LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A)
|
|
- Herman Atmadja
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 LECTURE 8: SYMBOLIC DYNAMICS (A) A. Itineraries Points with Prime Period 3 for Q c (x) = x 2 + c Misal kita ingin mencari titik-titik periodik periode 3 dari Q (x) = x + c. Secara analisis titik-titik tersebut merupakan solusi dari persamaan Q (x) = x ((x + c) ) + c = x atau x merupakan akar dari polinomial derajat enam: x + x + (3c + 1)x + (2c + 1)x + (3c + 3c + 1)x + (c + 2c + 1)x + c + 2c + c + 1. Secara analisis, nilai x tersebut sangat susah ditentukan. Oleh karena itu, dibutuhkan symbolic dynamic, sehingga perhitungan tersebut menjadi lebih mudah. Recall (or Check) the Following for Q c, c < 2 1. Titik tetap Q adalah p =, p = 2. I = [ p, p ] 3. x I x 4. = {x I Q (x) I untuk setiap n} 5. A = c p, c p adalah subinterval terbuka dari I yang memuat semua titik x sedemikian sehingga x < p, yaitu obit dari x di bawah Q lari menuju tak hingga setelah 1 iterasi. 6. A membagi I menjadi 2 subinterval tertutup, I dan I. Itineraries Sekarang ambil x I I. Untuk setiap n, x = Q (x) I I. Definisi. Itinerary dari x adalah barisan S(x ) dari 0 s dan 1 s yang diberikan oleh S(x ) = (s s s s ) sedemikian sehingga s = 0 jika x I. 1 jika x I Itenarary dari x merupakan representasi simbol dari orbit x di bawah Q.
2 Contoh. 1. S(p ) = (1111 ) karena x = p I untuk setiap n. 2. S( p ) = (0111 ) karena x = p I, tetapi x = p I untuk setiap n > S(p ) = (0000 ) karena x = p I untuk setiap n. 4. Jika 6 suku pertama dalam orbit x di bawah Q seperti berikut maka S(x ) = ( ). B. The Sequence Space Definisi 1. Sequence space adalah himpunan = {(s s s s )}, s = 0 atau 1, untuk i = 0,1,2,, n, }. Setiap itinerary dari setiap x berada di. Definisi 2. Jarak antara dua titik s = (s s s ) dan t = (t t t ) di didefinisikan sebagai d[s, t] =. Deret tak hingga di atas selalu konvergen, karena s t = 0 atau 1. Jadi d[s, t] = / = 2. Contoh Diberikan s = ( ), t = ( ), u = ( ), maka 1. d[s, t] = = / = 2 2. d[t, u] = = = = = / 3. d[u, s] = = + + = = =
3 C. d is Called a Distance Function, or Metric, on d: R memenuhi tiga sifat berikut. Untuk setiap s, t, u : 1. d[s, t] 0 dan d[s, t] = 0 s = t (Non-negativity) 2. d[s, t] = d[t, s] (Symmetry) 3. d[s, u] d[s, t] + d[t, u] (Triangle inequality) Bukti: Bukti dari tiga sifat d bergantung secara analog sifat-sifat pada nilai mutlak (absolute value) di R, yang digunakan untuk mendefinisikan jarak antara dua bilangan real a dan b, a b. 1. d[s, t] = 0; d[s, t] = 0 s = t s = t 2. d[s, t] = = = d[t, s] 3. d[s, u] = = = d[s, t] + d[t, u] Catatan: dengan d disebut ruang metrik (metric space), yaitu ruang yang dilengkapi dengan jarak, tetapi tidak seperti ruang R atau R. Misalnya, jarak terjauh antara sebarang dua titik di adalah 2. Tidak seperti R, dimana kita dapat memilih sebarang dua bilangan real dengan jarak yang kita inginkan. Meskipun demikian, dengan d yang didefinisikan pada di atas, kita dapat menganalisis secara geometri di. D. The Proximity Theorem Dengan metric d yang didefinisikan pada, kita dapat menentukan kapan dua barisan pada ruang barisan adalah close together. The Proximity Theorem. Diberikan s, t sedemikian sehingga s = t untuk 0 i n. Maka d[s, t]. Sebaliknya, jika d[s, t] <, maka s = t untuk 0 i n. Yaitu, 2 barisan close together jika sejumlah entri pertama mereka sama.
