PELABELAN L(d, 2, 1) PADA OPERASI KOMPLEMEN DAN KORONA GRAF LINTASAN DAN SIKLUS

Transkripsi

1 Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan Volume 15 Nomor 1 Juni 018 (Halaman 11-19) ISSN : X PELABELAN L(d,, 1) PADA OPERASI KOMPLEMEN DAN KORONA GRAF LINTASAN DAN SIKLUS R. Natalia 1, I. W. Sudarsana, dan S. Musdalifah 3 1 Program Studi Matematika Jurusan Matematika,3 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia 1 reginatalia7@gmail.com, sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, 3 selvymusdalifah@yahoo.com ABSTRACT Let G be a graph with p vertices and q edges. An L(d,,1) labeling of graph G is a function of f: V {1,,, } such that the following condition f(u) f(v) d, for d(u, v) = 1, f(u) f(v), where d(u, v) denoted the on distance of two vertices u and v d(u, v) =, and f(u) f(v) 1, for d(u, v) = 3. A number is called the span of L(d,,1) labeling, if is the largest label vertex of L(d,,1) labeling. Notation (G) states that the smallest span of all L(d,,1) labeling on a graph G. An injective labeling L(d,,1) is called L (d,,1) and a minimum span of all labeling L (d,,1) denoted by (G). A graph G which has L (d,,1) labeling is called the L (d,,1) graph. In this paper we study of such labeling by considering complement of path and cycle. The result showed that complement of path (P n ) has (P n ) = 1 + ( n 1 the cycle (C ) n has (C n ) = 1 + ( n 1 ) d, for n = 5,7,9, and k d (P n ) = 3 + ( n ) d, for n = 4,6,8, and complement of ) d, for n = 5,7,9, and k d (C ) n = 3 + ( n ) d, for n = 6,8,10, and K 1 corona of two paths (K 1 P n ) has (K 1 P n ) = d + 4n 1. Therefor, the complement of paths (P n ), the complement of cycle (C ), n and K 1 corona of two path (K 1 P n ) are L (d,,1) graph. Keywords : Complement of Cycle Graph (C ), n Complement of Path Graph (P ), n Corona of Two Path Graph (K 1 P n ), L(d,, 1) Labeling, L (d,, 1) Labeling ABSTRAK Misalkan G adalah graf dengan p titian q sisi. Pelabelan L(d,,1) pada graf G adalah fungsi f: V {1,,, } yang memenuhi kondisi f(u) f(v) d, jika d(u, v) = 1, f(u) f(v), jika d(u, v) =, dan f(u) f(v) 1, jika d(u, v) = 3. Suatu bilangan disebut span dari pelabelan L(d,,1), jika adalah label titik terbesar atas pelabelan L(d,,1). Notasi (G) menyatakan span terkecil atas semua pelabelan L(d,,1) pada graf G. Pelabelan L(d,,1) yang injektif disebut pelabelan L (d,,1) dan minimal span atas semua pelabelan L (d,,1) dinotasikan (G). Sebuah graf G yang mempunyai pelabelan L (d,,1) dinamakan graf L (d,,1). Hasil penelitian menunjukkan bahwa komplemen dari graf lintasan (P n ) dengan (P n ) = 1 + ( n 1 ) d, untuk n = 5,7,9, dan k d (P n ) = 3 + ( n ) d, untuk n = 4,6,8, dan komplemen pada graf siklus (C ) n dengan (C ) n = 1 + ( n 1 ) d untuk, n = 5,7,9, dan (C ) n = 3 + ( n ) d, untuk n = 6,8,10, dan K 1 korona dua graf lintasan (K 1 P n ) dengan (K 1 P n ) = d + 4n 1. Dengan demikian, komplemen dari graf lintasan (P n ), komplemen pada graf siklus (C ), n dan K 1 korona dua graf lintasan (K 1 P n ) adalah graf L (d,,1). Kata kunci : Komplemen dari Graf Siklus (C ), n Komplemen dari Graf Lintasan (P ), n K 1 Korona Dua Graf Lintasan (K 1 P n ), Pelabelan L(d,, 1), Pelabelan L (d,, 1)

