1. Jika α, β dan γ adalah akar-akar 5x 3 + 7x 2 x 1 = 0 maka berapakah nilai 1+α. c. 0 d. -13 e. 13. Penyelesaian: 1 dan D = 1.

Transkripsi

1 KOMPETISI MATEMATIKA 017 TINGKAT SMA SE-SULUT SOLUSI BABAK PENYISIHAN Rabu, Februari 017

2 1. Jika α, β dan γ adalah akar-akar 5x + 7x x 1 0 maka berapakah nilai 1+α 1 α + 1+β 1 β + 1+γ 1 γ. a. b c. 0 d. -1 e. 1 Dengan melihat Ax + Bx + Cx + D 0 dan 5x + 7x x 1 0 didapat A 5, B 7, C 1 dan D 1. α + β + γ B A 7 5 αβ + αγ + βγ C A αβγ D A α 1 α β 1 β γ 1 γ (1 + α)(1 β)(1 γ) + (1 + β)(1 α)(1 γ) + (1 + γ)(1 α)(1 β) (1 α)(1 β)(1 γ) (1 β + α αβ)(1 γ) + (1 α + β αβ)(1 γ) + (1 α + γ αγ)(1 β) (1 β α + αβ)(1 γ) (1 γ β + βγ + α αγ αβ + αβγ) + (1 γ α + αγ + β βγ αβ + αβγ) + (1 β α + αβ + γ βγ αγ + αβγ) 1 γ β + βγ α + αγ + αβ αβγ α β γ αβ αγ βγ + αβγ 1 α β γ + αβ + αγ + βγ αβγ (α + β + γ) (αβ + αγ + βγ) + αβγ 1 (α + β + γ) + αβ + αγ + βγ αβγ ( 7 5 ) ( 1 5 ) + (1 5 ) 1 ( 7 5 ) + ( 1 5 ) α + 1+β + 1+γ 1 1 α 1 β 1 γ 5 1

3 . Jika (x ) membagi ax 4 + bx + 4, maka ab a. - b. c. 4 d. 4 e. ax 4 + bx + 4 q(x) (x ) Jelas bahwa q(x) harus merupakan fungsi kuadrat. Karena koefisien x 4 adalah a dan konstanta ruas kiri 4 maka q(x) ax + px + 1 ax 4 + bx + 4 (ax + px + 1) (x 4x + 4) ax 4 + bx + 4 ax 4 + ( 4a + p)x + (4a 4p + 1)x + (4p 4)x + 4 Dari persamaan di atas didapat: Berdasarkan koefisien x maka 4p 4 0 sehingga p 1 Berdasarkan koefisien x maka 4a 4p sehingga a 4 Berdasarkan koefisien x maka b 4a + p sehingga b ab. Bilangan asli terkecil lebih dari 017 yang bersisa 1 jika dibagi,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 adalah a. 57 b. 45 c. 51 d. 68 e. 714 Misalkan bilangan yang memenuhi tersebut x. x n KPK(,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) + 1 x n x 50n + 1 > 017 Nilai minimal x didapat jika n 1 Jadi, bilangan asli terkecil yang memenuhi 51

4 4. Tentukan nilai n terbesar sehingga n + 0 membagi n a. 598 b. 596 c. 67 d. 65 e. 6 n + 0 membagi n + 0 n n Karena n + 0 membagi n maka n + 0 membagi 598 n maks n maks Jika y sin x tan ( 1 e x + ), maka y a. cos x tan ( 1 ) + ex + e x + (e x +) sec ( 1 ) sin x e x + b. cos x tan ( 1 ) + ex + e x + (e x +) sec ( 1 ) sin x e x + c. cos x tan ( 1 ) ex e x + (e x +) sec ( 1 ) sin x e x + d. cos x tan ( 1 ) + ex e x + (e x +) sec ( 1 e x + ) sin x e. cos x tan ( 1 ) ex e x + (e x +) sec ( 1 ) sin x e x + Penyelesaian : Mis: p e x + q (e x + ) 1 p 1 v tan ( 1 dv ) tan q e x + dp dx ex dq 1 1 dp p (e x +) dq sec q sec ( 1 ) e x + dv dx dv dq dq dp dp dx 1 sec ( e x + ) 1 (e x + ) ex ex 1 (e x + ) sec ( e x + )

