STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

Transkripsi

1 KALKULUS 018 Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PUTRI WILANDARI Z., S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

2 DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH Mata Kulia Kalkulus membaas tentang 1 Sistem bilangan, pertaksamaan serta koordinat kartesius, ungsi dan it, 3 turunan dan aplikasinya, 4 integral dan aplikasinyaserta 5 ungsi-ungsi transenden. Turunan menjelaskan beberapa konsep mengenai kecepatan sesaat dan gradient singgung, ubungannya dengan kekontinuan, aturan dasar turunan, turunan tingkat tinggi, penurunan implisit, laju yang berkaitan, dierensial dan aproksimasi, serta maksimum, minimum dan nilai rata suatu ungsi. Integral membaas beberapa topik mengenai integral tak tentu, persamaan dierensial, sederana, notasi sigma dan luas, integral tentu dan teorema dasar kalkulus, serta aplikasi integral untuk memecakan masala yang berkaitan dengan luas pada bidang, volume benda pejal, momen dan pusat massa.

3 TUJUAN/CPL RPS

4 Materi Ajar UTS/UAS Pendauluan & Sistem Bilangan Fungsi dan Limit Turunan Turunan dan Aplikasinya Dierensial dan Aproksimasi Maksimum dan Minimum Permasalaan Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi

5 PENDAHULUAN & SISTEM BILANGAN Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

6 Himpunan Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang perubaan dan pertumbuan. Pendierensialan dan penintegralan adala proses dasar dari kalkulus. Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu. Elemen Suatu Himpunang : a adala elemen impunan S a S, jika a bukan elemen impunan S a S, impunan kosong di notasikan Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k} Himpunan A anggota impunan B : A B Himpunan A anggota impunan murni B : A B Gabungan Himpunan A dan B : A B Irisan Himpunan A dan B : A B

7 Latian 1 1. A= {1,, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {, 3, 5}; pernyataan yang benar adala : a. 3 A b. 1 C c. C d. 3 B e. B A. C A g. C A. 4 A C i. 6 B C j. 4 A C k. 6 B C l. A C = C m. B C = A n. A C = A

8 Latian 1. Jika A = {a, c, d, e, g}, B = {b, c, d, }, dan C = {d, e, g}. Tentukanla a. A C b. A C c. B C d. B C e. A B C. A B A C g. A B C

9 Sistem Bilangan Nyata/Real Bilangan real, dinotasikan dengan memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa akta dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real dapat digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan = -,.

10 Sistem Bilangan Nyata/Real Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adala mulai dari selanga -,. Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi asil baginya tidak perna berenti. Bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Conto yang paling populer dari bilangan irasional adala bilangan π,, dan bilangan e.

11

12 Interval Bilangan Negati Bilangan Positi Makna: a,b = { a < < b} [a,b] = { a b} a,b] = { a < b} [a,b = { a < b} a, = { a < } a,- = { < a} b, = { b < } b,- = { < b} [a, = { a } a,- ] = { a > },- = { - < < } 0 a Interval Terbuka Interval Tertutup Interval Setenga Terbuka Interval Setenga Terbuka Interval Terbuka Interval Terbuka Interval Terbuka Interval Terbuka Interval Tertutup Interval Terbuka Interval Terbuka b

13 Desimal Bentuk desimal yang berenti atau berulang menyatakan bilangan rasional. Conto : ½ =0,5 ; 1/3 = Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlaan + dan perkalian padanya memenui : Siat aljabar komutati, asosiati, distributi, Siat urutan ukum trikotomi, transiti, aditi yang melibatkan simbol <, >, =. Siat kelengkapan, yaitu bawa R merupakan garis yang tak berlubang Garis Bilangan Real sebagai representasi R

14 Logika Dalam berargumen, kita akan sering menggunakan kaat Jika maka dibaca : jika P maka Q P Q B B B B S S S B B S S B

15 Kalkulasi dan Estimasi /.75 Bilangan mana yang lebi besar? /7 atau 3,14? Benar/ Sala kaat berikut? Jika > 1, maka > 1. Jika > 1, maka > 1. Untuk semua, Untuk semua, 0 0 0

16 Pertidaksamaan Permasalaan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan sala satu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannya diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar : A B < C D Solusi: Menambakan Bilangan yang sama pada kedua ruas pertidaksamaan Mengalikan bilangan positi yang sama pada kedua ruas Mengalikan bilangan negati pada kedua ruas kemudian tanda pertidaksamaan arus dibalik

17 Pertidaksamaan Conto : a. 1 < 3 b. -1 < + 3 c. -7 < 4 - d < 4 e. < 6. 3 < g < - +3 i. + 1 < 1 j. 1 > k l. < + 5 > 0 m < o. -1+ < - +3 n. p. 3 + < 1 1

18 Nilai Absolut, Akar Kwadrat, Kwadrat Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real dideinisikan sebagai jarak dari teradap 0, seingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positi. Nilai absolut dinotasikan a. = b. ab = a b c. a + b = a + b d. a b = a b e. a b = a b

