BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis survival merupakan analisis yang mempelajari terjadinya suatu peristiwa berdasarkan waktu terjadinya, baik makhluk hidup maupun suatu benda. Analisis survival bertujuan untuk mengestimasi probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, ketahanan, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Dalam pengembangannya di bidang biostatistika, analisis data survival berperan dalam pemodelan faktor resiko. Dalam bidang aktuaria, analisis survival akan menjadi dasar dalam penyusunan tabel mortalita, tabel morbiditas serta penghitungan terkait penentuan premi. Tidak menutup kemungkinan, analisis survival juga semakin banyak digunakan dalam bidang terapan lain, seperti pengobatan, biologi, epidemiologi, teknik, ekonomi, demografi, dan bahkan merambah bidang perindustrian. Data survival adalah lama waktu sampai suatu peristiwa terjadi atau data antar kejadian (time to event data). Misalnya lama waktu seseorang hidup sampai dia mengalami kematian, lama bola lampu menyala sampai bola lampu tersebut putus, dan sebagainya. Salah satu kendala yang dapat timbul dalam persoalan yang menyangkut analisis survival adalah menentukan distribusi yang tepat untuk memodelkan data survival. Untuk mengetahui apakah suatu distribusi layak digunakan untuk memodelkan data survival dilakukan uji kecocokan model atau uji goodness of fit. Kemudian untuk memilh model mana yang paling sesuai, digunakan beberapa kriteria pemilihan model yaitu nilai AIC, SBC, nilai pendekatan Anderson- Darling dan -2log-likelihood. Dalam analisis survival, distribusi Weibull secara luas paling sering digunakan untuk memodelkan data survival. Distribusi ini merupakan perluasan dari distribusi eksponensial. Distribusi Weibull ditemukan oleh Waladdi Weibull yang merupakan seorang ahli fisika dari Swedia pada tahun Distribusi Weibull sangat popular untuk memodelkan data survival yang memiliki fungsi 1

2 2 hazard yang monoton, sehingga distribusi Weibull kurang tepat ketika digunakan untuk memodelkan fungsi hazard yang tidak monoton. Dalam studi kasus kematian manusia dan siklus hidup mesin biasanya memiliki bentuk fungsi hazard yang tidak monoton, seperti bathup. Bentuk bathup memiliki tiga fase yaitu fase menurun, dilanjutkan dengan fase konstan, kemudian fase yang terakhir adalah fase menaik. Selain bentuk bathup, fungsi hazard yang tidak monoton adalah unimodal. Bentuk unimodal dimulai dengan fase menaik, kemudian fase menurun, selanjutnya fase menaik lagi. Setelah mengetahui kendala tersebut, maka dikembangkan berbagai jenis distribusi baru hasil modifikasi dari distribusi Weibull, diantaranya distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi. Distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi memiliki lima parameter dan beberapa sub model khusus. Beberapa distribusi lain, juga akan diikutsertakan dalam tulisan ini, diantaranya distribusi Weibull dan distribusi Weibul termodifikasi dan tergeneralisasi. Untuk mengestimasi parameter dari distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi, digunakan metode maksimum likelihood. Untuk mencari penyelesaian dari persamaan likelihoodnya, digunakan metode numerik Broyden - Fletcher - Goldfarb- Shamo (BFGS). Pada penelitian ini, akan dilakukan uji distribusi data menggunakan uji kecocokan model (uji goodness of fit) untuk mengetahui apakah distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi, distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi, dan distribusi Weibull telah memodelkan data dengan baik atau tidak. Sedangkan untuk membandingkan beberapa distribusi tersebut, ditunjukkan nilai -2log-likelihood, Anderson-Darling (AD), AIC, dan SBC dari masing-masing distribusi tersebut. Model yang memiliki nilai AIC, SBC, -2log-likelihood dan AD yang paling kecil merupakan model yang paling tepat untuk memodelkan data.

