PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES SKRIPSI FITRI ARDIANTI

Transkripsi

1 PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES SKRIPSI FITRI ARDIANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM MEDAN 17

2 PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES SKRIPSI Diajuka utuk melegkapi tugas da memeuhi syarat mecapai gelar Sarjaa Sais FITRI ARDIANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM MEDAN 17

3 PERSETUJUAN Judul : Peaksira Parameter pada Distribusi Rayleigh megguaka Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes Kategori : Skripsi Nama : Fitri Ardiati Nomor Iduk Mahasiswa : Program Studi : Sarjaa (S1) Matematika Departeme : Matematika Fakultas : Matematika Da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Sumatera Utara Disetujui di Meda, Oktober 17 Komisi Pembimbig : Pembimbig, Dr. Sutarma, M.Sc NIP Disetujui Oleh Departeme Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Drs. Suyato, M.Kom NIP i

4 PERNYATAAN PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES SKRIPSI Meyataka dega sebearya bahwa skripsi yag saya serahka ii bear-bear merupaka hasil karya saya sediri, kecuali beberapa kutipa da rigkasa yag masig-masig disebutka sumberya. Meda, Oktober 17 FITRI ARDIANTI ii

5 PENGHARGAAN Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT Yag Maha Pemurah da Maha Peyayag, dega limpah karuia-nya Peulis dapat meyelesaika peyusua skripsi ii dega judul Skripsi Peaksira Parameter pada Distribusi Rayleigh megguaka Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes. Terima kasih peulis sampaika kepada Bapak Dr. Sutarma, M.Sc selaku pembimbig yag telah meluagka waktuya selama peyusua skripsi ii. Terima kasih kepada Bapak Dr. Ope Darius, M.Sc da Ibu Dr. Esther S M Nababa, M.Sc selaku dose pembadig 1 da pembadig yag memberika kritik da sara yag membagu dalam meyelesaika skripsi peulis. Terimakasih kepada Bapak Dr. Drs. Suyato, M.Kom da Bapak Drs. Rosma Siregar, M.Si selaku Ketua Departeme da Sekertaris Departeme Matematika FMIPA USU Meda, Bapak Dr. Kerista sebayag, M.S selaku Deka FMIPA USU Meda, seluruh Staff da Dose Matematika FMIPA USU serta pegawai FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua oragtua tercita, Ayahada Poima da Ibuda Sugiati. Terima kasih kepada sahabat-sahabat yag terhimpu dalam grup Muslimah Kece yaitu Dhira, Dilla, Idri, Mia, da Shidi. Terima kasih kepada tema-tema Pema Sekawasa USU yaitu Surya, Rozy, Lusi, da Putri. Terima kasih kepada keluarga PEMA FMIPA USU, tema-tema Matematika 13 FMIPA USU serta reka-reka kuliah laiya yag tidak dapat saya sebutka satu persatu amaya yag telah membatu peulis dalam meyelesaika skripsi ii. Semoga Allah SWT Yag Maha Esa aka membalasya. Meda, Oktober 17 FITRI ARDIANTI iii

6 PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES ABSTRAK Peelitia ii bertujua utuk membadigka metode Maimum Likelihood da metode Bayes dalam meaksir parameter Distribusi Rayleigh. Distribusi prior utuk metode Bayes yag diguaka pada peelitia ii adalah prior Jeffrey. Perbadiga kedua metode dilakuka melalui simulasi data pada berbagai kodisi parameter da ukura sampel. Evaluasi terhadap kedua metode dilakuka melalui pegamata terhadap ilai bias da MSE yag dihasilka. Berdasarka simulasi data dari estimator yag diperoleh dega megguaka program R, diketahui bahwa ilai bias dari kedua metode meujukka pola yag sama yaki ilai bias yag semaki kecil dega ukura sampel semaki besar. Nilai bias pada metode Bayes dega fugsi keguria loss fuctio-l 1 meujukka agka yag semaki kecil dibadigka dega metode Maimum Likelihood da metode Bayes dega fugsi kerugia precautioary loss fuctio, etropy loss fuctio, da loss fuctio-l 1. Sedagka, utuk ilai MSE meujukka error yag semaki besar dega kodisi ukura sampel semaki besar. Nilai MSE metode Maksimum Likelihood lebih kecil dibadigka ilai MSE pada metode Bayes dega fugsi kerugia precautioary loss fuctio, etropy loss fuctio, da loss fuctio-l 1. Peelitia ii meujukka bahwa tidak selamaya metode Bayes lebih baik dibadigka dega metode Maimum Likelihood dalam meaksir parameter. Kata Kuci: Peaksira Parameter, Distribusi Rayleigh, Metode Maimum Likelihood, Metode Bayes iv

7 ESTIMATING PARAMETER OF RAYLEIGH DISTRIBUTION BY USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD AND BAYES METHOD ABSTRACT This study aims to compare the Maimum Likelihood method ad Bayes method i estimatig the Rayleigh Distributio parameter. The prior distributio for the Bayes method used i this study is Jeffrey's priority. Compariso of both methods is doe by simulatio of data o various coditio of parameter ad sample size. Evaluatio of both methods is doe through observatio of the bias ad MSE values geerated. Based o the data simulatio of estimator obtaied by usig program R, it is kow that the bias value of both methods shows the same patter that the smaller the bias value with the bigger the sample size. The bias value o the Bayes uder loss fuctio-l 1 method shows a smaller umber compared to Maimum Likelihood method ad Bayes method with loss fuctio loss precautioary fuctio, etropy loss fuctio, ad loss fuctio-l 1. Meawhile, for the MSE value shows a icreasigly small error with the coditio of the larger the sample size. The MSE value of the Likelihood Maimum method is smaller tha the MSE value of the Bayes method with the loss fuctio of precautioary loss fuctio, etropy loss fuctio, ad loss fuctio-l 1. This study shows that Bayes method is ot always better tha Maimum Likelihood method i estimatig parameters. Keywords: Estimatio of Parameter, Rayleigh Distributio, Maimum Likelihood Method, Bayes Method v

8 DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR Halama i ii iii iv v vi viii i BAB 1 BAB PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag 1 1. Rumusa Masalah Tujua Peelitia Batasa Masalah Kotribusi Peelitia Metodologi Peelitia 6 LANDASAN TEORI.1 Probabilitas Dasar 8. Peubah Acak 9..1 Peubah Acak Diskrit 1.. Peubah Acak Kotiu 1.3 Ekspektasi da Varias Ekspektasi Varias 14.4 Distribusi Gamma Fugsi Gamma Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi 18 Distribusi Kumulatif Gamma.4.3 Ekspektasi da Varias Distribusi Gamma 18.5 Distribusi Weibull Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi 19 Kumulatif Distribusi Weibull.5. Ekspektasi da Varias Distribusi Weibull 19.6 Distribusi Rayleigh.6.1 Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi 1 Kumulatif Distribusi Rayleigh.6. Ekspektasi da Varias Distribusi Rayleigh.7 Fugsi Desitas Peluag Bersama.8 Fugsi Desitas Peluag Margial.9 Distribusi Sampel 3 vi