2 I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan salah satu topiari teori graf yang mendapat perhatian khusus karena model-model yang ada dalam teori graf berguna untuk aplikasi yang luas, misalnya pada jaringan komunikasi, transportasi, navigasi, geografis, penyimpanan data komputer, dan riset operasi. Pelabelan graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf tersebut dengan menggunakan bilangan positif. Jika yang diberi label hanya titik (vertex) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan titik.jika yang diberi label hanya sisi (edge) saja, maka pelabelannya disebut pelabelan sisi. Sedangkan jika keduanya, titik (vertex) dan sisi (edge) diberi label, maka pelabelannya disebut pelabelan total. Komplemen suatu graf G dinotasikan dengan G dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan titik-titik G sama dengan titik-titik G, jadi V(G) = V(G ). Sisi-sisi pada G adalah komplemen sisi-sisi G terhadap graf lengkapnya. Berarti titik-titik yang dihubungkan dengan sisi G tidak berhubungan dalam G dan sebaliknya titik-titik yang berhubungan dalam G menjadi tidak berhubungan dalam G (dengan kata lain sisi yang ada pada G tidak ada di G ). Misalkan G 1 dan G adalah dua buah graf, hasil operasi korona pada graf G 1 terhadap G dinotasikan dengan G 1 G adalah graf korona yang diperoleh dengan mengambil m graf G, sebut G 1, G,, G m dimana m adalah banyak titik graf G 1. Kemudian menghubungkan titik ke-i dari G 1 ke setiap titii G (i) dimana i = 1,,, m (Anwar dkk, 015). Komplemen dari graf lintasan dinotasikan dengan P n dimana titik-titik P n sama dengan titik-titik P n, jadi V(P n ) = V(P ). n Sisi-sisi pada P n adalah komplemen sisi-sisi P n. Berarti titik-titik yang dihubungkan dengan sisi P n tidak berhubungan dalam P n dan sebaliknya titik-titik yang berhubungan dalam P n menjadi tidak berhubungan dalam P n (dengan kata lain sisi yang ada pada P n tidak ada di P ). n Komplemen dari graf siklus dinotasikan dengan C n dimana titik-titik C n sama dengan titik-titik C n, jadi V(C n ) = V(C ). n Sisi-sisi pada C n adalah komplemen sisi-sisi C n. Berarti titik-titik yang dihubungkan dengan sisi C n tidak berhubungan dalam C n dan sebaliknya titik-titik yang berhubungan dalam C n menjadi tidak berhubungan dalam C n (dengan kata lain sisi yang ada pada C n tidak ada di C ). n Graf K 1 P n merupakan graf yang dibentuari graf K 1 dikoronakan dengan dua graf lintasan (P n ), dengan demikian graf K 1 P n mempunyai n + 1 titian (n 1) sisi. Pelabelan L(d,,1) didefinisikan sebagai pemberian label pada titik suatu graf dari himpunan titik V(G) ke himpunan bilangan bulat positif {1, } sehingga jarak label dari dua titik yang saling bertetangga paling sedikit d, jika dua titiengan jaraua maka memiliki selisih label paling sedikit dua, dan jika dua titiengan jarak tiga maka memiliki selisih label paling sedikit satu. Bilangan pelabelan L(d,,1) dinotasikan dengan (G) yang merupakan bilangan asli terkecil dari k sedemikian sehingga G memiliki pelabelan L(d,,1) dengan 1

