BAB 2. BILANGAN REAL
|
|
- Glenna Sudjarwadi
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 7 BAB BILANGAN REAL Bab ini akan membahas sifat-sifat aljabar, terurut dan kelengkapan dari bilangan real Sifat-sifat Aljabar dari R Operasi pada himpunan S adalah suatu fungsi Untuk sembarang a,bs, kita tulis ab untuk (a,b) : S x S S (a,b) (a,b) Misal adalah operasi pada hmpunan S S dikatakan tertutup di bawah operasi jika a,b S, ab S Grup adalah suatu pasangan terurut (S, ) dengan S adalah himpunan dan adalah operasi pada S yang memenuhi: (i) asosiatif (ii) memiliki unsur identitas (iii) ada unsur invers R dengan operasi + bersifat : (i) asosiatif (R, +) (ii) 0R, ar, a+0 = 0+a = a (iii) ar, (-a)r, a+(-a) = (-a)+a = 0 (iv) komutatif R {0} dengan operasi bersifat : (i) asosiatif (R {0}, x) (ii) R, ar, ax = xa = a (iii) ar, (/a)r, ax(/a) = (/a)xa = (iv) komutatif (R, +, x) bersifat : distributif, ax(b+c) = (axb) + (axc), a,b,c R Himpunan-himpunan yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut field Field adalah triple (F, +, x) sedemikian sehingga (F, +) adalah suatu grup abelian (identitasnya 0) dan (F {0}, x) juga suatu grup abelian, dan memenuhi sifat distributif ax(b+c) = (axb) + (axc), a,b,c F
2 8 R dengan operasi + dan x adalah field Selain R ada field-field yang lain yaitu C, dan Q Teorema (a) Jika z,a R dan z+a = a, maka z = 0 Bukti a + (-a) = 0 (z+a) + (-a) = 0 z + (a + (-a)) = 0 z + 0 = 0 z = 0 (b) Jika u,br dan b0 dan ub=b, maka u= Bukti b ( b ) = (ub) ( b ) = u (b b ) = u = u = Teorema (a) Jika a,br, a+b = 0, maka b = -a Bukti -a +0 = -a -a + (a+b) = -a (-a+a) + b = -a 0 + b = -a b = -a (b) Jika a 0 dan b R sehingga ab =, maka b = /a (/a) = /a (/a) ab = /a ((/a)a) b = /a b = /a b = /a
3 Teorema 3,b R Misal a, maka (i) persamaan a x b mempunyai selesaian tunggal x a b (ii) Jika a 0, maka persamaan ax b mempunyai selesaian tunggal x b a 9 Teorema 4 Jika a R, maka (i) a 0 0 (ii) a a (iii) a a (iv) Teorema 5 Misal a,b,c R a (i) jika a 0, maka 0 dan a a (ii) jika ab a c dan a 0, maka b c (iii) jika a b 0, maka a 0 atau b 0 Operasi kurang didefinisikan dengan a b a b Operasi bagi didefinisikan dengan a a b b
4 30 Bilangan Rasional Teorema 6 Tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi r Contoh Jika a R dengan aa a, maka a 0 atau a Karena a a dan aa a, maka aa a Jika a 0, berdasarkan teorema 6, maka a Jika a 0, maka 00 = 0 benar Jadi, a 0 atau a Latihan Buktikan Teorema 4 Jika, kan bahwa: (a) (c) (d) (b) 3 Jika yang memenuhi Buktikan bahwa atau Sifat Terurut dari R Definisi 7 Ada subset P dari R yang tak kosong, yang disebut himpunan bilangan real positif kuat, yang memenuhi sifat-sifat (i) a,b P a + b P (ii) a,b P a x b P (iii) ar tepat satu memenuhi hal-hal berikut: ap, a=0, -ap Definisi Jika ap, kita namakan bilangan real positif kuat, dan ditulis a>0 Jika ap atau a=0, kita namakan bilangan real positif, dan ditulis a0
