UNIVERSITAS GUNADARMA POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN BAHAN AJAR. Oleh : Muhammad Imron H. Modul Barisan dan Deret Hal. 1

Transkripsi

1 BAHAN AJAR POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN Oleh : Muhammad Imo H 0 Modul Baisa da Deet Hal.

2 BARISAN DAN DERET A. POLA BILANGAN. Pegetia Baisa Bilaga Baisa bilaga adalah uuta bilaga-bilaga dega atua tetetu. Cotoh : a.,,, 4,,. b., 4, 6, 8, 0,. c. 4,, 8,,,. d.,,,,,,. e., ½, ¼, /8,. f. 8,4,,,,,. g.,,, 7, 9,. Pada cotoh diatas, bilaga-bilaga pada a,b,c,d,e mempuyai atua tetetu sehigga disebut sebagai baisa bilaga, sedagka f da g tidak mempuyai atua. Tiap-tiap bilaga pada baisa bilaga disebut suku (U) Suku petama dilambagka dega U atau a Suku kedua dilambagka dega U Suku ketiga dilambagka dega U Suku ke- dilambagka dega u dega A (bilaga Asli). Pola bilaga suku ke- Cotoh : Baisa bilaga :,,, 7,. maka U = = ( x ) U = = ( x ) U = = ( x ) U 4 = 7 = ( x 4). U = ( x ) Cotoh : Baisa bilaga :, 4, 9, 6,.maka U = = ( x ) U = 4 = ( x ) U = 9 = ( x ) U 4 = 6 = (4 x 4). U = ( x ) = Cotoh : Tetuka tiga suku petama suatu baisa yag umus suku ke- ya U =! U = () = = U = () = = 0 U = () = 7 = Jadi tiga suku petama baisa tesebut adalah, 0, Cotoh 4 : Tetuka umus suku ke- dai baisa a) 4, 6, 8, 0,. b), 9,, 49,. a) 4, 6, 8, 0,. U = 4 = + = ( x ) + U = 6 = 4 + = ( x ) + U = 8 = 6 + = ( x ) + U 4 = 0 = 8 + = ( x 4) +. U = ( x ) + = + b) U = = = (( x ) ) U = 9 = = (( x ) ) U = = = (( x ) ) U 4 = 6 = 7 = (( x 4) ). U = ( - ) Modul Baisa da Deet Hal.

3 Cotoh : Suatu baisa bilaga dega umus U = a) Tulis empat buah suku petamaya b) Beapa suku ke- da ke-7? a) U = U = = U = = = 4 U = = = 8 4 U 4 = = = 6 Jadi baisaya adalah, 4, 8, 6,. b) Suku ke- adalah U = = = 7 Suku ke-7 adalah U 7 = = = 8 Cotoh 6 : Hituglah jika : a) U = + = 0 b) U = + = 7 a) U = + = 0 = 0 = 7 = = b) U = + = 7 = 7 = 6 = 4 Kaea A maka yag belaku adalah = 4. Pegetia Deet Deet adalah jumlah seluuh suku-suku dalam baisa da dilambagka dega S Cotoh : a) b) c) Cotoh : Diketahui suatu deet : Tetuka a) Jumlah dua suku yag petama b) Jumlah lima suku petama a) S = + = 4 b) S = = Modul Baisa da Deet Hal.