9 .1 Distribusi Bersyarat 4.11 Peaksira Parameter Metode Maimum Likelihood 6.1. Teorema Bayes.1..1 Distribusi Prior.1.. Distribusi Posterior.1..3 Fugsi Risiko Metode Evaluasi Estimator 34 BAB 3 BAB 4 BAB 5 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Desai Peelitia Metode Peyelesaia 36 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Peaksira Parameter pada Distribusi Rayleigh Meetuka Estimator Parameter dega Metode Maimum Likelihood Meetuka Estimator Parameter dega Metode Bayes Meetuka Distribusi Prior No- Iformatif Distribusi Rayleigh Meetuka Distribusi Posterior Distribusi Rayleigh Meetuka Fugsi Desitas Margial Distribusi Rayleigh 44 Meetuka Estimator Bayes Simulasi Data megguaka Program R 53 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpula Sara 56 DAFTAR PUSTAKA 57 vii

10 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halama Tabel 4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleig 54 viii

11 DAFTAR GAMBAR Nomor Gambar Judul Halama Empat kejadia B i utuk i = 1,, 4 merupaka partisi dari himpua semesta U, sekitar kejadia A Himpua semesta berkurag megigat kejadia A telah terjadi, bersama dega mempartisi empat kejadia himpua semesta Diagram Alir i

12 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Pegetahua tetag peaksira parameter mejadi hal yag sagat petig. Para peeliti, admiistrator dalam bidag pedidika, bisis, atau pemeritah, da pegamat politik semuaya berkepetiga dalam masalah peaksira (Walpole, 1997). Peaksira yag dilakuka harus dapat dipertaggugjawabka yag diyataka dega tigkat keyakia dari hasil taksira yag diperoleh. Bayak pihak sagat berkepetiga dega masalah peaksira ii. Peaksira parameter merupaka salah satu tekik pegambila keputusa tetag suatu parameter populasi. Peaksira parameter da pegujia hipotesis merupaka teori statistika iferesi. Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag diguaka dalam pearika kesimpula atau geeralisasi megeai suatu populasi (Waluyo, 1). Statistika iferesi meliputi metode aalisis, iterpretasi, da prediksi berdasarka hasil sampel dalam membatu pearika kesimpula suatu populasi. Statistika iferesi dapat dikelompokka ke dalam dua tekik utama, yaitu peaksira parameter da pegujia hipotesis. Tekik ii megguaka iformasi sampel dalam meetuka kesimpula. Dalam teori keputusa, iferesi didasarka pada kombiasi iformasi sampel beserta bagia-bagia laiya yag diaggap releva dega suatu persoala tertetu agar dihasilka keputusa yag terbaik. Peaksira adalah proses yag megguaka sampel (statistik) utuk megestimasi hubuga parameter populasi yag tidak diketahui. Jadi dega peaksira, keadaa parameter populasi dapat diketahui (Hasa & Iqbal, ). Nilai dugaa yag diperoleh dari statistik cotoh acak aka meghasilka ilai yag berbeda dega berbedaya cotoh acak yag diambil. Dega demikia, dalam peaksira ii terdapat ketidakpastia (ucertaity). Karea ketidakpastia ii, maka suatu peaksir yag baik harus memiliki sifat-sifat

13 tertetu agar peaksira yag dihasilka memberika ilai taksira yag terbaik. Peaksir yag memiliki sifat terbaiklah yag aka diguaka sebagai peaksir sebuah parameter. Suatu peaksir yag baik adalah bila ilai tegah sebara peaksir tersebut sama dega parameter sebaraya. Peaksir yag bersifat demikia disebut peaksir tak berbias (ubiased). Selai peaksir tak berbias, ciri peaksir yag baik adalah memiliki variasi miimum, yaki peaksir yag memiliki varias terkecil diatara seluruh peaksir utuk parameter yag sama da peaksir yag kosistesi, yaki apabila ukura sampel medekati ukura populasi da meyebabka θ medekati (Gurajati, 1998). Secara umum peaksira parameter digologka mejadi dua yaitu peaksira titik (poit estimatio) da peaksira iterval (iterval estimatio). Peaksira titik (poit estimatio) merupaka peaksira dari sebuah parameter populasi yag diyataka oleh bilaga tuggal. Peaksira iterval (iterval estimatio) merupaka peaksira dari parameter populasi yag diyataka dega dua buah bilaga diatara posisi parameterya diperkiraka berbeda. Peaksira iterval megidikasika tigkat kepresisia atau akurasi dari sebuah peaksira sehigga peaksira iterval aka diaggap semaki baik jika medekati peaksira titik. (Murrary & Larry, 1999). Karakteristik yag berkaita dega sampel disebut sebagai statistik, sedagka karakteristik yag berkaita dega populasi disebut dega parameter. Sedagka ilai sampel statistik yag diguaka utuk megestimasi parameter populasi disebut dega estimator. Parameter adalah ukura seluruh populasi yag diwakili oleh ilai estimasi. Parameter populasi pada umumya tidak diketahui karea bayakya aggota populasi. Teori peaksira serig dipakai sebagai prosedur utuk mecari parameter dari sebuah model yag palig cocok pada suatu data pegamaa yag ada. Dalam aalisis keadala (reliabilitas) da teori atria, peaksira parameter diguaka utuk mecari parameter dari distribusi yag berkaita dega data yag dimiliki.

14 3 Beberapa peelitia seperti di bidag Biologi, Fisika, Pertaia da Kedoktera biasaya aka meghasilka data yag berhubuga dega waktu hidup dari suatu idividu. Data waktu hidup merupaka variabel radom o egatif. Aalisis statistika yag diguaka utuk megaalisis data waktu hidup tersebut disebut aalisis taha hidup (survival). Aalisis uji hidup merupaka suatu aalisis terhadap idividu-idividu suatu populasi dega memusatka perhatia pada lamaya waktu idividu mejalaka fugsiya dega baik sampai kematia idividu tersebut, yag diyataka dega fugsi selamat da fugsi bahaya. Fugsi distribusi taha hidup yag didasarka pada pegetahua atau asumsi tertetu tetag distribusi populasiya termasuk dalam fugsi parametrik. Beberapa distribusi yag dapat diguaka dalam meggambarka waktu hidup atara lai distribusi Ekspoesial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh, da lailai (Lawless, 198). Berdasarka beberapa distribusi tersebut dipilih fugsi taha hidup berdistribusi Rayleigh pada peelitia ii. Pada teori estimasi dapat dilakuka dega dua metode yaitu metode klasik da metode bayes. Metode klasik sepeuhya megadalka proses ifersi pada data sampel yag diambil dari populasi, sedagka metode bayes disampig memafaatka data sampel yag diperoleh dari populasi juga memperhitugka suatu distribusi awal yag disebut distribusi prior (Bo & Tiao, 1973). Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode mome, da metode kemugkia maksimum (maimum likelihood method). Salah satu metode yag palig serig diguaka utuk meaksir parameter suatu distribusi adalah metode kemugkia maksimum (maimum likelihood method). Memaksimumka fugsi likelihood biasaya dilakuka dega metode derivatif (turua). Pedugaa maksimum likelihood mempuyai sifat-sifat petig yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemugkia aka berbias pada sampel kecil) tapi sagat baik pada sampel berukura besar, kosiste, efisie secara asimtotis, ivaria pada skala pegukura (satua pegukura tidak mempegaruhi ilai dugaa parameter model) (Bolle, 1989).

