( y) ( ) ( ( ) ( )) ( y) = ( T y) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) = y( T) ( ) ( ) III. PEMBAHASAN. Lema 14

Transkripsi

1 9 Lema Misal :[, ] S adalah fugsi ag dapat dituruka da turuaa kotiu da memeuhi = S, S,,,,, = ( ) sehigga sarat berikut dipeuhi,,,, () Utuk setiap [ ] L % (,, ) () Utuk setiap (, ) [, ] persamaaa %,, L,, q = mempuai solusi q = q(, ) memeuhi q, = q, Misal q = q(, ) solusi dari L % (,, q ) = q, = q, Jika ag memeuhi *: [, ] solusi = (, ), [, ] q ( ) () = () kemudia *( ) miimizer dari persamaa maka *( ) adalah solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom [bukti lihat Lampira ] eorema 5 Asumsika bahwa :[, ] S solusi dari persamaa Hamiltoia-Jacobi S (, ) + H (,, S (, ) ) = da :[, ] L ( q( ) ) S( ) q memeuhi,,,, = q Jika *:[, ] solusi = (, ), [, ] q ( ) () = () kemudia *( ) miimizer dari persamaa mi I, Ω ( ) I = L,, d, maka *( ) solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom [bukti lihat Lampira ] mi I, Ω ( ) I = L,, d, III PEMBAHASAN Perumusa Masalah Didefiisika persamaa diferesial takotoom V, = () dimaa :, [ ] V kotiu da periodik di dega periode da dapat dituruka da turuaa kotiu di V V V V (, ) =,,, Aka dicari solusi periodik utuk persamaa diferesial takotoom () Persamaa diferesial takotoom () memiliki ilai batas periodik ( ) =, ( Metode Carathéodor = ) (5) Pada teori kalkulus variasi [Simmos, 99], dijelaska bahwa diasumsika ada fugsi ( ) ag memiimumka itegral I = L,, d (6)

2 Aka dihasilka persamaa diferesial utuk ( ) ag berbetuk L d L = d ) (7) ag disebut sebagai persamaa Euler- Lagrage Fugsi L (,, pada itegral (6) disebut sebagai fugsi Lagragia Didefiisika fugsi Lagragia L (,, ) = + V (, ),,,, (8) [ ] dimaa melambagka orm Euclidea Diasumsika (,, ) koveks utuk setiap (, ) [, ] q(, ) adalah miimizer (,, ) = q(, ) L adalah fugsi da L dimaa Itegral (6) dapat diubah mejadi persamaa variasioal I : Ω mi I, Ω dega = ( L ) I,, d (9) { C( [ ] ) } Ω= :,, =, = Nilai batas periodik (5) merupaka sarat perlu persamaa variasioal karea Ω ag diasumsika ada fugsi memiimumka I ( ) Utuk mecari miimizer dari persamaa variasioal (9) dapat diguaka fugsi Hamiltoia da persamaa Hamiltoia- Jacobi Didefiisika fugsi Hamiltoia H ( s,, ) = sq, L ( q,, ) () dimaa L (, q, ) adalah fugsi Lagragia, da persamaa Hamiltoia-Jacobi ( S (, ) + H,, S (, ) ) = () dimaa :[, ] H adalah fugsi Hamiltoia da S adalah solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi, utuk setiap fugsi S :, [ ] ag dapat dituruka da turuaa kotiu ag memeuhi = S, S,,,,, = ( ) () Fugsi Hamiltoia dapat disubstitusi ke persamaa Hamiltoia-Jacobi sehigga diperoleh solusi persamaa Hamiltoia- Jacobi ( ) S (, ) + H,, S (, ) = (,, (, )) (, ) H S = S q q (, ), L (,, ) (, ) = S q q (, ) L (,, ) (, ) = (, ) L (,, ) S q = q (, ) (, q) S = L, () diperoleh q S, q q V = +, (, ) q q V = + = q () Jadi turua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap merupaka miimizer dari persamaa variasioal (9) Didefiisika fugsi Lagragia baru %L(,, ) = L(,, ) (, ) S(, ), da =,, % I % L d dimaa S(, ) =,,,, = (,,, )

