STATISTIKA DASAR. Edisi Pertama IMAM TAHYUDIN. Teori dan Praktek. Zahira Media Publisher

Transkripsi

1 STATISTIKA DASAR Teori dan Praktek Edisi Pertama IMAM TAHYUDIN Zahira Media Publisher

2 STATISTIKA DASAR Teori dan Praktek Oleh : Imam Tahyudin Penyunting Lay-out dan Desain Sampul : Qurrotul A Yuni : Fachry Diyo Asela Cetakan Pertama, Februari 01 Penerbit : Zahira Media Publisher Hak Cipta 01 pada Penulis Hak Cipta dilindungi oleh undang-undang. Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronik maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit.

3 Mother hold their children s hands a While, And their hearts forever (Fandy Tjiptono, 004) Buku ini didedikasikan untuk : Mama, Mimi, Kakak dan Adiku Laililyah Tahyudin Amirah El-Zahira Tahyudin Untuk mengetahui jalan pikiran seseorang lihatlah ucapannya dan untuk mengetahui ide dan gagasan seseorang lihatlah karya tulisannya

4 PRAKATA Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan YME. Berkat pertolongannya Alhamdulillah buku ini dapat terbit. Ide penulisan buku ini telah mengendap cukup lama. Berawal dari pengalaman dan pengkajian mendalam penulis selama belajar dan mengajar. Dalam penulisan buku ini, penulis mendapatkan bantuan dan dukungan dari sejumlah pihak. Oleh sebab itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Istriku Lailiyah dan Putriku Amirah El-Zahira Tahyudin atas pengertian dan dukungannya dengan cara-cara yang unik selama proses penulisan buku ini.. Qurrotul A yuni atas bantuannya mengedit penulisan buku ini. 3. Fachry Diyo Asela atas bantunya merancang sampul dan lay-out buku ini. 4. Dr. Idha sihwaningrum, M.Sc. (UNSOED), Dr. Mashuri (UNSOED), Dr. Nunung Nurhayati (UNSOED) dan Jajang, M.Si (UNSOED) atas wawasan dan inspirasi selama kuliah. 5. Berlilana, S.Kom., M.Si (Ketua STMIK Amikom Purwokerto) atas wawasan dan inspirasi selama mengabdi mengajar. 6. Teman-teman di STMIK AMIKOM Purwokerto (Pa Amang, Pa Taqwa, Pa Giat, dll) atas dukungan moral selama penulisan buku ini. Penulis sangat mengharapkan buku ini bisa bermanfaat bagi semua yang menaruh minat pada Statistika Dasar. Segala masukan dan kritik konstruktif sangat Penulis harapkan. Selamat membaca dan mengkaji buku ini. Purwokerto, Februari 01 Imam Tahyudin

5 DAFTAR ISI BAB I. PENDAHULUAN...01 BAB II. PENYAJIAN DATA... 4 BAB III. DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI BAB IV. UKURAN PEMUSATAN BAB V. UKURAN PENYEBARANError! Bookmark not defined. BAB VI. MODEL DISTRIBUSI DATAError! Bookmark not defined. BAB VII. PROBABILITAS... Error! Bookmark not defined. BAB VIII. PERMUTASI... Error! Bookmark not defined. BAB IX. KOMBINASI... Error! Bookmark not defined. BAB X. POPULASI DAN SAMPELError! Bookmark not defined. BAB XI. DISTRIBUSI PROBABILITASError! Bookmark not defined. BAB XII. DISTRIBUSI NORMAL... Error! Bookmark not defined. BAB XIII. PENDUGAAN PARAMETERError! Bookmark not defined. BAB XIV. PENGUJIAN HIPOTESISError! Bookmark not defined. BAB XV. REGRESI... Error! Bookmark not defined. DAFTAR PUSTAKA

6 PENDAHULUAN A. PERANAN STATISTIKA Dunia penelitian atau riset yang dilaksanakan melalui penelitian laboratorium atau penelitian lapangan di manapun dilakukan, mendapat manfaat dengan menggunakan dan memecahkan masalah melalui statistika. Hal ini dilakukan para peneliti untuk mengetahui apakah hasil penelitian dengan suatu metode yang baru lebih baik jika dibandingkan dengan metode yang lama. Dalam pembuatan model dari suatu penelitian, untuk menyatakan bahwa model tersebut dapat dipakai atau tidak maka digunakan teori statistika. Bahkan statistika cukup mampu untuk menentukan apakah faktor yang satu dipengaruhi oleh faktor lainnya. Jika ada hubungan antara satu faktor dengan faktor lainnya, berapa kuat hubungan tersebut? apakah dapat faktor yang satu ditinggalkan dan faktor lainnya dipakai untuk studi lanjut? Statistik yang diartikan dalam bahasa Latin sebagai status atau negara, sangat berperan di dalam pengelolaan semua manajemen baik manajemen yang besar maupun yang sekecil-kecilnya, manajemen negara pada umumnya, ekonomi, pertanian, perindustrian, kesehatan, farmasi, sampai ke manajemen rumah tangga pun dengan tidak disadari telah memanfaatkan statistik dan lain sebagainya. Peranan statatistik di dalam dunia penelitian dan riset baik penelitian di bidang sosialmaupun sains, selalu menggunakan ilmu statistik, mulai dari persiapan penelitian, teknik pengambilan data, sampai ke pengolahan data agar informasi-informasi atau gambaran gambaran mengenai karateristik data dapat dipahami dengan mudah oleh pihak

7 lainnya. Salah satu contoh pemanfaatan statistik di dalam pengelolaan negara, di waktu akan diadakan PEMILU oleh pemerintah, mulai membuat sensus penduduk yang akan digunakan sebagai data untuk mempersiapkan apa-apa yang akan diperlukan, baik bahan, tempat, waktu sampai keperkiraan biaya yang akan digunakan pada pelaksanaan pemilu tersebut. Contoh yang lain di bidang farmasi misalnya, untuk membuat campuran obat-obatan harus terlebih dahulu membuat tabel mengenai takaran-takaran, jenis bahan yang diperlukan. Di kantor-kantor khususnya di bagian personalia sering kita lihat tabel-tabel yang tergantung pada dinding mengenai nama pegawai, jumlah pegawai, jenis kelamin, golongan, masa kerja, alamat dan lain sebagainya, Ini juga merupakan statistic yang dinamakan dengan statistik kepegawaian. Uraian singkat di atas menyatakan bahwa statistika sangat diperlukan bukan saja dalam bidang yang terbatas kepada dunia penelitian tetapi mencakup dunia ilmu pengetahuan. Mengingat hal tersebut di atas maka dalam penjelasan berikut diuraikan tentang metode statistika yang diharapkan dapat digunakan dalam berbagai bidang dan atau berbagai disiplin ilmu, bukan statistika teoritis, oleh sebab itu tidak diuraikan tentang penurunan rumus, pembuktian sesuatu sifat atau dalil-dalil.

8 B. STATISTIK DAN STATISTIKA 1. Statsitik Statistik berasal dari bahasa Latin yang artinya adalah status atau negara. Pada mulanya statistika berhubungan dengan fakta dan angka yang dikumpulkan oleh pemerintah untuk bermacam-macam tujuan. Statistik juga diturunkan dari kata bahasa Inggris yaitu state atau pemerintah. Pengertian yang sangat sederhana tentang statistic adalah sebagai suatu kumpulan data yang berbentuk angka dan tersusun rapi dalam suatu tabel, grafik, gambar, dan lain-lain. Misalnya tabel mengenai keadaan pegawai di kantor-kantor, grafik perkembangan jumlah penduduk dari waktu ke waktu, dan lain sebagainya. Sedangkan pengertian yang lebih luas mengenai statistic adalah merupakan kumpulan dari teknik mengumpulkan, analisis, dan interpretasi data dalam bentuk angka. Dan statistic juga merupakan bilangan yang menunjukkan sifat-sifat (karakteristik) data yang dikumpulkan tersebut.. Statsitika Statistika dapat didefinisikan sebagai suatu ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara mengumpulkan fakta/data, pengolahan data, kemudian menganalisis data tersebut sehingga dapat diperoleh suatu kesimpulan/keputusan. Statistik dapat dibagi menjadi dua macam yaitu Statistik Deskriptif dan Statistik Induktif (inferiens). Kedua macam statistic tersebut sebagai suatu metode yang mengandung kegiatankegiatan dari suatu proses untuk lebih mudah dipahami dan dapat digambarkan dengan bagan alir seperti pada Gambar 1..

9 Yang dimaksud dengan statistik deskriptif adalah usaha penjelasan arti secara fisis (bentuk) atau gambaran tentang karakteristik data agar dapat dengan mudah dipahami oleh pihak lain. Misalnya setelah dikumpulkan data, kemudian diolah dan dianalisis data tersebut sehingga dapat diambil kesimpulan yang akan ditunjukkan kepada yang membutuhkannya. Sedangkan statistik induktif (inferens) adalah usaha

10 pembuatan inferensi terhadap sekumpulan data yang berasal dari suatu sampel. Misalnya seorang dokter ingin mengambil suatu kesimpulan tentang penyakit seseorang tentunya disamping pemeriksaan secara komunikasi efektif juga berdasarkan data yang diperoleh dari laboratorium dapat memperkirakan penyakit apa yang dialami oleh orang sakit tersebut. Jadi dari sini dapat diterangkan inferensi adalah merupakan kerja perkiraan, peramalan kemudian pengambilan keputusan dan sebagainya. C. D A T A Data dan statistik cukup banyak digunakan sebagai ilmu pengetahuan yang diaplikasikan dalam kehidupan manusia sehari-sehari, baik di bidang eksakta maupun sosial. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa data dan statistik sangat erat hubungan antara keduanya. Data adalah sekumpulan informasi atau nilai yang diperoleh dari pengamatan (observasi) suatu obyek, data dapat berupa angka dan dapat pula merupakan lambang atau sifat. Beberapa macam data antara lain; data populasi dan data sampel, data observasi, data primer, dan data sekunder. Selain dari pada itu data juga dapat diterangkan dengan dua arti yaitu; arti secara kuantitatif dan arti secara kualitatif, data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau nilai, contohnya, 6, 40, 100, 50 dan sebagainya, sedangkan data kualitatif adalah data yang berupa kata-kata, contohnya, baik, sedang, buruk, dan lain sebagainya. Kedua data tersebut dapat dikonversikan antara satu dangan lainnya, misalnya dalam bentuk kuantitatif nilainya 80, maka nilai 80 apabila dikonversikan ke dalam bentuk

11 kualitatif (dalam bentuk kata-kata) adalah baik (nilai 80 = nilainya baik). 1. Pengumpulan Data Untuk pengumpulan data dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sensus dan sampling. Sensus adalah pengumpulan data yang mencakup seluruh elemen atau seluruh anggota populasi yang diselidiki, dimana data populasi adalah merupakan sekumpulan informasi (elemen) atau angka yang menyeluruh pada suatu obyek. Misalnya data yang diperoleh melalui sensus penduduk, data yang diperoleh dari hasil penggerebekan di suatu tempat yang tidak menyenangkan, data ini juga dikatakan data populasi karena data tersebut adalah hasil pemeriksaan semua objek yang ada di tempat itu. Sedangkan sampling (data sampel) merupakan data perkiraan atau data yang berasal dari sebahagian kecil data populasi (elemen populasi). Perlu diketahui bahwa di dalam suatu penelitian jarang sekali mempergunakan data populasi melainkan data sampel. Kenapa? karena jika mengambil data populasi akan banyak memerlukan tenaga ahli, banyak membutuhkan biaya, dan butuh waktu yang lebih lama dan lain-lain.. Macam-Macam Data Pengambilan data banyak sekali caranya, antara lain dapat mendatangi langsung ke obyek yang akan diteliti, ataupun melalui kuesioner yang diisi oleh obyek penelitian ataupun melalui bacaan-bacaan yang dikutip dari artikel- artikel yang tersedia di perpustakaan maupun di kantor-kantor sebagai laporan yang telah diarsipkan.

12 Jika data yang diperoleh atau yang akan digunakan untuk tujuan penelitian disebut data observasi, sedangkan data yang diperoleh dengan datang langsung ke obyek ataupun melalui kuesioner terhadap obyek peneliti disebut data primer dan data yang diperoleh dari bacaan-bacaan atau yang dikutip dari laporan-laporan yang sudah ada baik di perpustakaan maupun di kantor-kantor disebut data sekunder. 3. Data dan Variabel Variabel/peubah: ciri yang menunjukkan keragaman hubungan antara kepemimpinan dan iklim organisasi dengan kepuasan kerja. Skala: Nominal : - paling rendah dalam level pengukuran - hanya berupa satu-satunya kategori - Contoh : data jenis kelamin, alamat pada KTP dll. Ordinal : - levelnya lebih tinggi dari variabel nominal - terdapat tingkatan data/kategori - jarak antar kategori tidak pasti

13 Interval: Rasio: - contoh : data tentang preferensi terhadap suatu hal, data peringkat - Ada tingkatan data - Jarak antar kategori pasti - Tidak ada nol mutlak - Contoh: skala pada termometer, (preferensi?) - Ada tingkatan data - Jarak antar kategori pasti - ada nol mutlak - Contoh: berat badan, tinggi badan, kecepatan LATIHAN SOAL 1. Sebutkan arti dan definisi statistik!. Sebutkan arti statistik diskriptif dan statistik induktif! 3. Apa yang dimaksud dengan data? 4. Jelaskan perbedaan anatara data populasi dan data sampel! 5. Apa yang dimaksud dengan observasi? 6. Jelaskan perbedaan antara data primer dan data sekunder! 7. Sebutkan apa manfaat statistik di dalam suatu pengelolaan perusahaan dan berikan contohnya! 8. Berikan alasan-alasan pemanfaatan statistik dalam bidang penelitian!

