BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM. dengan rumus rumus aljabar yang sudah baku atau lazim.

Transkripsi

1 BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM 1.1 Pengertian Metode Numerik Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan), metode penyelesaian model matematika dengan rumus rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Contoh ilustrasi : 1. Tentukan akar-akar persamaan polinom : 14x 5 + 5x 4 + x 3 x x 1 = 0. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan: 7,8e 5x 1 x = cos;1 (10x + x) 17x 65 Soal (1) tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom. Sousi untuk (1) memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan ) polinom menjadi perkalian beberapa suku. Kendala : semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya. Soal () masih sejenis dengan soal (1) yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua persamaan. 1. Alasam Mempelajari Metode Numerik Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik : 1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahamanmatematika, karena metode numerik ditemukan dengan Metode Numerik Page 1

2 cara menyederhanakanmatematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar. 3. Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi operasi matematika yang mendasar. 1.3 Tahap Pemecahan Secara numeris : 1. Pemodelan. Penyederhanaan model 3. Formulasi Numerik a. Menentukan metoe numeric yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal. b. Pertimbangan pemilihan metode 1) Apakah metode tersebut teliti? ) Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat? 3) Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data? c. Menyusun algoritma dari metode numeric yang dipilih 4. Pemrograman 5. Operasional -> pengujian program dengan data uji 6. Evaluasi -> intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numeric, pengambilan keputusan untuk menjelaskan program guna memperoleh hasil yang lebih baik. 1.4 Langkah-langkah Penyelesaian persoalan numerik : 1.1 Identifikasi masalah 1. Memodelkan masalah ini secara matemais 1.3 Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya Metode Numerik Page

3 1.4 Analisis hasil akhir : implementasi, metode, model dan masalah 1.5 Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numerik dalam naskah ini: 1. Pencarian akar-akar persamaan tak linear.. Metode iteratif untuk penyelesaian sistem persamaan linear 3. Interpolasi linear, kuadrat, Newton, dan spline. 4. Regresi kuadrat terkecil. 5. Diferensiasi numerik. 6. Persamaan diferensial biasa. 7. Integrasi numerik. Metode Numerik Page 3

4 BAB II DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT.1 Deret Taylor dan Deret MaclLaurin Deret Taylor Rumus : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0 )! (x 0 ) = 1 f (x 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + Pada deret Taylor ini mempunyai panjang deret yang tak berhingga sehingga untuk mempermudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda elipsis (...). contoh 1 : Hampiri fungsi f(x) = sin (x) ke dalam deret Taylor di sekitar x 0 = 1. Penyelesaian : Tahap 1 : Menentukan turunan sin (x) terlebih dahulu sebagai berikut : f(x) = sin x f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = cos x f 4 (x) = sin x Dan seterusnya. Tahap : Subtitusikan sin (x) beserta turunannya ke persamaan deret taylor dibawah ini: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! Maka akan menghasilkan : f (x 0 ) + (x x 0 )! f (x 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + Metode Numerik Page 4

5 Sin (x) = sin (x 0 ) + (x x 0 ) 1! Tahap 3 : + (x x 0 )3 3! cos (x 0 ) + (x x 0 ) ( sin (x! 0 )) ( cos (x 0 )) + (x x 0 )4 sin (x 4! 0 ) + Karena pada deret taylor x 0 = 1, maka subtitusi x 0 menjadi 1: Sin (x) = sin (1) + (x 1) cos (1) + 1! + (x x 0 )4 sin (1) + 4! (x 1) ( sin (1)) +! (x 1)3 ( cos (1)) 3! Pada suku-suku deret taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. contoh : Tentukan deret Taylor f(x) = cos (x) ke dalam deret Taylor di sekitar x 0 = 1 untuk f(x) hingga suku orde 3. Penyelesaian : Tahap 1 : Menentukan turunan cos (x) terlebih dahulu sebagai berikut : f(x) = cos x f (x) = sin x f"(x) = cos x f" (x) = sin x Tahap : Subtitusikan cos (x) bersama dengan turunan cos (x) ke persamaan deret taylor dibawah ini: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! Maka akan menghasilkan : f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x! 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + Metode Numerik Page 5

6 Cos (x) = cos (x 0 ) + (x x 0 ) 1! ( sin (x 0 )) + (x x 0 ) ( cos (x! 0 )) + (x x 0 )3 sin (x 3! 0 ) Karena pada deret taylor x 0 = 1, maka subtitusi x 0 menjadi 1: Cos (x) = cos (1) + (x 1) (x 1) ( sin (1)) + ( cos (1)) 1!! Deret MacLaurin + (x 1)3 sin (1) 3! Rumus : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x! 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + (x 0 ) = 0 Pada deret MacLaurin ini juga mempunyai panjang deret yang tak berhingga sehingga untuk mempermudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda elipsis (...). Contoh 3 : Tentukan deret MacLaurin untuk sin x. Penyelesaian : Tahap 1 : Menentukan turunan sin (x) terlebih dahulu sebagai berikut : f(x) = sin x f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = cos x f 4 (x) = sin x.. Tahap : f(0) = sin 0 f (0) = cos 0 f (0) = sin 0 f (0) = cos 0 f 4 (0) = sin Metode Numerik Page 6

7 Subtitusikan sin (x) bersama dengan turunan sin (x) ke persamaan dibawah ini: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! Maka akan menghasilkan : Sin (x) = sin (x 0 ) + (x x 0 ) 1! f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x! 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + cos (x 0 ) + (x x 0 ) ( sin (x! 0 )) Tahap 3 : + (x x 0 )3 3! ( cos (x 0 )) + (x x 0 )4 sin (x 4! 0 ) + Karena pada deret MacLaurin x 0 = 0, maka subtitusi x 0 menjadi 0: Sin (x) = sin (0) + (x 0) (x 0) cos (0) + ( sin (0)) 1!! Tahap 4 : + (x 0)3 ( cos (0)) + 3! (x 0)4 sin (0) + 4! Operasikan deret di bawah ini : Hasil akhir : Sin (x) = 0 + (x) 1! 1 + (x)! 0 + (x)3 3! sin x = x x3 3! ( 1) + (x) ! Pada suku-suku deret MacLaurin tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret MacLaurin dipotong sampai suku orde tertentu. Cotoh 4 : Tentukan deret MacLaurin untuk f(x) hingga suku orde 3 dari f(x) = tan x Penyelesaian : Tahap 1 : Menentukan turunan tan (x) terlebih dahulu sebagai berikut : Metode Numerik Page 7

8 f(x) = tan x f (x) = 1 cos x sin x f (x) = cos x f (x) = cos 4 x + sin x cos 4 x Tahap : Subtitusikan tan (x) beserta turunannya ke persamaan dibawah ini: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! Maka akan menghasilkan : Tahap 3 : tan(x) = tan(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x! 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + + (x x 0 )m m! 1 cos x (x 0 ) + (x x 0 )! cos 4 x + sin x cos 4 x + sin x cos x + Karena pada deret MacLaurin x 0 = 0, maka subtitusi x 0 menjadi 0: Tahap 4 : tan(x) = 0 + Operasikan deret di bawah ini : Hasil akhir : Deret MacLaurin yang Penting ;x = 1 + x + x + x 3 + x 4 + (x 0) (x 0) (x 0) !! 3! Sin (x) = x 1! + x 3! sin x = x + x3 6 sin x = x + x3 3. ln(1 + x) = x x + x3 3 + x4 4 + x5 5 + Metode Numerik Page 8

9 3. tan ;1 x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + x e x = 1 + x + x! + x3 3! + x4 4! + 5. sin x = x x3 + x5 x7 + x9 3! 5! 7! 9! 6. cos x = 1 x + x4 x6 + x8! 4! 6! 8! 7. sinh x = x + x3 3 + x5 5 + x7 7 + x cosh x = 1 + x + x4 + x6 + x8 +! 4! 6! 8! 9. (1 + x) = 1 + ( p 1 )x + (p )x + ( p 3 )x3 + ( p 4 ) x4 + Deret Taylor dan Deret MacLaurent mempunyai rumus deret yang sama yaitu : f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0 ) f (x! 0 ) + + (x x 0 )m f m (x m! 0 ) + Hanya saja berbeda pada nilai x 0, yaitu : Jika pada Deret Taylor x 0 adalah 1. Jika pada Deret MacLaurent x 0 adalah 1.. Aalisis Galat Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat Misalkan a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a, maka selisih a a Metode Numerik Page 9

10 disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan, maka Galat mutlak a a.3.4 Galat Relatif didefinisikan sebagai R a Atau dalam persentase R x100% a Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0.01, sedangkan pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0.1. RA a Proses ini dilakukan secara berulang, atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif : a aproksimas i sekarang - aproksimas i sebelumnya aproksimas i sekarang 100 % Komputasi diulang sampai a s Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan lelaran (iteration), era dihitung dengan cara ε RA = a r:1 a r a r:1 yang dalam hal ini ar+1 adalah nila i hampiran lelaran sekarang Metode Numerik Page 10

11 dan ar adalah nilai hampiran lelaran sebelumnya. Proses lelaran dihentikan bila ε RA < ε S yang dalam hal ini ε S adalah toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai ε S menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai ε S, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya. Contoh : 1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = Hitunglah galat, galat mutlak, galat relative, dan galat relatif hampiran. Penyelesaian : Galat = 10/ = 10/3 3333/1000 = 1/3000 = Galat mutlak = = Galat Relatif = (1/3000)(10/3) = 1/1000 = Galat Relatif Hampiran = (1/3000) / = 1/9999. Misalkan ada prosedur leleran sebagai berikut x r:1 = x r 3 + 3, r = 0, 1,, 3, 6 Leleran dihentikan bila kondisi ε RA < ε S dalam hal ini ε S adalah toleransi galat yang diinginkan. Misalkan dengan memberikan x 0 = 0.5, dan ε S = kita memperoleh runtutan. x 0 = 0.5 x 1 = ; ε RA = ( x 1; x 0 ) x = ; ε RA = ( x ; x 1 ) Metode Numerik Page 11 x 1 x = > ε S = > ε S x 3 = ; ε RA = ( x 3; x ) = > ε S 3

12 x 4 = ; ε RA = ( x 4; x 3 ) x 4 = > ε S x 5 = ; ε RA = ( x 5; x 4 ) x 5 = > ε S, Berhenti! Pada leleran ke-5, ε RA < ε S sudah terpenuhi sehingga leleran dapat dihentikan. 3. Hasil pengukuran jari-jari suatu bola adalah: r = (4,50 0,45) m Keterangan : ε = 0,45 dan a = 4,50 Hitung galat maksimum dari: a. Luas permukaan bola b. Volume bola Penyelesaian : a. Luas permukaan bola ( S = 4p r ) Galat relatif luas permukaan bola: ε r (S) = ε r = ε a = 0,45 4,50 = 0, Galat mutlak luas permukaan bola: Volume bola V = 4 3 p r3 ε s = S ε r (S) = 4πr. ε r = 4 (3,14)(4,50) (0,) = 50,868 S = (54,340 ± 50,868) m Galat relatif volume bola: ε r (V) = 3 ε r Galat mutlak volume bola: = 3 0,45 4,50 = 0,3 Metode Numerik Page 1

13 εv = V. ε r (V) = 4 3 p r3 ε r (V) = 4 3 (3,14)(4,50)3 (0,3) = 114,453 V = (381,51 ± 114,453) m 3.3 Sumber Utama Galat Numerik Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik Galat Pemotongan ( truncation error ) Galat pembulatan ( round-off error ) Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain : 1. Galat eksperimental, galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.. Galat pemrograman, Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging..3.1 Galat Pemotongan Galat pemotongan adalah keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat. Akibat pembulatan angka terjadi pada komputer yang disediakan beberapa angka tertentu. Misal : 5 angka, penjumlahan hasilnya ini berarti terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi Metode Numerik Page 13

14 Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak atau matematika yang lebih komplek diganti lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan penghampiran sehingga kadang-kadang disebut juga galat metode. Misalnya, tuurunan pertama fungsi f di x 1 dihampiri dengan formula f (x 1 ) = f(x 1:i );f(x i) h adalah lebar absis (x 1:i ) dengan x i. galat yang ditimbulkan dari penghampiran turunan tersebut merupakan galat pemotongan. Contoh : Hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret taylor di sekitar x = 0 : cos x 1 x + x4 x6! 4! 6! Nilai hampiran + x8 8! x10 10! + galat pemotongan Deret taylor fungsi cos(x) deret tersebut kita potong sampai suku orde tertentu, misalngya sampai suku orde n = 6. Kita lihat bahwa menghampiri cos (x) dengan deret taylor sampai suku berderajat enam tidak memberikan hasil yang tepat. Namun kita dapat menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa : R n (x) = (x;x 0 )(n:1) f (n:1) (c) (n:1)!, x 0 < c < x Pada contoh cos (x) di atas, R 6 (x) = x7 cos (c) 7!, 0 < c < x Metode Numerik Page 14

15 Nilai R n yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. R n (x) < max (x0 <c<x) f (n:1) (c). (x;x 0) n:1 n:1! Galat pemotongan pada deret taylor dapat dikurangi dengan meningkatkan orde suku-sukunya, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak. Contoh soal : 1. Gunakan deret taylor orde 4 disekitar x 0 = 1 untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat. Penyelesaian : Tahap 1 : Menentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlebih dahulu. f(x) = ln(x) f (x) = 1 x f(1) = 0 f (1) = 1 f"(x) = 1 x f" (x) = x 3 f (4) (x) = 6 x f (5) (x) = 4 x 5 f"(1) = 1 f" (1) = f (4) (1) = 6 f (5) (c) = 4 c 5 Deret Taylornya adalah Metode Numerik Page 15

16 ln(x) = (x 1) Dan ln(0,9) = (0,9 1) (0,9 1) + (x 1) + ln(0,9) = ( 0,1) ( 0,1) Juga (0,9 1)3 3 ln(0,9) = R 4 (x) (x 1)3 3 R 5 (0.9) < max 0.9<c<1 4 ( 0.1)5 x c5 5! (x 1)4 R 4 4 (x) (0,9 1)4 R 4 4 R 4 (x) + ( 0,1)3 ( 0,1)4 R (x) Dan nilai Max 4/c 5 di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9 (dengan medasari pada fakta bahwa suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga R 4 (0.9) < max 0.9<c<1 4 ( 0.1)5 x c5 5! = Jadi ln (0.9) = dengan galat pemotongan lebih kecil dari Deret Taylor yang digunakan untuk menghitung integral fungsi yang sulit diintegralkan secara analitik (bahkan, adakalanya tidak mungkin dihitung secara analatik). Hitunglah hampiran 1 nilai sin x dx 0 secara numeric, yaitu fungsi f(x) = sin x dihampiri dengan deret MacLaurin orde 9. Penyelesaian : Deret Maclaurin orde 9 fungsi f(x) = sin x adalah sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! Metode Numerik Page 16

17 Dengan demikian maka 1 sin x dx 0 = 1 0.x x3 + x5 x7 + x9 / dx 3! 5! 7! 9! = / 3! 5! 7! 9! = = Galat Pembulatan Galat pembulatan adalah galat yang ditimbulkan oleh keterbatasan computer dalam menyajikan bilangan real. Hampir semua proses penghitungan dalam metode numeric menggunakan bilangan real. Penyajian bilangan real yang panjang nyata terhingga tidak bias disajikan secara tepat. Misalnya 1/6 akan menghasilkan nilai real Digit 6 pada bilangan tersebut panjangnya tidakterbatas. Sehingga untuk melanjutkan proses penghitungan bilangan tersebut dibulatkan menjadi , tergantung berapa digit angka yang dibutuhkan. Dalam hal ini selisih antara dan disebut galat pembulatan. Angka Bena Angka bena (significant figure) adalah angka bermakna,angka penting, atau angka yang dapat digunakan pasti. Contohnya : Metode Numerik Page 17

18 Memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1,, 3) Memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4) Memiliki angka bena (yaitu 1, ) Memiliki 6 angka bena (yaitu, 7, 8, 3, 0, 0) Memiliki 7 angka bena (yaitu, 7, 0, 0, 0, 9, 0) Memiliki angka bena (yaitu 9, 0) Perhatikan bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena ata bukan. Pada contoh 0,001360, tigabuah angka nol pertama tidak berarti, sedangkan angka 0 yang terakhir angkab berarti karen pengukuran dilakukan sampai ketelitian ke 4 digit. Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan riil itu ditulis dlam penulisan ilmiah (scientific natation) ; ; ; , , ; Memiliki 5 angka bena Memiliki 4 angka bena Memiliki angka bena Memiliki 6 angka bena Memiliki 7 angka bena Memiliki angka bena Memiliki 4 angka bena Memiliki 4 angka bena(bilangan avogadro) Memiliki 8 angka bena (jarak bumi-matahari) Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena computer akan disimpan dalam sejumlah angka bena Metode Numerik Page 18

19 computer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan. Contoh : 1. Hitunglah dengan lima angka bena nilai f(13.400) bila : f(x) = x 1000( x x) Penyelesaian : f(x) = x 1000( x x) f(13.400) = ( ) f(13.400) = f(13.400) = 0.33 f(13.400) = Hitunglah hampiran nilai cos(0.), sudut dinyatakan dalam radian, dengan deret Maclaurin sampai suku orde n = 6. Penyelesaian: Dari hasil pada Contoh., cos(0.) 1-0./ + 0.4/4-0.6/70 = (sampai 7 angka di belakang koma).3.3 Galat Total Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya kita enggunakan deret maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos (0,) sebagai berikut: Metode Numerik Page 19

20 cos(0.) 1 0, + 0,4 /4 0, galat pemotongan galat pembulatan galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,) sampai suku orde empat, sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran kedalam 7 digit bena. Contoh : 1. Tentukam polinom MacLaurin orde 3 untuk f(x) = sin(x), kemudian gunakan polinom tersebut untuk menghampiri nilai f(0.) gunakan galat total dalam menentukan hasilnya dengan 4 angka bena. Penyelesaian : sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! sin(0.) = = ! 5! 7! Galat total Carilah deret MacLaurin e x. Gunakanpolinom tersebut untuk menghampiri nilai f(0.1), yang setiap hasil perhitungan antara maupun hasil perhitungan akhir menggunakan galat total. Penyelesaian : e x = 1 + x + x! + x3 3! e (0.1) = ! 3! = Galat total Metode Numerik Page 0

21 .4 Orde Peghampiran Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi O- Besar (Big-Oh). Misal : f() dihampiri dgn fungsi p(). Jika f() p() M n, yg dalam hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p() menghampiri f() dengan orde penghampiran O( n ) dan ditulis dgn : f() = p() + O( n ) O( n ) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya. Metode yg berorde O( ) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(). Juga pada metode yg berorde O( ), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula. Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : xi + 1 = xi +, i = 0,1,,.. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(x i + 1) dengan deret Taylor di sekitar x i adalah : n ( xi 1 xi ) ' ( xi 1 xi ) '' ( xi 1 xi ) ( n) f ( xi 1) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi )... f ( xi ) Rn ( xi 1) 1!! n! n h ' h '' h ( n) f ( xi 1) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi )... f ( xi ) Rn ( xi 1) 1!! n! Dalam hal ini : Metode Numerik Page 1

22 Metode Numerik Page Jadi, kita dapat menuliskan : Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi: ε r = a â â < 10;d Pada deret Taylor:] f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1! f (x 0 )(x x 0 ) + 1 3! f (x 0 )(x x 0 ) n! fn (x 0 )(x x 0 ) n + R n (x) Bila (x x 0 ) = atau x = x 0 +, maka: Dapat dituliskan menjadi: p() adalah fungsi hampiran untuk f() dengan galat O(n + 1) ) ( 1) ( 1 ); ( ) ( 1)! ( ) ( i i n n n i n x t x h O t f n h x R n k n i k k i h O x f k h x f ) ( ) (! ) ( ) ( ) (! 1... ) (! 1 ) ( ) ( ) ( 0 0 '' 0 ' 0 0 h R h x f n h x f h x f x f h x f n n n ) ( ) ( 1)! ( 1 ) ( n n n n n h O Mh h f n h R ) ( ) ( ) ( 1 n h O h p h f

23 O(n + 1) disebut sebagai Big-Oh (O-besar). Pada umumnya 0 < < 1, jadi semakin besar n semakin dekat p() menghampiri f() Contoh: 1. Cos = 1 1! ± O( 4 ) = 1 1! ± 1 4! 4 ± O( 6 ) = 1 1! + 1 4! 4 1 6! 6 ± O( 8 ) = 1 1! + 1 4! 4 1 6! ! 8 ± O( 10 ) Orde Penghampiran didapat dati Deret Penting Maclaurin : f ( x) e x 3 4 h h h 1 h O( h! 3! 4! 5 ) f(x) = ln(x) = x x + x3 3 x4 4 + x5 5 + O(6 ) 3 5 h h f ( x) sin( h) h O( h 3! 5! f(x) = cos() = 1! + 4 4! 6 6! + O(8 ) 7 ) e = 1 + +! + 3 3! + 4 4! + O(5 ) ln(x + 1) = x x + x3 3 x4 4 + x5 5 + O(6 ) sin() = 3 3! + 5 5! = 0) cos() = 1! + 4 4! 6 6! + O( 7 ) (bukan O( 6 ), karena suku orde 6 + O( 8 ) (bukan O( 7 ), karena suku orde 7 = 0) Metode Numerik Page 3

24 Contoh :. a = 3,14159; â = 3,14 e r 3,141593, , ,14 â mendekati a teliti sampai tiga desimal 3.5 Bilangan Titik Kambang Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-kambang. Bilangan titik -kambang a ditulis sebagai : a = ±m Bp = ±0. d1dd3d4d5d6... dn Bp dengan, m = mantisa (riil), d1dd3d4d5d6...dn adalah digit atau bit mantisa yang nilainya dari 0 sampai B 1, n adalah panjang digit (bit) mantisa. B = basis sistem bilangan yang dipakai (, 8, 10, 16, dan sebagainya) P = pangkat (berupa bilangan bulat), nilainya dari Pmin sampai +Pmaks Contoh : Bilangan riil dinyatakan sebagai dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10. Cara penyajian seperti itu serupa dengan cara penulisan ilmiah. Penulisan ilmiah termasuk ke dalam sistem bilangan titikkambang. Sistem bilangan yang kita gunakan setiap hari menggunakan basis sepuluh (disebut juga sistem desimal), B = Metode Numerik Page 4

25 10. Umumnya komputer menggunakan sistem biner (B = ), tapi beberapa komputer menggunakan basis 8 dan 16. Contoh soal : 1. bilangan rill dinyatakan dalam format bilangan titik kambang dengan basis 10.. bilangan rill 6588 dinyatakan dalam format bilangan titik kambang dengan basis bilangan riil dinyatakan dalam format bilangan titik kambang dengan basis Bilangan titik kambag Ternormalisasi Bilangan titik kambang dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut. a = ± (mb) B p 1 Misalnya, dapat ditulis sebagai atau atau , dan sebagainya Bilangan titik-kambang yang dinormalisasi ditulis sebagai a = ± m B p = ± 0. d 1 d d 3 d 4 d 5 d 6... d n B p dengan, d1dd3d4d5d6...dnadalah digit (atau bit) mantisa dengan syarat 1 d1 b - 1 dan 0 dk B-1 untuk k > 1. Pada sistem desimal, 1 d1 9 dan 0 dk 9, sedangkan pada sistem biner, d1 = 1 dan 0 dk 1 Contoh, dinormalisasi menjadi , Metode Numerik Page 5

26 dinormalisasi menjadi Pada sistem desimal (B = 10), m akan berkisar dari 0.1 sampai 1, dan pada sistem biner (B = 10), antara 0.5 dan 1. Sebagai catatan, nol adalah kasus khusus. Nol disajikan dengan bagian mantisa seluruhnya nol dan pangkatnya nol. Nol semacam ini tidak dinormalisasi. Contoh : Tulislah bilangan e dalam format bilangan titik-kambang ternormalisasi dengan basis 10, basis, dan basis 16. Penyelesaian: Dalam basis 10 (menggunakan 8 angka bena), e = (bilangan titik-kambang desimal ternormalisasi) Dalam basis (menggunakan 30 bit bena), e (bilangan titik-kambang biner ternormalisasi) Dalam basis 16 (gunakan fakta bahwa 16 = 4, sehingga = ¼ 16 1 e = ¼ = = 0.B7E x 16 1 (bilangan titik-kambang heksadesimal ternormalisasi).5. Epsilon mesin Ukuran yang digunakan untuk membedakan suatu bilangan riil dengan bilangan riil berikutnya adalah epsilon mesin. Metode Numerik Page 6

27 Epsilon mesin distandardisasi dengan menemukan bilangan titik-kambang terkecil yang bila ditambahkan dengan 1 memberikan hasil yang lebih besar dari 1. Dengan kata lain, jika epsilon mesin dilambangkan dengan εmaka 1 + ε> 1 Contoh : tinjau kasus bilangan titik-kambang biner 6-bit word (1 bit tanda, 3 bit untuk pangkat bertanda, dan bit mantisa) dengan B =, dan nilai pangkat dari sampai 3 Karena semua bilangan dinormalisasi, maka bit pertama harus 1, sehingga semua bilangan yang mungkin adalah berbentuk: ±0.10 p atau ±0.11 p, - p 3 Daftar bilangan riil positif yang dapat direpresentasikan adalah = ( ) - = 1/8 = = ( ) -1 = 1/4 = = ( ) 0 = 1/ = = ( ) 1 = 1 = = ( ) = = = ( ) 3 = 4 = = ( ) - = 3/16 = = ( ) -1 = 3/8 = = ( ) 0 = 3/4 = = ( ) 1 = 3/ = = ( ) = 3 = = ( ) 3 = 6 = Metode Numerik Page 7

28 Bila kita susun dari nilai positif terkecil ke nilai terbesar, maka seluruh bilangannya digambarkan dalam diagram garis bilangan sebagai berikut: Rentang nilai-nilai positifnya diperlihatkan pada gambar berikut. Epsilon mesin pada sistem bilangan riil yang ditunjukkan pada gambar adalah ε= = Gap ( x) atau jarak antara sebuah bilangan titik-kambang dengan bilangan titik-kambang berikutnya, yang besarnya adalah x = ε R Metode Numerik Page 8

29 yang dalam hal ini R adalah bilangan titik-kambang sekarang. Contohnya, gap antara bilangan positif terkecil pertama dengan bilangan titik-kambang terkecil kedua pada gambar adalah x = ( ) ( ) = dan dengan demikian bilangan titik-kambang terkecil kedua sesudah adalah Dapat dilihat bahwa gap akan bertambah besar dengan semakin besarnya bilangan titik-kambang. Keadaan underflow terjadi bila suatu bilangan titik-kambang tidak dapat dinyatakan di antara 0 dan bilangan positif terkecil (atau antara 0 dan bilangan negatif terbesar). Keadaan overflow terjadi bila suatu bilangan titik-kambang lebih besar dari bilangan positif terbesar (atau lebih kecil dari bilangan negatif terkecil). Jika kita mengetahui jumlah bit mantisa dari suatu bilangan titik-kambang, kita dapat menghitung epsilon mesinnya dengan rumus ε= B 1 n yang dalam hal ini B adalah basis bilangan dan n adalah banyaknya digit (atau bit) bena di dalam mantisa. Pada contoh pertama di atas (B = dan n = ), ε= 1 =0.5 Kita juga dapat menemukan perkiraan nilai epsilon mesin Metode Numerik Page 9

30 dengan prosedur yang sederhana. Gagasannya ialah dengan membagi dua secara terus menerus nilai 1 dan memeriksa apakah 1 ditambah hasil bagi itu lebih besar dari 1. Epsilon dapat digunakan sebagai kriteria berhenti kekonvergenan pada pada prosedur lelaran yang konvergen. Nilai lelaran sekarang dibandingkan dengan nilai lelaran sebelumnya. Jika selisih keduanya sudah kecil dari epsilon mesin, lelaran dihentikan, tetapi jika tidak, lelaran diteruskan..5.3 Pembulatan Pada Bilagan Titik Kambang Bil. Riil dalam computer memiliki rentang terbatas Floating-point yang tidak cocok salah satu dari nilainilai dalam rentang nilai yang tersedia akan dibulatkan kesalahsatu nilai dalam rentang Error yang muncul akibat penghampiran di atas disebut galat pembulatan Teknik pembulatan yang umumnyadipakaikomputer, yaitu: - Pemenggalan (Chooping) - Pembulatanke digit terdekat (In-rounding) a. Pemenggalan (chopping) Misaldiketahui:a = 0.d1dd3 dndn+1 10 P flchop(a) = 0.d1dd3 dndn+1 10 P Contoh pemenggalannya: p = flchop(p) = (6 digit mantis) Metode Numerik Page 30

31 Error = b. Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) Misaldiketahui: a = 0.d1dd3 dndn+1 10 P fl ( a) 0. d d d... d X10 round dn,jika dn+1< ^ n P d^ n dn+1,jika dn+1 > 5 dn dn+1,jika dn+1 = 5 dan n genap,jika dn+1 = 5 dan n ganjil Contoh 1: p = Dalam komputer 6 digit, pembulatan menjadi flround(p) = dengan error = Pembulatan ke digit terdekat menghasilkan error yang lebih kecil dari pada pemenggalan Pembulatanke digit terdekat (In-rounding) Contoh : a = Metode Numerik Page 31

32 1. Dalam komputer 7 digit, pembulatan menjadi flround(a) = Dalam komputer 8 digit, pembulatan menjadi flround(a) = Contoh lainnya, nilai a = : - di dalam komputer 7 digit dibulatkan menjadi flround(a) = di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi flround(a) = x di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi flround(a) = x di dalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi flround(a) = x Aritmatika Bilangan Titik Kambang a. Operasi Penambahan dan Pengurangan Permasalahan 1 Penjumlahan dan Penguranga bilangan yang sangat kecil ke atau dari bilangan yang lebih besar menyebabkan error Contoh : Misalkam digunakan komputer dengan mantis 4 digit (basis 10). Hitunglah Metode Numerik Page 3

33 = ;1 Penyelesaian : Perhatikan bahwa dua digit terakhir dari bilangan yang digeser ke kanan pada dasarnya telah hilang dari perhitungan. Galat mutlak pembulatan = ( ) ( ) = Galat mutlak Pemenggalan = ( ) ( ) = Permasalahan : Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar, menyebabkan kehilangan angka bena dan pemenggalan maupun pembulatan menghasilkan jawaban yang sama. Contoh: (5 angka bena) Penyelesaian : Kurangi denga (5 angka bena) Hasil yang diperolrh hanya mempunyai 3 angka bena. Jadi kita kehilangan buah angka bena. Meskipun kita dapat menuliskan hasilnya sebagai , namun dua nol yang terakhir Metode Numerik Page 33

34 bukan angka bena tetapi sengaja ditambahkan untuk mengisi kekosongan digit yang hilang. Cotoh soal : 1) Kurangi dengan (11 angka Bena) ) Kurangi dengan (4 angka bena) 3) Hitung akar-akar polinom x 40x + = 0 sampai 4 angka bena. 4) Diberikan f(x) = ex ;1;x. Hitung f(0.01) sampai 6 angka x bena. Penyelesaian : 1) ) 3) Metode Numerik Page 34

35 4) b. Operasi Perkalian da Pembagian Kriteria: 1. Tidak memerlukan penyamaan pangkat seperti halnya pada penjumlahan. Perkalian dapat dilakukan dengan mengalikan kedua mantis dan menjumlahkan pangkatnya. 3. Pembagian dikerjakan dengan membagi mantis dan mengurangi pengkatnya. Contoh. 1. Hitung perkalian dengan (4 angka bena). Metode Numerik Page 35

36 Penyelesaian: a. Kalikan mantis = b. Jumlahkan pangkat 4 + ( 1) = 3 c. Gabungkan mantis dengan pangkat d. Normalisasi: in-rounding chopping Hitung ( )/ (4 angka bena). Penyelesaian: a. Bagi mantis : = b. Kurangi pangkat ( 4) ( ) = c. Gabungkan mantis dengan pangkat d. Normalisasi: in-rounding chopping Perambatan Galat Galat yang dikandung dalam bilangan titik-kambang merambat pada hasil komputasi. Misalkan terdapat dua bilangan adan b (nilai sejati) dan nilai hampirannya masing-masing a dan b, yang Metode Numerik Page 36

37 mengandung galat masing-masing ε a dan ε b. Dapat ditulis a = a + ε a dan b = b + ε b. Galat merambat pada hasil penjumlahan a dan b a + b = (a + ε a ) + (b + ε b ) = (a + b ) + (ε a + ε b ) Jadi, galat hasil penjumlahan sama dengan jumlah galat masingmasing operand. Galat merambat pada hasil perkalian a dan b ab = (a + ε a )(b + ε b ) = a b + a ε b + b ε a + ε a ε b ab a b = a ε b + b ε a + ε a ε b Jika, a dan b 0, maka galat relatifnya adalah (ab a b ) ab = (a ε b + b ε a + ε a ε b ) = (a ε b) ab ab + (b ε a ) ab + ε aε b ab Jika, a dan a hampir sama besar, yaitu a a begitu juga b danb, dan ε a dan ε b sangat kecil, maka a a b b dan ( ε a a )(ε b b ) ab a b ab, maka = ε b b + ε a a = ε Rb + ε Ra Jadi, galat relatif hasil perkalian sama dengan jumlah galat relatif masing-masing operand..7 Kondisi Buruk Suatu persoalan dikatakan berkondisiburuk (illconditioned) bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data (misalnyaperubahankecilakibatpembulatan). Bila kita mengubah sedikit data, maka jawabannya berubah sangat besar (drastis). Lawan dari berkondisi buruk adalah berkondisi baik (wellconditioned). Suatu persoalan dikatakan berkondisi baik Metode Numerik Page 37

38 bila perubahan kecil datahanya mengakibatkan perubahan kecil pada jawabannya. Sebagai contoh, tinjau persoalan menghitung akar persamaan kuadratax + bx + c = 0. Caranya hanya mengubah nilai-nilai tetapan c-nya saja: (i) x 4x = 0 akar-akarnya x 1 =.031 dan x =1.968 Sekarang, ubah 3.99 menjadi 4.00: (ii) x 4x = 0 akar-akarnya x 1 =x =.000 Ubah 4.00 menjadi 4.001: (iii) x 4x = 0 akar-akarnya imajiner Jadi, persoalan akar-akar persamaan kuadrat diatas berkondisi buruk, karena dengan pengubahan sedikit saja data masukannya (dalam hal ini nilai koefisien c ), ternyata nilai akar-akarnya berubah sangat besar..8 Bilangan Kondisi Kondisi komputasi numerik dapat diukur dengan bilangan kondisi. Bilangan kondisi merupakanukuran tingkat sejauh mana ketidakpastian dalam diperbesar x oleh f(x). Bilangan kondisi dapat dihitung dengan bantuan Deret taylor. Fungsi diuraikan di sekitar x sampai suku orde pertama: f(x) f(x ) + f (x )(x x ) Galat relatif hampiran dari x adalah ε RA,f(x)- = (f(x) f(x ))/(f(x )) (f (x )(x x ))/(f(x )) Dan galat relatif hampiran dari adalah x x ε RA,x- = x f(x) Bilangan kondisi didefinisikan sebagai nisbah (ratio) antara Metode Numerik Page 38

39 galat relatif hampiran dari f(x) dan galat relatif hampiran dari x: Bilangan kondisi = ε RA,f(x)- = x f (x ) ε RA,x- f(x ) Arti dari bilangan kondisi adalah: - Bilangan kondisi = 1 berarti galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif x - Bilangan kondisi lebih besar dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi besar - Bilangan kondisi lebih kecil dari 1 berarti galat relatif hampiran fungsi kecil (kondisi baik) Suatu komputasi dikatakan berkondisi buruk jika bilangan kondisinya sangat besar, sebaliknya berkondisi baik bila bilangan kondisinya sangat kecil. Contoh soal : 1. Misalkanf(x) = x. Tentukan bilangan kondisi perhitungan akar kuadrat x. Penyelesaian: Hitungf '(x) terlebihdahulu f (x) = 1 x Yangakandigunakanuntukmenghitung x x Bilangankondisi= x Bilangankondisiinisangatkecil, yang berartipenarikanakarkuadratx merupakan prosesyang berkondisibaik. Sebagaicontoh, = , danjika diubahsedikit (dibulatkan)menjadi maka = Ternyata perubahankecilpadanilaix Metode Numerik Page 39

40 hanyaberakibatperubahansedikitpadaf(x).. Hitungbilangankondisif(x) = 10 1;x. Penyelesaian: Hitungf '(x) terlebihdahulu Yangdigunakanuntukmenghitung bilangankondisi= x * f (x) = 0x (1 x )² 0x + (1;x ) 10 (1;x ) = x 1;x Bilangan kondisi ini sangat besar untuk x 11. Jadi, menghitung f(x) untuk x mendekati 1 atau -1 sangat buruk keadaannya, karena galat relatifnya besar. Sebagai contoh, f(1.009) = , tetapi f(1.01) = Ternyata perubahan kecil pada nilai x di sekitar 1 (karena dibulatkan dari 4 angka bena menjadi 3 angka bena), mengakibatkan nilai f(x) berubah sangat besar. Untuk x yang jauh dari 1 atau 1, f(x) berkondisi baik. 3. Hitung bilangan kondisi untuk f(x) = tan(x). Penyelesaian: Hitung f '(x) terlebih dahulu f (x) = 1 cos x Yang digunakan untuk menghitung Bilangan kondisi= x 1 cos (x ) tan (x ) Bilangan kondisi ini sangat besar untuk x π. Misalkan untuk x = π + 0.1(π ), Metode Numerik Page 40

41 Bilangan kondisi = 1.779(40.86)/ = -11. Dan untuk x = π (π ), Bilangan kondisi = (4053)/ = -101 Metode Numerik Page 41

42 BAB III SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR Dalam matematika terapan kita sering mencari penyelesaian persamaan untuk f(x) = 0, yakni bilangan- bilangan x = 1 sedemikian hingga f(x) = 0 sehingga f(r) = 0; f adalah fungsi tak linear dan r yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik 0 fungsi tersebut. 3.1 Rumusan Masalah Persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0. Yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya, misalnya 5x 10 = 0pemecahannyaadalah dengan memindahka -10 ke ruas kanan sehingga menjadi 5x = 10, sehingga solusi atau akarnya adalah x =. Begitu juga dengan persamaan kuadratik seperti x 4x 5 = 0, akar-akarnya mudah ditemukan dengan cara pemfaktoran menjadi (x 5)(x + 1) = 0 sehingga x 1 = 5 dan x = 1 Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya. Misalnya : Tentukan akar riil terkecil dari : x x x 5 = 0 Contoh di atas memperlihatkan bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya dengan menggunakan metode numerik. Metode Numerik Page 4

43 3. Metode Pencarian Akar Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara lelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar : a) Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) Metode ini mencari akar dalam selang,a, b-selang,a, b-sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan lelarannya selalu konvergen menuju ke akar, karena itu metode tertutup sering disebut sebagai metode konvergen. b) Metode terbuka Metode terbuka tidak memerlukan selang,a, b-yang mengandung akar, yang diperlukan adalah tebakan (guest) awal akar. Kemudian dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu metode terbuka tidak selalu menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen. 3.3 Metode Tertutup Seperti yang telah dijelaskan, metode tertutup memerlukan selang[a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar. Sebagaimana namanya, selang tersebut mengurung akar sejati. Strategi yang dipakai adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang tersebut semakin sempit dan karenanya menuju akar yang benar. Metode Numerik Page 43

44 Dalam sebuah selang mungkin terdapat lebih dari satu buah akar atau tidak ada akar sama sekali. Secara grafik dapat ditunjukkan bahwa jika : ganjil. (1)f(a)f(b) < 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan Gambar 1. Banyaknya akar ganjil ()f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali Gambar. Banyaknya akar genap Syarat Cukup Keberadaan Akar Jika nilai fungsi berbeda tanda tanda di ujung-ujung selang, pastilah terdapat sedikit satu buah akar di dalam selang tersebut. Syarat cukup keberadaan akar persamaan ditulis sebagai berikut: Metode Numerik Page 44

45 Jika f(a)f(b) < 0 dan f(x)menerus didalam selang,a, b-, maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang,a, b-. Gambar 3. Lokasi akar Syarat tersebut disebut sebagai syarat cukup (bukan syarat perlu) sebab meskipun nilai nilai ujung selang tidak berbeda tanda, mungkin saja terdapat akar di dalam selangtersebut. Ada dua masalah yang terjadi mengambil selang,a, b- yaitu : karenaketidaktepatan 1. Bila di dalam selang,a, b- terdapat lebih dari satu buah akar. Perlu diingat bahwa sekali suatu metode tertutup digunakan untuk mencari akar di dalam selang,a, b-. Karena itu bila mengambil selang,a, b-. Yang mengandung lebih dari satu akar, maka hanya satu buah akar saja yang berhasil ditemukan. Bila mengambil selang,a, b- yang tidak memenuhi syarat cukup f(a)(b) < 0. sehingga mungkin sampai pada kesimpulan Metode Numerik Page 45

46 tidak terdapat akar di dalam selang,a, b-tersebut, padahal seharusnya ada. Untuk mengatasi kedua masalah di atas, pengguna metode tertutup disarankan untuk mengambil selang yang berukuran cukup kecil yang memuat hanya satu akar. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam memilih selang tersebut, yaitu : 1. Pendekatan pertama yaitu membuat grafik fungsi di bidang X Y, lalu melihat dimana perpotongannya dengan sumbu X. Dari sini kita dapat mengira-ngira selang yang memuat titik potong tersebut. Grafik fungsi dapat dibuat dengan program yang ditulis sendiri, atau lebih praktis menggunakan paket program yang dapat membuat grafik fungsi.. Pendekatan kedua adalah dengan mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak tetap. Jarak titik ini dapat diatur cukup kecil. Jika tanda fungsi berubah pada sebuah selang, pasti terdapat minimal satu akar didalamnya. Keberhasilan dari pendekatan ini bergantung pada jarak antara titik-titik absis. Semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar. Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi Metode Bagidua Metode bagi dua ini dilakukan untuk pencarian akar suatu persamaan dengan cara selalu membagi Metode Numerik Page 46

47 dua selang sehingga diperoleh nilai fungsi untuk titik tengahselang.metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval[a 1,b 1 ], serta f (a 1 ) dan f (b 1 ) mempunyai tanda berlawanan, artinya f (a 1 ). f(b) < 0, karena itu terdapat minimal satu akar pada interval [a 1,b 1 ]. Interval dalam metode ini selalu dibagi dua sama lebar, jika fungsi berubah tanda sepanjang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval. Proses ini diulangi sampai ukuran interval yag baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan toleransi kesalahan yang diberikan. Misalkan kita telah menentukan selang [a,b] sehingga f(a)f(b) < 0. Pada setiap kali lelaran, selang [a,b] kita bagi dua di x = c, sehingga terdapat dua buah subselang yang berukuran sama yaitu selang,a, c-dan,c, b-. Selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah subselang yang memuat akar, bergantung pada apakah f(a)f(b) < 0. Metode Numerik Page 47

48 Langkah pencarian akar dengan metode bagi dua : Langkah 1 : Pilih selang inteval pencarian awal x 1 < x < x u, dimanax 1 adalah batas bawahdan x u adalah batas atas. Kemudian lakukan pengujian apakah akar terdapat dalaminterval, yaitu f(x u ). f(x 1 )< 0. Langkah : Taksir nilai akar (x r ) dalam selang dengan cara membagi dua selangx r = x 1:x u Langkah 3 : Lakukan pengujian terhadap nilai fungsi untuk mengetahui inteval : pencarian berikutnya, yaitu dengan cara Jika (x 1 ). f(x r )< 0, berarti akar terletak pada interval di bawah x r, sehingga Metode Numerik Page 48

49 interval pencarian selanjutnya x 1 = x 1 < x < x u = x r laluulangi langkah ke. Jika (x 1 ). f(x r )>0, berarti akar terletak pada interval di atas x r, sehingga interval pencarian selanjutnya x 1 = x r < x < x u = x u laluulangi langkah ke. Jika (x 1 ). f(x r )=0, berarti akar sama dengan x r maka hentikan perhitungan. Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut : 1. Lebar selang baru a b < ε, yang dalam hal ini εadalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar. Nilai fungsi di hampiran akar f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0dibenarkan. Namun jika kembali ke konsep awal bahwa dua buah bilangan riil tidak dapat dibandingkan kesamaannya karena representasi di dalam mesin tidak tepat, maka kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil (misalnya epsilon mesin) sebagai pengganti nilai 0. Dengan demikian, menguji kesamaan f(c) = 0 dapat kita hampiridenganf(c) < epsilonmesin. Metode Numerik Page 49

50 3. Galat relative hampiran akar : (C baru C lama / C baru < δ, yang dalam hal ini galat relative hampiran yang diinginkan. Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan : Contoh Soal : Carilah salah satu akar persamaan berikut: x e -x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001 dengan menggunakan range x=[ 1,0] Penyelesaian : Dengan memisalkan bahwa : - (xl) = batas bawah = a - (xu) = batas atas = b - (xr) = nilai tengah = x maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut : Metode Numerik Page 50

51 Pada iterasi ke 10 diperoleh x = dan f(x) = Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan. Contoh : 1. Carilah nilai akar dari persamaan f(x) = x 3 x 1 = 0 Penyelesaian : Pilih a = 1 dan b =. Karena f(1)negatif dan f()positif, maka salah satu akar terletak di antara 1 dan. Oleh karena itu x 0 = 3 = 1,5. Kemudian karena f.3/ =.3 /3 3 1 = 7 (positif) maka akar karakteristik terletak antara 1 8 Metode Numerik Page 51

52 dan 1,5. Kondisi ini memberikan x 1 = 1:1,5 = 1,5. Karena f(x 1 ) = f(1,5) = (negatif), nilai akar yang dicari terletak diantara 1,5 dan 1,5. Sehingga diperoleh x = 1,5 + 1,5 = 1,375. Bila prosedur diatas diulang kembali hingga x 5 diperoleh nilai-nilai aproksimasi berikut : x 3 = 1,315, x 4 = 1,34375, x 5 = 1,3815. Carilah lokasi akar pada fungsin f(x) = x 4x 5 menggunakan metode bagi dua sampai iterasi pada selang [,9] Penyelesaian : f() = 4() 5 = 9 f(9) = 9 4(9) 5 = 40 f(). f(9) = ( 9). (40) = 360 < 0 jadi memang terdapat akar pada selang [,9] Iterasi 1 Bagi selang [:9] Metode Numerik Page 5

53 Panjang selang [:9] adalah 9-=7 Panjang setengah selang [:9] adalah 7: = 3,5 Titik tengah selang [:9] adalah c 1 = + 3,5 = 5,5 c 1 disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi 1. Galat/error= [akar sejati akar hampiran] = [5 5,5] = 0,5 Karena ingin lanjut ke iterasi maka bagi selang [:9] dengan titik tengah c 1 = 5,5 yaitu,: 5,5-dan,5,5: 9- Cek selang mana yang ada akarnya : f() = 4() 5 = 9 f(5,5) = (5,5) 4(5,5) 5 = 3,5 f(9) = 9 4(9) 5 = 40 f(). f(5,5) = ( 9). (3,5) = 9,5 < 0 jadi terdapat akar pada selang [:5,5] f(5,5). f(9) = (3,5). (40) = 130 > 0 jadi tidak terdapat akar pada selang [5,5:9] Iterasi Bagi selang [:5,5] Metode Numerik Page 53

54 Panjang selang [:5,5] adalah 5,5 = 3,5 Panjang setengah selang [:5,5] adalah 3,5 : = 1,75 Titik tengah selang [:5,5] adalah c = + 1,75 = 3,75 c disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi. Galat/error= [akar sejati akar hampiran] = [5 3,75] = 1,5 3. Selesaikan persamaan x 3 = 0 dalam interval [1,] menggunakan metode bagi dua sampai 5 iterasi. Penyelesaian : Iterasi 1 : a 1 = 1 f(a 1 ) = b 1 = x 1 = a 1 + b 1 = 1 + = 1,5 f(x 1 ) = 0,75 Iterasi : Diamati (a 1 ). f(x 1 )> 0, maka a = x 1 = 1,5 f(a ) = 0,75 b = b 1 = Metode Numerik Page 54

55 x = a + b = 1,5 + = 1,75 f(x ) = 0,065 Iterasi 3: Diamati (a ). f(x )< 0, maka a 3 = a = 1,5 f(a 3 ) = 0,75 b 3 = x = 1,75 x 3 = a 3 + b 3 = 1,5 + 1,75 = 1,65 f(x 3 ) = 0,3594 Iterasi 4: Diamati (a 3 ). f(x 3 )> 0, maka a 4 = x 3 = 1,65 f(a 4 ) = 0,3594 b 4 = b 3 = 1,75 x 4 = a 4 + b 4 = 1,65 + 1,75 = 1,6875 f(x 3 ) = 0,153 Iterasi 5: Diamati (a 4 ). f(x 4 )<0, maka a 5 = x 4 = 1,6875 f(a 5 ) = 0,153 Metode Numerik Page 55

56 b 5 = b 4 = 1,75 x 5 = a 5 + b 5 = 1, ,75 = 1,7187 f(x 3 ) = 0,0459 Jadi, pada iterasi ke 5 diperoleh akar hampiran x=1, Metode Regula-Falsi Metode regula falsi atau metode posisi palsu merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaanpersamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Persamaan non linier ini biasanya berupa persamaan polynomial tingkat tinggi, eksponensial, logaritmik, dan kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Seperti metode biseksi, Metode regula falsi juga termasuk dalam metode tertutup. Pada umumnya pencarian akar dengan metode biseksi selalu dapat menemukan akar, namun kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat, oleh karena itu untuk mempercepat pencarian akar tersebut dibutuhkan metode lain yaitu metode regula falsi. kehadiran metode regula falsi adalah sebagai modifikasi dari metode biseksi, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai akar hampiran. Metode Regula Falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut : 1. Menggunakan garis scan (garis lurus yang menghubungkan Metode Numerik Page 56

57 dua koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan nonlinier (titik potong kurva f(x) dengan sumbu x).. Taksiran nilai akar selanjutnya merupakan titik potong garis scan dengan sumbu x. Berdasarkan gambar di atas, didapat rumus metode regula falsi : f(b) f(a) = f(b) 0 b a b c Dapat disederhanakan menjadi c = f(b)a;f(a)b f(b);f(a) Algoritma Metode Regula Falsi 1. Tentukan nilai awal a dan b. Cek konvergensi nilai f(a) dan f(b) a. Jika tanda f(a) dan f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya b. Jika tanda f(a) = (b), pilih nilai awal yang baru. 3. Lakukan iterasi dan tentukan nilai c (hitung akar), dengan rumus : f(b)a f(a)b f(b) f(a) 4. Cek konvergensi nilai c yaitu jika nilai f(c) =0 maka hentikan proses iterasi. 5. Jika belum konvergensi tentukan nilai interval Metode Numerik Page 57

58 baru dengan cara : a. Jika tanda f(c) = tanda f(a) maka c = a b. Jika tanda f(c) = tanda f(b) maka c = b Contoh Soal: 1. Dengan menggunakan metode regula falsi, tentukanlah salah satu akar dari persamaan (x) = x 5x + 4. Jika diketahui nilai awal x= dan x=5 dan serta ketelitian hingga 3 desimal. Penyelesaian : Cek nilai awal n a f(a) b f(b) w c f(c) , Nilai awal : a = f() = () 5() + 4 = b = 5 f(5) = (5) 5(5) + 4 = 4 ( ) w = ( ) (4) = 0,333 c = + 0,333(5 ) = 3 f(3) = (3) 5(3) + 4 = Langkah selanjutnya menukar nilai a atau b dengan c jika f(a) atau f(b) sama tanda nilainya dengan f(c) seperti pada metode biseksi n a f(a) b f(b) w c f(c) , ,333 3,667-0,889 3,667-0, ,18 3,909-0,64 3 3,909-0, ,06 3,977-0,069 Metode Numerik Page 58

59 ( 0,64) w = ( 0,64) (4) = 0,06 c = 3, ,06(5 3,909) = 3,977 f(3,977) = (3,977) 5(3,977) + 4 = 0,069 Dan seterusnya. n a f(a) b f(b) w c f(c) , ,333 3,667-0,889 ( ) w = ( ) (4) = 0,333 w = 3 + 0,333(5 3) = 3,667 w(3,667) = (3,667) 5(3,667) + 4 = 0,889 Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7, karena c 6 dan c 7 konstan (c 6 dan c 7 = 4,0000) sehingga diperoleh akar dari persamaan non linearnya adalah 4, Metode Terbuka Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau duabuah tebakan yang tidak perlu mengurungakar. Inilah alasannya mengapa metode ini Metode Numerik Page 59

60 dinamakan metode terbuka. Hampiran akar sekarangpada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur lelaran.kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati kadangkala divergen.namun, apabila lelarannya konvergen,konvergensinya berlangsung sangat cepat dibanding metode tertutup. Ciri-ciri Metode terbuka sebagai berikut : 1. Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar.. Mencari akar melalui suatu lelaran yang dimulai dari sebuah tebakan (guest)awal. 3. Pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru. 4. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen),atau mungkin juga menjauhi (divergen). 5. Karena itu,metode terbuka tidak selalu menemukan akar,kadang konvergen dan kadang ia divergen Yang termasuk ke dalam metode terbuka : 1. Metode lelaran titik tetap (fixed point iteratio n).. Metode Newton- Rhapson. 3. Orde Kovergesi Metode Terbuka 4. Metode Secant Metode lelaran titik tetap ( metode iterasi sederhana ) Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). PROSEDUR: 1. Susun persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x) Metode Numerik Page 60

61 . Bentuk menjadi x r:1 = g(x) 3. Tentukan sebarangx 0, kemudian hitung x 1, x, yang 4. STOP dapat konvergen ke akar sejati x r:1 x r < ε atau x r:1 x r < δ x r Contoh : x ex = 0 x = ex atau g(x) = ex Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran xr + 1 = g(xr) Dan terkalah sebuah nilai awal x0 x1, x, x3,..., f(s) = 0 dan s = g(s)., lalu hitung nilai Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila xr + 1 xr < ε Atau bila menggunakan galat relatif hampiran x r:1 x r < δ x r:1 Denganε danδtelahditetapkan sebelumnya Perhatikan contoh berikut: Carilah akar persamaan f(x) = x x 3 = 0 dengan metode lelaran titik tetap. Gunakan ε = Penyelesaian: Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaranyang Metode Numerik Page 61

62 dapat dibentuk a) x x 3 = 0 x = x + 3 x = (x + 3) Dalam hal ini, (x) = x + 3. Prosedur lelaran adalah x r:1 = (x r + 3). Ambil terkaan awal x0 = 4. Tabel lelarannya : r xr xr+1 xr Hampiran akar x = b) x x 3 = 0 Metode Numerik Page 6

63 x (x ) = 3 x = 3 x Dalam hal ini, g(x) = 3. Prosedur lelarannya x; adalah x r + 1 = 3. Ambil terkaan awal x0 = 4. x r ; Tabel lelarannya : R xr xr+1 xr Metode Numerik Page 63

64 Hampiran akar x = ( c ) x x 3 = 0 x = x + 3 x = x 3 Prosedur lelarannya adalah xr+1= x r ;3 terkaan awal x0 = 4. Tabel lelarannya :. Ambil I xr xr+1 xr Ternyata lelarannya divergen. Teorema 3. Misalkan x = 5 adalah solusi dari x = g(x)dan andaikan g mempunyai turunan continue dalam selang,a, b- yang memuat x. Maka jika g (x) < k < 1 dalam selang tersebut, proses iterasi yang didefinisikan x r:1 = g(x) akan konvergen ke x. Sebaiknya jika g (x) < k < 1 dalam selang tersebut, maka iterasinya x r:1 = g(x r ) akan divergen x. Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap. Metode Numerik Page 64

65 1. Jika 0 < g'(x) < 1 untuk setiap x I, maka lelarankonvergen monoton;. Jika -1< g'(x) < 0 untuk setiap x I, maka lelarankonvergen bersosilasi; 3. Jika g'(x) > 1 untuk setiap x I, maka lelarandivergen monoton; 4. Jika g'(x) < -1 untuk setiap x I, maka lelarandivergen berosilasi. Pertanyaan : 1. Dalam setiap soal apakah prosedur lelarannya selalu lebih dari satu?. Kapan iterasinya harus berhenti? 3. Bagaimana menentukan tebakan akarnya? 4. Apakah maksud dari konvergen monoton, konvergen berosilsi, divergen monoton dan divergen berosilasi? Jawaban : 1. Tidak, tergantung pada f(x) = 0 yang terdapat pada soal tersebut.. Kondisi berhenti ketika x r:1 x r < ε atau x r:1;x r < δ3. x r;1 3. Tebakan akar dilakukan secara bebas tetapi sebaiknya diambil dari akar yang mendekati fungsi f(x). 4. Konvergen monoton : hasil dari x r:1 x r selalu turun dan mendekati akarsejatinya. Konvergen berosilasi : hasil dari x r:1 x r selalu naik turun tetapi mendekatiakar sejatinya. Divergen monoton : hasil dari x r:1 x r selalu naik sehingga menjauhi Metode Numerik Page 65

66 akar sejatinya. Divergen berosilasi : hasil dari x r:1 x r selalu naik turun tetapi menjauhiakar sejatinya. Contoh Soal : Hitung akar f(x) = x x 3 dengan ε = x x 3 = 0 x ( x ) = 3 x r + 1 = 3 x r r xr xr+1 xr Metode Numerik Page 66

67 Metode Newton Rhapson Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan kurva pada titik tersebut. Metode Newton-Rephson yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Rephson, yaitu : a) Penurunan rumus Newton-Rephson secara geometri b) Penurunan rumus Newton-Rephson dengan bantuan deret Taylor Uraikan f(x r:1 ) disekitar x r ke dalam deret Taylor : f(x r:1 ) = f(x r ) + (x r:1 x r )c + (x r:1 x r ) f"(t), x r < t < x r:1 Yang bila dipotong sampai suku orde- saja menjadi f(x r:1 ) = f(x r ) + (x r:1 x r )f (x r ) Karena kita mencari akar, maka f(x r:1 ) = 0, sehingga Atau 0 = f(x r ) + (x r:1 x r )f (x r ) x r:1 = x r f(x r ) f (x r ), f (x r ) 0 Yang merupakan rumus metode Newton-Raphson. Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila x r:1 x r < ε Atau bila menggunakan gelat relative hampiran Metode Numerik Page 67

68 x r:1 x r < δ x r:1 Dengan ε dan δ adalah toleransi galat yang diinginkan Catatan : Jika terjadi f (x r ) = 0, ulangi perhitungan lelaran dengan x 0 yang lain. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain. Dapat pula terjadi lelaran konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan (seperti halnya pada metode lelaran titik tetap) gambar Penjelasan grafis mengenai metode ini adalah seperti Diasumsikam bahwa fungsi f(x) adalah kontinu. Idenya adalah menghitung akar yang merupakan titik potong antara sumbu x dengan garis singgung pada kurva di titik (x n;1, f(x n;1 )). Kemiringan kurva di titik tersebut adalah f (x n;1 ), sehinbgga garis singgung mempunyai persamaan y f(x n;1 ) = f (x n;1 )(x x n;1 ) Metode Numerik Page 68

69 Karena itu diperoleh akar hampiran dengan mengambil y = 0, yaitu f(x n;1) x n = x n;1 f (x n;1 ) Kriteria Konvergen Newton Raphson Untuk memperoleh iterasi konvergen maka harus memenuhi harga mutlak g (x) < 1 karena metode Newton Raphson adalah metode terbuka maka dapat dirumuskan : g(x) = x f(x) maka turunan pertama g(x) adalah : f (x) g (x) = 1 f (x). f (x) f"(x). f(x),f (x)- g (x) = f (x) f (x) + f"(x)f(x),f (x)- f"(x). f(x) g (x) =,f (x)- Karena syarat konvergensi g (x) < 1 Maka f"(x).f(x),f (x)- < 1 dengan syarat f (x) Orde Kovergensi Metode Terbuka Prosedur lelaran pada setiap metode terbuka dapat ditulis dalam bentuk x r:1 = g(x r ). Misalnya pada metode Newton-Raphson g(x r ) = x r f(x r ) f 1 (x r ). Misalkan x r adalah hampiran tetap akar sejati s sehingga s = g(s). Maka, berdasarkan konsep galat s = x r + ε r dengan ε r adalah galat dari x r. Uraikan g(s) disekitar x r : g(s) = g(x r ) + g (x r )(s x r ) + 1 g(x r )(s x r) +, Metode Numerik Page 69

70 = g(x r ) + g (x r )ε r + 1 g(x r )ε r +, Kemudian kurangi dengan x r:1 = g(x r ) sehingga diperoleh: g(s) x r:1 = g (x r ) + 1 g(x r )ε r + Karena s = g(s), maka s x r:1 = g (x r )ε r + 1 g(x r )ε r + Misalkan s x r:1 = ε r:1, sehingga ε r:1 = g(x r )ε r + 1 g(x r )ε r + Bilangan pangkat dari konvergensi prosedur lelaran: ε r menunjukkan orde (atau laju) (a) : ε r:1 g (t)ε r, x r < t < x r:1, Prosedur lelaran orde satu (b) : ε r:1 1 g (x r )ε r Prosedur lelaran orde dua Metode Secant Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f (x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu Metode Numerik Page 70

71 muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah ini. Persamaan garis l adalah x x 1 = y f(x 1) x 0 x 1 f(x 0 ) f(x 1 ) Karena x = x maka y = 0, sehingga diperoleh x x 1 = 0 f(x 1) x 0 x 1 f(x 0 ) f(x 1 ) x x 1 = f(x 1)(x 0 x 1 ) f(x 0 ) f(x 1 ) x = x 1 f(x 1)(x 0 x 1 ) f(x 0 ) f(x 1 ) x = x 1 f(x 1)(x 1 x 0 ) f(x 1 ) f(x 0 ) Secara umum rumus Metode Secant ini ditulis x n:1 = x n f(x n)(x n x n;1 ) f(x n ) f(x n;1 ) Prosedur Metode Secant : Ambil dua titik awal, misal x 0 dan x 1 Metode Numerik Page 71

72 Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang Setelah itu hitung x menggunakan rumus diatas Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x 1 dan x sebagai titik awal dan hitung x 3 Kemudian ambil x dan x 3 sebagai titik awal dan hitung x 4 Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil. Contoh : Tentukan salah satu akar dari 4x 3 15x + 17x 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi. Penyelesaian : f(x) = 4x 3 15x + 17x 6 iterasi 1 : ambil x 0 = 1 dan x 1 = 3 (ambil titik awal sembarang) f( 1) = 4( 1) 3 15( 1) + 17( 1) 6 f( 1) = 4 f(3) = 4(3) 3 15(3) + 17(3) 6 f(3) = 18 18(3 ( 1)) x = 3 18 ( 4) x = 1,8 Iterasi : Ambil ambil x 1 = 3 dan x = 1,8 f(1,8) = 4(1,8) 3 15(1,8) + 17(1,8) 6 f(3) = 0,67 Metode Numerik Page 7

73 ( 0,67)(1,8 (3)) x 3 = 1,8 0,67 18 x 3 = 1,84319 Iterasi 3 : Ambil ambil x = 1,8 dan x 3 = 1,84319 f(1,84319) = 4(1,84319) 3 15(1,84319) + 17(1,84319) 6 f(1,84319) = 0,57817 ( 0,57817)(1, ,8) x 4 = 1, , ,67 x 4 =,1093 Iterasi 4 : Ambil ambil x 3 = 1,84319 dan x 4 =,1093 f(,1093) = 4(,1093) 3 15(,1093) + 17(,1093) 6 f(,1093) = 0,65939 (0,65939)(,1093 1,84319) x 5 =,1093 0,65939 ( 0,57817) x 5 = 1,9675 Iterasi 5 : Ambil ambil x 4 =,1093dan x 5 = 1,9675 f(1,9675) = 4(1,9675) 3 15(1,9675) + 17(1,9675) 6 f(1,9675) = 0,15303 ( 0,15303)(1,9675,1093) x 6 = 1,9675 0,15303 (0,65939) x 6 = 1,9943 Iterasi 6 : Ambil ambil x 5 = 1,9675dan x 6 = 1,9943 f(1,9943) = 4(1,9943) 3 15(1,9943) + 17(1,9943) 6 f(1,9943) = 0,0854 ( 0,0854)(1,9943 1,9675) x 7 = 1,9943 0,0854 ( 0,15303) x 7 =,00036 Iterasi 7 : Metode Numerik Page 73

74 Ambil ambil x 6 = 1,9943dan x 7 =,00036 f(,00036) = 4(,00036) 3 15(,00036) + 17(,00036) 6 f(,00036) = 0,00178 (0,00178)(, ,9943) x 8 =, ,00178 ( 0,0854) x 8 =,00000 Iterasi 8 : Ambil ambil x 7 =,00036 dan x 8 = 1, f(1,999996) f(1,999996) = 0,000 = 4(1,999996) 3 15(1,999996) + 17(1,999996) 6 ( 0,000)(1,999996,00036) x 9 = 1, ,000 (0,00178) x 9 =,0000 Iterasi 9 : Ambil ambil x 8 = 1, dan x 9 =,00000 f(,00000) = 4(,00000) 3 15(,00000) + 17(,00000) 6 f(,00000) = 0,00000 (0,00000)(, ,999996) x 10 =, ,00000 ( 0,0000) x 10 = 0,00000 n x n;1 x n x n:1 f(x n;1 ) f(x n ) f(x n:1 ) ,8-4, 18-0,67 3 1,8 1, ,67-0, ,8 1,84319,1093-0,67-0, , ,84319,1093 1,9675-0, , , ,1093 1,9675 1,9943 0, , , ,9675 1,9943, , ,0854 0, ,9943,00036, ,0854 0, ,0000 8,00036,00000, , ,0000 0,00000 Metode Numerik Page 74

75 9,00000,00000, ,0000 0, ,00000 Jadi salah satu akar dari 4x 3 15x + 17x 6 Adalah 4.5 Akar Ganda Akar ganda berpadanan dengan suatu titik dimana fungsi menyinggung sumbu. Misalnya, akar ganda-dua dihasilkan dari f(x) = (x 3)(x 1)(x 1)...(*) atau dengan mengalikan faktor-faktornya, f(x) = x 3 5x + 7 x 3 Persamaan tersebut mempunyai akar kembar karena satu nilai menyebabkan dua faktor dalam Persamaan (*) sama dengan nol. Secara grafis, ini berpadanan terhadap kurva yang yang menyentuh sumbu x secara bersinggungan pada akar kembar tersebut. Akar ganda-tiga (triple root) berpadanan dengan kasus dimana satu nilai x membuat tiga faktor dalam suatu persamaan sama dengan nol, seperti dalam f(x) = (x 3)(x 1)(x 1) atau dengan mengalikan faktor-faktornya, f(x) = x 4 6x 3 + 1x 10x 3 Akar ganda menimbulkan sejumlah kesulitan untuk banyak metode numerik : 1. Kenyataan bahwa fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda genap menghalangi penggunaan metode-metode tertutup. Metode terbuka, seperti metode Newton- Raphson, sebenarnya dapat diterapkan disini. Tetapi, bila digunakan metode Newton-Rapshon untuk mencari akar Metode Numerik Page 75

76 ganda, kecepatan konvergensinya berjalan secara linier, tidak lagi kuadratis sebagaimana aslinya.. Permasalahan lain yang mungkin berkaitan dengan fakta bahwa tidak hanya f(x) tetapi juga f (x) menuju nol pada akar. Ini menimbulkan masalah untuk menote Newton- Repshon mmaupun metode secant (talibusur), yang duaduanya menggunakan turunan (atau taksirannya) pada penyebut rumus mereka masing-masing. Ini dapat menghasilkan pembagian oleh nol pada waktu penyelesaian konvergen sangat dengan ke akar. Pembagian dengan nol ini dapat dihindari dengan melihat fakta bahwa f(x) lebih dulu nol sebelum f (x). Jadi jika f(x)=0 maka hentikan lelarannya. 3. Ralston dan Rabinowitz (1978) telah menjukkan bahwa menunjukan bahwa perubahan sedikit dalam perumusan mengembalikannya ke kekonvergenan kuadrat, seperti dalam x i:1 = x i m f(x i ) f (x i ).. ( ) Dengan m adalah Bilangan multiplisitas akar, misalnya : Akar tunggal m=1 Akar ganda dua m= Akar ganda tiga m=3, dan seterusnya. Alternatif lain yang juga disarankan oleh Ralston dan Rabinowitz (1978) adalah mendefinisikan suatu fungsi baru u(x), yaitu rasio (hasil bagi) turunannya seperti dalam fungsi terhadap Metode Numerik Page 76

77 u(x) = f(x i ) f (x i ).. ( ) Dapat diperhatikan bahwa fungsi ini mempunyai akar pada lokasi yang sama seperti fungsi semula. Oleh karena itu, persamaan di atas dapat disubtitusikan ke dalam persamaan (**) dengan maksud mengembangkan suatu bentuk alternatif dari metode Newton-Rapshon: x i:1 = x i u(x i ) u (x i ).. ( ) Persamaan (***) dan (*****) dapat disubtitusikan ke dalam persamaan (****) dan hasilnya disederhanakan untuk menghasilkan f(x i )f (x i ) x i:1 = x i,f (x i )- f (x i )f(x i ).. ( ) Contoh soal : 1. Pernyataan masalah : Gunakan baik metode Newton-Rapshon yang baku maupun yang dimodifikasi untuk menghitung akar ganda dari f(x) = x 3 5x + 7x 3, dengan terkaan awal x 0 = 0 Penyelesaian : f(x) = x 3 5x + 7x 3 f (x) = 3x 10x + 7 f (x) = 6x 10 Dengan metode Newton-Rapshon yang baku : x i:1 = x i f(x i ) f (x i ) x i:1 = x i (x i 3 5x i + 7x i 3) (3x i 10x i + 7) Metode Numerik Page 77

78 Dengan metode Newton-Rapshon yang dimodifikasi : f(x i )f (x i ) x i:1 = x i,f (x i )- f (x i )f(x i ).. ( ) Tabel lelarannya adalah : Metode Newton-Raphson yang Metode Newton-Raphson baku dimodifikasi i x i i x i 0 0, , , , , , , , , , , Lelaran konvergen ke akar x=1. Terlihat dari tabel di atas bahwa metode newton raphson yang dimodifikasi memiliki jumlah lelaran lebih sedikit.. Pernyataan masalah : Gunakan baik metode Newton-Rapshon yang baku maupun yang dimodifikasi untuk menghitung akar ganda dari f(x) = x x 3, dengan terkaan awal x 0 = 4 Penyelesaian : f(x) = x x 3 f (x) = x f (x) = Dengan metode Newton-Rapshon yang baku : x i:1 = x i f(x i ) f (x i ) Metode Numerik Page 78

79 x i:1 = x i x i x i 3 x i Dengan metode Newton-Rapshon yang dimodifikasi : f(x i )f (x i ) x i:1 = x i,f (x i )- f"(x i )f(x i ).. ( ) (x i x i 3)(x i ) x i:1 = x i (x i ) ()(x i x i 3) Tabel lelarannya adalah : Metode Newton-Raphson yang Metode Newton-Raphson baku dimodifikasi i x i i x i 0 4, , , , , , , , , , Konvergen di akar x=3 3. Pernyataan masalah : Gunakan baik metode Newton- Rapshon yang baku maupun yang dimodifikasi untuk menghitung akar ganda dari f(x) = x 3 + 6x 3, dengan terkaan awal x 0 = 0,5 Penyelesaian : f(x) = x 3 + 6x 3 f (x) = 3x + 6 f (x) = 6x Dengan metode Newton-Rapshon yang baku : x i:1 = x i f(x i ) f (x i ) x i:1 = x i x3 + 6x 3 3x + 6 Metode Numerik Page 79

80 Dengan metode Newton-Rapshon yang dimodifikasi : f(x i )f (x i ) x i:1 = x i,f (x i )- f"(x i )f(x i ).. ( ) (x 3 + 6x 3)(3x + 6) x i:1 = x i (3x + 6) (6x)(x 3 + 6x 3) Tabel lelarannya adalah : Metode baku Newton-Raphson Metode Newton-Raphson yang dimodifikasi i x i i x i 0 0, , , , , , , , Konvergen ke akar x=0,5 4.6 Akar-akar Polinom Metode Horner untuk Evaluasi Polinom Menghitung langsung p(x) untuk x = 1 tidak efektif sebab melibatkan banyak operasi perkalian. Metode Horner, atau disebut juga metode perkalian bersarang (nested multiplication) menyediakan cara perhitungan polinom dengan sedikit operasi perkalian. Dalam hal ini, polinomp(x) dinyatakan sebagai perkalian bersarang p(x) = a 0 + x(a 1 + x.a + x(a x(a n;1 + a n x))/ )) Metode Numerik Page 80

81 Hasil Evaluasi : p(t) = b 0 Contoh: 1. Nyatakanp(x) = x 5 + x 4 + 8x 3 + 8x + 4x + Penyelesaian: p(x) = x 5 + x 4 + 8x 3 + 8x + 4x + (15 operasiperkalian) p(x) = (.((x + )x + 8)x + 8/ x + 4) x + (hanya 5 operasi perkalian) Dari pernyataan di atas jelas bahwa menggunakan metode perkalian bersarang akan jauh lebih efektif, tidak melakukan banyak operasi perkalian. Perhitungan untuk p(1) adalah p(1) = (.((1 + )1 + 8)1 + 8/ 1 + 4) 1 + = 5 Metode perkalian bersarang untuk menghitung p(t) sering kali dinyatakan dalam bentuk tabel Horner berikut: (untuk contoh di atas) Hasilevaluasi: p(1) = 5 Dan menghasilkan polinom sisa : x 4 + 3x x + 19x + 3. Nyatakanp(x) = 5x 3 + x + 6x + 8 Penyelesaian: Metode Numerik Page 81

82 p(x) = 5x 3 + x + 6x + 8 (6 operasi perkalian) p(x) = ((5x + )x + 6)x + 8 (hanya 3 operasi perkalian) Dari pernyataan di atas jelas bahwa menggunakan metode perkalian bersarang akan jauh lebih efektif, tidak melakukan banyak operasi perkalian. Perhitungan untuk p() adalah p() = ((5() + )() + 6)() + 8 = 68 Metode perkalian bersarang untuk menghitung p(t) sering kali dinyatakan dalam bentuk tabel Horner berikut: (untuk contoh di atas) = p() Hasilevaluasi: p() = 68 Dan menghasilkan polinom sisa : 5x + 1x Pencarian Akar-akar Polinom Proses perhitungan p(x) untuk x = t dengan menggunakan metode Horner sering dinamakan pembagian sintetis p(x): (x t), menghasilkan q(x) dan sisa b o Atau Yang dalam hal ini, [ p(x) (x t) = q(x)] + sisa b o p(x) = b o + (x t)q(x) q(x) = b n x n;1 + b n;1 x n; + + b 3 x + b x + b 1 Jika t adalah hampiran akar polinom p(x) maka p(t) = b o + (t t)q(t) = b o + 0 = b o Metode Numerik Page 8

83 (perhatikan, jika t akarsejati, makab o = 0) Akar-akar lain darip(x) dapat dicari dari polinom q(x) sebab setiap akar q(x) juga adalah akarp(x). Proses reduksi polinom ini disebut deflasi (deflation). Koefisien-koefisien q(x), yaitu b n, b n;1,, b 3, b, b 1 dapat ditemukan langsung dari tabel Horner. Algoritmanya: Misalkan akar polinom dihitung dengan metode Newton- Raphson, x r:1 = x r p(x) p (x) Maka proses pencarian akar secara deflasi dapat dirumuskan dalam langkah 1 sampai 4 berikut ini: Langkah 1 Menghitung p(x r ) dapat dilakukan secara mangkus dengan metode Horner Misalkan t = x r adalah hampiran akar polinom p(x) p(x) = b o + (x x r )q(x) Perhitungan p(x r ) menghasilkan Langkah p(x r ) = b o + (x r x r )q(x r ) = b o Menghitung p (x r ) secara mangkus: Misalkan t = x r adalah hampiran akar polinomp(x), Turunan dari p adalah p(x) = b o + (x x r )q(x) p (x) = q(x) + (x x r )q (x) = q(x) + (x x r )q (x) Sehingga p (x) = q(x r ) + (x r x r )q (x r ) = q(x r ) Metode Numerik Page 83

84 Langkah 3 Langkah 4 x r:1 = x r p(x) p (x) Ulangi langkah 1, dan 3 sampai x r:1 x r < ε Contoh Soal : Temukan seluruh akar nyata polinom p(x) = x 6 + 4x 5 7x 4 14x x + 160x 5040 Dengan tebakan awal x 0 = 8 Penyelesaian: Dengan menggunakan metode Newton-Raphson kita dapat memperoleh akar pertama yaitu 7. Bukti: Diketahui: p(x) = x 6 + 4x 5 7x 4 14x x + 160x 5040 p (x) = 6x 5 + 0x 4 88x 3 64x + 54x x 0 = 8 Kemudian, x r:1 = x r p(x) p (x) Maka: Metode Numerik Page 84

85 x 1 = x 0 x6 + 4x 5 7x 4 14x x + 160x x 5 + 0x 4 88x 3 64x + 54x x 1 = x 1 = 7. 3 Jika digambarkan, Deflasi p(x) = (x x 1 )q(x) + b 0 Untuk mengetahui q(x), lakukan skema horner yaitu: Maka q(x) = x x 4 + 5x 3 179x 16x + 70 Setelah itu kita akan cari akar polinom derajat 5 dengan tebakan awal 7 (gunakan metode Newton-Raphson) p(x) = x x 4 + 5x 3 179x 16x + 70 p (x) = 5x x x 358x 16 x 0 = 7 iterasi x r p(x) p (x) x r: Metode Numerik Page 85

86 Ternyata akar ditemukan pada titikw = 3, yang akan ditunjukkan dengan titik merah pada gambar berikut Deflasi w(w) = (w w w )w(w) + w w Lakukan skema horner untuk mencari w(w) Maka kita peroleh r(x) = x x x 38x 40 Ulangi langkah sebelumnya untuk mencari akar polinom derajat 4 ini, gunakan tebakan awal 3 r(x) = x x x 38x 40 r (x) = 4x 3 + 4x + 94x 38 x 0 = 3 Iterasi x r r(x) r (x) x r: Metode Numerik Page 86

87 Berdasarkan iterasi di atas akar diperoleh di titik yang ditunjukkan dengan titik berwarna kuning Deflasi r(x) = (x x 3 )s(x) + b Kemudian dengan skema horner, Maka didapatlah s(x) = x x + 79x + 10 Demikian untuk seterusnya sampai kita temukan akar-akar yang lainnya. Seluruh akar-akar yang ditemukan adalah - 8, -5, -3,, 3 dan Lokasi akar Polinom Metode Newton-Raphson memerlukan tebakan awal akar. Misalkan akar-akar diberi indeks dan diurutkan menaik sedemikian sehingga x 1 x x 3 x n Tebakan awal untuk akar terkecil x 1 menggunakan hampiran a 0 + a 1 x 0 x a 0 a 1 yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk Metode Numerik Page 87

88 menemukan x 1 Tebakan awal untuk akar terbesar xn menggunakan hampiran yang dapat dijadikan sebagai tebakan awal untuk menemukan x n Contoh 1. Tentukan tebakan awal untuk mencari akar polinom x 00x + 1 = 0 Jawab : Tebakan awal untuk akar terkecil adalah x 0 = 1/( 00) = 1/00 Tebakan awal untuk akar terbesar adalah x 0 = ( 00)/1 = 00. Tentukan tebakan awal untuk mencari akar polinom x + 4x + 1 = 0 Jawab : Tebakan awal untuk akar terkecil adalah x 0 = /(4) = 1/ Tebakan awal untuk akar terbesar adalah x 0 = ( 4)/ = 4.7 Sistem Persamaan Nirlanjar Metode lelaran titik tetap lelarannya titik-tetap untuk sistem dengan dua persamaan nirlanjar: x r:1 = g 1 (x r, y r ) Metode Numerik Page 88

89 y r:1 = g 1 (x r:1, y r ) r = 0,1,, Kecepatan konvergensi lelaran titik-tetap ini dapat ditingkatkan. Nilai x r:1 yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung y r:1 Jadi, x r:1 = g 1 (x r, y r ) y r:1 = g 1 (x r:1, y r ) r = 0,1,, Kondisi berhenti (konvergen) adalah x r:1 x r < ε dan y r:1 y r < ε dan z r:1 z r < ε Contoh : Selesaikan sistem persamaan nirlanjar berikut ini, f 1 (x, y) = x + xy 10 = 0 f (x, y) = 3xy 57 = 0 (Akar sejatinya x = dan = 3 ) Prosedur lelaran titik-tetapnya adalah x r:1 = 10 x r y r y r:1 = 57 3x r:1 y r Berikan tebakan awal x 0 = 1.5 dan y 0 = 3.5 dan ε = Tabel lelarannya : r x Y x r:1 y r:1 y r Metode Numerik Page 89

90 Ternyata lelarannya divergen! Sekarang kita ubah persamaan prosedur lelarannya menjadi x r:1 = 10 x r y r:1 = 57 y r 3x r:1 y r Berikan tebakan awal x 0 = 1.5 dan y 0 = 3.5 dan ε = Hasilnya, r x y x r:1 y r:1 y r Akar x = dan y = Metode Numerik Page 90

91 4.7. Metode newton raphson Metode Newton-Raphson dapat dirampatkan (generalization) untuk sistem dengan n persamaan. u r:1 = u r + (x r:1 x r ) u r x + (y r:1 y r ) u r y dan v r:1 = v r + (x r:1 x r ) v r x + (y r:1 y r ) v r y Determinan Jacobi : u r v r x y u r v r y x x r:1 = x r Dan y r:1 = y r + u r v r y + v r u r y u r v r u r v r x y y x u r v r x + v r u r y u r v r u r v r x y y x Contoh : Gunakan metode Newton -Raphson untuk mencari akar f 1 (x, y) = x + xy 10 = 0 f (x, y) = 3xy 57 = 0 Dengan tebakan awal x 0 = 1.5 dan y 0 = 3.5 Penyelesaian : u 0 = x + y = (1.5) = 6.5 x u o = x = 1.5 y v 0 x = 3xy = 3(3.5) = 36.5 Metode Numerik Page 91

92 v 0 = xy = 1 + 6(1.5) = 3.5 y Determinan Jacobi untuk lelaran pertama adalah u r v r x y u r v r = 6.5(3.5) 1.5(36.75) = y x Nilai-nilai fungsi dapat dihitung dari tebakan awal sebagai u 0 = (1.5) + 1.5(3.5) 10 =.5 v 0 = (3.5) + 3(1.5)(3.5) 57 = 1.65 Nilai x dan y pada lelaran pertama adalah Dan x 0 = y 0 = 1.5 (.5)(3.5) 1.65(1.5 = (.5)(36.75) 1.65(6.5) = Apabila lelarannya diteruskan, ia konvergen ke akar sejati x = dan y = 3. Seperti halnya metode lelaran titik -tetap, metode Newton- Raphson mungkin saja divergen jika tebakan awal tidak cukup dekat ke akar. Penggambaran kurva masing -masing persamaan secara grafik dapat membantu pemilihan tebakan awal yang bagus. 4.8 Soal terapan Dalam suatu proses kimia, campurkan karbon monoksida dan oksigen mencapai kesetimbangan pada suhu 300 K dan tekanan 5 atm.reaksi teoritisnya adalah CO + 1 O CO Metode Numerik Page 9

93 Reaksi kimia yang sebenarnya terjadi dapat ditulis sebagai CO + O xco + (1 + x) O + (1 x)co Persamaan kesetimbangan kimia untuk menentukan fraksi mol CO yang tersisa yaitu x, yang ditulis sebagai K p = (1 x)(3 + x)1, 0 < x < 1 x(x + 1) 1 p 1 Yang dalam hal ini. K p = 3,06 adalah tetapan kesetimbangan untuk reaksi CO + 1 O pada 3000 K dan P = 5atm. tentukan nilai x dengan menggunakan regulasi falsi yang diperbaiki. Penyelesaian : Persoalan ini lebih tepat diselesaikan dengan metode tertutup karena x adalah fraksi mol yang nilainya terletak antara 0 dan 1. Fungsi yang akan dicari akarnya dapat ditulis sebagai f(x) = (1 x)(3 + x)1 K x(x + 1) 1 p 1 p, 0 < x < 1 Dengan K p = 3,06 dan P = 5atm. Selang yang mengandung akar adalah,0.1,0.9-. nilai fungsi di ujung ujung selang adalah f(0,1) = (1 0,1)(3 + 0,1)1 3,06 = 3, ,1(0,1 + 1) 1 (5) 1 f(0,9) = (1 0,9)(3 + 0,9)1 3,06 =, ,9(0,9 + 1) 1 (5) 1 Yang memenuhi f(0,1)f(0,9) < 0 Tabel lelarannya adalah : R a C b f(a) 0 0, , , , Metode Numerik Page 93

94 1 0, ,8855 0, , , , ,8855 0, , , ,8855 0, , , , , , ,1950 0, , ,1950 0, , , ,1950 0,1996 0, , f(c) f(b) Sb Lebar -, , [a,c] 0, , ,48810 [a,c] 0, ,3490-1,98490 [c,b] 0, , ,98490 [a,c] 0, , , [a,c] 0, , , [c,b] 0, , , [a,c] 0, , ,00007 [a,c] 0,00044 Hampiran akar x = 0,1996 Jadi, setelah reaksi berlangsung, fraksi mol CO yang tersisa adalah 0,1996. Metode Numerik Page 94

95 BAB IV SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR 4.1 Bentuk Umum Sistem Persamaan Lanjar Sistem Persamaan Lanjar (SPL) dengan n peubah dinyatakan sebagai : a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b : : : : a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n (P.4.1) Dengan menggunakan perkalian matriks, kita dapat menulis (P.4.1) sebagai persamaan matriks Ax = b Yang dalam hal ini. (P.4.) A = [a ij ] adalah matriks berukuran n n x = [x j ] adalah matriks berukuran n 1 b = [b j ] adalah matriks berukuran n 1 (disebut juga vector kolom) yaitu a 11 a 1 a 13 a 1n x 1 b 1 a 1 a a 3 a n x b a 31 a 3 a 33 a 3n x 3 = b 3 [ a n1 a n a n3 a nn ] [ x n ] [ b n ] Solusi (P.4.1) adalah himpunan nilai x 1, x,, x n yang memenuhi n buah persamaan. Beberapa metode penyelesaian praktis system persamaan lanjar yang di bahas adalah : 4. Metode Cramer Jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak diketahui dan det (A) 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian Metode Numerik Page 95

96 yang unik X 1 = det(a 1), X det(a) = det(a ), X det(a) 3 = det(a 3),, X det(a) n = det(a n) det(a) Contoh soal : Selesaikan dengan aturan cramer 1. x 1 + x + x 3 = 6 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 Jawab : 1 1 A = [ 1 1] 1 6 b = [ 3 ] 1 D = (1) (1) () D = ( ( )) (4 1) + (4 ( 1)) D = D = D X1 = [ 3 1 1] 1 D X1 = (6) (1) () D X1 = (6)( ( )) (6 1) + ()(6 ( 1)) D X1 = 6(4) 5 + (7) D X1 = D X = [ 3 1] 1 1 D X = (1) (6) () D X = (6 1)) 6(4 1) + ()( ( 3)) D X = 5 6(3) + (1) Metode Numerik Page 96

97 D X = D X3 = [ 1 3 ] 1 1 D X3 = (1) (1) (6) D X3 = ( 1 6) ( ( 3)) + (6)(4 ( 1)) D X3 = (5) D X3 = x 1 = D x 1 D = = 3 x = D x D = = 1 x 3 = D x 3 D = 11 = x 1 = 3 ; x = 1 ; dan x 3 =. x 1 x + x 3 = 3 x 1 3x + 4x 3 = 13 3x 1 + 5x + x 3 = 5 Jawab : 1 1 A = [ 3 4] b = [ 13] 5 D = (1) ( ) (1) D = ( 6 0) + (4 ( 1)) + (10 9) D = 6 + (16) + 1 D =7 Metode Numerik Page 97

98 3 1 D X1 = [ ] 5 5 D X1 = (3) ( ) (1) D X1 = (3)( 6 0) + (6 0) + (65 ( 15)) D X1 = 3( 6) D X1 = D X = [ 13 4] 3 5 D X = (1) (3) (1) D X = (6 0) 3(4 ( 1) + (10 ( 39)) D X = 6 3(16) + 49 D X = D X3 = [ 3 13] D X3 = (1) ( ) (3) D X3 = ( 15 65) + (10 ( 39)) + (3)(10 9) D X3 = 80 + (49) + 3(1) D X3 = 1 x 1 = D x 1 D = 14 7 = x = D x D = 7 7 = 1 x 3 = D x 3 D = 1 7 = 3 x 1 = ; x = 1 ; dan x 3 = x 1 + x + 8x 3 = 80 Metode Numerik Page 98

99 x 1 6x 4x 3 = 13 x 1 x + 10x 3 = 90 Jawab : A = [ 1 6 4] b = [ 13 ] 90 D = ( 1) (1) (8) D = 1( 60 4) (10 8) + 8( 1 1) D = 1( 64) + 8( 13) D = D X1 = [ ] D X1 = ( 80) (1) (8) D X1 = ( 80)( 60 4) (130 ( 360)) + 8( 13 ( 540)) D X1 = 80( 64) (57) D X1 = D X = [ ] D X = ( 1) ( 80) (8) D X = 1(130 ( 360)) + 80(10 8) + 8(90 ( 6)) D X = 1(490) + 80() D X = D X3 = [ ] 1 90 Metode Numerik Page 99

100 D X3 = ( 1) (1) ( 80) D X3 = 1( 540 ( 13)) (90 ( 6)) + ( 80)( 1 1) D X3 = 1(57) (116) 80( 13) D X3 = 748 x 1 = D x 1 D = = x = D x D = = x 3 = D x 3 D = = x 1 = ; x = ; dan x 3 = ,3x 1 + 0,5x + x 3 = 0,01 0,5x 1 + x + 1,9x 3 = 0,67 0,1x 1 + 0,3x + 0,5x 3 = 0,44 Jawab : Penskalaan A = [ ] ,1 b = [ 6,7 ] 4,4 D = (3) (5) (10) D = 3(50 57) 5(5 19) + 10(15 10) D = 3( 7) 5(6) + 10(5) D = 1 0, D X1 = [ 6, ] 4,4 3 5 D X1 = ( 0,1) (5) 06,7 1 + (10) 06, ,4 5 4,4 3 1 Metode Numerik Page 100

101 D X1 = ( 0,1)(50 57) 5(33,5 83,6) + 10(0,1 44) D X1 = 0,1( 7) 5( 50,1) + 10( 3,9) D X1 = 1, 3 0,1 10 D X = [ 5 6,7 19] 1 4,4 5 6,7 19 D X = (3) 19 6,7 0 1 ( 0,1) (10) [5 4, ,4 ] D X = (3)(33,5 83,6) + 0,1(5 19) + 10( 6,7) D X = 3( 50,1) + 0,1(6) + 10(15,3) D X = 3, ,1 D X3 = [ ,7 ] 1 3 4,4 10 6,7 6,7 D X3 = (3) 0 1 (5) [5 ] + ( 0,1) ,4 1 4, D X3 = (3)(44 0,1) 5( 6,7) 0,1(15 10) D X3 = 3(3,9) 5(15,3) 0,1(5) D X3 = 5,3 x 1 = D x 1 D = 1, 1 = 1, x = D x D = 3,3 1 = 3,3 x 3 = D x 3 D = 5,3 1 = 5,3 x 1 = 1,; x = 3,3 ; dan x 3 = 5,3 4.3 Metode Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks Metode Numerik Page 101

102 tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Kelebihan dan Kekurangan Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap Keuntungan : menentukan apakah sistem konsisten menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langkah lebih mudah untuk memecahkan masalah kelemahan : memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal Metode ini berbentuk matriks segitiga atas seperti : a 11 a 1 a 13 a 1n x 1 b 1 0 a a 3 a n x b 0 0 a 33 a 3n x 3 = b 3 [ a nn ] [ x n ] [ b n ] Maka solusinya dapat dihitung dengan tekhnik penyulingan mundur (backward substitution): a nn x n = b n x n = b n a n a n;1.n;1 x n;1 + a n;1.n x n = b n;1 b n;1 a n;1.n x n a n;1.n;1 Metode Numerik Page 10

103 a n;.n; x n; + a n;.n;1 x n;1 + a n;.n x n = b n; x n; = b n; a n;.n;1 x n;1 a n;.n x n a n;.n; dst. Sekali x n, x n;1,, x k:1 diketahui, maka nilaix k maka dihitung dengan x k = b k; Contoh Soal : n j<k:1 a kj x j 1. x 1 + x + x 3 = 6 a kk, k = n 1, n,, dan a kk 0 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 Jawab : A = [ 1 1], b = [ 3 ] 1 1 B ;B B 3 :B 1 [ ] [ ] B 3:3B [ ] x 3 = x 3 = x 5x 3 = 9 x = 9 5() = 1 x 1 + x + x 3 = 6 x 1 = 6 ( 1) () = 3 x 1 = 3; x = 1; x 3 =. x 1 x + x 3 = 3 x 1 3x + 4x 3 = 13 3x 1 + 5x + x 3 = 5 Jawab : A = [ 3 4], b = [ 13] B ;B B 3 :3B 1 [ ] [ ] B 3:B [ ] Metode Numerik Page 103

104 7x 3 = 1 x 3 = 3 x + x 3 = 7 x = 7 (3) = 1 x 1 x + x 3 = 3 x 1 = 3 + (1) 3 = x 1 = ; x = 1; x 3 = x 1 + x + 8x 3 = 80 x 1 6x 4x 3 = 13 x 1 x + 10x 3 = 90 Jawab : A = [ 1 6 4], b = [ 13 ] [ ] B B B :1B B 3 :B 1 [ ] [ ] ; B 40 [ ] B 3:13B [ ] x 3 = x 3 = = x x 3 = x = ( ) = x 1 6x 4x 3 = 13 x 1 = ( ) + 4 ( ) = x 1 = ; x = ; x 3 = ,3x 1 + 0,5x + x 3 = 0,01 0,5x 1 + x + 1,9x 3 = 0,67 0,1x 1 + 0,3x + 0,5x 3 = 0,44 Jawab : Penskalaan 10 Metode Numerik Page 104

105 ,1 A = [ ], b = [ 6,7 ] , ,1 [ ,7 ] B 1 B ,4 [ ,7 ] , ,1 B ;5B 1 B 3 ;3B ,4 [ ,3] ;0,B ,4 [ 0 1 1, 3, , , ,4 [ 0 1 1, 3,06 ] 0 0 0, 1,06 0,x 3 = 1,06 x 3 = 5,3 x + 1,x 3 = 3,06 x = 3,06 1,(5,3) = 3,3 ] B 3:4B x 1 + 3x + 5x 3 = 4,4 x 1 = 4,4 3( 3,3) 5(5,3) = 1, 4.4 Metode Eliminasi Gauss-Jordan Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol). Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut. a 11 a 1 a 13 a 1n b a 1 a a 3 a n b a 31 a 3 a 33 a 3n b [ a n1 a n a n3 a nn b n ] [ Solusinya: x 1 = b 1, x n = b n, x = b, 0, b 1 0, b 0 1 b 3, b n, ] Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam Metode Numerik Page 105

106 proses eliminasinya. Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks. 3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain. Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut: 5. Masukkan matriks A dan vector B beserta ukurannya n 6. Buat augmented matriks [AB] namakan dengan A 7. Untuk baris ke-i dimana i=1 s/d n a) Perhatikan apakah nilai a i,i sama dengan nol: Bila ya: Pertukarkan baris ke-i dan baris ke i+k n, dimana a i:k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak: Lanjutkan Metode Numerik Page 106

107 b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung a i,k = a i,k a i,i 8. Untuk baris ke j, dimana j=i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = a j,i Hitung a j,k = a j,k c. a i,k 9. Penyelesaian, untuk i=n s/d 1 (bergerak dari baris ke n Contoh Soal : sampai baris pertama) 1. x 1 + x + x 3 = 6 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 Jawab : A = [ 1 1], b = [ 3 ] 1 1 x i = a i,n:1 B ;B B 3 :B 1 [ ] [ ] ;B [ ] B 1 :3B 3 B 1 ;B B 3 ;3B ; 1 11 B B ;5B 3 [ ] [ ] [ ] x 1 = 3; x = 1; x 3 =. x 1 x + x 3 = 3 x 1 3x + 4x 3 = 13 3x 1 + 5x + x 3 = 5 Jawab : Metode Numerik Page 107

108 1 1 3 A = [ 3 4], b = [ 13] B ;B 1 B :B B 3 :3B 1 B 3 :B [ ] [ ] [ ] B ;5B B ;B 3 [ ] [ ] x 1 = ; x = 1; x 3 = B x 1 + x + 8x 3 = 80 x 1 6x 4x 3 = 13 x 1 x + 10x 3 = 90 Jawab : A = [ 1 6 4], b = [ 13 ] [ ] B B B :1B B 3 :B 1 [ ] [ ] ; B 40 [ B 1 :6B B 3 :13B 40 ] [ ] B 1 : B 3 B ; B [ ] x 1 = ; x = ; x 3 = B [ ] 4. 0,3x 1 + 0,5x + x 3 = 0,01 0,5x 1 + x + 1,9x 3 = 0,67 Metode Numerik Page 108

109 0,1x 1 + 0,3x + 0,5x 3 = 0,44 Jawab : Penskalaan ,1 A = [ ], b = [ 6,7 ] , ,1 [ ,7 ] B 1 B ,4 [ ,7 ] , ,1 B ;5B 1 B 3 ;3B ,4 [ ,3] ;0,B ,4 [ 0 1 1, 3,06 ] , , ,4 4, ,4 4,78 [ 0 1 1, 3,06 ] [ 0 1 1, 3,06 ] 0 0 0, 1, , , [ ,3 ] ,3 ; 1 0, B 3 x 1 = 1,; x = 3,3; x 3 = 5,3 B 1 ;3B B 3 :4B B 1 ;1,4B 3 B ;1,B Metode Matriks Balikan Misalkan A ;1 adalah matriks balikan dari A dengan A ;1 menghasilkan matriks identitas I. AA ;1 = A ;1 A = I Bila matriks A dikalikan dedngan I akan menghasilkan matriks A sendiri. AI = IA = A Berdasarkan dua kesamaan di atas, sistem persamaan lanjar Ax = b dapat diselesaikan sebagai berikut : Ax = b A ;1 Ax = A ;1 b (kalikan kedua ruas dengan A ;1 ) Ix = A ;1 b x = A ;1 b Jadi, penyelesaian sistem persamaan lanjar Ax = b adalah Metode Numerik Page 109

110 x = A ;1 b dengan syarat A ;1 ada. Contoh Soal : 1. x 1 + x + x 3 = 6 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 Jawab : A = [ 1 1], b = [ 3 ] 1 1 B ;B B 3 :B 1 [ ] [ ] ;B B ;B B 3 ;3B ; 1 11 [ ] B 3 [ ] B 1 :3B B * ;5B [ ] Solusinya adalah x = A ;1 b x 1 [ x ] = x 3 x 1 [ x ] = x [ 3 ] 5 [ ] ] [ x 1 3 [ x ] = [ 1] x 3 x 1 = 3; x = 1; x 3 =. x 1 x + x 3 = 3 x 1 3x + 4x 3 = 13 3x 1 + 5x + x 3 = 5 Jawab : Metode Numerik Page 110

111 1 1 3 A = [ 3 4], b = [ 13] B ;B B 3 :3B 1 [ ] [ ] B [ ] * [ ] Solusinya adalah x = A ;1 b x 1 [ x ] = x 3 x 1 [ x ] = x [ 13] ] [ ] [ x 1 [ x ] = [ 1] x 3 3 x 1 = ; x = 1; x 3 = 3 B 1 :B B 3 :B B 1 ;5B 3 B ;B x 1 + x + 8x 3 = 80 x 1 6x 4x 3 = 13 x 1 x + 10x 3 = 90 Jawab : A = [ 1 6 4], b = [ 13 ] [ ] B B [ ] B :1B 1 B 3 :B 1 Metode Numerik Page 111

112 [ ] [ B 1 : B 3 B ; B [ ; B 40 [ ] ] B [ Solusinya adalah x = A ;1 b x 1 [ x ] = x 3 x 1 [ x ] = x 3 x 1 [ x ] = x ] [ 13 ] 331 [ ] ] [ [ ] x 1 = ; x = ; x 3 = B 1 :6B B 3 :13B ] 4. 0,3x 1 + 0,5x + x 3 = 0,01 0,5x 1 + x + 1,9x 3 = 0,67 Metode Numerik Page 11

113 0,1x 1 + 0,3x + 0,5x 3 = 0,44 Jawab : Penskalaan ,1 A = [ ], b = [ 6,7 ] , [ ] B 1 B [ ] B ;5B 1 B 3 ;3B [ ] ;0,B [ 0 1 1, 0 0, 1 ] B 1 ;3B B 3 :4B 1 0 1,4 0 0, ,4 0 0,6 [ 0 1 1, 0 0, 1 ] [ 0 1 1, 0 0, 1 ] 0 0 0, 1 0, ; 1 0, B 3 B 1 ;1,4B B ;1,B 3 [ ] Solusinya adalah x = A ;1 b x ,1 [ x ] = [ ] [ 6,7 ] x ,4 x 1 0,7 33,5 + [ x ] = [ 0,6 33,5 + 30,8] x 3 0,5 + 6,8 x 1 1, [ x ] = [ 3,3 ] x 3 5,3 x 1 = 1,; x = 3,3; x 3 = 5,3 4.6 Metode Dekomposisi LU Jika matriks A non-singular, maka dapat difaktorkan/diuraikan menjadi matriks segitiga bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U (Upper) A = LU Dalam bentuk matriks ditulis sebagai berikut: Metode Numerik Page 113

114 a 11 a 1 a u 11 u 1 u 13 [ a 1 a a 3 ] = [ l 1 1 0] [ 0 u u 3 ] a 31 a 3 a 33 l 31 l u 33 a. Matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1 b. Matriks segitigas atas tidak ada syarat khusus untuk nilai diagonalnya Contoh: hasil pemfaktoran matriks 3x [ 0 4 ] = [ 0 1 0] [ 0 4 ] Penyelesaian Ax = b, dengan dekomposisi LU, maka Faktorkan A = LU, sehingga Ax = b LUx = b Misalkan Ux = y, maka Ly = b Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju y 1 b Ly = b [ l 1 1 0] [ y ] = [ b ] l 31 l 3 1 y 3 b 3 Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur u 11 u 1 u 13 Ux = y [ 0 u u 3 ] [ 0 0 u 33 x 1 x y 1 y ] = [ ] x 3 y 3 Langkah menghitung solusi SPL dengan dekomposisi LU: Membentuk matriks L dan U dari A Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik substitusi maju Pecahkan Ux = y, lalu hitunng x dengan substitusi mundur Metode Dekomposisi LU Crout Matriks 3 3 : Metode Numerik Page 114

115 a 11 a 1 a u 11 u 1 u 13 A = [ a 1 a a 3 ], L = [ l 1 1 0], U = [ 0 u u 3 ] a 31 a 3 a 33 l 31 l u 33 Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U itu dapat ditulis sebagai : u 11 u 1 u 13 a 11 a 1 a 13 LU = [ l 1 u 11 l 1 u 1 + u l 1 u 13 + u 3 ] = A = [ a 1 a a 3 ] l 31 u 13 l 31 u 1 + l 3 u l 31 u 13 + l 3 u 3 + u 33 a 31 a 3 a 33 Dari kesamaan dua buah matriks LU = A, diperoleh : u 11 = a 11, u 1 = a 1, u 13 = a 13 Baris pertama U l 1 u 11 = a 1 l 1 = a 1 u 11 Kolom pertama L l 31 u 13 = a 31 l 31 = a 31 u 13 l 1 u 1 + u = a u = a l 1 u 1 Baris kedua U l 1 u 13 + u 3 = a 3 u 3 = a 3 l 1 u 13 l 31 u 1 + l 3 u = a 3 l 3 = a 3;l 31 u 1 u Kolom kedua L l 31 u 13 + l 3 u 3 + u 33 = a 33 u 33 = a 33 (l 31 u 13 + l 3 u 3 ) Contoh Soal : 1. x 1 + x + x 3 = 6 x 1 + x x 3 = 3 x 1 + x + x 3 = 1 Jawab : A = [ 1 1], b = [ 3 ] 1 1 u 11 = a 11 u 11 = 1 Ketiga U Baris Metode Numerik Page 115

116 u 1 = a 1 u 1 = 1 u 13 = a 13 u 13 = l 1 = a 1 u 11 = 1 = l 31 = a 31 u 13 = 1 1 = 1 u = a l 1 u 1 = 1 (1) = 1 u 3 = a 3 l 1 u 13 = 1 () = 5 l 3 = a 3 l 31 u 1 u = ( 1)(1) = 3 1 u 33 = a 33 (l 31 u 13 + l 3 u 3 ) = 1() + ( 3)( 5) = 11 Diperoleh L dan U sebagai berikut : U = [ ], L = [ 1 0] Berturut-turut hitung nilai y dan x sebagai berikut : Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju y Ly = b [ 1 0] [ y ] = [ 3 ] y 3 1 y 1 = 6 y 1 + y = 3 y = 3 (6) = 9 y 1 3y + y 3 = 1 y 3 = ( 9) = Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur 1 1 x 1 6 Ux = y [ ] [ x ] = [ 9 ] x 3 11x 3 = x 3 = x 5x 3 = 9 x = 5() + 9 = 1 x 1 + x + x 3 = 6 x 1 = 6 ( 1) () = 3 x 1 = 3, x = 1, dan x 3 = Metode Numerik Page 116

117 . x 1 + x x 3 = 1 x 1 + x + x 3 = 5 x 1 + x + x 3 = 5 Jawab : A = [ 1 ], b = [ 5] u 11 = a 11 u 11 = 1 u 1 = a 1 u 1 = 1 u 13 = a 13 u 13 = 1 l 1 = a 1 u 11 = 1 = l 31 = a 31 u 13 = 1 1 = 1 u = a l 1 u 1 = (1) = 0 Karena u qq tidak boleh nol, lakukan pertukaran baris, baik untuk matriks A maupun untuk vector b R R 3 [ 1 1 ] 1 1 R R 3 [ 1] 5 u 11 = a 11 u 11 = 1 u 1 = a 1 u 1 = 1 u 13 = a 13 u 13 = 1 l 1 = a 1 u 11 = 1 1 = 1 l 31 = a 31 u 13 = 1 = Metode Numerik Page 117

118 u = a l 1 u 1 = 1 ( 1)(1) = u 3 = a 3 l 1 u 13 = 1 ( 1)( 1) = 0 l 3 = a 3 l 31 u 1 = ()(1) = 0 u u 33 = a 33 (l 31 u 13 + l 3 u 3 ) = 1 (()( 1) + (0)(0)) = 3 Diperoleh L dan U sebagai berikut : U = [ 0 0 ], L = [ 1 1 0] Berturut-turut hitung nilai y dan x sebagai berikut : Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju y Ly = b [ 1 1 0] [ y ] = [ 1] 0 1 y 3 5 y 1 = 1 y 1 + y = 1 y = = y 1 + 0y + y 3 = 5 y 3 = 5 (1) 0 = 3 Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur x Ux = y [ 0 0 ] [ x ] = [ ] x 3 3 3x 3 = 3 x 3 = 1 x + 0x 3 = x = (0) = 1 x 1 + x x 3 = 1 x 1 = 1 (1) + (1) = 1 x 1 = 1, x = 1, dan x 3 = Metode Lelaran untuk Menyelesaikan SPL Metode Lelaran Jacobi Tinjau kembali sistem persamaan linear a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b : : : : a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n Metode Numerik Page 118

119 dengan syarat akk 0, k =1,,..., n. Misalkan diberikan tebakan awalnya x1(0),x(0),x3(0),,xn(0). Maka lelalaran pertamanya adalah : x 1 (1) = b 1 a 1 x (0) a 13 x 3 (0) a 1n x n (0) a 11 x (1) = b a 1 x 1 (0) a 3 x 3 (0) a n x n (0) a 1 x n (1) = b n a n1 x 1 (0) a n x (0) a nn;1 x n;1 (0) a n1 Lelaran kedua x 1 () = b 1 a 1 x (1) a 13 x 3 (1) a 1n x n (1) a 11 x () = b a 1 x 1 (1) a 3 x 3 (1) a n x n (1) a 1 x n () = b n a n1 x 1 (1) a n x (1) a nn;1 x n;1 (1) a n1 Secara umum : x i (k:1) = b 1 a 1 x (0) a 13 x 3 (0) a ii 4.6. Metode Lelaran Gauss-Seidel Kecepatan Konvergen pada lelaran Jacobi dapat dipercepat bila setiap harga x yang baru dihasilkan segera dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga x i:1 yang lainnya Lelaran Pertama : Metode Numerik Page 119

120 Rumus Umum : x (k:1) i = b n i (k:1) n i<1 a ij x j (k) j<i:1 a ij x j, k = 0,1,, Contoh : a ij 4x y + z = 7 4x 8y + z = 1 x + y + 5z = 15 Dengan nilai awal P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = (1,,) Solusi sejatinya adalah (,4,3) Penyelesaian : Lelarannya x r:1 = 7 + y r z r 4 y r:1 = 1 + 4x r z r 8 z r:1 = 15 + x r y r 5 x 1 = 7 + = (1.75) + y 1 = = (1.75) 3.75 z 1 = = x = = (1.95) y 1 = = Metode Numerik Page 10

121 z = 15 + (1.95) = x 10 = y 10 = z 10 = Jadi solusi SPL adalah x = , y = dan z = Metode Numerik Page 11

122 BAB V INTERPOLASI DAN REGRESI Pada rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang mumnyadisajikan dalm bentuk tabel). Data di dalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan di lapangan, hasil pengukuran di laboratorium, atau tabel yang diambildari bukubuku acuan. Seagai ilustrasi, sebuah pengukuran fisika telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah. Delapan nilai tegangan yang berbeda dicobakan, dan data yang dihasilkan adalah : Tegangan yang diterapkan,x, kg mm Waktu patah,y, jam Masalah yang cukup sering munculdengan data dan tabel adalah menentukan nilai di antara titik-titik diskrit tersebut (tanpa harus melakukan pengukuran lagi).misalnya dalam tabel pengukuran di atas, rekayasawan ingin mengetahui waktu patah y jika tegangan x yang diberikan kepada baja adalah 1 kg mm. Masalah ini tidak bisa langsung dijawab karena fungsi yang menghubungkan peubah y dengan peubah x tidak diketahui.salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokan (fit) titik-titik data di dalam tabel. Pendekatan seperti ini di dalam metode numerik dinamakan Pencocokan Kurva. Fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Metode Numerik Page 1

123 I. Interpolasi 5.1 Persoalan Interpolasi Polinom Diberikan n + 1 buah titik berbeda (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),, (x n, y n ). Tentukan polinom P n (x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa hingga y i = p n (x i ) untuk i = 0,1,,, n Nilai y i dapat berasal dari fungsi matematika f(x) (seperti ln x, sin x, fungsi Bessel, dsb ) sedemikian sehingga y i = f(x i ), sedangkan p n (x) disebut fungsi hampiran terhadap f(x). Atau y i berasal dari nilai empiris yang diperoleh melalui percobaan atau pengamatan. i. Jika x 0 < a < x n maka y k = p(x k ) disebut nilai interpolasi ii. Jika x 0 < x k atau x 0 < x n maka y k = p(x k ) disebut nilai ekstrapolasi Interpolasi Lanjar Interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.misal diberika dua buah titik (x 0, y 0 ) dan (x 1, y 1 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk : p 1 (x) = a 0 + a 1 x Koefisien a 0 dan a 1 dicari dengan proses penyulihan dan eliminasi, diperoleh : y 0 = a 0 + a 1 x 0 y 1 = a 0 + a 1 x 1 Lalu kedua persamaan diselesaikan dengan proses eliminasi, di dapat : a 1 = y 1 y 0 x 1 x 0 Metode Numerik Page 13

124 a 0 = x 1y 0 x 0 y 1 x 1 x 0 Sulihkan : Contoh : p 1 (x) = x 1y 0 x 0 y 1 + (y 1 y 0 )x x 1 x 0 (x 1 x 0 ) p 1 (x) = y 0 + (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) (x x 0) 1. Perkiraan jumlah penduduk Amerika Serikat pada Tahun 1968 berdasarkan data tabulasi berikut Tahun Jumlah penduduk (juta) Penyelesaian : p 1 (1968) = 179,3 + p 1 (x) = y 0 + (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) (x x 0 ) (03, 179,3) ( ) = 198,4 ( ) Jadi taksiran jumlah penduduk Amerika Serikat pada tahun 1968 adalah 198,4 juta. Dari data ln(9,0) =,197, ln(9,5) =,513, tentukan ln(9,) dengan interpolasi lanjar sampai 5 angka bena. Bandingkan dengan nilai sejati ln(9,) =,19. Penyelesaian : p 1 (9,) =,197 + p 1 (x) = y 0 + (y 1 y 0 ) (x 1 x 0 ) (x x 0 ) (,513,197) (9, 9,0) =,188 (9,5 9,0) Galat =,19,188 = 0,0004 (ketelitian 3 angka bena) Metode Numerik Page 14

125 5.1. Interpolasi Kuadratik Misal diberika tiga buah titik data (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) dan (x, y ). Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk : p (x) = a 0 + a 1 x + a x Kurva polinom berbenuk parabola Polinom p (x) ditentukan dengan cara : Sulihkan (x i, y i ) ke dalam persamaan p (x) = a 0 + a 1 x + a x, dengan i = 0,1,. Dari sini diperoleh : y 0 = a 0 + a 1 x 0 + a x 0 y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a x 1 y = a 0 + a 1 x + a x Hitung a 0, a 1, a dengan metode eliminasi Gauss Contoh : Diberikan titik ln(8,0) =,0794, ln(9,0) =,197 dan ln(9,5) =,513. Tentukan nilai ln(9,) dengan interpolasi kuadratik. Penyelesaian : Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah a 0 + 8,0 a ,00a =.0794 a 0 + 9,0 a ,00a =.197 a 0 + 9,5 a ,5a =.513 Dengan menggunakan eliminasi Gauss menghasilkan a 0 = 0,0676 a 1 = 0,66 a = 0,0064 Polinom Kuadratnya adalah p (x) = 0, ,66x 0,0064x Metode Numerik Page 15

126 p (9,) = Interpolasi Kubik Misal diberika empat buah titik data (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x, y ),dan(x 3, y 3 ). Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik itu adalah polinom kubik yang berbentuk : p 3 (x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 Polinom p 3 (x) ditentukan dengan cara : Sulihkan (x i, y i ) ke dalam persamaan p (x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3, dengan i = 0,1,,3. Dari sini diperoleh : y 0 = a 0 + a 1 x 0 + a x a 3 x 0 y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a x a 3 x 1 y = a 0 + a 1 x + a x 3 + a 3 x y 3 = a 0 + a 1 x 3 + a x a 3 x 3 Hitung a 0, a 1, a dan a 3 dengan metode eliminasi Gauss 5. Polinom Lagrange Tinjau kembali polinom lanjar pada persamaan p 1 (x) = y 0 + (y 1 y ) (x 1 x 0 ) (x x 0 ) Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi (x x 1 ) p 1 (x) = y 0 (x 0 x 1 ) + y (x x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) Atau dapat dinyatakan dalam bentuk Yang dalam hal ini p 1 (x) = a 0 L 0 (x) + a 1 L 1 (x) a 0 = y 0, L 0 (x) = (x x 1 ) (x 0 x 1 ) Metode Numerik Page 16

127 a 1 = y 1, L 1 (x) = (x x 0 ) (x 1 x 0 ) Bentuk umum polinom Lagrange derajat n untuk (n + 1) titik berada adalah n p 1 (x) = a i L i (x) = a 0 L 0 (x) + a 1 L 1 (x) + + a n L n (x) i<0 Yang dalam hal ini Dan n a i = y i, i = 0,1,,, n L i (x) = (x x j) (x i x j ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x i;1 )(x x i:1 ) (x x n ) (x i x)(x i x i ) (x i x i;1 )(x i x i:1 ) (x i x n ) i<0 j 1 Contoh : 1. Hampiri fungsi f(x) = cos x dengan polinom interpolasi derajat tiga di dalam selang,0.0, 1.-. gunakan empat titik, x 0 = 0.0, x 1 = 0.4, x = 0.8 dan x 3 = 1.. perkirakan nilai p 3 (0.5) dan bandingkan dengan nilai sejatinya. Penyelesaian : x i y i Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah p 1 (x) = a 0 L 0 (x) + a 1 L 1 (x) + a L (x) + a 3 L 3 (x) (x x 1 )(x x )(x x 3 ) p 3 (x) = y 0 (x 0 x 1 )(x 0 x )(x 0 x 3 ) + y (x x 1 )(x x )(x x 3 ) 1 (x 1 x 0 )(x 1 x )(x 1 x 3 ) + (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) y (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) + y (x x 0 )(x x )(x x 3 ) 3 (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x ) = (x )(x 0.8)(x 1. 3 ) ( )( )(0.0 1.) (x 0.0)(x 0.8)(x 1.) ( )( )(0.4 1.) Metode Numerik Page 17

128 (x 0.0)(x 0.4)(x 1.) ( )( )(1. 0.8) (x 0.0)(x 0.4)(x 0.8) (1. 0.0)(1. 0.4)(1. 0.8) p 3 (0.5) = dari fungsi y = f(x) diberikan tiga buah titik data dalam bentuk tabel : X y Tentukan f(3.5) dengan polinom Lagrange derajat. Gunakan lima angka bena. Penyelesaian : Polinom derajat n = (perlu tiga buah titik) p (x) = y 0 + L 1 (x)y 1 + L (x)y (x 4)(x 6) L 0 (x) = (1 4)(1 6) L (3.5 4)(3.5 6) 0 (3.5) = (1 4)(1 6) (x 1)(x 6) L 1 (x) = (4 1)(4 6) L (3.5 1)(3.5 6) 1 (3.5) = (4 1)(4 6) (x 1)(x 4) L (x) = (6 1)(6 4) L (3.5 1)(3.5 4) 1 (3.5) = (6 1)(6 4) Jadi, p (3.5) = = = = ( )(1.5709) + (1.0417)(1.577) + ( )(1.5751) p (3.5) = Polinom Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut 1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil Metode Numerik Page 18

129 komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara p n;1 (x) dan p n (x) pada polinom Langrange. Nilai konstanta a 0, a 1, a,, a n merupakan nilai selisih terbagi, dengan nilai masing-masing : Yang dalam hal ini : a 0 = f(x 0 ) a 1 = f,x 1, x 0 - a = f,x, x 1, x 0 - a n = f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - f[x i, x j ] = f(x i ) f(x j) x i x j f[x i, x j, x k ] = f[x i, x j ] f[x j, x k ] x i x k f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - = f,x n, x n;1,, x 1 - f,x n;1, x n;,, x 0 - x n x 0 Bentuk polinom lengkap : p n (x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f,x 1, x (x x 0 )(x x 1 )f,x, x 1, x (x x 0 )(x x 1 ) (x x n;1 )f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - Karena tetapan a 0, a 1, a dan a 3 merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan juga Polinom Interpolasi selisih terbagi Newton. Misalnya tabel selisih tabel selisih terbagi untuk empat buah titik n = 3 berikut : i x i y i = f(x i ) ST-1 ST- ST-3 0 x 0 f(x 0 ) f,x 1, x 0 - f,x, x 1, x 0 - f,x 3, x, x 1, x 0-1 x 1 f(x 1 ) f,x, x 1 - f,x 3, x, x 1 - x f(x ) f,x 3, x - 3 x 3 f(x 3 ) Metode Numerik Page 19

130 Keterangan : Selisih Terbagi Contoh : Hitunglah f(9.) dari nilai-nilai (x, y) yang diberikan pada tabel dibawah ini dengan polinom Newton derajat 3 Penyelesaian : Tabel selisih terbagi: i x i y i = f(x i ) ST-1 ST- ST Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel adalah : f,x, x 1 - = f(x ) f(x 1) x x 1 = f,x 3, x, x 1 - = f,x, x 1 - f,x 1, x 0 - x x 0 = = = Polinom Newton-nya (dengan x 0 = 8.0 sebagai titik data pertama) adalah : f(x) p 3 (x) = (x 8.0) (x 8.0)(x 9.0) (x 8.0)(x 9.0)(x 9.5) taksiran nilai fungsi pada x = 9. adalah f(9.) p 3 (9.) = =.1908 Nilai sejati f(9.) = ln(9.) =.1908 (7 angka Bena) 5.4 Galat Interpolasi Polinom Galat interpolasi minimum terjadiuntuk nilai x di pertengahan selang. Penjelasannya adalah sebagai berikut : Nilai nilai x yang berjarak sama ditulis sebagai : x 0, x 1 = x 0 + h, x = x 0 + h,, x n = x 0 + nh atau dengan rumus umum Metode Numerik Page 130

131 x i = x 0 + ih, i = 0, 1,,, n Titik yang diinterpolasikan dinyatakan dengan : Sehingga x = x 0 + sh, s R x x i = (s i)h, Galat interpolasinya adalah i = 0, 1,,, n Dapat ditunjukkan bahwa Bernilai minimum bila E(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f(n:1) (c) (n + 1)! E(x) = sh(s 1)h (s n)h f(n:1) (c) (n + 1)! E(x) = s(s 1)(s ) (s n)h n:1 f(n:1) (c) (n + 1)! Q n:1 (s) = s(s 1)(s ) (s n) Q n:1 (s) = 0 yang dipenuhi untuk s = n/. Dengan kata lain, E(x) bernilai minimum untuk nilai-nilai x terletak di (sekitar) pertengahan selang. Untuk mendapatkan galat interpolasi yang minimum, pilihlah selang,x 0, x n - sehingga x yang terletak di (sekitar) pertengahan selang. Missal : Diberikan data : Metode Numerik Page 131

132 x f(x) Bila diminta menghitung f(0.160), maka selang yang digunakan agar galat interpolasi f(0.160) kecil adalah,0.150, Untuk polinom derajat Satu,0.15, Untuk Polinom derajat tiga,0.15, Untuk Polinom derajat tiga,0.100, 0.5- Untuk Polinom derajat lima Batas Atas Galat Interpolasi Untuk Titik titik yang Berjarak Sama Diberikan absis titik-titik yang berjarak sama : x i = x 0 + ih, i = 0, 1,,, n Dan nilai x yang akan diinterpolasikan dinyatakan sebagai x = x 0 + sh, s R Untuk polinom interpolasi berderajat 1, dan 3 yang dibentuk dari x i diatas dapat dibuktikan bahwa (a) E 1 (x) = f(x) p 1 (x) 1 Maks 8 f x 0 c x (c) 1 (b) E (x) = f(x) p (x) Maks x 0 c x f (c) Metode Numerik Page 13

133 (c) E 3 (x) = f(x) p 3 (x) 1 Maks 4 4 f x 0 c x iv (c) 1 Contoh Soal : Tinjaulah kembali tabel yang berisi pasangan titik (x, f(x)) yang diambil dari f(x) = cos(x) x i f(x i ) (a) Hitung galat rata-rata interpolasi di titik x = 0.5, x = 1.5, dan x =.5, bila x diinterpolasikan dengan polinom Newton derajat 3 berdasarkan x 0 = 0. (b) Hitung batas atas galat interpolasi bila kita melakukan interpolasi titik titik berjarak sama dalam selang,0.0, 3.0- dengan polinom interpolasi derajat 3 (c) Hitung batas atas dan bawah galat interpolasi di x = 0.5 dengan polinom Newton derajat 3 Penyelesaian : (a) cos(x) p 3 (x) = (x 0.0) 0.485(x 0.0)(x 1.0) (x 0.0)(x 1.0)(x.0) Menghitung galat rata-rata interpolasi : Titik tengah selang,0.0, 3.0- adalah di x m = 0.0:3.0 = 1.5 Galat rata-rata interpolasi adalah : E 3 (x) = (x;0.0)(x;1.0)(x;.0)(x;3.0) f (4) (x 4! m ) Metode Numerik Page 133

134 Hitung turunan keempat dari fungsi f(x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin (x) f (4) (x) = cos(x) Karena itu E 3 (x) = (x 0.0)(x 1.0)(x.0)(x 3.0) (cos(x)) 4! Untuk x = 0.5, x = 1.5, dan x =.5, nilai-nilai interpolasinya serta galat rata-rata interpolasinya dibandingkan dengan nilai sejati dan galat sejati diperlihatkan oleh tabel berikut : x f(x) p 3 (x) E 3 (x) Galat sejati Catatan : Perhatikan bahwa karena x = 1.5 terletak di titik tengah selang, maka galat galat interpolasinya lebih paling kecil dibandingkan interpolasi x yang lain. (b) Galat interpolasi dengan polinom erajat 3 E 3 (x) = f(x) p 3 (x) Max f iv (c), x 0 c x 1 f (4) (x) = cos(x) dalam selang,0.0, 3.0- Maka Max f (4) (x) terletak di x = 0.0 f (4) (x) = cos(0.0) = p 3 (x) dengan jarak antar titik data adalah = 1.0 E 3 (x) (1.0) = = Jadi batas atas galat interpolasi E 3 (x) = Metode Numerik Page 134

135 (c) E 3 (x) = (x;0.0)(x;1.0)(x;.0)(x;3.0) f (4) (1.5) 4! E 3 (0.5) = ( )( )(0.5.0)( ) ( cos(c)), 0.0 c 4! 3. C Fungsi cosinus monoton dalam selang,0.0, 3.0-, maka nilai maksimum dan nilai minimumnya adalah : Untuk nilai minimum c = 0.0 E 3 (0.5) = ( )( )(0.5.0)( ) ( cos(0.0)) 4! E 3 (0.5) = Untuk nilai maksimum c = 3.0 E 3 (0.5) = ( )( )(0.5.0)( ) ( cos(3.0)) 4! E 3 (0.5) = Sehingga batas batas galat interpolasi di x = 0.5 adalah : E 3 (x) Taksiran Galat Interpolasi Newton Polinom Newton : p n (x) = p n;1 (x) + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n;1 )f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - Suku (x x 0 )(x x 1 ) (x x n;1 )f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - dinaikan dari n sampai n + 1 menjadi (x x 0 )(x x 1 ) (x x n;1 )(x x n )f,x n, x n;1,, x 1, x 0 - Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi Metode Numerik Page 135

136 E(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f(n:1) (t) (n + 1)! Ekspresi f (n:1) (t) (n + 1)! Dapat dihampiri nilainya dengan f,x n:1, x n, x n;1,, x 1, x 0 - yang dalam hal ini f,x n:1, x n, x n;1,, x 1, x 0 - adalah selisih terbagi ke (n + 1),jadi, f (n:1) (t) (n + 1)! f,x n:1, x n, x n;1,, x 1, x 0 - Sehingga taksiran galat interpolasi Newton dapat dihitung sebagai E(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n )f,x n:1, x n, x n;1,, x 1, x 0 - Asalkan tersedia titik tambahan x n:1 5.5 Polinom Newton-Gregory Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik titik yang berjarak sama Polinom Newton Gregory Maju Tabel selisih maju x f(x) f f 3 f 4 f x 0 f 0 f 0 f 0 3 f 0 4 f 0 x 1 f 1 f 1 f 1 3 f 1 x f f f x 3 f 3 f 3 x 4 f 4 Lambang menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol di dalam tabel adalah : f 0 = f(x 0 ) = y 0 Metode Numerik Page 136

137 f 1 = f(x 1 ) = y 1 f 4 = f(x 4 ) Notasi :f p = f(x p ) f 0 = f 1 f 0 f 1 = f f 1 f 3 = f 4 f 3 Notasi : f p = f p:1 f p f 0 = f 1 f 0 f 1 = f f 1 f = f 3 f Notasi : f p = f p:1 f p 3 f 0 = f 1 f 0 3 f 1 = f f 1 Notasi : 3 f p = f p:1 f p Bentuk umum: n:1 f p = n f p:1 n f p, n = 0,1,, Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju f,x n,, x 1, x 0 - = f(x 0 ) n! n = f 0 n! n Relasi rekrusif p n (x) = p n;1 (x) + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n;1 ) f 0 n! n p n (x) = f 0 + s 1! f 0 + s(s 1) f! 0 + Atau dalam bentuk relasi rekrusif, + s(s 1)(s ) (s n + 1) n f n! 0 (a) Rekurens : p n (x) = p n;1 (x) + s(s;1)(s;) (s;n:1) n f n! 0 (b) Basis : p 0 (x) = f(x 0 ) Metode Numerik Page 137

138 Persamaan dalam bentuk binomial : n p n (x) =. s k / k f 0 Dimana, k<0. s 0 / = 1,.s s(s 1)(s ) (s k + 1) / = k k! Syarat : s > 0, bilangan bulat dan k! = 1 k Bentuklah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1/(x + 1) di dalam selang,0.000, dan = hitung f(0.300) dengan polinom Newton Gregory maju derajat 3 Tabel selisih maju : x f(x) Untuk memperkirakan f(0.300) dengan polinom Newton- Gregory maju derajat tiga, dibutuhkan 4 buah titik. Ingatlah kembali bahwa galat interpolasi akan minimum jika xterletak di sekitar pertengahan selang. Karena tu, titik-titik yang diambil adalah. x 0 = 0.15, x 1 = 0.50, x = 0.375, x 3 = Karena x = terletak di sekitar pertengahan selang,0.15, Diketahui dan = 0.15 Metode Numerik Page 138

139 x = x 0 + s s = x;x 0 = 0.310;0.15 = Nilai f(0.300) dihitung dengan polinom Newton-Gregory maju derajat tiga : p 3 (x) = f 0 + s 1! f s(s 1) s(s 1)(s 0 + f! f 3! 0 = (1.4)( 0.089) + (1.4)(0.4) (0.016) + (1.4)(0.4)( 0.6) ( 0.003) 6 = = Polinom Interpolasi Newton-Gregory Mundur Tabel Selisih Mundur i x i f(x) f f 3 f -3 x ;3 f ;3 - x ; f ; f ; -1 x ;1 f ;1 f ;1 f ;1 0 x 0 f 0 f 0 f 0 3 f 0 Keterangan : f 0 = f(x 0 ) f ;1 = f(x ;1 ) f 0 = f 0 f ;1 f ;1 = f ;1 f ; f 0 = f 0 f ;1 k:1 f i = k f i k f i;1 Polinom Newton Gregory mundur yang menginterpolasi (n + 1) titik data adalah n f(x) p n (x) s + k 1 =. / k f s 0 k<0 Metode Numerik Page 139

140 = f 0 + s 1! f 0 + Contoh : s(s + 1) s(s + 1)(s + ) f! n f n! 0 Diberikan 4 buah titik data dalam tabel berikut.hitunglah f(1.7) dengan (a) Polinom Newton Gregory maju derajat 3 (b) Polinom Newton Gregory mundur derajat 3 Penyelesaian : (a) Polinom Newton Gregory maju derajat 3 i x i f(x) f f 3 f s = x x 0 = Perkiraan nilai f(1.7) adalah = f(1.7) p 3 (1.7) = ( ) + 0.( 0.8) = ( ) + 0.( 0.8)( 1.8) ( ) 6 Nilai sejati f(1.7)= , jadi p 3 (1.7) tepat sampai 6 angka bena (b) Polinom Newton Gregory mundur derajat 3 i x i f(x i ) Metode Numerik Page 140

141 s = x x 0 = Perkiraan nilai f(1.7) adalah = f(1.7) p 3 (1.7) = ( ) + (.8)( 1.8) ( ) + (.8)( 1.8)( 0.8) ( ) 6 = = II. Regresi 5.6 Regresi Regresi adalah teknik pencocokan kurva untuk data yang berketelitian renah. Contoh data yang berketelitian rendah data hasil pengamatan, percobaan di laboratorium, atau data statistic. Data seperti itu disebut data hasil pengukuran. Galat yang dikandung data berasal dari ketidak telitian alat ukur yang dipakai, kesalahan membaca alat ukur (paralaks), atau karena kelakukan sistem yang diukur Regresi Lanjar Misalkan (x i, y i ) adalah data hasil pengukuran. Kita akan menghampiri titik-titik tersebut dengan sebuah garis lurus. Garis lurus tersebut dibuat sedemikian sehingga galatnya sekecil mungkin dengan titik titik data. Karena data mengandung galat, maka nilai data sebenarnya g(x i ) dapat ditulis sebagai : g(x i ) = y i + e i, i = 1,,, n e i adalah galat setiap data. Diinginkan fungsi lanjar : f(x) = a + bx Metode Numerik Page 141

142 Sehingga deviasinya adalah : Total kuadrat deviasi r i = y i f(x i ) = y i (a + bx i ) n R = r i = ( y i (a + bx i ) i<1 Persamaan normal dalam bentuk persamaan matriks : [ n x i x i x ] = 0a i b 1 [ y i ] x i y i n i<1 Nilai a dan b dapat dicari dengan mengutakatik kedua buah persamaan normal menjadi : b = n x iy i x i y i n x i ( x i ) a = y bx Untuk menentukan seberapa bagus fungsi hampiran mencocokan data, kita dapat mengukurnya dengan galat RMS (galat baku) Contoh : n E RMS = ( 1 n f(x i ) y i ) i<1 Tentukan persamaan garis lurus yang mencocokkan data pada tabel di bawah ini. Kemudian, perkirakan nilai y untuk x = 1.0 Penyelesaian : i x i y i x i x i y i Metode Numerik Page 14

143 x i = 3.3 y i = 7.54 x i =.1 x i y i = Dipermalukan sistem persamaan lanjar : = 0a b Solusi Persamaan Lanjar di atas adalah a = 0.86 b = Persamaan garis regresinya adalah : f(x) = x Perbandingan antara nilai y i dan (x i ) : i x i y i f(x i ) deviasi (deviasi) x i = 3.3 y i = 7.54 = Taksiran nilai y untuk x = 1.0 adalah y = f(0.1) = (1.0) =.0507 Galat RMS adalah E RMS = / = Pelanjaran Misalkan kita akan mencocokan data dengan data dengan fungsi b y = C x Lakukan pelanjaran sebagai berikut : Metode Numerik Page 143

144 y = C b x ln(y) = ln(c) + ln(x) Definisikan Y = ln(y) a = ln(c) X = ln(x) Persamaan regresi Lanjarnya adalah : Y = a + bx Contoh : Cocokkan data berikut dengan fungsi y = Cx b Penyelesaian : i x i y i X i = ln(x i ) Y i = ln(y i ) = = X i X i Y i Metode Numerik Page 144

145 = 6.5 = Diperioleh sistem persamaan lanjar a b 1 = Solusi SPL di atas : a = b = Hitung C = e a = e = Jadi titik (x, y) pada tabel di atas di hampiri dengan fungsi pangkat sederhana : y = x Metode Numerik Page 145

146 BAB VI INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping turunan (derivative). Dalam kuliah kalkulus integral, anda telah diajarkan cara memperoleh solusi analitik (dan eksak) dari integral Tak-tentu maupun integral Tentu. Integral Taktentu dinyatakan sebagai f(x)dx = F(x) + C Solusinya, F(x), adalah fungsi menerus sedemikian sehingga F'(x) = f(x), dan C adalah sebuah konstanta. Integral Tentu menangani perhitungan integral di antara batas-batas yang telah ditentukan, yang dinyatakan sebagai I = f(x)dx a b Menurut teorema dasar kalkulus integral, persamaan diatas dihitung sebagai f(x)dx = F(x) b = F(b) F(a) a a b Secara geometri, integrasi Tentu sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b. Daerah yang dimaksud ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Metode Numerik Page 146

147 Tafsiran geometri integral Tentu Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dapat dikelompokkan sebagai 1. Fungsi menerus yang sederhana, seperti polinomial, eksponensial, atau fungsi trigonometri. Misalnya, Fungsi sederhana seperti ini mudah dihitung integralnya secara eksak dengan menggunakan metode analitik. Metode-metode analitik untuk menghitung integral fungsi yang demikian sudah tersedia, yaitu. Fungsi menerus yang rumit, misalnya Fungsi yang rumit seperti ini jelas sulit, bahkan tidak Metode Numerik Page 147

148 mungkin, diselesaikan dengan metode-metode integrasi yang sederhana. Karena itu, solusinya hanya dapat dihitung dengan metode numerik. 3. Fungsi yang ditabulasikan, yang dalam hal ini nilai x dan f(x) diberikan dalam sejumlah titik diskrit. Fungsi seperti ini sering dijumpai pada data hasil eksperimen di laboratorium atau berupa data pengamatan di lapangan. Pada kasus terakhir ini, umumnya fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit. Yang dapat diukur hanyalah besaran fisisnya saja. 6.1 Terapan Integral dalam Bidang Sains dan Rekayasa Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi Gamma G(a), dsb), atau fungsi eksplisit f yang terlalu rumit untuk diintegralkan. Oleh sebab itu, metode numerik dapat digunakan untuk menghampiri integrasi. Di bawah ini diberikan beberapa contoh persoalan dalam bidang sains dan rekayasa. 1. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung persamaan kecepatan. Misalkan kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Jarak total d yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu t diberikan oleh: Metode Numerik Page 148

149 . Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, telah diketahui bahwa harga rata-rata suatu arus listrik yang berosilasi sepanjang satu periode boleh nol. Disamping kenyataan bahwa hasil netto adalah nol, arus tersebut mampu menimbulkan kerja dan menghasilkan panas. Karena itu para rekayasawan listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan yang dalam hal ini IRMS adalah arus RMS (root-mean-square), T adalah periode, dan i(t) adalah arus pada rangkaian, misalnya 3. Contoh fungsi dalam bentuk tabel adalah pengukuran fluks panas matahari yang diberikan oleh tabel berikut: Metode Numerik Page 149

150 Data yang ditabulasikan pada tabel ini memberikan pengukuran fluks panas q setiap jam pada permukaan sebuah kolektor sinar matahari. Diminta memperkiraan panas total yang diserap oleh panel kolektor seluas cm selama waktu 14 jam. Panel mempunyai kemangkusan penyerapan (absorption), eab, sebesar 45%. Panas total yang diserap diberikan oleh persamaan Demikianlah beberapa contoh terapan integral dalam bidang sains dan rekayasa. Umumnya fungsi yang diintegralkan bentuknya rumit sehingga sukar diselesaikan secara analitik. Karena itu, perhitungan integral secara numerik lebih banyak dipraktekkan oleh para insinyur. Metode Numerik Page 150

151 6. Persoalan Integrasi Numerik Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. Integral ini secara definitif digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Perhatikan gambar berikut : Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : Pada beberapa permasalahan perhitungan integral ini, dapat dihitung secara manual dengan mudah, sebagai contoh : Secara manual dapat dihitung dengan : Tetapi pada banyak permasalahan, integral sulit sekali dihitung bahkan dapat dikatakan tidak dapat dihitung secara manual, sebagai contoh : Dalam hal ini, metode numerik dapat digunakan sebagai alternatif Metode Numerik Page 151

152 untuk menyelesaikan integral di atas. Pada penerapannya, perhitungan integral ini digunakan untuk menghitung luas area pada peta, volume permukaan tanah, menghitung luas dan volumevolume benda putar dimana fungsi f(x) tidak ditulis, hanya digunakan gambar untuk menyajikan nilai f(x). Sebagai contoh, diketahui photo daerah sebagai berikut : Untuk menghitung luas daerah yang diarsir L, perlu digunakan analisa numerik.karena polanya disajikan dalam gambar dengan faktor skala tertentu. Klasifikasi Metode Integrasi Numerik 1. Metode Pias Daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias (strip) yang berbentuk segiempat. Luas daerah integrasi dihampiri dengan luas seluruh pias.. Metode Newton-Cotes Fungsi integrand f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi pn(x). Selanjutnya, integrasi dilakukan terhadap pn(x). 3. Kuadratur Gauss. Nilai integral diperoleh dengan mengevaluasi nilai fungsi Metode Numerik Page 15

153 pada sejumlah titik tertentu di dalam selang [-1, 1], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlahkan keseluruhan perhitungan. 6.3 Metode Pias Selang integrasi,a, b- menjadi n buah pias (strip) atau segmen. Lebar tiap pias adalah Titik absis pias dinyatakan sebagai dan nilai fungsi pada titik absis pias adalah f r = f(x r ) Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah: 1. Kaidah segiempat (rectangle rule). Kaidah trapesium (trapezoidal rule) 3. Kaidah titik tengah (midpoint rule) Dua kaidah pertama pada hakekatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya yang berbeda Kaidah yang ketiga, kaidah titik tengah, merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik. Metode Numerik Page 153

154 6.3.1 Kaidah segiempat Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x 0 sampai x = x 1 Luas satu pias adalah tinggi pias = f(x 0 ) x 1 f(x)dx f(x 0 ) x 0 Atau (tinggi pias = f(x 1 ) ) x 1 f(x)dx f(x 1 ) x 0 jadi : x 1 f(x)dx f(x 0 ) x 0 x 1 f(x)dx f(x 1 ) x 0 + x 1 f(x)dx, f(x 0 ) + f(x 1 )- x 0 Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan, untuk menghasilkan : Metode Numerik Page 154

155 x 1 f(x)dx,f(x 0 ) + f(x 1 )- x 0 Persamaan diatas ini dinamakan kaidah segiempat. Kaidah segiempat untuk satu pias dapat kita perluas untuk menghitung b I = f(x)dx a yang dalam hal ini, I sama dengan luas daerah integrasi dalam selang,a, b-. Luas daerah tersebut diperoleh dengan membagi selang,a, b- menjadi n buah pias segiempat dengan lebar, yaitu pias dengan absis,x 0, x 1 -,,x 1, x -,,x, x 3 -,..., dan pias,x n;1, x n -. Jumlah luas seluruh pias segiempat itu adalah hampiran luas I.Kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah segiempat gabungan b f(x)dx f(x 0 ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n;1 ) a b f(x)dx f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + + f(x n ) a + b f(x)dx f(x 0 ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n;1 ) a + f(x n ) Metode Numerik Page 155

156 Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan, untukmenghasilkan: b f(x)dx w(w 0) + w(x 1 ) + w(w ) + + w(w w;1 ) a + w(w w) Jadi kaidah segiempat gabungan adalah: w w(w)ww (w 0 + w 1 + w + + w w;1 + w w ) w w;1 = (w 0 + w 1 + w<1 w w wwwwww w w = w(w w ), w = 0,1,,, w 6.3. Kaidah Trapesium Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = Metode Numerik Page 156

157 x 0 sampai x = x 1 berikut Luas satu trapesium adalah x 1 f(x)dx,f(x 0 ) + f(x 1 )- x 0 Persamaan diatas dikenal dengan nama kaidah trapesium. Bila selang [a, b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan (composite trapezoidal's rule): b f(x)dx f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx a x 0 x 1,f(x 0 ) + f(x 1 )- +,f(x 1 ) + f(x )- + x 1 x +,f(x n;1 ) + f(x n )- x n x n;1,f(x 0 ) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n;1 ) + f(x n)- Metode Numerik Page 157

158 n;1 (f 0 + f 1 + f n ) i<1 dengan f r = f(x r ), r = 0,1,,, n METODE TRAPESIUM DENGAN BANYAK PIAS Untuk mengurangi banyak kesalahan yang terjadi, maka kurva lengkung didekat oleh sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak pias Kaidah Titik Tengah Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x 0 sampai x = x 1 dan titik tengah absis x = x 0 + Luas satu pias adalah: f(x)dx f (x 0 + ) f(x1 ) x 0 x 1 Persamaan diatas disebut kaidah titik tengah Kaidah Metode Numerik Page 158

159 titik-titik tengan gabungan dirumuskan: b x 1 x x n f(x)dx f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx a x 0 x 1 x n;1 f.x1 / + f.x3 / + f.x5 / + f.x7 / + + f(xn;1 ).f1 + f3 + + fn;1 / n;1 f i:1 i<0 Yang dalam hal ini: x r: 1 = a + (r + 1/) Dan f r: 1 = f(x r: 1 ) r = 0,1,,.., n 1 Metode Numerik Page 159

160 6.3.4 Galat metode Pias I adalah nilai integrasi sejati dan I, adalah integrasi secara numeric maka galat hasil integrasi numeric didefinisikan sebagai E = I I, Untuk penurunan galat, kita tinjau galat integrasi di dalam selang,0, - I = f(x)dx 0 Untuk setiap kaidah sebagai berikut : Galat Kaidah Trapesium Galat untuk sebuah pias Jadi, E = f(x)dx 0 (f 0 f 1 ) f(x)dx = 0 (f 0 f 1 ) + O( 3 ) Dan untuk galat total Catatan : f(x)dx 0 n;1 = (f 0 + f i f n ) + O( ) Galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan kuadrat lebar pias (). Semakin kecil ukuran, semakin kecil pula galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya Contoh : i<1 3.4 Hitung Integral e x dx 1.8 dengan kaidah trapezium. Ambil = 0.. perkirakan juga batasbatas galatnya. Gunakan 5 angka bena. Metode Numerik Page 160

161 Penyelesaian : Fungsi Integrand nya adalah f(x) = e x Jumlah pias adalah n = b;a Tabel data diskritnya adalah = 3.4; = 8 r x r f(x r ) r x r f(x r ) Nilai integrasinya 3.4 e x dx = (f 0 + f 1 + f + + f 6 + f 7 + f 8 ) 1.8 = 0., (7.389) + (9.05) + + (16.445) + (0.086) + (4.533) + (9.964)- = Nilai integrasi Sejatinya adalah 3.4 e x dx 1.8 Galat kaidah trapesium = e x x = 1.8 x = 3.4 = e 3.4 e 1.8 = = E = 1 (0.) ( )e x, 1.8 < t < 3.4 Karena fungsi f(x) = e x menarik secara monoton di dalam selang,1.8, 3.4-, maka batas-batas galatnya : Metode Numerik Page 161

162 Atau E = 1 (0.) ( ) { e1.8 (min) = e 3.4 (max) = < E < Disini nilai sejati I harus terletak di antara Dan Galat hasil integrasi = = e x dx adalah = Yang memang terletak antara galat minimum dan galat maksimum Galat Kaidah Titik Tengah Galat untuk sebuah pias E = f(x)dx f1 0 E 3 f"(t),0 < t < 4 Galat untuk seluruh pias adalah E tot n 3 f"(t),a < t < b 4 4 (b a)f"(t) = O( ) 6.4 Metode Newton-Cotes Moetode Newton-cotes adalah metode yang umum untuk menurunkan kaidah integrasi numerik. Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-cotes. Gagasanya adalah menghampiri fungsi f(x) dengan polinom interpolasi p n (x) Metode Numerik Page 16

163 b I = f(x)dx a b p n (x)dx a Yang dalam hal ini p n (x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n;1 x n;1 + a n x n Dari beberapa kaidah integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes, tiga di antaranya yang terkenal adalah : 1. Kaidah trapesium. Kaidah simpson 1/3 3. Kaidah simpson 3/8 Sebagai catatan, kaidah trapesium sudah kita turunkan dengan metode pias. Metode Newton-Cotes memberikan pendekatan lain penurunan kaidah trapesium Kaidah Trapesium Diberikan dua bauh titik data (0, f(0)) dan (, f()). Polinom interpolasi yang melalui kedua buah titik itu adalah sebuah garis lurus. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah garis lurus tersebut. Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 1 yang melalui kedua buah titik itu adalah : p 1 (x) = f(x 0 ) + x f(x 0) = f(x 0 ) + x f 0 Integrasi p 1 (x) di dalam selang,0,1- Jadi, kaidah trapesium adalah Metode Numerik Page 163

164 f(x)dx (f 0 + f 1 ) a Galat kaidah trapesium sudah kita tutunkan sebelumnya pada metode pias, yaitu E = 1 3 f"(t) = O( 3 ), 0 < t < Jadi. f(x)dx (f 0 + f 1 ) + O( 3 ) a Kaidah trapesium untuk integrasi dalam selang,0, - kita perluas untuk menghitung b I = f(x)dx a Yang dalam hal ini, I sama dengan luas daerah integrasi di dalam selang,a, b-. Luas daerah tersebut diperoleh dengan membagi selang,a, b- menjadi n buah upaselang (subinterval) dengan lebar tiap upaselang h, yaitu,x 0, x 1 -, [x 1, x ], [x, x 3 ],, [x n;1, x n ]. Titik-titik ujung tiap upaselang diinterpolasi dengan polinom derajat 1. Jadi di dalam selang,a, b- terdapat n buah polinom derajat satu yang terpotong-potong (piecewise). Integrasi masingmasing polinom itu menghasilkan n buah kaidah trapesium yang disebut kaidah trapesium gabungan. Luas daerah integrasi di dalam selang,a, b- adalah jumlah seluruh luas trapesium, yaitu Metode Numerik Page 164

165 b f(x)dx a n;1 (f 0 + f i + f n ) i<1 dengan f r = f(x r ), r = 0, 1,,, n galat total kaidah trapesium gabungan sudah kita turunkan pada metode pias, yaitu E tot 1 1 (b a)f"(t) = O( ), x 0 < t < x n Dengan demikian, b f(x)dx a n;1 = (f 0 + f i i<1 i + f n ) + O( ) Jadi, galat integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan Kaidah Simpson 1/3 Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) di hampiri dengan polinom interpolasi derajat yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola (Gambar 6.10). untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan (0, f(0)), (, f()) dan (, f()) Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui ketiga buah titik tersebut adalah Metode Numerik Page 165

166 p (x) = f(x 0 ) + x f(x x(x ) 0) +! f(x 0 ) x(x ) = f 0 + x f 0 + f! 0 Integrasikan p (x) di dalam selang,0, - : I 3 (f 0 + 4f 1 + f ) Ini dinamakan Kaidah Simpson 1/3. Sebutan 1/3 muncul karana di dalam persamaan terdapat faktor 1/3 (sekaligus untuk membedakannya dengan kaidah Simpson yang lain, yaitu Simpson 3/8). Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi,a, bkita bagi menjadi n + 1 buah tiitk diskrit x 0, x 1, x,, x n. Dengan n genap dan setiap tiga buah titik (atau pasang upaselang) di kurva dihampiri dengan parabola (polinom interpolasi derajat ). Maka kita akan mempunyai n/ buah potongan parabola. Bila masing-masing polinom derajat tersebut kita integrasikan di dalam upaselang(subinterval) integrasinya. Maka jumlah seluruh integrasi tersebut membentuk Kaidah Simpson 1/3 gabungan. n;1 n; I tot 3 (f f i + f i + f n ) Galat Kaidah Simpson 1/3 i<1,3,5 i<,4,6 E = f 0 (iv) = O( 5 ) Jadi, kaidah Simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai Metode Numerik Page 166

167 f(x)dx = 3 (f 0 + 4f 1 + f ) + O( 5 ) 0 Galat untuk n/ pasang upaselang adalah E tot = (b a)f (iv) (t), karena n = b;a = O( 4 ) Jadi, kaidah Simpson 1/3 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai, b f(x)dx = 3 (f f i + f i + f n ) a n;1 n; i<1,3,5 i<,4, Kaidah Simpson 3/8 Sepeti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Mislkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah dibawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (Gambar 6.11). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 biuah titik data, misalkan titik-titik tersebut (0, f(0)), (, f()), (, f()), dan (3, f(3)).. Dengan cara penurunan yang sama seperti kaidah Simpson 1/3, diperoleh f(x)dx 3 8 (f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 ) 3 0 Metode Numerik Page 167

168 Yang merupakan Kaidah Simpson 3/8 Galat kaidah Simpson 3/8 adalah E f 0 (iv) (t), 0 < t < 3 Jadi kaidah simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat di nyatakan sebagai 3 f(x)dx 3 8 (f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 ) + O( 5 ) 0 Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah n;1 f(x)dx 3 8 (f f i + f i + f n ) a b i<1 i 3,6,9 n;3 i<3,6,9, Namun penggunaan kaidah simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus kelipatan tiga Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah E tot = (b a)4 f (iv) (t), 80 a < t < b E tot = O( 4 ) Jadi, kaidah Simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai n;1 f(x)dx 3 8 (f f i + f i + f n ) + O( 4 ) a b i<1 i 3,6,9 n;3 i<3,6,9, Metode Numerik Page 168

169 kaidah Simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah Simpson 1/3. Namun dalam praktek, kaidah Simpson 1/3 biasanya lebih disukai dari pada kaidah Simpson 3/8, karena dengan tiga titik (Simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sma dengan 4 titik (Simpson 3/8). Tapi, untuk n kelipatan tiga, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan kaidah Simpson 1/3 Metode Integrasi Numerik untuk h yang berbeda-beda 1. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap,gunakan kaidah 1/3 simpson. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga, gunakan kaidan 3/8 3. Untuk sejumlah upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya gunakan kaidah trapezium Bentuk umum Metode Newton-Cotes Bentuk umum metode Newton-cotes dapat di tulis sebagai b f(x)dx = α,w 0 f 0 + w 1 f 1 + w f + + w n f N - + E a CONTOH SOAL 1. diketahui: 4 e x dx 0 = 0,5 ditanya: Metode Numerik Page 169

170 a. Kaidah trapesium b. Kaidah titik tengah c. Kaidah simpson 1/3 d. Kaidah simpsom 3/8 jawab: Membuat tabel: a. Tabel trapesium dan simpson n = 4 0 0,5 = 8 r xr F(xr) ,5 1,6487 1, ,5 4, , ,5 1, , ,5 33, ,59815 b. tabel titik tengah r xr F(xr) ,5 1,6487 1, ,5 4,48168 Metode Numerik Page 170

171 4 7, ,5 1, , ,5 33, ,59815 a. Kaidah trapesium = (f 0 + f 1 + f + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ) = 0,5 *1 + (.1,6487) + (.,7188) + (.4,48168) + (.7,38905) + (.1,1849) + (.0,08553) + (.33,11545) + 54, = 1(1 + 3, , , , , , , ,59815) = 18,84051 b. Kaidah titik tengah = 0,5(1,840 +, , , , , , ,5108 = 0,5(106,08775) = 53, c. Kaidah simpson 1/3 = 0,5 3 (w 0 + 4f 1 + f + 4f 3 + f 4 + 4f 5 + f 6 + 4f 7 + f 8 ) 1 + (4.1,6487) + (.,7188) + (4.4,48168) + (.7,38905) = 0,17 { + (4.1,1849) + (.0,08553) + (4.33,11545) + 54,59815 } = 0,17(31,69735) = 53,644 ~53,6 d. Kaidah simpson 3/8 Metode Numerik Page 171

172 = 3 8 (f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 + 3f 4 + 3f 5 + f 6 + 3f 7 + f 8 ) = 3.0,5 *1 + (3.1,6487) + (3.,7188) + (.4,48168) + (3.7,38905) + 8 (3.1,1849) + (.0,08553) + (3.33,11545) + 54, = 0,1875(1 + 4, , , , , , , ,59815) = 0,1875(75,89454) = 51, f(x) = x + 1, 0 x 5, h = 5 r c F(xr) Trapesium (f0 + f1) 5 (1 + 6) = 17.5 Simpson (f0 + f1) 5 3 (1 + 6) = Metode Numerik Page 17

173 Titik Tengah R xr F(xr) 1 h.f 1 / (3.5) = x x + x x x x x x x4 3. 4x 3 dx, 0 x 4, h=1, n = 4;0 1 = 4 r xr F(xr) Metode Numerik Page 173

174 Trapesium 1 (f0 + f1 + f + f3 + f4) = 1 (0 + (4) + (3) + (108) + 56) = 1 (564) = 8 Simpson 1 3 = (f0 + 4f1 + f + 4f3 + f4) 3 = 1 (0 + 4(4) + (3) + 4(108) + 56) 3 = 1 3 (768) = 56 R xr F(xr) Metode Numerik Page 174

175 =.f 1 + f 3 + f 5 + f 7 / = 1( ) = Singularitas Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabila fungsi tidak terdefenisi di x=t, dalam hal ini a < t <b. Misalnya dalam menghitung integrasi 1 cos( x) I dx x 0 Fungsi f(x) = cos x/ x jelas tidak terdefenisi di x = 0 (ujung bawah selang). Begitu juga apabila perhitungan integrasi I dx x 1 Menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x=1 tidak dapat dihitung sebab fungsi f ( x) I /( x 1) tidak terdefenisi di x=1. Fungsi yang tidak terdefenisi di x=t, untuk a t b, dinamakan singular. Metode Numerik Page 175

176 Singular juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di x=t, untuk a t b. Misalnya hasil perhitungan integral 1 x memperlihatkan hasil yang menyimpang meskipun 0 fungsi f ( x) x sendiri terdefenisi untuk semua x= t, untuk a t b. Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan integral 1 0 x dihitung dengan kaidah trapezium. Tinjau kembali galat total pada kaidah trapezium: 3 h " " " Etot ( f0 f1... f n1) 1 h 1 3 n1 i0 f " i 3 b h 1 a f ( x) dx h 1 3 ' ' [ f ( b) f ( a)] (1) b Persamaan (1) menyiratkan bahwa galat integrasi f ( x ) dx a besar apabila f ' ( a) atau f ' ( b ) tidak ada. akan Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi sedemikian sehingga ia tidak singularitas lagi. Contoh 1: Metode Numerik Page 176

177 Ubahlah fungsi integrasi 1 cos( x) I dx x 0 Sehingga menjadi tidak singular lagi. Penyelesaian: Fungsi f ( x) cos( x) / x tidak terdefenisi di x=0. Misalkan x u dx udu Batas-batas selang integrasi juga berubah x 0 u x 0 x 1 u x 1 Maka 1 cos( x) I dx x 0 1 cos( u ) I ( u ) du u 0 1 cos( u ) 0 du tidak singular lagi. 6.6 Penggunaan Ekstrapolasi untuk Integrasi Metode Numerik Page 177

178 Misalkan Ihadalah ( ) perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik data adalah h(h<1). Dari persamaan galat kaidah integrasi (trapezium, Simpson 1/3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde : p E O h Dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunaka h yanh semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagram garis berikut: Nilai integrasi adalah bila h=0, tetapi pemilihan h=0 tidak mungkin kita lakukan didalam rumus integrasi numerik sebab iya akan membuat nilai integrasi sama dengan 0. Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h= 0. Ada dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan untuk integrasi: Ekstrapolasi Richardson Pandang kembali kaidah trapesium b a h b a f t f ( x) dx ( f f f h 1 n " ( ) ( ) 0 i n) i1 Yang dapat ditulis sebagai b a f ( x) dx I( h) Ch Metode Numerik Page 178

179 Dengan I(h) adalah integrasi dengan menggunakan kaidah trapesium dengan jarak antar titik selebar h dan C " ( b a) f ( t) 1 Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita tulis sebagai b a f ( x) dx l( h) Ch q () Dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya: Kaidah trapezium Oh q = Kaidah trapezium Oh q = Kaidah 1/3 simpson, Oh 4 q = 4 Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan I. Misalnya J adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada I dengan jarak antar titik h: J = l() + C h q (3) Ekstrapolasikan h menjadi h, lalu hitung integrasi numeriknya Metode Numerik Page 179

180 J = l() + C q h (4) Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan (3) dan persamaan (4): Ih ( ) + C Sehingga diperoleh q h = l() + C h q (5) I( h) I( h) C q q ( 1) h Sulihkan persamaan (5) kedalam persamaan (3) untuk memperoleh: J = l() + I( h) I( h) q ( 1) (6) Yang merupakan persamaan ekstrapolasi Ricahrdson. Ekstrapolsi Ricahrdson dapat kita artikan sebagai berikut. Mula mula hitung nilai itegrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan jarak antara titik selebar h untuk mendapatkan l(h), kemudian hitung kembali nilai itegrasi dengan jarak antara titik selebar h untuk memperoleh l(h). akhirnya, hitunglah nilai itegrasi yang lebih baik dengan menggunakan persamaan (6). Perhatikan bahwa jika pernyataan diatas di balik, kita telah menggunakan ekstrapolasi menuju h=0, yaitu kita Metode Numerik Page 180

181 hitung l(h) lalu hitung l(h). Urutan pengerjaan (I (hh) atau I(h) lebih dulu) tidak mempengaruhi solusi akhirnya. Sebagai contoh perhatikan bila (h) dan (h) di hitung dengan kaidah trafesium (q=), maka ekstpolasi Ricahrdson-nya adalah J = l() + 1 l( h) l( h) 3 (7) Dan bila I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah 1/3 Simpson (q = 4), maka ekstpolasi Ricahrdson-nya adalah, I() I() - J = l() l( h) l( h) (8) Perhatikan bahwa suku 1/3, I() I() - pada persamaan (7) dan suku 1/15,I() I()- pada persamaan (8) merupakan factor korelasi. Artinya, nilai taksiran itegrasinya I(h) dapat dikatakan menjsdi nilai yang lebih baik dengan menambahkan factor koreksi tersebut Contoh : Hitunglah kembali itegrasi dengan menggunakan ekstpolasi Richardson.yang dalam hal ini I(h) dan (h) hitung dengan kaidah trafesium dan h=0,15 Penyelesaian: Metode Numerik Page 181

182 Jumlah upaselang ;n = (1 0)/0.15 = 8 Tabel titik-titik didalam selang [0,1] dengan h=0,15 R x r f r I (h) adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan h=0,15 Ih= ( ) dx h/ ( f f f f f f f f f 1 x / [1 ( ) ( )... ( ) I () adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan = 0,50; Metode Numerik Page 18

183 1 1 I( h) dx ( h) / ( f0 f f4 f6 f8) 1 x / [1 (0,80000) ( ) ( ) ( ) Nilai itegrasi yang lebih baik, J, ekstpolasi Richardson: diperoleh dengan J = I () + I( h) I( h) q ( 1) Yang dalam hal ini, q=, karena I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah trapezium yang (yang mempunyai orde galat = ) J , jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0, Bandingkanlah dengan nilai integrasi sejatinya x1 dx ln(1 x) ln() ln(1) x x0 Yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena f(0, )=0,69315, hasilnya tepat sama dengan nilai integrasi yang dihitung dengan dengan ekstrapolasi Metode Numerik Page 183

184 Richardson 6.6. Metode Romberg Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua: O( N ) O( N: ) Misalnya, bila I() dan I() dihitung dengan kaidah trpesium yang berorde galat O(h), maka ekstrapolasi Rrichardson menghasilkan kaidah Simpson 1/3 yang berorde O(h). selanjutnya bila I(h) dan I(h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah Boole yang berorde O(). O( ) O( ) O( ) Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson: I() I() J = I() + ( q 1) Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai: I A Ch Dh Eh 4 6 k... yang dalam hal ini Metode Numerik Page 184

185 = (b a)/n dan A k perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapezium dan jumlah pias n k. Orde galat A adalah k Oh ( ). Sebagai contoh, selang dalam [a, b] dibagi menjadi 64 buah pias atau upaselang: n 6 64 k 6(0,1,,3, 4,5, 6) k = 0 (artinya n = h ( b a) /1) A h / [ f f ] = 1 pias, k = 1 (artinya n = h ( b a) / ) A h / [ f f f ] = pias, k = (artinya n = = 4 pias, h ( b a) / 4) A h / [ f f f f f ] k = 3 (artinya n = 3 = 3 = 8 pias, b a A 8 3 = 3 /,f 0 + f 8 + f 16 + f 4 + f 3 +f 40 + f 56 + f 64 - K = 6 (artinya n = 6 = 64 pias, 6 = b a 64 A 6 = 6 /,f 0 + f 1 + f + + f 63 + f 64 Metode Numerik Page 185

186 Arti dari setiap A 0 adalah sebagai berikut : b A 0 adalah taksiran nilai integrasi I f ( x) dx dengan a menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 0 = 1 buah pias; b A 1 adalah taksiran nilai integrasi I f ( x) dx dengan a menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 1 = buah pias; b A adalah taksiran nilai integrasi I f ( x) dx dengan a menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = = 4 buah pias; b A 6 adalah taksiran nilai integrasi I f ( x) dx dengan a menggunakan kaidah trapezium dengan pembagian daerah integrasi menjadi n = 6 = 64 buah pias; Gunakan A 0, A 1,..., A k pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan B 1, B,..., B k, yaitu A A B A k k k k 1 1 Metode Numerik Page 186

187 Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah l B D h E h ' 4 ' 6 k... dengan orde galat k B adalah 4 O( h ). Selanjutkan gunakan B 1, B,..., B k pada persamaaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan C, C 3,..., C k, yaitu B B C B k k k k Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah l C E h " 6 k... dengan orde galat Selanjutnya gunakan C, C3,..., C k C adalah k 6 O( h ). pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan D 3, D 4,..., C k, yaitu C C D C k k k k Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah l D E h '" 8 k... dengan orde galat D adalah 8 O( h ). k Demikian seterusnya Ekstrapolasi Aitken Kita telah membahas ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai berikut: Metode Numerik Page 187

188 b I f ( x) dx l( h) Ch a q Yang dalam hal ini : h = lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antara titik) C dan q adalah konstanta dengan q diketahui (C dapat dieliminir) I(h) adalah hampiran nilai I q Ch adalah galat dari hampiran nilai I maka 1 J I( h) [ I( h) I( h)] q 1 Adalah perkiraan nilai integrasi yang lebih baik (improve) dari pada I.Apabila nilai q tidak diketahui maka kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu I(h),I(h),I(4h); q J I( h) Ch J I ( h C ) q h (9) J I( h) C( h) q J ( I h) C q ( h ) (10) J I(4 h) C(4 h) q J I(4 h) C (4 h) q (11) Eliminasikan nilai C dan q tidak diketahui? Untuk kasus Metode Numerik Page 188

189 ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I, yaitu Ih ( ), I( h ), dan I(4 h ) : J I( h) q h = J I( h) ( h) q q J I( h) h 1 q q q J 1( h) h (1) Dan menyamakan persamaan (10) dan (11) q J I( h) h 1 q q J I(4 h) (4 h) (13) Persamaan (1)sama dengan persamaan (13) J I( h) J I( h) J I( h) J I(4 h) (14) Kali silangkan kedua persamaan (14) J JI ( h) JI (4 h) I( h) I(4 h) J JI ( h) [ I( h)] I( h) I(4 h) [ I( h)] J I( h) I( h) I(4 h) atau Metode Numerik Page 189

190 [ I( h) I( h)] J I( h) I( h) I( h) I(4 h) (15) Persamaan (15) ini dinamakan persamaan ekstrapolasi Aitken. Sekarang tinjau kembali: J I( h) Ch q J I( h) C( h) q 0 I( h) I( h) Ch C( h) q q I( h) I( h) C( h) q Ch q (16) J I( h) C( h) q J I(4 h) C(4 h) q 0 I( h) I(4 h) C( h) C(4 h) q q q I( h) I(4 h) C(4 h) C( h) (17) q Bagi persamaan (17)dengan persamaan (16) q I( h) I(4 h) C( h) C(4 h) q q I( h) I( h) Ch C( h) (18) q q Besaran C pada persamaan (18)dapat dihilangkan menjadi Metode Numerik Page 190

191 I( h) I(4 h) t I( h) I( h) (19) q Tinjau kembali persamaan (15) yang dapat ditulis ulang sebagai I( h) I( h) J I( h) I( h) I( h) I(4 h) I( h) I( h) I( h) I( h) Ih ( ) I I( h) I(4 h) I( h) I( h) I( h) I( h) Ih ( ) 1t I( h) I( h) Ih ( ) 1 t jadi I( h) I( h) J I( h) t 1 (0) Yang mirip dengan persamaan ekstrapolasi Richardson Aitken akan tepat sama dengan ekstrapolasi Richardson jika nilai teoritis t q Tepat sama dengan niai empirik Metode Numerik Page 191

192 I( h) I(4 h) t I( h) I( h) Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai q atau tidak. Secara matematis, prinsip kerja dari metode-metode ini adalah melakukan evaluasi dan perbaikan rasio nilainilai akar yang telah diperoleh relatif terhadap akar eksaknya sedemikian rupa sehingga dapat meningkatkan laju konvergensinya (dan bahkan menghindari divergensi) sampai mendekati konvergensi kuadratis. 6.7 Integral Ganda Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam bentuk integral ganda dua (atau lipat dua) atau integral ganda tiga (lipat tiga). Misalkan kita tinjau untuk integral lipat dua. Integral lipat dua didefinisikan sebagai Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitung volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya adalah berupa bidang yang dibatasi oleh garis-garis x = a, x = b, y = c, dan y = d. Volume benda berdimensi tiga adalah V = luas alas tinggi Kaidah-kaidah integrasi numerik yang telah kita bahas dapat Metode Numerik Page 19

193 dipakai untuk menghitung integral ganda. Jika pada fungsi dengan satu peubah, y = f(x), luas daerah dihampiri dengan pias-pias yang berbentuk segiempat atau trapesium, maka pada fungsi dengan dua peubah, z = f(x, y), volume ruang dihampiri dengan balokbalok yang berbentuk segiempat atau trapesium. Solusi integral lipat dua diperoleh dengan melakukan integrasi dua kali, pertama dalam arah x (dalam hal ini nilai, nilai y tetap), selanjutnya dalam arah y (dalam hal ini, nilai x tetap), atau sebaliknya. Dalam arah x berarti kita menghitung luas alas benda, sedangkan dalam arah y berarti kita mengalikan alas dengan tinggi untuk memperoleh volume benda. Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengan koefisien-koefisien wi pada persamaan. Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidah trapesium, dan integrasi dalam arah y dihitung dengan kaidah Simpson 1/3. Maka Metode Numerik Page 193

194 dengan x = jarak antar titik dalam arah x, y= jarak antar titik dalam arah y, n = jumlah titik diskrit dalam arah x, m = jumlah titik diskrit dalam arah y. Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut: Penyelesaian: Misalkan - dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium Metode Numerik Page 194