5 Mis: u sin x v tan ( 1 e x + ) u cos x v ex (e x +) sec ( 1 e x + ) y uv + u v y sin x ex 1 (e x + ) sec ( e x + ) + cos x tan ( 1 e x + ) y 1 cos x tan ( e x + ) ex 1 (e x + ) sec ( e x ) sin x + 6. Hasil dari a. ln 9 10 b. ln c. 0 x + 6x + 8 dx d. ln 10 9 e. ln Penyelesaian : x + 6x + 8 dx (x + 4)(x + ) dx (x + 4)(x + ) A x B x + A(x + ) + B(x + 4) (x + 4)(x + ) (x + 4)(x + ) Ax + A + Bx + 4B (x + 4)(x + ) (x + 4)(x + ) (A + B)x + (A + 4B) (x + 4)(x + ) (x + 4)(x + ) A + B 0 1 A + B 0 A + 4B : A + B 1 A B 1 A B 1 4

6 A + B 0 A A 1 Jadi, A 1, B 1 Sehingga (x + 4)(x + ) 1 x x + 1 x + 1 x + 4 x + 6x + 8 dx ( 1 x + 1 x + ) dx ln x + ln x + 4 ln x + 4 x + 4 [ln x + x + 4 ] x + 6x + 8 dx x + 6x + 8 dx x + 6x + 8 dx ln 5 7 ln 4 6 x + 6x + 8 dx ln 5 7 ln x + 6x + 8 dx ln 5 7 ln x + 6x + 8 dx ln x + 6x + 8 dx (ln + + ) (ln ) 5 7 ln ln x + x x 7. Jika x, y, dan z adalah penyelesaian dari persamaan ( 1 1) ( y) ( 11), maka x y 1 z 5 z adalah a. 1 b. 0 c. -1 d. ½ e. Penyelesaian : 1 x Mis : A ( 1 1), X ( y), B ( 11) 1 z 5 det(a) ( 1 6 1) (9 + 4) Metode Cramer Nilai variabel x 5

7 x ( ) det(x) ( ) ( ) x det (x) det (A) 60 0 Nilai variabel y 1 y ( 11 1) det(y) ( ) ( ) ( 88) y det (y) det (A) Nilai variabel z 1 z ( 1 11) det(z) ( ) ( 9 + 0) 8 ( 7) 90 5 z det (z) det (A) 90 0 x ( y) ( 4) z x y z () ( 4) () Diberikan matriks A [ ]. Jumlah elemen-elemen yang ada pada A011 adalah a b c. 0 Penyelesaian : d e A [ ] An [ 0 n+1 ], n 1 mod 4 n 1 0 A [ ] [ ] [ 0 0 ] An [ n 0 0 n ], n mod 4 A [ 0 0 ] [ 0 4 ] [ ] An [ 0 n+1 ], n mod 4 n 1 0 A 4 [ ] [ ] [ ] An [ n 0 ], n 0 mod 4 0 n 6

8 A 017, dimana n 017 dan mod 4, maka A 017 [ ] [ ] Jumlah elemen-elemen dalam A 017 adalah ( 1) Diketahui a, b 9, dan a + b 5. Besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah a. 45 b. 60 c. 10 Penyelesaian : a a a a cos b b b b cos d. 15 e. 150 ( a + b ). ( a + b ) a + b. a + b cos ( a + b ). ( a + b ) a a + a b + b. a + b b 5 + a b + 9 a b -6 a b cos θ a b a b Jika f adalah sebuah fungsi yang memenuhi f ( 1 x ) + 1 f( x) x x Untuk setiap bilangan real tak nol maka f(1) sama dengan a. 0 b. 1 c. d. e. 4 7