14 I. PENYAJIAN DATA A. Tabel/Daftar : 1. daftar baris kolom. daftar distribusi frekuensi B. Grafik/Diagram : 1. diagram batang. diagram garis 3. diagram lingkaran/pastel 4. diagram dahan daun 5. diagram pencar/titik 6. diagram lambang/simbol 7. Histogram dan poligon frekuensi 8. Ogive DIAGRAM BATANG Cara penyusunan : 1. Buat sumbu datar dan sumbu tegak berpotongan tegak lurus. Bagilah sumbu datar dan tegak menjadi beberapa bagian dengan skala yang sama. Perbandingan skala antara sumbu tegak tidak harus sama. Contoh : Jumlah mahasiswa P.S Manajemen pendidikan Universitas Pakuan

15 Jumlah Mahasiswa Jumlah Mahasiswa I III V VII Semester DIAGRAM GARIS Tahun masuk DIAGRAM PASTEL/LINGKARAN

16 II. DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI A. Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi 1. Tentukan Rentang Rentang = data terbesar data terkecil. Tentukan banyak kelas interval Antara 5 15 aturan sturges : banyak kelas = 1 + (3.3) log n dengan n adalah banyaknya data dan hasilnya dibulatkan. 3. Tentukan panjang kelas interval (p). 4. Buat kolom tabulasi dan tentukan batas-batas kelas interval dengan data terkecil sebagai batas bawah. 5. Hitunglah frekuensi dari masing masing kelas interval dan masukkan nilai-nilainya pada kolom tabulasi. 6. Buat tabel distribusi frekuensi berdasarkan hasil tabulasi data. Contoh : Rentang p = Banyak kelas Nilai ujian statistika 60 mahasiswa STMIK AMIKOM PURWOKERTO:

17 Rentang : 9 3 = 69 Banyak kelas interval : Banyak kelas = 1 + (3.3) log 60 Panjang kelas interval : = 1 + (3.3). (1.778) = dibulatkan menjadi 7 69 p = = 9.86 dibulatkan menjadi 10 Batas-batas kelas dan tabulasi : NILAI UJIAN TABULASI FREKUENSI Tabel Distribusi frekuensi Hasil Ujian Statistika menjadi : NILAI UJIAN FREKUENSI

18 B. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Pada tabel distribusi frekuensi relatif, frekuensi dinyatakan dalam % sehingga diperoleh : kelas pertama (3-3) : x 100% = 8.3 % 60 Kelas ke dua (33-4) : x 100% = 15 %, dan seterusnya, sehingga menjadi : 60 NILAI UJIAN FREKUENSI (%) Jumlah 100 Jika distribusi absolut dan relatif digabungkan menjadi NILAI UJIAN F abs. f rel Jumlah

19 C. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif 1. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang dari : NILAI UJIAN F kum. Kurang dari 3 0 Kurang dari 33 5 Kurang dari Kurang dari 53 4 Kurang dari Kurang dari Kurang dari Kurang dari Jika tabel distribusi kumulatif kurang dari dibuat dalam bentuk diagram, akan dihasilkan Ogive positif.. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif atau lebih : NILAI UJIAN F kum. 3 atau lebih atau lebih atau lebih atau lebih atau lebih 4 73 atau lebih atau lebih 5 93 atau lebih 0 Jika tabel distribusi kumulatif atau lebih dibuat dalam bentuk diagram, akan dihasilkan Ogive negatif.

20 Latihan: Hasil tes pengetahuan tentang Management of change terhadap 30 mahasiswa adalah sebagai berikut: Tugas 1. Buat tabel distribusi frekuensi (log 30 = 1,4771). Buat histogram frekuensi 3. Buat tabel distribusi frekuensi relatif 4. Buat tabel distribusi kumulatif kurang dari 5. Buat tabel distribusi kumulatif atau lebih. 6. Buat ogive positif 7.Buat ogive negatif

21 A. Rata-Rata Hitung IV. UKURAN PEMUSATAN Rata-rata hitung data tanpa pengelompokan: n Xi i = 1 x 1 + x + x x n Ẋ = = n n dengan Ẋ = rata-rata hitung (untuk parameter disimbolkan dengan ) dan n = banyaknya data Contoh : Indeks prestasi 5 orang mahasiswa adalah sbb:,7; 3,; 3;,4 dan,1 Maka rata-rata indeks prestasi ke 5 mahasiswa tersebut adalah:,7+ 3,+ 3+,4+,1 Ẋ = =,68 5 Rata-rata hitung data yang dikelompokkan (metode kodifikasi) fi.ci Ẋ = Y 0 + p dengan Y 0 disebut TANDA KELAS fi Contoh tabel distribusi : Nilai fi

22 Langkah menghitung rata-rata yaitu: tentukan nilai tengah (Yi) masing-masing kelas interval, tentukan tanda kelas dan nilai kodenya (Ci) sehingga tabelnya menjadi: Nilai fi Yi Ci Fi.Ci Rata-rata hitung: - 1 Ẋ = = 6,5 40 B. Modus (Mo) Nilai yang sering muncul Modus data tidak dikelompokkan : - Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar (optional) - Tentukan nilai yang paling banyak muncul - Nilai modus mungkin lebih dari satu. - Contoh data yang sudah berurut: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 maka modus (Mo) data tersebut adalah 7. Modus data dikelompokkan: b1 Mo = b + p ( ) b1 + b b = batas bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi p terbesar) = panjang kelas interval b1 = frekuensi kelas modus frekuensi kelas interval

23 sebelum kelas modus b = frekuensi kelas modus frekuensi kelas interval setelah kelas modus Contoh tabel distribusi sbb: Nilai fi b = 60.5; p = 10; b1= = 5 dan b = 15 6 = 9 maka 5 mo = ( ) = C. MEDIAN (Me) Suatu nilai yang apabila semua data hasil pengamatan diurutkan maka 50% data hasil pengamatan berada di atas dan di bawah nilai tersebut. Median data tidak dikelompokkan: Urutkan data, tentukan titik tengahnya ( jika data ganjil maka median tepat pada satu data, jika data genap maka median terletak antara dua data dan untuk menentukannya jumlahkan kedua data tersebut dan bagi dua) Contoh: Diketahui data sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 ( n= 14)

24 Titik tengah terletak antara data ke7 dan data ke 8 (angka 6 dan 7) maka: Me = = 6.5 Data : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,11, 1 ( n = 15) median terletak pada data ke 8 sehingga Me = 7 Median data dikelompokkan: ½ n - F Me = b + p ( ) f b = batas bawah kelas median p = panjang kelas median n = banyaknya data F = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median Contoh tabel distribusi ( n = 40) Nilai fi Karena n = 40 maka kelas median terletak antara data ke 0 dan data ke 1 atau terletak pada kelas dengan interval 61 70, sehingga diperoleh komponen-komponen:

25 b = 60.5; p = 10; n = 40; F = 16 dan f = 15 ( ½.40) -16 Me = ( ) = D. Kuartil (K) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi seperempatan. Ada tiga kuartil yaitu K1, K dan K3 Kuartil data yang tidak dikelompokkan: - Urutkan data - Tentukan letak kuartil ke i dengan Ki = data ke i/4.(n+1) - Tentukan nilai masing-masing kuartil - Contoh data yang telah diurutkan sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 Letak kuartil: K1 = data ke 1/4 (14+1) = data ke 3 ¼ K = data ke /4 (14+1) = data ke 7 ½ K3 = data ke 3/4 (14+1) = data ke 11 ¼ Nilai Kuartil K1 = data ke 3 + ¼ (data ke 4 data ke 3) = 6 + ¼ (6 6) = 6 K = 7 + ½ (7-7) = 7 K3 = 8 + ¼ (9 8) = 8 ¼ Kuartil data dikelompokkan : - Tentukan posisi K1, K dan K3 seperti pada data yang tidak dikelompokkan - Tentukan nilai masing-masing kuartil dengan rumus: in F 4 Ki = b + p ( ) f

26 Ki = nilai kuartil ke i b = batas bawah kelas Ki p = panjang kelas Ki F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Ki f = frekuensi kelas Ki Contoh : Nilai fi Lokasi kuartil : K1 = data ke 1/4 (40+1) = data ke 10 ¼ K = data ke /4 (40+1) = data ke 0 ½ K3 = data ke 3/4 (40+1) = data ke 30 ¾ Kelas kuartil K1 = kelas dengan interval K = kelas dengan interval K3 = kelas dengan interval Nilai Kuartil ke-1( K1) ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) K1 = ( ) 10 = 54.5 Nilai Kuartil ke- (K) ( b = 60.5, p = 10, F = 16, f = 15)

27 K1 = ( ) 15 = 63. Nilai Kuartil ke-3( K3) ( b = 60.5, p = 10, F = 16, f = 15) K1 = ( ) 15 = 69.8 E. Desil (D) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi sepersepuluhan. Ada sembilan kuartil yaitu D1, D, D9 Desil data yang tidak dikelompokkan: - Urutkan data - Tentukan letak desil ke i dengan Di = data ke i/10 (n+1) - Tentukan nilai masing-masing kuartil - Contoh data yang telah diurutkan sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 Letak desil: D1 = data ke 1/10 (14+1) = data ke 1 ½ D = data ke /10 (14+1) = data ke 3 D3 = data ke 3/10 (14+1) = data ke 4 ½ dan seterusnya Nilai Desil D1 = data ke 1 + ½ (data ke data ke 1) = 5 + ½ (5 5) = 5

28 D = 6 D3 = 6 + ½ (6 6) = 6 Desil data dikelompokkan : Tentukan posisi D1, D dan D3 Tentukan nilai masing-masing desil dengan rumus: in F 10 Di = b + p ( ) f Ki = nilai Desil ke i b = batas bawah kelas Di p = panjang kelas Di F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Di f = frekuensi kelas Di Contoh : Nilai fi 40 Lokasi desil : D1 = data ke 1/10 (40+1) = data ke 4 1/10 D = data ke /10 (40+1) = data ke 8 1/5 D3 = data ke 3/10 (40+1) = data ke 1 3/10

29 dimanakah letak D4, D5, D6, D7, D8 dan D9? Kelas desil D1 = kelas dengan interval D = kelas dengan interval D3 = kelas dengan interval Nilai desil ke-1 ( b = 40.5, p = 10, F =, f = 4) D1 = ( ) 4 = 45.5 Nilai Desil ke ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) D = ( ) 10 = 5.5 Nilai Desil ke-3 ( b = 50.5, p = 10, F = 6, f = 10) D3 = ( ) 10 = 56.5 F. Persentil (P) Titik yang membagi sebaran nilai-nilai yang telah diurutkan menjadi seperseratusan. Ada 99 persentil yaitu P1, P, P99 Kuartil data dikelompokkan : Tentukan posisi P1, P, P99 Tentukan nilai masing-masing kuartil dengan rumus:

30 in F 100 Di = b + p ( ) f Pi = nilai Persentil ke i b = batas bawah kelas Pi p = panjang kelas Pi F = jumlah kumulatif frekuensi sebelum kelas Pi f = frekuensi kelas Pi Contoh : Nilai fi 40 Lokasi persentil : P10 = data ke 1/ (40+1) = data ke 4 1/10 Kelas kuartil P10 = kelas dengan interval Nilai persentil ke-10 ( b = 40.5, p = 10, F =, f = 4) P10 = ( ) 4 = 45.5

31 Latihan: Menggunakan tabel distribusi frekuensi tentang hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, hitunglah: 1. Rata-rata hasil tes. Modus 3. Median 4. Kuartil ke 1, dan 3 5. Desil ke 6 6. Persentil ke 40

32 A. Rentang V. UKURAN PENYEBARAN Rentang=data terbesar data terkecil B. Rentang antar kuartil (RAK) RAK= K3 K1 C. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil: ½ (K3 - K1) D. Rata-Rata Simpanga Jumlah semua jarak antara tiap data dengan rata-rata dibagi banyaknya data xi x RS = n Contoh: 4, 5, 7, 8, 8, 10 ( n = 6 dan x = 7) maka RS = = E. Ragam (s atau ) disebut juga Kuadrat Tengah akar kuadrat dari ragam disebut Simpangan baku Ragam Data Tidak dikelompokkan: JK = ( xi x)... Jumlah kuadrat (JK) s = n-1... Derajat bebas (DB) Langkah-langkah: hitung x hitung selisih antara x 1 x, x x dst. hitung kuadrat selisih-selisih di atas

33 jumlahkan seluruh kuadrat-kuadrat tersebut bagilah dengan n-1 Ragam data dikelompokkan: n. fi.ci ( fi.ci) s = p ( ) n. (n-1) p = panjang kelas interval fi = frekuensi kelas ke i ci = nilai tanda (kelas dengan fi terbesar diberi nilai tanda 0) Struktur data: Nilai fi ci ci fi.ci fi.ci fi= n fi.ci fi.ci Ragam Gabungan Jika beberapa kelompok data masing masing mempunyai nilai ragam, maka ragam gabungan seluruh kelompok data tersebut adalah: (ni-1).si s = ni-k

34 Latihan: Jika ada 3 kelompok data maka: (n 1-1).s 1 + (n -1).s + (n 3-1).s 3 s = (n 1 + n + n 3 ) -3 Menggunakan tabel distribusi frekuensi tentang hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, hitunglah: 1. rentang. rentang antar kuartil 3. simpangan kuartil 4. ragam 5. simpangan baku

35 VI. MODEL DISTRIBUSI DATA A. Ukuran Kemiringan (Skewness) Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Dengan mengetahui koefisien kemiringan dapat ditentukan suatu distribusi data memiliki bentuk kurva yang tergolong positif, simetrik atau negatif seperti gambar beriku:

36 1. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson X - Mo Koefisien kemiringan = s dengan: X = rata-rata, Mo = modus dan s = Simpangan baku. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson 3 (X Me) Koefisien kemiringan = s dengan: X = rata-rata, Me = median dan s = Simpangan baku 3. Koefisien kemiringan dengan menggunakan nilai kuartil K 3 K + K 1 Koefisien kemiringan = K 3 K 1 Dengan K 1 = kuartil ke-1, K = kuartil ke- dan K 3 = kuartil ke-3 4. Koefisien kemiringan dengan menggunakan nilai Persentil P 90 P 50 + P 10 Koefisien kemiringan = P 90 P 10 Dengan P 90 = persentil ke-90, P 50 = persentil ke-50 dan P 10 = Persentil ke 10 Kriteria: 1. Jika koefisien kemiringan kurang dari nol maka bentuk distribusinya negatif

37 . Jika koefisien kemiringan sama dengan nol maka bentuk distribusinya simetrik 3. Jika koefisien kemiringan lebih dari nol maka bentuk distribusinya positif Selain dengan menghitung koefisien kemiringan, bentuk distribusi juga dapat ditentukan dengan membandingkan nilai-nilai modus (Mo), median (Me) dan rata-rata (X). kriteria: 1. Distribusi simetrik jika Mo=Me=X. Distribusi positif jika Mo<Me<X 3. Distribusi negatif jika Mo>Me>X B. Ukuran Keruncingan (Kurtosis) Kurtosis adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi. Suatu distribusi yang relatif tinggi dinamakan leptokurtik, jika puncaknya datar disebut platikurtik dan jika puncaknya tidak terlalu tinggi atau terlalu datar disebut mesokurtik. Untuk mengetahui keruncingan kurva dapat ditentukan dengan menghitung koefisien kurtosis: ½ (K3-K1) K = P90 P10

38 dengan K3= kuartil ke-3, K1= kuartil ke-1, P90 = persentil ke-90 dan P10 = persentil ke-10 Kriteria: 1. Jika koefisien kurtosis kurang dari 0,63 bentuk distribusi: platikurtik. Jika koefisien kurtosis sama dengan 0,63 bentuk distribusi: mesokurtik 3. Jika koefisien kurtosis lebih dari 0,63 bentuk distribusi: leptokurtik Latihan: Menggunakan tabel distribusi frekuensi hasil tes tentang Management of change pada latihan sebelumnya, tentukan model distribusi berdasarkan koefisien kemiringan dan koefisien keruncingan.