5 3 Jika -ap, kita namakan bilangan real negatif kuat, dan ditulis a<0 Jika -ap atau a=0, kita namakan bilangan real negatif, dan ditulis a0 Definisi 3 Misalkan a,br (i) a b P a > b atau b < a (ii) a b P {0} a b atau b a Teorema 7 Misalkan a,b,c R (a) Jika a>b dan b>c, maka a>c Karena a>b dan b>c, maka a-b P dan b-c P Sehingga (a-b) + (b-c) = a-c P Ini berarti a>c (b) Hanya satu memenuhi hal berikut a>b, a = 0, a<b Berdasarkan sifat terurut dari R, maka hanya satu dari hal-hal berikut yang dipenuhi yaitu a-bp, a-b = 0, -(a-b) = b-a P Ini berarti hanya tepat satu memenuhi a>b, a = 0, a<b (c) Jika a b dan b a, maka a = b Andaikan a b, maka a > b atau b > a Jika a > b, hal ini bertentangan dengan b a Jika b > a, hal ini bertentangan dengan a b Jadi, pengandaian salah Ter a = b Teorema 8 (a) Jika ar dan a 0, maka a > 0 (b) > 0
6 3 (c) Jika nn, maka n>0 Teorema 9 Misal a, b, c, d R (a) a>b a+c > b+c (b) a>b dan c>d a+c > b+d (c) a>b dan c>0 ac > bc a>b dan c<0 ac < bc (d) a>0 /a > 0 a<0 /a < 0 Bukti Misal P = {x x>0} (a) Karena a>b maka a b P Sehingga (a+c) (b+c) = a b P Jadi, a+c > b+c (b) Karena a>b dan c>d, maka a b, c d P Sehingga (a+c) (b+d) = (a b) + (c d) P Jadi, a+c > b+d (c) Karena a>b dan c>0, maka a b, c 0 = c P Sehingga (ac bc) = c(a b) P Jadi, ac > bc Jika c < 0, maka c P Sehingga (bc ac) = (-c)(a b) P Jadi, ac < bc (d) Karena a > 0, maka a 0 Sehingga /a 0 Berdasarkan sifat Trichotomy maka /a > 0 atau /a < 0 Misalkan /a < 0, maka berdasarkan Teorema 6 (c) berlaku a(/a) = < 0 (kontradiksi) Hal ini berarti tidak mungkin /a < 0 Jadi, /a > 0 Hal yang serupa untuk a < 0 Karena a < 0, maka a 0
7 33 Sehingga /a 0 Berdasarkan sifat Trichotomy maka /a > 0 atau /a < 0 Misalkan /a > 0, maka berdasarkan Teorema 6 (c) berlaku a(/a) = < 0 (kontradiksi) Hal ini berarti tidak mungkin /a > 0 Jadi, /a < 0 Teorema 0 a, b R, a > b a > (a+b) > b Karena a > b maka a = a + a > a + b dan a + b > b + b = b Berdasarkan Teorema 4 (a), maka a > a+b > b Karena > 0, maka > 0 Sehingga (a) > (a+b) > (b) a > (a+b) > b Corollary a R, a > 0 a > a > 0 Berdasarkan Teorema 7 dengan b = 0, maka a > a > 0 Teorema a R, 0 a <, >0 a = 0 Misalkan a > 0 Berdasarkan Corollary 8, maka a > a > 0 Pilih 0 = a>0 Maka a > 0 Hal ini bertentangan dengan a <, >0 Haruslah a = 0 Teorema ab > 0 (i) a>0 dan b>0, atau (ii) a<0 dan b<0
8 34 Karena ab > 0, maka a0 dan b0 Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a>0 atau a<0 Jika a>0, berdasarkan Teorema 6 (d), maka a > 0 Sehingga b = b = (a a ) b = a (ab) > 0 Jika a<0, berdasarkan Teorema 6 (d), maka a < 0 Sehingga b = b = (a a ) b = a (ab) < 0 Corollary ab < 0 (i) a<0 dan b>0, atau (ii) a>0 dan b<0 Contoh Cari semua bilangan real x sehingga (a) x > 3x + 4 Jawab Karena x > 3x + 4, maka x - 3x - 4 > 0 (x 4)(x+) >0 Sehingga (i) x 4>0 dan x+>0 Ini berarti x>4 dan x>- Jadi, x>4 Atau, (ii) x 4<0 dan x+<0 Ini berarti x<4 dan x<- Jadi, x<- Jadi, A = {x x > 3x + 4} = {x x>4 atau x<-} (b) < x < 4 Karena < x < 4, maka < x dan x < 4 (i) Karena < x, maka (x+)(x-) > 0 Sehingga - x+>0 dan x->0 Ini berarti x >- dan x > Jadi, x > Atau, - x+< 0 dan x-< 0 Ini berarti x < - dan x < Jadi, x < - Jadi, semua x yang memenuhi < x adalah x > atau x < - (ii) Karena x < 4, maka (x+)(x-) < 0 Sehingga
