ½. las x Tinggi x q = ½ (,75). 000 = 53,5 kg = ½. las x Tinggi x q = ½ (,75). 000 = 53,5 kg MOMEN (M) M ( + x =,75m 786,45 GY LINTNG (D) D = R = 53,5 kg (+) D = R q = 53,5 ½ = 03,5 kg (+) D C = R qx. = 53,5 ½., = 0 kg D = R q x q = 53,5 ½.,75., ½.,75., = 53, 5 kg (-) Gambar. alok sederhana dengan beban segitiga simetris 6

17 alok tunggal dengan beban trapesium (Gambar 3) 45 P D P C 45 E q =0000kg/m 0,75 P 3,00,00 M 53,5 843,75 49, , ,45 D Gambar 3. alok tunggal dengan beban trapesium P = titik berat segi tiga bentang -D P = titik berat segi empat bentang D-C P 3 = titik berat segi empat bentang C-E REKSI TUMPUN P = ½. 0,75. 0, = 8,5 kg P 3 = P = (-0,75).0, = 937,5 kg R = = P +P = 8,75 kg 7

18 MOMEN (M) M = 0 (Sendi / Rol) M D = R.0,75-P.(/3).0,75 =38,75.0,75 8,5.(/3).0,75 = 843,75 kgm (+) M C = R. P {(/3. 0,75)+,750} P.(,5/) = 8,75. 8,5(,5)-937,5(0,65) = 437,5 4, ,9375 = 49,6875 kgm (+) M E = M D = R.3,5 P {(/3. 0,75)+,5+,5} P (0,65+,5) P 3 (,5 /) = 8,75. 3,5 8,5 (,75) 937,5(,875) ,65 = 3960, , ,85 585,65 = 844,065 kgm (+) M = 0 kgm (Sendi / Rol) GY LINTNG (D) D = R = 8,75 kg (+) D D = R P = 8,75 ½ (0,75. 0,75). 000 = 8,75-8,5 = 937,5 kg (+) D C = M Max =0 = R P P = 8,75 8,5 {(-0,75).6,75.000} = 8,75 8,5-937,5 = 0 kg D E = R P P P 3 = 8,75 8,5 937,5 {(-0,75).0,75.000} = 937,5 kg (-) D = =8,75 kg (-) 8

19 alok dengan perletakan miring mendapat beban terpusat (Gambar 4) P Cos P (,75 ) a. Reaksi Tumpuan M = 0 x y ½ l C ½ l D ½ P.Cos P.Cos ½ P.Cos = y P.Sin b. Momen (M) N M ¼ P.l Catatan : Perhitungan di atas menunjukkan bahwa: miring balok tidak berpengaruh kepada besarnya M Max. Pengaruhnya terdapat pada gaya lintang (D) dan gaya normal (N). Gambar 4. alok dengan perletakan miring mendapat beban terpusat 9

20 alok tunggal dengan perletakan miring mendapat beban merata sepanjang balok (Gambar 5) REKSI TUMPUN q t/m M = 0 R y Q Sin Q Cos Q = q.l ½ ½ ½ l ½ l ½ (I) = R y D (II) N (III) q x = q.cos... (untuk setiap m dalam arah mendatar) M ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Sehingga: ½ ½ ½ ½ (IV) Gambar 5. alok tunggal dengan perletakan miring mendapat beban merata 0

21 alok sederhana dengan beban merata tidak terbatas dan beban terpusat ganda (Gambar 6). Ditanyakan gambar bidang momen dan gaya lintang. (Heinz Frick, 007) M q =00kg/m P = 300kg q =50kg/m E C 50 D P = 500kg 4,00 0,50,00,50 ) 8,00 ) 3) C N D E D Mx P N P Cos 80 Gambar 6. alok sederhana dengan q tidak terbatas dan P ganda REKSI TUMPUN ΣM = 0 R ,5-433.,5= 0 ΣM = , ,5= 0 80 kg ΣV = 0

22 R = = 0 0 = 0 (OK) MOMEN (M) Momen Maksimum ( C) M x = R.x ½.(q +q ) x = 73. x - ½. 50. x = 73.x - 75 x > 4 m (Imposible) Momen Maksimum ( D) M x = R.x q. 4 (x-) - q. (x).(½ x) = 73. x 400(x-) 0,5.50 x = 73x - 400x x = 33x 5x +800 > 4,5 m (Imposible) Momen Maksimum di kanan D, dan diukur dari dukunga M x = R.x q. 4 (x-) - q. (x).(½ x) P (x - 4,50) = 73. x 400(x-) 0,5.50 x -300(x-4,50) = 73x - 400x x 300x = 3x 5x +350 < 4,5 m (Imposible) Kesimpulan : Mx di titik D M = 0 M C = ½ = 65 kgm (+) M D = 7.3.4, ,5 ½.50.4,5 = 70,5 kgm (+) M D = 80. 3,5 ½.50. 3, = 697,75 kgm (+)

23 Keterangan: M = ending moment = momen lentur D = Gaya lintang = Gaya serat batang N = Gaya Normal = Gaya sejajar serat batang P.Sin = 50 kg (ke kanan) P.Cos = 433,0709 kg R = 7, kg = 80, kg MOMEN (M) M = 0 M C = R.4 ½.q +. L = 73.4 ½.50.4 = 65 kgm (+) M D = 73.4, ,5-50.4,5.( ½.4,5) M D = 308, ,5 = 70, 5 kgm (+) M D =. 3,5 q.3,5( ½.3,5) 433. = 697,75 kgm (+) Masalah pembulatan di R dan Coba-: M D = 7, , ,5 50.4,5 ( ½.4,5) = 305, ,5 = 699,79467 kgm M D = 80, ,5 ½.50.3,5 433,0709. = 87, ,5 866, = 699,79467 kgm (OK) GY LINTNG (D) D = R = 7, kg (+) D C = D q.4 = 7,43988 kg (+) 50.4 =,43988 kg (+) D D(l) =, ,5 = 87, kg (+) D D(r ) = 87, =,56084 kg (-) D E(l) = -, = 3,56085 kg (-) D E(r ) = -3, ,0709 = 745,57803 kg (-) D (l) = -745, ,50 = 80,57803 kg (-) D (r ) = -80, = 0 (OK) 3