MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH 2 ATURAN PERKALIAN DAN PERMUTASI

Transkripsi

1 MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH 2 ATURAN PERKALIAN DAN PERMUTASI Oleh: Anggota Kelompok 2 : 1. Alfia Anggraeni Putri ( ) 2. Lusi Rahmawati ( ) 3. Rahma Anggraeni ( ) 4. Raka Aci Putra ( ) 2012A PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014

2 DAFTAR ISI Aturan Perkalian dan Permutasi Kaidah Pencacahan... 3 A. Aturan Perkalian... 3 B. Aturan Pengisian Tempat... 4 a. Diagram Pohon... 4 b. Tabel Silang... 5 c. Pasangan Berurutan Definisi dan Notasi Faktorial Permutasi... 8 C. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama D. Permutasi Siklis Skenario Pembelajaran Aturan perkallian dan Permutasi Aturan Perkalian Notasi Faktorial dan Permutasi DAFTAR PUSTAKA... 15

3 Aturan Perkalian dan Permutasi 1. Kaidah Pencacahan Terdapat dua prinsip dasar dalam pencacahan yaitu aturan perkalian dan aturan penjumlahan. Dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapkan pada pemecahan masalah yang berkaitan dengan menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan. Sebagai ilustrasi, simaklah contoh berikut ini: Pada waktu liburan sekolah, Rully bersama keluarganya berlibur ke Bali. Ia mencoba 3 macam kaos dan 2 celana jeans. Ia memadukan ketiga kaos dan kedua jeans tersebut. Berapa banyak pasangan warna kaos dan celana yang dapat disusun Rully? Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kaidah pencacahan (counting rules). Kaidah pencacahan memudahkan untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin, jika beberapa kejadian digabungkan. Sehingga dapat dikatakan bahwa: Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semula kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan. Banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu gabungan dari metode, yaitu metode aturan pengisian tempat, metode permutasi, dan metode kombinasi. A. Aturan Perkalian Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam (m n) cara. Contoh: 1. Berapakah banyaknya kejadian yang mungkin muncul jika dua dadu dilempar satu kali? Jawab: Dadu pertama dapat muncul dalam m = 6 cara yang berbeda yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan untuk setiap cara-cara tersebut dadu kedua dapat muncul dalam n = 6 cara yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sehingga kedua dadu dapat muncul dalam m n = 6 6 = 36 cara. 2. Ucok ingin bepergian dari kota Surabaya ke kota Jakarta. Dari kota Surabaya ke kota Semarang dapat ditempuh melalui 3 jalur, sedangkan dari kota Semarang ke kota Jakarta dapat ditempuh melalui 2 Jalan. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh Ucok jika ingin bepergian dari kota Surabaya ke kota Jakarta? Penyelesaian: Dari kota Surabaya ke kota Semarang terdapat 3 cara. Dari kota Semarang ke kota Jakarta terdapat 2 cara. Dari kota Surabaya ke kota Jakarta melalui kota Semarang, terdapat 3 x 2 = 6 cara. Jadi banyak cara yang dapat dipilih Ucok untuk bepergian dari kota Surabaya ke kota Jakarta melalui kota Semarang adalah 6 cara.

4 Bagan Aturan Perkalian: Aturan Perkalian Aturan Pengisian Tempat Notasi Faktorial Strategi Diagram Pohon Strategi Tabel Silang Strategi Pasangan Terurut B. Aturan Pengisian Tempat Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar istilah semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan. Misalnya, seorang siswa tiap kali ulangan nialainya selalu kurang baik, adakah kemungkinan siswa itu naik kelas? Contoh Soal: Dalam contoh tersebut tersedia 3 buah kaos, misalnya berwarna abu-abu, kuning, dan putih, serta 2 buah celana jeans, misalnya berwarna biru dan hitam. Banyak pasangan warna celana dan kaos yang mungkin disusun dapat dicari dengan beberapa cara, antara lain: a. Diagram Pohon Perhatikan diagram pohon berikut ini! Warna celana Warna kaos Pasangan warna Biru (b) Abu-abu(a) Kuning(k) Putih (p) Abu-abu(a) Kuning(k) Putih(p) (b, a) (b, k) (b, p) (h, a) (h, k) (h, p)

