BARISAN. a n 1 a. a 1 1, a n 1

Transkripsi

1 BARISAN DAN DERET

2 BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) =a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga riil {a } dega a adalah suku ke-. Betuk peulisa dari barisa :. betuk eksplisit suku ke- 2. ditulis barisaya sejumlah berhigga sukuawalya. 3. betuk rekursi Cotoh: a =,,,, a, a a a 2

3 KEKONVERGENAN BARISAN 3 Defiisi Barisa {a } dikataka koverge meuju L atau berlimitl da ditulissebagai lim a L Jika utuk tiap bilaga positif, ada bilaga positif N sehigga utuk N a L Sebalikya, barisa yag tidak koverge ke suatu bilaga L yag terhigga diamaka diverge.

4 CATATAN 4 Bayak persoala kovergesi barisa. Megguaka fakta berikut: Jika lim f ( x ) L, maka x lim f () L Fakta tersebut memudahka karea dapat memakai kaidah I Hospital utuk soal peubah kotiu.

5 SIFAT LIMIT BARISAN Sifat dari limit barisa, jika barisa {a } koverge ke L da barisa {b } koverge ke M, maka. lima b lima limb L M 2. lima.b lima.limb L.M 3. lim a lima L b, utuk M 0 limb M Barisa {a } dikataka a. Mooto aik bila a + a b. Mooto turu bila a + a 5

6 CONTOH Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii:. a 2 Jawab: Ambil x :f (x) 2x Dalam hal ii, meurut kaidah I Hospital, x lim f (x) lim x x 2x 2 Jadi, lim 2 2 artiya barisa a koverge meuju ½.

7 CONTOH 2. a Jawab: Ambil x f (x) x Dalam hal ii, meurut kaidah I Hospital, l x x x lim x x exp lim lim exp.l exp lim x.l x x x x x x Jadi, lim 2 x. exp lim x x x x e artiya barisa a kovergemeuju e. x e 2 explim e x x

8 LATIHAN Tetuka kovergesi dari barisa di bawah ii: 4 2. a a a a a l() a + = + a, a = ,,, , 2, 3, 4, ,,, ,,,

9 DERET TAK HINGGA Betuk deret tak higga diotasika dega otasi sigma, sebagai berikut: a a a 2 a 3... a... dega a adalah suku ke-.

10 BARISAN JUMLAH PARSIAL Misalka S meyatakajumlah parsial ke- suku deret a i, maka i S =a S 2 = a +a 2... S =a +a 2 +a 3 +a a = a i i Barisa {S } diamaka barisa jumlah parsial deret Dari jumlah parsial ii di dapat bahwa S S - =a. i a i

11 KEKONVERGENAN DERET TAK HINGGA Deret tak higga a i koverge da mempuyai jumlah S i jika barisa jumlah-jumlah parsialya {S } koverge ke S. Sebalikya, apabila {S } diverge maka deret diverge.

12 DERET GEOMETRI Betuk umum deret geometri adalah ar = a +ar +a r a r dega a 0. Jumlah parsial deret ii S = ar i = a +ar +a r a r - i da dapat ditulis sebagai S = ar, r. r

13 SIFAT DERETGEOMETRI. Jika r < maka barisa {r } koverge ke 0 karea lim r = 0, maka deretya koverge ke a r 2. Jika r > maka barisa {r } diverge karea lim r =, maka deretya juga diverge.

14 CONTOH [] (SELIDIKI KEKONVERGENANNYA) Jawab: Kalau kita perhatika S = = - S 2 = = 3 = ( ) S 3 = = 7 = ( ) Sehigga kita peroleh jumlah parsial ke--ya da lim S S = ( ) 2 = lim ( ( ) ) = 2 Jadi karea barisa jumlah-jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge.

15 CONTOH [2] 2. i(i ) i (Deret Kolaps) Jawab: Kalau kita perhatika = - i(i ) i i Dari sii kita peroleh bahwa jumlah parsial ke--ya Da S = = + lim S = lim = Jadi karea barisa jumlah parsialya koverge ke, maka deret di atas juga koverge.

16 CONTOH [3] 3. i i= (deret harmoik) Jawab: Dari soal diuraika mejadi: S = S = = Sehigga didapatka limit S utuk meuju tak higga adalah tak higga juga. Jadi deret harmoik di atas adalah deret diverge.

17 UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N Apabila a koverge, maka lim a 0, ekivale lim a 0 maka deretdiverge. Catata: Jika lim a 0, maka belum tetu a deret koverge (bisa koverge atau diverge) sehigga perlu pegujia deret positif.

18 UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKUKE-N Cotoh: Buktika bahwa 2 diverge Bukti: 2 lim = 3 2 lim Jadi terbukti bahwa = (Tidak Nol) diverge.

