KAJIAN UJI MANN-WHITNEY DAN UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON. Oleh Yelvarina 1, Sigit Nugroho 2 dan Baki Swita 2 ABSTRAK

Transkripsi

1 KAJIAN UJI MANN-WHITNEY DAN UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON Oleh Yelvaria, igit Nugroho da Baki wita Alumi Jurusa Matematika, Fakultas MIPA, Uiversitas Begkulu Dose Jurusa Matematika, Fakultas MIPA, Uiversitas Begkulu ABTRAK Tulisa ii megkaji statistik oparametrik khususya uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo serta membadigka kedua uji ii dega uji t. Metode yag diguaka adalah simulasi data dega megguaka paket program Microsoft Excel. Hasil aalisis meujukka bahwa utuk data yag diketahui betuk distribusiya yaitu berdistribusi ormal, uji parametrik dega megguaka uji t memberika hasil yag lebih baik daripada uji oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo. edagka utuk data yag buka berdistribusi ormal (Kai-kuadrat, Gamma, da eragam), uji oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo memberika hasil yag lebih baik daripada uji parametrik dega uji t. Kata kuci : tatistik Parametrik, tatistik Noparametrik, uji Ma-Whitey, uji Perigkat Bertada Wilcoxo. Pedahulua alah satu tujua pokok dari statistika adalah melakuka iferesia statistika, yaitu pearika kesimpula tetag parameter populasi berdasarka data sampel. Utuk melakuka iferesia statistika diperluka pegetahua tetag distribusi samplig atau distribusi pearika sampel. Distribusi samplig dari bayak uji statistik yag diterapka pada pegujia hipotesis didasarka pada asumsi megeai populasiya dari maa sampel diambil. Misalya pada uji-t utuk meguji perbedaa dua ilai tegah populasi, pegujia bertumpu pada asumsi megeai betuk distribusi populasiya (yaitu, berdistribusi ormal) da pada asumsi ilai parameter ragam populasi adalah sama. Pegujiapegujia asumsi yag didasarka pada asumsi tetag distribusi populasi atau ukura parameter populasi diamaka uji parametrik da uji statistikya diamaka statistika parametrik. Metode statistik oparametrik, seperti statistik uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilxoco, megguaka sejumlah asumsi yag kuat. Misalya, tidak memperhatika betuk distribusi populasi da variabel yag diamati adalah variabel acak kotiu. Jika asumsi tersebut dipeuhi, uji Ma-Whitey maupu uji perigkat bertada Wilcoxo mempuyai kuasa yag lebih besar dari pada uji parametrik yag keguaaya sama. Uji Ma-Whitey dipakai apabila peeliti tidak megetahui karakteristik kelompok item yag mejadi sumber sampelya. Metode ii dapat diterapka terhadap data yag diukur dega skala ordial. edagka pada uji perigkat bertada Wilcoxo diguaka jika besara maupu arah perbedaa releva

2 Kajia Uji Ma-Whitey da Uji Perigkat Bertada Wilcoxo utuk meetuka apakah terdapat perbedaa yag sesugguhya atara pasaga data yag diambil dari satu sampel atau dua sampel yag salig terkait tatistik Parametrik da Noparametrik uatu tes statistik parametrik adalah suatu tes yag modelya meetapka adaya syarat-syarat tertetu tetag parameter populasi yag merupaka sumber sampel peelitia. yarat-syarat itu biasaya tidak diuji da diaggap sudah dipeuhi. Tes-tes parametrik juga meutut bahwa skor-skor yag diaalisis merupaka hasil suatu pegukura yag sedikitya berkekuata sebagai skala iterval. Uji t (t-test) Uji t merupaka uji statistik parametrik yag diguaka utuk meguji hipotesis tetag kesamaa dari rataa populasi dega varia yag tidak diketahui. Uji t ii diguaka utuk data yag bertipe umerik misalya volume air, lama hidup bohlam yag diasumsika memiliki sebara ormal. Uji ii meghasilka apa yag disebut statsitik uji t dega basis perhituga adalah selisih atara rata-rata yag didapat dari data dega rata-rata yag dihipotesiska, da dibadigka dega ilai t-tabel dega derajat bebas tertetu. Uji t Idepedet. Uji Hipotesis Tetag Mea Populasi. Uji Hipotesis Beda Dua Mea Populasi Dua ampel Idepedet. Harga uji statistik dari sampel-sampel kecil yag diasumsika bahwa kedua populasi berdistribusi ormal da diasumsika varia kedua populasi sama ( σ = σ ) tapi tidak diketahui adalah: x x t = ( ) + ( ) + keteraga : x = rataa sampel x = rataa sampel = besar sampel = besar sampel = varia sampel + = varia sampel dega derajat kebebasa (df) : df = + Apabila diasumsika kedua populasi berdistribusi ormal da diasumsika varia kedua populasi tidak sama ( σ σ ) da tidak diketahui, maka harga uji statistik t diyataka dalam rumus: 6