4 Bukti: Diberikan s = t untuk 0 i n, maka d[s, t] = = = / =. Di sisi lain, jika s t untuk beberapa j n, maka d[s, t]. Akibatnya, jika d[s, t] <, maka s = t untuk 0 i n. E. Calculus Review: Limits and Continuity Kita ingat kembali beberapa definisi berikut: 1. lim f(x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x a < δ f(x) L < ε. 2. f kontinu di titik c jika lim f(x) = f(c). 3. f kontinu pada interval terbuka (a, b) jika lim f(x) = f(c) untuk setiap c (a, b). 4. f Kontinu pada interval tertutup [a, b] jika lim f(x) = f(c) untuk setiap c (a, b), dan lim f(x) = f(a) dan lim f(x) = f(b). 5. f: R R kontinu pada R jika f kontinu di setiap titik c R. Four Definition, and New Ways to Describe Continuity Definisi 1. Suatu subset A R terbuka (open) jika merupakan gabungan dari interval-interval terbuka. Definisi 2. Suatu subset A R tertutup (closed) jika merupakan komplemen dari suatu himpunan terbuka. Yaitu R A terbuka. Definisi 3. Closure dari suatu subset A R adalah A, yaitu irisan semua himpunan tertutup yang memuat A. Definisi 4. Jika Y suatu subset dari R dan f: R R, maka f (Y) = {x R f(x) Y}
5 Teorema. Diberikan suatu fungsi f: R R. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen. 1. f kontinu pada R. 2. f (A) adalah open set untuk setiap open set A R. 3. Unuk setiap subset A R, f(a ) f(a). 4. f (A) adalah closed set untuk setiap closed set A R. Examples and Comments 1. R dan merupakan himpunan terbuka dan tertutup. 2. Gabungan sebarang sejumlah himpunan terbuka juga terbuka; Irisan sebarang berhingga himpunan terbuka juga terbuka. 3. Irisan sebarang sejumlah himpunan tertutup juga tertutup; Gabungan sebarang berhingga himpunan tertutup, juga tertutup. 4. (a, b) = [a, b]; jika A = n N, maka A = A {0}. 5. Diberikan f kontinu di x = c, dan gunakan pernyataan (2) pada teorema di atas. Untuk setiap ε > 0, A = (f(c) ε, f(c) + ε) merupakan interval terbuka, sehingga f (A) himpunan terbuka. Karena c f (A), maka terdapat interval terbuka (a, b) sedemikian sehingga c (a, b). Pilih δ = min {c a, b c}. Sehingga sifat kontinu dari f di x = c mengabibatkan lim f(x) = f(c). F. Open Intervas and Open Sets in Dengan menggunakan fungsi jarak d sebagaimana didefinisikan sebelumnya, himpunan terbuka (open set) di didefinisikan sebagai berikut. 1. Suatu interval terbuka (open interval) dengan jari-jari ε dan titik pusat di a adalah himpunan {s d[s, a] < ε}. 2. Suatu himpunan terbuka (open set) di adalah gabungan sebarang sejumlah interval-interval terbuka di. Catatan. Jika ε = 2 =, maka s berada pada interval terbuka dengan jari-jari ε dan pusat di a jika s = a, untuk 0 i n, berdasarkan Proximity Theorem. Yaitu, n + 1 entri pertama dari s harus sama dengan n + 1 entri pertama dari a.
6 G. Definition of the Shift Map Definisi. Shift map σ: didefinisikan sebagai σ(s s s s s ) = (s s s s ). Yaitu, untuk s, σ(s) diperoleh dari s dengan menghilangkan entri pertama. Sebagai contoh: 1. σ( ) = (10101 ) 2. σ( ) = (11111 ) 3. σ( ) = (01011 ) Iterating the Shift Map Sangat mudah untuk menjalankan iterasi the shift map, yaitu cukup membuang entri pertama pada setiap langkah. Sebagai contoh: 1. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) = (s s s s ) 2. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) = (s s s s ) 3. σ (s s s s s ) = σ(s s s s ) Notation: Jika s = (s s s s s s s s s ) adalah barisan berulang, cukup ditulis s = (s). The Periodic Points of the Shift Map Jika s = (s) adalah barisan berulang (repeating sequence), maka σ (s) = s. Sebaliknya, sebarang titik periodik periode n untuk σ merupakan barisan berulang. Semua titik periodik untuk σ dapat ditulis: 1. σ hanya mempunyai 2 titik tetap, yaitu (11111 ) dan (00000 ). 2. σ hanya mempunyai 2 titik periodik periode 2, yaitu (01 ) atau (10 ), yang membentuk 2-cycle: σ(01 ) = (10 ) dan σ(10 ) = (01 ). 3. σ hanya mempunyai dua 3-cycle: (001 ) (010 ) (100 ) (001 ) dan (110 ) (101 ) (011 ) (110 ) Continuity of the Shift Map Teorema. Shift map σ: kontinu di setiap titik di. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap s, dan untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
7 d[s, t] < δ d[σ(s), σ(t)] < ε. Ambil bilangan bulat n dengan < ε dan pilih δ = Proximity Theorem diperoleh d[s, t] < s = t, untuk 0 i n + 1 σ(t) = (s s s s t t ) d[σ(s), σ(t)] < ε, dengan menggunakan Proximity Theorem lagi. H. Conjugacy. Maka berdasarkan Connections, Connections,..., and a Commuting Diagram Kita mempunyai Q :, σ, dan S. Apa hubungan antara ketiga fungsi tersebut? Teorema ( dan sama). Jika c <, maka S suatu homeomorphism (bijektif, kontinu, dan invers kontinu). Teorema. Jika x, maka (S Q )(x) = (σ S)(x), yaitu S Q = σ S dan berlaku diagram berikut Bukti: Ambil x dan diberikan S(x) = (s s s s ). Hal ini berarti Q (x) I, untuk n 0, dengan I adalah I atau I, bergantung pada s. Yaitu Q (x) I, Q (x) I, Q (x) I, dan itinerary dari Q (x) adalah (s s s ). Akibatnya. S(Q (x)) = (s s s ) = σ(s s s s ) = σ(s(x)), atau ekuivalen dengan (S Q )(x) = (σ S)(x).