4 LATIHAN. Tetuka 4 suku petama dai baisa-baisa dega umus suku ke a. U = + d. U = ( + ) b. U = + e. U = c. U = ( ) f. U = +. Hituglah ilai dai baisa-baisa beikut ii, jika : a. U = 6 = 0 c. U = = 80 b. U = = 0 d. U = + 6 = 0. Tetuka umus suku ke- dai baisa-baisa di bawah ii! a., 6,, 6,. f., 9, 6,,. b., 4, 8, 6,. g.,,,, c. 4,,,,... h.,,,, d. 00, 0,, ½,. i., 6,, 0,. e.,, 4, 8,. j., 4, 8, 6,. 4. Diketahui deet... Hituglah : 4 8 a. Jumlah dua suku petama b. Jumlah empat suku petama B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA. Baisa Aitmetika Baisa Aitmetika adalah baisa bilaga yag selisih ataa dua suku yag beuuta sama atau tetap. Cotoh : a), 8,, 8,. (selisih/beda = 8 = 8 = 8 = ) b) 0,7,4,,. (selisih/beda = 7 0=4 7= 4= ) c), 4, 6, 8,. (selisih/beda = 4 = 6 4 = 8 6 = ) d),,,,. (selisih/beda = = = = 0) Selisih dua suku yag beuuta disebut beda (b) Rumus : b = U U b = U U b = U U - b = U 4 U dst Jika suku petama = a da beda = b, maka secaa umum baisa Aitmetika tesebut adalah: U U U U 4 U a, a + b, a + b, a + b, a + (-)b Jadi umus suku ke- baisa aitmetika adalah U = Suku ke- U = a + ( )b U = Suku petama U = beda atau selisih U = bayakya suku Cotoh : Diketahui baisa Aitmetika :, 6, 0,. Tetuka suku ke-4 a = b = 6 = 4 = 4 U = a + ( )b U 4 = + (4 ). 4 =+.4 =+ =4 Modul Baisa da Deet Hal. 4

5 Cotoh : Diketahui suatu baisa Aitmetika dega U = 7 da U 6 = 9, tetuka : a) Beda b) Suku petama c) Suku ke-4 U 6 = a + b = 9 U 4 = a + 40 b U = a + b = 7 = () 4 b = = b = = 4 U = a + b = 7 Jadi didapatka a + () = 7 a) Beda = a + = 7 b) Suku petama = 4 a = 7 c) Suku ke-4 = 4 a = 4 Cotoh : Diketahui baisa Aitmetika 4, 7, 0,. Tetuka a) beda b) U 0 c) Rumus suku ke- a) b = 7 4= c) U = a + ( )b b) U = a + ( + )b U = 4 + ( ) U 0 =4+ (0 ) U =4+ = U = + =4+ 7 = Cotoh 4 : Pada suatu baisa Aitmetika diketahui U 8 = 4 da U 0 = 0. Tetuka : a) Beda da suku petamaya b) Suku ke- c) 6 suku yag petama a) U 0 = a + 9b = 0 U 8 = a + 7b = 4 b = 6 b = U 8 = a + 7b = 4 a + 7() = 4 a + = 4 a = Jadi didapat beda = da suku petama = b) U = a + ( )b U = + ( ) U = +. U = 6 c) Eam suku yag petama adalah, 6, 9,,, 8 Cotoh : Pada tahu petama sebuah butik mempoduksi 400 stel jas Setiap tahu ata-ata poduksiya betambah stel jas Beapakah bayakya stel jas yag dipoduksi pada tahu ke-? Bayakya poduksi tahu I, II, III, da seteusya membetuk baisa aitmetika yaitu 400, 4, 40,. a = 400 da b = sehigga U = a + ( )b = = = 00 Jadi bayakya poduksi pada tahu ke- adalah 00 stel jas. Modul Baisa da Deet Hal.

6 LATIHAN :. Tuliska 6 suku petama dai baisa aitmetika dega ketetua : a) U = + b) U = c) a = da b = 4 d) a = 00 da b = 0 e) U = ( ) f) a = 0 da b =. Tetuka umus suku ke- dai baisa aitmetika beikut : a) 4, 6, 8, 0,. b), 0,, 0,. c), 4, 7, 0,. d) 4, 0,,.. Tetuka suku ke- dai tiap-tiap baisa aitmetika beikut : a), 7, 9,. b) 4,,,. c),, 0,. d),,,. e) 0, 7, 4,,. f),,,, Pada baisa aitmetika, tetuka suku petama, beda, da U 7 jika a) U 4 = 4 da U = 8 b) U = 0 da U 7 = 0 c) U 6 = da U 0 = d) U = 6 da U = 7. Suatu baisa Aitmetika diketahui U = 9 da U = 4. Tetuka a) Suku petama da bedaya b) Suku ke- 6. Tetuka umus suku ke- dai baisa aitmetika jika diketahui a) U = 9 da U 6 = b) U 6 = da U 0 = 4 c) U 7 = 0 da U = d) U 0 = 9 da U = 4. Deet Aitmetika Deet Aitmetika adalah jumlah dai seluuh suku-suku pada baisa aitmetika. Jika baisa aitmetikaya adalah U, U, U,., U maka deet aitmetikaya U + U + U +.+ U da dilambagka dega S S = U + U + U + + U S = a + (a + b) + (a + b) + + (U b) + (U b) + U S = U + (U b) + (U b) +.+ (a + b) + (a + b) + a S = (a + U) + (a + U) + (a + U) +. + (a + U) + (a + U) + (a + U) + S = (a + U) suku S = (a + U) Kaea U = a + ( )b maka jika disubstitusika ke umus mejadi S = (a + a + ( )b ) S = (a + ( )b ) Modul Baisa da Deet Hal. 6