15 4 Metode klasik memadag parameter sebagai besara tetap yag tidak diketahui hargaya, da iferesi didasarka haya pada iformasi dalam sampel. Metode bayes memadag parameter sebagai variabel yag meggambarka pegetahua awal tetag parameter sebelum pegamata dilakuka da diyataka dalam suatu distribusi yag disebut sebagai distribusi prior (Bolstad, 7). Sedagka peetua distribusi prior yag tidak didasarka pada data yag ada disebut o-iformatif prior. Setelah pegamata dilakuka, iformasi dalam distribusi prior dikombiasika dega iformasi dega data sampel melalui teorema Bayes, da hasilya diyataka dalam betuk distribusi yag disebut distribusi posterior yag selajutya mejadi dasar utuk iferesi dalam metode Bayes (Berger, 199). Lagkah-lagkah yag dilakuka adalah mecari distribusi o-iformatif prior yag kemudia digabugka dega iformasi sampel melalui teorema bayes sehigga dihasilka distribusi posterior (Albert, 9). Selajutya bisa dicari distribusi posterior margial utuk tiap parameter dari distribusi posterior yag terbetuk. 1. Rumusa Masalah Berdasarka uraia dari latar belakag peelitia ii, maka rumusa masalah pada peelitia ii adalah bagaimaa mecari estimator parameter dari distribusi Rayleigh dega megguaka metode Maimum Likelihood da Metode Bayes dega beberapa fugsi kerugia yag diguaka, kemudia aka dilakuka simulasi data terhadap estimator yag telah diperoleh dega megguaka program R utuk melihat metode yag terbaik diatara kedua metode tersebut dalam meaksir parameter. 1.3 Tujua Peelitia Meetuka estimator parameter dari distribusi Rayleigh dega metode Maimum Likelihood da Metode Bayes, kemudia aka dilakuka simulasi data

16 5 terhadap estimator yag telah diperoleh dega megguaka program R utuk melihat metode yag terbaik diatara kedua metode tersebut dalam meaksir parameter. 1.4 Batasa Masalah Batasa masalah pada peelitia ii adalah: 1. Distribusi yag dipakai pada peelitia ii adalah distribusi Rayleigh dega satu parameter.. Peaksira yag dilakuka pada peelitia ii adalah peaksira titik (poit estimatio). 3. Metode yag diguaka utuk melakuka peaksira terhadap parameter pada peelitia ii adalah metode Maimum Likelihood da Metode Bayes. 4. Fugsi kerugia yag diguaka pada Metode Bayes adalah precautioary loss fuctio, etropy loss fuctio, da loss fuctio-l 1 sebagai baha perbadiga. 1.5 Kotribusi Peelitia 1. Megembagka da meerapka probabilitas da statistika dega teorema Maimum Likelihood da teorema Bayes serta memperlihatka prosedur pegguaa metode Maimum Likelihood da metode Bayes dalam meduga parameter dari distribusi Rayleigh serta melihat perbadiga metode yag meghasilka peaksira yag baik.. Meerapka metode Maimum Likelihood da metode Bayes dalam peujag ilmu matematika statistika da probabilitas sehigga dapat meigkatka peguasaa da pemikira tekik estimasi yag lebih baik serta memudahka dalam pegambila keputusa pada tigkat populasi. 3. Baha acua tambaha utuk peelitia sejeis di masa aka datag.

17 6 1.6 Metodologi Peelita Metodologi yag diguaka pada peelitia ii adalah studi literatur. Berikut tahapa-tahapa studi literatur yag diguaka utuk meyelesaika permasalaha didalam peelitia ii. 1. Studi literatur Pada tahap ii dilakuka studi literatur tetag peaksira parameter pada distribusi Rayleigh dega Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes. Adapu teori pedukug yag diguaka seperti peaksira parameter, distribusi Rayleigh, Metode Maimum Likelihood, Metode Bayes, da teoriteori pedukug laiya.. Melakuka peaksira parameter pada Distribusi Rayleigh Pada tahap ii dilakuka peaksira parameter pada Distribusi Rayleigh megguaka Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes sehigga diperoleh estimator dari setiap parameter megguaka studi literatur yag berkaita. Adapu lagkah-lagkah dalam melakuka peaksira parameter pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:.1 Melakuka estimasi Maksimum Likelihood a. Meetuka fugsi likelihood berdasarka distribusi Rayleigh. b. Meetuka logaritma atural (l) pada fugsi likelihood berdasarka distribusi Rayleigh. c. Melakuka differesial fugsi likelihood berdasarka distribusi Rayleigh sebagai kosekuesi memaksimumka parameter distribusi Rayleigh terhadap parameter, da kemudia meyamaka persamaa dega ol.. Melakuka estimasi Bayes a. Meetuka distribusi prior dega atura Jeffrey s yag meyataka bahwa distribusi prior merupaka akar dari iformasi Fisher.

18 7 b. Meetuka distribusi posterior distribusi Rayleigh. c. Meetuka fugsi desitas margial distribusi Rayleigh. d. Meetuka fugsi desitas posterior. e. Melakuka estimasi Bayes berdasarka fugsi desitas posterior yag diperoleh dega fugsi kerugia precautioary loss fuctio, etropy loss fuctio, da loss fuctio-l Membadigka Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes Pada tahap ii dilakuka perbadiga metode Maimum Likelihood da metode Bayes berdasarka simulasi data yag diperoleh dega program R. Adapu lagkah-lagkah utuk melakuka perbadiga adalah sebagai berikut: a. Membagkitka data berdistribusi Rayleigh dega program R utuk metode Maimum Likelihood maupu metode Bayes. b. Meetuka ukura sampel. c. Meghitug ilai bias da ilai Mea Square Error (MSE) dari kedua metode utuk membadigka hasil peaksira parameter atara metode Maimum Likelihood da Metode Bayes dega beberapa fugsi kerugia yag diguaka. d. Membuat tabel perbadiga ilai bias da ilai Mea Square Error (MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh yag dibagkitka dega program R. 4. Aalisis da Kesimpula Pada tahap ii dilakuka aalisis dari hasil perbadiga atara Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes yag selajutya aka diambil suatu kesimpula terhadap metode yag terbaik dalam meaksir parameter.

19 BAB LANDASAN TEORI.1 Probabilitas Dasar Istilah percobaa atau percobaa statistik telah diguaka utuk mejelaska sembarag proses yag meghasilka satu atau lebih ukura bagi faktor kebetula. Serig kali, kita tidak tertarik pada keteraga rici setiap titik cotoh, amu haya pada suatu keteraga umerik hasil percobaa. Dalam mempelajari dasar-dasar teori statistika kita sudah megetahui bahwa statistika merupaka suatu alat da juga metode aalisa yag diguaka utuk megevaluasi data di maa pada akhirya aka diperoleh suatu kesimpula dari data sampel yag ada. Dari semua alat aalisa yag ada, maka kosep probabilitas merupaka salah satu alat aalisa yag cukup petig utuk diketahui, karea dalam statistik moder sekarag ii kosep teori probabilitas bayak sekali diguaka dalam memecahka masalah yag ada. Adrei Kolgomorov ( ) meletakka ladasa matematis teori probabilitas da teori acak. Dalam tulisaya, Kolgomorov megguaka teori probabilitas dalam mempelajari pergeraka plaet da turbulesi alira udara. Kotribusi petig laiya adalah proses stokastik, iformasi, mekaika statistik da diamika oliear. Kosep probabilitas memugkika peeliti dalam megolah statistika deskriptif ke dalam statistika iferesial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi peluag permaia. Probabilitas mucul dari kolaborasi atara Blaise Pascal da Pierre de Fermat dalam meemuka peluag dari suatu permaia. Sejak kolaborasi tersebut probabilitas lebih bayak diguaka kepada permaia higga abad ke 18, ketika Pierre di Laplace da Karl F Gauss megguaka atura dasar probabilitas terhadap masalah fisis laiya. Kemugkia terjadiya suatu kejadia yag dihasilka dari suatu percobaa statistik dievaluasi dega segugus (himpua) bilaga riil yag