9 Buat x 1 x maka f( x) + ( x)f ( 1 x ) x Jika di eliminasi persamaan yang ada di soal dengan persamaan yang sudah diganti akan didapat f( x) x 1 x f(x) x + 1 x f(1) Jika f(x + 5) x dan g(017 x) x maka nilai f(g(0)) + g(f()) sama dengan a. 01 b. 016 d. 017 e. 0 c. 0 f(x + 5) x misalkan x + 5 y maka x y 5 sehingga f(y) y 5 g(017 x) x misalkan 017 x y maka x 017 y sehingga g(y) 017 y Maka nilai dari f(g(0)) + g(f(1) adalah f(g(0)) + g(f(1) f(017 0) + g ( 5 ) f(g(0)) + g(f(1) f(017) + g( 1) f(g(0)) + g(f(1) f(g(0)) + g(f(1) f(g(0)) + g(f(1) f(g(0)) + g(f(1) Jika x cos θ y sin θ x + y, dan cos θ a diantara pilihan berikut adalah, + sin θ 1 b x +y maka hubungan yang paling tepat a. x b y a 1 c. x a y b 1 b. x b + y a 1 d. x a + y b 1 8

10 e. x +y a b 1 Pertama tama analisa masalah, dan dapat diperoleh bahwa semua unsur pada pernyataan kedua dan pernyataan akhir atau pada options jawaban berada dalam keadaan kuadrat. Jadi yang kita lakukan adalah mengkuadratkan pernyataan pertama kemudian menyederhanakannya sebanyak mungkin. xcosθ ysinθ + x + y x cos θ xysinθcosθ + y sin θ x + y x x cos θ + xysinθcosθ + y y sin θ 0 x (1 cos θ) + xysinθcosθ + y (1 sin θ) 0 x sin θ + xysinθcosθ + y cos θ 0 (xsinθ + ycosθ) 0 xsinθ + ycosθ 0 xsinθ ycosθ x y cotθ x y cot θ x y cosec θ 1 x y + 1 cosec θ y sin θ x + y x cos θ x + y subtitusikan ke pernyataan x x + y a + y x + y b x a + y b 1 1 x + y 9

11 1. Nilai dari sin 1 + sin +sin sin 87 + sin 89 adalah a. d. 1 4 b. 1 c. e. 1 4 Yang pertama harus diketahui, yaitu, sin θ cos(90 θ) untuk θ positif kurang dari sama dengan 90. Dengan ini menjadi dasar, maka dapat membentuk pasangan pasangan yang tiap tiap pasangan tersebut bernilai satu seperti di bawah ini, sin 1 +sin 89 sin 1 + cos 1 1 Sekarang yang harus dihitung adalah jumlah pasangan yang ada. Jika dihitung sampai sin 7, maka ada 4 anggota. Jika dihitung sampai sin 9, maka ada 5 anggota. Kita gunakan pengetahuan ini untuk mencoba konjektur banyaknya anggota pada yang pertama 7+1 4, dan yang kedua Setelah konjektur ini dikonfirmasi, maka kita gunakan prinsip induksi untuk menghitung jumlah anggota sampai sin Dengan 45 anggota, maka diperoleh pasangan dengan satu anggota berada ditengah, anggota ke-. Anggota yang ke- adalah ( 1) + 1 Anggota yang ke- adalah ( 1) Dengan menggunakan induksi lagi, maka Anggota yang ke- adalah ( 1) sin 45 1, maka jumlahnya adalah lim x 1 a. 1 b. 0 c. 015 x x d. 1 e

12 Penyelesaian : Misalkan x u , maka : u lim u 1 u (u 1)(u u u + 1) lim u 1 (u 1)(u u u + 1) Tentukan nilai k yang membuat fungsi berikut kontinu pada x 1 a. 5 b. 8x + 48x 40 f(x) {, x 1 x < 1 x + k, x 1 c. d. 4 e. 6 Kontinu pada titik 1 berarti limit mendekati 1 dari kiri dan kanan bernilai sama saat x 1 8x + 48x 40 x + k x 1 ( 8x + 40)(x 1) x + k (x 1) 8x + 40 x + k 8(1) + 40 (1) + k k Jumlah akar-akar persamaan dari x 017 x adalah a. 017 d. - b e. 0 c. Penyelesaian : Mis: x a Maka : a 017a (a 019) (a + ) 11