39 VII. PROBABILITAS A. Arti Probabilitas 1. Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.. Probabilitas atau peluang merupakan ukuran numeric tentang seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi. 3. Kejadian Acak atau random event ialah suatu kejadian yang tak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya. 4. Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif dari suatu sukses yang diperoleh jika suatu percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak terbatas didalam situasi dan kondisi yang sama. Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah : P (A) = n(a)/n(s) = m/n Perumusan ini harus memenuhi ketentuan : Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau bukan bernilai negatif, yaitu : P (A) 0. Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara : 0 P (A) 1 Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama dengan 1. Atau : P (A) + P (A) = 1 P (A) = 1 P (A) Contoh : Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi. Lima dari keenam sisi tersebut dicat biru sedangkan satu sisi selebihnya

40 dicat hijau.bila dadu tersebut dilempar sebanyak satu kali, berapa : a. Probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru b. Probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau Jawab : a. P (Biru) = 5/6 b. P (Hijau) = 1/6 Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci : 1. Eksperimen Proses pengumpulan data dari sebuah fenomena yang memperlihatkan variasi pada hasilnya.. Ruang sampel Kumpulan dari seluruh kemungkinan hasil yang didapatkan dari suatu eksperimen, dilambangkan dengan S. 3. Peristiwa/Event/Kejadian Kumpulan hasil-hasil dasar yang digolongkan oleh suatu ciri tertentu. B. Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan 1) Ruang sampel Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan. Keseluruhan dari titik sampel dinamakan Ruang sampel dan dilambangkan dengan S. Contoh : S = { 1,,3,4,5,6} ruang vektor Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen (percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali dinamakan Titik Sampel. A = { } ) Peristiwa/kejadian (event) Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.

41 Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A B Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A B Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang saling lepas, A B = 0 Peristiwa A bagian B dinotasikan dengan A B

42 C. Probabilitas Suatu Peristiwa Probabilitas memberikan nilai kuantitatif pada peryataan seberapa sering suatu peristiwa terjadi. n Probabilitas peristiwa A : p( A) N Beberapa sifat : a. P(A)=1-P(A ) b. 0<=P(A)<=1 c. P(S)=P(A)+P(A ) Contoh : Suatu kemasan berisi 6 Flash Disk A, 4 Flash Disk B dan 3 Flash Disk C. Bila seseorang mengambil satu Flash Disk secara acak, maka : Peluang terambil satu Flash DIsk A, karena 6 dari 13 disket adalah Flash A, maka peluang peristiwa A, satu Flash A terpilih secara acak adalah : P(A)=6/13 Peluang terambil satu disket B (peristiwa B) atau disket C(peristiwa C) karena terdapat 7 dari 13 disket adalah disket B atau disket C maka : P( B C) 7 /13 Peristiwa yang saling lepas (Mutually Exclusive) Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A B =Ø, maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling terpisah. Secara matematis dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika mereka tidak memiliki unsur yang sama dan A B = 0 (himpunan kosong). Bila A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas, maka : P (A B) = P (A) + P (B)

43 Dimana : A B = 0 dan P (A B) = 0. Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali, berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3? Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1 B = peristiwa timbulnya mata dadu 3 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6 A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas. P (A B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = /6 = 1/3 Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah. Peristiwa tidak saling lepas / kejadian majemuk Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang sampel S, maka gabungan kejadian A dan B ditulis A B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduaduanya. Kejadian A B disebut kejadian majemuk, dan A B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B disebut kejadian majemuk. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Contoh : Peluang seorang murid SD yang lulus mata pelajaran matematika adalah /3 dari peluang ia lulus mata pelajaran bahasa Indonesia adalah 4/9. Bila sekurang kurangnya satumata pelajaran diatas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata pelajaran tersebut! Jawab : P(A) = /3; P(B) =4/9; P( A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 4 / 5

44 = /3 + 4/9 4/5 = 14/45 Peristiwa yang saling bebas (independen) Dua peristiwa dikatakan independen jika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus : P (A B ) = P (A). P (B) Contoh : 1) Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung peluang! Jawab: P(A) = 4 /5; P(B) = 13/5; maka P( A B) 1/ 5 ) Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)= 0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku: P( A B) P( A) P( B) P( A B) 4/5 13/5 1/5 16/5 4/13 P( A B) P( A). P( B) (0,3)(0,4) 0,1 D. Probabilitas bersyarat Probabilitas suatu peristiwa A seringkali harus dimodifikasikan bila ada informasi bahwa terdapat peristiwa b yang berkaitan dengan peristiwa a tersebut telah terjadi sebelumnya. Perubahan nilai probabilitas peristiwa A bila diketahui bahwa peristiwa b telah terjadi disebut sebagai

45 probabilitas bersyarat a bila diketahui b terjadi dan dinotasikan dengan P(A B). Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi disebut Probabilitas bersyarat (conditional probability). Rumus Probabilitas bersyarat P( A B) P( A/ B) ; bilap ( B) 0 P( B) Rumus diatas dapat ditulis kembali sebagai : P( A B) P( B). P( A/ B) dan dinyatakan sebagai aturan perkalian, bila terdapat tiga peristiwa A,B, dan C maka sesuai dengan aturan perkalian didapatkan: P( A1 A A3... Ak ) P( A1 ) P( A A1 ) P( A3 A1 A )... P( Ak A1 A... Ak 1) Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadi bernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidak mempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga : P(B/A)=P(B) atau P(A/B)=P(A) Kondisi ini dinamakan sebagai peristiwa yang saling bebas(independent) antara A dan B,Sesuai dengan aturan perkalian maka kondisi saling bebas tersebut : p( A B) P( A) P( B) Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A,...,Ak yang saling bebas maka: P ( A1 A 3 k 1 k A... A ) P( A ). P( A )... P( A )

46 Contoh : 1) Misalkan ruang sampel menyatakan populasi media penyimpanan data (disket dan CD) pada suatu kantor tertentu.media penyimpan data tersebut dikelompokan menurut kondisinya: Diadakan audit untuk mengetahui kondidi media penyimpanan data dikantor tsb. Dengan cara mengambil sampel secara acak pada kotak media penyimpanan.bila media yang terpilih ternyata mempunyai kondisi baik, berapakah peluang yang terpilih itu media CD? Jawab : Bila M=CD yang terpilih E=Kondisi media yang terpilih baik : ) Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila buah gulungan filem diambil acak satu persatu secara beruutan. Jawab: Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama eusak B: peristiwa terambil gulungan kedua rusak Maka peluang kedua gulungan rusak adalah :

47 VII. PERMUTASI Dalam beberapa macam cara suatu peristiwa dapat terjadi? Dalam berapa macam cara suatu pemilihan terhadap sebagian dari keseluruhan obyek dapat dilakukan? Pertanyaan sedemikian itu acapkali timbul dalam persoalan tentang cara menghitung berbagai kemungkinan memilih sampel dari suatu populasi tertentu. Pada asasnya, persoalan diatas sama dengan persoalan mencari jumlah cara menyusun atau mengatur suatu himpunan obyek tertentu. A. Permutasi Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu: Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara. Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam cara. Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara. Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3::1 =6. Secara formal, permutasi dapat didevinisikan sebagai berikut.

48 Definisi 1.1 Permutasi dari n unsur yang berbeda adalah pengurutan dari n unsur tersebut. Contoh 1.1 Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC! Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC. Teorema 1.1 Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda. Bukti. Asumsikan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda merupakan aktitas yang terdiri dari n langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n 1 cara karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-n yang bisa dilakukan dengan 1 cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, terdapat permutasi dari n unsur yang berbeda. Contoh 1. Berapa banyak permutasi dari huruf ABC? Terdapat 3..1 = 6 permutasi dari huruf ABC. Contoh 1.3 Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus selalu muncul bersama? Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama, maka subuntai ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah = 4.

49 Denisi 1. Permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah pengurutan dari sub-himpunan dengan r anggota dari himpunan. Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan P(n; r). Contoh 1.4 Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Permutasi-3 dari huruf ABCDE adalah : Sehingga banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60. Teorema 1. Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah Bukti. Asumsikan bahwa permutasi- dari unsur yang berbeda merupakan aktitas yang terdiri dari langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan cara karena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke-r yang

50 bisa dilakukan dengan cara. Berdasarkan Prinsip Perkalian, diperoleh Contoh 1.5 Gunakan Teorema 3. untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60 B. Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang terpilih 1. Permutasi dari n obyek seluruhnya DEFINISI : Bila n menyatakan bilangan bulat positif, maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan diberi tanda n!. Penjelasan : Jika n = 1,,..., maka n! = n (n-1) (n-) = n (n-1)! Dan (n+1)! = (n+1)n!. Permutasi sebanyak r dari n obyek DEFINISI : Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara matematis dinamakan permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n obyek yang berbeda dimana rpn. secara simbolis, permutasi sedemikian itu dinyatakan sebagain P.

51 Contoh : Jika kita gunakan perumusan npr = n! (n-r)! untuk menghitung jumlah permutasi huruf yang diambil dari kata laut dalam contoh maka akan diperoleh hasil : npr = 4 P = 4! = 1 (4-)! 3. Permutasi keliling (circular permutation) Permutasi suatu himpunan obyek yang membuat suatu lingkaran dinamakan Permutasi keliling. Bila suatu himpunan obyek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran, permutasi obyek yang bersangkutan sebetulnya mempersoalkan kedudukan relatif obyek - obyek diatas bila melintasi lingkaran dalam arti yang tertentu. 4. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih TEOREMA.4.1. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih. Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek dan yang diambil sekaligus sebanyak r dengan pemulihan obyek yang telah terpilih ialah : npr = n*r dengan ketentuan r dan n merupakan bilangan bulat positif. 5. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan Secara intuitif, jumlah permutasi dari obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih banyak daripada jumlah permutasi dimana terdapat beberapa kumpulan obyek yang sama. Hal sedemikian mudah sekali dimengerti. Kumpulan {a, a, a} terdiri

52 dari 3 unsur yang tidak dapat dibedakan dan hanya dapat dipermutasikan dalam satu cara saja. Jika kita bedakan unsur himpunan diatas menjadi {a1, a, a3}, jumlah permutasi himpunan {a1, a, a3} akan menjadi : np n = n! = 3! = 6

53 VIII. KOMBINASI Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan, Contoh : Diketahui himpunan. Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki unsur! Jawab : Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki unsur adalah C (6, ). Cara cepat mengerjakan soal kombinasi dengan penulisan nck, hitung 10 C 4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu dibagi jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3xx1 berapa itu?

54 jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. Contoh lainnya 0C 5 = 0 C 15 3C = 3 C 1 100C97=100C3 melihat polanya! Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan/posisi Misalkan: Kombinasi 3 dari 3 obyek A, B dan C adalah: ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA ( Hanya terdapat 1 kombinasi) Dalil-1 Kombinasi : Kombinasi r dari n obyek adalah C n r n! r!( n r)! Contoh : Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk? 40 40! 40! ! C 3 = ! ( 40 3)! 3! 37! 3! 37! Jika anda hanya mempunyai 1 rekening, maka peluang anda menjadi salah satu pemenang adalah: P(Menang) = Kaidah Perkalian & Kombinasi Dalam banyak soal, kaidah penggandaan/perkalian kombinasi seringkali digunakan bersama-sama. dan

55 Contoh : Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan dari Program Pelatihan manajer. (a) Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal dari Kantor Pusat. dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer? 5 Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C 5! 3 3!! 10 3 Pemilihan dari 3 calon dari Kantor Cabang = C 3!! 1! 3 Pemilihan 1 dari calon dari Program Pelatihan= C! 1 1! 1! n = Pemilihan Manajer = 10 3 = 60 cara (b) Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer? 10 10! N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer = C !4! (c) Berapa peluang 6 manajer baru tersebut terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan? P(manajer) = n N Kombinasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan tidak memperhatikan urutan. Banyaknya kombinasi r unsur dari himpunan dengan n unsur dinotasikan dengan n r bahwa jika C, atau n. Perhatikan r r n, definisikan C n, r 0. Jika n 0 dan r

56 bilangan bulat positif, maka C 0,r. Hal tersebut akan 0 0 berakibat bahwa C 0,0 1. Fakta berikutnya adalah untuk bilangan bulat tidak negatif n berlaku n, 0 1 C n, 1 n dan C n, n 1 Untuk r n, P n, r r! Cn, r Akibatnya, Cn, r n! n r r!n r! C, Kombinasi Berbeda dengan permutasi yang urutan menjadi pertimbangan, pada kombinasi urutan tidak dipertimbangkan. Misalnya pemilihan 3 orang untuk mewakili kelompak 5 orang (misalnya Dedi, Eka, Feri, Gani dan Hari) dalam mengikuti suatu kegiatan. Dalam masalah ini, urutan tidak dipertimbangkan karena tidak ada bedanya antara Dedi, Eka dan Feri dengan Eka, Dedi dan Feri. Dengan mendata semua kemungkinan 3 orang yang akan dipilih dari 5 orang yang ada, diperoleh: Sehingga terdapat 10 cara untuk memilih 3 orang dari 5 orang yang ada. Selanjutnya kita dapat mendefinisikan kombinasi secara formal seperti di bawah ini.

57 Definisi Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan { (sub-himpunan dengan r unsur). Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan C(n,r) atau (n,r ). Contoh 3.6 Tentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Kombinasi-3 dari huruf ABCDE adalah: ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE Sehingga banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10. Teorema Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah C(n, r) = n! ( n r)!. r! Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menghitung permutasi dari n unsur yang berbeda dengan cara berikut ini. Langkah pertama adalah menghitung kombinasi-r dari n, yaitu C(n; r). Langkah kedua adalah mengurutkan r unsur tersebut, yaitu r!. Dengan demikian, seperti yang diinginkan. P(n,r) = C(n, r).r! C(n,r) = = = P( n, r) r! n!/( n r)! r! n! ( n r)!. r!