19 Formula Akar Persamaan Kuadrat Istila ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang merupakan solusi dari persamaan kuadrat a +b +c = 0 = b ± b 4ac a d = b 4ac merupakan diskriminan dari persamaan kuadrat. Jika d > 0 maka akar persamaannya adala dua bilangan real Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan real Jika d < 0 maka tidak ada solusi bilangan real

20 Sistim Koordinat Pelopor: Pierre de Fermat 169 & Ren e Descartes 1637 Misalkan P 1, y 1 dan Q, y dua bua titik pada bidang, jaraknya adala d P,Q = 1 + y y 1

21 Sistim Koordinat Tunjukkan semua nilai dengan batasan: - < 3 dan semua nilai y dengan batasan: -3 y < pada koordinat kartesius X-Y! Tentukan jarak antara P, 3 dan Q 4, 1 Tentukan jarak antara P, 3 dan Q, 5

22 Garis Lurus Bentuk umum: A + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta. Nilai A dan B tidak bole nol secara bersamaan. Graik garis lurus ditentukan ole dua titik 1, y 1 dan, y yang memenui persamaan tersebut. Misalkan 1, y 1 dan, y dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis dideinisikan sebagai m = y y 1 / 1 Buktikan bawa m = A/B.

23 Garis Lurus Persamaan garis lurus yang melalui dua titik 1, y 1 dan, y : y y 1 y y 1 = 1 1 Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik 1, y 1 : y y 1 = m 1 Misalkan garis l 1 dan l dua bua garis dengan kemiringan m 1 dan m. Jika kedua garis tersebut sejajar m 1 = m Jika kedua garis tersebut saling tegak lurus m 1.m = 1

24 Lingkaran Lingkaran adala impunan titik-titik yang jaraknya sama teradap titik tertentu disebut pusat lingkaran. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0, 0 dan jarijari r adala: + y = r gambar sebela kiri. Bila pusat lingkaran berada di titik p, q maka persamaannya menjadi p + y q = r.

25 Elips Bentuk umum elips yang berpusat di 0, 0 : a + y b = 1 Untuk elips yang berpusat di p, q persamaannya : p a + y q b =1

26 Hiperbola Bentuk umum yang berpusat di 0, 0 : y = 1 atau a b a + y b = 1

27 Soal Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat lingkarannya serta radiusnya. + y + 6y = 6 Tentukan persamaan dari lingkaran yang memiliki segmen, 4 ke 8, 1 yang menjadi diameter.

28 TERIMA KASIH To be Continue...

29 FUNGSI DAN LIMIT Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

30 Fungsi Misalkan A dan B dua bua impunan. Fungsi dari A ke B adala aturan memasangkan memadankan setiap elemen di A dengan satu elemen di B. Bila elemen-elemen dari A lebi banyak dari elemenelemen B, dapatka kita membuat ungsi dari A keb?

31 Fungsi Jika adala ungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis: : X Y atau dengan anggota impunan X. = 3 + dan X = { : 1 < 3, B} = 4 3 = 3 4 = 5 a = a 4 a+ = a+ 4 a + a + 4 Untuk = +3 tentukan : a. 3 b. + b c. 3 + b d. [ 4 + b 4]/b

32 Pergeseran Graik Fungsi Diberikan graik ungsi y = dan a > 0. Selanjutnya dibentuk ungsi g = a, maka gambar graik g dapat diperole dengan menggeser graik sejau a ke kanan

33 Operasi pada Fungsi Misalkan dan g ungsi-ungsi real dengan daera deinisi D dan Dg. + g = + g, g = g, g = g, /g = /g, n =. n suku D+g = D Dg D g = D Dg Dg = D Dg D/g = D Dg { g = 0} Dn = D Conto: Misalkan = 𝑥 + 1 dan g = 9 𝑥 Tentukan + g, g, g, /g, dan 5 beserta daera 4 deinisinya.

34 Fungsi Komposisi Komposisi dari ungsi dan g dideinisikan sebagai : g o = g syarat yang arus dipenui adala R Dg Conto Diketaui ungsi = 1 dan g= Tentukan Domain dan range dari ungsi dan g Apaka g o terdeinisi? Bila ya tentukan rumusnya? Apaka o g terdeinisi? Bila ya tentukan rumusnya? 1

35 Fungsi Trigonometri r = + y sin α = y r cosec α = r y cos α = r sec α = r r β y tan α = y cot α = y α tan α = y cot α = y tan α = sin α cos α sin α + cos α = y r + r = y + r = r r = 1

36 Menyelesaikan Persamaan Sinus Jika Sin 0 = sin 0 Є R, maka : 0 = + k.360 0, atau 0 = k Jika Sin 0 = sin 0 Є R, maka : 0 = 0 + k.π, atau 0 = π- 0 + k.π, k Є B Karena Sinus berarga positi anya berada di kuadran I, kuadran II dan lebi dari kuadran IV