20 9 disebut bobot atau probabilitas dega berjagkaua sampai 1. Utuk setiap titik di dalam ruag cotoh tersebut kita meetapka suatu probabilitas sedemikia rupa sehigga jumlah semua probabilitas adalah 1. Utuk medapatka probabilitas dari suatu kejadia A, kita mejumlahka semua probabilitas yag diketahui titik-titik cotoh dalam A. Jumlah ii disebut probabilitas dari A da ditadai dega P A. Defiisi.1 Adaika S adalah ukura sampel yag berhubuga dega sebuah eksperime. Utuk setiap kejadia A dalam S (A himpua bagia dari S), kita ambil sebuah agka, P A yag disebut dega probabilitas A (Wackerly et al. 8). Jadi, berikut aioma: Aioma 1 : P A Aioma : P S = Aioma 3 : Jika A 1, A, A 3, betuk barisa kejadia salig lepas pada S (itu berarti A i A j =, jika i j, kemudia: P A 1 A A 3 = P A i. Peubah Acak Eksperime probabilitas memiliki keluara (outcome) yag bisa berupa suatu ilai umerik (agka/bilaga), suatu cacaha/hituga, atau suatu hasil pegukura (measuremet). Variabel acak (radom variable), biasa ditadai dega sebuah simbol seperti X, adalah variabel yag memiliki sebuah ilai umerik tuggal utuk setiap keluara dari sebuah eksperime probabilitas. Dega kata lai, ilai tertetu dari X dalam sebuah eksperime adalah suatu kemugkia keluara yag acak. Defiisi. Peubah acak adalah suatu fugsi yag meghubugka sebuah bilaga real dega setiap usur di dalam ruag sampel (Walpole da Myers, 1998).

21 1..1 Peubah Acak Diskrit Defiisi.3 Jika himpua seluruh ilai yag mugki dari peubah acak X adalah suatu himpua yag dapat dicacah sedemikia rupa 1,, 3,, atau 1,, 3,, disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak diskrit X, didefiisika fugsi massa peluag P X sebagai: P X = P X = (.1) Fugsi massa peluag P berilai positif, utuk sejumlah ilai tercacah. Dega kata lai, jika X megambil salah satu dari ilai 1,, 3,, maka peubah acak diskrit X dega ilai yag mugki 1,, 3,, fugsi massa peluag adalah fugsi yag memeuhi kriteria berikut: 1) p ; i = 1,, ) p = 1 3) p = P X =.. Peubah Acak Kotiu Defiisi.4 Sebuah peubah acak X berdistribusi kotiu jika terdapat fugsi f tak egatif, terdefiisi pada garis bilaga riil, sehigga setiap iterval pada bilaga riil (berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa X yag berada pada iterval tersebut merupaka jumlaha daerah f pada iterval tersebut. Sebagai cotoh, keadaa yag meggambarka defiisi di atas, dega batas dalam iterval tertutup [a,b]. Berimplikasi pada: P a X b = f d a b b P X a = f d da P X b = f d (.) a

22 11 Berdasarka karakteristik f distribusi variabel acak kotiu dega cara yag sama meyataka bahwa fugsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah acak kotiu. Fugsi kepadata peluag f dapat diguaka utuk meggambarka distribusi probabilitas peubah acak kotiu. Jika suatu iterval memuat kemiripa ilai X, probabilitasya besar da berkorespodesi dega f. Memeuhi ketiga kaidah berikut: 1) f ) f d = 1 b 3) P a X b = f d a Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak X dalam betuk kurva. Ketika X merupaka peubah acak berbatas, himpua probabilitas yag digambarka terhadap ilai yag mugki disebut probabilitas X. Jika X adalah peubah acak berbatas, dega ilai-ilai 1,, maka daftar distribusi probabilitas bekaita dega X = 1, X =, Jumlah seluruh probabilitas selalu sama dega 1. Igat bahwa X merupaka variabel acak, sedagka merupaka ilai spesifik dari variabel acak X. Berakibat jika = maka probabilitas P X = berarti P X =, probabilitas bahwa X adalah. Hal yag sama jika Y merupaka peubah acak maka P Y = y probabilitas Y dega ilai khusus y..3 Ekpektasi da Varias Berikut ii aka dijelaska pegertia serta sifat-sifat dari ekspektasi da varias..3.1 Ekspektasi Dalam suatu pegukura eskperime, hasil pegukura eksperime serigkali meghasilka variasi. Ukura-ukura yag meggambarka karakteristik sampel berkorespodesi dega karakteristik populasi. Secara sederhaa karakteristik tersebut digambarka sebagai ilai harapa atau lebih dikeal dega mea. Secara matematis diyataka dega formula berikut:

23 1 1) Peubah Acak Diskrit μ = E X = ) Peubah Acak Kotiu P (.3) μ = E X = f d (.4) Sifat-sifat Ekspektasi: 1) E b = b (.5) Bukti: E X = E b = b f d Substitusi X = b maka E b = kostata maka berlaku: E b = E b = b. 1 E b = b bf d, karea f d = 1, maka bf d, karea b merupaka ) E ax + b = ae X + b (.6) Bukti: Misalka X adalah suatu peubah acak dega a da b merupaka suatu tetapa, maka E ax + b = ae X + b E ax + b = a + b f d Karea = a f d + b f d f d = E X, da f d = 1, E ax + b = ae X + b

24 13 3) E g X, Y ± X, Y = E g X, Y ± E X, Y (.7) Bukti: E g X, Y ± X, Y = g, y ±, y = g, y f, y ddy ±, y f, y ddy E g X, Y ± X, Y = E g X, Y ± E X, Y f, y ddy 4) E g X ± X = E g X ± E X (.8) Bukti: E g Y ± Y = E g X ± E X Karea E X = f d, maka substitusi Y = g X ± X, sehigga diperoleh E Y = Yf d E Y = g X ± X f d Berlaku; E Y = g X f d ± g X f X d E g X ± X = g X f d ± g X E g X ± X = E g X ± E X f X d 5) E XY = E X E Y (.9) Bukti: X da Y adalah dua peubah acak bebas, maka E XY = E X E Y Meurut defiisi, E XY = yf, y ddy Karea X da Y adalah bebas, dapat kita tuliska f, y = g y. Dimaa g da y adalah sebara margial dari X da Y. Oleh sebab itu: E XY = yg y ddy E XY = g d y y dy E XY = g d y y dy E XY = E X E Y

25 14.3. Varias Pegukura suatu variabel memugkika utuk mempermudah pemahama megeai suatu data. Utuk megetahui seberapa besar tigkat variabilitas sampel yag berhubuga dega populasi didefiisika oleh Var X = E X μ, secara lebih jelas diperlihatka oleh: 1) Variabel Acak Diskrit σ = Var X = ) Variabel Acak Kotiu i = X μ p (.1) σ = Var X = X μ f d (.11) Varias utuk kasus kotiu dapat dijabarka sebagai berikut: Var X = E X μ Var X = X μ f d Var X = X Xμ + μ f d = X Xμ + μ f d = X f d μ Xf d Var X = E X μe X + μ Karea μ = E X, maka diperoleh: Sifat-sifat Varias: Var X = E X E X + μ f d 1) Var c = (.1) Bukti: Berdasarka defiisi dari perumusa varias, maka: Var c = E c E c = E c c = E Var c =

26 15 ) Var cx = c Var X (.13) Bukti: Berdasarka defiisi dari perumusa varias, maka: Var cx = E cx E cx = E cx E cx = E cx ce X = E c E[X E() Var cx = c Var[X] 3) Var X + c = Var X (.14) Bukti: Berdasarka defiisi dari perumusa varias, maka: Var X + c = E X + c E X + c = E X + c E X E(c) = E X + c E X c = E X E X Var X + c = Var[X].4 Distribusi Gamma Distribusi Gamma merupaka salah satu alteratif model yag bayak diguaka dalam eksperime yag meujukka distribusi yag tidak simetris. Meskipu distribusi ormal memiliki peraa yag luas di berbagai bidag, dalam keyataya terdapat situasi di maa hasil-hasil eksperime meujukka distribusi yag tidak simetris ataupu tidak meujukka kecedruga simetris. Dalam kasus-kasus semacam ii, model distribusi ormal tidak dapat memberika hasil yag tepat jika diguaka. Utuk eksperime-eksperime probabilitas yag hasilya meujukka suatu betuk distribusi yag mempuyai variasi ukura kemecega yag cukup sigifika.