3 sebagai label maksimum (Indriati dkk, 01). Pelabelan L(d,,1) sudah dilakukan pada beberapa kelas graf oleh diantaranya graf lintasan, graf lengkap, graf bipartite, dan graf siklus d 3 (Clipperton, 008). Pada tahun 01, Indriati dkk, telah melakukan penelitian pada graf bintang, graf matahari dan graf roda. Pelabelan L(,1) pada graf kipas, graf roda, graf teratai, graf K 1 (P n F n ) dan graf K 1 tc n (Fatimah, 016). Pelabelan L(3,,1) pada graf pohon, Cartesian product, Power, graf lintasan, graf siklus (Ma-Lian Chia dkk, 011). Pelabelan L(3,,1) pada Graf Kite, Graf Sun, dan Graf Wheel (Novita, 01). Namun untuk hasil operasi komplemen dan korona graf lintasan dan silklus merupakan masalah terbuka. Oleh karena itu, pada artikel ini akan di bahas tentang pelabelan L (d,,1) pada operasi komplemen dan korona graf lintasan dan siklus. 1.. Batasan Masalah Dari penelitian ini, observasi yang dapat dilakukan pada beberapa graf adalah pertama komplemen dari graf lintasan (P n ), dimana n 4 dan d 4, kedua komplemen dari graf siklus (C ), n dimana n 5 dan d 4, ketiga graf K 1 korona dua graf lintasan (K 1 P n ), dimana n dan d 3. II. METODE PENELITIAN 1. Memulai penelitian.. Menotasikan titik pada graf P, n C, n dan K 1 P n. 3. Memberikan label pada titiari graf P, n C, n dan K 1 P n. 4. Membuat formulasi dari pelabelan L(d,,1) pada graf P, n C, n dan K 1 P n. 5. Mencari nilai k d (G)dengan G adalah graf P, n C, n dan K 1 P n. 6. Membuat bukti graf P, n C, n dan K 1 P n mempunyai formula k d (G) dengan G adalah graf P, n C, n dan K 1 P n. 7. Kesimpulan. 8. Selesai. III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas pelabelan L(d,,1) pada komplemen dari graf lintasan (P n ) dan komplemen dari graf siklus (C ) n serta graf K 1 dikoronakan dengan dua graf lintasan (K 1 P n ). Sebelum itu, diberikan definisi korona M. isalkan G 1 dan G adalah dua buah graf, hasil operasi korona pada graf G 1 terhadap G dinotasikan dengan G 1 G adalah graf korona yang diperoleh dengan mengambil m graf G, sebut G 1, G,, G m dimana m adalah banyak titik graf G 1. Kemudian menghubungkan titik ke-i dari G 1 ke setiap titii G (i) dimana i = 1,,, m (Anwar dkk, 015). Definisi 1: Pelabelan L(d,,1) pada graf G adalah fungsi f: V N yang memenuhi kondisi (1). f(u) f(v) d, jika D(u, v) = 1, (). f(u) f(v), jika D(u, v) =, (3). f(u) f(v) 1, jika D(u, v) = 3. Bilangan pelabelan L(d,,1) disimbolkan (G), dari graf G 13

4 adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga G memiliki pelabelan L(d,,1) dengan sebagai label maksimum. Definisi : Pelabelan L(d,,1) yang injektif disebut pelabelan L(d,,1). Span minimum atas semua pelabelan L(d,, 1) pada graf G, dinotasikan dengan (G). Pada bab ini akan dibahas pelabelan L(d,,1) pada komplemen dari graf lintasan (P n ) dan komplemen dari graf siklus (C ) n serta graf dua graf lintasan P n (K 1 P n ) dikoronakan dengan K 1 Teorema 1. Jika H merupakan spanning subgraf terhubung dari G maka (H) (G). Bukti : Misal G merupakan graf terhubung