DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS ANDALAS FAKULTAS MIPA JURUSAN MATEMATIKA RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS)

Transkripsi

1 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS ANDALAS FAKULTAS MIPA JURUSAN MATEMATIKA RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) Mata Kuliah Statistika Matematika II Dosen Dr. Maiyastri, M.Si. Ir. Yudiantri Asdi, M.Sc. Kode / SKS PAM 342/ 4 SKS Kode Dosen Prasyarat Status Wajib Universitas Andalas Jurusan Matematika Fakultas MIPA Program Studi Matematika Konsentrasi Semester 5 (Lima) KOMPETENSI: 1. Mahasiswa memiliki kemampuan menjelaskan konsep sebaran pelimitan, pendugaan parameterdan pengujian hipotesis POKOK BAHASAN: 1. Statistik Tataan 2. Sebaran Pelimitan 3. Statistik dan Sebaran Penarikan Sampel 4. Pendugaan Titik 5. Kecukupan dan Kelengkapan 6. Pendugaan Selang 7. Pengujian Hipotesis (1) MINGG U KE (2) KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN (KOMPETENSI) (3) BAHAN KAJIAN (4) BENTUK PEMBELAJARAN (5) KRITERIA PENILAIAN (INDIKATOR ) (6) BOBOT NILAI (%) 1 1. Mengetahui rencana pembelajaran 2. Menurunkan sebaran statistik tataan Pendahuluan dan Statistik Tataan Penjelasan rencana pembelajaran dan materi pokok Kehadiran 2 1. Mendapatkan sebaran pelimitan dari fungsi peubah acak. 2. Menjelaskan pengertian konvergen dalam sebaran 3 3. Menjelaskan pengertian konvergen dalam peluang 4. Menjelaskan tentang Teorema Limit Pusat 4 5. Menjelaskan tentang sebaransebaran normal asimtotik 6. Menjelaskan tentang sifatsifat konvergen stokhastik Sebaran Pelimitan Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis 5 1. Menjelaskan pengertian statistik 6 2. Menurunkan sebaran dari statistik 3. Menurunkan sebaran-sebaran t dan F 7 4. Menjelaskan tentang sifatsifat sebaran normal Statistik dan Sebaran Penarikan Sampel Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis 01

2 8 1. Menggunakan metode momen dalam pendugaan parameter 9 2. Menggunakan metode kemungkinan maksimum dalam pendugaan parameter 3. Menjelaskan sifat-sifat penduga parameter Pendugaan Titik Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis 1. Menjelaskan konsep kecukupan dan kelengkapan 2. Menggunakan kriteria faktorisasi untuk mendapatkan statistik cukup 3. Menjelaskan sifat-sifat statistik cukup Kecukupan dan kelengkapan Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis Menurunkan pendugaan selang menggunakan metode pivot 2. Menurunkan pendugaan selang menggunakan metode umum Pendugaan Selang Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis Menjelaskan konsep pengujian hipotesis Menjelaskan uji paling kuasa Menggunakan Lemma Neyman-Pearson untuk menentukan daerah kritis pada pengujian hipotesis sederhana 4. Menjelaskan uji paling kuasa seragam 5. Menjelaskan uji rasio kemungkinan Pengujian Hipotesis Presentasi dosen dan diskusi Kehadiran, PR, Quis NORMA AKADEMIK : - Kegiatan pembelajaran sesuai Jadwal Resmi, toleransi keterlambatan 20 menit. - Aturan jumlah minimal presensi dalam pembelajaran tetap diberlakukan, termasuk aturan cara berpakaian atau bersepatu. NILAI AKHIR: Tugas/Kuis 15% UTS 40% UAS 45% Kelulusan berdasarkan Peraturan Akademik Unand TUGAS TERSTRUKTUR : Pekerjaan Rumah (PR) yang diambil dari referensi. Referensi: Bain, L. J. and M. Engelhardt Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2 nd ed. PWS-Kent Publ. Co. Boston. Dibuat Diperiksa Disetujui Tanggal Tanggal Tanggal Oleh Oleh Oleh Jabatan Dosen MK Jabatan Tim Evaluasi Kurikulum TM Jabatan Kajur Matematika Tanda Tangan Tanda Tangan Tanda Tangan 02