27 Fugsi Gamma Didefiisika utuk α >, fugsi Gamma Γ α adalah: Γ α = α 1 e d (.15) Sifat-sifat petig fugsi Gamma atara lai: 1) Γ α = α 1 Γ α 1 atau Γ α 1 = Γ α α 1 ; α > 1 (.16) Bukti: Berdasarka persamaa (.15) jika dilakuka itegral parsial dari fugsi Gamma dega u = α 1 da dv = e d, sehigga diperoleh: u = α 1 du = α 1 α d dv = e d v = sehigga Γ α = u dv e = u v v du d = e = α 1 e e α 1 α d = e α 1 + α 1 α e d = + α 1 Γ α = α 1 Γ α 1 Γ α = α 1 Γ α 1, α > 1 ) Utuk sebuah bilaga bulat positif, Γ = 1! (.17) Bukti: Berdasarka persamaa (.17), dapat diperoleh Γ α = α 1 Γ α 1, dega cara yag sama aka dihasilka Γ = 1 Γ = 1 Γ 1 dalam hal ii,

28 17 1 Γ 1 = e d = e = e e = ( 1) =1 Sehigga diperoleh, Γ α = α 1 α 1 Γ α = α 1! 3) Didefiisika Γ 1 = π (.18) Bukti: Γ α = Γ 1 Γ 1 α 1 e d = 1 1 e d k = lim k 1 e d Fugsi di atas dijadika dalam betuk polar, maka pertama-tama misalka sebagai berikut: Substitusi = u d = u ke persamaa (.19) u Γ 1 Γ 1 karea; k = lim k u 1 e u 1 udu k = lim k u 1 e u 1 udu k = lim k e u 1 du = 1 lim k k e u du I = e u du e v dv I = π e u v du I = e r rdrdθ π dv I = dθ e r rdr = 4π

29 18 sehigga; Γ 1 k = lim k u 1 e u 1 udu = 1 lim k k e u du = 1 π = π Γ 1 = π.4. Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi Distribusi Kumulatif Gamma Defiisi.5 Sebuah variabel acak Y dikataka memiliki distribusi gamma dega parameter α > da β > jika da haya jika fugsi desitas dari Y adalah: f Y = y α 1 e y β β α, y Γ α, laiya (.19) sedagka fugsi distribusi kumulatif Gamma adalah (Wackerly et al. 7): F G Y = c d y α 1 e y β β α Γ α dy, < c < d < (.).4.3 Ekspektasi da Varias Distribusi Gamma Teorema.1 Jika Y merupaka distribusi gamma dega parameter α da β, maka: μ = E Y = αβ (.1) σ = V Y = αβ (.)

30 19.5 Distribusi Weibull Distribusi Weibull meliputi distribusi Ekspoesial da distribusi Rayleigh sebagai betuk khususya. Karea fugsi hazard dari distribusi ii adalah fugsi turu ketika parameter betuk c lebih kecil daripada 1, kosta ketika c sama dega 1 (kasus ekspoesial), da fugsi aik ketika c lebih besar dari 1 (Johso et al. 1994)..5.1 Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi Distribusi Kumulatif Weibull Fugsi desitas probabilitas dari variabel acak X Weibull adalah sebagai berikut (Johso et al. 1994): f = c α ε α c 1 e ε α c, > ε (.3) Fugsi distribusi kumulatif: F = 1 e ε α c, > ε (.4) Fugsi survival atau keadala: R = 1 F = e ε α c, > ε (.5) dari persamaa (.5) da (.7), kita peroleh fugsi hazard sebagai berikut: = P R = c α ε α c 1, > ε (.6).5. Ekspektasi da Varias Distribusi Weibull E = bγ c (.7) V = b Γ 1 + c Γ c (.8)

31 .6 Distribusi Rayleigh Distribusi Rayleigh diperkealka oleh Lord Rayleigh (J.W. Strutt, 188) dalam Johso (1994:456) sehubuga dega masalah di bidag akustik. Distribusi Rayleigh adalah kasus khusus dari distribusi Weibull dega b = m = (Krishamoorthy, 6). b, c = da Miller (1964) dalam Johso (1994: 456) memperoleh distribusi Rayleigh sebagai distribusi probabilitas jarak dari sumber meuju titik Y 1, Y,, Y N pada ruag Euclidea N-dimesi, dimaa variabel distribusi N, σ. Y i ' s adalah idepede da idetik dega Siddiqui (196) dalam Johso (1994: 456) meujukka bahwa luas distribusi Rayleigh (kekuata distribusi atau luas gelombag elektroik diterima melewati medium yag meyebar) adalah distribusi asimtotik dari dimesi jala acak. Polovko (1986) dalam Johso (1994: 456) mecatat bahwa beberapa tipe dari alat perlegkapa elektrovacuum mempuyai keistimewaa yag meua dega cepat seirig berjalaya waktu meskipu mereka tidak memiliki cacat maufaktur. Distribusi Rayleigh adalah distribusi yag tepat utuk memodelka beberapa uit hidup secara liear meigkatka ilai hazard. Megutip kerja Hertz (199) da Skellam (195) dega cepat, Cliff da Ord (1975) meujuk bahwa distribusi Rayleigh terdiri sebagai distribusi dari jarak atara seorag idividu dega tetagga terdekatya ketika pola yag reggag dihasilka dega proses Poisso. Hirao (1986) telah mejelaska lapora sigkat megeai sejarah da kekayaa dari distribusi ii (Johso, et al. 1994). Distribusi Rayleigh serig diguaka dalam bidag fisika yag berhubuga dega pemodela proses seperti radiasi suara da cahaya, tiggi gelombag, da kecepata agi. Selai Distribusi Weibull, Distribusi Rayleigh juga merupaka distribusi yag diaggap sesuai utuk meggambarka distribusi kecepata agi.