19 MASALAH BARU Dalam bayak kasus bahwa lim a = 0, tetapi dari sii kita sagat sulit meetuka apakah deret tersebut koverge atau diverge. Sebagai cotoh deretharmoik, = Jelas bahwa lim a = 0, tetapi deret harmoik adalah deret yag diverge. Oleh karea itu, perlu dilakuka uji-uji utuk deret positif.

20 UJI DERETPOSITIF. Tes Itegral Misalka fugsi f kotiu mooto turu da f(x) >0 pada selag [,) a. Jika itegral tak wajar f (x) dx koverge, maka deret koverge. f () b. Jika itegral tak wajar f () diverge. f (x) dx diverge, maka deret

21 CONTOH. Selidiki kekovergea dari Jawab: e 2 Kita ambil f (x) x e 2 x, sehigga x e x 2 b dx x e x dx 2 lim lim b b e x 2 = = d(x 2 ) 2 b b lim e x 2 = = lim = 2 b 2 b e b2 e 2e Jadi karea x e x 2 dx koverge, maka e 2 juga koverge.

22 CONTOH 2. Selidiki kekovergea dari Jawab: Kita ambil f (x), sehigga xl x 2 l 2 dx xl x lim b b dx b d(l x) lim 2 xl x b 2 l x lim ll x lim llb ll2 b b 2 dx xl x Jadi karea diverge, maka juga diverge. 2 l

23 LATIHAN Selidiki kekovergea deretberikut: l

24 UJI DERET POSITIF 2. Uji Deret - P Deret-p atau deret hiperharmoik mempuyai betuk umum i i p Dega megguaka tes itegral, kita dapatka t x p t t p dx lim dx lim p p lim x t x t p t p Kalau kita perhatika, utuk. p = diperoleh deret harmoik, sehigga utuk p = deret diverge. 2. p > maka lim t p = 0, sehigga diperoleh deret yag koverge. t

25 UJI DERET POSITIF 3. p < maka lim t p t =, sehigga diperoleh deret yag diverge. 4. p < 0, suku ke- deret, yaitu, tidak meuju 0. P Jadi deret diverge meurut Uji Suku ke- i i P Sehigga dapat kita simpulka utuk uji deret-p, yaitu:. Deret-p koverge apabila p > 2. Deret-p diverge apabila 0 p

26 CONTOH Apakah deret berikut koverge atau diverge?.,00 Berdasarka uji deret-p, deret,00 koverge karea p =,00 > Berdasarka uji deret-p, deret diverge karea p = ½ <

27 UJI DERET POSITIF 3. Tes Perbadiga dega deretlai Adaika a ` da b `. Jika b koverge, maka ` ` ` deret positif, jika a b maka a ` koverge 2. Jika a diverge, maka b diverge

28 CONTOH Selidiki Kekovergea deretberikut: Jawab: Aka kita badigka deret ii dega a = kita tahu bahwa 2 2 5, sehigga karea 2 5 deret yag diverge. da adalah deret harmoik da deret diverge, maka b 2 5,

29 CONTOH Jawab: Aka kita badigka deret ii dega b = da a = kita tahu bahwa adalah deret hiperharmoik dega p = 2 > da koverge, maka , Sehigga karea deret yag koverge. 2 deret

30 LATIHAN Selidiki kekovergea deretberikut

31 UJI DERETPOSITIF 4. Tes Badig limit Adaika a da b deret positif da. Jika 0 <L < maka a ` koverge atau diverge 2. Jika L =0 da b ` da b lim a =L b ` sama-sama koverge maka a koverge.

32 CONTOH Selidiki kekovergea dari deret berikut : Jawab: Kita guaka Uji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b = 2 sehigga lim a b lim lim =2 Jadi karea L = 2da koverge. koverge, maka deret

33 CONTOH Selidiki kekovergea dari deret berikut : Jawab: Kita guakauji Badig Limit. Kalau kita perhatika deret tersebut, suku umumya mirip dega b = sehigga a lim b lim 2 4 = =lim = Jadi karea L= da diverge, maka deret 2 4 diverge.

34 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut: l

35 UJI DERET POSITIF 5. Tes HasilBagi Diketahui a k k merupaka suatu deret dega suku-suku yag positif. Misalka lim a k k a k. Jika < maka deret a k koverge 2. Jika > maka deret 3. Jika k a k k diverge = maka uji deret ii tidak dapat dilakuka.

36 CONTOH Selidiki kekovergea deretberikut:. 3! Jawab: Misalka suku ke- adalah a = adalah a += 3! sehigga 3!, maka sukuke-+ lim a a 3 lim! 3! lim 3! 3! Karea ilai limit r = 0 ( < ), maka deret 3! lim 3 0 koverge

37 CONTOH Jawab: 3 Misalka suku ke- adalah a = 2 adalah a += lim a a 3 2 lim 3 sehigga lim Karea ilai limit r = 3 (> ), maka deret, maka suku ke lim diverge 3

38 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut:. 2.! 2! ! 3 2! 3. 4!

