METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI. Sundari ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI Sundari Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus BinaWia, Pekanbaru 28293, Indonesia ABSTRACT This article discusses the differential transformation method used to find the approximate solutions of Riccati differential equations. The results derived by differential transform method is compared with the exact solution of Riccati differential equations. It is shown that these approximate solutions of Riccati differential equation are pretty well toward the exact ones. Keywords: equation Taylor series, differential transformation method, Riccati differential ABSTRAK Artikel ini membahas metode transformasi diferensial digunakan untuk menemukan solusi hampiran dari persamaan diferensial Riccati. Hasil yang telah diperoleh dibandingkan dengan solusi eksak persamaan diferensial Riccati. Hasil ini menunjukkan bahwa solusi hampiran dari persamaan diferensial Riccati cukup baik dalam menghampiri solusi eksak. Kata kunci: Deret Taylor, metode transformasi diferensial, persamaan diferensial Riccati 1. PENDAHULUAN Persamaan diferensial Riccati merupakan persamaan diferensial nonlinear dengan bentuk persamaan yang cukup kompleks, maka beberapa teknik analitik tidak dapat menyelesaikan persoalan ini. Untuk itu dikembangkan metode semi analitik yang dikontruksi dengan menggunakan deret yang ditulis oleh Purcell et al. [9]. Penamaan Riccati diambil dari nama akhir seorang matematikawan Italia yang bernama Jacopo Fransesco Riccati. Beberapa metode semi analitik telah dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial Riccati, seperti dekomposisi Adomian oleh Bhanasawi et al. [6], 1

2 iterasi variasi oleh Batiha et al. [5], transformasi diferensial oleh Biazar dan Eslami [7], dan pertubasi homotopi oleh Abbasban [1]. Metode transformasi diferensial merupakan suatu teknik numerik yang menggunakan metode deret Taylor yang ditulis oleh Bartle dan Sherbert [4] untuk solusi persamaan diferensial dalam bentuk polinomial. Konsep dari metode transformasi diferensial pertama kali diusulkan oleh Zhou, yang digunakan untuk masalah nilai awal yang linear dan nonlinear [7]. Metode ini telah banyak diterapkan untuk meyelesaikan berbagai macam persamaan atau fungsi, misalnya, persamaan diferensial aljabar oleh Fatma Ayaz [3], dan persamaan diferensial pecahan oleh Arikoglu dan Ozkol [2]. Artikel ini merupakan kajian ulang dari artikel Biazar dan Eslami [7]. Biazar dan Eslami [7] membandingkan metode mereka dengan metode dekomposisi Adomian oleh Bhanasawi et al. [6], sedangkan dalam artikel ini metode Biazar dan Eslami [7] dibandingkan dengan nilai eksak. 2. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Metode transformasi diferensial dapat dilakukan berdasarkan sifat-sifat dan definisi transformasi diferensial. Metode transformasi diferensial dari fungsi u(x) di x = x 0 yang kontinu didefinisikan sebagai berikut [7], [10]: U(k) = 1 [ ] d k u(x), (1) k! dx k x=x 0 dengan k anggota himpunan bilangan bulat tak negatif, dan U(k) adalah fungsi transformasi. Fungsi invers dari transformasi diferensial U(k) dapat didefinisikan sebagai berikut: u(x) = U(k)(x x 0 ) k. (2) Jika x 0 = 0, maka persamaan (2) menjadi u(x) = U(k)x k. (3) Karena dalam penerapan persamaan (3) hanya diambil sejumlah hingga suku saja, maka diperoleh solusi hampiran berikut: u(x) N U(k)x k. (4) Misalkan transformasi diferensial dari fungsi g(x) adalah G(k) dan transformasi diferensial dari fungsi f(x) adalah F (k). Untuk menentukan transformasi diferensial dari fungsi u(x), digunakan sifat-sifat sebagai berikut [7]: 2