32 1 Secara empiris, model distribusi Rayleigh mampu diguaka dega baik pada sejumlah proses desai dega feedback yag sagat sigifika sebagai bagia dari proses solusi. Pada perkembaga selajutya telah dilakuka peelitia juga bahwa model kehadala Rayleigh ii sagat medekati data defect yag sebearya dari proyek yag dikumpulka pada upaya pegembaga software. Pada tahu 198, Trachteberg memeriksa histori defect per bula pada proyek software yag diujiya da meemuka bahwa pola dari defect yag dihasilka meyerupai kurva Rayleigh. Pada tahu 1984, Gaffey dari divisi Federal System IBM mampu memproyeksika jumlah late dari data defect yag diperkiraka mucul dega memodela data yag dimilikiya megguaka model Rayleigh (Gaffey, 1984)..6.1 Fugsi Kepadata Probabilitas da Fugsi Distribusi Kumulatif Rayleigh Sebuah variabel acak Rayleigh X mempuyai fugsi desitas probabilitas sebagai berikut: f = σ ep ;, σ > (.9) σ Fugsi distribusi kumulatif: F = 1 ep ;, σ > (.3) σ Fugsi survival atau keadala: R = 1 F = ep ;, σ > (.31) σ da fugsi hazard: = P() R() = σ ;, σ > (.3)

33 .6. Ekspektasi da Varias Distribusi Rayleigh E = σ π (.33) Var = σ π (.34).7 Fugsi Desitas Peluag Bersama Fugsi desitas peluag bersama dari k-dimesi variabel radom diskrit X = X 1, X, X 3,, X k didefiisika: f X 1,, 3,, k = P X 1 = 1, X =,, X k = k (.35) utuk semua ilai = 1,, 3,, dari X. Sebuah k-dimesi ilai vektor variabel radom X = X 1, X, X 3,, X k kotiu dega fugsi desitas bersama f 1,, 3,, k, maka fugsi desitas kumulatifya dapat tulis: F X 1,, k = 1 k f t 1,, t k dt 1 dt dt k (.36) utuk semua = 1,, 3,, k..8 Fugsi Desitas Peluag Margial Jika pasaga (X 1, X ) adalah variabel radom diskrit yag mempuyai fugsi desitas peluag bersama f( 1, ), maka fugsi desitas peluag margial utuk X 1 da X adalah F 1 1 = f 1, (.37) F = 1 f 1, (.38)

34 3 Jika pasaga (X 1, X ) adalah variabel radom kotiu yag mempuyai fugsi desitas peluag bersama f( 1, ), maka fugsi desitas peluag margial utuk X 1 da X adalah F 1 1 = f 1, d (.39) F = f 1, d 1 (.4).9 Distribusi Sampel Bidag statistika iferesi pada dasarya berkeaa dega peempata da prediksi, hasil suatu percobaa statistika dapat dicatat dalam betuk umerik ataupu aksara. Bila sepasag dadu dilatumka da jumlahya merupaka hal yag igi diselidiki maka hasilya dicatat dalam betuk umerik. Keseluruha pegamata yag igi diteliti, berhigga atau tidak, membetuk apa yag disebut populasi atau uiversum. Kata populasi pegamata yag diperoleh dari peelitia statistik yag meyagkut mausia. Sekarag statistikawa megguaka kata tersebut utuk meyataka seluruh pegamata tetag hal yag igi diselidiki, terlepas apa itu meyagkut orag, biatag, ataupu beda laiya. Bayakya pegamata dalam populasi diamaka ukura. Suatu populasi terdiri atas keseluruha pegamata yag mejadi perhatia. Dalam bidag iferesial statistik, statistikawa igi mearik kesimpula megeai suatu populasi dalam hal tidak mugki atau tidak praktis megeai himpua seluruh pegamata yag membetuk populasi tersebut. Sebagai cotoh dalam usaha meetuka rata-rata pajag umur bola lampu merk tersebut agar masih ada sisa dijual. Biaya yag amat tiggi juga merupaka kedala dalam memeriksa seluruh populasi. Karea itu peeliti megguaka sebagaia pegamata dari populasi dalam mearik iferesi tetag populasi tersebut. Sampel adalah suatu bagia himpua dari populasi (Roald & Raymod, 1995).

35 4 Dalam megambil sampel acak berukura dari suatu populasi f(), didefiisika variabel acak, i = 1,,,, sebagai pegukura atau ilai sampel ke i yag diamati, variabel acak 1,,, merupaka suatu sampel acak populasi f(), dega ilai umerik 1,,,, bila pegukura dikerjaka dega megulagi percobaa kali secara bebas dalam keadaa yag pada dasarya sama, maka dapat diaggap bahwa ke- variabel acak 1,,, bebas da masig-masig berdistribusi f(). Ii berarti bahwa 1,,, masig-masig berdistribusi peluag f 1, f 1,, f. Misalka 1,,, merupaka variabel acak bebas yag masigmasig berdistribusi peluag f(), 1,,, didefiisika sebagai sampel acak ukura dari populasi f() da distribusi peluag gabugaya ditulis sebagai: f 1,,, = f 1, f 1,, f (Roald & Raymod, 1995)..1 Distribusi Bersyarat Jika X 1 da X merupaka variabel radom diskrit atau kotiu dega fugsi desitas peluag bersama f( 1, ), maka fugsi desitas peluag bersyarat dari X, jika diketahui X 1 = 1 didefiisika dega: f 1 = f 1, f 1 1 (.41) Utuk ilai 1 sedemikia higga f 1 1 >, da ol utuk laiya. Sedagka fugsi desitas peluag bersyarat dari X 1, jika diketahui X = didefiisika dega: f 1 = f 1, f (.4) Utuk ilai sedemikia higga f >, da ol utuk laiya.

36 5.11 Peaksira Parameter Statistika iferesi adalah statistika yag dega segala iformasi dari sampel diguaka utuk mearik kesimpula megeai karakteristik populasi darimaa sampel itu diambil. Statistika iferesi diguaka utuk memprediksi keadaa dari suatu populasi berdasarka sampel yag diambil da berusaha utuk meyimpulka karakteristik dari suatu populasi tersebut. Utuk ii kelakua populasi dipelajari berdasarka data yag diambil baik secara samplig ataupu sesus. Dalam keyataaya megigat beberapa faktor, utuk keperlua tersebut diambil sebuah sampel yag represetatif lalu berdasarka pada hasil aalisis terhadap data sampel yag kesimpula megeai populasi dibuat. Kelakua populasi yag aka ditijau hayalah megeai parameter populasi da sampel yag diguaka adalah sampel acak. Data sampel dikumpulka da diaalisis, ilai-ilai yag perlu yaitu statistik, dihitug da dari ilai-ilai statistik tersebut dapat disimpulka bagaimaa parameter bertigkah laku, da parameter yag diduga adalah rata-rata da variasi (Surwako, 7). Sebuah ilai θ bagi suatu statistik ^ θ disebut suatu ilai dugaa bagi parameter populasi. Misalya, ilai bagi statistik X, yag dihitug dari suatu cotoh berukura, merupaka ilai dugaa bagi parameter populasi μ. Begitu pula, p = merupaka suatu ilai dugaa bagi proporsi sebearya p dalam suatu percobaa biom. Statistik yag diguaka utuk memperoleh sebuah ilai dugaa disebut peduga atau fugsi keputusa. Jadi, fugsi keputusa S, yag merupaka fugsi dari cotoh acak yag bersagkuta, adalah suatu peduga bagi σ, sedagka ilai dugaa s merupaka realisasiya (Walpole, 1997). Cotoh yag berbeda pada umumya aka meghasilka ilai dugaa yag berbeda pula. Pada teori estimasi dapat dilakuka dega dua metode yaitu metode klasik da metode bayes. Metode klasik sepeuhya megadalka proses iferesi pada data sampel yag diambil dari populasi, sedagka metode bayes disampig memafaatka data sampel yag diperoleh dari populasi juga memperhitugka