39 UJI DERETPOSITIF 6. Tes Akar Diketahui a k k merupaka suatu deretdega suku-suku yag positif, misalka lim k a k a.jika a< maka deret a k 2.Jika a > maka dereta k k k koverge k diverge 3. Jika a = maka uji deret ii tidak dapat dilakuka. 39

40 CONTOH Selidiki kekovergea deret. 2 2 Jawab: Misalka suku ke- adalah a = maka ilai limityaadalah 2 2 lim a lim Karea ilai limit r = 2 (> ), maka deret 2 2 diverge

41 CONTOH Jawab: Misalka suku ke- adalah a = maka ilai limitya adalah 2 2 lim 2 a lim 2 2 Karea ilai limit r = ½ (< ), maka deret 2 2 koverge

42 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret berikut:. l

43 DERET GANTI TANDA DAN KEKONVERGENAN MUTLAK Deret Gati Tada Deret ii mempuyai betuk sebagai berikut a a a 2 a 3 a 4... dega a > 0, utuk semua. Cotoh petig adalah deret harmoik bergati tada, yaitu

44 UJI DERET GANTI TANDA Adaika deret gati tada, deret tersebut dikataka koverge jika. a + < a 2. lim a 0 Cotoh Tetuka kekovergea deret gati tada berikut ! 3! 4!

45 CONTOH. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a =, da a + = tersebut koverge jika a. a a a >a + b. lima lim 0,deret Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge.

46 CONTOH 2. Jawab (uji gati tada) Dari soal diatas kita puya a = deret tersebut kovergejika a. a! a ( )!!, da a = + a >a +! b. lima lim 0! Karea a da b terpeuhi maka deret di atas koverge.

47 LATIHAN Selidiki kekovergea dari deret gati tada berikut: ( )

48 KONVERGEN MUTLAK DAN KONVERGEN BERSYARAT Suatu deret dikataka koverge mutlak bila harga mutlak deret tersebut koverge. Atau dega kata lai : b dikataka koverge mutlak jika b Da dikataka koverge bersyarat jika b tetapi b koverge. koverge. diverge,

49 PENGUJIAN KEKONVERGENAN MUTLAK Misalka a dega a 0da lim a a r Maka. Jika r <, makaderet koverge mutlak 2. Jika r >, maka deret diverge 3. Jika r =, maka tesgagal

50 CONTOH Selidiki deret berikut koverge bersyarat, koverge mutlak atau diverge. 2! Jawab: Dari soal diatas kita memiliki a sehigga r lim a a lim 2!, da a 2 2! lim 2! 2 lim 0 2 2!! 2 2! Meurut uji hasil bagi mutlak, deret ii koverge mutlak

51 CONTOH 2. Jawab: Dega uji deret gati tada deret (buktika!!), sedagka a (karea merupaka deret-p dega p= ½ < ) Jadi deret koverge adalah deret diverge adalah koverge bersyarat.

52 LATIHAN Selidiki apakah deret tersebut koverge mutlak, koverge bersyarat atau diverge: () l 2. () () 3.

53 DERETPANGKAT Deret pagkat secara umum ada dua betuk. Deret pagkat dalam x didefiisika a x 0 = a 0 + a x + a 2 x Deret pagkat dalam (x b) didefiisika 0 a x b = a 2 0+ a (x-b) + a (x-b) Utuk kali ii kita bicara selag kekovergea / utuk harga x berapa saja deret pagkat tersebut koverge.

54 SELANG KEKONVERGENAN Selag kekovergea ditetuka dega uji hasil bagi mutlak sebagai berikut: Misalka a x b da 0 L lim a (x b) a (x b). Jika L <, maka deretkoverge. 2. Jika L =, tidak dapat diambil kesimpula guaka uji deret sebelumya.

55 SOAL Tetuka selag kekovergeaderet x. 0 ( )2 x 2. ( )! ( )!x

56 JAWAB []. Kita aka guaka Uji Hasil Bagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. x x x ( ) L lim : lim 2 ( 2) ( )2 2 ( 2) x 2 Jadi deret tersebut koverge mutlak apabila L<, yaitu 2 < x < 2 Kemudia aka kita cek utuk titik ujug itervalya, yaitu x = 2 ataux = -2. Pada x =2 2 2 deret ii adalah deret harmoik yag diverge.