3 1. Jika u(x) = λg(x) maka transformasinya adalah U(k) = λg(k). 2. Jika u(x) = dg(x) dx maka transformasinya adalah U(k) = (k + 1)G(k + 1). 3. Jika u(x) = f(x)g(x) maka transformasinya adalah U(k) = k F (r)g(k r). 4. Jika u(x) = s, dengan s adalah suatu { bilangan konstanta real, maka transformasinya adalah U(k) = δ(k) = s jika k = 0, 0 jika k PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI Persamaan diferensial Riccati merupakan suatu persamaan diferensial biasa nonlinear yang mempunyai bentuk umum [8] dx = Q(x)y + R(x)y2 + P (x). (5) Pada artikel ini hanya dibahas kasus khusus untuk Q(x), R(x), merupakan fungsi konstan, sehingga persamaan (5) ditulis menjadi dengan Q, R, dan P adalah konstan. dan P (x) dx = Qy + Ry2 + P, (6) 4. APLIKASI METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI Perhatikan kembali persamaan diferensial Riccati (6), dengan syarat awal y(0) = y 0. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mentransformasikan persamaan (6) berdasarkan sifat-sifat transformasi diferensial. Berdasarkan sifat 1, transformasi diferensial dari adalah (k +1)Y (k +1), dx kemudian berdasarkan sifat 2, transformasi diferensial dari Qy adalah QY (k). Dan ( k berdasarkan sifat 3, transformasi diferensial dari Ry 2 adalah R ), Y (r)y (k r) selanjutnya berdasarkan sifat 4, maka transformasi diferensial dari P adalah δ(k). Kemudian dari persamaan (6) diperoleh ( k ) (k + 1)Y (k + 1) = QY (k) + R Y (r)y (k r) + δ(k) [ Y (k + 1) = 1 QY (k) + R k + 1 ( k ) ] Y (r)y (k r) + δ(k), (7) 3

4 dengan Y (0) = 0. Kemudian dengan mensubstitusikan nilai k = 0, 1, 2, ke dalam persamaan (7), diperoleh [ ( k ) ] Y (1) = 1 QY (0) + R Y (r)y (0 r) + δ(0), [ ( 1 ) ] Y (2) = 1 QY (1) + R Y (r)y (1 r) + δ(1), (8) 2. Dari nilai-nilai Y (1), Y (2),, yang telah diperoleh disubstitusikan pada persamaan (3) sehingga diperoleh solusi hampiran berikut: y(x) = Y (k)x k. Dalam penerapannya, solusi hampiran dari persamaan (5) hanya diambil sejumlah hingga suku saja, maka diperoleh solusi hampiran berikut: y(x) N Y (k)x k. (9) 5. HASIL PERHITUNGAN Berikut ini, diberikan dua contoh penyelesaian persamaan diferensial Riccati menggunakan metode transformasi diferensial. Contoh 1. Tentukan solusi persamaan diferensial Riccati dx = 2y(x) y2 (x) + 1, y(0) = 0 (10) dengan menggunakan metode transformasi diferensial. Solusi. Dengan menggunakan persamaan (7) maka persamaan (10) dapat ditulis menjadi (k + 1)Y (k + 1) = 2Y (k) k Y (r)y (k r) + δ(k), [ Y (k + 1) = 1 2Y (k) k + 1 ] k Y (r)y (k r) + δ(k), (11) 4

5 dengan Y (0) = 0. Kemudian dengan mensubstitusikan setiap nilai k = 0, 1, 2,..., N pada persamaan (11) diperoleh nilai berikut: Y (1) = 1, Y (2) = 1, Y (3) = 1 3, Y (4) = 1 3, Y (5) = 7 15, Y (6) = 7 45, (12) Y (7) = , Y (8) =, Y (9) = Dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke dalam persamaan (9) maka diperoleh solusi dari persamaan (10) y(x) x + x x3 1 3 x x x x x x9, y(x) = tanh( 2x log( )). Perbandingan solusi eksak dan solusi hampiran dapat dilihat pada Gambar eksak 6 suku 10 suku Gambar 1: Grafik aproksimasi persamaan (10) Berdasarkan Gambar 1 solusi hampiran menggunakan metode transformasi diferensial memberikan hasil yang bagus pada 10 suku daripada 6 suku. Dalam hal ini, nilai N sangat berpengaruh terhadap solusi hampiran menggunakan metode transformasi diferensial pada persamaan diferensial Riccati. Jika N yang diambil semakin besar, maka solusi hampiran semakin mendekati nilai eksak. Contoh 2. Tentukan solusi persamaan diferensial Riccati dx = y2 (x) + 1, y(0) = 0 (13) 5