3 SEBARAN STATISTIK TATAAN AndaikanX1, X2, X3 merupakan contoh acak dari sebaran kontinu. Karena contoh acak diambil dari populasi asal yang mempunyai sebaran kontinu, maka peluang untuk memperoleh sedikitnya dua nilai yang sama adalah nol, yakni P(X 1 = X 2 ) = P(X 1 = X 3 ) = P(X 2 = X 3 ) = P(X 1 = X 2 = X 3 ) = 0. Kemudian ketiga peubah ini diurutkan dari kecil ke besar, misalkan dinotasikan dengan X(1), X(2), dan X(3).. Untuk lebih sederhana disimbolkan dengan peubah baru yaitu berturutturut Y1, Y2, dan Y3. Peubah yang diperoleh dengan cara demikian disebut dengan statistik tataan (order statistics). Sebagai contoh misalkan x1= 4, x2 = 5, x3 = 1. Maka y1= x(1) = 1, y2 =x(2) = 4 dan y3 = x(3) = 5. (x1,x2,x3) (y1,y2,y3) A B X ~ f(x) dalam selang (a, b) A = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 1 < x 2 < x 3 < b} {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 1 < x 3 < x 2 < b} {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 2 < x 1 < x 3 < b} {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 2 < x 3 < x 1 < b} {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 3 < x 1 < x 2 < b} {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 3 < x 2 < x 1 < b}

4 Sebaran Statistik Tataan A 1 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 1 < x 2 < x 3 < b} x 1 = y 1 x 2 = y 2 x 3 = y J 1 = = A 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 1 < x 3 < x 2 < b} x 1 = y 1 x 2 = y 3 x 3 = y J 2 = = A 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 2 < x 1 < x 3 < b} x 1 = y 2 x 2 = y 1 x 3 = y J 3 = = A 4 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 2 < x 3 < x 1 < b} x 1 = y 3 x 2 = y 1 x 3 = y J 4 = =

5 Sebaran Statistik Tataan A 5 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 3 < x 1 < x 2 < b} x 1 = y 2 x 2 = y 3 x 3 = y J 5 = = A 6 = {(x 1, x 2, x 3 ) a < x 3 < x 2 < x 1 < b} x 1 = y 3 x 2 = y 2 x 3 = y J 6 = = Sehingga J i =1, untuk i = 1,2,, 6. Fungsi kepekatan peluang bersama dari X1, X2, X3 adalah f X1,X 2,X 3 (x 1, x 2, x 3 ) = 3 i=1 f(x i ) untuk a < x i < b, i = 1, 2, 3 Fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1, Y2, Y3 adalah Teorema. 6 g(y 1, y 2, y 3 ) = f (w ij (y)) J i 3 i=1 j=1 = 3! f(y 1 )f(y 2 )f(y 3 ) untuk a < y 1 < y 2 < y 3 < b Bila X1, X2,, Xn adalah contoh acak dari sebaran kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dalam selang (a, b) dan Y 1 = X (1), Y 2 = X (2),, Y n = X (n), maka f.k.p bersama dari Y 1, Y 2,, Y n adalah g(y 1, y 2,, y n ) = { n! f(y 1 )f(y 2 ) f(y n ), a < y 1 < y 2 < < y n < b, 0, selainnya 3

6 Sebaran Statistik Tataan Contoh. Andaikan X1, X2,,X20 adalah contoh acak dari sebaran f(x) = 2x, 0 < x < 1 nol selainnya. Dapatkan fungsi kepekatan peluang dari dan Y 1 = X (1), Y 2 = X (2),, Y 20 = X (20). Penyelesaian: Fungsi kepekatan peluang dari Y1, Y2,,Y20 adalah g(y 1, y 2,, y 20 ) = 20! f(y 1 )f(y 2 ) f(y 20 ) 20 = 20! (2y i ) i=1 20 = 20! 2 20 y i i=1 untuk 0 < y 1 < y 2 < < y 20 < 1. Misalkan X1, X2,,Xn adalah contoh acak dari sebaran f(x) dalam selang (a, b) dan Y 1 = X (1), Y 2 = X (2),, Y n = X (n). Bagaimana sebaran dari Y1? Bagaimana sebaran dari Yn? Bagaimana sebaran dari Yk? Bagaimana sebaran dari Yi, Yj? a) Sebaran dari Y1 Fungsi kepekatan peluang dari Y1 dapat diturunkan dari mengintegralkan fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1, Y2,,Yn terhadap peubah selain Y1. g 1 (y 1 ) = g(y 1, y 2,, y n )dy 2 dy n b b = n! f(y 1 )f(y 2 ) f(y n )dy n dy 2 y 1 y n 1 n! = (n 1)! [1 F(y 1 )]n 1 f(y 1 ) = n[1 F(y 1 )] n 1 f(y 1 ) untuk a < y 1 < b b) Sebaran dari Yn Fungsi kepekatan peluang dari Yn dapat diturunkan dari mengintegralkan fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1, Y2,,Yn terhadap peubah selain Yn. 4