9 - x+ > 0 dan x- < 0 Ini berarti x > - dan x < Jadi, - < x < - x+ < 0 dan x- > 0 Ini berarti x < - dan x > Karena tidak mungkin x < - dan x >, maka tidak ada x yang memenuhi x+ < 0 dan x- > 0 Jadi semua x yang memenuhi x < 4 adalah - < x < Jadi, B = {x < x < 4} = {x x > atau x < -}dan {x - < x < } = {x - < x < atau < x < } 35 Contoh 3 a < b dan c < d ad + bc < ac+bd Misal P = {x x > 0} Karena a < b dan c < d maka b a, d c P Sehingga (ac+bd) (ad+bc) = (b a)(d c) P Ini berarti ad + bc < ac+bd Contoh 4 Misalkan a,br dan untuk setiap >0, berlaku a - < b Tunjukkan a b Andaikan a > b Pilih 0 = a b, maka a - 0 = a (a b) = b < b (kontradiksi) Jadi, a b Latihan Misalkan dan Buktikan bahwa Misalkan Tunjukkan bahwa dan 3 Misalkan Tunjukkan bahwa
10 36 4 Cari semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) (b) (c) (d) 5 Misalkan dan untuk setiap berlaku Buktikan bahwa 3 Nilai Mutlak Definisi 4 a,a 0 a, dengan a R a,a 0 Teorema 3 (a) a a,untuk semua a R Jika a = 0, maka -0 = 0 = 0 Jika a > 0, maka a < 0 Sehingga a ( a ) a a Jika a < 0, maka a > 0 Sehingga a a a (b) ab a b, untuk semua a,b R Jika a = 0 atau b = 0, maka ab dan a b sama dengan 0 Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0 Sehingga ab ab a b Jika a < 0 dan b < 0, maka ab > 0 Sehingga ab ab ( a )( b ) a b Jika a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 Sehingga ab ab a( b ) a b Jika a < 0 dan b > 0, maka ab < 0 Sehingga
11 37 ab ab a(b ) a b (c) jika c 0,maka a c, jika dan hanya jika - c a c Misalkan c>0 () Karena a c, maka a c dan a c Kita tahu bahwa a c ekuivalen dengan c a Karena c a dan a c, maka c a c () Jika c a c, maka c a dan a c Sehingga a c (d) a a a, untuk semua a R Ganti c = a pada c akan diperoleh a a a Ketidaksamaan Segitiga Untuk sembarang a, b R, berlaku Karena maka Jadi, a b a b a a a dan b b b, a b a b a b a b a b a b a b a b Corollary 3 Untuk sembarang a, b R, berlaku (a) a b a b Karena a a b b a b b, maka a b a b Karena b b a a b a a, maka
12 38 b a b a a b a b dan a b a b, diperoleh Sehingga dari a b a b a b a b (b) a b a b Ganti b dengan b pada ketidaksamaan segitiga diperoleh a b a b a b Contoh 4 Cari semua x R yang memenuhi pertidaksamaan berikut 5(a) 4x 5 3 Karena 4x 5 3, maka 3 4x x x x x 4 8 Jadi, A = 4x 5 3 x x 8 5(c) x x Cara I x (i) Jika x, maka x x 0 Ini berarti tidak ada x yang memenuhi pertidaksamaan (ii) Jika x, maka 4
13 39 x x x x 0 Ini berarti untuk semua x memenuhi pertidaksamaan (iii) Jika x, maka x x x x x 0 x 0 Ini berarti x 0 memenui pertidaksamaan Jadi, B = x x x x 0 x Contoh 5 Tunjukkan bahwa x a a x a () Karena x a, maka x a a x a a a a x a () Karena a x a, maka a a x a a a x a x a Contoh 6 x 3 Misal x f x, untuk setiap x 3 x Cari konstanta M>0 sehingga f x M, untuk setiap x 3 Karena x 3x x 3 x dan x 3, maka x 3x Karena x x dan x, maka
14 40 x 3 Sehingga x 3 8 x f x x 3 8 Pilih M = >0, maka 3 x f M, untuk setiap x 3 Latihan 3 Misalkan Tunjukkan bahwa jika dan hanya jika Misalkan dengan Buktikan bahwa jika, maka 3 Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) (b) 4 Lingkungan Definisi 5 Misalkan ar (i) Untuk suatu >0, lingkungan- dari a adalah himpunan V (a) = {xr x a < } V (a) ( ) a- a a+