37 Kuadran II Sin o = sin 180 o α o Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisi dua sudut Maka : Maka : Sin sin cos cos sin Sin o = sin 180 o cos α o cos 180 o sin α o Sin o = 0 cos α o -1 sin α 0 Sin o = sin α o o = 180 o α o Terbukti

38 Besar dari Kuadran IV Sin o = sin α o + k. 360 o Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisi dua sudut : Maka : Jika k = 0 Sin + sin cos + cos sin Sin o = sin α o cos k.360 o + cos α o sin k.360 o Sin o = sin α o cos k.360 o + cos α o sin k.360 o Sin o = sin α o cos o + cos α o sin o Sin o = sin α o cos 0 o + cos α o sin 0 o Sin o = sin α o 1 + cos α o sin 0 Sin o = sin α o Terbukti

39 Besar dari Kuadran IV Sin o = sin α o + k. 360 o Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisi dua sudut : Maka : Jika k = 1 Sin + sin cos + cos sin Sin o = sin α o cos k.360 o + cos α o sin k.360 o Sin α o = sin α o cos k.360 o + cos α o sin k.360 o Sin α o = sin α o cos o + cos α o sin o Sin α o = sin α o cos 360 o + cos α o sin 360 o Sin α o = sin α o 1 + cos α o sin 0 Sin α o = sin α o Terbukti

40 Conto soal 1 Tentukan impunan penyelesaian sin = sin 0 0 ; adala?... Jawab : sin = sin 0 0 ; = α o + k = 0 o + k Untuk k=0 1 = = 0 0 Untuk k=1 1 = = = Tidak memenui

41 = 180 o α o + k = 180 o 0 o + k = 160 o + k Untuk k=0 = = Untuk k=1 = = 160 o o = 50 0 Tidak Memenui Jadi Himpunan Penyelesaiaan {0 0,160 0 }

42 Conto soal Tentukan impunan penyelesaian sin = sin 1/3 π ; 0 π adala?... Jawab : sin = sin 1/3 π; 0 π 1 = α o + k. π 1 = 1/3 π + k. π Untuk k=0 1 = 1/3 π + 0. π = 1/3 π Untuk k=1 1 = 1/3 π + 1. π = 1/3 π + π = 1/3 π Tidak memenui

43 = π α o + k. π, 0 π = π 1/3 π + k. π = /3 π + k. π Untuk k=0 = /3 π + 0. π = /3 π Untuk k=1 = /3 π + 1. π = /3 π + π = /3 π Tidak memenui Jadi Himpunan Penyelesaiaan {/3 π, 1/3 π }

44 Conto soal 3 Tentukan impunan penyelesaian sin = 1/ ; adala?... Jawab : sin = ½ ; sin = 30 o 1 = α o + k = 30 o + k.360 0, Untuk k=0 1 = = 30 0 Untuk k=1 1 = = = Tidak memenui

45 = α o + k = o + k = k Untuk k=0 = = Untuk k=1 = = = 50 0 Tidak Memenui Jadi Himpunan Penyelesaiaan {30 0,150 0 }

46 Conto soal 1

47

48 sin α + cos α = 1 sin - = - sin ; cos - = cos ; tan - = - tan sin π/ - = cos ; cos π/ - = sin ; tan π/ - = cot sin + y = sin cos y + sin y cos cos + y = cos cos y sin sin y tan +y = tan +tan y 1 tan.tan y sin - y = sin cos y sin y cos cos - y = cos cos y + sin sin y

49 Fungsi tan y = tan tan y 1 tan.tan y sin = sin cos cos = cos 1 = 1 sin os tan tan = 1 tan sin + cos = 1

50

51 LIMIT Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

52 Konsep Limit Deinisi Intuiti Misalkan y= suatu ungsi, a dan L bilangan riil sedemikian ingga: Bila dekat a tetapi tidak sama dg a a, dekat ke L Bila mendekati a tetapi a, maka mendekati L Misalkan dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat cukup dekat a tetapi tdk sama dg a Maka dapat dikatakan bw it bila mendekati a adala L, a L

53 Limit Fungsi = 1/ 1 terdeinisi untuk disekitar 1 tetapi tidak di = 1. Pertanyaannya sekarang adala: berapa nilai untuk di sekitar 1? Persisnya: jika mendekati 1, maka akan mendekati bilangan apa? Catat di sini bawa ungkapan mendekati 1 tidak mengaruskan = 1.? Untuk menjawab pertanyaan di atas, peratikan tabel nilai pada alaman berikut. Tampak jelas bawa mendekati ketika mendekati 1.

54 Catat bawa = + 1 untuk 1. Lambang 1 berarti di sekitar 1.

55 LIMIT Misalkan I = a, b suatu interval buka di R dan c I. Fungsi dikatakan terdeinisi di I kecuali mungkin di c, artinya terdeinisi disemua titik pada I\{c} dan di c bole terdeinisi bole juga tidak.