5 Hitam (h) Berdasarkan diagram pohon di atas, pasangan warna celana jeans dan kaos yang dapat disusun ada 6 macam, yaitu (b, a), (b, k), (b, p), (h, a), (h, k), dan (h, p). Pasangan (b, a) artinya celana jeans biru dan kaos abu-abu, demikian seterusnya. b. Tabel Silang Perhatikan tabel silang berikut ini! Warna Kaos Warna Abu-abu (a) Kuning (k) Putih (p) Celana Jeans Biru (b) (b, a) (b, k) (b, p) Hitam (h) (h, a) (h, k) (h, p) Berdasarkan tabel silang di atas, terlihat bahwa pasangan warna celana jeans yang dapat disusun ada 6 macam. c. Pasangan Berurutan Dimisalkan, himpunan celana jeans dinyatakan dengan A: {b, a} dan himpunan kaos dinyatakan dengan B: {a, k, p}. himpunan pasangan berurutan dari himpunan A dan himpunan B ditulis sebagai: {(b, a), (b, k), (b, p), (h, a), (h, k), (h, p)}. Jadi, pasangan warna celana jeans dan kaos yang dapat disusun ada 6 macam. Berdasarkan percobaan yang dilakukan Mita di atas, diperoleh 6 macam pasangan warna. Cara lain untuk menentukan banyak pasangan warna celana jeans dan kaos yang dapat disusun adalah dengan menggunakan aturan, yaitu: 1) Pertama dipilih warna celana: ada 2 cara 2) Kedua dipilih warna kaos: ada 3 cara Maka, untuk memilih pasangan warna celana jeans dan kaos seluruhnya ada 2 3 = 6 cara. Aturan yang digunakan tersebut dikenal sebagai aturan pengisian tempat (filling slots). Karena dalam menentukan banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia, maka aturan tersebut sering dikenal sebagai aturan perkalian. Misalkan terdapat n buah tempat yang tersedia dengan k 1 menyatakan banyak cara untuk mengisi tempat pertama, k 2 menyatakan banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi, demikian seterusnya sampai k n menyatakan banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua,, dan (n 1) terisi. Maka: Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah: k 1 k 2. k n 1. Alfia mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana yang dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?

6 Penyelesaian: Putih Hitam Coklat Putih, Hitam Putih, Coklat Batik Hitam Coklat Batik, Hitam Batik, Coklat Coklat Hitam Coklat Coklat, Hitam Coklat, Coklat Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak 3 x 2 = 6 cara. 2. Seseorang ingin membuatkan nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor yang bisa dibuat? Penyelesaian: Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita memakai aturan pengisian tempat kosong seperti di bawah ini. a b c d Dibuat 4 buah kotak kosong yaitu a, b, c, dan d karena nomor kendaraan tersebut terdiri dari 4 buah angka. a b c d Kotak a dapat diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, maka terdiri dari 5 cara. a b c d 5 Kotak b hanya dapat diisi dengan 5-1= 4 cara karena 1 cara telah di isikan di kotak a. a b c d 5 4

7 Kotak c hanya dapat diisi dengan 5-2= 3 cara karena 2 cara telah di isikan di kotak a dan b. a b c d Kotak d hanya dapat diisi dengan 5-3= 2 cara karena 3 cara telah diisikan di kotak a, b, dan kotak c. a b c d Jadi posisi tersebut dapat membuat plat nomor sebanyak 5 x 4 x 3 x 2 = 120 cara. Dapat disimpulkan bahwa jika kejadian a dapat diselsaikan dengan a cara dan kejadian kedua dapat diselesaikan dengan b cara, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara. 2. Definisi dan Notasi Faktorial Tiga bendera berbeda akan ditempatkan berjajar ke belakang. Ketiga bendera tersebut misalnya bendera negara Indonesia, bendera negara Arab, dan bendera negara Inggris. Dalam berapa cara susunan bendera ini dapat dilakukan? Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan bendera adalah = 6 pilihan. Perkalian dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Contoh : Menghitung Pernyataan Faktorial berikut. a. 4! =... c. = b. =... d =... Penyelesaian: a. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 c. b. d.

8 3. Permutasi Coba Anda sediakan kartu-kartu yang berisi huruf-huruf abjad a sampai dengan z. Misalkan, Anda akan membuat kata sandi yang terdiri atas 3 huruf tanpa ada huruf yang diulang. Contohnya, pula kata acd berbeda dengan adc. Kata aac tidak termasuk yang diminta karena huruf a diulang dua kali. Berapa banyak kata sandi yang dapat Anda buat dari 26 kartu (seluruh huruf ada 26)? Coba Anda praktikkan dengan kartu tersebut. Untuk menyelesaikan masalah ini, Anda dapat menggunakan aturan perkalian. Pada pemilihan pertama, ada 26 huruf yang dapat dipilih. Pada pemilihan kedua, ada 25 huruf yang dapat dipilih karena satu huruf sudah digunakan pada pemilihan pertama. Pada pemilihan ketiga, ada 24 huruf yang dapat dipilih. Mengapa? Coba Anda jelaskan. Dengan aturan perkalian, banyak kata sandi 3 huruf yang tepat dibuat dari 26 kartu huruf tanpa ada yang diulang adalah = Uraian tersebut menggambarkan masalah pencacahan yang disebut permutasi. Bersama teman sebangku, coba Anda diskusikan contoh-contoh kasus dalam kehidupan sehari-hari yang termasuk permutasi. Permutasi sangat memperhatikan urutan. Misalnya, kata sandi abc berbeda dengan acb. Perhatikan kembali uraian mengenai penyusunan kata sandi. Permutasi banyak kata sandi yang terdiri atas 3 huruf dari 26 huruf ditulis P(26, 3), yaitu P(26, 3) = Dalam notasi faktorial, dapat ditulis sebagai berikut. Hasil ini dapat diperumum untuk permutasi r elemen dari n elemen atau P(n, r) sebagai berikut. Banyak Permutasi r Elemen dari n Elemen Banyak susunan berbeda r elemen dari n elemen dengan r < n yang memenuhi 1. seluruh n elemen berbeda, 2. tidak ada elemen yang diulang, dan 3. urutan diperhatikan, dapat dirumuskan P(n,r) = Bagaimana jika r = n? Dari teorema sebelumnya, diperoleh Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh soal berikut. Contoh : Menghitung Permutasi P(n, r) Hitunglah permutasi-permutasi berikut. a. P(6, 3) b. P(5, 4)

9 c. P(5, 5) Penyelesaian: a. b. c. Contoh : Membentuk Bilangan Berbeda dengan Permutasi Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 5, 7. a. Berapa banyak bilangan puluhan ribu dapat dibuat dari angkaangka tersebut tanpa ada angka yang diulang? b. Berapa banyak bilangan ribuan dapat dibuat dari angka-angka tersebut tanpa ada angka yang diulang? c. Berapa banyak bilangan ratusan yang lebih dari 300 yang dapat dibuat dari angka-angka tersebut tanpa ada angka yang diulang? Penyelesaian: a. Bilangan puluhan ribu adalah bilangan dari sampai dengan Jelas bahwa bilangan puluhan ribu terdiri atas 5 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil lima angka dari lima angka yang tersedia. Perhatikan, bilangan bilangan Ini adalah kasus permutasi, karena urutan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda. Dengan demikian, banyak bilangan puluhan ribu yang dapat dibuat adalah P (5, 5) = 5! = = 120 b. Bilangan ribuan adalah bilangan dari sampai dengan Jelas bahwa bilangan ribuan terdiri atas 4 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil empat angka dari lima angka yang tersedia. Dengan demikian, banyak bilangan ribuan yang dapat dibuat adalah permutasi 5 elemen diambil 4 elemen atau P(5, 4) diberikan oleh c. Bilangan ratusan (terdiri atas 3 angka) yang lebih dari 300 hanya bisa diperoleh jika tempat pertama bilangan ratusan tersebut adalah 3, 5, atau 7. Angka Pertama Angka Kedua Angka Ketiga Angka pertama diisi angka 3, dua angka lainnya dapat diisi oleh angka-angka 1, 2, 5, dan 7. Banyak bilangan yang bisa diperoleh adalah permutasi 2 elemen dari 4 elemen atau P (4, 2), yaitu

10 Untuk angka pertama 5 atau 7 juga diperoleh banyak bilangan = P(4,2). Jadi, banyak bilangan ratusan > 300 adalah 3 P(4, 2) = 3 12 = 36 Contoh : Masalah Urutan Duduk yang Di selesaikan dengan Permutasi Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong, sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika a. putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi; b. putra dan putri masing-masing duduk berkelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan? Penyelesaian: a. Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 elemen dari 8 elemen atau P(8, 8), diberikan oleh P(8, 8) = 8! = = b. Pada masalah ini, 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut. Banyak cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada 3 kursi tertentu dan pertukaran duduk di antara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini. Banyak cara duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) P(3, 3) = 5! 3! = ( ) (3 2 1) = = 720 C. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama hanya berlaku untuk permutasi n unsur yang tersedia dengan simbol P. Dirumuskan dengan: Banyaknya permutasi yang memuat a unsur yang sama ditentukan dengan rumus: Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama dengan k + l + m n, maka banyaknya permutasi dari unsur itu adalah: Contoh: 1. Berapa banyak permutasi 6 huruf yang diambil dari kata KELAPA? Jawab: Kata KELAPA tersusun dari 6 huruf, dan huruf yang sama yaitu huruf A sebanyak 2 unsur. Banyak permutasinya adalah:

11 2. Berapa banyak permutasi 5 huruf yang diambil dari kata MAMAN? Jawab: Kata MAMAN tersusun dari 5 huruf, huruf yang sama yaitu 2 unsur huruf A dan 2 unsur huruf M. D. Permutasi Siklis Merupakan permutasi yang dilakukan pada kurva tertutup berupa lingkaran. A A C B B C Permutasi siklis yang diperoleh adalah: ABC = BCA = CAB ACB = BAC = CBA Sehingga hasil permutasi yang diperoleh hanyalah 2. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur ditentukan dengan P siklis = (n 1)! Contoh: Berapa cara yang mungkin dapat dibuat jika dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang duduk dalam: a. Berjajar satu baris b. Meja makan bundar Jawab: a. Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur. 7P 7 = b. Posisi duduk mengelilingi meja makan bundar merupakan permutasi siklis dari 7 unsur. P siklis = (7 1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara

12 Aturan Perkalian Skenario Pembelajaran Aturan perkallian dan Permutasi 1. Guru menyiapkan siswa untuk memulai pelajaran 2. Guru mulai bercerita seperti berikut ini: Bagong kebingungan dalam memilih pakaian yang akan dikenakan pada pesta temannya. Dia mempunyai 3 celana yang berbeda dan 4 baju yang berbeda pula. Celana yang dimiliki Bagong berwarna coklat, hitam dan abu-abu, sedangkan baju yang dimiliki bagong berwarna putih, biru, merah dan kuning. 3. Kemudian guru bertanya kepada siswa : Ada berapa macam pasangan baju dan celana yang bisa dipilih oleh Bagong? 4. Guru menunjuk salah satu siswa untuk menjawab pertanyaan tersebut. 5. Kemudian guru menginformasikan, bahwa di dalam matematika juga membahas materi yang berkaitan seperti contoh diatas yang akan dibahas pada pertemuan ini. 6. Guru menjelaskan materi aturan perkalian 7. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok 8. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan dan mencari contoh dalam lingkungan sekitar yang berkaitan dengan aturan perkalian dan mencari penyelesaiannya. 9. Guru meminta siswa untuk mempresentasikan hasil diskusinya ke depan kelas Notasi Faktorial dan Permutasi 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi tentang definisi dan notasi faktorial. Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n disebut n fakctorial, dan diberi notasi n! Jadi, n! = n x (n-1) x (n-2) x x 3 x 2 x 1, dengan 1! = 1 dan 0! = 1 Contoh: 1) Hitunglah nilai dari: a. 5! b. 2) Nyatakan dengan notasi faktorial: 3) Sederhanakanlah bentuk berikut: 4) Hitunglah nilai n dari persamaan. 2. Siswa mengerjakan soal latihan di LKS dengan metode latihan terkontrol. 3. Siswa dengan sukarela mengerjakan soal di papan tulis secara ajak. (bagi peserta didik yang berani diberi point tersendiri) 4. Siswa

13 5. Siswa diberi stimulus tentang permutasi. Pengertian permutasi Susunan r objek dari n objek yang berbeda yang memperhatikan urutan. Macam macam permutasi: Permutasi r objek dari n objek yang berbada dengan r n, yang dinotasikan dengan: P(n,r) = n P r dan n P r = Contoh: a. Disediakan angka 1, 2, 3,, 9. Dari angka tersebut akan dibuat nomer kendaraan yang terdiri dari 4 angka dan tidak ada angka berulang. Berapa banyak nomer berbeda yang dapat dibuat? b. Dari 40 anggota akan dipilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang berbeda yang dapat dibentuk? c. Tentukan banyaknya cara menyusun 3 buku matematika (X, XI IPA, XI IPS), 4 buku sejarah (Xa, Xb, XIa, XIb) dan 3 buku seni rupa (X, XI, XII) pada rak perpustakaan sedemikian sehingga: 1. Buku matematika berdampingan 2. Buku sejenis berdampingan 5. Siswa mengerjakan soal latihan-latihan dari guru. 6. Siswa dan guru melakukan refleksi. 7. Siswa diberi pekerjaan rumah tentang permutasi. 8. Guru menginformasikan pada siswa bahwa permutasi ada dua macam yaitu permutasi dengan unsur yang sama dan permutasi siklis. 9. Guru menyampaikan pada siswa bahwa metode pembelajaran kali ini adalah diskusi kelompok 10. Guru mengingatkan kembali materi yang telah dipelajari sebelumnya 11. Guru membagi siswa dalam beberapa kelompok dengan kemampuan yang heterogen 12. Guru memberikan permasalahan pertama kepada siwa, yaitu : 13. Tentukan berapa banyak kata yang berbeda yang dapat disusun dari kata H A T I! 14. Guru menunjuk 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 15. Guru bersama siswa menanggapi hasil presentasi tersebut 16. Guru membimbing siswa menyusun kesimpulan atas permasalahan pertama tersebut 17. Guru menjelaskan tentang pengertian dan rumusan dari permutasi yang merupakan kesimpulan dari penyelesaian permasalahan di atas. 18. Guru memberikan permasalahan tentang penjelasan rumusan dari permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda untuk dipecahkan siswa bersama kelompoknya, yaitu : 19. Tentukan berapa banyak susunan 3 huruf dari huruf-huruf A, B, C, D, E, dan F 20. Guru menunjuk 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 21. Guru bersama siswa menanggapi hasil presentasi tersebut 22. Guru menjelaskan bahwa permasalahan tersebut merupakan jenis permutasi yang memuat unsur yang berbeda dan memberikan kesimpulan dari pengertian dan rumusan dari permutasi yang memuat unsur yang berbeda.

14 23. Guru memberikan permasalahan rumusan dari permutasi yang memuat unsur yang sama untuk dipecahkan siswa bersama kelompoknya, yaitu : 24. Tentukan berapa banyak kata yang berbeda yang dapat disusun dari kata K A T A K dan M A L A M! 25. Guru menunjuk 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 26. Guru bersama siswa menanggapi hasil presentasi tersebut 27. Guru menjelaskan bahwa permasalahan tersebut merupakan jenis permutasi yang memuat unsur yang sama dan memberikan kesimpulan dari pengertian dan rumusan dari permutasi yang memuat unsur yang sama. 28. Guru memberikan permasalahan berikutnya, yaitu : 29. Ada 3 siswa yang sedang duduk di sebuah kantin sekolah. Mereka duduk di depan meja yang melingkar. Jika mereka ingin bergantian tempat duduk, ada berapa susunan posisi duduk yang berbeda yang dapat mereka pilih? 30. Guru menunjuk 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 31. Guru bersama siswa menanggapi hasil presentasi tersebut. 32. Guru menjelaskan bahwa permasalahan tersebut merupakan jenis permutasi siklis dan memberikan kesimpulan dari pengertian dan rumusan dari permutasi silkis. 33. Siswa diberikan pekerjaan rumah hal ini bermaksud agar siswa belajar lagi di rumah dan tidak melupakan materi yang telah dipelajari hari ini.

15 DAFTAR PUSTAKA Soedyarto, Nugroho dan Maryanto Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tampomas, Husein Seribu Pena Matematika SMA untuk Kelas XI. Jakarta: Penerbit Erlangga Djumanta, Wahyudin dan Sudrajat, R Mahir Mengembangkan Kemapuan Matematika Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional Lestari, Sri dan Diah,Ayu Kurniasih Kanginan Matematika 2 untuk SMA dan MA Program Studi IPS Kelas XI. Pusat Perbukuan Depdiknas : Jakarta Wirodikromo, Sartono Matematika untuk SMA Kelas XI Program Ilmu Sosial. Jakarta : Penerbit Erlangga Listya, Tri Dewi dan Herawati Matematika untuk Kelas 2 SMA. Jakarta : Yudhistira Aksin,Nur dan Miyanto Detik Detik Ujian Nasional Matematika. Klaten: PT Intan Pariwara