dengan order n dan H merupakan spanning subgraf terhubung dari G dengan V(H) = V(G) dimana V(H) = {v i 1 i n} dan V(G) = {u i 1 i n}, v i H adalah titik yang bersesuaian dengan u i G. Misalkan (G) = k. Karena (G) = k maka G memiliki pelabelan L(d,,1) dengan span terkecil k. Sebut f: V(G) {1,,, k} ada. Karena H merupakan spanning subgraf terhubung dari G maka dapat diambil pelabelan g = f sedemikian sehingga span dari g adalah k. Dengan demikian, (H) k = (G). Jadi, (H) (G). Teorema di atas berlaku juga untuk L(d,,1) yang injektif, sehingga (H) (G) Komplemen dari Graf Lintasan ( ) P n Sebelum itu akan diberikan notasi titiari graf P n untuk n 1 adalah sebagai berikut : v v 1 v 3 v n 1 vn Gambar 1 : Penotasian titik pada graf P n Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titian sisi pada graf P n untuk n 4, yaitu : V(P n ) = {v i 1 i n} E(P n ) = {v i v i+j 1 i n, j n i} Teorema. Komplemen dari graf lintasan (P n ), mempunyai Bukti : Kasus 1 : n, n 5 (P ) n = { 1 + (n 1 ) d, n = 5,7,9, d ( n ) d, n = 4,6,8, d 4 Pandang notasi titik untuk graf P n pada Gambar 1 akan ditunjukkan k d (P n ) 1 + ( n 1 ) d yaitu dengan mengkontruksi pelabelan L (d,,1) dari graf P. n Definisikan fungsi f: V(P n ) {1,,,1 + ( n 1 ) d} sebagai berikut : 14

5 1 + ( i 1 ) d, 1 i n, i f(v i ) = { 3 + ( i ) d, i n, i Dapat diverifikasi bahwa fungsi f memenuhi sifat pelabelan L (d,,1) dalam Definisi dengan label terbesar adalah 1 + ( n 1 ) d, pada saat f(v 1 ) = f(v n ). Jadi, 1 + ( n 1 ) d. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 1 + ( n 1 ) d. Misalkan v i adalah titiengan label 1 (f(v i ) = 1), titik v i akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 4 himpunan titik. {v i, v i+1, v i+, v i+3 } akan membentuk P 4 dengan 4 titik yaitu {v i, v i+1, v i+, v i+3 } dengan i 1. Jika, f(v 1 ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3, sampai f(v n ) 1 + ( n 1 ) d. Dan jika, f(v n ) = 1 akibatnya f(v n 1 ) 3, f(v n ) = d + 1, f(v n 3 ) d + 3, sampai f(v 1 ) 1 + ( n 1 ) d. Sementara itu, untuk f(v i ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3 sampai f(v i 1 ) 3 + ( n 1 ) d, dimana i =,3,, n 1 dan d 4. Kasus : n n 4 Pandang notasi titik untuk graf P n pada Gambar 1 akan ditunjukkan k d (P n ) 3 + ( n ) d yaitu dengan mengkontruksi pelabelan L (d,,1) dari graf P. n Definisikan fungsi f: V(P n ) {1,,,1 + ( n 1 ) d} sebagai berikut : f(v i ) = { 1 + ( i 1 ) d, 1 i n, i 3 + ( i ) d, i n, i Dapat diverifikasi bahwa fungsi f memenuhi sifat pelabelan L (d,,1) dalam Definisi dengan label terbesar adalah 3 + ( n ) d pada saat i = n. Jadi, k d 3 + ( n ) d. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 3 + ( n ) d. Misalkan v i adalah titiengan label 1 (f(v i ) = 1), titik v i akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 4 titik. {v i, v i+1, v i+, v i+3 } akan membentuk P 4 dengan 4 titik yaitu {v i, v i+1, v i+, v i+3 } dengan i 1. Jika, f(v i ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3 sampai f(v n ) 3 + ( n ) d. Dan jika, f(v n ) = 1 akibatnya f(v n 1 ) 3, f(v n ) = d + 1, f(v n 3 ) d + 3, sampai f(v 1 ) 1 + ( n 1 ) d. Sementara itu, untuk f(v i ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3 sampai f(v i 1 ) ( n ) d dimana i =,3,, n 1 dan d 4. Dari beberapa kasus diatas, maka dapat disimpulkan bahwa k d (P n ) 1 + ( n 1 ) d untuk n dan k d (P n ) 3 + ( n ) d untuk n. 15

