OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG)"

Transkripsi

1 OPTIO VALUATIO BY USIG FAST FOURIER TRASFORM (FFT) TECHIQUES WITH VARIASI GAMMA(VG) Fitriani Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIAM ABSTRACT Info: Jurnal MSA Vol. 2 o. 2 Edisi: Januari Juni 2014 Artikel o.: 5 Halaman: ISS: X Prodi Matematika UIAM Fourier transform Techniques have important role in Financial Mathematics. Fast Fourier Transformation (FFT) is a technique Fourier transform with high accuracy and more efficient by using characteristic function than density function itself. FFT is used to option valuation under Lévy processes. This journal described Fourier transfor with its properties and Lévy processes. The section Lévy processes, we present a list of Lévy processes commonly used in financial applications together with their characteristic functions. FFT Algorithms is computed by using characteristic function of Variance Gamma (VG) with parameter σ, v, θ). At the end, we simulated computing Eropa call option value with FFT technique using VG by Carr and Madan s approach. Key Word: Fourier transform, Lévy processes, fast Fourier transform, Characteristic function, Variance Gamma, European call option Carr and Madan s approach 1. PEDAHULUA Model Black-Schole dan Merton merupakan model yang sering digunakan dalam perhitungan harga opsi pada suatu pergerakan harga saham. Model tersebut menggunakan Geometric Brownian Motion dan dengan teorema limit pusat diperoleh bahwa model pergerakan harga saham berdistribusi lognormal. amun, pada perkembangan dalam dunia keuangan, pada kenyataannya perubahan pergerakan harga saham yang tajam dan volatilitas return harga saham yang bersifat stokastik mengakibatkan model harga saham tidak selalu mengikuti distribusi lognormal. Dalam matematika keuangan, proses Lévy digunakan untuk memodelkan harga saham yang tidak mengikuti distribusi normal. Salah satu model harga saham yang berkembang saat ini adalah model eksponensial proses Lévy. Metode transformasi Fourier banyak digunakan dalam mencari solusi permasalahan matematika dan fisika. Metode transformasi Fourier juga digunakan dalam matematika keuangan untuk perhitungan harga opsi dengan pergerakan harga saham mengikuti proses Lévy. Integral dari transformasi Fourier dapat dihitung dengan mudah dengan menggunakan fungsi karakterstik atau density function dari proses Lévy dibandingkan dengan density function dari transformasi Fourier. Metode transformasi Fourier dalam penentuan harga opsi lebih efisien dengan menggunakan komputasi numeric algoritma fast Fourier transform (FFT). Pada jurnal ini akan dilakukan perhitungan harga opsi eropa dengan menggunakan algoritma FFT dengan fungsi Variansi Gamma (VG). 2. Transformasi Fourier Misal f(x) adalah suatu fungsi real yang kontinu di (, ) yang memenuhi: fx dx <. (1) 36

2 Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des Transformasi Fourier dari f(x) didefinisakan: Ƒ f (u) = e iuy f(y)dy. (2) Rumus invers Fourier diperoleh dengan mengikuti integral fungsi Dirac δ(y x), dimana δ(y x) = 1 2π eiu(y x) du. (3) Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam fungsi f(x): f(x) = f(x) = f(y) 1 f(x) = 1 2π eiux f(y)δ(y x) dy 2π eiu(y x) du ( f(y)e iuy dy dy)du. Sehingga diperoleh dari rumus invers Fourier: f(x) = 1 2π e iux Ƒ f (u)du. (4) Suatu proses stokastik X t dengan density function (df) adalah, maka transformasi Fourier dari p adalah Ƒ p (u) = e iuy p(x)dx = E[e iux ]. (5) Persamaan (5) disebut sebagai fungsi dari X t. Berikut diberikan sifat-sifat matematika transformasi Fourier yang akan digunakan pada pembahasan jurnal ini adalah: a. Diferensiasi b. Modulasi c. Konvolusi Ƒ f (u) = iu Ƒ f (u) Ƒ e λx f (u) = Ƒ f(u iλ), λ R. Konvolusi antara dua fungsi yang integrabel f(x) dan g(x) dinitasikan dengan: maka h(x) = f g(x) = Ƒ h = Ƒ f Ƒ g. f(y)g(x y)dy, d. Relasi Parseval (Parseval relation) Perkalian scalar atau perkalian dalam dari dua fungsi pada L 2 (R) didefinisikan: f g = f(x) g(x) dx. Transformasi Fourier dari fungsi f dan g berturut-turut adalah Ƒ f dan Ƒ g, maka Untuk f(x) = 1 Maka: Ƒ f Ƒ g = Ƒ f Ƒ g dx. 2π 1 2π e iux Ƒ f (u)du, diperoleh: f(x) g(x) dx = e iux Ƒ f g(u) dudx 1 Ƒ 2π f = e iux g(u) dxdu = 1 2π Ƒ f Ƒ g du. f g = 1 2π Ƒ f(u) Ƒ g (u). Selanjutnya, kita akan menerapkan Parseval relation ke perhitungan harga opsi. Misal V adalah harga opsi dengan payoff pada waktu T adalah V T (x) dan p(x) adalah df dari riskneutral. V = e rt V T (x)p(x)dx = e rt V T (x) p(x). Dengan Parseval relation diperoleh: V = e rt 2π Ƒ p(u) Ƒ VT (u). (6) 37