15 4 (ii) Suatu lingkungan dari a adalah sembarang himpunan yang memuat lingkungan- dari a, untuk suatu > 0 Teorema 4 Misalkan a R Jika x R sehingga x anggota setiap lingkungan dari a, maka x =a Karena x V a untuk setiap 0, maka x a untuk setiap 0 Berdasarkan Teorema 9, maka x a 0 Jadi x a Contoh 7 Tunjukkan bahwa jika U dan V adalah lingkungan ar, maka juga lingkungan dari a Karena U lingkungan maka ada, > 0 sehingga U a Sehingga a U av a U V U Ini berarti U V juga lingkungan dari a Tentukan 4 min, a U av a V4 Maka Karena U av a U V, maka V a U V Ini berarti Contoh 8 U V juga lingkungan dari a Periksa apakah I x 0 x lingkungan dari 0 (a) (b) x 0 x U lingkungan dari 3 (a) I bukan lingkungan dari 0 karena untuk sembarang 0, V 0 x x I 0 4 (b) U lingkungan dari, karena ada 0, sehingga 0 x x x x V U U V dan U V U dan V a V
16 4 Latihan 4 Misalkan, dan Buktikan bahwa dan adalah lingkungan- untuk suatu yang sesuai Buktikan bahwa jika dengan, maka ada lingkungan U dari a dan lingkungan V dari b sedemikian sehingga 5 Sifat Kelengkapan dari R Supremum dan Infimum Sifat kelengkapan bilangan Real berkaitan dengan konsep supremum dan infimum Definisi 6 Misal S R (i) u R dikatakan batas atas jika memenuhi s S s u (ii) w R dikatakan batas bawah jika memenuhi s S w s Batas atas terkecil disebut supremum Batas bawah terbesar disebut infimum Definisi 7 Misal S R (a) (b) p R disebut supremum jika memenuhi (i) (ii) s p, s S (p batas atas) s u, s S p u q R disebut infimum jika memenuhi
17 43 (i) (ii) q s, s S (q batas bawah) w s, s S w q Catatan Jika p supremeum dari S dan q infimum dari S maka p dan q tunggal Akan ditunjukkan bahwa supremum p tunggal Bukti Andaikan ada supremum yang lain, sebutlah m Karena m supremum dan p batas atas maka m p Karena p supremum dan m batas atas maka Sehingga, m = p p m Lemma Suatu batas atas u dikatakan supremum dari S (sup S) 0, s S sehingga u s S ( ) () Misalkan v batas atas yang lain dari S Akan ditunjukkan u v Andaikan u v, maka u v 0 Pilih u v 0 Maka ada s S sehingga u u (u v ) v s Hal ini bertentangan dengan v adalah batas atas dari S Jadi, pengandaian u v salah Haruslah u v () Misalkan u sup S ada s sehingga < s Misal pula diberikan sembarang 0 Karena u u, maka u bukan batas atas dari S Sehingga ada anggota dari S, sebutlah s S yang melebihi u
18 44 Atau, u s Contoh 9 Misalkan S x 0 x Tunjukkan bahwa sup S = batas atas karena s, s S Karena S, maka sembarang batas atas v dari S akan memenuhi < v Jadi, sup S = Contoh 0 Misalkan A x 0 x Tunjukkan bahwa sup A = batas atas karena s, s A Misal diberikan sembarang 0 dengan (i) 0 atau (ii) (i) Maka dapat dipilih Sehingga u s Jadi, sup A = (ii) s A Sifat Supremum dari R Setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di atas mempunyai supremum Atau dengan kata lain, A R A sup A ada A terbatas di atas Hal yang sama dengan Sifat Infimum dari R Setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah mempunyai infimum Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R dan S terbatas di atas dan misal pula a R Didefinisikan
19 45 Maka a S a s s S sup(a+s) = a + sup S Misalkan sup S = u, maka x u, x S, a x a u Ini berarti a+u adalah batas atas untuk a+s Misalkan pula v adalah batas atas yang lain untuk a+s Maka a x v, x S x v a Ini berarti v a batas atas untuk S Karena u = sup S, maka u v a u a v Jadi, u+a = sup(a+s) Contoh Misal x 0 x S Tentukan sup(+s) sup(+s) = + sup S = + = 3 Misalkan D R, dan fungsi f D f x x D gd g x x D adalah himpunan-himpunan terbatas di R Maka f x g x, x D sup f D sup (i) gd (ii) f x gy, x,y D sup f D inf gd