6 3.. Komplemen dari Graf Siklus ( ) C n Sebelum itu akan diberikan notasi titiari graf C n untuk n 1 adalah sebagai berikut : v 1 vn v v n 1 v 3 Gambar : Penotasian titik pada graf C n Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titian sisi pada graf C n untuk n 1, yaitu: V(C n ) = {v i 1 i n} E(C n ) = {v 1 v 1+j j n } {v i v i+j i n, j n i} Teorema 3. Komplemen dari graf siklus (C n ), dengan n 5 mempunyai 1 + ( n 1 ) d, n = 5,7, d 4 (C ) n = { 3 + ( n ) d, n = 6,8, d 4 Bukti : Kasus 1 : n, n 5 Pandang notasi titik untuk graf C n pada Gambar akan ditunjukkan k d (C ) n 1 + ( n 1 ) d yaitu dengan mengkontruksi pelabelan L (d,,1) dari graf C. n Definisikan fungsi f: V(C ) n {1,,,1 + ( n 1 ) d} sebagai berikut. f(v i ) = 1 + ( i 1 ) d, i { 3 + ( i ) d, i Dapat diverifikasi bahwa fungsi f memenuhi sifat pelabelan L (d,,1) dalam Definisi dengan label terbesar adalah 1 + ( n 1 ) d. Jadi, k d 1 + ( n 1 ) d. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 1 + ( n 1 ) d. Misalkan v i adalah titiengan label 1 (f(v i ) = 1), titik v i akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 5 himpunan titik. {v i, v i+1, v i+, v i+3, v i+4 } akan membentuk C 5 {v i v i+4 } hanya khusus untuk n = 5, dengan 5 titik yaitu {v i, v i+1, v i+, v i+3, v i+4 } dengan i 1. 16

7 Jika, f(v i ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3, f(v i+4 ) d + 1, sampai f(v i 1 ) 1 + ( n 1 ) d dimana i =,3,, n. Sementara itu, untuk (f(v 1 ) = 1) akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3, f(v i+4 ) d + 1, sampai f(v n ) 1 + ( n 1 ) d dengan d 4. Kasus 1 : n n 6 Pandang notasi titik untuk graf C n pada Gambar akan ditunjukkan k d (C ) n 3 + ( n ) d yaitu dengan mengkontruksi pelabelan L (d,,1) dari graf C. n Definisikan fungsi f: V(C ) n {1,,,3 + ( n ) d} sebagai berikut. f(v i ) = 1 + ( i 1 ) d, i { 3 + ( i ) d, i Dapat diverifikasi bahwa fungsi f memenuhi sifat pelabelan L (d,,1) dalam Definisi dengan label terbesar adalah 1 + ( n 1 ) d. Jadi, k d 3 + ( n ) d. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 3 + ( n ) d. Misalkan v i adalah titiengan label 1 (f(v i ) = 1), titik v i akan menginduksi lintasan dengan paling sedikit 5 himpunan titik. {v i, v i+1, v i+, v i+3, v i+4 } akan membentuk C 5 {v i v i+4 } hanya khusus untuk n = 5, dengan 5 titik yaitu {v i, v i+1, v i+, v i+3, v i+4 } dengan i 1. Jika, f(v i ) = 1 akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3, f(v i+4 ) d + 1, sampai f(v i 1 ) 1 + ( n 1 ) d dimana i =,3,, n. Sementara itu, untuk (f(v 1 ) = 1) akibatnya f(v i+1 ) 3, f(v i+ ) = d + 1, f(v i+3 ) d + 3, f(v i+4 ) d + 1, sampai f(v n ) 3 + ( n ) d dan d 4. Dengan demikian, dari beberapa kasus diatas, dapat disimpulkan bahwa 1 + ( n 1 ) d untuk n dan k d (C ) n 3 + ( n ) d untuk n K 1 Korona Dua Graf Lintasan (K 1 P n ) Sebelum itu akan diberikan notasi titik secara umum pada K 1 korona dua graf lintasan (K 1 P n ) untuk n 5 dan d 3 dapat dilihat pada gambar : v1 v v n 1 u vn ' v 1 ' v ' v n 1 ' v n Gambar 3 : Penotasian titik pada graf K 1 P n 17

8 Berdasarkan di atas dapat dinotasikan himpunan titian sisi pada graf K 1 P n untuk n, yaitu: V(K 1 P n ) = {u} {v i 1 i n} {v i 1 i n} E(K 1 P n ) = {uv i, 1 i n} {uv i, 1 i n} {v i v i+1 1 i n 1} {v i v i+1, 1 i n 1} Teorema 4. K 1 korona dua graf lintasan, K 1 P n, mempunyai (K 1 P n ) = d + 4n 1, dimana n 5, dan d 3 Bukti : Pandang notasi titik untuk graf K 1 P n pada Gambar 3 akan ditunjukkan (K 1 P n ) d + 4n 1 yaitu dengan mengkonstruksi pelabelan L(d,,1) dari graf K 1 P n. Definisikan fungsi injektif f: V(K 1 P n ) {1,, d + 4n 1} sebagai berikut : Untuk n 5 dan d 3, dimana n : f(u) = 1 d + i, 1 i n, i f(v i ) = { d + n + i + 1, i n, i d + n + i + 1, 1 i n, i f(v i ) = { d + 3n + i, i n, i Untuk n 5 dan d 3, dimana n : f(u) = 1 d + i, 1 i n, i f(v i ) = { d + n + i 1, i n, i d + n + i, 1 i n, i f(v i ) = { d + 3n + i 1, i n, i Dapat diverifikasi bahwa fungsi f memenuhi pelabelan L (d,,1) dalam Definisi 1 dan Definisi dengan label terbesar adalah d + 4n 1 pada saat f(v i ) dengan i = 3n 1 untuk n dan pada titik f(v i ) dengan i = n untuk n. Oleh karena itu, (K 1 P n ) d + 4n 1. Selanjutnya akan ditunjukkan (K 1 P n ) d + 4n 1. Pandang graf K 1,n adalah spanning subgraf terhubung dari K 1 P n dan menurut Teorema 1, memberikan (K 1 P n ) (K 1,n ) = d + 4n 1 sehingga (K 1 P n ) d + 4n 1 dimana n 5. Jadi, (K 1 P n ) = d + 4n 1. IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari teorema tersebut adalah pertama komplemen dari graf lintasan (P ) n adalah L (d,,1) dengan n 4 dan d 4, (P ) n = 1 + ( n 1 ) d dengan n ganjl atau (P ) n = 3 + ( n ) d dengan n, kedua komplemen dari graf siklus (C ) n adalah L (d,,1) dengan n 5 dan d 4, k d (C n ) = 1 + ( n 1 ) d untuk n, atau k d (C n ) = 3 + ( n ) d untuk n, 18

9 ketiga K 1 korona dua graf lintasan, K 1 P n, mempunyai (K 1 P n ) = d + 4n 1, dimana n 5, dan d 3. DAFTAR PUSTAKA [1] Anwar, N., Haryanto, L., dan Nurdin, Penentuan Nilai Tes Graf Korona P m P n Dengan Syarat Sisi-Sisi P m Memiliki Bobot Terkecil, Makassar, 015, FMIPA Universitas Hasanuddin. [] Chia, M, L., Kuo, D., Liao, H, Y., Yang, C, H., Yeh, R, K., L(3,,1)-Labeling Of Graphs, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 15, 011, No.6. [3] Clipperton, J., L(d,,1) Labeling of Simple Graphs, Simpson College, 008, IA. [4] Fatimah, S., Sudarsana, I, W,. Musdalifah, S., Pelabelan L(,1) pada Operasi Beberapa Kelas Graf, Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan, Vol.13, 016 No.. [5] Herlinawati, N., Pelabelan L(3,,1) pada Graf Kite, Graf Sun, dan Graf Wheel. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, 01, Universitas Sebelas Maret. [6] Indriati, D., Martini, T, S., Hernilawati, N., L(d,,1)-Labeling of Star and Sun Graphs, Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science. Sebelas Maret University, Vol., 01, No