7 Sebaran Statistik Tataan g n (y n ) = g(y 1, y 2,, y n )dy 1 dy n 1 y n y 2 = n! f(y 1 )f(y 2 ) f(y n )dy 1 dy n 1 a a n! = (n 1)! [F(y n )]n 1 f(y n ) = n[f(y n )] n 1 f(y n ) untuk a < y n < b c) Sebaran dari Yk Fungsi kepekatan peluang dari Yk dapat diturunkan dari mengintegralkan fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1, Y2,,Yn terhadap peubah selain Yk. g k (y k ) = g(y 1, y 2,, y n )dy 1 dy k 1 dy k+1 dy n y k y 2 b b = n! f(y 1 )f(y 2 ) f(y n )dy n dy k+1 dy 1 dy k 1 = a a untuk a < y k < b y k y n 1 n! (k 1)! (n k)! [F(y k )]k 1 [1 F(y k )] n k f(y k ) d) Sebaran bersamadari Yi, Yj g ij (y i, y j ) = g(y 1, y 2,, y n )dy 1 dy i 1 dy i+1 dy j 1 dy j+1 dy n y j y j y i y 2 b b = n! f(y 1 )f(y 2 ) f(y n )dy n dy j+1 dy 1 dy i 1 dy j 1 dy i+1 y i y j 2 a a y j y n 1 n! = (i 1)! (j i 1)! (n j)! [F(y i )]i 1 f(y i )[F(y j ) F(y i )] j i 1 [1 F(y j )] n j f(yj ) untuk a < y i < y j < b Contoh. Andaikan X1, X2,,X20 adalah contoh acak dari sebaran f(x) = 2x, 0 < x < 1 nol selainnya. Misalkan Y 1 = X (1), Y 2 = X (2),, Y 20 = X (20). Dapatkan fungsi kepekatan peluang dari (a) statistik tataan ke-1, Y1 5

8 Sebaran Statistik Tataan (b) statistik tataan ke-20, Y20 (c) statistik tataan ke-, Y (d) statistik tataan ke-5 dan 15, Y5 dan Y15 Penyelesaian: (a) Fungsi kepekatan peluang dari Y1adalah g 1 (y 1 ) = 20(1 y 1 2 ) 20 1 (2y 1 ) = 40y 1 (1 y 1 2 ) 19 untuk 0 < y 1 < 1 (b) Fungsi kepekatan peluang dari Y20adalah g 20 (y 20 ) = 20(y 2 20 ) 20 1 (2y 20 ) 39 = 40y 20 untuk 0 < y 20 < 1 (c) Fungsi kepekatan peluang dari Yadalah g (y ) = 20! (y 9!! 2 ) 9 (1 y 2 ) (2y ) = y 19 (1 y 2 ) untuk 0 < y < 1 (d) Fungsi kepekatan peluang bersama dari Y5 dan Y15adalah g 5,15 (y 5, y 15 ) = 20! 4! 9! 5! (y 5 2 ) 4 (2y 5 )(y 2 15 y 2 5 ) 9 (2y 15 )(1 y 2 15 ) 5 = y 9 5 y 15 (y 2 15 y 2 5 ) 9 (1 y 2 15 ) 5 untuk 0 < y 5 < y 15 < 1 Untuk peubah acak diskrit dan kontinu, fungsi kepekatan peluang dari statistik tataan minimum atau maksimum dapat diturunkan langsung menggunakan teknik CDF. Untuk statistik tataan minimum Untuk statistik tataan maksimum G 1 (y 1 ) = P(Y 1 y 1 ) = 1 P(Y 1 > y 1 ) = 1 P(semua X i > y 1 ) = 1 [1 F(y 1 )] n G n (y n ) = P(Y n y n ) = P(semua X i y n ) = [F(y n )] n Teorema.Untuk suatu sampel acak berukuran n dari sebaran diskrit atau kontinu dengan CDF, F(x), CDF dari statistik tataan ke-kadalah n G k (y k ) = ( n j ) [F(y k)] j [1 F(y k )] n j j=k 6