3 igma Mu Rho e-jural tatistika x x t = + keteraga : x = rataa sampel x = rataa sampel = besar sampel = besar sampel = varia sampel = varia sampel Uji t Berpasaga Misalka peubah X A da X B diamati secara berpasaga artiya dalam setiap pegukura yag diukur adalah pasaga [A,B] karea pegamataya secara berpasaga maka dalam setiap pegamata X A da X B tidak lagi bebas sesamaya walaupu bebas atara pasaga yag satu dega pasaga yag laiya. Harga uji statistikya dihitug dega rumus: d t = / d keteraga : d = Mea dari harga-harga d (perbedaa harga-harga yag berpasaga) d = Deviasi stadar dari harga-harga d. = Bayakya pasaga d = d = i = d i i = ( d i d) = i = d i d Kekuata Efisiesi uatu Uji Hipotesis ebuah kriterium utuk megevaluasi ujuk kerja (performace) suatu uji adalah efisiesi. Patoka yag palig serig diguaka utuk megukur efisiesi suatu uji oparametrik adalah efisiesi relatif asimptotikya (Asymptotic Relative Efficiecy / ARE). Efisiesi yag tiggi adalah karakteristik yag harus dimiliki oleh suatu uji. Pada umumya kekuata suatu tes statistik meigkat dega meigkatya ukura sampel (N). Jadi maki besar sampel, maki besar kuasa uji karea maki besar sampel, kemugkia berbuat kesalaha tipe II mejadi kecil, yaitu kesalaha yag disebabka karea kita meerima H 0 padahal H 0 itu salah 63

4 Kajia Uji Ma-Whitey da Uji Perigkat Bertada Wilcoxo Uji Ma-Whitey Bila agka sama terjadi, berika kepada masig-masig kedua observasi itu rata-rata ragkig yag aka dimiliki seadaiya agka sama itu tidak terjadi. Akibat dari ragkig-ragkig yag sama adalah megubah variabilitas himpua ragkig itu. Dega demikia, koreksi utuk agka sama ditetapka pada deviasi stadar distribusi samplig statistik Ma-Whitey sebagai berikut : 3 N N σ = T U N( N ) keteraga : N = + 3 t t T = ( di maa t bayak observasi yag beragka sama utuk suatu ragkig tertetu.) ΣT = harga-harga T semua kelompok yag memiliki observasi-observasi beragka sama. Utuk meghitug ilai statistik uji hasil pegamata, kedua sampel digabugka da memerigkatka semua hasil pegamata dalam sampel tersebut dari yag palig kecil higga yag palig besar. Hasil-hasil pegamata dega ilai-ilai yag sama diberi perigkat yag sama dega rata-rata dari posisi-posisi perigkat yag semestiya adaikata kasus agka sama tidak terjadi. Kemudia perigkat-perigkat hasil pegamata dijumlahka dari masig-masig populasi da populasi. selajutya ditetuka statistik uji utuk masig-masig populasi sebagai berikut : ( + ) U = + R (dari populasi ) ( + ) U = + R (dari populasi ) keteraga : R = Jumlah perigkat hasil-hasil pegamata yag merupaka sampel dari populasi. R = Jumlah perigkat hasil-hasil pegamata yag merupaka sampel dari populasi. = Jumlah pegamata pada sampel pertama. = Jumlah pegamata pada sampel kedua. Uji Perigkat Bertada Wilcoxo Uji perigkat bertada Wilcoxo diguaka jika besara maupu arah perbedaa releva utuk meetuka apakah terdapat perbedaa yag sesugguhya atara data yag satu dega data yag laiya. Uji perigkat bertada Wilcoxo tidak haya memafaatka iformasi tetag arah tetapi juga besarya perbedaa pasaga ilai itu. imulasi Dua ampel alig Bebas Utuk tiap tipe sebara data ( Normal, Kai-kuadrat, Gamma, da eragam ) dilakuka sebayak 000 simulasi utuk membadigka prosedur Ma-Whitey da uji t idepede. Tiap simulasi dibagkitka data X berukura = da data Y berukura = 5. 64

