INTERSECTIONS JOURNAL

Transkripsi

1

2

3 INTERSECTIONS JOURNAL Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Cokroaminoto Yogyakarta Volume 1 September 2017 ISSN : - Diterbitkan Oleh : Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Cokroaminoto Yogyakarta Penanggung Jawab : Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Cokroaminoto Yogyakarta Dewan Redaksi : Drs. Triwahyu Budiutomo, M.Pd, M.T. Joko Wahono, S.Pd., M.A.P. Redaktur Pelaksana : Yenny Anggreini Sarumaha, S.Pd., M.Sc. Toto Hermawan, S.Pd., M.Sc. Sekretaria Redaksi : Yudiantiwi Laksmi Dewi, S.E. Bendahara : Maratu Shalikhah, S.Pd., M.Pd. Prihastini Oktasari Putri, S.Pd., M.Pd. Anggota : Aji Permana Putra, S.Pd., M.Pd. Ika Septi Hidayati, S.Pd. Mitra Bestari : Prof. Dr. Rusgianto Heri Santoso, M.Pd. ( Universitas Negeri Yogyakarta ) Prof. Dr. Husaini Usman, M.Pd., M.T. ( Universitas Negeri Yogyakarta ) Prof. Dr.Sudji Munaji, M.Pd. ( Universitas Negeri Yogyakarta ) Prof. Dr. Yoyon Suryono, MS. ( Universitas Negeri Yogyakarta ) Alamat Redakasi: Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Cokroaminoto Yogyakarta Alamat: Gambiran, Umbulharjo Yogyakarta, Telepon: i

4 PENGANTAR REDAKSI Puji syukur alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya sehingga dapat menyelesaikan Intersections Journal Volume 1 Nomor 1 September 2017 terbit dengan menyajikan tulisan-tulisan tentang Pendidikan Matematika dan Matematika Murni. Journal ini terdapat 6 (tujuh) tulisan yang di buat oleh para ahli di bidang mereka. Journal ini ditujukan bagi peserta didik, mahasiswa, guru dan dosen pada umumnya. Banyak pihak yang telah membantu dalam penulisan journal baik langsung maupun tidak langsung. Pada kesempatan ini tim redaksi menyampaikan ucapan terima kasih kepada Universitas Cokroaminoto Yogyakarta dan juga pengirim naskah hasil penelitiannya. Tim redaksi banyak mengucapkan terimakasih sehingga jurnal ini dapat di baca oleh berbagai pihak sehingga dapat bermanfaat bagi para pembaca. Namun demikian, tentunya masih banyak kekurangan yang memerlukan penyempurnaan pada cetakan selanjutnya. Tim redaksi mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan jurnal ini. Di harapkan jurnal ini dapat menambah pengetahuan dan wawasan bagi peserta didik, mahasiswa, guru, dan dosen sehingga dapat menerapkan tugas dan perannya secara kompeten dan professional. Tim Redaksi ii

5 Daftar Isi Hal Dewan Redaksi Pengantar Redaksi... Daftar isi.. i ii iii 1 Implementasi Model Pembelajaran TS-TS (Two Stay-Two Stray) untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis (Maratu Shalikhah) 2 Metode Pembuktian Matematika (Toto Hermawan) 3 Perubahan Pembelajaran yang Berpusat pada Guru ke Berpusat pada Siswa (Yenny Anggreini Sarumaha) 4 Upaya Meningkatkan Motivasi Belajar Matematika Melalui Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Numbered Head Toghether (NHT) Pada Siswa Kelas VIII SMP Negeri 1 Alian (Prihastini Oktasari Putri) 5 Efektifitas Model Pembelajaran Kooperatif Jigsaw II Dan Pembelajaran Langsung Pada Materi Barisan dan Deret Ditinjau Kepribadian Siswa SMK Kelas X Di Kabupaten Klaten (Luthfiana Mirati ) 6 Meningkatkan Minat Belajar Matematika Tentang FPB Dan KPK Melalui Strategi Pembelajaran Ekspositori Bagi Siswa Kelas IV SD Negeri Prembulan Galur Kulon Progo Tahun Ajaran 2015/2016 (Ika Septi Hidayati ) iii

6

7 IMPLEMENTASI MODEL PEMBELAJARAN TS-TS (TWO STAY-TWO STRAY) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA Maratu Shalikhah Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk: (1) meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA Negeri 1 Pleret Bantul dengan menerapkan model pembelajaran TS-TS; (2) mengetahui respon siswa terhadap pembelajaran matematika dengan model TS-TS. Penelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas. Subjek penelitian ini adalah siswa kelas XI IPA 1 SMA Negeri 1 Pleret Bantul tahun ajaran 2014/2015 dengan banyak siswa 29 orang. Tahapan penelitian ini yaitu perencanaan, pelaksanaan, pengamatan, dan refleksi. Tindakan dilaksanakan dalam 2 siklus. Masing-masing siklus terdiri dari 5 pertemuan. Instrumen yang digunakan untuk mengumpulkan data adalah tes kemampuan komunikasi matematis, angket respon siswa, lembar observasi, dan catatan lapangan.hasil penelitian menunjukkan bahwa: (1) Kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul meningkat setelah mengikuti pembelajaran dengan model TS-TS; (2) Siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul memberikan respon positif terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS. Banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori jumlah skor tes kemampuan komunikasi matematis pada siklus I untuk indikator pertama sebesar 48,28% dan pada siklus II meningkat menjadi 93,10%. Untuk indikator ke dua sebesar 41,38% dan pada siklus II meningkat menjadi 75,86%. Untuk indikator ke tiga sebesar 37,93% dan pada siklus II meningkat menjadi 79,31%. Untuk persentase jumlah skor respon siswa siklus I sebesar 78,55% dan pada siklus II meningkat menjadi 82,86%. Kata kunci: model, pembelajaran, TS-TS (Two Stay-Two Stray), komunikasi, matematis, Pendahuluan Matematika merupakan disiplin ilmu yang wajib dipelajari oleh siswa mulai dari tingkat sekolah dasar sampai tingkat sekolah menengah bahkan sampai ke perguruan tinggi. Hal ini karena matematika sangat dibutuhkan dan sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu setiap sekolah wajib menyelenggarakan pembelajaran matematika sesuai dengan tujuan pembelajaran matematika. Dalam Standar Isi Kurikulum Satuan Tingkat Pendidikan (Depdiknas, 2006: 388) dijelaskan bahwa pembelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan: (1) memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah; (2) menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi 1

8 Volume I, Intersections Journal matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika; (3) memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh; (4) mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah; (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah; (6) Menalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktivitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide. Berdasarkan tujuan pembelajaran matematika yang tercantum dalam Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan tersebut maka kemampuan berkomunikasi khususnya kemampuan komunikasi matematis merupakan salah satu tujuan pembelajaran yang sangat penting. Kemampuan komunikasi matematis memiliki peran sentral dalam pembelajaran matematika. Terkait dengan peran kemampuan komunikasi matematis, Huinker & Laughlin (Bistari, 2010: 14) mengungkapkan bahwa salah satu tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran matematika adalah memberikan kesempatan seluasluasnya kepada siswa untuk mengembangkan dan mengintegrasikan keterampilan berkomunikasi. Berdasarkan pengamatan di kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul dijumpai bahwa dalam pembelajaran matematika banyak siswa yang belum memiliki inisiatif maju mengerjakan soal tanpa ditunjuk terlebih dahulu oleh guru. Ketika ada teman yang diminta maju mengerjakan soal, siswa lain hanya pasif dan banyak dari mereka memilih diam jika jawaban yang tertulis di papan tulis berbeda dengan jawaban mereka. Kebanyakan dari mereka tidak berani menyanggah atau berpendapat mengenai langkahlangkah atau proses penyelesaian soal yang dikerjakan. Ketika dihadapkan pada suatu soal uraian, siswa tidak terbiasa menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal sebelum menyelesaikannya, sehingga siswa sering salah dalam menafsirkan maksud dari soal tersebut. Selain itu dalam menyelesaikan soal uraian siswa cenderung kurang rinci dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaiannya. Dari pengamatan tersebut maka dapat diketahui bahwa kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 masih perlu ditingkatkan. 2

9 ISSN : xxxxxxxxxxx Peneliti memberikan satu soal untuk mengukur kemampuan komunikasi matematis siswa. Soal tersebut adalah: Dalam kegiatan melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima, gambarlah diagram Venn yang menunjukkan hubungan dari himpunan A, himpunan B, dan semesta himpunan dengan jelas dan tepat. Kemudian tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima. Dari jawaban siswa dapat dilihat bahwa siswa tidak menyatakan himpunan semestanya. Selain itu siswa juga masih kurang runtut dalam hal penyelesaian soal, yaitu langsung menggunakan rumus tanpa menuliskan terlebih dahulu cara menghitung peluang dari masing-masing kejadian A dan kejadian B seperti pada jawaban yang diharapkan oleh peneliti. Hal ini menunjukkan kurangnya kemampuan komunikasi matematis tertulis siswa kelas XI IPA 1. Permasalahan tersebut mendorong peneliti untuk melakukan penelitian terhadap kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul. Salah satu strategi pembelajaran yang diharapkan dapat meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa adalah model pembelajaran TS-TS (Two Stay-Two Stray). Model pembelajaran ini merupakan salah satu model pembelajaran kooperatif. Dalam model pembelajaran kooperatif terdapat empat prinsip yang harus tercermin di dalamnya. Empat prinsip tersebut adalah: 1) saling ketergantungan positif; 2) tanggung jawab perseorangan; 3) tatap muka; 4) komunikasi antar anggota; dan 5) evaluasi proses kelompok (Wina Sanjaya, 2009: 246). Peneliti memilih model TS- TS karena merupakan salah satu tipe pembelajaran kooperatif yang memberikan kesempatan kepada kelompok membagikan hasil dan informasi kepada kelompok lain. Dalam proses pembelajaran dengan model TS-TS, siswa akan melakukan komunikasi satu sama lain. Siswa akan lebih banyak melakukan kegiatan komunikasi secara langsung. Dengan demikian proses pembelajaran matematika di sekolah yang menerapkan model TS-TS diharapkan dapat meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa A. Metode Penelitian Jenis penelitian ini merupakan Penelitian Tindakan Kelas (PTK) yang dilaksanakan dalam 2 siklus. Setiap siklusnya dilaksanakan selama 9 jam pelajaran atau 5 kali pertemuan (4 pertemuan untuk pelaksanaan tindakan dan 1 pertemuan untuk tes siklus). Setiap siklus terdiri dari 4 tahap yaitu 3

10 Volume I, Intersections Journal perencanaan (planning), tindakan (acting), pengamatan (observing), dan refleksi (reflecting). Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul tahun ajaran 2014/2015 dengan banyak siswa 29 orang. Sedangkan untuk objek penelitian ini adalah keseluruhan proses dan hasil pembelajaran matematika untuk meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul melalui implementasi model pembelajaran TS-TS. Waktu penelitian dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 pada bulan Januari- Februari 2015 di kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul. Dalam penelitian ini siswa dikelompokkan ke dalam tujuh kelompok dengan alur bertamunya dapat dilihat pada gambar 1 berikut. Gambar 1. Alur bertamu antar kelompok Instrumen yang digunakan peneliti untuk mengambil data adalah soal tes kemampuan komunikasi matematis, lembar angket respon siswa, dan lembar observasi keterlaksanaan pembelajaran. Pengkategorian untuk hasil tes komunikasi matematis dan angket respon siswa adalah berdasarkan tabel 1 berikut. Tabel 1. Pengkategorian Hasil Tes Komunikasi Matematis dan Respon Siswa Persentase Skor Kategori yang Diperoleh (P) 85% P 100 % Sangat Baik 70% P 84,99 % Baik 55% P 69,99% Cukup 40 % P 54,99% Kurang 0% P 39,99% Sangat Kurang Indikator yang digunakan untuk menilai keberhasilan tindakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Pemberian tindakan pada siklus I dikatakan berhasil meningkatkan kemampuan komunikasi matematis jika siswa yang mengalami peningkatan kategori dari sebelum pemberian tindakan sampai akhir siklus I setiap indikator ada sebanyak minimal 65%. Dengan demikian, pemberian tindakan pada siklus I dikatakan belum berhasil meningkatkan kemampuan komunikasi matematis jika terdapat suatu indikator, dimana siswa yang mengalami peningkatan kategori dari 4

11 ISSN : xxxxxxxxxxx sebelum pemberian tindakan sampai akhir siklus I pada indikator tersebut kurang dari 65%. 2. Hasil persentase jumlah skor angket respon siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan model TS-TS pada siklus I mencapai kategori baik. Jika penelitian belum mencapai indikator keberhasilan pada siklus I maka penelitian dilanjutkan ke siklus II dengan indikator keberhasilan sebagai berikut: 1. Pemberian tindakan pada siklus II dikatakan berhasil meningkatkan kemampuan komunikasi matematis jika siswa yang mengalami peningkatan kategori dari akhir siklus I sampai akhir siklus II setiap indikator ada sebanyak minimal 75% siswa. Dengan demikian, pemberian tindakan pada siklus II dikatakan belum berhasil meningkatkan kemampuan komunikasi matematis jika terdapat suatu indikator, dimana siswa yang mengalami peningkatan kategori dari akhir siklus I sampai akhir siklus II pada indikator tersebut kurang dari 75%. 2. Hasil persentase jumlah skor angket respon siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan model TS-TS pada siklus II mencapai kategori baik. B. Hasil Penelitian dan Pembahasan Hasil analisis tes kemampuan komunikasi matematis pada siklus I disajikan dalam tabel 2 berikut. Tabel 2. Persentase Jumlah Skor untuk Setiap Indikator Kemampuan Komunikasi Matematis dari Hasil Tes Siklus I No. Indikator Persen Kategori tase 1. Menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, 56,89 Cukup ilustrasi, atau media lain dengan jelas dan tepat. 2. Memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika. 3. Menjelaskan langkahlangkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. 67,59 Cukup 38,62 Sangat Kurang Dalam Tabel 2 dapat diketahui bahwa kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul pada pembelajaran siklus I masih belum 5

12 Volume I, Intersections Journal optimal, sehingga masih perlu untuk ditingkatkan. Dapat dilihat pula bahwa indikator ke tiga memperoleh persentase jumlah skor terendah jika dibandingkan dengan dua indikator lainnya. Oleh karena itu pada siklus II perlu diadakan tindakan khusus untuk mengoptimalkan indikator ke tiga tersebut. Sedangkan persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori untuk setiap indikator dari sebelum dilaksanakan penelitian sampai akhir siklus I dapat disajikan dalam Tabel 3 berikut. Tabel 3. Persentase Banyak Siswa yang Mengalami Peningkatan Kategori untuk Setiap Indikator Kemampuan Komunikasi Matematis Siklus I No Indikator Banyak Siswa yang Mengalami Peningkatan 1. Menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan jelas dan tepat 2. Memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika 3. Menjelaskan langkahlangkah hasil Persentase Kategori 14 48, , ,93 kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. Dari Tabel 3 dapat diketahui bahwa persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori untuk setiap indikator dari sebelum dilaksanakan penelitian sampai akhir siklus I belum ada yang mencapai 65%. Oleh karena itu penelitian dilanjutkan ke siklus II karena belum memenuhi indikator keberhasilan penelitian pada siklus I. Hasil analisis angket respon siswa terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS siklus I disajikan pada tabel 4 berikut. Tabel 4. Hasil Angket Respon Siswa terhadap Pelaksanaan Pembelajaran Matematika dengan Model TS-TS Siklus I No Aspek Skor Persent 1. Kerja kelompok 2. Kunjungan kelompok 3. Pelaporan kelompok 4. Presentasi kelompok 5. Keseluruhan proses pembelajaran Kategori ase ,62 Baik ,97 Baik ,72 Baik ,28 Baik ,17 Baik 6

13 ISSN : xxxxxxxxxxx Total Skor Angket Respon Siswa Siklus I ,55 Baik Dari tabel 4 dapat diketahui bahwa persentase respon siswa terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS siklus I untuk semua aspeknya berada pada kategori baik. Sesuai hasil penelitian pada siklus I, secara umum pelaksanaan pembelajaran dengan model TS-TS (Two Stay-Two Stray) di kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul sudah berjalan baik namun belum seluruhnya optimal dan belum mencapai indikator keberhasilan disebabkan beberapa hal. Berikut adalah beberapa permasalahan yang muncul: 1) Pengaturan waktu untuk setiap sesi pembelajaran kurang baik. 2) Beberapa siswa dalam anggota kelompok belajar masih sering menggunakan kesempatan diskusi untuk bercanda dengan teman lainnya. Ada juga yang mengganggu anggota kelompok lain saat berdiskusi. Perhatian siswa saat mengikuti pembelajaran belum begitu fokus. 3) Masih banyak siswa yang kurang bertanggung jawab dalam menjalankan perannya sebagai siswa tamu maupun siswa tuan rumah. 4) Untuk indikator pertama kemampuan komunikasi matematis yaitu menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan jelas dan tepat masih dalam kategori sedang. Untuk indikator ke dua kemampuan komunikasi matematis yaitu memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika dalam kategori tinggi. Tetapi dalam kenyataannya siswa masih merasa kesulitan dalam merangkai kalimat untuk menyatakan alasan terhadap suatu pernyataan matematika. Sedangkan untuk indikator ke tiga yaitu menjelaskan langkahlangkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat masih dalam kategori sedang. Siswa hanya menyelesaikan soal secara langsung tanpa menuliskan penjelasan mengenai langkahlangkah dalam menyelesaikan soal tersebut. Oleh karena itu, untuk mengatasi beberapa permasalahan yang muncul pada siklus I, direkomendasikan pada siklus II untuk diberikan perlakuan yang berbeda guna menyempurnakan tindakan. Berikut adalah beberapa rekomendasi yang dilakukan: 1) Menggunakan waktu secara efektif dengan cara mengatur kelancaran setiap sesi proses pembelajaran. Selain itu sebelum pembelajaran dimulai 7

14 Volume I, Intersections Journal siswa diminta menempatkan diri pada kelompok masing-masing. LKS juga telah dibagikan sebelum pembelajaran dimulai. 2) Pada siklus II, untuk mengatasi siswa yang terlihat ramai, tidak ikut diskusi dan tidak ikut mengerjakan LKS di dalam kelompok belajarnya, ataupun yang mengganggu teman yang lain akan langsung ditunjuk untuk maju menampilkan hasil diskusi. 3) Guru menjelaskan ulang mengenai tugas atau peran siswa beserta langkah-langkah dalam model pembelajaran TS-TS. 4) Peneliti membenahi dan memodifikasi LKS siklus II dengan memberikan tambahan petunjuk dalam langkah-langkah penyelesaian soal. Siswa dilatih untuk menjelaskan langkahlangkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. Setelah dilaksanakan pembelajaran siklus II, berikut tabel hasil tes kemampuan komunikasi matematis. Tabel 5. Persentase Jumlah Skor untuk Setiap Indikator Kemampuan Komunikasi Matematis dari Hasil Tes Siklus II No. Indikator Perse Kategori ntase 1. Menggunaka 93,10 Sangat n simbol, Baik rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan jelas dan tepat. 2. Memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika. 3. Menjelaskan langkahlangkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. 74,14 Baik 67,53 Cukup Sedangkan persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori persentase jumlah skor kemampuan komunikasi matematis untuk setiap indikator dari siklus I sampai akhir siklus II dapat disajikan dalam Tabel 6 berikut. Tabel 6. Persentase Banyak Siswa yang Mengalami Peningkatan Kategori Skor Kemampuan Komunikasi Matematis Siklus II 8

15 ISSN : xxxxxxxxxxx No Indikator Banyak Siswa Persen tase yang Mengalami Peningkatan Kategori 1. Menggunakan 27 93,10 simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan jelas dan tepat 2. Memberikan alasan 22 75,86 rasional terhadap suatu pernyataan matematika 3. Menjelaskan langkah-langkah 23 79,31 hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. Dari Tabel 6 dapat diketahui bahwa persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori persentase jumlah skor kemampuan komunikasi matemati untuk setiap indikator dari siklus I sampai akhir siklus II telah mencapai lebih dari 75%. Hal ini menunjukkan bahwa indikator keberhasilan penelitian pada siklus II telah terpenuhi. Hasil analisis angket respon siswa terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS siklus II disajikan pada tabel 7 berikut. Tabel 7. Hasil Angket Respon Siswa terhadap Pelaksanaan Pembelajaran Matematika dengan Model TS-TS Siklus II No Aspek Sko r 1. Kerja Kelompok 2. Kunjunga n kelompok 3. Pelaporan kelompok 4. Presentasi kelompok 5. Keseluruh an proses pembelaja ran Total Skor Angket Respon Siswa Siklus I Persentas e Katego ri ,89 Baik ,59 Baik ,89 Baik ,28 Baik ,66 Baik ,86 Baik Dari tabel 7 tersebut dapat diketahui bahwa persentase respon siswa terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS siklus I untuk semua aspeknya berada pada kategori baik. Berdasarkan deskripsi hasil pelaksanaan penelitian tindakan kelas pada siklus I, kemampuan komunikasi matematis siswa belum optimal. Hal tersebut dapat diketahui dari hasil kerja kelompok untuk menyelesaikan LKS, bahwa siswa belum mampu sepenuhnya mengerjakan sesuai dengan indikator kemampuan komunikasi matematis yang telah ditentukan. 9

16 Volume I, Intersections Journal Pada aktivitas kerja kelompok yang merupakan bagian dari tahapan model pembelajaran TS-TS (Agus Suprijono, 2009: 93-94), banyak siswa pasif dan tidak mau ikut berpartisipasi dalam mengerjakan LKS. Padahal menurut Wina Sanjaya (2009: 246) partisipasi dan komunikasi merupakan prinsip dari model pembelajaran kooperatif. Dengan berkomunikasi dan bertukar ide diharapkan siswa mampu mengoptimalkan kemampuan komunikasi matematis. Hal ini juga sesuai dengan pendapat Robert E. Slavin (1995: 5) yang menyatakan bahwa cooperative learning methods share the idea that students work together to learn and are responsible for their teammates learning as well as their own. Dalam kerja kelompok ini siswa belum mampu dan masih merasa kesulitan dalam menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan benar. Seperti dalam mengerjakan LKS 1, siswa merasa kesulitan dalam menggambarkan fungsi ke dalam bentuk diagram Venn. Ketika diminta menggambarkan contoh lain mengenai fungsi yang injektif, surjektif, dan bijektif kedalam bentuk diagram Venn, masih banyak siswa yang bingung dan menanyakan kepada guru. Guru memberikan arahan dan bimbingan agar siswa mampu untuk menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan benar. Siswa juga mengalami kesulitan dalam memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika. Misalnya pada LKS 1, siswa masih kesulitan dalam menuliskan alasan mengenai mengapa relasi pada soal tersebut disebut fungsi. Begitu juga pada LKS 2, siswa menyelesaikan soal tersebut secara langsung tanpa mengungkapkan alasannya. Sebagian besar siswa masih belum percaya diri untuk menyampaikan ide atau gagasannya terkait alasan secara tertulis, namun guru memaklumi hal ini dan selalu berusaha memotivasi siswa untuk bisa lebih percaya diri dalam menyampaikan ide atau gagasannya. Pada tahap kunjungan kelompok yang merupakan tahapan dalam pembelajaran dengan model TS-TS (Agus Suprijono, 2012: 93), kurang sekali interaksi dari siswa tamu dan siswa tuan rumah sehingga menyebabkan siswa tamu tidak dapat menjelaskan langkah-langkah penyelesaian yang digunakan ke kelompok asalnya. Hal ini dapat mengakibatkan salah satu indikator kemampuan komunikasi matematis yaitu menjelaskan langkah-langkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat menjadi kurang optimal. Sesuai dengan pendapat Anita Lie (2004: 61) bahwa model 10

17 ISSN : xxxxxxxxxxx pembelajaran TS-TS memberikan kesempatan kepada kelompok untuk membagikan hasil dan informasi kepada kelompok lain. Dalam aktivitas ini siswa dituntut untuk mampu menjelaskan menjelaskan langkah-langkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat. Gambar 2 berikut merupakan diagram peningkatan persentase kemampuan komunikasi matematis setiap indikator dari siklus I sampai dengan siklus II. Persentase Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Gambar 2. Diagram Persentase Indikator Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Dari diagram di atas dapat diketahui bahwa indikator ke tiga yaitu menjelaskan langkah-langkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat memperoleh persentase yang paling kecil dibandingkan persentase indikator kemampuan komunikasi matematis yang lain. Kecilnya persentase untuk indikator ke tiga mungkin disebabkan karena siswa belum terbiasa menjelaskan langkah-langkah dalam menyelesaikan suatu masalah dalam LKS. Siswa terbiasa mengerjakan soal secara langsung sehingga kurang begitu memahami makna dari langkah-langkah penyelesaian soal tersebut. Pada pembelajaran siklus II, peneliti memberikan LKS yang didalamnya terdapat petunjuk mengenai langkah penyelesaian soal dan contoh dalam menyelesaikan soal. Petunjuk dan contoh tersebut diharapkan dapat membantu siswa dalam mengoptimalkan kemampuan komunikasi matematisnya. Kegiatan pembelajaran pada siklus II berjalan lebih lancar daripada siklus I. Siswa mulai aktif dalam berdiskusi dan berinteraksi untuk bertukar ide satu sama lain. Siswa sudah mulai mampu menggunakan menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau media lain dengan benar. Setelah siswa diberi LKS dengan tambahan petunjuk mengenai langkah-langkah penyelesaian soal beserta contoh penyelesaian soal, kemampuan siswa dalam memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika dan kemampuan dalam menjelaskan langkah-langkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian 11

18 Volume I, Intersections Journal masalah matematika menjadi lebih baik. Kunjungan kelompok pada pembelajaran siklus II pada umumnya berjalan dengan tertib dan lancar. Hal ini karena guru telah menegaskan tugas dari siswa tamu dan siswa tuan rumah dalam tahapan kunjungan kelompok. Siswa tuan rumah menjelaskan kepada siswa tamu mengenai langkah-langkah penyelesaian soal yang sebelumnya telah didiskusikan dengan kelompoknya. Dengan penjelasan tersebut siswa tamu dapat memahami langkah-langkah yang digunakan kelompok yang dikunjunginya. Oleh karena itu siswa tamu dapat menjelaskan hasil dari bertamunya tersebut kepada siswa lain dalam kelompoknya ketika tahap pelaporan kelompok. Hal ini telah membantu siswa untuk mengoptimalkan kemampuan komunikasi matematis. Hal tersebut diperkuat dengan hasil analisis tes akhir siklus II. Dari hasil tes akhir siklus II menunjukkan bahwa kemampuan komunikasi matematis siswa meningkat jika dibandingkan dengan hasil tes siklus I. Hasil tes siklus II juga menunjukkan bahwa persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori skor kemampuan komunikasi matematis telah memenuhi indikator keberhasilan dalam penelitian ini. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari tes kemampuan komunikasi matematis akhir siklus II, peneliti dapat menyimpulkan bahwa kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul dalam pembelajaran matematika dengan model TS-TS mengalami peningkatan. C. Kesimpulan dan Saran 1. Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada penelitian tentang implementasi model pembelajaran TS-TS untuk meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul, dapat disimpulkan bahwa: a. Kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul meningkat setelah diterapkan model pembelajaran TS-TS. Penjabarannya adalah sebagai berikut: 1) Ada peningkatan kemampuan komunikasi matematis siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul setelah mengikuti pembelajaran dengan model TS-TS. 2) Persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori dari sebelum dilaksanakan tindakan sampai dengan akhir siklus I untuk indikator pertama yaitu kemampuan menggunakan simbol, rumus matematis, tabel, diagram, ilustrasi, atau 12

19 ISSN : xxxxxxxxxxx media lain dengan jelas dan tepat sebesar 48,28%, untuk indikator ke dua yaitu kemampuan memberikan alasan rasional terhadap suatu pernyataan matematika pada sebesar 41,38%, dan untuk indikator ke tiga yaitu kemampuan menjelaskan langkah-langkah hasil kerja atau hasil dari penyelesaian masalah matematika dengan logis, sistematis, jelas, dan tepat sebesar 37,93%. Sedangkan persentase banyaknya siswa yang mengalami peningkatan kategori dari akhir siklus I sampai dengan akhir siklus II untuk indikator pertama sebesar 93,10%, untuk indikator ke dua sebesar 75,86% dan untuk indikator ke tiga sebesar 79,31%. b. Siswa memberikan respon positif terhadap pelaksanaan pembelajaran matematika dengan model TS-TS. Persentase jumlah skor respon siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul terhadap pelaksanaan pembelajaran dengan model TS-TS siklus I berada dalam kategori baik yaitu 78,55%. Sedangkan untuk siklus II persentase jumlah skor respon siswa kelas XI IPA 1 SMA N 1 Pleret Bantul terhadap pelaksanaan pembelajaran dengan model TS-TS sebesar 82,86% atau dalam kategori baik. 2. Saran Beberapa saran yang perlu dipertimbangkan dalam pelaksanaan pembelajaran dengan model TS-TS untuk meningkatkan kemampuan komunikasi matematis siswa antara lain: a. Alokasi waktu kerja kelompok dan kunjungan kelompok perlu ditegaskan kepada siswa agar setiap tahap pembelajaran dapat terlaksana dengan baik dan tidak mengalami kekurangan waktu diakhir pembelajaran. b. Tugas dan peran masing-masing siswa perlu ditegaskan agar siswa dapat bertanggung jawab menjalankan tugas dan perannya baik sebagai siswa tamu maupun sebagai siswa tuan rumah. c. LKS yang dibuat sebaiknya disertai petunjuk mengenai langkah-langkah penyelesaian soal, hal ini bertujuan untuk memfasilitasi siswa untuk mengoptimalkan kemampuan komunikasi matematisnya. D. Daftar Pustaka Agus Suprijono. (2009). Cooperative Learning Teori dan Aplikasi PAIKEM. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. Anita Lie. (2004). Cooperative Learning: Mempraktikkan Cooperative Learning di Ruang-Ruang Kelas. Jakarta: PT Grasindo. 13

20 Volume I, Intersections Journal Bistari. (2010). Pengembangan Kemandirian Belajar Berbasis Nilai untuk Meningkatkan Komunikasi Matematik. Jurnal Pendidikan Matematika (Nomor 1 tahun 2010). Hlm. 12 Depdiknas. (2006). Peraturan Pemerintah No.22 Tahun 2006 tentang Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar. Jakarta: Depdiknas Slavin, R.E. (1995). Cooperative Learning: Theory, Research, and Practice. Massachusetts: Allyn and Bacon Publisher. Wina Sanjaya. (2009). Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group. 14

21 METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA Toto Hermawan ABSTRAK Persepsi bahwa matematika identik dengan angka-angka dan operasi hitung (tambah, kali, bagi,kurang, pangkat, dll) tidak selamanya benar. Matematika berhubungan juga dengan penalaran karena matematika merupakan hasil abstraksi (pemikiran) manusia terhadap objek-objek sekitar.di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumenargumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teoremateorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Yang dimaksud logis di sini, adalah semua langkah pada setiap argumen harus dijustifikasi oleh langkah sebelumnya. Jadi kebenaran semua premis pada setiap deduksi sudah dibuktikan atau diberikan sebagai asumsi. Pada tulisan sederhana ini dibahas sekilas tentang bukti dalam matematika dan beberapa metoda pembuktiannya. Kata kunci: Abstraksi, Argumen Logis, Bandwidth, Postulat, Teorema, Difinisi, Dan Pembuktian. PENDAHULUAN Matematika sebagai ilmu dasar (basic science). Teori-teori yang ada di dalam matematika digunakan sebagai landasan untuk pengembangan ilmu terapan dan teknologi. Selain itu, Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan logika dalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor intuisi dan pola berpikir induktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture) yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. 15

22 Daftar Pustaka Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak disma. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi hapalan, khususnya menghapal tabel kebenaran. Belum tahu mengapa dan untuk apa logika dipelajari. Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically thinking. Apa yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini lebih ditekankan pada memahami langkahlangkah dalam menyelesaikan suatu soal, tanpa melihat lebih dalam mengapa langkah-langkah tersebut dapat dilakukan. Bila pendekatan ini mendominasi dalam pembelajaran matematika, misalnya di sekolah menengah maka akibatnya siswa akan menjadi robot matematika. Mereka mampu dan cepat menyelesaikan soal yang mirip (similar) dengan contoh sebelumnya, tetapi tidak berkutik bilamana soal tersebut dimodifikasi sedikit, sehingga tidak tampak secara kasat mata kemiripannya dengan soal yang sudah ada, walaupun sesungguhnya materinya tetap sama. Pada tahap awal, pekerjaan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika. Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika. Secara rinci mengenai bukti dalam matematika meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Dari pernyataan diatas paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory. To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap 16

23 ISSN : xxxxxxxxxxx kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana. Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam buku (it was in the text), atau karena sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Banyak pembuktian yang tidak hanya membuktikan suatu fakta tetapi juga memberikan penjelasan tentang fakta tersebut. Disinilah, pembuktian teorema berfungsi untuk mendapatkan pemahaman (to gain understanding). PERNYATAAN DALAM MATEMATIKA DAN PEMBUKTIAN-NYA Definisi adalah kesepakatan bersama mengenai pengertian atau batasan suatu istilah. Misalnya bilangan prima adalah bilangan lebih besar dari 1 yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Teorema adalah pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan. Teorema dapat berupa kalimat berkuantor yang memuat konektivitas dengan satu atau beberapa premis dan satu konklusi. Teorema Pythagoras: Jika ABC segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di B maka berlaku AB 2 + BC 2 = AC 2. Proposisi merupakan teorema kecil dimana tingkat signi_kansinya lebih rendah dari Teorema. Contoh: perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan sebuah bilangan ganjil. Fakta kadang digunakan untuk menyatakan Teorema atau Proposisi tetapi kebenarannya dapat dipahami langsung dan mudah. Contoh: 2 adalah satu-satunya bilangan genap yang sekaligus prima. Pembuktian (proof ) adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Aksioma atau postulat adalah pernyataan yang menjadi asumsi dasar dalam penyusunan suatu konsep dalam matematika. Aksioma biasa digunakan untuk membangun de_nisi, atau untuk membuktikan Teorema. Contoh: melalui dua titik berlainan dapat dibuat sebuah garis Lemma adalah teorema kecil yang biasanya digunakan untuk membuktikan Teorema. Akibat (collorary) merupakan fakta yang diturunkan 17

24 Daftar Pustaka langsung dari Teorema dimana kebenarannya dapat dibuktikan dari Teorema langsung. Contoh: jika salah satu sisi pada segitiga siku-siku adalah ganjil maka terdapat satu lagi sisinya yang juga ganjil. (Akibat dari teorema Pythagoras). Konjektur adalah pernyataan yang diduga benar berdasarkan data empiris (evidence), argumen heuristik, atau intuisi para ahli; tetapi belum berdasarkan argumen valid. Bila konjektur dapat dibuktikan dengan argmen yang valid maka ia berubah menjadi Teorema atau proposisi. SKEMA PERNYATAAN DALAM MATEMATIKA METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topiktopik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i 2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. 1. Pembuktian Langsung Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p q. Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p q benar dimana diketahui p benar. Contoh Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n2 adalah ganjil. Bukti : Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k

25 ISSN : xxxxxxxxxxx Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil. n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) +1. Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1. Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n 2 adalah ganjil. 2. Pembuktian tak c langsung Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~ q ~ p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. Contoh Buktikan, jika x 2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil. Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x 2 ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x 2m 1 tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah Jika x genap maka x2 genap. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x=2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x 2 = (2n) 2 = 2 (2n 2 ) = 2m yang merupakan bilangan genap. 3. Bukti Kosong Bila hipotesis p pada implikasi p q sudah bernilai salah maka implikasi p q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p q. Contoh Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut : Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A B jika pernyataan berikut dipenuhi : jika x A maka x B. Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun. Bukti. Misalkan A suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Kita akan 19

26 Daftar Pustaka tunjukkan bahwa pernyataan jika x A maka x B bernilai benar. Karena A himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x A selalu bernilai salah karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan x A maka x B, yaitu A B. Karena B sebarang maka bukti selesai. 4. Bukti Trivial Bila pada implikasi p q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p q Contoh : Buktikan kebenaran _Jika penguin dapat terbang maka = 5 Salah maka benar jawabannya Benar 5. Bukti dengan kontradiksi Prosedur: a. Identifikasilah konklusi sebuah proposisi. b. Andaikan konklusi tersebut salah.temukan kontradiksi. c. Simpulkan bahwa pengandaian salah. d. Proposisi terbukti. Contoh Buktikan bahwa 2 bilangan irrasiona Bukti : Diasumsikan 2 rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan terjadi kontradiksi. Sehingga 2 irasional. Andaikan 2 rasional. Maka 2 dapat ditulis sebagai hasil bagi dua a bilangan bulat sedemikian b hingga a dan b relatif prima. Jika b a = 2 maka ( a 2 ) = 2 dan a 2 = 2b 2 b Karena 2b 2 bilangan bulat genap, maka a 2 adalah genap, demikian pula a. Mengapa? Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat. Didapat a 2 = 4c 2. Padahal a 2 = 2b 2, maka b 2 = 2c 2, sehingga b 2 genap, akibatnya b genap. Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi dengan pengandaian. Sehingga pengandaian 2 bilangan rasional tidak benar. Jadi 2 irasional. 6. Bukti ketunggalan 20

27 ISSN : xxxxxxxxxxx Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek. Contoh : Buktikan sistem persamaan 2x + y = 4 dan x - 2y = - 3 mempunyai penyelesaian tunggal. Buktikan eksistensi penyelesaiannya. Dengan eliminasi misalnya, diperoleh (x=1; y=2) adalah penyelesaian. Ambil (x1, y1) sebarang penyelesaian maka haruslah memenuhi 2x1 + y1 = 4 dan x1-2y1 = - 3. Dengan cara yang sama akan diperoleh x1 = x dan y1=y. Terbukti penyelesaiannya tunggal. 7. Bukti dengan counter example Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya. Contoh : Diberikan ruang matrik (X,d) dan A, B X, Buktikan A B A B tidak belaku? Bukti: counter example A (2,3) maka A [2,3] B (3,4) maka B [3,4] A B {3} Tetapi A B 3 A B tetapi 3 A B 8. Bukti dengan induksi matematika Misalkan P(n) pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bil asli N atau subsetnya. Kebenaran P(n) bergantung dari nilai n yang diberikan. PRINSIP INDUKSI: Bila S himpunan bagian dari N dengan sifat-sifat: (i) 1 S (ii) k S k + 1 S Maka haruslah S=N. Metode Induksi Matematika : Misalkan diberikan fungsi proposisi P(n), n N. Bila (i) P(1) Benar (ii) P(k) P(k + 1) Benar Maka P(n) TRUE untuk setiap n N Contoh : Buktikan n = n (n + 1) berlaku untuk 2 setiap n N. BUKTI: (i) P(1): 1 = 1 (1 + 1) Benar 2 (ii) Diketahui P(k) Benar, yaitu k = k (k + 1) 2 Diperhatikan P(k+1): k + (k + 1) k 2 (k+1) 21

28 Daftar Pustaka = k (k + 1) + (k + 1) 2 = k + 1 (k + 2) 2 yakni P(k+1) Benar. Jadi P(n) berlaku untuk setiap n N. 9. Bukti dua arah Suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p q. Ada dua kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p qdan q p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p qdan q p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan kontradiksi. Contoh Diberikan ruang metrik (X,d) dan barisan { x n } X. Barisan { x n } memiliki titik cluster x X jika dan hanya jika terdapat subbarisan { x } x di mana x n k x. Bukti ( ) Diketahui merupakan titik n cluster dari { x n }, maka untuk setiap k N bola 1 terbuka Bx (, ) memuat k tak hingga banyak elemen n k n dari { x n }, Sehingga untuk setiap k N dapat dipilih 1 xn B( x, ) { x } k n k. Akan dibuktikan{ x n k } konvergen ke x. Diperhatikan bahwa untuk setiap k N berlaku 1 xn k B( x, ) dengan kata k lain 1 d( x, x n ). k Diambil sebarang 0, berdasar-kan Archimedes maka terdapat N N, untuk k N berlaku 1 1 k N Dengan demikian untuk setiap k N berlaku 1 1 d( x, x nk ) k N. Jadi untuk sebarang 0 terdapat N N, untuk setiap k N berlaku d( x, xn k ). Kesimpulan: { x n k } konvergen ke x. ( ) Diketahui terdapat subbarisan { x } x x nk n n k n di mana x. Dengan demikian untuk sebarang 0 terdapat N N, untuk k N berlaku d( x, x ). Hal ini berarti berlaku 1 xn k B( x, ) untuk semua k k N. Jadi untuk sebarang n k 22

29 ISSN : xxxxxxxxxxx 0, bola terbuka Bx (, ) memuat tak hingga banyak elemen dari { x n k }, dengan kata lain merupakan titik cluster dari { x n k }. Kesimpulan: karena { x } x maka x juga n k n merupakan titik cluster dari { x n k }. KESIMPULAN Persepsi bahwa matematika identik dengan angka-angka dan operasi hitung (tambah, kali, bagi,kurang, pangkat, dll) tidak selamanya benar. Matematika berhubungan juga dengan penalaran karena matematika merupakan hasil abstraksi (pemikiran) manusia terhadap objek-objek sekitar. Produk utama matematika berupa pernyataan-pernyataan berupa definisi, teorema, akibat, keonjektur, dll. Angka dan operasi aritmatika yang menyertainya merupakan produk turunan matematika. Dalam matematika kebenaran pernyataan perlu dibuktikan. PENUTUP Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan faktafakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Keindahan matematika juga banyak terdapat pada harmonisasi penalaran-penalaran dalam bukti. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak pada kekaguman terhadap para inventor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu sendiri. Berlatih memahami bukti merupakan modal utama untuk dapat melakukan riset matematika. DAFTAR PUSTAKA 1. Bartle, Robert G and D.R. Sherbet, Introduction to real analysis, second edition, John Willey & sons, New York. 2. Royden, HL Real Analysis 3rd ed, Macmillan Publishing Company, New York 3. Sukirman.2006.Pengantar teori Bilangan. yogyakarta: Hanggar Kreator 23

30

31 Perubahan Pembelajaran yang Berpusat pada Guru ke Berpusat pada Siswa Yenny Anggreini Sarumaha Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan, Universitas Cokroaminoto Yogyakarta ISSN : xxxxxxxxxxx Abstrak Kajian ini bertujuan untuk memaparkan dan menggali lebih dalam perubahan pembelajaran yang berpusat pada guru ke berpusat pada siswa. Dilengkapi dengan beberapa hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan, kajian ini menjelaskan bagaimana seyogyanya pembelajaran yang berpusat pada guru dilaksanakan di kelas. Guru dituntut harus lebih kreatif dan aktif memfasilitasi siswa belajar, salah satunya dengan merancang aktivitas yang mendorong siswa untuk mengkonstruksi pengetahuan yang mereka miliki. Sedangkan siswa dihadapkan pada kontrak didaktis yang baru, diantaranya keharusan berfikir untuk diri sendiri, untuk menjelaskan dan mengklarifikasi solusi yang mereka miliki, untuk mencoba dan memahami pemahaman siswa lain, untuk bertanya tentang penjelasan yang tidak mereka pahami, dan untuk berargumen apabila mereka tidak setuju. Kata kunci: pembelajaran berpusat pada siswa, students centered, belajar bermakna. I. Pendahuluan Paradigma pembelajaran matematika telah berubah dari hanya sekedar transfer ilmu dari guru ke siswa ke konstruksi pengetahuan oleh siswa sebagai pebelajar aktif. Guru tidak lagi sebagai orang yang maha tahu dan maha benar tentang berbagai hal mengenai materi yang diajarkannya. Sebaliknya, saat ini guru dituntut untuk belajar dari siswa, bagaimana mereka menyelesaikan tugas-tugas yang diberikan, bagaimana mereka bereaksi atas tugas yang diberikan dan bagaimana interaksi mereka dengan teman maupun guru dalam menghadapi masalah yang diberikan. Jawaban-jawaban dari pertanyaan inilah yang diharapkan nantinya akan memberikan masukan dalam perbaikan pembelajaran ke depan. Sehingga metode, model ataupun pendekatan yang digunakan oleh guru dalam proses pembelajaran akan berkembang dengan lebih baik lagi. Perubahan paradigma ini tidak bisa dilakukan dengan instan. Perlu 31