37 6 suatu distribusi awal yag disebut distribusi prior (Bo & Tiao, 1973). Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode mome, da metode kemugkia maksimum (maimum likelihood method). Salah satu metode yag palig serig diguaka utuk meaksir parameter suatu distribusi adalah metode kemugkia maksimum (maimum likelihood method). Memaksimumka fugsi likelihood biasaya dilakuka dega metode derivatif (turua). Pedugaa maksimum likelihood mempuyai sifat-sifat petig yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemugkia aka berbias pada sampel kecil) tapi sagat baik pada sampel berukura besar, kosiste, efisie secara asimtotis, ivaria pada skala pegukura (satua pegukura tidak mempegaruhi ilai dugaa parameter model) (Bolle, 1989) Metode Maimum Likelihood Defiisi.6 Misalka 1,,, adalah sampel radom dari populasi dega desitas f, θ di maa θ θ 1, θ,, θ k merupaka parameter tak diketahui, fugsi likelihood dituliska: L θ 1, θ,, θ 3 = f ; θ (.43) Fugsi likelihood adalah fugsi dari parameter yag tidak diketahui. Dalam aplikasi L θ meujukka fugsi desitas probabilitas bersama dari sampel radom. Jika S ruag parameter yag merupaka iterval terbuka da L θ merupaka fugsi yag dapat dituruka serta diasumsika maksimum pada S S maka persamaa maksimum likelihodya adalah: θ L θ = (.44) Ketika meetuka ilai estimator kemugkia maksimum, itu serig lebih mudah meetuka ilai dari parameter yag memaksimumka logaritma atural dari fugsi likelihood daripada ilai parameter yag memaksimumka fugsi

38 7 likelihood itu sediri. Karea fugsi logaritma atural adalah fugsi aik, da solusiya aka sama. Sehigga persamaa logaritma atural likelihoodya adalah: θ l L θ = (.45).11. Teorema Bayes Dari defiisi probabilitas bersyarat: P B A = P A B P A Kita tau bahwa probabilitas margial dari kejadia A ditetuka dega mejumlahka probabilitas dari bagia salig lepas ya. Karea A = A B A B da jelas bahwa A B da A B adalah salig lepas, sehigga: P A = A B + A B Kita substitusi ke dalam defiisi probabilitas bersyarat, sehigga diperoleh: P B A = P A B P A B + P A B Sekarag kita guaka atura perkalia utuk meetuka distribusi gabuga. Teorema Bayes utuk kejadia tuggal diperoleh: P B A = P A B P B P A B P B + P A B P B (.46) Serig kita mempuyai himpua lebih dari kejadia partisi dari ruag sampel. Cotohya, adaika kita mempuyai kejadia B 1,, B sedemikia: Gabuga B 1 B, B = U, da Setiap pasag dari kejadia adalah salig lepas, B i B j = utuk i = 1,,, j = 1,, da i j. Kemudia kita yataka himpua kejadia B 1,, B partisi himpua semesta. Kejadia A aka dipartisi mejadi bagia partisiya. A = A B 1 A B

39 8 A B i da A B j adalah salig lepas, karea B i da B j adalah salig lepas. Oleh sebab itu, P A = P A B j j =1 Ii diketahui sebagai hukum probabilitas total. Probabilitas bersyarat, dikataka bahwa probabilitas dari sebuah kejadia A adalah jumlah dari probabilitas bagia salig lepasya. Megguaka atura perkalia dari tiap probabilitas gabugaya diberika: P A = P A B j P B j j =1 Probabilitas bersyarat P B i A utuk i = 1,, ditetuka dega membagi tiap probabilitas gabuga dega probabilitas kejadia A. P B i A = P A B i P A Megguaka atura perkalia utuk meetuka probabilitas gabuga, sehigga diperoleh: P B i A = P A B i P B i j =1 P A B j P B j (.47) Gambar.1 Empat kejadia B i utuk i = 1,, 4 merupaka partisi dari himpua semesta U, sekitar kejadia A.

40 9 Gambar. Himpua semesta berkurag megigat kejadia A telah terjadi bersama dega mempartisi empat kejadia himpua semesta. Ii adalah hasil yag diketahui sebagai teorema Bayes (Bolstad, 7). Metode Bayes memperkealka suatu metode dimaa kita perlu megetahui betuk distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum mearik sampel dari suatu populasi terkadag memperoleh iformasi megeai parameter yag aka diestimasi. Iformasi ii kemudia digabugka dega iformasi dari sampel yag diguaka dalam megestimasi parameter populasi da parameter populasi berasal dari suatu distribusi, sehigga ilaiya tidaklah tuggal da merupaka variabel radom. Bayes megguaka iterpretasi probabilitas secara subjektif di dalam aalisa statistika formal. Pedekata bayes terhadap metode estimasi statistik meggabugka iformasi yag dikadug dalam sampel dega iformasi lai yag telah tersedia sebelumya. Dari segi statistikawa klasik memadag bahwa parameter populasi mempuyai harga tertetu yag tidak diketahui sehigga peryataa probabilitas tetag parameter populasi tidak mempuyai arti Distribusi Prior Prior merupaka betuk distribusi frequecy yag merupaka represetasi objektif pada suatu parameter yag lebih rasioal utuk dipercayai, atau prior merupaka suatu represetasi subjektifitas seseorag dalam memadag sebuah parameter meurut peilaiaya sediri. Sehigga permasalaha pokok agar prior dapat iterpretatif adalah bagaimaa memilih distribusi prior utuk suatu parameter yag tidak diketahui amu sesuai dega permasalaha yag ada.

41 3 Permasalaha utama dalam metode bayes adalah bagaimaa memilih distribusi prior f(θ), dimaa prior meujuka ketidakpastia tetag parameter θ yag tidak diketahui. Distribusi prior dikelompoka mejadi dua kelompok berdasarka fugsi likelihoodya, yaitu sebagai berikut: (Bo da Tiao, 1973) Berkaita dega betuk hasil idetifikasi pola dataya. 1. Distribusi prior kojugat (cojugate), megacu pada acua aalisis model terutama dalam pembetuka fugsi likelihoodya sehigga dalam peetua prior kojugat selalu dipikirka megeai peetua pola distribusi prior yag mempuyai betuk kojugat dega fugsi desitas peluag yag pembagu fugsi likelihoodya.. Distribusi prior tidak kojugat (o-cojugate), apabila pemberia prior pada suatu model tidak megidahka pola pembetuk fugsi likelihoodya. Berkaita dega peetua masig-masig parameter pada pola distribusi prior 1. Distribusi prior iformatif, megacu pada pemberia parameter dari distribusi prior yag telah dipilih baik distribusi prior kojugat atau tidak, pemberia parameter pada distribusi prior ii aka sagat mempegaruhi betuk dari distribusi posterior yag aka didapatka pada iformasi data yag diperoleh.. Distribusi prior o-iformatif, pemilihaya tidak didasarka pada data yag ada atau distribusi prior yag tidak megadug iformasi tetag parameter θ, salah satu pedekata dari o-iformatif prior adalah metode Jeffrey s Distribusi Posterior Defiisi.7 Distribusi posterior adalah fugsi desitas bersyarat θ jika diketahui ilai observasi. Distribusi posterior dapat dituliska sebagai berikut: f θ = f θ, f (.48)

42 31 Apabila θ kotiu, distribusi prior da distribusi posterior θ dapat disajika dega fugsi desitas. Fugsi desitas bersyarat satu variabel radom jika diketahui ilai variabel radom kedua hayalah fugsi kepadata bersama dua variabel radom itu dibagi dega fugsi desitas margial variabel radom kedua. Tetapi fugsi desitas bersama f(θ, ) da fugsi desitas margial f() pada umumya tidak diketahui, haya distribusi prior da fugsi likelihood yag biasaya diyataka. Fugsi desitas bersama yag diperluka dapat ditulis dalam betuk distribusi prior da fugsi likelihood sebagai berikut: f θ, = f θ f θ (.49) Dimaa f(, θ) merupaka fugsi likelihood da f(θ) merupaka fugsi desitas distribusi prior. Selajutya fugsi desitas margial dapat diyataka sebagai berikut: f = f θ, d θ = f θ f θ d θ (.5) sehigga dari persamaa (.49), da (.5), fugsi desitas posterior utuk variabel radom kotiu dapat ditulis sebagai berikut: f θ, = f θ f θ f θ f θ dθ (.51) Distribusi posterior dapat diguaka utuk meetuka estimator da estimasi iterval dari parameter yag tidak diketahui (Soejoeti & Soebaar, 1988) Fugsi Risiko Defiisi.8 Misalka L(θ, θ) adalah fugsi kerugia yag diasosiasika dega estimasi parameter θ. Misalka g (θ W = w) adalah distribusi posterior dari variabel

43 3 acak. Kemudia risiko dari θ adalah ilai ekspektasi dari fugsi kerugia dega distribusi posterior θ (Larse, 1). risiko = θ L(θ, θ)g (θ W = w)d θ L θ, θ g θ W = w all θ jika adalah kotiu jika adalah diskrit Estimasi Bayes θ dari θ adalah seragkaia relatif optimal meuju fugsi kerugia yag dipilih. Pada umumya fugsi kerugia yag diguaka adalah squared error loss fuctio (fugsi error kuadratik). Adapu beberapa macam fugsi kerugia, diataraya: 1) Squarred Error Loss Fuctio (SELF) L θ, θ = θ θ (.5) Estimator bayes dari fugsi kerugia pada persamaa (.5) adalah: θ B = E π θ (.53) Sehigga diperoleh fugsi resiko: R B θ = E θ θ θe θ θ + θ (.54) ) Precautioary Loss Fuctio Norstom (1996) memperkealka sebuah alteratif fugsi kerugia asimetri precautioary da juga mejelaska sebuah pembagia fugsi kerugia precautioary dega fugsi kuadrat sebagai betuk khusus (Srivastava, R.S. et al. 4). Adapu fugsi kerugia precatioary sebagai berikut: L θ, θ = θ θ θ (.55)

44 33 Ekpektasi posterior dari fugsi kerugia pada persamaa (.55) adalah: E π L θ θ = E π θ θ + E π θ E π θ (.56) Nilai yag memiimumka persamaa (.56), diotasika sebagai dega meyelesaika persamaa di bawah ii: d dθ E π L θ θ = θ p = E π θ 1 (.57) 3) Etropy Loss Fuctio Bayak kasus praktek, itu lebih lebih realistis meujukka kerugaia dalam istilah rasio θ. Dalam hal ii, Calabria da Pulcii (1994) meujuk fugsi θ kerugia yag asimetri adalah kerugia etropy sebagai berikut: dimaa L δ = δ p p log δ 1 e (.58) δ = θ θ, Sehigga eskpektasi posterior dari fugsi kerugia pada persamaa (.58) adalah sebagai berikut: E π L δ = b E π θ θ E π log e θ θ 1 (.59) Nilai yag memiimumka persamaa (.59), diotasika sebagai da dega meyelesaika persamaa berikut: d dθ E π L = θ e = E π 1 θ 1 (.6)

45 34 4) Loss Fuctio-L 1 Mempertimbagka fugsi kerugia diberika: L 1 θ, θ = θ θ 1 (.61) Estimator Bayes dari loss fuctio L 1, f θ y kataka megguaka ilai dari θ 1 = E π 1 θ E π 1 θ (.6) 5) Loss Fuctio-L Mempertimbagka fugsi kerugia diberika: L θ, θ = θ θ 1 (.63) Estimator Bayes dari loss fuctio L, f θ y, kataka megguaka ilai dari θ = E π θ E π θ (.64).1.4 Metode Evaluasi Estimator Estimator yag telah diperoleh dega metode pedekata klasik da pedekata Bayes aka meghasilka estimator yag berbeda. Estimator terbaik yag memiliki sifat tertetu, diataraya sifat tak bias, variasi miimum estimator tak bias, da Mea Square Error (MSE). 1) Sifat Tidak Bias (Ubiased) Nilai ekspektasi sebuah estimator adalah ukura pusat dari distribusiya. Ii adalah ilai rata-rata bahwa estimator aka mempuyai rata-rata dari keseluruha

46 35 kemugkia sampel. Sebuah estimator dikataka tak bias (ubiased) jika ratarata dari distribusi samplig adalah ilai parameter yag sebearya. Hal itu berarti, sebuah estimator θ bersifat tak bias jika da haya jika: E θ = θf θ θ dθ = θ Dimaa f θ θ adalah distribusi samplig dari estimator θ dega parameter θ. Serigkali statistik meegaska bahwa estimator tak bias karea rata-rata kemugkia keseluruha cotoh acak, sebuah estimator tak bias memberika ilai sebearya. Nilai bias dari estimator θ adalah selisih dari ilai ekspektasi ya da ilai parameter yag sebearya. bias θ = E θ θ Estimator tak bias memiliki bias sama dega ol (Bolstad, 7). ) Mea Square Error (MSE) Teorema. (Berger, 199) Jika W merupaka sebuah estimator utuk θ, maka Mea Square Error (MSE) dari estimator W merupaka fugsi E(W θ), MSE megukur rataa kuadrat dari selisih estimator W dega parameter θ yag didefiisika sebagai: E W θ = Var W + E W θ = Var W + bias W (.65) Bukti persamaa (.65) MSE W = E W θ = E W E W + E W θ = E W E W + E E W θ + E W E W E W θ = E W E W + E W θ + = Var W + bias W

47 36 Sehigga berdasarka persamaa (.65), MSE W utuk estimator tak bias aka sama dega ilai variasiya dari estimator W, karea ilai bias W pada estimator tak bias aka sama dega ilai ol. Secara umum MSE mempuyai dua kompoe, yaitu variasi yag megukur variabilitas estimator da bias yag megukur keakurata dari estimator.

48 BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Desai Peelitia Peelitia ii bersifat literatur da melakuka studi kepustakaa utuk megkaji da meelaah berbagai buku, jural, karya ilmiah, lapora da berbagai tulisa laiya yag berkaita dega pokok permasalaha yag dibahas dalam peelitia ii. 3. Metode Peyelesaia Utuk meaksir parameter pada distribusi Rayleigh diguaka metode Maimum Likelihood da metode Bayes. Dimaa metode yag diguaka diharapka dapat meghasilka parameter yag memiliki sifat tak bias, efisie da kosiste yag kemudia aka dibadigka atara kedua metode utuk melihat metode yag terbaik dalam meaksir parameter pada distribusi Rayleigh. Setelah perhituga selesai, maka aka dibuat hasil da kesimpula dari peelitia tersebut. Adapu alur peyelesaiaya sebagai berikut: 1. Studi literatur Pada tahap ii dilakuka studi literatur tetag peaksira parameter pada distribusi Rayleigh dega Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes dega teori pedukug seperti peaksira parameter, distribusi Rayleigh, Metode Maimum Likelihood, Metode Bayes, da teori-teori pedukug laiya.. Melakuka peaksira parameter pada Distribusi Rayleigh Pada tahap ii dilakuka peaksira parameter pada Distribusi Rayleigh megguaka Metode Maimum Likelihood da Metode Bayes sehigga diperoleh estimator dari setiap parameter megguaka studi literatur yag