5 igma Mu Rho e-jural tatistika Prosedur uji Ma-Whitey adalah sebagai berikut :. Pembagkita data idepede X da Y dega ukura data yag tidak sama.. Melakuka pemerigkata gabuga dua kelompok data dari sampai dega N = Meetuka harga U ( tatistik Ma-Whitey ). 4. Pegambila keputusa dega meolak atau meerima H 0. Jika harga statistik U mempuyai kemugkia yag sama besar atau lebih kecil dari W α/, maka H 0 ditolak da sebalikya. Nilai W α/ dapat dilihat pada tabel A yag terdapat pada Lampira. Tabel. Perbadiga Hasil Aalisis tatistik Parametrik (uji t idepede) da tatistik Noparametrik (uji Ma-Whitey). Distribusi Perbedaa kesimpula σ 5 Tidak ada perbedaa 5 perbedaa 5 Tidak ada perbedaa Normal dega sama da μ berbeda dimaa σ = 0 σ = 0 μ = 00 μ = 300 Normal dega σ da μ berbeda dekat (sama) dimaa σ = 0 σ = perbedaa μ = 45 μ = 50 Normal dega σ berbeda da μ sama dimaa σ = 0 σ = 5 μ = 00 μ = 00 Normal dega σ da μ berbeda dimaa σ = 0 σ = 5 μ = 00 μ = 300 Kai-kuadrat (0,30) 5 8 perbedaa Gamma (0,00) 5 54 perbedaa eragam (0,00) 5 3 perbedaa Pada tabel di atas dapat dilihat bahwa utuk data berdistribusi ormal dega asumsi varia sama da mea kedua populasi berbeda tidak terdapat perbedaa kesimpula yag maa kesimpula yag diperoleh uji Ma-Whitey megikuti kesimpula yag diperoleh uji t. Dega kata lai apabila uji t meolak H 0 maka kesimpula dari uji Ma-Whitey juga meolak H 0. Hal ii meujukka bahwa uji Ma-Whitey dapat juga dipakai utuk data berdistribusi ormal dega asumsi varia sama da mea berbeda (Lampira 4). edagka utuk data yag berdistribusi ormal dega asumsi varia da mea kedua populasi sama terdapat 34 perbedaa pada kesimpulaya. Hal ii meujukka bahwa uji t lebih baik dari uji Ma-Whitey pada kodisi data berdistribusi ormal dega asumsi varia da mea populasi sama (Lampira 5). Utuk data berdistribusi ormal dega varia populasi yag berbeda da mea populasi sama haya kesimpula dari uji Ma-Whitey yag tidak megikuti kesimpula yag diperoleh uji t. Ii berarti uji t tetap lebih baik dari pada uji Ma- 65

6 Kajia Uji Ma-Whitey da Uji Perigkat Bertada Wilcoxo Whitey yaitu sesuai dega jeis dataya yaitu berdistribusi ormal (Lampira 6). Pada data berdistribusi ormal dega varia yag berbeda da mea populasi berbeda dimaa tidak ada perbedaa sama sekali dalam pegambila kesimpula atara kesimpula yag diperoleh uji t dega kesimpula yag diperoleh uji Ma-Whitey. Artiya, uji Ma-Whitey dapat dipakai pada kodisi data berdistribusi ormal dega varia yag berbeda da mea berbeda (Lampira 7). Dari uraia di atas meujukka bahwa ada pegaruh dalam pemiliha parameter-parameter yag diguaka, dimaa semaki jauh beda varia da mea populasi dega varia da mea populasi maka semaki sedikit perbedaa yag terjadi atara kedua uji tersebut. Pegaruh mea (µ) da Varia (σ ) dapat diilustrasika sebagai berikut : f(x;mea,varia) fn(x;00,0) fn(x;300,0) x Gambar. Pegaruh Mea da Varia Pada Distribusi Normal tatistik oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey utuk data yag berdistribusi Kai-kuadrat terdapat 8 perbedaa kesimpula dega uji t dimaa diatara 000 hasil simulasi data tersebut haya sedikit saja kesimpula dari uji t yag tidak megikuti kesimpula yag diperoleh uji Ma-Whitey. Hal ii meujukka bahwa uji Ma-Whitey lebih baik daripada uji t sesuai dega jeis data yaitu data buka berasal dari distribusi ormal atau data berdistribusi Kai-kuadrat (Lampira 8). Hasil aalisis utuk data simulasi berdistribusi Gamma dega megguaka uji Ma-Whitey terdapat 54 perbedaa kesimpula dega kesimpula yag diperoleh uji t. Hal ii berarti uji t tidak terlalu baik diguaka utuk data besdistribusi Gamma (Lampira 9). Uji Ma-Whitey da uji t idepede memberika hasil yag tidak terlalu jauh berbeda utuk data simulasi yag berdistribusi seragam, yaitu atara kesimpula yag diperoleh uji Ma-Whitey dega uji t haya terdapat 3 perbedaa pegambila kesimpula sehigga uji t tersebut dapat dipakai utuk magaalisis data simulasi berdistribusi seragam (Lampira 0). imulasi Dua ampel alig Berpasaga Utuk masig-masig tipe sebara data ( Normal da eragam ) dilakuka sebayak 500 simulasi utuk membadigka prosedur uji perigkat bertada 66