13 Sehingga a 019 atau a a 019 x 019 x 019 atau x 019 a (tidak memenuhi karena harga mutlak selalu bernilai positif) x dan x 019 jadi x + x ( 019) Himpunan penyelesaian dari 4x + 5x x + adalah a. 5 x d. x atau x 5 b. x atau x 5 e. x atau x 5 c. x 5 4x + 5x x + ( 4x + 5x ) x + ( 4x + 5x ) (x + ) 4x + 5x 9x + 1x + 4 5x + 1x 6 0 ( 5x + )(x ) 0 Pembuat nol x dan x 5 ( ) (+) ( ) 5 Jadi HP 5 x 18. Diberikan segitiga ABC dengan luas 10. Titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA dengan AD, DB. Diketahui segitiga ABE dan segiempat DBEF mempunyai luas yang sama. Luas segitiga ABE dan AEC adalah a. dan 7 d. 6 dan 4 b. 4 dan 6 e. 7 dan c. 5 dan 5 1

14 Misalkan H adalah perpotongan AE dan DF [ABE] [ABEF] [ADH] + [BDHE] [BDHE] + [EFH] [ADH] [EFH] [ADH] + [AHF] [EFH] + [AHF] [ADF] [AEF] Karena ΔADF dan ΔAEF memiliki alas yang sama, yaitu AF dan memiliki luas yang sama, maka tinggi keduanya pasti sama. Maka, AD EF sehingga DE AF dan DE AC Karena DE AC maka ΔDBE sebangun dengan ΔABC Jadi, BE EC BD DA [ABE] [ABC] 5 [ABE] 6 [AEC] [ABC] [ABE] Luas segitiga ABE dan segitiga AEC adalah 6 dan 4 1

15 19. ABCD dan DEFG adalah sebuah persegi. Jika DE AB, maka perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas DEFG adalah a. 8 b. 4 8 c. 5 8 d. 6 8 e. 7 8 DE EF FG GD AB ADC ~ AGF sehingga AD AG DH FG Perbandingan luas: AD AD + DG DH FG Luas DHFG (trapesium) Luas DEFG (persegi) AD AD + AD DH AD AD 4AD DH AD DH 4 AD + FG (DH ) DG DG DH + FG DG 4 AD + AD AD

16 0. Banyaknya cara terpendek dari A ke D jika harus melewati titik B dan titik C adalah D B C A a. 0 b. 150 c. 16 d. 90 e. 45 AB 6! 4!! 15 BC! 1! 1! CD!! 1! Jadi, AD Bentuk sederhana dari a ! b. 018! ( 1)(i! i) i1 c. 018! d. 018! 1 e. 018!

17 017 ( 1)(i! i) i1 017 ( 1) (i! i) i1 ( 1)[(1! 1) + (! ) + (! ) + (4! 4) + + (016! 016) + (017! 017)] ( 1)[(( 1)! 1) + (( 1)! ) + ((4 1)! ) + ((5 1)! 4) + + ((017 1)! 016) + ((018 1)! 017)] ( 1)[(! 1!) + (!!) + (4!!) + (5! 4!) + + (017! 016!) + (018! 017!)] ( 1)( 1! + 018!) 1! 018! 1 018! ( 1)(i! i) 1 (1 018!) 018! i1. Jika titik (x, y) memenuhi + x y x + 8 maka nilai maksimum y x adalah a. 110 b. 111 c. 11 d. 11 e. 114 Persamaan di soal dipecah menjadi yaitu + x y x y Dan y x + 6 menjadi x y 8 B(,11) A(,6) x y 8 x y 8 16

18 Untuk y 6 x 6 8 Untuk y 11 x 11 8 Titik A(,6) 6 ( ) Titik B(,11) (y 8) y y 16y + 64 y y 17y (y 6)(y 11) 0 y 6 y 11. Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan. Dalam daerah tersebut nilai yang dapat dicapai fungsi f(x, y) 0x 17y adalah a. f(x, y) 108 b. f(x, y) 11 c. f(x, y) 108 d. 68 f(x, y) 11 e. 68 f(x, y)