57 57 JAWAB [2] Pada x = deret ii adalah deret harmoik bergati tada yag koverge. Sehigga selag kekovergeaya adalah 2 x< 2

58 JAWAB [3] 2. Kita aka guaka Uji Hasil bagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. x x x L lim : lim 0 2!! 2 Karea L = 0 <, maka deret selalu koverge utuk semua ilaix. Jadi selag kekovergeaya adalah (-,)

59 JAWAB [4] 3. Kita aka guaka Uji Hasilbagi Mutlak, utuk meyelidiki kekovergea mutlak. L lim 2!x!x Lim 2 x 0, jika x 0, jika x 0 Jadi deret tersebut koverge haya utuk x = 0.

60 Himpua kekovergea deret pagkat a x 0 selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut:. satu titik x =0 2. selag (-c, c), mugki ditambah salah satu atau keduaya titikujugya. 3. seluruh himpua bilaga riil TEOREMA berbetuk

61 TEOREMA 2 Himpua kekovergea deret pagkat a (x b) 0 Berbetuk selag yag berupa salah satu dari ketiga jeis berikut:. satu titik x =b 2. selag (b-c, c+b), mugki ditambah salah satu atau keduaya titikujugya. 3. seluruh himpua bilagariil

62 LATIHAN Tetuka selag kekovergea deret pagkat berikut:. (x ) x 2 2 l x 2 x 2 2! x 2 3 l 3 x 2 4 l x !

63 OPERASI DERET PANGKAT Dalam pasal sebelumya utuk x deret ax ax 0 a x Pertayaa yag mucul megeai sifat-sifat deret kuasa di atas (misals(x) = ax ) misalka bagaimaa jika S(x) 0 didiferesialka dajika S(x) diitegralka.

64 TEOREMA Adaika S(x) adalah jumlah sebuah deret pagkat pada sebuah selag I, jadi S(x) a x a 0 a x a 2 x 2 a 3 x maka :. S '(x) D a x d [a0 ax a2x a 3x...] a 2a 2 x 3a 3 x 2... a x 0 x x 3 a 2. S(t) dt at dt a0x a x 2 a2x... x 2 3

65 CONTOH Sesuai teorema diatas, = + x + x x 2 + x utuk -< x < Tetuka: a. Jawab: x 2 b. l( x) a. Dega meuruka suku demi suku, kita peroleh 2 3 Dx D x x x x... x 2x 3x 2... x 2 x, x

66 CONTOH b. l ( x) Sedagka dega megitegralka suku demi suku, kita peroleh juga x 0 2 l( x) dt t t t 3... dt t x 0 t t 2 t 3 t l( x) x, -< x < x 0 x x 2 x 3 x

67 LATIHAN Tetuka (Petujuk : Lihat cotoh a da b di atas) f (x) x f (x) f (x) l x 6. x x 2 2 x 7. f (x) x 2 3x x 2 f (x) x f (x) x 2 5. f (x) ta x

68 DERET TAYLOR DAN DERET MACLURIN Deret Taylor Defiisi: Misalka f(x) dapat dituruka sampai kali pada x=b, maka f(x) dapat diperderetka mejadi deret kuasa dalam betuk f (x) 0 f () (b) f ''(b)(x b) x b f (b) f '(b)(x b) 2! 2! deret di atas disebut Deret Taylor dega pusat x =b. Bila b =0, kita peroleh Deret Mac Lauri, yaitu... f (x) 0 f () (0) f ''(0) x x f (0) f '(0) x 2...! 2! 68

69 CONTOH Perderetka fugsi berikut dega deret maclauri:. f(x)= si x Jawab: f(x) = si x f(0) =0 f (x) = cos x f (x) = -six f (0) = f (0) =0 f (x) = - cos x f (0) =- f lv (x) = six f lv (0) =0 Sehigga, f (x) si x x x 3 x 5 x ! 5! 7! 0 x 2 2!

70 CONTOH 2. f(x)= e x Jawab: f(x) =e x f (x) =e x f (x) =e x f (x) =e x f lv (x) =e x Sehigga, f (x) ex x f(0) = f (0) = f (0) = f (0) = f lv (0) = x 2 x 3 x ! 3! 4! x 0!

71 CONTOH 3. Perderetka f(x)= e x dega deret taylor dega pusat di x= Jawab: f(x) =e x f (x) =e x f (x) =e x f (x) =e x f lv (x) = e x Sehigga, f() =e f () =e f () =e f () =e f lv () =e f ( x ) e x e e( x ) e x 2 2! e x 3 3!... e 0 x!

72 LATIHAN. Perderetka dega f(x) berikut deret maclauri a. f(x) = cos x b. f(x) = cos x 2 c. f(x) = cos 2 x e. f(x) = si 2 x f. f(x) = sec x g. f(x) = ta x d. f(x) = e x + si x h. f(x) = sec x 2. Perderetka dega f(x) berikut deret taylor dega pusat x =a a. f(x) = cos x, a =/3 a. f(x) = e x, a = 2 b. f(x) = si x, a =/3