3 Utuk setiap Ω, I I% z =, ( ), L ( ) d L % (,, ) d S = (, ( )) S (, ( )), + ( ) d d = S (, ( )) d d (, ) = S (, ), = S S = Sehigga persamaa variasioal (9) sama dega persamaa variasioal ekuivale berikut mi I%, I % =,, L % d (5) Ω Diasumsika % (,, ) setiap (, ) [, ] da q(, ) adalah miimizer % (,, ) L fugsi koveks utuk L dimaa = q, Karea persamaa variasioal ekuivale (5) sama dega persamaa variasioal (9) maka turua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap juga merupaka miimizer dari persamaa variasioal ekuivale (5) Pada metode Carathéodor, dicari fugsi S ag memeuhi sarat berikut,,,, () Utuk setiap ( ) [ ] L %,, (6) () Utuk setiap (, ) [, ], L % q,, = (7) ag mempuai solusi q q(, ) memeuhi = ag q, = q, (8) urua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap merupaka miimizer persamaa variasioal Dari teorema diperoleh bahwa solusi miimizer merupaka solusi periodik persamaa diferesial takotoom Gambar berikut adalah skema peelesaia solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua dega metode Carathéodor

4 Persamaa diferesial takotoom Fugsi Fugsi Persamaa Lagragia Hamiltoia Hamiltoia-Jacobi Kalkulus variasi Persamaa variasioal miimizer solusi turua pertama solusi miimizer = turua pertama solusi solusi miimizer = solusi periodik persamaa diferesial takotoom Gambar Skema peelesaia solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua dega metode Carathéodor Cotoh Kasus Aka dicari solusi periodik persamaa diferesial takotoom berikut ( F( ) f ( ) ) F( ) '' + + =, 5 [, ] (9), =, () = dimaa >, f : ag memeuhi f + = f f ( ),, F = f s ds Jawab fugsi kotiu Defiisi persamaa diferesial takotoom V, = Dari persamaa diferesial takotoom (9) dapat diambil F( ) F f V (, ) = sehigga (, ) V 5 F( ) F f = + + Dega demikia fugsi Lagragia L (,, ) = + V (, )

5 f ( ) F( ) F = Fugsi Hamiltoia (,, ) =, L (,, ) H s sq q = sq q + V (, ) f ( ) F F = sq q f( ) F () F ql( q,, ) = q q = q q q = sutuk fugsi Hamiltoia (), berarti q = s Dari persamaa (), L (,, ) Elimiasi q dega s, maka fugsi Hamiltoia () mejadi F Hs (,, ) = s s+ + + f ( ) F F = s + + f ( ) F Persamaa Hamiltoia-Jacobi ( ) S (, ) + H,, S (, ) = mejadi () F F f = () dimaa s = S( ), Diasumsika solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi memiliki betuk ( ) h S(, ) = h( ) + h( ) + h( ) +, () dimaa hi ( ) dapat dituruka da turuaa kotiu da memeuhi hi( + ) = hi( ), i =,,, Dega mesubstitusi persamaa () ke persamaa () diperoleh F S(, ) = + C adalah solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi () Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira Dari persamaa () (, ) = S(, ) q Diperoleh F( ) = + F ( ) = +, [, ] (5) = (6) Dega memperoleh solusi persamaa (5) maka aka diperoleh solusi periodik persamaa diferesial takotoom (9) Diperoleh solusi persamaa (5) ( ) ep ( ( + ) ) ep ep ep( ) ep ep = s F s ds+ s F s ds Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira Jika π, = f ( ) = cos, F ( ) = si maka persamaa (9) da () mejadi

6 (si cos ) (si ) ( ), = [ π ],, (7) () = ( π ), '() = '( π ) (8) Dari hasil pada cotoh kasus maka dapat diperoleh ( ) ( π) ( π + ) ( π) ep ep π = ep s sisds + ep s s sds ep ep ( ) = si + cos i (9) adalah solusi persamaa diferesial takotoom (7) Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira Gambar berikut adalah grafik ag memperlihatka solusi (9) periodik Gambar Grafik solusi ( si cos = + ) IV KESIMPULAN Dega megguaka metode Carathéodor didapatka hasil bahwa solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua sama dega solusi dari miimizer persamaa variasioal ag termasuk dalam lagkah-lagkah metode tersebut Jadi dapat disimpulka bahwa metode Carathéodor dapat diguaka utuk mecari solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua Pada cotoh kasus telah ditujukka bahwa metode Carathéodor diguaka utuk persamaa diferesial tak liear