6 dengan menggunakan metode transformasi diferensial. Solusi. Berikut ini adalah penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial. Dengan menggunakan persamaan (7) maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi (k + 1)Y (k + 1) = k Y (r)y (k r) + δ(k), Y (k + 1) = 1 k + 1 [ ] k Y (r)y (k r) + δ(k), (14) dengan Y (0) = 0. Kemudian dengan mensubstitusikan setiap nilai k = 0, 1, 2,..., N pada persamaan (14) menghasilkan nilai sebagai berikut: Y (1) = 1, Y (2) = 0, Y (3) = 1 3, Y (4) = 0, Y (5) = 2, Y (6) = 0, (15) 15 Y (7) = 17 62, Y (8) = 0, Y (9) = Dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan (9) maka diperoleh solusi dari persamaan (13) y(x) x 1 3 x x x x9 = e2x 1 e 2x +1. Dari Gambar 2 terdapat tiga grafik solusi, yaitu solusi eksak, solusi hampiran menggunakan metode transformasi diferensial 10 suku dan 5 suku. Dari kedua grafik solusi hampiran memperlihatkan bahwa solusi hampiran menggunakan metode transformasi diferensial 10 suku memberikan hasil yang bagus dari pada 5 suku. Dalam hal ini, besar pengambilan N sangat berpengaruh terhadap dari solusi hampiran menggunakan metode transformasi diferensial pada persamaan diferensial Riccati. Jika N yang diambil semakin besar, maka solusi hampiran semakin mendekati nilai eksak. 6. KESIMPULAN Pada artikel ini, metode transformasi diferensial diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinear yaitu persamaan diferensial Riccati orde satu. Solusi yang diperoleh dari penerapan metode transformasi diferensial pada persamaan difernsial Riccati berupa deret tak hingga, Jumlah parsial dari deret ini merupakan hampiran solusi dari persamaan diferensial Riccati. Dari contoh yang diberikan dapat disimpulkan bahwa deret jumlah parsial tersebut cukup baik dalam menghampiri solusi eksak persamaan diferensial Riccati. 6

7 Perbandingan solusi eksak dan solusi hampiran dapat dilihat pada Gambar eksak 5 suku 10 suku Gambar 2: Grafik aproksimasi persamaan (13) Ucapan terima kasih Penulis ucapkan terima kasih kepada Dr. Leli Deswita, M.Si. dan Zulkarnain, M.Si. selaku dosen Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah meluangkan waktu dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] S. Abbasban, Homotopy pertubation method for quadratic Riccati differential equation and comparison with Adomians decomposition method, Applied Mathematics and Computation, 172 (2006), [2] A. Arikoglu dan I. Ozkol, Solution of fractional differential equations by using differential transform method, Chaos, Solitons and Fractals, 34 (2007), [3] F. Ayaz, Applications of differential transform method to differential algebraic equations, Applied Mathematics and Computation, 152 (2004), [4] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Third edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, [5] B. Batiha, M. S. M. Noorani dan I. Hashim, Application of Variational Iteration Method to a General Riccati Equation, International Math. Forum, 56 (2007),

8 [6] A. A. Bhanasawi, M. A. El-Tawil dan A. Abdel Naby, Solving Riccati differential equations using Adomian s decomposition method, Appl. Math. Comput., 157 (2004), [7] J. Biazar dan M. Eslami, Differential transformation method for quadratic Riccati differential equation, International Journal of Nonlinear Science, 9 (2010), [8] N. Finizio and G. Ladas, Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern, Terjemahan dari Ordinary Differential Equations with Modern Application, Second Edition, oleh S. Widiarti, Erlangga, Bandung, [9] E. J. Purcell, D. Varberg dan S. E. Rigdon, Kalkulus, edisi ke delapan, Terj. dari Calculus, Eighth Edition, oleh G. Julian, Penerbit Erlangga, Jakarta, [10] J. Stewart, Kalkulus, edisi ke Empat, Terj. dari Calculus, Fourth Edition, oleh I. N. Susila dan H. Gunawan, Penerbit Erlangga, Jakarta,