20 46 g(d) f(d) g f g(d) f(d) g f D D f x gx, x D f x gy, x,y D (i) Misal sup g(d) = t, maka x t, x gd, atau gx t, x D Karena f x gx, x D, maka f x t Jadi, t batas atas dari f(d) Sehingga, sup f D t Jadi, f D sup gd sup (ii) Untuk memkan f D inf gd f x gy, x D Ini berarti g(y) adalah batas atas dari f(d) sup f D g y Sehingga Karena f x gy, x D f D gy, y D sup, pertama misalkan y tetap Maka berlaku untuk sembarang y D Maka sup Ini berarti sup f(d) adalah batas bawah dari g(d) Sehingga sup f D inf g D Contoh Misalkan S himpunan terbatas di R dan S 0 S, S0 Tunjukkan bahwa inf S inf S0 sup S0 sup S Karena inf S0 sup S0 maka untuk memkan pernyataan di atas cukup dengan menunjukkan (a) inf S inf S0 (b) sup S 0 sup S
21 47 (a) Akan ditujukkan inf S inf S0 Misalkan inf S = t, maka t x, x S Karena S0 S, maka t x, x S0 Ini berarti t batas bawah dari S 0 Karena S S R,, dan S 0 terbatas di bawah, maka inf S 0 ada 0 S0 Sehingga t inf S0 Jadi, inf S inf S0 (b) Akan ditujukkan sup S 0 sup S Misalkan sup S = m, maka x m, x S Karena S0 S, maka x m, x S0 Ini berarti m batas atas dari S 0 Karena S S R,, dan S 0 terbatas di atas, maka sup S 0 ada 0 S0 Sehingga sup S m Jadi, sup S 0 sup S 0 Sifat Archimedes x R n sehingga x x n x (himpunan bilangan asli tidak terbatas) Andaikan N terbatas Karean N dan N R, dan N terbatas maka sup N ada, sebutlah u Pilih, maka m N sehingga u m u m Karena m N, maka u m bertentangan dengan u adalah sup N Jadi, pengandaian salah Ter N tidak terbatas Corollarry 4 Misalkan y dan z adalah bilangan real positif kuat Maka (a) n N sehingga z ny (b) n N sehingga 0 n y (c) n N sehingga n z n
22 48 (a) Karena y dan z adalah bilangan real positif kuat maka Berdasarkan sifat Archimedes, maka z y n z ny n N sehingga z R y (b) Pilih z = pada Corollary (a), maka Karena n N, maka 0 n y n N sehingga ny (c) Sifat Archimedes menjamin bahwa m N z m dari N adalah tidak kosong Berdasarkan sifat terurut baik dari N, maka m N z m mempunyai unsur terkecil, sebutlah n Maka n z n Teorema Density x,y R, x y r Q sehingga x r y (di antara dua bilangan real, ada bilangan rasional) Tanpa mengurangi sifat keumumanya, misalkan x > 0 Karena yx 0 x y dengan x, y R, maka R Berdasarkan sifat Archimedes, maka yx n ny nx ny nx n N sehingga Dengan menggunakan Corollary 48(c) untuk nx 0, maka m N sehingga m nx m Ini berarti m nx Sehingga nx m nx ny Ini berarti nx m ny Tulis m m x m n r Q y
23 49 Maka x r y Corollary 5 x,y R, x y z I sehingga x z y (di antara dua bilangan real, ada bilangan irasional) Karena x, y R dengan x y, maka R dengan Berdasarkan Teorema Density, maka r Q sehingga x x r r y y Tulis r z I Maka x z y x, y y x Latihan 5 Misalkan Tentukan sup A dan kan Misalkan Tentukan sup A dan kan 3 Misalkan adalah himpnan tak kosong, subset dari, dan terbatas di bawah Buktikan bahwa 6 Titik Cluster (Cluster Point) Definisi 8 Suatu titik x R dikatakan titik cluster dari subset S R, jika setiap lingkungan- dari x, x x, x V memuat paling sedikit satu titik dari S yang berbeda dengan x Atau Suatu titik x R dikatakan titik cluster dari subset S R jika Suatu titik x S \ 0,V x x R dikatakan bukan titik cluster dari subset S R jika x S \ 0,V x