9 Sebaran Statistik Tataan Soal-soal Latihan: 1. Misalkan adalah sampel acak berukuran n 2 dari suatu sebaran kontinu dengan fkp jika dan nol selainnya. (a) Dapatkan fkp marjinal dari statistik tataan terkecil dan terbesar, dan Y 2. (b) Dapatkan fkp bersama dari dan. (c) Dapatkan fkp dari jangkauan (range) R Y 2 Y1. X 1 dan X 2 f ( x) 2x 0 x 1 Y 1 Y 2 Y 1 2. Andaikan suatu sampel acak berukuran n diambil dari suatu sebaran dengan fkp 2 f ( x) 1/ x jika (a) Berikan fkp bersama dari statistik tataan. (b) Berikan fkp dari statistik tataan terkecil,. (c) Berikan fkp dari statistik tataan terbesar,. 1 x dan nol selainnya. (d) Dapatkan fkp dari jangkauan, R Y n Y, untuk 1. (e) Berikan fkp dari median,, asumsikan bahwa n ganjil sehingga r ( n 1) / 2. Y r Y 1 Y n n 2 3. Pandanglah suatu sampel acak berukuran n 5 dari sebaran Pareto, ) (a) Berikan fkp bersama dari statistik tataan ke-2 dan ke-4, dan. (b) Berikan fkp bersama dari tiga statistik tataan pertama, Y, Y dan 1 2 (c) Berikan fungsi sebaran (CDF) dari median,. Y 3 Y 2 Y 4 X i ~ PAR(1,2. Y Pandanglah suatu sampel acak berukuran n dari sebaran eksponen, X i ~ EXP(1). Berikan fkp dari: (a) Statistik tataan terkecil, Y 1. (b) Statistik tataan terbesar, Y n. (c) Jangkauan, R Y n Y. 1 (d) r statistik tataan pertama, Y, 1,Y. r 5. Suatu sistim disusun dari lima komponen yang saling bebas yang tersambung secara seri. (a) Jika fkp dari waktu gagal dari tiap komponen adalah sebaran eksponen, X i ~ EXP(1), maka berikan fkp dari waktu gagal dari sistim tersebut. (b) Ulangi (a), tetapi asumsikan bahwa komponen tersambung secara paralel. (c) Andaikan bahwa sistim tersebut gagal pada saat paling kurang tiga komponen gagal. Berikan fkp dari waktu gagal dari sistim tersebut. (d) Andaikan bahwa n komponen tidak terdistribusi identik, X i ~ EXP( i ). Berikan fkp dari waktu gagal dari sistim tersebut bila komponen tersambung secara seri. 7

10 Sebaran Statistik Tataan 6. Pandanglah suatu sampel acak berukuran n dari sebaran geometrik, X i ~ GEO( p). Berikan fungsi sebaran (CDF) dari: (a) Statistiktataan minimum,. (b) Statistiktataan ke-k,. Y k (c) Statistik tataan maksimum, (d) Dapatkan P ( Y 1 1). Y 1 Y n. 8

11 PENGUJIAN HIPOTESIS Pengujian hipotesis merupakan proses dalam menentukan kebenaran suatu anggapan tentang popolasi berdasarkan kenyataan (fakta) yang diperoleh melalui sampel. Misalkan sebuah koin ingin diketahui apakah seimbang atau tidak. Bila tidak seimbang barangkali koin itu mempunyai peluang sisi angka 0,51. Hipotesis yang diuji dapat dituliskan sebagai dalam bentuk hipotesis sederhana berikut: H0 : p = 0,50 H1 : p = 0,51 Ruang parameter padalah Ω = {0.5, 0.51}. Ω 0 = {0.5} dan Ω Ω 0 = {0.51} Pada pengujian ini akan menghasilkan empat kemungkinan sebagai berikut: Keputusan Keadaan sebenarnya H0 benar H1 benar Terima H0 BENAR Salah Jenis II Tolak H0 Salah Jenis I BENAR Terdapat dua jenis kesalahan yang mungkin terjadi, yaitu: Salah Jenis I dan Salah Jenis II. P(Salah Jenis I) = α yang disebut juga taraf nyata pada pengujian tersebut. P(Salah Jenis II) = β

12 Pengujian Hipotesis 1 β disebut kuasa pengujian. Misalkan kita ingin menguji hipotesis terhadap koin tersebut sebagai berikut: H 0 p 0.5 H 1 p > 0.5 Ruang parameter p adalah Ω = [0,1]. Ω 0 = [0, 0.5] dan Ω Ω 0 = (0.5,1]. Untuk mengambil keputusan tolak atau terima (tidak tolak) H 0 dilakukan penarikan sampel. Misalkan S adalah ruang sampel dan C adalah kumpulan semua titik sampel yang membuat kita memutuskan untuk menolak H 0. S C adalah daerah penerimaan. Statistik cukup untuk p adalah p = P(Salah Jenis I) = P[(X 1,, X n ) C H 0 ] P(Salah Jenis II) = P[(X 1,, X n ) S C H 1 ] n i=1 X i n. Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat, p p 0 p 0(1 p 0 ) n s N(0,1) np ~ BIN(n, p) Nilai tengah dan ragam sebaran BIN(n, p) adalah μ = np dan σ 2 = np(1 p). Sehingga Misalkan α = 0.01, sehingga np np ~ N(0,1) np(1 p) 64

13 Pengujian Hipotesis Dari tabel normal diperoleh z α = Jadi, P ( p p 0 z α H 0 ) = 0.01 p 0(1 p0) n p n (2p 1) n (2p 1) n p n Dengan demikian daerah kritis pengujian tersebut adalah C = {(X 1,, X n ) p n } β = P (p n H 1) P Z < n 1 ( 4n ) = P (Z < ( n ) (2 n)) = P(Z < 0.02 n ) Agar β = 0.05, dapat ditentukan ukuran sampel n sebagai berikut: Sehingga P(Z < 1.645) = P(Z < 0.02 n ) = β = n = n = n = n

14 Pengujian Hipotesis Catatan: 1. Bila ukuran sampel diperbesar, maka dan menurun. 2. Untuk n tetap, bila turun, maka naik dan bila naik, maka menurun. Contoh: Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari sebaran N(μ, σ 2 ), dimana σ 2 diketahui. H 0 μ = μ 0 H 1 μ > μ 0 Statistik cukup X terdistribusi menurut sebaran N(μ, σ2 ). Daerah kritis C = {(X 1,, X n ) X c} P(Salah Jenis I) = α P[(X 1,, X n ) C H 0 ] = α n Sehingga Jadi Fungsi Kuasa P (Z > c μ 0 σ/ n ) = α c μ 0 σ/ n = z α σ c = μ 0 + z α n Fungsi Kuasa adalah suatu fungsi yang nilainya merupakan peluang menolak H 0 jika nilai parameter. 66

15 Pengujian Hipotesis σ π(μ) = P (X μ 0 + z μ) α = P (Z μ 0 + z α μ n ) n σ/ n σ μ 0 + z α π(μ 0 ) = P (Z μ 0 n ) = P(Z z α ) = α σ/ n σ Ω 0 = {μ μ μ 0 } Ω Ω 0 = {μ μ > μ 0 } α = max μ Ω 0 π(μ) = ukuran daerah kritis Bila n, maka kurva fungsi kuasa menjadi sebagai berikut: Fungsi kuasa ini merupakan fungsi kuasa yang ideal karena peluang membuat kesalahan adalah nol. Fungsi Kritis 67

16 Pengujian Hipotesis a) Untuk Uji Tak Teracak φ(x) = { 1, x C 0, x C b) Untuk Uji Teracak 1, x di bagian dalam C φ(x) = { γ, x dibatas C 0, x C dimana 0 < γ < 1 Fungsi Kuasa Dengan menggunakan fungsi kritis, fungsi kuasa dapat dinyatakan sebagai berikut: π(θ) = E θ [φ(x)] Ukuran pengujian (ukuran daerah kritis) adalah Contoh: α = max θ Ω 0 π(θ) Misalkan X 1,, X merupakan sampel acak dari BIN(1, p). Tentukan fungsi kritis untuk pengujian hipotesis berikut pada taraf nyata α = Penyelesaian: H 0 p = 0.2 H 1 p = 0.7 p = i=1 X i p = X i ~BIN(, p) i=1 Berdasarkan penghitungan nilai peluang sebaran Binom tersebut, diperoleh keputusan : Tolak H 0 jika i=1 X i 5 Tolak H 0 dengan peluang bila i=1 X i = 4 Terima H 0 jika i=1 X i 3 Keputusan tersebut dapat dituliskan menggunakan fungsi kritis sebagai berikut: 68