3 Perumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah : 1. bagaimana mendefinisikan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi? 2. bagaimana bentuk-bentuk khusus dari distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi? 3. bagaimana mengestimasi parameter dari distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi menggunakan metode maksimum likelihood? 4. apakah distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi lebih baik dibandingkan dengan distribusi Weibull dan distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi? 1.3. Pembatasan Masalah Batasan masalah merupakan hal yang sangat penting dalam suatu penulisan agar tidak terjadi penyimpangan dari tujuan yang ingin dicapai. Berdasarkan rumusan masalah, pembatasan masalah dalam penelitian ini difokuskan pada estimasi parameter distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dan membandingkan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dengan distribusi Weibull dan distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi berdasarkan uji kecocokan model (uji goodness of fit) serta kriteria pemilihan model AIC, SBC, -2log-likelihood dan nilai AD Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1. sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar S1 pada program studi Statistika Fakultas MIPA UGM; 2. mengenalkan dan mendefinisikan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dan submodelnya; 3. menunjukkan keunggulan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dibandingkan distribusi Weibull dan distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi;

4 4 4. mengestimasi parameter dan fungsi survival distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan penulis adalah studi literatur yang diperoleh dari jurnal-jurnal ilmiah dan sumber-sumber lain yang diperoleh dari internet. Data yang diambil merupakan data sekunder dari buku berjudul Stochastic Ageing and Dependence for Reliability (Lai dan Xie, 2006) Tinjauan Pustaka Dalam penelitian ini, penulis mengkaji kembali jurnal ilmiah yang ditulis oleh Bagheri dkk. (2015). Penelitian tersebut membahas tentang fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi kumulatif probabilitas dari distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi, serta membandingkan nilai AIC, SBC, - 2log-likelihood dan nilai AD distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dengan distribusi lain. Carrasco dkk. (2008) mengenalkan distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dengan 4 parameter, serta menunjukkan fungsi kepadatan probabilitas, fungsi kumulatif probabilitas, fungsi survival dan fungsi hazard dari distribusi tersebut. Bagheri dkk. (2015) adalah yang pertama mengenalkan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dengan memberikan 5 parameter dari distribusi tersebut, serta menunjukkan bahwa fungsi hazard distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi dapat berbentuk bathtup, unimodal, naik, dan turun. Selain itu, dibahas aplikasi distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi terhadap data survival.

5 Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Berisi pendahuluan yang meliputi Latar Belakang Masalah, Perumusan Masalah, Pembatasan Masalah, Tujuan Penulisan, Metode Penulisan, Tinjauan Pustaka dan Sistematika Penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini berisi tentang pengertian dasar, konsep distribusi, serta teoriteori yang berkaitan dengan penelitian seperti mengenai variabel random, distribusi Weibull, fungsi W Lambert, estimasi maksimum likelihood, data survival, fungsi survival, uji kecocokan model (uji goodness of fit), serta mengenai beberapa kriteria pemilihan model diantaranya Akaike Information Criterion (AIC), Schwartz s Bayesian Information Criterion (SBC) dan nilai Anderson-Darling (AD). BAB III DISTRIBUSI DERET PANGKAT WEIBULL TERMODIFIKASI DAN TERGENERALISASI Bab ini membahas tentang landasan teori yang relevan dengan penelitian ini yaitu distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi, distribusi deret pangkat, distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergenaralisasi beserta fungsi kumulatif probabilitas, fungsi densitas probabilitas, dan fungsi hazardnya, bentuk-bentuk khusus distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergenaralisasi, serta estimasi parameter distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergenaralisasi menggunakan metode maksimum likelihood. BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI DERET PANGKAT WEIBULL TERMODIFIKASI DAN TERGENERALISASI UNTUK PERMODELAN KETAHANAN HIDUP Bab ini berisi tentang studi kasus dengan menguji kecocokan model menggunakan uji goodness of fit dan membandingkan keunggulan distribusi deret pangkat Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi

6 6 BAB V dengan distribusi Weibull dan distribusi Weibull termodifikasi dan tergeneralisasi menggunakan kriteria AIC, SBC, -2log-likelihood dan nilai AD pada data kegagalan 50 alat magnetron Vollan Aarset yang diambil dari buku Stochastic Ageing and Dependence for Reliability (Lai dan Xie, 2006). PENUTUP Terdiri dari kesimpulan dari masalah yang dibahas dan beberapa saran dari penulis, yang mungkin dapat membantu untuk penelitian selanjutnya.