24 50 S x x+ ( ( ) ) x ada ys, y x Contoh 3 Misalkan 5, 6 0 S dan S n N, n a Apakah 5 titik cluster dari S? Bukan Ada 0 5 \ sehingga 4, 5 S 5 V / b Apakah 00 titik cluster dari S? Bukan 000 Ada 0 sehingga, S V / \ c Apakah 0 titik cluster dari S? Ya Misal diberikan sembarang 0 Maka berdasarkan Corollary 48(b), V 0, memuat S Ini berarti Sehingga 0 S \ V 0 00 m N sehingga 0 m Jadi, 0 adalah titik cluster dari S 7 Himpunan Terbuka (Open Set) dan Tertutup (Closed Set) di R Definisi 9 (i) Suatu subset G dari R adalah terbuka di R jika untuk setiap x G, ada lingkungan V dari x sehingga V G Atau G terbuka x G, 0 sehingga x,x G (ii) Suatu subset F dari R dikatakan tertutup di R jika R\F terbuka di R m Contoh 4
25 a Buktikan bahwa sembarang selang terbuka I = (a,b) adalah himpunan terbuka Misal diberikan sembarang x I, maka a x b min x a,b x > 0 Pilih Akan ditunjukkan V x I Misalkan u V x y x y x maka x u x Ada dua kemungkinan: (i) jika x a, maka x a b x Sehingga x b a x ba 5 ba a b a ( x a ) x x u x x a x x a Jadi, a u b Dengan kata lain u I (ii) jika b x, maka x a b x x b a x ba Sehingga b a b x b (b x ) x x u x b x x b a Jadi, a u b Dengan kata lain u I Jadi, V x I Kesimpulan, I = (a,b) adalah himpunan terbuka b Tunjukkan bahwa himpunan I = [0,] tidak terbuka Pilih 0 I Misal diberikan sembarang 0 Akan ditunjukkan V 0 x x I Pilih 0 V, maka I Jadi, V I 0 Kesimpulan, I = [0,] tidak terbuka c Buktikan bahwa I = [0,] tertutup
26 5 Karena R \ I = (0,) adalah himpunan terbuka di R maka I tertutup di R d Buktikan bahwa x 0 x H tidak terbuka juga tidak tertutup Akan ditunjukkan H tidak terbuka Karena ada 0 I sehingga untuk setiap 0 tidak terbuka di R Akan ditunjukkan H tidak tertutup Andaikan H tertutup, maka H terbuka di R Hal ini bertentangan dengan H tidak terbuka Jadi, haruslah H tidak tertutup berlaku V H 0, maka H Sifat Himpunan Terbuka (a) Gabungan dari sembarang koleksi dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka (b) Irisan dari koleksi finite dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka Bukti (a) Misalkan G G G R i i i tebuka, adalah sembarang koleksi dari himpunan-himpunan terbuka di R Misal diberikan sembarnag x G, maka x adalah anggota salah satu dari G i, sebutlah G Karena G terbuka, maka 0 V x G Karena, maka V x G G G sehingga Jadi, G adalah himpunan terbuka di R (b) Misalkan G G G Gn untuk suatu N n adalah irisan dari koleksi finite dari himpunan-himpunan terbuka di R Misal diberikan sembarang x G, maka x G, x G,, dan x Gn Karena G terbuka, maka 0 Karena G terbuka, maka 0 V x G sehingga V x G sehingga Dan seterusnya sampai G n terbuka, maka 0 Pilih,,, Maka V min n > 0 n sehingga x Gn x G dan V x G, dan, dan V x Gn V n
27 53 Jadi, V x G G G G n Jadi, G adalah himpunan terbuka di R DAFTAR PUSTAKA Bartle, R G & Sherbert, DR (98) Introduction to Real Analysis New York: John Willey & Sons, Inc Bruckner, T (008) Elementary Real Analysis, nd Editions New York: Prentice Hall Trench, W F (003) Introduction to Real Analysis San Antonio: Pearson Education