7 Keteaga : S = Jumlah suku petama deet aitmetika U = Suku ke- deet aitmetika a = suku petama b = beda = bayakya suku Utuk meetuka suku ke- selai megguaka umus U = a + ( )b dapat juga diguaka umus yag lai yaitu : U = S S Cotoh : Tetuka jumlah 0 suku petama deet +7++ a = S = (a + ( )b ) b = 7 = 4 = 0 S =. 0 (. + (0 )4 ) Cotoh : Suatu baisa aitmetika dega suku ke-4 adalah da suku kedubelas adalah 8. Tetuka jumlah suku petama! U = a + b = 8 Sehigga S = [a + ( )b ] U 4 = a + b = 8 b = 6 S =. [ ( 6) + ( )( )] b = U 4 = a + b = a + ( ) = =. [ 8] a + ( 6) = a = + 6 =. [ 40] a = 6 Cotoh : = 00 Suatu deet aitmetika dega S = 0 da S = 00, tetuka U! U = S S U = S S U = 0 00 = 0 Cotoh 4 : Suatu baisa aitmetika diumuska U = 6 tetuka umus S! a = U = 6() = 4 U = 6() = 0 b = U U =0 4 = 6 S = [a + ( )b ] S = [. 4 + ( )6 ] S = [ ] S = [ 6 + ] S = + S = 0 ( ) S = 0 (6 + 76) S = 0 (8) S = 80 =. [ + 4( )] Modul Baisa da Deet Hal. 7

8 Cotoh : Tetuka jumlah semua bilaga gajil ataa 0 da 00! Jumlah bilaga-bilaga tesebut adalah yag meupaka deet aitmetika dega a =, b = da U = 99. U = a + ( )b = 99 Sehigga S = (a + U) + ( ) = 99 + = 99 S =. 9 ( + 99) 9 + = 99 = 90 = 9 S =. 9 (0) S = 997 LATIHAN :. Dibeika sebuah baisa aitmetika dega umus suku ke- adalah U = + a) Tuliska lima suku petama b) Suku ke beapakah yag besaya 00? c) Hituglah jumlah 0 suku petama. Hituglah jumlah 0 suku petama dai deet aitmetika beikut : a) b) c) d) Hituglah jumlah suku petama dai deet aitmetika jika diketahui a) U 4 = 4 da U 8 =6 b) U 6 = da U 0 = c) U = 60 da U 7 = 0 d) U = 7 da U = 6 4. Rumus jumlah suku yag petama dai suatu deet adalah S = +. Tetuka a) Jumlah 8 suku petama b) suku petama. Tetuka bayakya bilaga ataa 0 da 00 yag habis dibagi da hituglah jumlah bilaga-bilaga itu! 6. Sebuah pabik batako pada bula petama dapat mempoduksi sebayak 000 buah batako. Kaea peambaha teaga keja maka tejadi peigkata poduksi sehigga pabik tesebut dapat meambah hasil poduksiya sebayak 00 buah batako setiap bulaya. Jika pekembaga poduksi kosta, beapakah hasil poduksi batako pada bula ke-0 da beapakah batako yag telah dipoduksi selama 0 bula? C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI. BARISAN GEOMETRI Baisa geometi adalah suatu baisa bilaga yag hasil bagi dua suku yag beuuta selalu tetap (sama). Hasil bagi dua suku yag beuuta disebut asio () Cotoh : a), 6,, 6 6 b) 000, 00, 0, c),, 9, 9 d), ½, ¼, 4 Jika suku petama dai baisa geometi U = a da asio =, maka baisa geometi tesebut adalah a, a, a, a,., a - U U da U U dst Modul Baisa da Deet Hal. 8