56 LIMIT Misalkan akan dicari 1 𝑥 𝑥 dibaca it satu per dengan mendekati takingga maka diambilla beberapa nilai seperti berikut: / 1 1/ ,

57 Limit Bila nilai mendekati L untuk nilai mendekati a dari ara kanan maka dikatakan bawa it ungsi untuk mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan: a + = L Bila nilai mendekati l untuk nilai mendekati a dari ara kiri maka dikatakan bawa it ungsi untuk mendekati a dari ara kiri sama dengan l dan dinotasikan : a = L

58 G g L a a dan G L g g a a a Misal it dari, g ada dan beringga maka LG g g a a a 0, bila G G L g g a a a n a n a,n bilangan bulat positi n n a n a L 5. bila n genap L arus positi 1. Siat Limit

59 Conto 1 Lim + 5 = + 5 = + 5 = = -6 Tentukan Lim = Lim 3 6 = Lim 3 6 = 3 6 = 6 Tentukan Lim 1 + Lim +1

60 Limit Indeterminate Form Jika = 0 dan g = 0, selanjutnya c c dibagi menjadi ; maka ini dikatakan c g indeterminate/ tidak tentu. Jika c g = L, L 0, dan g = 0, maka c c juga tidak terdeinisi tidak ada.

61 Conto = = = = = = 0 = = = = 0 = undiined

62 mengingat konsep it karena konsep turunan dijelaskan lewat it suatu ungsi Turunan sebua ungsi adala ungsi lain dibaca aksen yang nilainya pada sembarang bilangan c adala: c c ' c 0 Asalkan it ini ada dan bukan atau - Jika it ini ada, dikatakan bawa terdierensiasikan di c. Pencarian turunan disebut dierensiasi

63 Garis Tangen Misalkan diberikan suatu ungsi, maka kemiringan garis tangen L di titik Pa, a pada kurva y= dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titikp dan titikqa+, a+. m PQ y a a, Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y= dan menuju 0, maka diperole kemiringan garis tangen kurva y= di titik Pa,a: a a m 0 0.

64 Limit Indeterminate pada ungsi + Conto tentukan itnya untuk ungsi berikut: 4+ 4 = 7 ; = 1 ; 0 = 3+ 3 ; 0

65 Penyelesaian = = = 7 8 = 1 4 = 7 4 = = 0 = = 0 1 1

66 Penyelesaian = = = 1 = 1 1 = = 1 = 1 = 0 0 = 0 Lmitnya tidak ada karena ada dua batas yang tidak sam

67 = 3 + = = = 0 = = = 0 3

68 Teorema Limit Trigonometri cos sin/ 1/cos cos cos, maka 0 sin 1

69 Conto 0. 1 sin Tunjukkan 0 0 dan 1 1 sin 1 0, Untuk 1 sin Apit. menggunak an Prinsip 0 1 sin maka 0 dan 0 karena Bukti:

70 TERIMA KASIH To be Continue...

71 TURUNAN Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

72 Turunan Aljabar Materi: Pengertian Turunan Fungsi Aljabar Rumus Turunan Fungsi Aljabar Turunan Berantai Fungsi Aljabar Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar Turunan Implisit Turunan multivariabel

73 Turunan Aljabar Tujuan Perkuliaan: Setela mengikuti pertemuan ini, maasiswa diarapkan dapat menjelaskan konsep turunan, rumus-rumus, dan mengitung turunan ungsi aljabar.

74 Pengertian Turunan Suatu ungsi dikatakan dapat didierensiasi di ungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. 0 bila Suatu ungsi dikatakan dapat didierensiasi pada suatu selang bila ungsi itu dapat didierensiasi di setiap titik pada selang tersebut. Aplikasi: mencari kecepatan sesaat isika, laju pertumbuan organisme biologi, keuntungan marjinal ekonomi, dll

75 Konsep Limit mengingat konsep it karena konsep turunan dijelaskan lewat it suatu ungsi Turunan sebua ungsi adala ungsi lain dibaca aksen yang nilainya pada sembarang bilangan c adala: c ' c Asalkan it ini ada dan bukan 0 atau - c Jika it ini ada, dikatakan bawa terdierensiasikan di c. Pencarian turunan disebut dierensiasi

76 Secara Grais pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal Pa,a adala sembarang titik pada sebua graik suatu ungsi. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Qa+,a+,dimana adala beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adala m PQ a a

77 Secara Grais

78 Secara Grais Jika sebua ungsi dideinisikan pada sebua interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari graik ungsi pada titik Pa,a adala: a a m 0 Dengan catatan itnya ada.

79 Conto Diketaui ungsi = dapatkan kemiringan garis singgung ke graik pada titik Pa,a Penyelesaian: Dengan menggunakan penjelasan di atas maka Jadi turunan suatu ungsi adala kemiringan garis singgung ungsi tersebut pada titik tertentu.