19 Pada gambar di soal terdapat buah garis dan 4 buah titik. Garis-garis tersebut yaitu: x + y 4, x + y 8, y 4 B C A D Titik A(0,) 0(0) 17() 4 Titik B(0,4) 0(0) 17(4) 68 Titik C merupakan perpotongan garis x + y 8 dan y 4 maka: x x 8 4 x Titik C(,4) 0() 17(4) Titik D(4,0) 0(4) 17(0) 80 Jadi nilai yang dapat dicapai fungsi f(x) 0x 17y adalah 68 f(x, y) Untuk 0 < x < π, nilai minimum dari 4sin x+1 sinx a. 7 b. 4 c. d. 1 8 e. 0 adalah 18

20 Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM diperoleh 4 sin x + 1 sin x Kesamaan diperoleh ketika 4 sin x+1 sin x Jadi, nilai minimumnya adalah 4. 4 sin x + 1 sin x 1 4 sin x sin x 4 4 sin x + 1 sin x 4 4 yang memenuhi syarat Untuk 0 < x < π 5. a dan b merupakan penyelesaian dari log a + log b 8. Maka nilai maximum dari ab a. 10 b. 100 c d e AM QM log a + log b Jadi, nilai maximum dari ab adalah log ab log a + log b 8 log ab 4 log ab 4 ab 10 4 ab Banyaknya bilangan bulat antara 900 dan 016 yang habis dibagi 17 adalah a. 51 b. 10 c. 78 d. 60 e. 66 Penyelesain : Dari soal, bilangan bulat antara 900 dan 016 yang habis dibagi 17 dapat membentuk barisan aritmetika yaitu : 901, 918, 95, 95,, 006 Diketahui : 19

21 Suku pertama : a 901 Selisih atau beda : b 17 Suku ke-n : Un 006 Mencari nilai n (banyaknya bilangan) dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika : Un a + (n-1)b Maka, diperoleh : Un a + (n-1)b (n-1) n n n 11 17n n 66 Jadi, banyaknya bilangan bulat antara 900 dan 016 yang habis dibagi 17 adalah Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah a. b. c. d. e Misalkan suku pertama barisan geometri tak hingga tersebut adalah a dan rasio r. a + ar + a r a + 6 (1) 1 r Suku-suku yang ganjil adalah a, ar, ar 4, yang membentuk barisan tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r. a + a r + a r 4 + a r 6 + a 1 r Subtitusikan persamaan (1) ke ( a ) ( a ) 4 1 r 1+r ( a ) 1+r + r r 1 6 () Subtitusikan persamaan di atas ke persamaan (1) a Maka suku ke-6 U 6 ar

22 8. Rata-rata nilai ujian dari murid perempuan di suatu kelas adalah 0 lebihnya dari rata-rata murid lakilaki. Jumlah murid laki-laki 10 lebihnya dari murid perempuan. Jumlah murid dalam kelas itu adalah 100 orang dan rata-rata nilai ujian kelas itu adalah 75. Rata-rata nilai ujian murid perempuan adalah a. 66 b. 68 c. 7 d. 84 e. 86 Misalkan : a jumlah murid perempuan b jumlah murid laki-laki x rata-rata nilai ujian murid laki-laki 100 a + b 100 a + (10 + a) 100 a + 10 a 90 a 45 a + b b 100 b 55 45(x + 0) + 55x x x x x + 9 x 66 Rata-rata nilai ujian murid perempuan x Pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi 4a(a + 1) b(b + ) sebanyak... a. 0 b. 1 c. d. e. 4 4a(a + 1) b(b + ) 4a + 4a b b 0 (a + b)(a b) + 6a b a (a b)(a + b + ) a Karena a dan b adalah bilangan asli maka a > b. Karena a + b + > a maka ruas kiri > ruas kanan sehingga kesamaan tidak mungkin terjadi. jadi, banyaknya pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi ada 0. 1

23 0. Tentukan nilai dari a. b. 1 1 (log a bc) (log b ac) (log c ab) + 1 c. d. e. 1 (log a bc) (log b ac) (log c ab) log a bc + log a a + 1 log b ac + log b b + 1 log c ab + log c c 1 log a abc + 1 log b abc + 1 log c abc log abc a + log abc b + log abc c log abc abc 1