9 Rumus suku ke- baisa geometi adalah U = a - Cotoh : Diketahui baisa geometi, 6,,. Tetuka suku ke-0! a =, = 6 =, da = 0 Maka U = a - U 0 =. () 0 U 0 =. U 0 = 6 Cotoh : Suatu baisa geometi diketahui U = 44 da U 7 = 9. Tetuka U 6! 6 U 7 a 9 U a U = a = 44 sehigga a = 44 a = 44 4 a = 44 x 4 = 76 4 Sehigga U 6 =a = = = 8 LATIHAN 4. Tetuka suku yag ke-6 dai baisa geometi beikut ii! a),,,, , 4 b) 0,,,... c), 4, 6, 64,. d), 0, 0, 40,. Tulislah 6 suku petama dai baisa geometi dega a da ditetuka sebagai beikut : a) a = da = b) a = 6 da = ½ c) a = da = ¼ d) a = ¼ da = ½. Hituglah suku petama da asio dai baisa geometi dega ketetua sebagai beikut : a) U = da U 4 =4 b) U = da U =6 c) U = 4 da U =6 d) U = 6 da U =8 Modul Baisa da Deet Hal. 9

10 . DERET GEOMETRI Deet geometi adalah jumlah dai semua suku-suku pada baisa geometi. Jika baisa geometiya U, U, U,., U maka deet geometiya U + U + U +.+ U da dilambagka dega S. S = U + U + U + + U S = a + a + a + + a + a S = a + a + + a + a + a S S = a a S ( ) = a( ) maka a( ) S = utuk < atau S = Keteaga : S = Jumlah suku petama a = suku petama = asio / pembadig = bayakya suku Cotoh : Tetuka jumlah 0 suku petama deet a = 6 = ( > ) a( ) ( 0 ) (04 ) S = = = (0) 069 Cotoh : Suatu deet geometi tetuka e) da U 8 f) Jumlah 8 suku yag petama (S 8 ) U a) = U U 8 =a - =. 8 = 7 = 87 a( ) utuk > a( ) ( 8 ) (66) 660 b) S = = = 80 Cotoh : Suku petama suatu deet geometi adalah 60 da asioya Tetuka jika S = 0! a = 60 = S = 0 a( ) S = 60 0 = 60 0 = Modul Baisa da Deet Hal. 0

11 0 = = Cotoh 4 : Poduksi sebuah pabik oti pada bula petama adalah 00 buah, jika poduksi pada bula-bula beikutya meuu / dai poduksi bula sebelumya, tetuka : a) Jumlah poduksi pada bula ke- b) Jumlah poduksi selama bula petama Pabik mempoduksi oti Pada bula petama = 00 Pada bula kedua = 00 (/ x 00) = = 400 Pada bula ketiga = 400 (/ x 400) = = 0 da seteusya sehigga membetuk baisa geometi 00, 400, 0, dega a = = 00 a) Jumlah poduksi pada bula ke- = U U =a = ,8 0 6 Jadi jumlah poduksi pada bula ke- adalah 0 oti. b) Jumlah poduksi selama bula petama adalah S 04 a( ) 00( 4 ) 00( ) 0 S = = 00 4 Jadi jumlah poduksi selama bula petama adalah 68 oti ,8 68 LATIHAN :. Diketahui suatu deet geometi dega U = 8 da U =. Tetuka a) Nilai a da b) Jumlah 0 suku petama. Diketahui deet geometi dega = da U 4 = 4. Tetuka a) suku petama b) suku ke-0 c) Jumlah 0 suku petama. Ahmad medepositoka uagya pada sebuah bak sebesa Rp ,00 dega buga % petahu. Beapa jumlah uag Ahmad setelah 8 tahu, jika ia tidak peah megambil uagya? 4. Sebuah peusahaa membeli mesi bau sehaga Rp ,00. Tiap tahu mesi tesebut megalami peyusuta haga 0%. Taksilah haga mesi tesebut pada akhi tahu ke empat! Modul Baisa da Deet Hal.