80 Conto 1. Jika = 13 6, Carila 4 Penyelesaian: ' [134 6]

81 Conto. Jika = 3 + 7, Carila c Penyelesaian ] 7 [ 7 ' c c c c c c c c c c c c

82 Rumus Turunan Fungsi Aljabar i Teorema I Aturan Fungsi Konstanta Jika = k dengan k adala suatu konstanta untuk sembarang, = 0. Bukti: ' 0 0 k k Conto: = maka = 0

83 Rumus Turunan Fungsi Aljabar i Teorema II Aturan Fungsi Identitas Jika =, maka = 1 Bukti: '

84 Rumus Turunan Fungsi Aljabar ii Teorema III Aturan Pangkat Jika = n, dengan n bilangan-bilangan bulat positi, maka = n n-1 Bukti: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n '

85 Rumus Turunan Fungsi Aljabar ii Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai sebagai aktor, seingga masingmasing suku ini mempunyai it nol bila mendekati nol. Jadi ' n n 1 Conto: = maka =

86 Rumus Turunan Fungsi Aljabar iii Teorema IV Aturan Kelipatan Konstanta Jika k suatu konstanta dan suatu ungsi yang terdierensialkan, maka k. Bukti: Misalkan F = k.. Maka Conto: F =5 maka =5 =10 ' k k k k k F

87 Rumus Turunan Fungsi Aljabar iii Teorema V Aturan Jumla Jika dan g adala ungsi-ungsi yang terdierensialkan, maka +g = + g. Bukti: Conto: F= +3 maka =+3 ' ', g g g g g g g F maka g F Andaikan

88 Rumus Turunan Fungsi Aljabar iv Teorema VI Aturan Selisi Jika dan g adala ungsi-ungsi yang terdierensialkan, maka -g = - g. Bukti: -g = +-1g = g Conto: F =3 - maka = 6 1

89 Rumus Turunan Fungsi Aljabar v Teorema VII Aturan Hasil Kali Jika dan g adala ungsi-ungsi yang terdierensialkan, maka.g =.g +.g. Bukti: ' '.., g g g g g g g g g g g g g g F F F maka g F Andaikan

90 Rumus Turunan Fungsi Aljabar v Conto : F = +-5

91 Rumus Turunan Fungsi Aljabar vi Teorema VIII Aturan Hasil Bagi Jika dan g adala ungsi-ungsi yang terdierensialkan, dengan g = 0. Maka g ' g ' g' g

92 Rumus Turunan Fungsi Aljabar vi 1 ' ' 1 1 1, g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g F F F maka g MisalkanF

93 Rumus Turunan Fungsi Aljabar vi g ' g ' g' g

94 Turunan Berantai Fungsi Aljabar Jika y dy du y'. du d Jika y u, y' dy du. u du d. dan u u d dw g, g maka w, maka Conto: y =

95 Bedakan antara Turunan dan Dierensial! Pada waktu anda menuliskan D y atau dy/d = anda menuliskan lambang turunan Jika dy = anda menyatakan lambang dierensial Conto: Cari dy jika y = Jika kita mengetaui bagaimana mengitung turunan, maka kita tau bagaimana mengitung dierensial. Yaitu cukup mengitung turunan lalu mengalikannya dengan d Dy = 3-3 d Hal ini karena dy = d

96 Turunan Berantai Fungsi Aljabar Conto: 1. y = y y 3

97 Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Turunan tingkat tinggi adala turunan ungsi yang tidak anya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bakan sampai turunan ke n. Jika adala turunan suatu ungsi, maka juga merupakan suatu ungsi, adala turunan pertama dari. Jika turunan dari ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari dideinisikan sebagai turunan pertama dari, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis. Turunan ke-n dari ungsi, di mana n bilangan positi yang lebi besar dari 1, adala turunan pertama dari turunan ke n-1 dari. Turunan ke n dinyatakan dengan n. Berikut ini adala tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

98 Turunan Tingkat Tinggi Aljabar Conto: 3 Carila turunan ke-3 dari ungsi berikut ini: 3 8

99 Turunan Trigonometri Turunan dari: Sin = cos Cos = -sin Tan = sec Sec = sec tan Cot = -csc Csc = -csc cot

100 Turunan Trigonometri Conto: sin y y sin cos 3 y cos 3 1

101 Turunan Fungsi Implisit Andaikan kita menjumpai sebua persamaan sebagai berikut : y 3 + 7y = 3 dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, maka al seperti ini tentula tidak dapat secara gamblang eksplisit terselesaikan, akan tetapi kita arus menggunakan cara tertentu, misalnya aturan Rantai untuk dapat menyelesaikannya.