58 Contoh 3.7 Gunakan Teorema 3.3 untuk menentukan kombinasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE. Karena r = 3 dan n = 5 maka kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah C(5,3) = 5! = (5 3)!.3! 5! 5. = = 5. = 10!.3! 4 Jadi banyaknya kombinasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 10. Contoh 3.8 Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang. Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6 unsur yang tersedia. Sehingga dengan mengunakan Teorema 3.3 dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh: C(6,4) = 6! = (6 4)!.4! 6! 6. = = 3:5 = 15!.4! 5 Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang. Contoh 3.9 Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari mahasiswa dan 3 ma-hasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Pertama, memilih mahasiswa dari 5 mahasiswa yang ada, yaitu: 5! 5! 5. 4 C(5,) = = = = 5. = 10 (5 )!.! 3!.! Kedua, memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi yang ada, yaitu: 6! 6! C(6,3) = = = = 5.4 = 0 (6 3)!.3! 3!.3! 3.

59 Sehingga terdapat 10:0 = 00 cara untuk membentuk sebuah panitia yang terdiri dari mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi? Generalisasi Kombinasi Generalisasi kombinasi merupakan perluasan dari kombinasi yang membolehkan pengulangan suatu unsur. Misalnya kita ingin memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah, biru dan kuning. Kemungkinan terpilihnya 4 kelereng tersebut adalah Sehingga terdapat 15 kemungkinan terpilihnya 4 kelereng tersebut. Permasalahan di atas dapat kita nyatakan sebagai seleksi dari simbol yang terdiri dari 4 simbol o sebagai kelereng dan 3 1 simbol k sebagai pemisah kelereng yang berbeda warna. Selanjutnya kita menentukan posisi dari simbol-simbol tersebut, yaitu:

60 Dari seleksi diperoleh 15 kemungkinan pengaturan simbolsimbol tersebut.secara umum permasalahan diatas dapat disajikan dalam teorema berikut ini. Teorema 3.5 Jika X merupakan sebuah himpunan yang mempunyai t unsur dimana pegulangan diperbolehkan, maka banyaknya seleksi k unsur tak terurut dari X adalah Bukti. Misalkan. Asumsikan bahwa terdapat k +t - 1 slot yang akan diisi oleh k+t - 1 simbol yang terdiri dari k simbol o dan t - 1 simbol.penempatan simbol-simbol pada slot tertentu merupakan representasi dari proses seleksi. Bilangan dari simbol o hingga simbol yang pertama merepresentasikan seleksi dari ;

61 bilangan dari simbol o dari simbol yang pertama hingga simbol yang kedua merepresentasikan seleksi dari ; dan seterusnya sampai seleksi dari.karena terdapat C(k + t 1, t - 1) cara untuk menentukan posisi simbol, maka juga terdapat C(k +t - 1, t - 1) seleksi. Hal ini juga sama dengan C(k + t 1, k) cara untuk menentukan posisi simbol o. Sehingga terdapat C(k + t 1; t 1) = C(k + t 1; k) seleksi k-unsur tak terurut dari X dimana pengulangan diperbolehkan. Contoh 3.11 Gunakan Teorema 3.5 untuk menentukan banyaknya cara memilih 4 kelereng dari sebuah kantong yang berisi paling sedikitnya 4 kelereng dari masing-masing warna yaitu merah, biru dan kuning. Karena ada 3 warna kelereng dan 4 kelereng akan dipilih, maka t = 3 dan k = 4. Sehingga banyaknya cara pemilihan 4 kelereng adalah: Contoh 3.1 Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari persamaan Setiap solusi dari persamaan tersebut ekuivalen dengan pemilihan 10 butir dari jenis. Sehingga banyaknya seleksi adalah C(10 + 1, - 1) = C(11, 1) = 11

62 LATIHAN SOAL A. Probabilitas 1. Dua buah dadu dilempar sekaligus sebanyak sekali. Hitunglah peluang muncul mata dadu berjumlah 10 atau 7!. Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 6 bola putih,7 bola hijau, 3 bola biru. Semua bola sama bentuk,besar dan bobotnya. Apabila sebuah bola diambil secara random, berapa probabilitasnya bahwa : a. bola itu merah b. bola itu hijau B. Permutasi 1. Suatu Organisasi akan memilih ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara & humas. Jika ketua & wakil ketua dipilih dari 5 orang, sedangkan sekretaris, bendahara & humas dipilih dari 7 orang yang lain. Maka banyak cara menyusun pengurus organisasi tersebut adalah? C. Kombinasi 1. Ada 8 siswa baru yang belum saling mengenal satu sama lain. Apabila mereka ingin berkenalan dengan berjabat tangan, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak??. Suatu perkumpulan terdiri dari 7 orang pria & 5 orang wanita akan mengirimkan utusan untuk mengikuti rapat yang hanya terdiri dari 3 orang pria & orang wanita. Bnyaknya susunan utusan tersebut adalah..?

63 IX. POPULASI DAN SAMPEL A. PENGERTIAN POPULASI DAN SAMPEL 1. Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang akan diteliti (bahan penelitian). Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga, dan tanah pertanian.. Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang dianggap bisa memiliki populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel. Unit sampel mungkin sama dengan unit analisis, tetapi mungkin juga tidak. 3. Parameter dan statistik adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukan suatu ciri dari populasi data sampel. Parameter dan statistik merupakan hasil hitungan nilai dari semua unit di dalam populasi dan sampel yang bersangkutan. B. CARA PENGUMPULAN DATA Cara pengumpulan data ada, yaitu: 1. Sensus : cara pengumpulan data yang mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.. Sampling : cara pengumpulan data hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

64 Alasan dipilih sampling: 1) Objek penelitian yang homogen ) Objek penelitian yang mudah rusak 3) Penghematan biaya dan waktu 4) Masalah penelitian 5) Ukuran populasi 6) Faktor ekonomis Contoh: Darah Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam, yaitu probabilitas dan nonprobabilitas. I. Probabilitas ( Sampling Random / Sampling Acak ) a. Sampling Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi. b. Sampling Acak Bertingkat (Stratified Random Sampling) Bentuk sampling random yang populasinya atau elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut strata. c. Sampling Acak Sistematis (Systematic Random Sampling) Bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang akan disusun secara teratur. d. Sampling Kelompok atau Sampling Kluster (Cluster Sampling) Bentuk sampling random yang populasinya dibagi menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturanaturan tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintah

65 II. Nonprobabilitas ( Sampling NonRandom / Sampling Tidak Acak ) Cara pengambilan sampel yang semua objek atau elemen populasinya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Seperti : a. Sampling Kuota Sampling kuota adalah bentuk sampling nonrandom yang merincikan lebih dahulu segala sesuatu yang berhubungan dengan pengambilan sampel. b. Sampling Pertimbangan Sampiling pertimbangan adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya ditentukan oleh peneliti berdasarkan pertimbangan dan kebijaksanaan. c. Sampling Seadanya Sampling seadanya adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahan mendapatkan data yang diperlukan.

66 X. DISTRIBUSI PROBABILITAS A. VARIABEL RANDOM Definisi 1: Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R CONTOH 1: Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan real. Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah X = banyaknya sisi gambar yang muncul. Maka nilai numerik 0, 1,, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik sampel. Definisi : Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya. Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit disebut variabel random diskrit. CONTOH : - banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar k barang. - banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi pernafasan setiap tahun di Surabaya.

67 Definisi 3 : Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval. Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu disebut variabel random kontinu. CONTOH 3 : - lamanya reaksi kimia tertentu - jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter bensin. B. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi probabilitas atau distribusi proabilitas dari variabel random diskrit, jika 1.. f ( x) 0 x 3. P( X f ( x) 1 x) f ( x) Rata-rata dan varians dari variabel random diskrit X E( X ) E[( X x ) xf ( x) ] x ( x ) f ( x) C. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan (density) probabilitas untuk variabel kontinu X, jika

68 1. f ( x) f ( x) dx 1 P( a X b) b a f ( x) dx Rata-rata dan varians dari variabel random kontinu X E( X ) E[( X ) xf ( x) dx ] ( x ) f ( x) dx D. BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT 1. Distribusi Binomial Ciri-ciri percobaan binomial : a. Percobaan terdiri dari n ulangan b. Setiap hasil ulangan dapat digolongkan sebagai sukses (S) atau gagal (G) c. Probabilitas sukses (p) untuk setiap ulangan adalah sama d. Setiap ulangan harus bersifat independen. Definisi 4 : Suatu percobaan dengan n ulangan mempunyai probabilitas sukses p dan gagal q = 1-p. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam n ulangan yang bebas, maka X berdistribusi Binomial dengan distribusi probabilitas : b(x; n n, p) p x x q n x, x 0,1,,... n Nilai harapan (rata-rata) dan varians dari variabel random yang berdistribusi Binomial = np = npq

69 SOAL 1 : Uang logam setimbang dilemparkan sebanyak empat kali. Tentukan distribusi probabilitas bagi banyaknya sisi gambar yang muncul. SOAL : Probabilitas seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0,4. Jika 15 orang diketahui menderita penyakit ini, tentukan probabilitas : a. Tepat 5 orang yang sembuh b. Ada 3 sampai 8 orang yang sembuh c. Sekurang-kurangnya 3 orang sembuh.. Distribusi Hipergeometrik Ciri-ciri percobaan Hipergeometrik : a. Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N b. Dari populasi berukuran N benda, sebanyak k benda diberi label sukses, dan N-k benda diberi label gagal. Definisi 5 : Dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label sukses dan N-k benda lainnya diberi label gagal. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam sampel acak berukuran n, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan distribusi probabilitas h(x; N, n, k N k x n x k) N n, x 0,1,,... k

70 Nilai harapan dan varians dari variabel random yang berdistribusi Hipergeometrik adalah nk N N N n k. n. 1 1 n k N SOAL 3 : Sebuah panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 mahasiswa farmasi dan 5 mahasiswa kedokteran. Tentukan distribusi probabilitas banyaknya maha-siswa farmasi dalam panitia tersebut. Bila n relatif kecil dibandingkan dengan N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri dengan distribusi binomial h (x; N, n, k) b (x; n, p) SOAL 4 : Sebuah perusahaan farmasi melaporkan bahwa diantara 5000 pemakai obat tertentu 4000 diantaranya menggunakan obat generik. Jika 10 orang diantara pemakai obat tersebut dipilih secara acak, berapa probabilitas tepat ada 3 orang yang memakai obat non generik? 3. Distribusi Poisson Ciri-ciri percobaan Poisson : a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang terpisah.

71 b. Probabilitas terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut. c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat, dapat diabaikan. Definisi 6 : Jika variabel random X menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu tertentu, dan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam selang waktu tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan distribusi probabilitas e p(x; ) x x!, x 0,1,,... Nilai harapan dan varians dari ariable random yang berdistribusi Poisson keduanya sama dengan. SOAL 5 : Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di lab adalah 4. Berapa prob 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu? Misalkan X b(x; n,p), bila n, p 0, maka b(x; n,p) p(x; ) dengan = np.

72 SOAL 6 : Probabilitas seseorang meninggal karena suatu infeksi pernafasan adalah 0,00. Carilah probabilitas jika 000 orang yang terserang infeksi tersebut, kurang dari 5 orang akan meninggal! Tentukan ratarata dan variansnya. E. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU 1. Distribusi Normal Definisi 7 : Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians jika mempunyai fungsi densitas f(x) = n(x;, ) Sifat-sifat kurva normal : 1 e a. Modus terjadi pada x = b. Kurva simetris terhadap x = 1 x, - x c. Kedua ujung kurva secara asimtotik mendekati sumbu datar x, bila nilai x bergerak menjauhi. d. Seluruh luas dibawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

73 f(x) x1 X x Gambar 1 : Kurva Normal Misalkan ingin dihitung P (x 1 < X < x ) dari variabel random X yang berdistribusi normal, maka berdasar kurva di atas P (x 1 < X < x ) = luas daerah yang diarsir. Untuk menghitung P(x 1 < X < x ) x x 1 f ( x) dx sulit diselesaikan. Namun dapat diatasi dengan mentransformasi variabel random normal X menjadi variabel random Z Z X. Distribusi variabel random Z disebut dengan Distribusi Normal Standart, dengan fungsi densitas 1 z f ( z) e, - z dengan = 0 dan =1.

74 SOAL 7 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah luas daerah di bawah kurva yang terletak : a. di sebelah kiri z = -1,39 b. antara z = - dan z = c. disebelah kanan z = 1,84. SOAL 8 : Diketahui suatu distribusi normal standart, carilah nilai k sehingga a. P (Z > k) = 0,3015 b. P (k < Z < -0,18) = 0,4197 c. P (-0,93 < Z < k) = 0,735. SOAL 9 : Variabel random X berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Tentukan a. P (x < 45) b. P ( 47 < x < 6) c. P (x > 64) SOAL 10 : Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dengan simpangan baku 4,1 cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya melebihi 35 cm, a. bila tingginya menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun? b. bila kali ini tingginya diukur sampai cm terdekat?

75 . Hampiran Normal Terhadap Distribusi Binomial Jika variabel random X berdistribusi Binomial dengan mean = np dan varians = npq, maka variabel random Z X np npq untuk n berdistribusi normal standart. SOAL 11 : Probabilitas seorang penderita sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang muncul sebesar 0,4. Bila diketahui ada 100 orang yang telah terserang penyakit ini, berapa probabilitas bahwa kurang dari 30 yang sembuh? SOAL-SOAL LATIHAN : 1. Menurut teori Mendel tentang sifat-sifat keturunan, perkawinan silang jenis tanaman yang serupa, yang satu berbunga merah dan lainnya berbunga putih, menghasilkan keturunan yang 5% tanamannya berbunga merah. Andaikan seorang ahli tanaman ingin mengawinsilangkan lima pasang berbunga merah dan berbunga putih. Berapa probabilitas bahwa dari 5 keturunan yang dihasilkan a. Tidak terdapat bunga berwarna merah. b. Paling sedikit 4 tanaman berbunga merah. c. Paling banyak 4 tanaman berbunga merah.. Suatu perusahaan farmasi mengetahui bahwa secara rata-rata, 5% dari sejenis pil mempunyai campuran dibawah syarat minimum, sehingga tidak memenuhi persyaratan. Berapa probabilitas bahwa kurang dari 10 pil dalam sampel 00 pil tidak memenuhi persyaratan?

76 3. Panjang ikan sardine yang diterima suatu pabrik pengalengan ikan mempunyai panjang rata-rata 4,54 inci dan simpangan baku 0,5 inci. Apabila distribusi panjang ikan sardine tersebut mengikuti distribusi normal, berapa persentase dari ikan-ikan tersebut yang panjangnya adalah : a. Lebih dari 5 inci b. Kurang dari 5 inci c. 4,4 sampai 4,6 inci? 4. Probabilitas seorang mahasiswa gagal dalam tes scoliosis (membengkoknya tulang belakang) adalah 0,004. Diantara 1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah probabilitas terdapat : a. kurang dari 5 mahasiswa gagal dalam tes itu b. lebih dari mahasiswa gagal dalam tes tersebut c. 8, 9 atau 10 mahasiswa gagal dalam tes tersebut. 5. Dalam suatu dos berisi 50 botol obat dan 5 buah diantaranya tidak memenuhi standart. Dari dos tersebut diambil 4 botol obat secara acak, berapa probabilitas mendapat botol yang tidak memenuhi standart? 6. Dalam suatu ujian statistika, diketahui bahwa nilai rata-ratanya adalah 8 dengan simpangan baku sama dengan 5. Semua mahasiswa dengan nilai dari 88 sampai 94 mendapat nilai B. Bila nilai-nilai statistika tersebut berdistribusi normal, dan 8 siswa mendapat nilai B, berapa banyak mahasiswa yang menempuh ujian tersebut (bila nilai ujian dibulatkan ke bilangan bulat terdekat)? 7. Secara rata-rata, di Indonesia banyaknya kematian yang disebabkan oleh penyakit tertentu adalah 3 orang perhari. Tentukan probabilitas dalam suatu hari terjadi kematian a. kurang dari orang b. lebih dari 5 orang

77 c. antara 3 sampai 7 orang. 8. Suatu organisasi ilmiah mempunyai 1000 anggota, dimana 100 orang diantaranya adalah sarjana farmasi. Jika 10 orang diambil secara acak untuk diangkat jadi pengurus organisasi itu, maka tentukan probabilitas lebih dari 5 orang sarjana farmasi duduk dalam pengurus itu. 9. Tentukan mean dan varians untuk semua soal diatas yang variabel randomnya diskrit. 10. Tinggi 1000 mahasiswa menyebar normal dengan rata-rata 174,5 cm dan simpangan baku 6,9 cm. Bila tinggi dicatat sampai setengah cm terdekat, berapa banyak diantara mahasiswa tersebut yang memiliki tinggi a. Kurang dari 160,5 cm b. Sama dengan 175 cm c. Antara 171,5 sampai 18 cm.

78 XI. DISTRIBUSI NORMAL A. Beberapa pengertian umum tentang distribusi Normal 1. Fungsi kepekatan normal umum dan standar Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian besar dari variable random yang kontinu di pelbagai bidang aplikasi yang beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya. Distribusi normal yang demikian merupakan distribusi yang simetris, berbentuk genta dan kontinu serta memiliki fungsi frekuensi. F(x)= 1 ( 1 )( x ) e 1.1 Fungsi f(x) di atas juga dinamakan fungsi kepekatan normal ( normal density function). Rumus diatas, distribusi normal tergantung pada parameter yaitu rata-rata dan varians σ. Dengan kata lain, distribusi normal umum merupakan sekeluarga kurva yang berparameter dua buah dan agar kita memperoleh suatu gambaran tentang distribusi normal yang khusus, kedua parameter diatas harus diberi harga yang tertentu pula. Hasilnya, fungsi kepekatan normal seringkali dinyatakan sebagai berikut :

79 ( )( x ) n(x,σ ) = F(x) = e X 1 1 X 1. Dengan sendirinya, suatu distribusi normal dapat dibedakan dari distribusi normal yang lain atas dasar perbedaan rata-ratanya atau variansinya atau kedua-duanya. Jika sudah tertentu tanpa menentukan σ X, maka kita akan memperoleh serangkaian keluarga distribusi normal yang memiliki rata-rata yang sama dengan varians seperti pada diagram 1.1 Sebaliknya, jika σ X sudah tertentu sedangkan tidak ditentukan, kita akan peroleh serangkaian keluarga kurva normal yang memiliki bentuk yang sama dengan lokasi yang berbeda sepanjag sumbu X seperti dalam diagram 1. Diagram 1.1 0,5 1 5

80 Diagram 1. F(x) 0 Karena distribusinya kontinu, cara menghitung probablitasnya dilakukan dengan jalan menetukan luas di bawah kurvanya. Sayangnya, fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitas umumnya dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel randomnya ialah Z dengan variable normal standar Z = makalah ini. = 0 dan µ = 1. Tabel bagi dapat dilihat pada bab akhir Definisi dari diagram 1.1 bila Z merupakan variabel random yang kemungkinan harga-harganya menyatakan bilangan-bilangan riil antara - dan +, maka Z dinamakan variabel normal standar bila dan hanya bila probabilitas interval dari a ke b menyatakan luas dari a ke b antara sumbu Z dan kurva normalnya dan persamaanya diberikan sebagai berikut : f(z) = 1 ( 1 ) e 1.3

81 Fungi yang dirumuskan dengan rumus 1.3 diatas dinamakan fungsi kepekatan normal standar ( standar normal density function). Grafiknya dapat dilihat pada diagram 3 Diagram 3. fungsi kepekatan normal standar f(z) = 1 ( 1 ) e f(x) 0,4 0,3 0, 0, Z Pada diagram 1.3 di atas, skala f(z) dapat berubah. Agar f(z) = 1, maka f(z) naik, mencapai titik maksimal 0,399 dan turun pula. Harus selalu diingat bahwa probabilitas pada sembarang titik-titik ialah nol karena bagi variabel kontinu, probabilitas selalu dinyatakan dalam interval. Dengan kata lain, probabilitas Z yang merupakan nilai pada interval antara Z = a hingga Z = b adalah sama dengan luas yang dibatasi oleh kurva normalnya, sumbu Z dan garis vertical Z = a dan Z = b. hal demikian dapat dilihat pada diagram 1.4

82 diagram 1.4 Kurva normal standar f(x) A(Z) a 0 b Z seperti yang kita ketahui, bahwa pencarian luas kurva normal diatas dapat dilakukan dengan bantuan tabel luas normal A(z). Contoh 1.1: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai 0 dan 1? Per Table luas kurva normal, maka p(0 < Z < 1) = 0,3413. Contoh 1.: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara - dan +? Per Tabel luas kurva normal, maka p(- < Z < +) = (0,477) = 0,9544. Hal tersebut berarti bahwa 95,44 % dari seluruh luas kurva normal standar terletak antara - dan +. Contoh 1.3: Berapakah probabilitas variabel random normal yang standar merupakan nilai antara 0,1 dan,8? Per Tabel luas kurva normal, maka p(0,1 < Z <,8 ) = p(0 < Z <,8 ) p(0 < Z < 0,1 ) = 0,4974 0,0398 = 0,4576. Luas kurvanya dapat dilihat pada diagram 5

83 Diagram 5 Kurva normal standar, p(0,10 < Z <,8 ). f(z) p(0,10 < Z <,8 ) = 0,4576 Contoh 1. 4 : carilah p( Z > - 0,0 ) Diagram 6 Kurva normal standar, p( Z > - 0,0 ) Z f(z) p(z>-0, 0 ) = 0,5793 Z Dari diagram 1.6, kita ketahui bahwa p( Z > -0,0 ) = 0, p(-0,0 < Z < 0 ) = 0, ,0793 = 0,5793

84 . Fungsi distribusi kumulatif Secara umum, fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal yang kontinu dengan berikut : dan dirumuskan sebagai F(x) = 1 1 ( )( x ) e dx 1.4 Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar (standardized normal cumulative distribution function) dirumuskan sebagai berikut : F(z) = 1 ( 1 ) e dz 1.5 Dan grafiknya dapat dilihat pada diagram 1.7

85 Diagram 1 7, Fungsi distribusi normal kumulatif yang standar 1,00 f(z) 0,80 0,60 0,40 0, ,67 0 0,67 3 Z Contoh 1.4 Carilah p(0 < Z < 1 ) dalam soal contoh 1 Per Tabel distribusi normal kumulatif f(1) = 0,8413 dan f(0) = 0,5000 sehingga p(0 < Z < 1 ) = f(1) f(0) = 0,8413 0,5000 = 0,3413 ( referensi diagram ) Contoh 1.5 Carilah p(0,10 < Z <,80 ) dalam soal contoh 1.3 Per Tabel distribusi normal kumulatif, f(,8) = 0,9974 dan f(0,10) = 0,5398 sehingga p(0,10 < Z <,8 ) = f(,8) f(0,10) = 0,9974 0,5398 = 0, Beberapa contoh tentang penggunaan tabel luas kurva normal dan distribusi normal kumulatif

86 Pada hakekatnya, kurva normal merupakan keluarga kurva normal yang dapat memiliki rata-rata dan varians yang berbeda dan tidak usah standar. = 0 dan = 1 seperti dengan halnya kurva normal Bila demikian halnya, apakah tabel yang berbeda harus dibuat untuk pencarian luas kurva normal dengan dan yang berbeda? Hal yang sedemikian itu tidak perlu. Luas kurva normal dengan dan yang berbeda tetap dapat dicari dengan jalan mengubah variabel random X yang normal kedalam variabel random Z yang standar dan dirumuskan sebagai berikut : Z = Atau Z = 1.6 Serta kemudian mencari nilai Z-nya dengan bantuan tabel F(z) atau A(z). Pengubahan X ke Z sedemikian itu dapat dilihat dalam diagram 1.8 dan 1.9

87 Diagram 1.8 Kurva normal umum standar. 0,5 0,4 0,3 0, 0, X Z

88 Diagram 1.9 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 3 3 X Z Contoh 1.6 Bila X merupakan variabel random yang memiliki distribusi normal dengan rata-rata probabilitas 17,4 < X < 58,8? = 4 dan deviasi standar = 1, berapakah Pengubahan variabel normal 17,4 dan 58,8 masing-masing kedalam variabel standar memperoleh 17,4 4 Z 1 = = - 0,55 dan 1 58,8 4 Z = =,90 1 Hasilnya, p(17,4 < X < 58,8 ) = p(-0,55 < Z <,90 ) = 0, ,4981 = 0,7069

89 Jika probabilitas diatas dihitung dengan bantuan table distribusi normal kumulatif, maka diperoleh hasil p(17,4 ) < X < 58,8 ) = p(-0,55 < Z <,90) Contoh 1.7 = F(,90) F(-0,55) = 0,9981 0,91 = 0,7069 Dari pengiriman sebanyak riem kertas koran berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap riemnya terisi dengan 450 lembar dengan deviasi standar sebesar 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per riem tersebut dapat didekati dengan kurva normal, berapa % dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih? Dalam soal diatas, = 450 dan = 10 sedangkan yang kita ingin ketahui ialah p(x 455). Pengubah variabel normal 455 kedalam variabel standar memperoleh Z = = 0,50 10 Karena f(0,50) = 0,6915, maka p(z 0,50) = 1 0,6915 = 0,3085 atau 30,85 %. Jelas bahwa 30,85 % dari riem kertas diatas terisi dengan 455 lembar atau lebih. Contoh 1.8 Angka ujian statistik sebagian besar mahasiswa memiliki = 34 dan = 4. Jika distribusi angka-angka ujian tersebut kurang kurang lebih menyerupai distribusi normal, dibawah angka berapa kita akan memperoleh 10 % terendah dari seluruh distribusi angka-angka tersebut? Dalam hal diatas, = 34 dan = 4 sedangkan per table distribusi normal kumulatif, nilai Z yang sesuai dengan luas kumulatif 0,10 ialah 1,8 sehingga

90 - 1,8 = ,1 = X 34 8,88 = X Jelas sudah bahwa 10 % dari seluruh mahasiswa memperoleh nilai ujian 8,88 atau kurang. B. Penerapan kurva normal terhadap data empiris Sampel yang diperoleh dari pengukuran empiris seringkali memiliki bentuk distribusi kumulatif yang dapat didekati secara memuaskan dengan distribusi normal. Hal tersebut dapat dilakukan dengan jalan mempersamakan dengan dengan X bar dengan s. Agar lebih jelas, kita akan memberikan sebuah contoh yang berhubungan dengan persoalan di atas. Table.1 menyajikan distribusi frekuensi dari sebuah sampel yang terdiri dari 75 pengukuran berat barang X. X i titik tengah Tabel 1 Distribusi frekuensi sampel n = 75 f i frekuensi frekuensi relatif F i frekuensi kumulatif frekuensi relatif kumulatif 1, ,30 1 0, ,013 1,35 5 0, ,080 1,40 6 0, ,160 1, , ,333 1,50 8 0, ,440 1, ,7 50 0,667 1, , ,854 1,65 7 0, ,947 1,70 1 0, ,960 1,75 3 0, ,000 1, Sumber : Data fiktif

91 k X = i1 f i i n = 114,55/75 = 1,57 s = 1, 57 = 0,101 karena hubungan variabel standar Z dan variable X maka dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = 1,57 0,0101 Maka penerapan distribusi normal kumulatifnya dapat dilakukan dengan jalan mencari nilai-nilai X sesuai dengan nilainilai Z = -3, -, -1, 0, 1,, 3. Hal tersebut dapat dilakukan sebagai berikut, -3 = 1,57 0,101-3(0,101) = X 1,57-3,03 = X 1,57-3,03 = X 1,57 1,4 = X Distribusi normal kumulatif F(x) bagi data Tabel 1 dapat diikuti dalam Tabel Z X F(x) - 3 1,4 0,0013-1,35 0,07-1 1,46 0, ,57 0, ,68 0,8413 1,79 0, ,830 0,9987 Sumber : Data Tabel 1 Sudah tentu, nilai F(x) dapat secara langsung dicari dari table F(x), Bila kita ingin memperoleh penerapan yang lebih

92 merata, kita harus menghitung nilai-nilai X yang sesuai dengan nilai-nilai Z = -3, -,90, -,80, -,70, dan seterusnya. C. Hubungan antara distribusi Normal dan Distribusi Binomial Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan sedemikan rupa sehingga dapat didekati dengan distribusi normal standar. Pada makalah ini akan di bahas betapa penyesuaian tersebut dapat dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Seperti telah kita ketahui, variable random X atau jumlah sukses dalam n percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak (variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau 1. Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi normal, sehingga distribusi jumlah variable diatas dapat didekati dengan distribusi normal bila n makin menjadi besar. Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga hal pokok sebagai berikut : 1. Distribusi binomial merupakan sebuah distribusi yang diskrit sedangkan distribusi normal merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial karena luas selalu dipakai untuk menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu.. Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses bergerak dan mendatar bila n berangsur-angsur menjadi besar.

93 3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan dengan menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal. Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X adalah sama dengan 1. Hal demikian dapat dilihat pada diagram dibawah ini : f(x) a b X Probabilitas variable random X merupakan nilai antara a dan b dan dapat dinyatakan sebagai daerah bergaris dari kurva diagram 3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(x = a ) = 0 karena luas a dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(x = a) dimana a = 5 tidak usah sama dengan 0. Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan penggunaan luas untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang memiliki lebar sama

94 dengan satu unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini Diagram 3.. Hubungan antara probabilitas luas dengan ordinat. f(x-1) f(x) f(x+1) X-1 X X+1 X 1 X X+1 X- 1 X + 1 X - 1 Probabilitas dinyatakan dengan ordinat X + 1 Probabilitas dinyatakan dengan luas Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses bergerak. Satu cara untuk membendung gerakan tersebut ialah dengan menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y = X np. Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut memiliki = npq. Kita telah mengetahui bahwa distribusi normal yang standar memiliki = 0 dan = 1, sehingga variable random Y yang memiliki = np = 0 dan = npq masih perlu disesuaikan agar nya sama dengan 1.

95 Bila npq > 0, maka Y/ random baru Z yang memiliki distribusi normal yang standar. Pembuktian : npq akan menghasilkan variable = 1 seperti dalam halnya Z = np = npq npq 3.1 Rumus 3.1, sebenarnya sama dengan rumus 1.6 jka np = dan = npq. Sebagai konsekuensi perumusan 3.1 diatas = Var npq = Var 1 npq 3. 1 npq = Var Y = = 1 npq npq Sehingga = = 1 = Karena merupakan konstanta, dengan sendirinya tidak tergantung pada n sehingga penggunaan variable Z selalu dapat mengatasi persoaaln gerakan variable X itu sendiri. standar Z = Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa random np memiliki npq = 0, dan = 1 sedangkan nilainilai tersebut masing-masing akan sama dengan dan dari distribusi normal yang standar. Bila n menjadi besar, ordinatordinat sentra (tinggai ordinat-ordinat) dari luas grafik probabilitas Z tidak akan mendatar. Karena = 0, maka proses bergerak

96 tidak terjadi dank arena = 1, maka perluasan pun tidak terjadi. Pendekatan probabilitas binomial dengan luas yang terdapat dibawah kurva normal dapat dilakukan dengan bantuan Tabel normal. Contoh 3.1 Diketahui distribusi binomial memiliki n = 8 dan p = 1, sedangkan grafiknya dinyatakan seperti dalam diagram dibawah ini: = np = 8( 1 ) = 4 = npq = ( 1 )( 1 ) = 1,41 8 Diagram 3.3 Grafik luas distribusi binomial dengan n = 8 dan p = 1 0,3 0, 0,1 0 x Bila kita ingin mencari probabilitas 3 sukses atau lebih ( 3 ), maka kita harus mengikutsertakan sejumlah luas dari kesemua empat persegi panjang yang terletak di sisi kanan X = 1 Bila kita hanya mengikutsertakan luas yang terdapat di sisi kanan X = 3, maka kita akan meninggalkan 1 daripada p(3)

97 tidak terhitung. Karena hal tersebut, maka luas batas sisi kiri dari pada X haruslah 1 bukan 3 Sesuai dengan 3.1, maka p(x 1 ) yang kita ingin cari harus diubah kedalam persamaan yang standar sebagai berikut : np Z = npq = 1 4 = - 1,06 Sehingga p(x ) = p(z > - 1,06) Dari table luas kurva normal, kita memperoleh hasil 0, ,5000 = 0,8554 Bila kita cari hasil 8 x3 b(3 8, 1 ) dengan table distribusi binomial kumulatif, maka diperoleh hasil sebesar 0,855 dan hasil tersebut ternyata sesuai benar dengan hasil yang di peroleh dai pendekatan distribusi binomial dengan menggunakan distribusi normal diatas. Bagaimanakah soal pencarian ordinat ekstrimnya (extreme ordinate)? Bila distribusi binomial memiliki n = 8 dan p = 1, berapakah p( 8)? Batas sisi kiri dari empat persegi panjang yang dipusatkan pada X = 8 ialah 7 1 maka Z = =,47 Sesuai dengan kurva table normal, maka 0,5000 0,493 = 0,0068 Bila kita hitung p(8), maka kita akan memperoleh hasil sebagai berikut : ( 1 ) 8 1 = 0,

98 Pada dasar, luas sisi kanan p(8) akan dan luas yang tiada seberapa besar ini dapat dianggap sebagai sebagian daripada p(8). Sudah jelas, bahwa beda absolute dari hasil kedua hitungan di atas tidaklah besar. Tetapi berbeda secara % dari kedua hasil hitungan diatas hampir mendekati 75 %. Bagaimanakah dengan penghitungan ordinat sentralnya? Bila distribusi binomial memiliki n = 8 dan p = 1, berapakah p(4)? Batas empat persegi panjang bagi p(4) ialah X = 3 1 dan X = 4 1 sehinga, Z = Z = ,35 dan 4 + 0,35 Sesuai dengan table luas kurva normal, maka luas Z = 0,35 ialah 0,1368 sehingga p(4) = (0,1368) = 0,736 penghitungan binomialnya akan menghasilkan p(4) = 0,734 8 ( 1 ) 8 = 4 Sudah jelas bahwa beda hasil kedua hitungan diatas, baik secara absolute maupun secara persentasi tidaklah besar dan jauh lebih kecil dibandingkan dengan beda mengenai kedua perhitungan ordinat ekstrim Contoh 3. Bila 1 keping uang logam dilempar sekali, berapakah probabilitas timbulnya 5 sisi 0? pada persoalan diatas, kita memperoleh n = 1, X = 5 dan p = 1.

99 Sesuai dengan perumusan binomial, kita memperoleh 1 b(5 1, 1 ) = x ( 1 ) 5 ( 5 1 ) 7 = 79/4096 0,1934 Bila kita ingin melakukan pendekatan terhadap distribusi binomial diatas dengan kurva normal, maka sebenarnya kita harus menghitung luas sementara X = 4 1 dan X = 5 1. np = 1( 1 ) = 6 dan = 1( 1 )( 1 ) = 1,73 Sehingga Z = 4,5 6 5,5 6 = 0,87 dan Z = = - 0,9 1,73 1, 73 Sesuai dengan table luas kurva normal maka Z(- 0,87) = 0,3078 Table Distribusi binomial dengan n = 10 dan p = 1 Contoh 3.3 Z = (- 0,9) = 0,1141 Sehingga 0,3078 0,1141 = 0,1937 Terapkanlah sebuah distribusi normal kumulatif bagi distribusi binomial kumulatif bila diketahui bahwa n = 10 p = 1. Sesuai dengan rumus 8..1, kita dapat menghitung hasil X = 0,1,,..,10 dimana n = 10 dan p = 1. Hasil penghitungan f(x) dan F(x) nya dapat diikuti dalam table 3.1 di bawah ini. Pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal dapat dilakukan sebagai berikut : np = 10 x 1 = 5 = npq = 1 )( 1 ) 10 = 1,581 (

100 X f(x) F(x) 0 0,001 0,00 1 0,10 0,0 0,044 0, ,117 0,73 4 0,05 0, ,46 0,63 6 0,05 0,88 7 0,117 0, ,044 0, ,010 0, ,001 1,000 Sesuai dengan rumus 3.1, kita peroleh persamaan hubungan antara X dan Z sebagai berikut : Z = 5 1,581 Nilai-nilai bagi Z,X dan F(x) dapat diikuti dalam table Table 3. hasil pendekatan distribusi binomial n = 10 dan p = 1 dengan distribusi normal Z X F(x) -3,0 0,57 0,0013 -,5 1,048 0,006 -,0 1,838 0,07-1,5,68 0,0668-1,0 3,419 0,1587-0,5 4,10 0, ,000 0,5000 0,5 5,791 0,6915 1,0 6,581 0,8413 1,5 7,37 0,933,0 8,16 0,9773,5 8,953 0,9938 3,0 9,743 0,9987

101 Contoh Soal : 1. Penghasilan mingguan sekelompok besar manager madya terdistribusi secara normal dnan rata-rata hitung $1.000 dan standar deviasi $1.00 a. Berapa Probabilitas bahwa suatu penghasilan mingguan tertentu yang dipilih secara acak akan terletak diantara $790 dan $1.000? b. Berapa probabilitas penghasilan adalah kurang dari $790? Jawab Rumus = Z = X = 790 Diketahui : µ = Z = = σ = = 10 = -, a. Daerah kurva normal antara µ dan X untuk suatu nilai z = -,10 adalah 0,481. Tanda minus didepan angka,10 menunjukan bahwa daerah tersebut terletak di sebelah kiri rata-rata hitung b. Rata-rata hitung membagi kurva normal kedalam dua bagian yang identik. Daerah disebelah kiri rata-rata hitung adalah 0,5000, dan daerah disebelah kanan bawah rata-rata hitung pun adalah 0,5000 karena daerah dibawah kurva antara 790 dan adalah 0,481, daerah dibawah 790 dapat diperoleh dengan cara mengurangi 0,5000. Oleh 0,481. Jadi, 0,5000-0,481 = 0,0179

102 Dapat dilihat dalah sebuah diagram dibawah ini 0,5000 0,5000 0,0179 0,481 -,10 0. Penghasilan mingguan PT. indokomputer terdistribusi secara normal dan rata-rata hitung $1.000 dan standar deviasi $1.00, Berapa persen penghasilan mingguan $1,45 atau lebih? Jawab Rumus = Z = X = 1.45 Diketahui = µ = σ = 100 Z = = = =, Daerah yang berhubungan dengan nilai Z =,45 adalah 0,499. Secara logika daerah untuk $1.45 dan seterusnya diperoleh dengan mengurangi 0,5000 oleh 0,599. Daerah ini adalah 0,0071, menunjukan bahwa hanya 0,71 persen PT Indokomputer berpenghasilan mingguan $1.45 atau lebih

103 Dapat dilihat menggunakan diagram dibawah ini 0,5000 0,5000 σ=$100 0,499 0, Suatu produsen ban ingin menetapkan garansi dalam bentuk mil jarak tempuh bagi ban baru mereka MX100. Pengujian daya tahan menunjukan bahwa rata-rata hitung mil-nya adalah mil dan standar deviasinya adalah.050 mil. Produsen ingin menetapkan mil garansi sedemikian rupa sehingga tidak lebih dari 5 persen ban yang harus diganti. Berapa mil garansi yang haris di umumkan oleh produsen tersebut? Jawab µ X $ Rumus = Z = Diketahui = µ = σ =.050

104 Sebelumnya bisa kita lihat menggunakan diagram dibawah ini 0,5000 Ban diganti jika ban tersebut tidak mencapai besar mil berikut ini 5% atau 0,0500 0,4500 Z = = Ada dua nilai yang tidak diketahui, Z dan X. Untuk menemukan nilai Z, perhatikan bahwa daerah dibawah kurva normal sebelah kiri dari X adalah 0,0500. Dengan mengunakan logika, bahwa daerah antara µ dan X adalah 0,4500, diperoleh dari 0,5000-0,0500.Carilah dalam table untuk daerah yang paling mendekati 0,4500.yaitu 0,4505 dan 0,4495. Maka diketahui bahwa nilai Z adalah ±1,645. Lalu kita mencari nilai X : Z = -1,645 = X? ,645(.050) = X µ Skala mil

105 X = mil Jadi perkiraan garansi ban yang akan di berikan adalah max sampai di angka mil SOAL SOAL LATIHAN 1. Suatu sampel random terdiri dari 50 buku telah diplih guna di chek dari populasi yang dianggap tidak terbatas dan terdiri dari semua buku yang ada di Perpustakaan. Dari hasil pengecekan itu diketahui rata-rata peminjaman per mahasiswa ialah 300 kali,. Jika dianggap deviasi standar dari peminjaman buku di perpustakaan 70 kali, maka buatlah interval keyakinan sebesar 95% untuk menduga rata-rata peminjaman buku permahasiswa?. Penghasilan mingguan pedagang Buah terdistribusi secara normal dnan rata-rata hitung Rp dan standar deviasi Rp500. Berapakah nilai z untuk penghasilan X Rp15.000? untuk X Rp 600? 3. Penghasilan mingguan sekelompok besar manager PT. Maju mundur terdistribusi secara normal dnan rata-rata hitung $5.000 dan standar deviasi $4.00 a) Berapa Probabilitas bahwa suatu penghasilan mingguan tertentu yang dipilih secara acak akan terletak diantara $650 dan $8.000? b) Berapa probabilitas penghasilan adalah kurang dari $650? 4. Penghasilan mingguan PT. Singkong terdistribusi secara normal dan rata-rata hitung $8.000 dan standar deviasi $3.00, Berapa persen penghasilan mingguan $,145 atau lebih? 5. Suatu produsen Aki ingin menetapkan garansi dalam lama pemakaian aki YUASA. Pengujian daya tahan menunjukan bahwa rata-rata hitung pemakian adalah 576 hari dan standar deviasinya adalah 150 hari. Produsen ingin menetapkan lama

106 garansi sedemikian rupa sehingga tidak lebih dari 5 persen Aki yang harus diganti. Berapa lama garansi yang harus di umumkan oleh produsen tersebut?

107 XII. PENDUGAAN PARAMETER A. INFERENSI STATISTIK Inferensi statistik mencakup semua metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi. Inferensi statistik dapat dikelompokkan dalam bidang utama: 1. PENDUGAAN PARAMETER Contoh : Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi yang sebenarnya pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya.. PENGUJIAN HIPOTESIS Contoh : Seorang peneliti masalah kedokteran diminta untuk memutuskan, berdasarkan bukti-bukti hasil percobaan, apakah suatu vaksin baru lebih baik daripada yang sekarang beredar di pasaran. Seorang insinyur ingin memutuskan, berdasarkan data contoh apakah ada perbedaan ketelitian antara dua jenis alat ukur. Metode Pendugaan Parameter suatu populasi dapat dibedakan menjadi dua : 1. METODE PENDUGAAN KLASIK Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi.

108 . METODE PENDUGAAN BAYES Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter. B. METODE PENDUGAAN KLASIK Statistik ˆ yang digunakan untuk memperoleh sebuah dugaan bagi parameter populasi disebut penduga atau fungsi keputusan. Sedangkan ˆ adalah sebuah nilai dugaan berdasarkan sampel acak berukuran n. Misal: Fungsi keputusan S (yang merupakan fungsi dari sampel acak yang bersangkutan) adalah suatu penduga bagi sedangkan nilai dugaan s merupakan realisasinya. Sifat-sifat yang seharusnya dimiliki oleh penduga : 1. TAKBIAS, Statistik ˆ dikatakan penduga takbias bagi parameter bila ˆ ˆ E (. ). EFISIEN Diantara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter, yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi. Dugaan parameter dapat dibagi menjadi : 1. DUGAAN TITIK Menentukan suatu bilangan tunggal berdasarkan sampel sebagai penduga dari parameter.

109 . DUGAAN SELANG Menentukan suatu interval nilai yang dengan peluang tertentu, (1-), diharapkan memuat parameter yang diduga. Jika parameter populasi, dugaan selang dapat dinyatakan dengan : (untuk 0 < < 1) P ˆ ˆ ) 1 ( 1 Selang ˆ 1 ˆ, yg dihitung dari sampel yg terpilih, disebut selang kepercayaan / interval keyakinan / confidence interval 100(1-)% untuk parameter tersebut. nilai pecahan 1- disebut koefisien kepercayaan / derajat kepercayaan / tingkat keyakinan (konfidensi). C. PENDUGAAN MEAN Penduga titik bagi mean populasi adalah statistik X. Bila x adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam diketahui maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi adalah x z x z n n Dengan z / adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah /. CATATAN: Jika tidak diketahui, tetapi sampel berukuran besar (n 30), dapat diganti dengan s. Adapun penduga selang kepercayaan 100(1-)% bagi untuk sampel kecil (n<30); bila tidak diketahui adalah x t s n x t ( n 1, ) ( n1, ) s n

110 Dengan t ( n1, / ) adalah nilai t yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva seluas /. SOAL 1 : Rata-rata Indeks Prestasi (IP) sampel acak 36 mahasiswa tingkat sarjana adalah,6. Hitunglah selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa tingkat sarjana. Anggap simpangan baku populasinya 0,3. SOAL : Isi 7 botol asam sulfat (liter) adalah 9,8 10, 10,4 9, , 9,6 Carilah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata isi semua botol bila distribusinya dianggap normal. UKURAN SAMPEL BAGI PENDUGAAN Bila x digunakan untuk menduga, kita yakin 100(1-)% bahwa galatnya tidak akan melebihi z. Seringkali kita ingin n mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil agar galat dalam menduga tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita harus menentukan n sehingga z = e. n Jadi, bila x digunakan untuk menduga, kita yakin 100(1- )% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e, bila ukuran sampelnya diambil sebesar z n. e Bila hasilnya bernilai pecahan, harus dibulatkan ke bilangan bulat berikutnya yang lebih besar. Jika ragam populasi tidak

111 diketahui, suatu sampel awal berukuran n30 dapat diambil untuk memberikan dugaan bagi. SOAL 3 : Seberapa besar sampel harus diambil dalam contoh 1, bila kita ingin percaya 95% bahwa nilai dugaan kita tidak menyimpang dari lebih dari 0,05? D. PENDUGAAN SELISIH DUA MEAN Bila kita mempunyai dua populasi saling bebas dengan mean 1 dan dan ragam 1 dan maka penduga titik bagi selisih antara 1 dan diberikan oleh statistik X1 X. Bila x 1 dan x masing-masing adalah mean sampel acak bebas berukuran n 1 dan n yang diambil dari populasi dengan ragam 1 dan diketahui, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1 - adalah ( x 1 1 x) z 1 ( x1 x) z n1 n n 1 1 n Dengan z / adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah /. CATATAN: Jika 1 dan tidak diketahui, tetapi n 1 dan n lebih besar dari 30, maka 1 dan dapat diganti dengan s 1 dan s. Adapun penduga selang kepercayaan100(1-)% bagi 1 - untuk sampel kecil; bila 1 = tapi nilainya tidak diketahui adalah ( x 1 x ) t s 1 1 ( x x ) t p 1 1 p n1 n n1 n s 1 1

112 Dengan derajat bebas untuk distribusi t = v =n 1 + n dan ( n1 1) s1 ( n 1) s s p. n n 1 Selang kepercayaan 100(1-)% bagi 1 - untuk sampel kecil; bila 1 tapi nilainya tidak diketahui ( x s s 1 1 x) t 1 ( x1 x) t n1 n Dengan derajat bebas untuk distribusi t adalah s n 1 1 s n ( s1 n1 s n) v. [( s n ) ( n 1)] [( s n ) ( n 1)] Bila kita mempunyai dua populasi yang tidak saling bebas (berpasangan), selang kepercayaan 100(1-)% bagi D = 1 - untuk pengamatan berpasangan tersebut adalah d t s n d t d n 1, ) D ( n1, ) ( SOAL 4 : Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa wanita dan 75 siswa laki-laki. Siswa perempuan mendapat nilai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan siswa laki-laki memperoleh rata-rata 8 dengan simpangan baku 8. Tentukan selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilainya. SOAL 5 : Suatu penelitian ingin menaksir selisih banyaknya bahan kimia ortofosfor yang diukur pada dua stasiun yang berlainan di suatu sungai. Sampel berukuran 15 dikumpulkan dari stasiun-1 dan Sampel berukuran 1 dikumpulkan dari stasiun-. Dari stasiun-1 diperoleh rata-rata kadar ortofosfor 3,84 mg perliter dan simpangan baku 3,07 mg perliter, sedangkan dari stasiun- diperoleh rata-rata kadar s d n

113 ortofosfor 1,49 mg perliter dan simpangan baku 0,80 mg perliter. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar fosfor sesungguhnya pada kedua stasiun tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda. SOAL 6 : Data berikut (dalam hari), menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh. Penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing. Obat 1 Obat n 1 = 14 n = 16 x = 17 x 1 = 19 s 1 = 1,5 s = 1,8 Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rata-rata waktu sembuh untuk kedua obat tersebut, anggap populasinya berdistribusi normal dengan varians yang sama. SOAL 7 : Dua puluh mahasiswa tingkat satu dibagi menjadi 10 pasang, setiap pasang kira-kira mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara acak dan dimasukkan ke dalam kelas yang menggunakan bahan terprogramkan. Anggota pasangan yang lain dimasukkan ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester kedua kelompok tersebut diberikan ujian yang sama dan hasilnya sebagi berikut : Pasangan Bhn Terprogram Kelas Biasa

114 Tentukan selang kepercayaan 98% bagi selisih rata-rata sesungguhnya nilai ujian untuk kedua metode pengajaran tersebut. E. PENDUGAAN PROPORSI Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistik P ˆ X / n, sedangkan X menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan. Dengan demikian, proporsi sampel p ˆ x / n akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi parameter p tersebut. Bila pˆ adalah proporsi keberhasilan dalam suatu sampel acak berukuran n, dan qˆ 1 pˆ 100(1-)% bagi p untuk sampel besar adalah, maka selang Kepercayaan pˆ z pq ˆ ˆ n p pˆ z pq ˆ ˆ n Dengan z / adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah /. SOAL 8 : Dari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV disebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah

115 selang kepercayan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut. UKURAN SAMPEL BAGI PENDUGAAN p Bila pˆ digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-)% bahwa galatnya tidak lebih besar dari z pq ˆ ˆ n. Seringkali kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil agar galat dalam menduga p tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita harus menentukan n sehingga pq ˆ ˆ z = e. n Jadi, apabila pˆ digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-)% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran sampelnya diambil sebesar n z e pq ˆ ˆ Bila informasi awal tentang dugaan nilai bagi p tidak dipunyai, dapat digunakan rumus z n. 4e SOAL 9 : Dari contoh 8, berapa ukuran sampel yang diperlukan agar dugaan p meleset kurang dari 0,0 dengan kepercayaan 95%? F. PENDUGAAN SELISIH DUA PROPORSI Bila ˆp 1 dan ˆp masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak yang berukuran n 1 dan n serta qˆ 1 1 pˆ1 dan qˆ 1 pˆ, maka penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p 1 p adalah pˆ 1 pˆ.

116 Sedangkan selang kepercayaan 100 (1-)% bagi p 1 - p untuk sampel besar adalah ( pˆ 1 pˆ ) z pˆ qˆ pˆ qˆ n p p 1 ( pˆ 1 pˆ ) z pˆ qˆ pˆ qˆ n n n Dengan z / adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah /. SOAL 10 : ari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV disebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut. SOAL 11 : Suatu obat baru dibuat untuk mengurangi ketegangan syaraf. Dari sampel acak 100 orang yang menderita ketegangan syaraf menunjukkan bahwa 70 orang merasa tertolong oleh obat tersebut. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya penderita ketegangan syaraf yang tertolong oleh obat tersebut. SOAL 1 : Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan di pinggiran kota untuk menyelidiki kemungkinan didirikannya suatu pabrik kimia. Ternyata 400 di antara 5000 penduduk kota, dan 100 di antara 000 penduduk di pinggiran kota menyetujui rencana tersebut. Buat selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebut.

117 G. PENDUGAAN VARIANS Bila s adalah penduga titik bagi varians sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan varians, maka selang kepercayaan 100(1-)% bagi adalah ( n 1) s ( n1, ) ( n 1) s ( n1,1 ) Dengan ( n 1, / ) adalah nilai dengan derajad bebas v = n-1 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /. SOAL 13 : Seorang peneliti yakin bahwa alat pengukurnya mempunyai simpangan baku =. Dalam suatu eksperimen dia mencatat pengukuran 4,1; 5,; 10,. Buat selang kepercayaan 90% bagi. Apakah data ini sesuai dengan asumsinya? H. PENDUGAAN RASIO DUA VARIANS Bila s 1 dan s masing-masing adalah varians sampel acak bebas berukuran n 1 dan n yang diambil dari populasi normal dengan varians rasio / adalah 1 )% bagi 1 / adalah 1 dan, maka penduga titik bagi s 1 / s, dan selang kepercayaan 100(1- s s 1 f 1 ( v1, v ) 1 s s 1 f ( v, v1 ) Dengan f / ( v 1, v ) adalah nilai f untuk derajad bebas v 1 dan v yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /.

118 SOAL 14 : Berdasarkan contoh soal nomor 4, buat selang kepercayaan 98% untuk 1 /. Apakah anggapan bahwa 1 dapat dibenarkan? SOAL SOAL LATIHAN : 1. Sampel acak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai kadar nikotin rata-rata,6 mg dengan simpangan baku 0,9 mg. Buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata kadar nikotin yg sesungguhnya rokok merk tersebut.. Berdasarkan soal no 1, buat selang kepercayaan 95% untuk. 3. Dalam suatu makalah disebutkan bahwa kandungan unsur penting dalam tomat segar dan kalengan ditentukan dengan menggunakan spektrofotometer penyerapan atom. Kandungan tembaga dalam tomat segar dibandingkan dengan kandungan tembaga dalam tomat yang sama setelah dikalengkan dicatat, dan hasilnya sebagai berikut : Tomat Segar Kaleng 1 0,066 0,085 0,079 0, ,069 0, ,076 0, ,071 0, ,087 0, ,071 0, ,073 0, ,067 0, ,06 0,068

119 Cari selang kepercayaan 98% untuk selisih sesungguhnya ratarata kandungan tembaga dalam tomat segar dan kaleng bila selisihnya dianggap berdistribusi normal. 4. Misalkan sampel random terdiri dari pasien yang diberi tablet baru. Setelah 4 jam, diperoleh kenyataan bahwa dari 80 pasien yang diberi tablet baru tersebut, 56 orang diantaranya sembuh. Buat selang kepercayaan 95% bagi proporsi semua pasien yang akan sembuh dengan tablet tersebut. 5. Suatu sampel acak 140 kaleng susu merk Enak yang masingmasing berlabel isi 500 gram, diperoleh berat rata-rata 480 gram dengan simpangan baku 150 gram. Berdasarkan data tersebut, buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata yang sesungguhnya isi kaleng tersebut. Dapatkah berat menurut label tersebut dianggap benar? 6. Dalam suatu larutan proses kimia, dua katalisator ingin dibandingkan pengaruhnya terhadap hasil proses reaksi. Sampel yang terdiri dari 1 larutan disiapkan menggunakan katalisator A dan sampel dengan 10 larutan menggunakan katalisator B. Katalisator A menghasilkan rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, dan katalisator B menghasilkan rata-rata 81 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan 90% untuk 1 /, anggap populasinya berdistribusi normal. 7. Dari soal nomor 6, buat selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata kedua populasi. 8. Penelitian dilakukan terhadap penderita tukak lambung di kota Malang dan Surabaya. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari 50 orang penderita di Malang didapat 0 orang menggunakan obat Aldin, sedangkan dari 75 orang penderita di Surabaya didapat 45 orang menggunakan obat tersebut. tentukan interval

120 kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya penderita yang mengkonsumsi obat Aldin dari Surabaya dan Malang.

121 XIII. PENGUJIAN HIPOTESIS Beberapa Definisi penting dalam uji hipotesis: (1) Uji Hipotesis Proses pembuatan keputusan untuk mengevaluasi klaim mengenai populasi Hipotesis Statistik: pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Hipotesis : Ho : hipotesis dugaan sementara, biasanya ditandai dengan =,, atau bergantung apakah hipotesis satu sisi atau dua sisi. H1 : lawan dari Ho Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa

122 seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa mungkin?) Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi untuk memastikan kebenaran suatu hipotesis? Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan Penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH. Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para statistikawan atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat hipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya dapat diterima. Perhatikan contoh-contoh berikut : Contoh 1. Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem pendaftaran "ON-LINE".

123 Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya bahwa rata-rata waktu pendaftaran dengan sistem ON-LINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang lama Untuk membuktikan pendapatnya, ia akan membuat hipotesis awal, sebagai berikut : Hipotesis Awal : rata-rata waktu pendaftaran SISTEM "ON-LINE" sama saja dengan SISTEM LAMA. Staf PSA tersebut akan mengambil contoh dan berharap hipotesis awal ini ditolak, sehingga pendapatnya dapat diterima! Contoh : Manajemen PERUMKA mulai tahun 199, melakukan pemeriksaan karcis KRL lebih intensif dibanding tahun-tahun sebelumnya, pemeriksaan karcis yang intensif berpengaruh positif terhadap penerimaan PERUMKA. Untuk membuktikan pendapat ini, hipotesis awal yang diajukan adalah : Hipotesis Awal : TIDAK ADA PERBEDAAN penerimaan SESUDAH maupun SEBELUM dilakukan perubahan sistem pemeriksaan karcis. Manajemen berharap hipotesis ini ditolak, sehingga membuktikan bahwa pendapat mereka benar! Contoh 3. (Kerjakan sebagai latihan!!!) Eko Nomia S.Kom., seorang system analis memperbaiki sistem pembebanan biaya di perusahaan tempatnya bekerja. Ia

124 berpendapat setelah perbaikan sistem pembebanan biaya pada produk maka rata-rata harga produk turun. Bagaimana ia menyusun hipotesis awal penelitiannya? Hipotesis Awal :...? Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak disebut : Hipotesis Nol (H 0 ) Penolakan H 0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H 1 ) (beberapa buku menulisnya sebagai H A ) Nilai Hipotesis Nol (H 0 ) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. H 0 ditulis dalam bentuk persamaan Sedangkan Nilai Hipotesis Alternatif ( H 1 ) dapat memiliki beberapa kemungkinan. H 1 ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ) Contoh 4.(lihat Contoh 1.) Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit Kita akan menguji pendapat Staf PSA tersebut, maka Hipotesis awal dan Alternatif yang dapat kita buat : H 0 : = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) H 1 : 50 menit (sistem baru tidak sama dengan sistem lama) atau H 0 : = 50 menit (sistem baru sama dengan sistem lama) H 1 : < 50 menit ( sistem baru lebih cepat)

125 Contoh 5 (lihat Contoh.) Penerimaan PERUMKA per tahun sebelum intensifikasi pemeriksaan karcis dilakukan = Rp. 3 juta. Maka Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif dapat disusun sebagai berikut : H 0 : = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) H 1 : 3 juta (sistem baru tidak sama dengan sistem lama) atau H 0 : = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda) H 1 : > 3 juta (sistem baru menyebabkan penerimaan per tahun lebih besar dibanding sistem lama) Penolakan atau Penerimaan Hipotesis dapat membawa kita pada jenis kesalahan (kesalahan= error = galat), yaitu : Kesimpulan Keadaan sebenarnya Ho Benar Ho Salah Ho Diterima 1- BENAR Ho Ditolak 1- BENAR 1. Galat Jenis 1 Penolakan Hipotesis Nol (H 0 ) yang benar Galat Jenis 1 dinotasikan sebagai juga disebut taraf nyata uji Catatan : konsep dalam Pengujian Hipotesis sama dengan konsep konsep pada Selang Kepercayaan. Galat Jenis Penerimaan Hipotesis Nol (H 0 ) yang salah Galat Jenis dinotasikan sebagai

126 Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai dan Dalam perhitungan, nilai dapat dihitung sedangkan nilai hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatif sangat spesifik. Pada pengujian hipotesis, kita lebih sering berhubungan dengan nilai. Dengan asumsi, nilai yang kecil juga mencerminkan nilai yang juga kecil. Catatan : keterangan terperinci mengenai nilai dan, dapat anda temukan dalam bab 10, Pengantar Statistika, R. E. Walpole) Prinsip pengujian hipotesa adalah perbandingan nilai statistik uji (z hitung atau t hitung) dengan nilai titik kritis (Nilai z tabel atau t Tabel) Titik Kritis adalah nilai yang menjadi batas daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. Nilai pada z atau t tergantung dari arah pengujian yang dilakukan. () Arah Pengujian Hipotesis Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara : 1. Uji Satu Arah. Uji Dua Arah Uji Satu Arah Pengajuan H 0 dan H 1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut: H 0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =) H 1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

127 Contoh 6. Contoh Uji Satu Arah a. H 0 : = 50 menit b. H 0 : = 3 juta H 1 : < 50 menit H 1 : < 3 juta Nilai tidak dibagi dua, karena seluruh diletakkan hanya di salah satu sisi selang misalkan : H 0 : 0 *) H 1 : 0 Wilayah Kritis **) : z < z atau t < t ( db; ) *) 0 adalah suatu nilai tengah yang diajukan dalam H 0 **) Penggunaan z atau t tergantung ukuran contoh contoh besar menggunakan z; contoh kecil menggunakan t. luas daerah terarsir ini = H 0 : *) -z atau - t(db;) H 1 : Wilayah Kritis **) : z > z atau t t db > (, )

128 0 z atau t (db;) Luas daerah terarsir ini = daerah terarsir daerah penolakan hipotesis daerah tak terarsir daerah penerimaan hipotesis Uji Dua Arah Pengajuan H 0 dan H 1 dalam uji dua arah adalah sebagai berikut : H 0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =) H 1 : ditulis dengan menggunakan tanda Contoh 7. Contoh Uji Dua Arah a. H 0 : = 50 menit b. H 0 : = 3 juta H 1 : 50 menit H 1 : 3 juta Nilai dibagi dua, karena diletakkan di kedua sisi selang misalkan : H 0 : 0 *) H 1 : 0 Wilayah Kritis **) : z < z dan z > z atau t t ( db, ) dan t t ( db ; )

129 *) 0 adalah suatu nilai tengah yang diajukan dalam H 0 **) Penggunaan z atau t tergantung ukuran contoh contoh besar menggunakan z; contoh kecil menggunakan t. -z / atau 0 z / atau -t(db;/) t(db;/) luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini = / = 0.5% ini = / = 0.5% daerah terarsir daerah penolakan hipotesis daerah tak terarsir daerah penerimaan hipotesis (3) Pengerjaan Uji Hipotesis 7 Langkah Pengerjaan Uji Hipotesis 1. Tentukan H 0 dan H 1 * Tentukan statistik uji [ z atau t] 3* Tentukan arah pengujian [1 atau ] 4* Taraf Nyata Pengujian [ atau /] 5. Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan-penolakan H 0 6. Cari nilai Statistik Hitung 7. Tentukan Kesimpulan [terima atau tolak H 0 ] *) Urutan pengerjaan langkah ke-, 3 dan 4 dapat saling dipertukarkan! z z Beberapa Nilai z yang penting z. =1.645 z z =1.96 5% % z. =.33 z z =.575 1% %

130 A. Uji Rata-rata a. Uji Mean Satu Populasi Ho : o ATAU Ho : = o Sisi kiri H1 : < o H1 : < o Ho : o ATAU Ho : = o Sisi Kanan H1 : > o H1 : > o Ho : = o Dua sisi H1 : o o adalah suatu nilai tertentu yaitu nilai dugaan / anggapan/claim sebelum dilakukan percoban

131

132 Contoh 1. Sampel random catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukkan rata-rata mereka berusia 71.8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8.9 tahun, apakah ini menunjukkan bahwa rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf signifikansi, = Ho : = 70 H1 : >70. Tolak Ho jika Z > Z atau Z > Z 0,05, yaitu jika Z > 1, Karena n=100, =71.8, s=8.9, maka z,

133 Keputusan Tolak Ho Rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun. b. Uji Mean Dua Populasi Bentuk umum Ho : 1 - o ATAU Ho : 1 - = o H1 : 1 - < o H1 : 1 - < o Ho : 1 - o ATAU Ho : 1 - = o H1 : 1 - > o H1 : 1 - > o Ho : 1 - = o H1 : 1-1 o Selisih mean pop. 1 dengan pop. adalah o c. Uji Mean Dua Populasi Jika 0 =0 Ho : 1 ATAU Ho : 1 = Sisi kiri H1 : 1 < H1 : 1 < Ho : 1 ATAU Ho : 1 = Sisi Kanan H1 : 1 > H1 : 1 > Ho : 1 = Dua Sisi H1 : 1 1 dan adalah nilai mean dari populasi 1 dan.

134 Contoh. Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan, dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan diuji

135 dengan memasukan tiap potong bahan 1 ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan,dari bahan 1 diperoleh rata-rata kausan sebanyak 85 satuan dengan simpang baku 4 sedangkan sampel bahan memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku 5. Dengan menggunakan =5%, dapatkah disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui keausan bahan sebanyak lebih dari satuan? Anggaplah kedua populasi hampir normal dengan variansi yang sama. Misalkan 1 dan masing-masing menyatakan rata-rata populasi keausan bahan 1 dan (1) Ho : 1- = H1 : 1- > () = 0.05, Daerah kritis t (,v =t (0,.05,,0) =1,75, x1 85, x n t 1 1, n hitung 81, s 4, s 10,, s 0 1 p 5, 4,478 ( x1 x) 4 s 1 1 4, p n1 n ,04 Karena t hitung < t (0,.05,,0) =1.75, maka keputusannya menerima Ho, Jadi selisih keausan bahan 1 dan bahan tidak lebih dari satuan.

136 Contoh 3 Dalam makalah influence of Physical Restraint and Restraint- Facilitating Drugs on Blood Measurements of White-Tailed Deer and Other Selected Mammals Virginia Politechnic Institut And State University (1976), J.A Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui uratnadi leher segera setalah suntikan succinylcholine pada otot menggunakan panah dan senapan penangkap. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap diukurdan30 menit kemudian diukur dalam monogram per ml untuk 15 rusa. Dari kelima belas rusa tersebut diperoleh rata-rata selisih androgen saat disuntikan dan 30 menit kemudian setelah disuntikan = 9.848, dan s d = Anggaplah bahwa populasi androgen berdistribusi normal, uji pada taraf 5% apakah konsentrasi androgen berubah setelah 30 menit!

137 Jawab: Misalkan 1 dan masing-masing rata-rata konsentrasi androgen pada waktu suntikan dan 30 menit setelah suntikan. (1) Ho : 1= atau Ho : D =1- = 0 H1 : 1 atau H1 : D =1-0 () = 0.05, v=n1+n-= 1+10-=0 Daerah kritis t < atau t >.145 D 9,848 s t D hitung 18,474 9,848 18,474 15,06 Karena t hitung < t / maka terima Ho 1. Uji Hipotesis Beda Proporsi Dalam bidang kesehatan masyarakat kita sering berhadapan dengan hasil berupa proporsi Mis -penderita TBC di Indonesia 4% -persentase kesembuhan dengan obat anti diabetes adalah 70%. Makanya uji hipotesis proporsi populasi penting utk dipelajari. Langkah uji hipotesis beda proporsi sama dengan uji hipotesis beda rata-rata Dimana p adalah proporsi sampel S = standar deviasi s= pq dan q = (1-p) Proporsi gabungan p = n 1 p 1 + n p n 1 + n

138 . Uji hipotesis Satu Proporsi Contoh Dari hasil penelitian yg sudah dilakukan dinyatakan bahwa 40% murid SD di suatu daerah menderita kecacingan. Pernyataan tersebut akan diuji dengan derajat kemaknaan 5%. Untuk itu diambil sampel sebanyak 50 murid SD dan dilakukan pemeriksaan tinja dan diperoleh 39% diantaranya terinfeksi cacing. Diketahui : ph 0 = 0,4 n = 50 _ p (kecacingan)= 39% q (tidak cacingan) = 1 p = 61% α = 0,05 z α = 1,96 z = [ p - p 0 ] pq/n [ 39% - 40% ] -0,01-0,33 = = (40% x 60%)/50 0,03 6. Kesimpulan : Statistik hitung z = -0,333 > -1,96

139 (berada di daerah penerimaan H 0 ). H 0 diterima proporsi murid SD penderita kecacingan 40%. 3. Uji hipotesis Selisih Dua Proporsi Contoh Seorang ahli farmakologi mengadaan percobaan dua macam obat anti hipertensi. Obat pertama diberikan pada 100 ekor tikus dan ternyata 60 ekor menunjukkan perubahan tekanan darah. Obat kedua diberikan pada 150 ekor tikus dan ternyata 85 ekor berubah tekanan darahnya. Pengujian dilakukan dengan derajat kemaknaan 5%. Diketahui : H 0 : p1 = p H a : p 1 p n 1 = 100 n = 150 p 1 = 60/100 p = 85/150 q 1 = 40/100 q = 65/150 p = (n 1 p 1 + n p )/n 1 +n = [(100x60/100)+(150x85/150)]/ ) = 60+85/50 = 145/50 = 0,58 q = 0,4

140 Latihan : Seorang ahli kesehatan lingkungan menguji coba efektivitas metoda pemberantasan vektor kecoak di rumah tangga. Metoda pertama dilakukan di 90 rumah dan ternyata 45 rumah dinyatakan bebas kecoak. Metoda kedua dilakukan pada 10 rumah dan hasilnya 85 rumah bebas kecoak. Pengujian dilakukan dengan derajat kemaknaan 5%. Diketahui : n 1 = 90 n = 10 p 1 = 45/90 p = 85/10 q 1 = 45/90 q = 35/10 p = (n 1 p 1 + n p )/n 1 +n = [(90x45/90)+(10x85/10)]/90+10) = (45+85)/10 = 130/10 = 0,6 q = 0,38

141 LATIHAN Dua orang perawat A dan B masing telah bekerja selama 10 dan 7 tahun. Kepala Puskesmas beranggapan persentase melakukan kesalahan perawat A lebih kecil daripada B. Utk menguji hipotesis tersebut diambil ampel sebanyak 50 pasien yang dirawat oleh perawat A dan 60 pasien oleh perawat B. Dari sampel tersebut perawat A membuat 10% kesalahan perawatan dan perawat B 1%. Ujilah hipotesis Kepala Puskesmas tersebut dengan derajat kemaknaan 5%.

142 4. Uji Hipotesis Variansi Dalam pengujian hipotesis untuk varians langkah-langkah yang dilakukan sama seperti pengujian hipotesis untuk rata-rata dan proporsi. X (n-1) = (n-1)s Mengikuti fungsi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan (n-1)

143 LATIHAN 1. Seorang pemilik perusahaan makanan ternak ingin mengetahui apakah sejenis makanan baru dapat mengurangi variasi berat ternak. Pemilik perusahaan tersebut beranggapan, setelah ternak diberi makanan tersebut selama 3 bulan, akan tercapai