7 igma Mu Rho e-jural tatistika Wilcoxo da uji t berpasaga. Tiap simulasi dibagkitka data X da X yag berukura sampel sebayak =. Prosedur uji perigkat bertada Wilcoxo adalah sebagai berikut :. Pembagkita data berpasaga X da X dega ukura sampel yag sama.. Memberika ragkig atau perigkat utuk harga-harga d dega memperhatika tadaya. 3. Meetapka harga T (yaitu jumlah yag lebih kecil dari kedua kelompok ragkig yag memiliki tada yag sama). 4. Meetapka ilai N, yaitu bayak total kedua harga d yag memiliki tada. 5. Melakuka pegambila kesimpula dega meolak H 0 atau meerima H 0 dega kriteria pegujia sebagai berikut: H 0 ditolak jika harga T observasi < ilai T tabel da H 0 diterima jika harga T observasi > ilai T tabel. Tabel. Perbadiga Hasil Aalisis tatistik Parametrik (uji t berpasaga) da tatistik oparametrik (uji perigkat bertada Wilcoxo). Distribusi Perbedaa kesimpula σ 6 perbedaa 0 perbedaa 7 perbedaa Normal dega sama da μ berbeda dekat dimaa σ = 9 σ = 9 μ = 00 μ = 03 Normal dega σ sama da μ berbeda jauh dimaa σ = 9 σ = 9 μ = 00 μ = 5 Normal dega σ berbeda da μ berbeda dekat dimaa σ = 9 σ = 5 μ = 00 μ = 03 eragam (0, 00) 6 perbedaa eragam (0, 00) da (00, 00) Tidak ada perbedaa eragam (0, 75) da (5, 00) 4 perbedaa Berdasarka tabel terlihat bahwa dari data yag berdistribusi ormal dega asumsi varia sama da mea populasi berbeda dekat diperoleh 6 perbedaa kesimpula atara uji perigkat bertada Wilcoxo da uji t berpasaga. Hal ii meujukka bahwa uji t berpasaga lebih baik dari uji perigkat bertada Wilcoxo utuk kodisi data berdistribusi ormal dega varia populasi sama da mea berbeda dekat (Lampira ). Kesimpula yag diperoleh uji perigkat bertada Wilcoxo utuk data berdistribusi ormal dega varia populasi sama da mea populasi berbeda jauh haya 0 kesimpula yag tidak megikuti uji t berpasaga. Ii berarti atara uji t berpasaga da uji perigkat bertada Wilcoxo tetap lebih baik uji t berpasaga (Lampira ). Pada data simulasi yag berdistribusi ormal dega asumsi varia berbeda da mea populasi dekat, kesimpula atara uji t dega uji perigkat bertada Wilcoxo haya terdapat 7 perbedaa. Hal ii meujukka bahwa uji perigkat bertada 67