102 Turunan Fungsi Implisit lanjutan Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan ungsi Implisit. Cara untuk mendapatkan turunan ungsi Implisit, yaitu : Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari, lalu didierensialkan teradap sebagai peruba bebasnya

103 Turunan Fungsi Implisit lanjutan Conto 1: Tentukan turunan pertama dari 4 y - 3y = 3-1 Fungsi Implisit tersebut diuba terlebi daulu ke dalam ungsi eksplisit menjadi : 4 y - 3y = 3-1 atau y 4-3 = 3-1

104 Turunan Fungsi Implisit lanjutan Atau: y Setela beruba menjadi ungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan seingga menjadi y'

105 Soal-soal latian i Carila turunan pertama ungsi-ungsi di bawa ini:

106 Soal-soal latian ii Carila turunan berantai ungsi-ungsi di bawa ini: 1 5 y u 3, u 4 y u, u v4 v, v 3 Jika y dan 3t 9, berapaka dy dt ketika t

107 Soal-soal latian iii Carila turunan kedua ungsi-ungsi di bawa ini: z z g 3/ 3 t t 4 1 4

108 5.1 Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutukan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.1: Asimtot ungsi adala garis lurus yang didekati ole graik ungsi. Ada Tiga jenis asimtot ungsi, yakni i Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari y = jika ii Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = jika iii Asimtot Miring Garis y = a + b disebut asimtot miring jika c b a dan a b

109 Asimtot tegak a a Dalam kasus =a asimtot tegak =a asimtot tegak Dalam kasus a dan a dan a a

110 y= b Garis y = b asimtot datar karena Asimtot datar mungkin dipotong ole graik ungsi untuk ingga Tapi, jika untuk menuju tak ingga asimtot datar diampiri ole Graik ungsitidak dipotong lagi b

111 y= y a b Garis y = a + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong ole kurva untuk nilai ingga. Untuk satu ungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring

112 Conto Tentukan semua asimtot dari Jawab : i Asimtot tegak : =, karena 4 ii Asimtot datar : dan 4 Maka asimtot datar tidak ada

113 MA1114 KALKUU I 113 a iii Asimtot miring a b Asimtot miring y = 4

114 Tentukan semua asimtot dari ungsi berikut : Soal Latian

115 C. Kemonotonan Fungsi Deinisi 5. Fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk, I 1 1 1, 1 1 I Fungsi monoton naik pada selang I

116 monoton turun pada interval I jika untuk, I 1 1 1, 1 1 I Fungsi monoton turun pada selang I

117 Teorema 5.1 : Andaikan dierensiabel di selang I, maka Fungsi monoton naik pada I jika ' 0 Fungsi monoton turun pada I jika ' 0 I I Conto Jawab : monoton naik Tentukan selang kemonotonan dari pada,0 dan 4, monoton turun pada 0, dan, ' Tidak ada

118 D. Ekstrim Fungsi Deinisi 5.3 Misalkan kontinu pada selang I yang memuat c, c disebut nilai maksimum min imum global dari pada I jika c c I c disebut nilai maksimum minimum buka yang memuat c seingga lokal dari pada I jika terdapat selang c c untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum ungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daera deinisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim ungsi disebut titik kritis.

119 Ma lokal Min lokal Ma global Min global Ma lokal Min lokal a b c d e Nilai ekstrim ungsi pada selang I=[a,]

120 Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner yaitu = c dimana, ' c secara geometris : garis singgung mendatar dititik c,c Titik singulir = c dimana tidak ada, secara geometris: terjadi pataan pada graik di titik c,c ' c 0

121 Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika ' ' c, c c 0 0 c, c ' 0 ' 0 maksimum lokal minimum pada dan pada Maka c merupakan nilai c c c c nilai maks lokal Disebela kiri c monoton naik >0 dan disebela kanan c monoton turun <0 c nilai min lokal Disebela kiri c monoton turun <0 dan disebela kanan c monoton naik >0

122 Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal '' c 0 Misalkan ' c 0. Jika,maka c merupakan maksimum '' c 0 nilai lokal minimum Conto :Tentukan nilai ekstrim dari Jawab: 4 ' Tidak ada Dengan menggunakan uji turunan pertama : di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai 0 4 6

123 Soal Latian Tentukan selang kemonotonan dan ektrim ungsi berikut :

124 E. Kecekungan Fungsi y y Graik ungsi cekung keatas Graik ungsi cekung kebawa Fungsi dikatakan cekung ke atas pada interval I bila ' naik pada interval I, dan dikatakan cekung kebawa pada interval I bila ' pada interval I. turun Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. Jika " 0, I, maka cekung ke atas pada I.. Jika " 0, I, maka cekung ke bawa pada I.

125 conto Jawab : Tentukan selang kecekungan dari 4 ' '' Tidak ada +++ Graik cekung keatas pada, dan cekung kebawa pada selang,

126 F. Titik belok Deinisi 5.4 Misal kontinu di = b. Maka b,b disebut titik belok dari kurva jika : terjadi perubaan kecekungan di = b, yaitu di sebela kiri dari =b, ungsi cekung ke atas dan di sebela kanan dari =b ungsi cekung ke bawa atau sebaliknya = b adala absis titik belok, jika " b atau 0 tidak " b ada.