17 Pengujian Hipotesis 1, x i i=1 φ(x) = γ, x i i=1 0, x i { i=1 5 = 4 3 Karena taraf nyata pengujian adalah α = 0.05, dapat diperoleh sebagai berikut: α = π(0.2) = E 0.2 [φ(x)] 0.05 = 1. P( i=1 x i 5 p = 0.2) + γ. P( i=1 x i = 4 p = 0.2) + 0. P( i=1 x i 3 p = 0.2) 0.05 = γ + 0 γ = = Sehingga fungsi kritis untuk pengujian hipotesis tersebut adalah: φ(x) = , x i { 1, x i i=1 i=1 0, x i i=1 5 = 4 3 Uji Paling Kuasa Definisi: Suatu uji H 0 θ = θ 0 vs H 1 θ = θ 1 berdasarkan daerah kritis C disebut uji paling kuasa berukuran jika 1. π C (θ 0 ) = α, dan 2. π C (θ 1 ) π C (θ 1 ) untuk daerah kritis lain C berukuran (π C (θ 0 ) = α). C adalah daerah kritis paling kuasa. 69

18 Pengujian Hipotesis Teorema (Lemma Neyman-Pearson) Misalkan X 1,, X n ~f(x; θ), dan λ(x; θ 0, θ 1 ) = f(x; θ 0) f(x; θ 1 ) dan misalkan C = {x λ(x; θ 0, θ 1 ) k} dimana k adalah konstanta sehingga P(x C θ 0 ) = α maka C adalah daerah kritis paling kuasa berukuran α untuk menguji H 0 θ = θ 0 H 1 θ = θ 1 Contoh: Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari sebaran N(μ, σ 2 ), dimana σ 2 diketahui. H 0 μ = μ 0 λ(x; μ 0, μ 1 ) = H 1 μ = μ 1 > μ (2π) n/2 σn e 2σ 2 n i=1 (x i μ 0 ) (2π) n/2 σn e 2σ 2 n i=1 (x i μ 1 ) 2 n = exp { 1 2σ 2 (x i μ 0 ) 2 i=1 n (x i μ 1 ) 2 } i=1 = exp { n 2σ 2 [ 2x (μ 0 μ 1 ) + (μ 0 2 μ 1 2 )]} = exp { n 2σ 2 (μ 0 μ 1 )[ 2x + (μ 0 + μ 1 )]} = exp { n 2σ 2 (μ 1 μ 0 )(2x μ 0 μ 1 )} λ(x; μ 0, μ 1 ) k exp { n 2σ (μ 2 1 μ 0 )(2x μ 0 μ 1 )} k n 2σ (μ 2 1 μ 0 )(2x μ 0 μ 1 ) ln k 70

19 Pengujian Hipotesis 2(ln k)σ2 2x μ 0 μ 1 n(μ 1 μ 0 ) x μ 0 + μ 1 (ln k)σ2 2 n(μ 1 μ 0 ) k C = {x x k } x μ σ/ n ~N(0,1) π C (μ 0 ) = α P(x k μ 0 ) = α P Z k μ σ/ n ( z α ) σ k = μ 0 + z α n = α Sehingga C = {x x μ 0 + z α σ n } yang tidak tergantung pada μ 1. Oleh karena itu C adalah daerah kritis paling kuasa. Uji Paling Kuasa Seragam (UPKS) Definisi: X 1,, X n ~f(x; θ) dimana θ Ω H 0 θ Ω 0 H 1 θ Ω Ω 0 Suatu uji dengan daerah kritis C berukuran disebut Uji Paling Kuasa Seragam (UPKS), jika max π C (θ) = α θ Ω 0 71