8 Kajia Uji Ma-Whitey da Uji Perigkat Bertada Wilcoxo Wilcoxo hampir seefisie uji t berpasaga utuk yag berasumsi varia populasi berbeda da mea populasi berbeda dekat (Lampira 3). Uji statistik oparametrik dega megguaka uji perigkat bertada Wilcoxo utuk data yag berdistribusi eragam (0,00) terdapat 6 perbedaa kesimpula dega kesimpula uji statistik parametrik dega megguaka uji t berpasaga. Hal ii berarti diatara 500 hasil simulasi data haya 6 kesimpula dari uji t yag tidak megikuti kesimpula dari uji perigkat bertada Wilcoxo. Uji perigkat bertada Wilcoxo da uji t berpasaga memberika hasil yag tidak ada perbedaa sama sekali utuk data yag berdistribusi eragam (0,00) da (00,00) sehigga kedua uji tersebut dapat dipakai utuk megaalisis data simulasi berdistribusi eragam (0,00) da (00,00) karea kedua ilai parameter dari populasi da populasi tidak salig berkaita (Lampira 5). Dari simulasi utuk data yag berdistribusi eragam (0,75) da (5,00) dega megguaka uji perigkat bertada Wilcoxo diperoleh hasil sebayak 4 perbedaa kesimpula dega kesimpula uji t berpasaga. Jadi pada kodisi data yag berdistribusi eragam (0,75) da (5,00) sudah terlihat jelas bahwa uji perigkat bertada Wilcoxo jauh lebih baik dari uji t berpasaga (Lampira 6). tatistik parametrik dega megguaka uji t dapat dilakuka jika beberapa persyarata terpeuhi, diataraya adalah populasi yag diaalisis harus berdistribusi ormal. ehigga pada data yag berdistribusi ormal, uji t lebih baik dari pada uji statistik oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey atau uji perigkat bertada Wilcoxo. tatistik oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey atau uji perigkat bertada Wilcoxo tidak megasumsika betuk distribusi data sehigga pada data yag buka berdistribusi ormal, uji oparametrik lebih baik daripada uji parametrik karea statistik oparametrik tidak harus memakai suatu parameter tertetu, seperti keharusa adaya Mea, tadar Deviasi, Varia, da laiya. eadaiya pada uji oparametrik diguaka pada data berdistribusi ormal, bisa saja megakibatka terjadi pelaggara asumsi. Pelaggara asumsi dapat berakibat fatal terhadap kesimpula yag diambil. KEIMPULAN DAN ARAN Kesimpula Berdasarka hasil simulasi data da pembahasa sebelumya, maka dapat diambil kesimpula sebagai berikut:. Utuk data yag diketahui betuk distribusiya yaitu berdistribusi ormal, uji parametrik dega megguaka uji t memberika hasil yag lebih baik daripada uji oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo.. Utuk data yag buka berdistribusi ormal (Kai-kuadrat, Gamma, da eragam), uji oparametrik dega megguaka uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo memberika hasil yag lebih baik daripada uji parametrik dega uji t. ara Peelitia ii dibatasi pada uji statistik oparametrik, yaitu uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo da aplikasiya utuk beberapa ilai parameter. 68

9 igma Mu Rho e-jural tatistika Utuk peelitia selajutya disaraka megkaji megeai uji Ma-Whitey da uji perigkat bertada Wilcoxo utuk ilai parameter-parameter yag lai. DAFTAR PUTAKA Aoim Tekik da Metode Aalisis Data. Bugi, B Metodologi Peelitia Kuatitatif : Komuikasi, Ekoomi da Kebijaka Publik erta Ilmu-Ilmu osial Laiya. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. Daiel, W tatistik Noparametrik Terapa. Jakarta : PT Gramedia. Djarwato, P Megeal Beberapa Uji tatistik Dalam Peelitia. urakarta : Uiversitas ebelas Maret. Harialdi Prisip-Prisip tatistik Utuk Tekik da ais. Jakarta : Erlagga. Murti, B Peerapa Metode tatistik Noparametrik Dalam Ilmu-Ilmu Kesehata. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. Nasoetio, A.H. da A.R. Rambe Teori tatistika utuk Ilmu-ilmu Kuatiatif. Jakarta : Bhratara Karya Aksara. Ruyo, R.P. ad A. Haber Fudametal Of Behavioral tatistics, (igapore: Mc GRAW HILL Iteratioal Editio, 989). aleh, tatistik Noparametrik. Yogyakarta: Uiversitas Gadjah Mada. aders, D.H tatistics : A Fresh Approach, (igapore: Mc GRAW HILL Iteratioal Editio). iegel, tatistik Noparametrik Utuk Ilmu-Ilmu osial. Jakarta : PT Gramedia. pigel, M tatistik. Terjemaha. Jakarta : Peerbit Erlagga. uprato, J tatistik : Teori da Aplikasi, Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama. 69