127 c c c c c,c titik belok Karena disebela kiri c cekung keatas dan disebela kanan c cekung kebawa c,c titik belok Karena disebela kiri c cekung kebawa dan disebela kanan c cekung keatas

128 c c c c,c bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubaan kecekungan Walaupun di sekitar c Terjadi perubaan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena tidak terdeinisi di c

129 Tentukan titik belok jika ada dari ' , '' Di = 0 terjadi perubaan kecekungan, dan 0= -1 maka 0,-1 merupakan titik belok '' Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubaan kecekungan

130 3. '' Tidak ada Walaupun di =, terjadi perubaan kecekungan, tidak ada titik belok karena ungsi tidak terdeinisi di =

131 Soal Latian Tentukan selang kecekungan dan titik belok ungsi berikut : / 5.

132 Conto: Diketaui 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim ungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan graik,0, 4, a. Fungsi monoton naik pada selang monoton turun pada selang 0, dan,4. di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Graik cekung keatas pada selang,, tidak ada titik belok 0 4, dan cekung kebawa pada c. Asimtot tegak =, asimtot miring y =, tidak ada asimtot datar 6

133 d. Graik Tidak ada ' 0 Tidak ada '' 6-4 y=

134 Soal Latian A. Gambarkan graik ungsi berikut dengan mencari terlebi daulu selang kemonotonan,ekstrim ungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot

135 B. Misalkan suatu ungsi kontinu dan -3=0=, serta nilai ungsi yg lain dibutukan, silakan dideinisikan sendiri. Jika graik seperti gambar berikut : y ' a. Tentukan selang kemonotonan ungsi b. Tentukan selang kecekungan ungsi c. Sketsa graik ungsi.

136 5. Mengitung it ungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it : 1. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan = g = 0. Jika Maka 0, 0 0 0, 0., ' g' L,, atau g ' g '

137 Conto Hitung 1 cos 0 bentuk 0/0 Jawab 1 cos sin 4 cos Ctt : aturan L opital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenui. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan = g =. Jika maka g ' g' ' g' L,, atau

138 1 Conto Hitung 3 5 Jawab bentuk Ctt: walaupun syarat di penui, belum tentu it dapat diitung dengan menggunakan dalil L Hopital Conto Hitung Jawab

139 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setela dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb

140 3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya ruba kedalam bentuk 0 0 atau Conto : Hitung 0 csc Jawab : 0 csc 0sin 0cos 0

141 4. Bentuk - Misalkan = g =. Untuk mengitung [ - g ] dilakukan dengan menyederanakan bentuk [ - g ] seingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang tela dikenal sebelumnya Conto : Hitung csc 0 cot Jawab : cos cos csc cot 1 sin sin sin 0 sin 0 cos 0

142 Soal Latian Hitung it berikut bila ada 1. sin 01 cos csc cos cot 1 0

143 5.4 Teorema Nilai Rata-rata Teorema 5.8 Misalkan kontinu pada [a,b] dan dierensiabel pada a,b, maka terdapat paling sedikit satu c a, b ' c b b a atau b a ' c b a. 5.5 Masala maksimum minimum lainnya Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masala seari-ari yang berkaitan dengan masala memaksimumkan/ meminimumkan ungsi. Langka pertama yang arus dilakukan adala memodelkan masala tersebut menjadi ungsi satu peuba. Setela itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum a

144 Conto: 1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum jawab Misal panjang y, lebar y Luas= L = y, karena + y = 100 y = 50 - Seingga Luas = L = 50-50, 0 50 L' 50 = 5 Karena maka di = 5 terjadi maks lokal. L' '5 0 Karena L0 = 0, L5 = 65, L50 = 0 agar luas maks arusla = 5 dan y = 5

145 . Seelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, seingga V = V , 0 1 V ' Seingga diperole titik stasioner = 18 dan = MA1114 KALKULUS

146 MA1114 KALKULUS 146 V '' Seingga V' ' di =18 terjadi min lokal V '' di = 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika = 5 dan = 0, = 1 batas D V0 = 0 V1= 0 V5 =450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm

147 Bisa saja masala yang diadapi arus dimodelkan kedalam bentuk ungsi implisit, seperti conto berikut Conto Sebua roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan dan jarak ini bertamba dengan kecepatan 5000 km/jam Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z Menara kontrol z 3 km y Diketaui dz dt 5000 Saat z = 5000 MA1114 KALKULUS I 147

148 Dengan menggunakan dalil pytgoras diperole y 9 z Pada saat z = 5 y = 4 Dengan menggunakan turunan ungsi implisit didapatkan dy y z dt dz dt Jika data y = 4, z = 5, dan dz 5000 dt Kecepatan vertikal roket = dy dt disubstitusikan diperole 650 km/jam MA1114 KALKULUS I 148

149 MA1114 KALKULUS 149 Soal Latian 1. Tentukan dua bua bilangan yang selisiya 100 dan asil kalinya minimum. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dan kelilingnya minimum cm 3. Tentukan titik pada garis 6 + y = 9 yang terdekat ke titik -3,1 4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8 5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar seingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r