20 Pengujian Hipotesis dan π C (θ) π C (θ) untuk semua θ Ω Ω 0 dan semua daerah kritis C berukuran. Contoh: Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari sebaran N(μ, σ 2 ), dimana σ 2 diketahui. H 0 μ = μ 0 H 1 μ = μ 1 > μ 0 Telah ditunjukkan pada contoh sebelumnya bahwa daerah kritis C = {x x μ 0 + z α σ n } tidak tergantung pada μ 1. Maka uji hipotesis di atas disebut uji paling kuasa seragam. Teorema: Andaikan X 1,, X n mempunyai fkp bersama berbentuk f(x; θ) = c(θ)h(x)exp[q(θ)t(x)] dimana q(θ) adalah fungsi naik. 1. Suatu uji paling kuasa seragam berukuran untuk menguji H 0 θ θ 0 vs H 1 θ > θ 0 adalah tolak H 0 bila t(x) k, dimana P[t(x) k θ 0 ] = α. 2. Suatu uji paling kuasa seragam berukuran untuk menguji H 0 θ θ 0 vs H 1 θ < θ 0 adalah tolak H 0 bila t(x) k, dimana P[t(x) k θ 0 ] = α. Aplikasi dari teorema ini bila sampel acak berasal dari sebaran yang termasuk keluarga kelas eksponen, yaitu f(x; θ) = c(θ)h(x)exp[q(θ)t(x)] dengant(x) = u(x i ) dan q(θ) adalah fungsi yang menaik. P-value 72

21 Pengujian Hipotesis P-value (Nilai-P) adalah nilai terkecil dimana H 0 dapat ditolak berdasarkan nilai statistik uji yang dihitung dari nilai-nilai pengamatan. Contoh: Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari sebaran N(μ, σ 2 ), dimana σ 2 diketahui. Statistik uji: Daerah kritis: z = x μ 0 σ/ n z > z α Andaikan diperoleh nilai statistik uji berdasarkan nilai-nilai pengamatan z hit = Maka nilai-p (p-value) dapat dihitung sebagai berikut: p value = P(Z z hit ) = P(Z 2.00) = Soal-soal Latihan: 1. Andaikan X 1,, X 16 adalah sampel acak dari sebaran N(μ, 1), dan kita ingin menguji H 0 μ = 20pada taraf nyata α = 0.05, berdasarkan rata-rata sampel X. (a) Tentukan daerah kritis dalam bentuk A = {x < x a} dan B = {x b x < }. (b) Dapatkan peluang Salah Jenis II, β = P(Salah Jenis II), untuk setiap daerah kritis pada jawaban (a) bila H 1 μ = 21. Daerah kritis yang mana yang tidak logis? (c) Ulangi soal (b) bila H 1 μ = 19. (d) Berapa taraf nyata untuk suatu uji dengan daerah kritis A B? (e) Berapa β = P(Salah Jenis II) untuk suatu uji dengan daerah kritis A B jika μ 20 = 1? 2. Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari EXP(1, η) (yaitu f(x) = e (x η), jika x > η dan nol selainnya). Suatu uji untuk menguji hipotesis H 0 η η 0 vs H 1 η > η 0 dilakukan berdasarkan statistik tataan ke-1, X (1). (a) Dapatkan daerah kritis berukuran yang berbentuk {x (1) c}. (b) Turunkan fungsi kuasa untuk pengujian (a). (c) Turunkan rumus untuk menentukan ukuran sampel n untuk suatu uji berukuran dengan β = P(Salah Jenis II) jika η = η 1. 73

22 Pengujian Hipotesis 3. Sebuah koin dilemparkan 20 kali dan x = 6 sisi angka teramati. Misalkan p = P(angka). Suatu uji untuk menguji H 0 p 0.5 vs H 1 p < 0.5 dengan ukuran paling besar 0. diinginkan. (a) Berapa kuasa uji bila α = untuk alternatif p = 0.2? (b) Berapa p-value untuk pengujian hipotesis tersebut? 4. Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari N(μ, 1). (a) Dapatkan uji paling kuasa untuk menguji H 0 μ = μ 0 vs H 1 μ < μ 0. (b) Dapatkan uji paling kuasa untuk menguji H 0 μ = μ 0 vs H 1 μ > μ 0. (c) Tunjukkan bahwa tidak ada uji paling kuasa untuk menguji H 0 μ = μ 0 vs H 1 μ μ Misalkan X 1,, X n adalah sampel acak dari WEI(θ, 2). Turunkanlah uji paling kuasa seragam untuk menguji H 0 θ θ 0 vs H 1 θ < θ 0. 74