8 More Commuting Diagram yaitu S Q = σ S. yaitu S Q = σ S. Secara umum S Q = σ S. Orbits of x under Q c and Orbits of S(x) under σ. Jadi, S mengubah (convert) orbit dari x di bawah Q menjadi orbit dari S(x) di bawah σ, yaitu x, Q (x), Q (x), Q (x),, Q (x), menjadi S(x), σs(x), σ S(x), σ S(x),, σ S(x), Dengan mengetahui tentang orbit di bawah σ kita berharap dapat berbicara sesuatu tentang orbit di bawah Q. Further Properties of S Dapat dibuktikan sifat-sifat dari S berikut 1. S satu-satu: S(x) = S(y) x = y 2. S pada (onto): ( s )( x ) S(x) = s 3. S Kontinu, yaitu: jika x, maka untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga x, y, y x < δ d[s(y), S(x)] < ε 4. S : juga kontinu. What is a Homeomorphism? Diberikan h: X Y dan d dan d adalah fungsi jarak yang berturut-turut didefinisikan pada X dan Y. Maka h disebut homeomorphism jika 1. h satu-satu: h(x) = h(y) x = y 2. h onto: ( y Y)( x X)h(x) = y 3. h kontinu, yaitu: jika x X, maka untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga d [x, y] < δ d [h(y), h(x)] < ε 4. h : Y X juga kontinu
9 Ekuialen. h: X Y merupakan homeomorphism jika h bijektif yang memetakan himpunan terbuka ke himpunan terbuka, dan himpunan tertutup ke himpunan tertutup. Akibat. x dan x close together di X jika dan hanya jika h(x ) dan h(x ) close together di Y. Contoh. S merupakan homeomorphism. Demikian juga h(x) = x, h: R R merupakan homeomorphism. Conjugacy Definisi. Diberikan dua fungsi F: X X dan G: Y Y. F dan G disebut conjugate jika terdapat suatu homeomorphism h: X Y sedemikian sehingga h F = G h; h disebut conjugacy. h F = G h F = h G h G = h F h The Conjugacy Theorem Teorema. Shift map σ pada merupakan conjugate ke Q pada ; S adalah conjugacy. S Q = σ S Q = S σ S σ = S Q S Hal ini berarti bahwa dinamika dari σ pada dan Q pada secara esensial sama. Sebagai contoh: 1. S mengubah orbit dari x di bawah Q menjadi orbit S(x) di bawah σ. 2. S mengubah orbit dari s di bawah σ menjadi orbit dari S (s) di bawah Q.
10 3. Jika s periodic point untuk σ maka S (s) adalah periodic point untuk Q, dengan periode yang sama. 4. Jika s eventually periodic point untuk σ maka S (s) adalah eventually periodic point untuk Q. Misalnya: σ(s) = s S σ(s) = S (s) Q S (s) = S (s) I. The N-Shift Diberikan, yaitu ruang barisan dengan entri-entri bilangan bulat positif 0,1,2,, N 1, dan σ adalah shift map pada. Untuk s, t, didefinisikan fungsi jarak d[s, t] =. Shift map σ N : N N kontinu. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap s, dan untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga d[s, t] < δ d[σ (s), σ (t)] < ε. Ambil bilangan bulat n dengan < ε dan pilih δ =. Maka berdasarkan Proximity Theorem diperoleh d[s, t] < s = t, untuk 0 i n + 1 σ (t) = (s s s s t t ) d[σ (s), σ (t)] < ε, dengan menggunakan Proximity Theorem lagi. Jumlah Titik Periodik Periode 2 yang Dimiliki σ N Terdapat N titik tetap σ, yaitu (000 ), (111 ),, ((N 1), (N 1), (N 1), ). Terdapat N titik tetap dari σ, dimana N diantaranya merupakan titik tetap dari σ. Jadi terdapat N N titik periodik periode 2. Didefinisikan fungsi jarak baru: d [s, t] = δ (s, t) N dengan δ = 1 jika s t 0 jika s = t Dapat ditunjukkan d [s, t] merupakan metric pada.