150 MA1114 KALKULUS Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerinta Daera setempat akan memasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semura mungkin. UTS Semester Pendek 006/ 007 Kalkulus I Hari/ Tanggal: Rabu/ 5 Juli 007 Waktu: 13 s/d 15 Baan: sampai dengan Penerapan Turunan Ruang: B 307

151

152 TERIMA KASIH To be Continue...

153 TURUNAN DAN APLIKASINYA Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

154

155 TERIMA KASIH To be Continue...

156 DIFERENSIAL DAN APROKSIMASI Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

157

158 TERIMA KASIH To be Continue...

159 MAKSIMUM DAN MINIMUM Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

160

161 TERIMA KASIH To be Continue...

162 PERMASALAHAN MAKSIMUM DAN MINIMUM DARI SUATU FUNGSI Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS ANDALAS

163

164 TERIMA KASIH To be Continue...

165 Integral Tak Tentu Jika diketaui F =, maka turunannya adala F = =. Bila operasi dibalik yakni diketaui = dapatka ditemukan F sebagai anti turunan dari sedemikian seingga F = =? Jawabannya adala DAPAT. Caranya adala sebagai berikut: F = sebab F = = atau F = + 1 sebab F = = atau F = + 7 sebab F = = atau F = - 10 sebab F = = atau dan seterusnya seingga dapat ditulis F = + C untuk sembarang konstanta C. Ini benar sebab F = =

166 Ternyata anti turunan F dari jawabnya tidak anya satu. Dapat dikatakan bawa impunan anti turunan F dari = adala F = + C berlaku untuk sembarang konstanta C. Dapat dimengerti bawa impunan anti turunan F dari yang dirumuskan ole = n adala 1 n1 F C, n 1 Sebab turunannya n 1 F = = Himpunan anti turunan F dari ditulis dalam bentuk integral Leibniz F d

167 Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi Dari deinisi d [ F ] F C F, maka d disebut integran Sedang F adala asil integrasi. Karena asil pengitungan bertamba dengan konstanta sembarang C maka n d 1 n1 n 1 F disebut C integral tak tentu adala rumus dasar C, n integral tak tentu 1

168 Teori I Aturan Pangkat Jika r adala sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka: r d r1 r 1 C, n 1 Conto: Berapa anti turunan dari = 4/3

169 Teori II Aturan Trigonometri sin d - cos C cos d sin C sec d tan C cossec d - cot C sec tan d sec C cossec cot d - cossec C

170 Teori II Aturan Trigonometri tan d - ln cos C ln sec C cot d ln sin C - ln cossec C sec d ln sec tan C cossec d - ln cossec cot C

171 Teori III Integral Tak Tentu - Linier Jika dan g memiliki anti turunan integral tak tentu dan andaikan k suatu konstanta, maka: k d k d C [ g ] d d gd C [ g ] d d gd C

172 Conto: Tentukan besarnya nilai integral berikut! d. u 3/ 3u 1du 3. 1 t t dt

173 Teori IV Aturan Pangkat yang digeneralisir Andaikan g suatu ungsi terdierensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka: r g g g' d r 1 r1 C

174 Conto: Selesaikan integral berikut! d sin 10 cos d d d 10 4 d

175 Latian Selesaikan integral berikut! d 1 d z 1 dz z 4. sin 5. cos 3y dy y 5 d

176 Latian Selesaikan integral berikut! sin d 1 cos d 3 t 4 dt t d 18 d 3 8

177 Integral Tentu Anggapla suatu ungsi yang dideinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika: P 0 Ada, maka adala terintegrasikan pada [a, b] n i i1 i Lebi lanjut b a d disebut integral tentu atau integral Riemann dari a ke b, diberikan ole b a d i i P 0 n i1

178 Berdasarkan deinisi Selesaikan integral berikut! a a d 0 b a d d, a b ab 3 d d 6 3 d

179 Teorema 1 Anggapla kontinu pada selang tertutup [a, b] dan anggapla sebagai sebua titik peuba pada a, b. Maka: d d a t dt

180 Teorema Siat Perbandingan Jika dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika g untuk semua dalam [a, b], maka: b b d a g d b

181 Teorema 3 Siat Keterbatasan Jika terintegrasikan pada selang [a, b] dan M untuk semua dalam [a, b], maka: m b m b a d M b a a

182 Andaikan bawa dan g terintegrasikan pada [a, b] dan bawa k konstanta. Maka k dan +g terintegrasikan dan Teorema 4 Kelinieran Integral Tentu b a b a b a b a b a b a b a b a d g d d g d g d d g d k d k

183 Conto soal 0 1 d d sin cos d 0 1 d d / 0 sin 3 cos d 1 3 d 1 1 d 3sin tdt 0

184 Latian Selesaikan integral berikut! /4 /9 / 0 5 d 4 cos cos d sin d t dt /3 4/3 d