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciOleh: Naning Sutriningsih
Oleh: Naning Sutriningsih SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) MUHAMMADIYAH PRINGSEWU LAMPUNG 0 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke-hadirat Allah Rabbul Alamin, atas
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinci1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3
Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciAljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar
Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciCoba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real.
TUGAS ANREAL BAB Dosen: Julan HERNADI SELESAIKAN SOAL-SOAL BERIKUT SEKUAT KEMAMPUAN YANG ANDA MI- LIKI. WALAUPUN DALAM KETERBATASAN INTELIGENSI, COBALAH BERUSAHA LEBIH KERAS DALAM BELAJAR.. Jelaskan peran
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciEKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND. Nursiya Bito. Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
EKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND Nursiya Bito Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRACT In this paper, we will try to proof existence of
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciPengantar : Induksi Matematika
Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP MATARAM
Supremum dan Infimum TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA ANGGOTA : 1. ADESUHANDI (06 221 008) 2. ABDUSSALIM (06 221 006) 3. WAN SYAFRADINATA (07 221 299) 4. WIWIN WIDIARTI (07 221
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN REAL (SUATU PENDEKATAN AKSIOMATIK) C. JACOB
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN REAL (SUATU PENDEKATAN AKSIOMATIK) C. JACOB Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Jl. DR. Setiabudhi 9, Bandung 4154 Email: cjacob@ upi.edu ABSTRAK Suatu sistem aljabar terbentuk,
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciMateri Ke_2 (dua) Himpunan
Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciBAB 3 STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH
BAB 3 STRUKTUR ALJABAR DAN CONTOH Pada bab sebelumnya kita telah membicarakan definisi dari struktur aljabar, dan grupoid merupakan salah satu contohnya. Pada permulaan bab ini akan dibahas beberapa struktur
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinci2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.
A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciMenyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SEMIGRUP KANSELATIF BERDASARKAN KONJUGAT Muhammad Ilham Fauzi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciPertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.)
Pertemuan 1 HIMPUNAN 1.3.1. Definisi a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) b. Misalkan nєν Himpunan S dikatakan mempunyai n anggota jika ada suatu fungsi
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciBab1. Sistem Bilangan
Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciKeterbagian Pada Bilangan Bulat
Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinci