PENYAJIAN SECARA GEOMETRI HIMPUNAN PEMBENTUK DNA

Transkripsi

1 PENYAJIAN SECARA GEOMETRI HIMPUNAN PEMBENTUK DNA Isah Aisah, Departemen Matematika FMIPA UNPAD, Jatinangor, Abstrak Kode genetik adalah satu set instruksi untuk mentransfer data genetik yang tersimpan dalam bentuk DNA atau RNA menjadi protein. Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat mewariskan sifat kepada keturunannya. Dalam gen tersebut terdapat sebuah kode genetik yang menentukan sifat suatu organisme yang dibangun oleh basa basa nitrogen yang dimiliki oleh RNA yaitu G,A,U, dan C., misalkan N = C, U, A, G. Pada Kajian Matematika Kode Genetik ini dapat diselidiki Struktur Aljabarnya, maupun representasi Geometrinya. Paper ini bertujuan untuk melihat representasi himpunan pembentuk DNA secara geometri. Langkah yang dilakukan pertama-tama akan dilakukan pencocokkan N dengan hasil kali silang Z 2 Z 2 = 0,0, 0,1, 1,0, (1,1). Melalui pencocokkan ini maka N = C, U, A, G membentuk Grup Klein-4, Grup Ortogonal dan Grup Euclide. Selain dari itu himpunan N dapat diklasifikasikan ke dalam tiga himpunan yang memuat partisi himpunan basa nitrogen berdasarkan sifat kimia nukleotida yaitu kuat- lemah basa, amino-ketonukleotida, dan jenis basa-basa nitrogennya. Dengan adanya partisi tersebut, himpunan N= C, U, A, G akan membentuk grup faktor. Setelah struktur Aljabar diperoleh, maka dapat dilihat Representasi Geometri dari Kode genetic Standat. Penggambaran dilakukan dengan bantuan Software Geogebra dan Visual Studio. Kata Kunci : DNA,Hypercube, Kode Gentik Standar, Multycube, RNA. A. PENDAHULUAN Informasi genetik yang memprogram semua aktivitas sel terdapat dalam bentuk kode di dalam molekul DNA (deoxyribonucleic acid). DNA merupakan bahan penyusun gen yang terletak pada inti sel (nukleus). Gen merupakan suatu unit penurunan sifat yang meneruskan informasi dari induk pada keturunannya dan terdapat kurang lebih gen di dalam DNA sel manusia. Pada molekul DNA, nukleotida dibentuk dari tiga komponen yaitu basa nitrogen, gula pentosa, dan gugus fosfat. Basanya berupa adenin (A), timin (T), guanin (G) dan sitosin (C). Molekul tersebut dipandang sebagai himpunan kode genetik standar / kodon yang merupakan suatu kode aturan Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN

2 penamaan asam amino berdasarkan triplet nukleotida, N= { C U, A, G} yang terdapat pada untai DNA. Fokus masalah pada penelitian yaitu melalui pencocokan C = (0, 0), U = 0, 1, A = (1, 0), G = (1, 1) akan diselidiki struktur Aljabar dari Himpunan barisan kode genetik standar., yang selanjutnya akan dilihat representasinya secara geometri sebagai multycube 3 dimensi dan hypercube 6 dimensi. B. Teori Pendukung 2.1 DNA (Deoxyribonucleic Acid). DNA merupakan struktur yang dibangun oleh molekul kompleks yang terdiri dari Gula Pentosa (deoksiribosa), Fosfat (PO 4 ), dan Basa Nitrogen [7]. Basa nitrogen dapat digolongkan menjadi dua, yaitu purin dan pirimidin. Basa purin terdiri atas adenin (A) dan guanin (G), sedangkan basa pirimidin terdiri atas sitosin (C) dan timin (T). Sedangkan DNA berfungsi untuk membentuk RNA,dengan demikian pembentuk RNA sama dengan DNA yang berbeda hanya pada timin (T) diganti dengan Urasil (U) 2.2 GRUP Grup merupakan salah satu struktur aljabar yang banyak diaplikasikan dengan ilmu pengetahuan lainnya dan menjadi dasar dalam pembahasan mengenai struktur aljabar. Definisi 2.1 [4] Suatu himpunan tak kosong G dikatakan membentuk sebuah grup jika pada G didefinisikan suatu operasi biner dinotasikan oleh, sedemikian sehingga 1) Untuk setiap a, b, c G berlaku a b c = (a b) c (hukum asosiatif) 2) Terdapat suatu unsur e G sedemikian sehingga a e = e a = a untuk setiap a G (eksistensi suatu unsur identitas di G) 3) Untuk setiap a G terdapat suatu unsur a 1 Gsedemikian sehinggaa a 1 = a 1 a = e (eksistensi invers di G) Definisi 2.2 [3] Grup Klein-4 adalah grup dengan order empat dimana setiap elemen adalah invers bagi dirinya sendiri. Definisi 2.3 [3] Misalkan p bilangan bulat prima dan n bilangan bulat positif, maka lapangan yang terdiri dari p n unsur disebut Lapangan Galois dan dinotasikan GF(p n ). Ruang vektor banyak digunakan dalam aplikasi matematika salah satunya karena ruang vektor dapat membantu dalam memvisualisasikan persoalan matematika secara geometris. Definisi 2.4 [4] Himpunan tak kosong V dikatakan ruang vektor atas lapangan F jika V adalah grup abelian di bawah operasi +, dan untuk setiap α F, v V didefinisikan unsur αv di V yang memenuhi : 1) α v + w = αv + αw 2) α + β v = αv + βv 3) α(βv) = αβ v Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN

3 4) 1v = v Untuk setiap α, β F, v, w V (1 menunjukkan unsur unit F di bawah perkalian). Ruang vektor dimana skalar-skalarnya adalah bilangan biner disebut ruang vektor biner. Transformasi geometri seperti translasi, refleksi, rotasi adalah transformasi yang mempertahankan bentuk. Secara umum transformasi affine adalah transformasi yang tidak mempertahankan panjang segmen garis dan ukuran sudut. Definisi 2.5 [5] Untuk setiap fungsi komposisi dengan bentuk t v F, disebut transformasi affine dimana F adalah transformasi linear dari suatu ruang vektor dan t v adalah translasi yang bersesuaian dari vektor u. Transformasi T 0,1 P adalah suatu transformasi affine, dimana P = merupakan matriks refleksi terhadap garis y = x atas ruang vektor R dan T 0,1 adalah suatu translasi dengan vektor translasi (0,1). Untuk menggambarkan mutasi gen pada bidang geometri digunakan Jarak Hamming. Definisi 2.6 [3] Jarak Hamming antara dua vektor pada F n adalah banyak komponen yang berbeda antara kedua vektor tersebut. Dimana F n adalah lapangan hingga. Notasi d(u, v) digunakan untuk mengartikan jarak Hamming antara vektor u dan v. C. PEMBAHASAN 3.1Tiga Himpunan yang Memuat Semua Partisi N Berdasarkan Sifat Kimia Nukleotida Berdasarkan sifat kimia nukleotida, tiga himpunan yang memuat semua partisi N yang digunakan adalah himpunan 1 = C, G, U, A, 2 = C, A, U, G, dan 3 = C, U, A, G. Untuk himpunan pertama yaitu 1 mempartisi himpunan N berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida yang membentuk tiga ikatan hidrogen S = {C, G} dan basa lemah nukleotida yang membentuk dua ikatan hidrogen W = U, A. Untuk himpunan kedua yaitu 2 mempartisi berdasarkan klasifikasi kimia nukleotida yaitu amino nukleotida M = {C, A} dan keto nukleotida K = {U, G}. Himpunan ketiga yaitu 3 mempartisi berdasarkan jenis basa nukleotida pirimidin Y = {C, U} dan purin R = {A, G}. Pada paper ini hanya akan dibahas representasi berdasarkan himpunan 2 dalam bentuk hypercube dan multicube [1] Untuk melihat Representasi dalam bentuk multicube, pencocokan awal adalah urutan (C, U, A, G) yang akan dikaitkan dengan partisi 2. Dalam partisi ini matriks yang digunakan adalah matriks A = 1 1 dan matriks B =. Karena kedua 1 1 matriks tersebut merupakan anggota partisi 2. Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN

4 Empat translasi yang mungkin untuk merepresentasikan mutasi gen adalah T C, T U, T A, dan T G. Translasi T C adalah translasi yang mempertahankan struktur dari tiga partisi 1, 2, dan 3 dari N. Tiga translasi non trivial lainnya diilustrasikan dalam diagram berikut: Gambar 3.1 Translasi Non Trivial N Empat transformasi pertama yang dikenakan pada partisi ini adalah transformasi dengan matriks B yang dikomposisikan dengan setiap translasi T C, T U, T A dan T G, yaitu T C B = B, T U B, T A B, dan T G B. Matriks B adalah matriks transformasi yang mengubah A menjadi G dan sebaliknya serta mempertahankan C dan U. Hal ini diperoleh dari perhitungan berikut. Misalkan x, y = x y Z 2 2 atau anggota N melalui pencocokan Z 2 2 = 0, 0, 0, 1, 1, 0, (1, 1) dan y adalah hasil transformasi atau x bayangan dari y dengan matriks B, sehingga y = B x y = 1 1 = x x + y x y Selanjutnya akan ditinjau Transformasi dengan matriks A 21, yaitu A 21 = 1 1 Misalkan, pilih kodon CGU, Maka dengan matriks transformasi A 21, bayangan atau hasil transformasinya diperolehmelalui perhitungan berikut : a) Untuk basa urutan pertama pada urutan (C, G, U) y = 0 1 = 0 0 C Jadi, bayangan C = C. b) Untuk basa urutan kedua pada urutan (C, G, U) y = = = A Jadi, bayangan G = A. c) Untuk basa urutan ketiga pada urutan (C, G, U) y = = U Jadi, bayangan U = U. Jadi, dari perhitungan di atas diperoleh (C, G, U, A) A 21 (C, A, U, G). Perhitungan yang sama dilakukan untuk 63 kodon lainnya. Selanjutnya dengan perhitungan yang sama dan berdasarkan transformasitransformasi yang ada akan diperoleh 8 penyajian kode secara geometrinya. Berikut akan ditampilkan representasi berdasarkan matriks Transformasi A 21. Jadi, pengurutan (C, U, A, G) jika dikenakanmatriks transformasi B akan menjadi pengurutan (C, U, G, A). Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN

5 Berubah menjadi : Gambar 3.2 (C,U,A,G) Gambar 3.3 (C,A,U,G) HYPERCUBE Pencocokan awal adalah urutan (C, U, A, G) yang akan dikaitkan dengan himpunan 2. Dalam himpunan ini matriks yang digunakan untuk transformasi awal adalah matriks A 12 = 1 1 atau A 21 = 1 1. Dengan memilih matriks A 21 sebagai transformasi awal sehingga urutan (C, U, A, G) akan berubah menjadi (C, U, G, A). Sehingga dengan matriks tersebut merubah G menjadi A dan sebaliknya mempertahankan C dan U. Selanjutnya dengan menggunakan unsur dari grup Euclidean E 2 (Z 2 ) [2]; yaitu, 0 0,,,,,, 1 1,, 0 0,,,,, dan, 1 1 pada pengurutan awal (C, U, G, A) akan dihasilkan (C, U, G, A), (U, C, A, G), (G, A, C, U), (A, G, U, C), (C, G, U, A), (U, A, C, G), (G, C, A, U), dan (A, U, G, C). Sehingga ada delapan perubahan pengurutan berdasarkan 2. Perubahan pertama berdasarkan 2 dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama yaitu, 0 terhadap pengurutan 0 awal (C, U, A, G) yang telah di transformasikan dahulu dengan matriks A 21 menjadi (C, U, G, A). Sehingga didapat pencocokan baru yaitu C = 0,0, U = 0,1, G = 1,0, dan A = (1,1) kemudian ditransformasi sebagai berikut, Untuk perubahan basa C = 0 y = 0 0 = C Untuk perubahan basa U = 0 y = = U Untuk perubahan basa A = 1 y = = G Untuk perubahan basa G = 1 y = 1 1 = A Sehingga pencocokan awal mengalami perubahan oleh transformasi, 0 0 menjadi (C, U, G, A). Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi, 0 0 berdasarkan 2 dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube NNN. Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN

6 Gambar 3.4 Perubahan (C, U, G, A) C, U, A, G menjadi Dengan cara yang sama dapat diperoleh representasi untuk kodonkodon yang lainnya. D. KESIMPULAN Himpunan Kode Genetik Standar atau himpunan Kodon dapat direpresentasikan secara geometri. Sebelum memperoleh represnetasi, maka pada kedua kasus dilakukan transformasi- transformasi yang bersesuaian,. Untuk multycube transformasi yang digunakan merupakan transformasi yang umum digunakan. Untuk memperoleh hypercube digunakan anggota dari grup Euclidean E 2 (Z 2 ) NewYork :John Wiley 7 Sons [5] Jose, M. V., R.Morgado, E., Sanchez, R., & Govezensky, T. (2012). The 24 Possible Algebraic Representation of the Standard Genetic Code in Six or Three Dimensions. Advanced Studies in Biology, [6] Procesi, C. (2006). Orthogonal and Symplectic Groups. In S. Axler, & K. Ribet (Eds.), Lie Groups An Approach Through Invariants and Representations (p. 117). North America: Spinger. [7] Rachmawati, F., Urifah, N., & Wijayati, A. (2009). Materi Genetik. In Erminawati (Ed.), Biologi (pp ). Jakarta: Pusat Perbukuan. DAFTAR PUSTAKA [1] A.Jimenez Montano, M., la, C. R., Basanez, M., & Poschel, T. (1996). On the Hypercube Structure of the Genetic Code. World Scientific, 445. [2] Baez, J. (2008). The Euclidean Group. and Euclidean Group. In A Survey of Modern Algebra (p. 272). New York: Macmillan Publishing Co., inc. [3] Galian, J. A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7nd ed.). USA. [4] Herstein (1964). Topics in Algebra, Prosiding SEMNAS Pendidikan Matematika 2017 ISBN