11 Jarak Maksimum dua Titik Menggunakan d δ [s, t] di N Jarak maksimum diperoleh dengan memaksimalkan setiap suku pada penjumlahan d : d [s, t] = (,) =. Dapat dicek jarak tersebut merupakan jarak antara (000 ) dan (111 ).
LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY
LECTURE 6: THE QUADRATIC FAMILY Pada bagian ini, kita akan melanjutkan menganalisis dinamika keluarga fungsi kuadrat Q (x) = x + c. Pada bagian sebelumnya, diperoleh dinamika fungsi yang cukup sederhana
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciDiscrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Lebih terperinciLECTURE 7: THE CUANTOR SET
LECTURE 7: THE CUANTOR SET A. The Cantor Middle-Thirds Set Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan konstruksi himpunan Cantor Middle-Thirds atau cukup disebut himpaunan Cantor. Kita akan melihat bagaimana
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciMasalah maksimisasi dapat ditinjau dari metode minimisasi, karena
Lecture 2: Optimization of Function of One Variable A. Pendahuluan Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/ meminimumkan) suatu besaran skalar yang merupakan harga suatu
Lebih terperinciKUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)
KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 68 75 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA ELSA JUMIASRI, SUSILA BAHRI, BUKTI GINTING
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciFUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciDeret Binomial. Ayundyah Kesumawati. June 25, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, / 14
Deret Binomial Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII June 25, 2015 Ayundyah (UII) Deret Binomial June 25, 2015 1 / 14 Pendahuluan Deret Binomial Kita telah mengenal Rumus Binomial. Untuk bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK TUGAS 3. Oleh RIRIN SISPIYATI ( ) Program Studi Matematika
SISTEM DINAMIK TUGAS Oleh RIRIN SISPIYATI (16 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 9 EXERCISE 4 4. 1. In Eercise. of chapter we analysed the eistence of perios solutions in an invariant
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciMisal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO PENYELESAIAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2012/2013 Mata Ujian : Analisis Real 1 Tipe Soal : Reguler Dosen : Dr. Julan HERNADI Waktu : 90 menit
Lebih terperinciKajian Fungsi Metrik Preserving
Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciSUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciSIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI. Oleh : Deki Sukmaringga J2A
SIFAT RUANG METRIK TOPOLOGIS SKRIPSI Oleh : Deki Sukmaringga J2A 307 002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2011 SIFAT
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
FUZZY SLIGHTLY PRECONTINUITY PADA TOPOLOGI FUZZY Elita Hartayati Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : elita_dean@yahoo.com Prof.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciLecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta
Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos Johan Matheus Tuwankotta Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no., Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id.
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciBAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK. A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan Pada bagian A ini pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yang pertama membahas mengenai transformasi
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciHimpunan, Dan Fungsi. Ira Prasetyaningrum,M.T
Himpunan, Dan Fungsi Ira Prasetyaningrum,M.T Materi Matematika 1 Himpunan dan fungsi Matrik Limit dan kekontinuan Differensial Trigonometri Integral Bilangan Komplek Peraturan Di Kelas Mahasiswa Maksimal
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperincitidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh
Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI PELUANG
DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciUM UGM 2017 Matematika Dasar
UM UGM 07 Matematika Dasar Soal UTUL UGM - Matematika Dasar 07 (Kode Soal 84) Halaman 0. Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama dengan 33 dan jumlah tiga bilangan
Lebih terperinciMata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.
Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap,
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinci3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA
3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciREFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA
REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA Mila Apriliani Utari, Encum Sumiaty, Sumanang Muchtar Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia *Coresponding
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Relasi dan Fungsi Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 10, 2014 Suatu fungsi f : A B disebut pada (onto) atau surjektif (surjective) jika f(a) = B, yaitu jika untuk semua b B ada sekurang-kurangnya
Lebih terperinciBAB IV DERET FOURIER
BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinci