DIKTAT BAHAN KULIAH GEODESI GEOMETRIK GD 2202 BOBOT 4 SKS SEMESTER IV OLEH YOHANNES NIP

Transkripsi

1 DIKTAT BAHAN KULIAH GEODESI GEOMETRIK GD 0 BOBOT 4 SKS SEMESTER IV OLEH YOHANNES NIP PROGRAM STUDI TEKNIK GEOMATIKA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 06

2 KATA PENGANTAR Gedesi Gemetrik adalah ilmu yang membahas mengenai bidang referensi bumi berbentuk bla dan elipsid dengan berbagai perhitungan pada bidang lengkung dan pemecahan atas Sal Pkk Gedesi (SPG) kesatu dan kedua, dan mengenai pryeksi peta dari bidang elipsid ke bidang datar peta. Ilmu ini wajib dipahami, baik secara teri maupun praktek, leh mahasiswa Teknik Gematika, terutama apabila kelak mereka menghadapi pekerjaan survey dan pemetaan dengan lingkup wilayah sangat luas atau bersifat glbal. Diktat ini disusun bagi mahasiswa Teknik Gedesi - Gematika walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga leh mahasiswa bidang studi lain, alumnus, atau teknisi yang berkepentingan dengan masalah ini, sebab disamping berisi penjelasan singkat mengenai knsep bidang bla dan ellipsid, juga disertai tuntunan praktis dalam prses perhitungan beberapa cnth sal dan jawaban. Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas penggunaannya saja. Perhitungan tidak melibatkan elevasi titik terhadap bidang referensi bla atau elipsid. Dengan demikian, titik dianggap terletak tepat pada permukaan bidang bla atau elipsid dimana elevasi dianggap nl. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari ilmu Gedesi Gemetrik lebih mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks yang tercantum dalam daftar pustaka dan buku-buku teks lainnya. Materi mengenai Pryeksi Peta akan diberikan dalam buku diktat tersendiri. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Prgram Studi Teknik Survey dan Pemetaan, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Lampung yang telah memberikan bantuan dana demi tersusunnya diktat ini. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah banyak membantu. Segala saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan. Semga buku ini bermanfaat. Bandarlampung, Pebruari 06 Penulis, Yhannes

3 DAFTAR ISI Halaman JUDUL... i KATA PENGANTAR... ii DAFTAR ISI..... iii DAFTAR GAMBAR..... v DAFTAR TABEL..... vi BAB I PENDAHULUAN Sejarah Penentuan Dimensi Bumi..... Bidang Referensi Bumi Evaluasi BAB II BIDANG REFERENSI BOLA BUMI Pengantar Bidang Bla Menentukan Selisih Lintang (Δφ) Menentukan Selisih Bujur (Δλ) Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Paralel Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Paralel Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Meridian....3 Evaluasi BAB III BIDANG REFERENSI ELIPSOID BUMI Pengantar Bidang Geid Bidang Elipsid Parameter Elips dan Parameter Utama Elipsid Evaluasi Sistem Krdinat pada Bidang Elipsid Sistem Krdinat Lintang-Bujur Gedetis Sistem Krdinat Kartesian Ortgnal XYZ Evaluasi Hubungan Matematis antara Sistem Krdinat Mengknversi dari Sistem Lintang-Bujur Gedetis ke Sistem Krdinat XYZ Mengknversi dari Sistem Krdinat XYZ ke Sistem Lintang-Bujur Gedetis Lintang gesentris dan lintang gedetis Lintang terreduksi dan lintang gedetis Evaluasi.... 3

4 BAB IV PERHITUNGAN PADA BIDANG LENGKUNG Jari-jari Busur pada Elipsid Jari-jari Busur Meridian (M) dan Busur Nrmal Utama (N) Jari-jari Irisan Nrmal Jari-jari Bla Pengganti Evaluasi Panjang Busur Dua Titik pada Elipsid Panjang Busur Meridian antara Dua Titik Keliling Elipsid pada Bidang Meridian Penentuan Lintang Titik berdasarkan Panjang Busur Meridian dari Ekuatr Panjang Busur sepanjang Garis Paralel Luas Bidang pada Permukaan Elipsid Garis Gedesik Knvergensi Meridian Ekses Sferis Evaluasi BAB V SOAL POKOK GEODESI Pengertian Metde Sldner Metde Legendre Metde Gausz A. Untuk Bidang Bla B. Untuk Bidang Elipsid Evaluasi... 6 Sumber Pustaka

5 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar. Pengukuran Eraststhenes..... Gambar. Perhitungan Keliling Bumi..... Gambar.3 Bentuk Bumi seperti Elips Putar... Gambar.4 Teknik Pengukuran Triangulasi... 3 Gambar. Bla Bumi... 6 Gambar. Sudut Lintang P... 7 Gambar.3 Penentuan Bujur/Meridian... 7 Gambar.4 Jari-jari Lingkaran Paralel Gambar.5 Jarak PQ sepanjang lingkaran paralel Gambar.6 Jarak PQ sepanjang lingkaran meridian... Gambar 3. Bidang Geid Gambar 3. Permukaan bumi dan bidang acuan Gambar 3.3 Parameter Elips Gambar 3.4 Bidang Elipsid Bumi Gambar 3.5 Sistem Krdinat Lintang-Bujur Gedetis Gambar 3.6 Lintang Gesentris Gambar 3.7 Lintang Terreduksi Gambar 3.8 Sistem Krdinat Ortgnal XYZ untuk Bidang Elipsid Gambar 3.9 Pryeksi Sistem Krdinat XYZ Gambar 3.0 Sistem Krdinat Ortgnal XYZ untuk Acuan Bidang Datar... Gambar 3. Hubungan Sistem Krdinat, dan XYZ Gambar 3. Relasi Sistem Krdinat XY dan Gambar 3.3 Hubungan antara dan... 8 Gambar 3.4 Hubungan antara dan Gambar 4. Busur Meridian dan Busur Nrmal Utama Gambar 4. Irisan Nrmal AB Gambar 4.3 Panjang Busur Meridian Gambar 4.4 Keliling Elipsid sepanjang Meridian Gambar 4.5 Busur Paralel Gambar 4.6 Luas Bidang di Permukaan Elipsid Gambar 4.7 Irisan Nrmal dan Garis Gedesik Gambar 4.8 Knvergensi Meridian Gambar 4.9 Ekses Sferis Gambar 5. Sistem Krdinat Kutub dan Kartesian Gambar 5. SPG Gambar 5.3 SPG Gambar 5.4 Metde Sldner Gambar 5.5 Metde Legendre Gambar 5.6 Metde Gausz

6 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.. Berbagai Jenis Elipsid di Dunia Tabel 3.. Parameter Utama Elipsid yang digunakan di Indnesia... 7 Tabel 5. Penentuan Azimut Berdasarkan Kuadran... 50

7 BAB I PENDAHULUAN Tujuan Instruksinal Khusus: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang sejarah dan teknik sederhana penentuan dimensi bumi.4 Sejarah Penentuan Dimensi Bumi Gedesi adalah cabang ilmu matematika terapan, yang melalui pengukuran di permukaan bumi, bertujuan menentukan (a) bentuk dan ukuran bumi, (b) psisi atau krdinat suatu titik, (c) panjang dan arah garis, dan (d) mempelajari medan gravitasi bumi. Penentuan bentuk dan ukuran bumi ini dilakukan leh manusia dari zaman ke zaman. Manusia berkepentingan dengan ketepatan dimensi bumi. Dalam pandangan kun, bumi ini dianggap bidang datar yang berbentuk seperti sebuah piringan dan menjadi pusat dari seluruh alam semesta. Pythagras (495 SM) adalah rang pertama yang menyatakan bahwa bumi ini bukanlah pipih namun bulat seperti bla, yang kemudian didukung leh Aristteles (340 SM) dan Archimedes (50 SM). Namun pernyataan itu belum didasari penelitian dan pengukuran atas dimensi bumi melainkan hanya didasarkan pada fakta a.l, pada waktu terjadi gerhana bulan, bayangan bumi berbentuk lingkaran, dan pada waktu meninggalkan pantai, kapal berangsur-angsur menghilang selah-lah tenggelam ke bawah garis hrisn. Berdasarkan keyakinan bahwa bumi itu bulat, kemudian Eraststhenes (50 SM) melakukan percbaan berdasarkan rumus matematika sederhana untuk menentukan keliling bumi dengan cara sbb.: (lihat gambar.): Sinar matahari Tepat di atas Sudut A = 7, Tngkat Bayangan Tngkat Alexandria 5000 stadia Syene Sumur Gambar. Pengukuran Eraststhenes Mula-mula Eraststhenes mendirikan tngkat di Alexandria dan membuat sumur di Syene. Jarak antara ke dua lkasi itu 5000 stadia ( stadia = 85 meter). Ketika matahari tepat di atas sumur di Syene, diukurlah panjang bayangan tngkat. Dari harga tinggi

8 tngkat dan panjang bayangan diperleh sudut = 7,. Karena sinar matahari yang jatuh ke bumi dianggap sejajar, maka besar sudut ini sama dengan besar sudut di pusat A. Alexandria Sudut A = 7. A R S Syene Keliling Bumi sudut A = 7. A R S Gambar. Perhitungan Keliling Bumi Berdasarkan data tersebut, Eraststhenes menghitung keliling bumi sbb: Keliling S Bumi (.) Sudut A 360 Keliling Bumi = 7, x 5000 stadia stadia km Hasil perhitungan tersebut 6% lebih besar dari hasil ukuran masa kini, yaitu sekitar km. Namun, kemampuan ilmuwan pada masa itu memperleh angka hasil seperti itu, sungguhlah sangat mengagumkan. Namun, apabila para ilmuwan sebelumnya menganggap bumi itu berbentuk bulat seperti bla, ternyata ilmuwan terkemuka Huygens dan Newtn berpendapat lain. Mereka menyatakan bahwa bumi ini sebetulnya tidaklah benar-benar bulat seperti bla melainkan berbentuk agak lnjng seperti jeruk range. Pendapat itu diperkuat leh hasil pengukuran busur meridian leh para ahli dari Lembaga Pengetahuan Perancis yang menyimpulkan bahwa bumi berbentuk elips putar (elipsid) dengan sumbu minr sebagai sumbu putar (gambar.3). KU Busur Meridian BUMI Sumbu Minr sebagai sumbu putar Bentuk elips diputar KS Gambar.3 Bentuk Bumi seperti Elips Putar

9 Teknik pengukuran untuk menentukan dimensi bumi tersebut dilakukan berdasarkan kmbinasi pengukuran astrnmi dan pengukuran triangulasi. Pengukuran astrnmi adalah pengukuran untuk mendapatkan psisi di bumi berdasarkan pengamatan benda langit (umumnya benda langit yang digunakan adalah bintang). Teknik triangulasi adalah teknik pengukuran di permukaan bumi dengan menggunakan jaring-jaring segitiga untuk mendapatkan krdinat titik-titik sudut. Dalam pengukuran triangulasi ini diukur seluruh sudut setiap segitiga. Pengukuran jarak hanya dilakukan pada garis basis, umumnya pada awal dan akhir jaringan (lihat gambar.4, garis basis adalah PO dan RS). Garis basis adalah garis di daerah relatif datar yang diukur jaraknya dengan sangat teliti. Melalui pengukuran sudut dan jarak ini dikmbinasikan dengan pengukuran secara astrnmis dapatlah ditentukan krdinat titik-titik sudut jaring-jaring tersebut. Titik-titik sudut triangulasi umumnya adalah tugu-tugu yang dipasang di puncak gunung atau bukit. Pengukuran sudut lebih diutamakan pada masa itu sebab alat pengukur sudut tedlit yang digunakan telah mampu mengamat sudut arah yang relatif jauh (mampu berjarak berkil-kilmeter), sedangkan alat pengukur jarak saat itu masih sederhana sehingga sulit mengukur jarak jauh secara langsung. F J B D H P S Q A R C E G Gambar.4 Teknik Pengukuran Triangulasi I K Teknik triangulasi pertama kali diperkenalkan leh Schnellius pada tahun 65 untuk mencari panjang busur meridian. Teknik ini dikerjakan di Belanda pada sekitar lintang rata-rata 5 utara ekuatr. Dari hasil pengukuran tersebut diperleh bahwa panjang busur meridian = 07,7 km. Tahun 669, Picard mendapat busur meridian =, km dari pengukuran triangulasi di Perancis pada lintang rata-rata 48 utara. Tahun 736, Maupertius, Clairaut, dan Celcius mendapat busur meridian =,949 km dari pengukuran triangulasi di Lapland pada lintang rata-rata 66 utara. Tahun 735, Buger dan Gdin Lacndamina mendapat busur meridian = 0,6 km dari pengukuran triangulasi di Peru pada lintang rata-rata 0. Di samping hasil-hasil tersebut, banyak para ahli lainnya tercatat dalam sejarah penentuan bentuk dan ukuran bumi.

10 .5 Bidang Referensi Bumi Dalam pengukuran dan pemetaan permukaan bumi diperlukan suatu bidang referensi (disebut juga bidang datum atau bidang acuan) yang akan dijadikan sebagai landasan atau dasar dalam perhitungan dan penempatan psisi titik. Bidang acuan tersebut ada 3 (tiga) macam, yang pemilihannya tergantung luas wilayah pemetaan dan tingkat ketelitian peta yang diinginkan, Ketiga bidang acuan itu adalah bidang datar, bidang bla, dan bidang elipsid. Untuk keperluan praktis, pemetaan daerah dengan ukuran jarak maksimum kurang dari 55 km, dimana bumi masih dapat dianggap datar, maka dapat digunakan bidang acuan bidang datar, sedangkan untuk ukuran jarak antara 55 km sampai dengan 00 km, dimana kelengkungan bumi sudah mulai berpengaruh namun tidak terlalu besar, maka dapat digunakan bidang bla. Untuk pemetaan dalam sistem yang mencakup wilayah lebih luas dengan jarak minimum lebih besar daripada 00 km, dimana kelengkungan bumi sudah sangat berpengaruh, maka bidang acuan harus menggunakan bidang referensi elipsid. Teknlgi penentuan psisi menggunakan GPS (Glbal Psitining System), yang sistem krdinatnya berlaku secara glbal, menggunakan bidang referensi elipsid. Pengikatan titik antar pulau, penentuan batas antar negara, penentuan arah dari suatu titik ke titik lain yang berjarak ribuan kilmeter, memerlukan bidang referensi berbentuk elipsid. Oleh karena itu, ilmu tentang hitung pryeksi gedesi yang mempelajari tentang bidang referensi bumi, perhitungan psisi di atas permukaan elipsid, dan tentang pryeksi peta harus dipahami dan dikuasai leh para ahli dan praktisi di bidang survey dan pemetaan. Dalam buku ini hanya dibahas mengenai bidang referensi bumi dan penentuan psisi di atas bidang referensi elipsid bumi.

11 .6 Evaluasi. Jelaskan bagaimana teknik Erastthenes menentukan panjang keliling bumi.. Bagaimana cara Archimedes menunjukkan bahwa bumi itu bulat seperti bla? 3. Jika bumi dianggap sebagai bla dan diketahui besaran sebagai berikut: C O 4. Seandainya anda diminta menentukan panjang jari-jari bumi, dimana bumi dianggap berbentuk bla, jelaskan langkah-langkah yang akan anda lakukan (bahan diskusi). 5. Dalam pengukuran permukaan bumi diperlukan bidang referensi. Jelaskan kegunaan bidang referensi. 6. Sebutkan 3 jenis bidang referensi bumi. Jelaskan perbedaan masing-masing. 7. Kapankah pemakaian ke 3 jenis bidang referensi tersebut? Jelaskan jawaban anda. 8. Apakah kepanjangan dari GPS? Untuk apakah teknlgi GPS itu? Mengapa teknlgi ini memerlukan bidang acuan elipsid? 9. Apakah yang dimaksud pengukuran astrnmi? Dapatkah pengukuran psisi benda langit digunakan untuk menentukan psisi di bumi? 0. Salah satu teknlgi pengukuran bumi adalah dengan metde triangulasi. Jelaskan secara singkat metde pengukuran ini.. Dari beberapa pengukuran triangulasi untuk menentukan panjang busur meridian, berapa kilmeterkah kira-kira panjang busur meridian? Menurut anda, samakah panjang busur meridian di dekat katulistiwa dan di dekat kutub?. Mengapa teknik pengukuran triangulasi dulu sangat ppuler? Dan, mengapa kini tidak lagi ppuler, bahkan cenderung ditinggalkan? 3. Apakah manfaatnya seserang yang berprfesi di bidang survey dan pemetaan mempelajari Hitung Pryeksi Gedesi? A 4. Menurut anda, perlukah penentuan bidang referensi bumi dilakukan dalam perancangan sistem infrmasi gegrafis? B Jarak busur kecil AB = kilmeter Sudut = O adalah pusat bla bumi Hitunglah: a. Keliling lingkaran bumi ABCA b. Jari-jari bla bumi c. Jarak busur kecil BC d. Sudut kecil BOC

12 BAB II BIDANG REFERENSI BOLA BUMI Tujuan Instruksinal Khusus: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang beberapa istilah gegrafis dalam bidang bla bumi, menghitung selisih lintang dan bujur, menentukan panjang jari-jari lingkaran paralel, dan menghitung jarak lengkung di bidang bla bumi.4 Pengantar Bidang referensi bumi adalah bidang beraturan yang digunakan sebagai landasan atau dasar dalam penentuan psisi titik di atas atau dekat permukaan bumi menurut perhitungan-perhitungan matematis. Bidang acuan tersebut ada 3 (tiga) macam, yaitu bidang datar, bidang bla, dan bidang elipsid. Penggunaan bidang datar sebagai acuan dalam penentuan psisi telah dibahas secara mendetail dalam mata kuliah Ilmu Ukur Tanah. Pada bab II ini materi pembahasan adalah mengenai bidang referensi bla..5 Bidang Bla Untuk daerah dengan luasan kecil, yaitu 55 x 55 km persegi sampai dengan 00 x 00 km persegi, atau untuk keperluan yang tidak mensyaratkan akurasi tinggi, bumi dapat dianggap sebagai bla dengan jari-jari R = meter. Bla adalah benda putar yang diperleh dari perputaran bidang lingkaran dengan sumbu putar pada garis diameternya. Sumbu putar bla bumi adalah garis yang menghubungkan titik kutub utara dan kutub selatan. Kta Greenwich Kutub Utara (KU) P Lingkaran Paralel/ Lintang φ λ Sumbu putar Kutub Selatan (KS) Gambar. Bla Bumi Bidang Ekuatr Lingkaran Meridian/ Bujur Beberapa istilah yang perlu dipahami mengenai sistem bla bumi adalah: a. Bidang ekuatr atau bidang katulistiwa adalah bidang yang melalui pusat bumi dan tegak lurus sumbu yang melalui kutub utara dan selatan. Perptngan bidang ekuatr dengan bla bumi disebut garis ekuatr atau garis katulistiwa.

13 b. Bidang paralel adalah bidang yang sejajar dengan bidang ekuatr, baik di sebelah utara ataupun selatan ekuatr. Perptngan bidang paralel dengan bla bumi disebut lingkaran paralel atau garis paralel. c. Lintang suatu titik adalah besar sudut yang diukur dari bidang ekuatr sampai ke garis yang menghubungkan titik pusat bumi dan titik tersebut. Bila terletak di sebelah utara ekuatr disebut lintang utara dan bila di selatan ekuatr disebut lintang selatan. Besar sudut lintang berkisar dari 0 (bidang ekuatr) sampai dengan 90 (kutub). Lintang utara diberi tanda psitip (lebih sering tidak bertanda), lintang selatan diberi tanda negatip. Bahasa Inggrisnya lintang adalah latitude. Umumnya lintang diberi simbl φ. Titik-titik yang terletak pada lingkaran paralel sama akan mempunyai lintang sama. Kutub Utara Lingkaran Paralel P Pusat Bumi φ P Lintang P Bidang Ekuatr Kutub Selatan Gambar. Sudut Lintang P d. Bidang meridian adalah bidang besar yang melalui kutub utara dan kutub selatan dan tegak lurus bidang ekuatr. Perptngan bidang meridian dengan bla bumi disebut lingkaran meridian atau garis meridian. e. Bujur suatu titik adalah besar sudut pada bidang ekuatr yang diukur dari bidang meridian nl (bidang meridian yang melalui Greenwich) sampai ke bidang meridian yang melalui titik tersebut, yang jika arahnya ke timur disebut bujur timur / BT dan jika arahnya ke barat disebut bujur barat / BB. Telah disepakati secara internasinal bahwa meridian yang melalui Greenwich, kta di dekat Lndn Inggris, mempunyai harga bujur sama dengan 0 (nl derajat). Besar bujur berkisar dari 0 sampai dengan 80. Bahasa Inggrisnya bujur adalah lngitude. Umumnya bujur diberi simbl λ. λ = 0 Greenwich Arah ke barat Arah ke timur 35 0 λ KU P p = 0 BB Q λ q = 35 BT λ = 80 Gambar.3 Penentuan Bujur/Meridian

14 Dalam sistem krdinat gegrafis, psisi suatu titik di bumi dinyatakan dengan besarnya harga lintang φ dan bujur λ. Satuan lintang dan bujur adalah derajat, menit dan detik..5. Menentukan Selisih Lintang (Δφ) Selisih lintang (Δφ) antara titik pada bla bumi dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut: a. Jika kedua titik bersama-sama berada di sebelah utara atau keduanya di selatan: Selisih lintang (Δφ) = φ φ..... (.) b. Jika satu titik berada di utara dan titik lainnya di selatan: Selisih lintang (Δφ) = φ + φ (.) Catatan: perhitungan di atas tidak memperhatikan tanda minus untuk lintang selatan.5. Menentukan Selisih Bujur (Δλ) Selisih bujur (Δλ) antara titik pada bla bumi dihitung berdasarkan ketentuan sebagai berikut: a. Jika kedua titik bersama-sama berada di sebelah barat atau keduanya di timur: Selisih bujur (Δλ) = λ λ. (.3) b. Jika satu titik berada di timur dan titik lainnya di barat: Selisih bujur ( ) 360 ( ) ; untuk ; untuk (.4) Cnth sal.: Tentukan selisih lintang dan bujur A dan B berikut ini: a. A ( LU, BB) dan B ( LU, BT) b. P (9 7 6 LS, BB) dan Q ( LU, BT) c. K (0 49 LU, BB) dan L (4 0 3 LS, BB) Jawab: a. Karena titik A dan B keduanya berada di sebelah utara, berdasarkan pers (.) diperleh Δφ = = Karena titik A di sebelah barat dan B di timur, maka berdasarkan pers (.4) diperleh Δλ = = Ket: karena Δλ 80 maka Δλ = =

15 b. Titik P di sebelah selatan dan Q di utara, maka berdasarkan pers (.) diperleh Δφ = = Titik P di sebelah barat dan Q di timur, maka berdasarkan pers (.4) diperleh Δλ = = Namun karena Δλ >80 0 maka berlaku Δλ = 360 (λ + λ ) = c. Titik K di sebelah utara dan L di selatan, maka berdasarkan pers (.) diperleh Δφ = = Titik K dan L keduanya terletak di sebelah barat, maka berdasarkan pers (.3) diperleh Δλ = = Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Paralel Panjang jari-jari lingkaran paralel tidak selalu tetap, namun berubah berkaitan dengan besarnya lintang. Semakin besar harga lintang semakin kecil jari-jari lingkaran paralelnya. Untuk lintang 90, yaitu di titik kutub, jari-jarinya lingkaran paralelnya = nl, artinya lingkarannya berupa titik. Sedangkan, untuk lintang 0, yaitu lingkaran pada bidang katulistiwa, jari-jarinya sama dengan jari-jari bla bumi = R. Jadi, panjang jari-jari lingkaran paralel tergantung pada besarnya lintang. Seringkali diperlukan infrmasi atas hasil perhitungan panjang jari-jari lingkaran paralel pada suatu lintang tertentu. Lingkaran Paralel P O U φ R P T Jari-jari Lingkaran Paralel melalui P Jari-jari Bumi Sudut lintang P P P R O T S Gambar.4 Jari-jari Lingkaran Paralel Dari gambar.4 terlihat bahwa, φ = sudut lintang titik P, OP = R = jari-jari bla, PP = jari-jari lingkaran paralel melalui titik P. Dari segitiga OPP yang siku di P, dimana sudut OPP = φ, panjang OP = R, maka panjang jari-jari lingkaran paralel PP adalah: PP = R cs φ (.5) Rumus ini berlaku baik untuk lingkaran paralel di sebelah utara maupun lingkaran paralel di sebelah selatan.

16 Cnth sal.: Jika jari-jari bumi = meter, tentukan panjang jari-jari lingkaran paralel di titik M yang mempunyai lintang = U. Jawab: Panjang jari-jari lingkaran paralel di M = R cs φ = x cs (35 47 ) = ,89 meter.5.4 Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Paralel Terkadang diperlukan infrmasi mengenai jarak antara dua titik P dan Q yang terletak pada lintang yang sama, atau disebut juga terletak sepanjang lingkaran paralel yang sama. Yang dimaksud jarak antara dua titik sepanjang lingkaran paralel adalah panjang busur terpendek dari kedua titik tersebut. U Δλ Q O φ P Lingkaran paralel O S Gambar.5 Jarak PQ sepanjang lingkaran paralel Berdasarkan gambar.5 dapat dijabarkan persamaan: Jari-jari lingkaran paralel O P = O Q = R cs φ Panjang busur keliling lingkaran PQ paralel besar sudut 360 Panjang busur PQ R cs 360 Panjang busur PQ 360 x R cs (.6) Cnth sal.3 : Suatu kta A terletak pada kira-kira 9 S, 8 T, dan kta B pada kira-kira 9 S, 4 T. Hitung panjang busur antara kedua kta itu jika R bumi = meter. Jawab: Panjang busur paralel PQ = x R cs = x x cs ( 9 ) 360 = ,0 meter.

17 .5.5 Menentukan Jarak Dua Titik Sepanjang Lingkaran Meridian Jika titik P dan Q terletak pada lingkaran meridian atau bujur yang sama maka dapat ditentukan jarak PQ sepanjang meridian tersebut. Yang dimaksud jarak antara dua titik sepanjang lingkaran meridian adalah panjang busur terpendek dari kedua titik tersebut. U φ P R P Q φ q S Gambar.6 Jarak PQ sepanjang lingkaran meridian Untuk bla bumi, bidang meridian merupakan lingkaran dengan jari-jari = jari-jari bumi = R. Besar jari-jari R ini tidak tergantung pada psisi bujur. Karena itu panjang busur PQ dapat dihitung dengan persamaan: Panjang busur meridian PQ x R... (.7) 360 dimana = selisih lintang Cnth sal.4 : Hitung panjang busur P (φ = U) dan Q (φ = 34 9 S). Keduanya terletak bujur Diketahui R bumi = 6.370,3 km. Jawab: Selisih lintang Δφ = = Panjang busur meridian PQ 360 x R = ,00 m

18 .6 Evaluasi. Untuk pemetaan daerah seluas.000 hektar, bidang referensi apakah yang anda pilih, bidang datar, bidang bla, atau bidang elipsid? Beri penjelasan singkat.. Apakah yang dimaksudkan dengan garis ekuatr atau katulistiwa? Berapa derajat lintang garis ekuatr? Benarkah bahwa garis ekuatr adalah pryeksi gerakan matahari mengelilingi bumi? Benarkah sumbu kutub utara-selatan tegak lurus bidang ekuatr? Jika jari-jari bla bumi = meter, berapakah jari-jari lingkaran ekuatr? 3. Apakah yang dimaksud dengan lingkaran paralel? Berapa derajat sudut antara lingkaran paralel/lintang dan sumbu kutub utara-selatan? Benarkah jari-jari lingkaran paralel selalu tetap walaupun sudut lintangnya berubah? Benarkah lintang titik kutub adalah 90? Jika benar, berapakah jari-jari lingkaran paralelnya? Bagaimana membedakan lintang utara dan selatan? Berapakah lintang Indnesia? Berapakah batas terbesar dan terkecil sudut lintang? Apakah istilah lintang dalam bahasa Inggris? 4. Apakah yang dimaksud lingkaran meridian? Benarkah bahwa jari-jari lingkaran meridian selalu berubah sesuai dengan perubahan sudut bujurnya? Berapakah sudut meridian Greenwich? Apakah yang dimaksud bujur timur dan bujur barat? Berapakah batas terbesar dan terkecil sudut bujur? Berapakah letak bujur Indnesia? Apakah istilah bujur dalam bahasa Inggris? Adakah keterkaitan antara perbedaan bujur dengan perbedaan waktu? 5. Jika keliling garis katulistiwa = kilmeter berapakah jarak antara titik di katulistiwa yang beda bujurnya = 5? 6. Jika titik P mempunyai psisi lintang φ = 5 34 LU dan λ = 4 34 BB, sedangkan titik Q mempunyai selisih lintang Δφ = pada arah selatan dan selisih bujur Δλ = pada arah barat, tentukan psisi lintang dan bujur titik Q. 7. Pada lintang berapakah jari-jari lingkaran paralelnya = 0 km? Diketahui jari-jari bumi = meter. 8. Suatu kta P terletak pada U, 4 T, dan kta Q terletak di sebelah baratnya pada lintang yang sama. Tentukan bujur Q jika jarak busur antara kedua kta tersebut = km dan R bumi = meter. 9. Jika kta K dan L terletak sepanjang garis meridian yang sama dan jarak busur antara keduanya = km, tentukan selisih lintang keduanya. 0. Mengapa dalam perhitungan jarak lengkung antara titik pada meridian yang sama tidak memperhitungkan psisi bujurnya?

19 BAB III BIDANG REFERENSI ELIPSOID BUMI Tujuan Instruksinal: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian tentang (a) bidang referensi bumi, meliputi bidang geid dan bidang elipsid bumi, (b) sistem krdinat gegrafis, gedetis, dan rtgnal (kartesian), dan (c) hubungan matematis antara sistem krdinat, 3.0. Pengantar Seperti dijelaskan di muka bahwa bidang referensi yang paling mendekati bentuk bumi adalah bidang elipsid. Namun untuk keperluan pengukuran bumi dikenal juga suatu bidang lain yang disebut bidang Geid. 3.. Bidang Geid Salah satu tugas ilmu gedesi adalah menentukan krdinat titik, jarak dan azimut garis di muka bumi untuk keperluan praktis maupun ilmiah. Namun, karena bentuk permukaan bumi sangat tidak beraturan, yaitu adanya gunung, dataran, lembah, bahkan palung laut, diperlukan suatu bidang acuan untuk perhitungan dalam penentuan psisi. Untuk keperluan praktis, misalnya untuk pengukuran sipil, dapat digunakan suatu bidang yang disebut bidang Geid yang mengacu pada tinggi permukaan laut rata-rata (MSL = Mean Sea Level). Bidang Geid ini terpakai untuk keperluan praktis karena ada anggapan, walaupun ternyata keliru, bahwa permukaan air laut dimana-mana mempunyai ketinggian sama. Pada kenyataannya, tinggi muka laut rata-rata Laut Jawa berbeda dengan tinggi muka laut rata-rata Samudera Hindia, dimana tinggi muka Laut Jawa lebih tinggi daripada Samudera Hindia. gunung Bidang Geid muka laut rata-rata Arah gravitasi palung laut Gambar 3. Bidang Geid Bidang geid adalah bidang niv pada ketinggian muka laut tenang rata-rata. Bidang niv adalah bidang yang tegak lurus arah gravitasi bumi. Dengan demikian, bidang geid ini tegak lurus arah gravitasi bumi. Namun, karena arah gravitasi terpengaruh leh distribusi massa bumi sedangkan distribusi tersebut tidak merata maka arah gravitasi menjadi tidak beraturan dan tidak mengarah ke pusat bumi sehingga dengan demikian bidang geid pun menjadi tidak beraturan. Di samping itu, sebagaimana telah dijelaskan

20 di muka, tinggi muka laut di berbagai tempat tidak selalu sama, maka pemakaian bidang geid sebagai acuan perhitungan psisi gedetis teliti menjadi kurang tepat. Untuk itu, diperlukan suatu bidang beraturan yang memenuhi kaidah matematika sebagai bidang acuan. Bidang itu adalah bidang elipsid. 3.. Bidang Elipsid Berdasarkan pengukuran teliti leh para pakar bidang kebumian, bentuk bumi lebih menyerupai bentuk elipsid daripada bla. Oleh karena itu untuk pemetaan daerah yang sangat luas, 00 km, atau pengukuran dan perhitungan gedetis dengan ketelitian tinggi digunakanlah bidang acuan elipsid. Bidang elipsid adalah bidang elips yang diputar pada sumbu minrnya. Dimensi (ukuran) bidang elipsid ini tidak ditetapkan sebarang namun dengan perhitunganperhitungan yang sangat teliti. Agar dapat mewakili bentuk bumi, elipsid yang dijadikan bidang acuan bumi harus mempunyai kriteria sebagai berikut: () dimensi bidang elipsid mendekati dimensi bumi sebenarnya (3) rientasi bidang elipsid searah dengan bumi, artinya sumbu pendek (minr) elipsid berimpit dengan sumbu putar bumi (4) simpangan antara bidang elipsid dan bidang geid di semua titik harus minimum (sekecil mungkin), agar bidang elipsid hampir berimpit dengan bidang geid. (5) pusat elipsid harus berimpit pusat bumi, dan bidang ekuatr elipsid harus berimpit bidang ekuatr bumi (6) vlume elipsid sama dengan vlume geid (7) jumlah kuadrat beda tinggi (undulasi N) antara elipsid dan geid harus minimum. N Muka laut rata-rata Permukaan Bumi Bidang Geid Bidang Elipsid Gambar 3. Permukaan bumi dan bidang acuan Bidang elipsid pada umumnya tidak berimpit dengan bidang geid. Terkadang bidang elipsid berada di bawah bidang geid, dan demikian pula sebaliknya. Selisih tinggi antara bidang elipsid dan bidang geid disebut Undulasi (N). Besarnya harga undulasi di setiap titik berbeda. Pengukuran besaran undulasi melibatkan ilmu gedesi fisis (physical gedesy).

21 3.3. Parameter Elips dan Parameter Utama Elipsid Karena bidang elipsid adalah bangun elips yang diputar pada sumbu minrnya, maka perlu dipelajari lebih dahulu parameter suatu elips. Elips adalah tempat kedudukan titik sedemikian rupa sehingga jumlah jarak titik-titik tersebut terhadap dua titik tertentu (fkus) selalu knstan. a. Parameter elips secara umum adalah: C P Sumbu minr Sumbu mayr A F O F B D Gambar 3.3 Parameter Elips F dan F, dinamakan titik fkus elips. F P + F P = knstan untuk setiap kedudukan titik P sepanjang garis elips. Garis yang melalui kedua fkus, yaitu garis AB, disebut sumbu mayr (sumbu panjang). Garis yang melalui titik tengah fkus dan tegak lurus sumbu mayr, yaitu garis CD, disebut sumbu minr (sumbu pendek). Titik ptng kedua sumbu, yaitu titik O, disebut pusat elips. Titik ptng elips dengan kedua sumbu, yaitu titik A, B, C, dan D, disebut puncak elips b. Parameter utama elipsid bumi yang digunakan untuk perhitungan gedetis adalah: Setengah sumbu minr Pusat Bumi = Pusat Elipsid b O Kutub Utara a Kutub Selatan Setengah sumbu mayr Permukaan Elipsid Gambar 3.4 Bidang Elipsid Bumi

22 setengah sumbu mayr = a setengah sumbu minr = b eksentrisitas kesatu meridian elips (e), dimana: e a - b b - ( )... (3.) a a eksentrisitas kedua meridian elips (e ), dimana: e' a - b a ( ) -... (3.) b b pemepatan/penggepengan (f), dimana: a - b f.. (3.3) a angka knstanta (c), dimana a c... (3.4) b Besaran a, b, e, e, dan f disebut parameter utama elipsid. Tiap-tiap negara mempunyai bidang elipsid sendiri yang sesuai untuk keperluan wilayah masing-masing. Berbagai jenis elipsid di dunia tercantum dalam tabel 3.. Elipsid yang digunakan di Indnesia tercantum pada tabel 3.. Tabel 3.. Berbagai Jenis Elipsid di Dunia Nama Elipsid (tahun) a (meter) /f Negara Pemakai Everest (830) , ,807 India dan Malaysia Bessel (84) ,55 99,588 Indnesia, Jepang, Krea Clarke (878) ,5 Australia, P cis, Afrika Hayfrd (909) ,00 Amerika dan Kanada Krasswsky (948) ,30 Rusia Indnesian ,47 Indnesia *) Wrld Gedetic Datum 984 (WGS-84) Datum Gedesi Nasinal 995 (DGN-95) ,0 98, Datum Gedetik Dunia ,0 98, Indnesia **) (menggunakan WGS-84) *) tidak berlaku lagi, sudah diganti dengan DGN-95 **) S.K. Ketua Baksurtanal N. HK.0.04/II/KA/96, Pebruari 996 tentang DGN-95 Catatan: Bila pekerjaan gedesi dilakukan dalam wilayah berukuran 00 x 00 km, elipsid dianggap sebagai permukaan bla, sedangkan jika tidak lebih dari 55 x 55 km, dianggap bidang datar.

23 Tabel 3.. Parameter Utama Elipsid di Indnesia Elipsid Bessel (84) *) Elipsid WGS-84 Parameter Harga Parameter Harga (m) a m a m b m b ,34 m e 0, e 0, e 0, e f 0, f 0, c m c ,66m *) Elipsid Bessel ini sudah tidak digunakan lagi Cnth sal 3. : Dari tabel 3. di atas, diketahui bahwa untuk elipsid Clarke 878, a = meter dan /f = 93,5. Hitunglah parameter lainnya, yaitu b, e, e, f dan c. Jawab: a. Mula-mula hitung f = /93,5 = 0,0034 b. Pers. (3.3) dapat diubah menjadi b = a(-f), sehingga b = ,54 meter c. Hitung e dengan pers. (3.) e a - b = 0, a d. Hitung e dengan pers. (3.) e. Hitung c dengan pers. (3.4) e' a - b = 0, b a c = ,93 b

24 3.4. Evaluasi. Apakah yang dimaksud dengan bidang geid dan elipsid? Mengapa bidang geid tidak beraturan bentuknya sedangkan bidang elipsid beraturan?. Bidang acuan apakah yang dipergunakan dalam pemetaan daerah seluas lebih dari 0 juta hektar, apakah bidang datar, bla, atau elipsid? Jelaskan alasan anda? 3. Hasil pengukuran tinggi di lapangan yang mengacu pada titik peil (titik tinggi di pantai yang diukur berdasarkan tinggi muka laut rata-rata) mengacu pada bidang geid atau elipsid? Jelaskan alasan anda. 4. Apakah akibatnya jika rientasi bidang elipsid tidak searah dengan rientasi bumi? 5. Dalam bidang elipsid bumi, manakah yang paling panjang, jari-jari lingkaran ekuatr, sumbu mayr, atau sumbu minr? 6. Dalam bidang elipsid bumi, manakah yang berbentuk lingkaran: bidang meridian, bidang ekuatr, atau bidang paralel? Jika tidak berbentuk lingkaran, berbentuk apakah bidang tersebut? 7. Mengapa bidang elipsid harus dibuat sedekat mungkin dengan bidang geid? 8. Mengapa terdapat berbagai bidang elipsid dengan berbagai dimensinya? Bidang elipsid manakah yang saat ini digunakan sebagai bidang acuan internasinal? 9. Pengukuran dengan alat GPS (Glbal Psitining System) harus mengacu pada suatu sistem krdinat internasinal. Mengapa demikian? 0. Apakah undulasi N itu? Untuk apakah data undulasi tersebut?. Apakah beda elips dan elipsid? Sebutkan parameter elips secara umum dan parameter utama elipsid.. Elipsid apakah yang digunakan di Indnesia? Mengapa ada jenis elipsid di Indnesia? 3. Hitung parameter b, e, e, f dan c untuk elipsid Hayfrd jika diketahui a = meter dan /f = 97,00

25 3.5. Sistem Krdinat pada Bidang Elipsid Dalam penentuan psisi secara glbal pada umumnya digunakan sistem utama yaitu: a. Sistem Krdinat Lintang-Bujur, yaitu penentuan psisi titik berdasarkan besaran lintang dan bujur. Lintang dan bujur yang mengacu pada bidang bla bumi disebut lintang dan bujur gegrafis. Lintang dan bujur yang mengacu pada bidang elipsid bumi disebut lintang dan bujur gedetis, sistem krdinat ini dikenal dengan nama Sistem Krdinat Lintang Bujur Gedetis. Berkaitan dengan itu, dikenal pula lintang gesentris dan lintang terreduksi b. Sistem Krdinat Kartesian Ortgnal XYZ, yaitu penentuan psisi titik berdasarkan jarak titik tersebut terhadap titik awal O pada masing-masing sumbu x, y dan z yang saling tegak lurus Sistem Krdinat Lintang-Bujur Gedetis Dalam sistem krdinat ini, psisi suatu titik, misal titik P, ditentukan berdasarkan besar sudut lintang gedetis () dan sudut bujur (), yang dinyatakan dengan P (, ). Greenwich Dalam mempelajari sistem krdinat ini, ada beberapa hal yang harus diperhatikan, a.l.: Karena bumi berbentuk elipsid, garis nrmal terhadap bidang meridian yang melalui titik P tidak memtng pusat elipsid O, kecuali jika P terletak tepat di ekuatr ( = 0 ) atau di kutub ( = 90 ), namun memtng sumbu minr di titik N. Garis nrmal adalah garis yang tegak lurus suatu bidang. Jika bidang acuan adalah bidang bla, maka garis nrmal dari titik P pasti akan memtng pusat bla. Q Ekuatr Meridian Nl Meridian atau bujur nl adalah meridian atau bujur yang melalui Greenwich. Sudut antara meridian nl dan meridian P disebut bujur gedetis () P. Bujur di sebelah timur meridian nl disebut bujur timur, dan di sebelah barat disebut bujur barat. Besarnya sudut bujur adalah dari 0 sampai dengan 80. O N KU KS P R Meridian P Gambar 3.5 Sistem Krdinat Lintang-Bujur Gedetis

26 Sudut antara garis nrmal yang melalui P, yaitu garis PN, dan bidang ekuatr disebut lintang gedetis () P. Lintang di sebelah utara ekuatr disebut lintang utara dan bernilai psitip, sedangkan di sebelah selatan ekuatr disebut lintang selatan dan bernilai negatip. Besarnya sudut lintang adalah dari 0 sampai dengan 90. Lintang Gesentris Sudut lintang gesentris () titik P adalah sudut yang terbentuk leh garis yang melalui P ke pusat elips dan bidang ekuatr. Jadi ada perbedaan dalam lintang gesentris dan lintang gedetis, sebab pada lintang gesentris, garis dari titik P bukan merupakan garis nrmal, namun garis yang mengarah ke pusat elipsid. Lintang gesentris dapat diknversi ke lintang gedetis, dan sebaliknya. a b O U P Lintang gesentris S Gambar 3.6. Lintang Gesentris Lintang Terreduksi Dalam penentuan lintang terreduksi, ada dua bidang referensi yang digunakan yaitu bidang elipsid dan bidang bla. Pusat bla dan elipsid berimpit, sedangkan panjang jari-jari bla R sama dengan panjang semi mayr elipsid a. Jika harga z titik P diperpanjang sehingga memtng lingkaran maka akan diperleh titik P. Sudut yang terbentuk dari garis P O dan OR disebut lintang terreduksi (). Bidang lingkaran Bidang elips Q a KU b O P z P R Lintang Terreduksi KS Gambar 3.7 Lintang Terreduksi

27 3.5.. Sistem Krdinat Kartesian Ortgnal XYZ Sistem Kartesian XYZ berpusat di O, dengan sumbu X adalah garis yang melalui perptngan bidang meridian nl dan bidang ekuatr. Meridian nl adalah bidang meridian yang melalui kta Greenwich. Sumbu X psitip terletak pada bagian yang mengarah ke Greenwich. Sumbu Y terletak pada bidang ekuatr dan tegak lurus sumbu X, dengan Y psitip berada pada sebelah kiri sumbu X bila dipandang dari sisi Kutub Utara. Sumbu Z adalah sumbu yang melalui kutub, berimpit dengan sumbu minr elipsid bumi, dimana Z psitip pada arah ke Kutub Utara. KU Sumbu Z Meridian Nl Greenwich Ekuatr O P Sumbu Y Sumbu X KS Gambar 3.8 Sistem Krdinat Ortgnal XYZ untuk bidang Elipsid Apabila gambar 3.8 dilihat dari arah Kutub Utara atau dipryeksikan dengan KU (kutub Utara) sebagai pusat sumbu maka diperleh gambar 3.9 berikut ini: X negatip Kuadran IV KU Kuadran III Y psitip Kuadran I Greenwich Kuadran II Y negatip Garis Katulistiwa X psitip Gambar 3.9 Pryeksi Sistem Krdinat XYZ Sistem krdinat rtgnal XYZ untuk bidang elipsid ini seringkali disalah-tafsirkan sama dengan sistem krdinat XYZ untuk bidang datar. Kedua sistem ini mirip, namun sesungguhnya mempunyai perbedaan prinsip yang tidak bleh dicampur-adukkan. Dalam sistem krdinat XYZ untuk bidang datar, sumbu X psitip mengarah ke timur, sumbu Y psitip mengarah ke utara, dan sumbu z menyatakan tinggi atau elevasi terhadap bidang datum, dengan pusat krdinat berada di permukaan bumi (gambar 3.8). Dalam sistem

28 krdinat XYZ untuk bidang elipsid, sumbu X psitip mengarah ke meridian nl, sumbu Y psitip mengarah ke sudut 90 terhadap sumbu X berlawanan arah jarum jam, dan sumbu z mengarah ke kutub utara, dengan pusat krdinat berada di pusat elipsid. Sumbu Z = elevasi Sumbu Y ke arah Utara Sumbu X ke arah Timur Bidang datum datar permukaan bumi Gambar 3.0 Sistem Krdinat Ortgnal XYZ untuk Acuan Bidang Datar

29 3.6. Evaluasi. Apakah perbedaan prinsip antara lintang gegrafis, gedetis, gesentris, dan terreduksi? Untuk mempermudah penjelasan, sebaiknya disertai gambar.. Apakah perbedaan sistem krdinat XYZ pada bidang datar dengan sistem krdinat XYZ pada bidang elipsid. Benarkah jika pusat krdinat XYZ dan sumbu Y kedua sistem tersebut diimpitkan dan sumbu Y psitip keduanya mengarah ke utara maka kedua sistem itu menjadi sama? Jelaskan jawaban anda. 3. Seandainya anda berada di pusat bumi, dimana kutub selatan berada di atas anda dan wajah anda menghadap ke depan ke garis meridian nl. Sistem yang digunakan adalah krdinat XYZ untuk bidang elipsid bumi. Kemanakah arah sumbu x psitip, ke depan atau ke belakang anda? Kemanakah arah sumbu Y psitip, ke kanan atau ke kiri anda? Kemanakah sumbu Z psitip, ke atas atau ke bawah anda? Kutub Selatan Ini anda, di pusat bumi Sumbu Y psitip? Sumbu Y psitip? 4. Apakah yang dimaksudkan dengan garis nrmal? Benarkah bahwa sudut lintang gesentris tidak mengacu pada garis nrmal? Lintang apa sajakah yang sudutnya mengacu pada garis nrmal? 5. Berapakah lintang dan bujur rumah atau tempat ks anda? Carilah data tersebut di peta. Apakah sistem krdinat lintang-bujur tersebut? Gegrafis atau gedetis? Jika anda juga menemui krdinat dalam X dan Y, sistem apakah yang digunakan?

30 3.7. Hubungan Matematis antara Sistem Krdinat Oleh karena kedua sistem krdinat itu, yaitu sistem krdinat lintang-bujur dan XYZ, sering digunakan, maka perlu diketahui hubungan matematis antara keduanya agar perhitungan dalam sistem yang satu dapat diknversikan ke sistem yang lainnya, demikian pula sebaliknya Mengknversi dari Sistem Lintang-Bujur Gedetis ke Sistem Krdinat XYZ Untuk mengknversi sistem krdinat diperlukan hubungan matematis antara kedua sistem tersebut. Karena penjabaran rumus-rumusnya cukup rumit dan panjang maka berikut ini hanya diberikan rumus akhir saja. Rumus perhitungan tersebut tergantung pada parameter yang diketahui dan jenis elipsid yang digunakan. Sumbu Z KU O Ekuatr N Sumbu Y KS Greenwich P (x,y,z) = (,) Sumbu X Gambar 3. Hubungan Sistem Krdinat, dan XYZ a. Diketahui: harga lintang-bujur (,) suatu titik, besaran parameter elipsid a, b, dan e Ditanyakan : Krdinat (x, y, z) titik tersebut Rumus yang digunakan adalah : x a cs cs a cs b sin.... (3.5a) a cs sin y..... (3.6a) a cs b sin z a cs a (- e ) sin b sin..... (3.7a)

31 b. Diketahui: harga lintang-bujur (,) suatu titik, besaran parameter elipsid a dan e Ditanyakan : Krdinat (x, y, z) titik tersebut Rumus yang digunakan adalah : x y z a cs cs e sin - a cs sin e sin - - e a( - e ) sin sin (3.5b)... (3.6b)... (3.7b) Catatan: Jika titik tersebut berada di lintang selatan, dalam perhitungannya harus diberi tanda negatip, misalnya = , LS, menjadi = , Jika titik tersebut berada di bujur barat, dalam perhitungannya harus diubah menjadi 360, misalnya = BB, menjadi = = Cnth sal 3. :. Hitung krdinat xyz titik P ( = , LU; = BT). Elipsid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67 adalah a = m, b = , dan e = 0, A. Menghitung dengan rumus 3.5a, 3.6a, dan 3.7a: Agar lebih memudahkan perhitungan bagi yang belum terbiasa, ada baiknya rumusrumus tersebut dipecah menjadi beberapa rumus perhitungan yang lebih sederhana.. Misalkan A = a cs, didapat A = ,35. Misalkan B = b sin, didapat B = , Hitung C A B = ,59 4. Hitung D a. A cs = -,0496 x Hitung E a. A sin = 3, x Hitung F a ( e ) sin =,95577 x Diperleh D x = ,4 meter C

32 8. Diperleh 9. Diperleh E y = ,88 meter C F z = ,37 meter C B. Menghitung dengan rumus 3.5b, 3.6b, dan 3.7b.. Hitung W = e sin = 0, = 0, Hitung A = a cs = ,35 3. Hitung B = A cs = ,59 4. Hitung C = A sin = ,68 5. Hitung D = a(-e ) sin = , B x = ,4 meter W C y = ,880 meter W D z = ,37 meter W. Hitung krdinat xyz titik P ( = 8 3,8 LS; = ,7 BB). Elipsid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67 adalah a = m, b = , dan e = 0, A. Menghitung dengan rumus 3.5a, 3.6a, dan 3.7a: Agar lebih memudahkan perhitungan bagi yang belum terbiasa, ada baiknya rumusrumus tersebut dipecah menjadi beberapa rumus perhitungan yang lebih sederhana.. Misalkan A = a cs, didapat A = ,780. Misalkan B = b sin, didapat B = 97.47,56 3. Hitung C A B = , Hitung D a. A cs = 3,633 x Hitung E a. A sin = -,73557 x Hitung F a ( e ) sin = -5,89367 x 0 7. Diperleh 8. Diperleh 9. Diperleh D x = ,469 meter C E y =.7.30,8 meter C F z = 94.04,339 meter C

33 3.7.. Mengknversi dari Sistem Krdinat XYZ ke Sistem Lintang-Bujur Gedetis Sebagai kebalikan dari perhitungan di atas, kini yang diketahui adalah harga P (x,y,z) dan yang akan ditentukan adalah harga lintang dan bujur titik P tersebut. Rumusrumus berikut digunakan untuk menentukan harga dan jika diketahui harga x,y,z dan besaran parameter elipsid e. Langkahnya adalah sebagai berikut: (a) Hitung harga dengan rumus: y tan x. (3.8) (b) Hitung harga dengan rumus: z cs tan x ( e ). (3.9) Catatan: a. Jika z psitip maka lintangnya utara, jika z negatip maka lintangnya selatan. b. Dalam menghitung perlu diperhatikan ketentuan berikut (lihat gambar 3.) jika titik tersebut berada pada kuadran I (x psitip dan y psitip), hasil perhitungan nilai psitip dan bujurnya adalah bujur Timur. jika berada pada kuadran II (x psitip dan y negatip), hasil perhitungan nilai negatip, nilai tersebut dikalikan agar bernilai psitip, dan bujurnya adalah bujur Barat. jika berada pada kuadran III (x negatip dan y negatip), hasil perhitungan nilai psitip, nilai akhir = 80 nilai mula-mula, dan bujurnya adalah bujur Barat. jika berada pada kuadran IV (x negatip dan y psitip), hasil perhitungan nilai negatip, nilai akhir = 80 + nilai mula-mula dan bujurnya adalah bujur Timur. = 90 BT Y psitip = 80 X negatip Kuadran IV KU Kuadran III Kuadran I Greenwich Kuadran II Garis Katulistiwa = 0 X psitip = 90 BB Y negatip Gambar 3. Relasi Sistem Krdinat XY dan

34 Cnth sal 3.3 :. Hitung dan untuk titik P ( ,4 m, ,880 m, ,37 m). Digunakan bidang elipsid GRS-67. Jawab: y ,880. Hitung tan, Karena x negatip dan y x ,4 psitip, maka titik P berada pada kuadran IV.. = arctan (-,686979) = , (ditambah 80 karena terletak di kuadran IV). Sehingga diperleh = 4 9,53 BT 3. Hitung z cs tan = 0, x ( e ) 4. = arctan (0, ) = , Utara (karena nilai z psitip). Hitung dan untuk titik P ( ,469 m,.7.30,8 m, 94.04,339 m). Digunakan bidang elipsid GRS-67. Jawab:. Hitung tan y.7.30,8 x ,469 = Karena x psitip dan y negatip, titik P berada pada kuadran II, sehingga bujurnya adalah bujur barat. = arctan ( ) = ,7 x (-) (dikali karena terletak di kuadran II). Sehingga diperleh = ,7 BB z cs 3. Hitung tan = x ( e ) 4. = arctan ( ) = -8 3,8 = 8 3,8 LS Lintang gesentris dan lintang gedetis Lintang gesentris () titik P adalah sudut yang terbentuk leh garis yang melalui P ke pusat elipsid O dan bidang ekuatr, sedangkan lintang gedetis () titik P adalah sudut yang terbentuk leh garis nrmal yang melalui P ke N dan bidang ekuatr. U P b a O N S Gambar 3.3. Hubungan antara dan

35 Hubungan matematis antara kedua jenis lintang tersebut adalah: a tan tan b tan b a tan ( - e ) tan ( e ) tan untuk selisih (-) kecil, dimana, digunakan persamaan:... (3.0a) atau... (3.0b) ( - ) e sin... (3.a) dimana = 80/ =57,957795, sehingga e sin (3.b) e sin (3.c) Cnth sal 3.4 : Hitung lintang gedetis titik P yang berada pada lintang gesentris = ,4 LS, elipsid yang digunakan GRS-67. Jawab: Parameter GRS-67 a = m, b = m, e = 0, , = 80/, A. Dengan rumus 3.0a a. Hitung: tan tan = 0, b. = arctan 0, = ,56 LS B. Dengan rumus 3.b 3. e sin = , , = ,5 LS Terlihat selisih harga hanya berbeda.05.

36 Lintang terreduksi dan lintang gedetis Sudut yang terbentuk dari garis P O dan OR disebut lintang terreduksi. Bidang lingkaran Bidang elips Q a KU P b O P z R KS Gambar 3.4 Hubungan antara dan Hubungan matematis antara lintang terreduksi dan lintang gedetis adalah: sin( - ) e sin 4... (3.) untuk selisih ( - ) kecil, dimana, digunakan persamaan: ( - ) e sin 4... (3.3) sehingga e sin 4... (3.3a) e sin 4... (3.3b) Cnth sal 3.5 : Hitung lintang terreduksi jika P berada pada lintang gedetis = ,4 LS, elipsid yang digunakan GRS-67. Jawab: a = m, b = m, dan e = 0, , A. Dengan rumus 3.. Hitung sin( - ) e sin = 0, = arcsin(0, ) = 0 0 4,05 3. = ,05 = , ,05 = ,35

37 B. Dengan rumus 3.3b. Hitung e sin 4 = x 0, x 80/ x sin ( x ,4 ) = ,. Hitung e sin 4 = , , = ,3 Terlihat, selisih harga dan hanya berbeda 0,05 (cukup kecil) Evaluasi. Dalam penentuan lintang-bujur suatu titik berdasarkan sistem krdinat XYZ maka dapat dirumuskan bahwa: (isilah titik-titik pada klm 4 dan 5) Sistem Krdinat XYZ Sistem Krdinat Lintang-Bujur X Y Z Lintang Bujur psitip psitip psitip... s/d... LU/LS... s/d... BT/BB psitip negatip psitip... s/d... LU/LS... s/d... BT/BB negatip negatip psitip... s/d... LU/LS... s/d... BT/BB negatip psitip psitip... s/d... LU/LS... s/d... BT/BB. Jika krdinat gedetis P adalah = 5 3, LU dan = , BT, dan elipsid yang digunakan GRS-67, berapakah krdinat rtgnal titik P tersebut? 3. Jika krdinat rtgnal P = (-,475, m, 6,78, m, 573, m), dan elipsid yang digunakan GRS-67, berapakah krdinat gedetis titik P tersebut? 4. Hitung lintang gesentris dan lintang terreduksi jika titik P berada pada lintang gedetis = 5 3, LU, elipsid yang digunakan GRS-67.

38 BAB IV PERHITUNGAN PADA BIDANG LENGKUNG Tujuan Instruksinal: Setelah mempelajari materi perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan teri dan melakukan perhitungan pada bidang elipsid, yaitu perhitungan panjang jari-jari busur, panjang busur, luas bidang pada permukaan, garis gedesik, knvergensi meridian, dan ekses sferis sebagai dasar dalam pemecahan Sal Pkk Gedesi. 4. Jari-jari Busur pada Elipsid Jari-jari Busur Meridian (M) dan Busur Nrmal Utama (N) Pada bidang bla, jari-jari busur setiap titik di permukaan bla tersebut akan sama, yaitu sebesar jari-jari bla. Namun, pada bidang elipsid, jari-jari busur di setiap titik pada bidang elipsid tidak sama. Bahkan, jari-jari busur di suatu titik pun, misalnya titik A, akan berbeda-beda tergantung arah busur tersebut. Ada jenis jari-jari utama pada suatu titik di permukaan elipsid, (a) Jari-jari busur meridian (M), yaitu jari-jari busur bidang meridian pada titik tersebut, (b) Jari-jari nrmal utama (N), yaitu jari-jari busur nrmal utama pada titik tersebut. Busur nrmal utama adalah busur yang terletak bidang nrmal utama, yaitu bidang yang melalui garis nrmal dan tegak lurus bidang meridian. KU Meridian Nl A Busur Meridian A Ekuatr a P Busur Nrmal Utama A Garis Nrmal KS Gambar 4. Busur Meridian dan Busur Nrmal Utama Besar jari-jari busur meridian (M) dapat dihitung dengan rumus: M a b 3 (a cs b sin ) a ( - e ) 3 ( - e sin )... (4.) Di ekuatr, dimana lintang = 0 b, panjang M = = a (-e ) a Di kutub, dimana lintang = 90, panjang a M b a - e