3 Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des. 2014V Transformasi Fourier Diskrit Diberikan suatu barisan {x k }, k = 0, 1,, 1 dan transformasi Fourier diskrit dari {x k } adalah {y j }, j = 0, 1,, 1, dengan 1 e 2πijk y j = k=1 x k, j = 0, 1,, 1. (7) Jika x dan y ditulis sebagai suatu vector yang berdimensi x = (x o, x 1,, x 1 ) T dan y = (y o, y,, y 1 ) T, dan F adalah matriks yang anggotanya adalah (j, k), F j,k = e 2πijk, 1 j, k, maka x dan y direlasikan oleh: y = F x. (8) Untuk memperoleh y diperlukan 2 langkah. Jika dipilih = 2 L, Perhitungan dengan menggunakan teknik FFT hanya memerlukan 1 2 L = 2 log 2 langkah.ide dari algoritma FFT adalah dengan memanfaatkan sifat-sifat periodic dari kesatuan akar ke-. Misal M = 2, dan membagi vector x kedalam dua vector yang berukuran setengahnya. x = (x o, x 2,, x 2 ) T dan x = (x 1, x 3,, y 1 ) T. Selanjutnya kita bentuk suatu vektor berdimensi M. y = F M x dan y = F M x, dengan F M adalah matriks M M yang anggotanya adalah (j, k), F M j,k = e 2πijk M, 1 j, k M, Kompen M yang pertama dan terakhir dari y adalah y j = y j + e 2πij y, j = 0, 1,, M 1, y j+m = y j e 2πij y, j = 0, 1,, M 1. (9) Dari perkalioan vector matriks F x kita dapat mereduksi jumlah operasi dengan perkalian dua vector matriks F M x dan F M x. Jumlah operasi direduksi dari 2 ke 2( 2 )2 = 2. Prosedur yang 2 sama untuk mereduksi panjang barisan menjadi setengah dapat dilakukan berulang-ulang. Melalui algoritma FFT, jumlah total operasi direduksi dari Ο( 2 ) ke Ο( log 2 ). 4. Proses Lévy Suatu proses stokastik X t dengan X 0 = 0 disebut proses Lévy jika memenuhi sifat-sifat berikut: a. Independent Increments. Untuk setiap barisan naik pada waktu t 0, t 1,, t n dengan peubah acak X t0, X t1 X t0,, X tn X tn 1 yang saling bebas.2. b. Time-homogeneus. Distribusi dari {X t+s X s ; t 0} tidak bergantung pada s. c. Continuous Stochastically. Untuk setiap ε > 0, P[ X t+h X t ε] 0, h 0. d. Cadlag Process. Kontinu denganlimit kiri sebagai fungsi dari t. Proses Lévy adalah kombinasi linear drift, gerak Brown, dan lompatan (jump). Ketika proses Lévy X t, lompatan, besarnya lompatan tidak nol. Suatu ukuran Lévy w dari X t didefinisikan di R \ {0} menyatakan bagaimana proses lompatan terjadi. Pada model finite-activity kita mempunyai R w(dx) < sedangkan pada model infiniteactivity kita mempunyai R w(dx) = dan intensitas Poisson tidak didefinisikan. Ukuran Lévy w(dx) memberikan tingkat (rate) kedatangan dari lompatan berukuran (x, x + dx). Fungsi dari proses Lévy menggunakan rumus Lévy-Kinchine. φx(u) = E[e iux t] = exp (aitu σ2 2 tu2 + t R\{0} (e iux 1 iux1 x 1 )w(d(x)) 38

4 (10) = exp(tψx(u)), Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des t t v K ( ( iu) ) exp( iut), ( iu) K ( Dimana R min(1, x 2 ) w(dx) <, a R, σ 2 0. a merupakan rate drift, σ adalah volatilitas proses difusi dan 1 fungsi indikator. ψx(u) merupakan eksponen dari X d t tx 1 X t,. Semua momen dari X t dapat diperoleh dari fungsi pada saat fungsi pembangkit momen ke domain kompleks. Jadi, proses Lévy X t sepenuhnya ditentukan oleh fungsi φx. Beberapa proses Lévy yang secara umum digunakan dalam aplikasi keuangan beserta fungsi masingmasing adalah a. Model Finite-activity 1. Gerak Brown Geometrik, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 ) 2. Difusi lompatan Lognormal, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 + λt (e iuμj 1 2 σ J 2 u 2 1) 3. Difusi lompatan eksponensial ganda, memiliki fungsi exp (iuμt 1 2 σ2 tu 2 + λt ( 1 η2 1+u 2 η 2 e iuk 1) ) b. Model Infinite-activity 1. Variansi Gamma, memiliki fungsi exp (iuμt)(1 iuvθ σ2 vu 2 ) t v 2. ormal Invers Gaussian, memiliki fungsi exp (iuμt + δt α 2 β 2 α 2 (β + iu) 2 ) 3. Generalized Hyperbolic, memiliki fungsi K Iv ( z) I v ( z) ( z), 2 sin( v ) z I v ( z) 2 v k0 2 k ( z 4) k! ( v k 1) 4. Finite-momen stabil, memiliki fungsi exp (iuμt t(iuσ) α sec πα ) 2 5. CGMY, memiliki fungsi exp(cγ( Y)) [(M iu) Y M Y + (G + iu) Y G Y ], dengan C, G, M > 0 dan Y > 2 5. FFT pada Perhitungan Harga Opsi Eropa Berdasarkan ukuran risk-neutral Q, misal harga pokok saham pada waktu t adalah S t = S 0 e ( rt+x t), t > 0, (11) dimana X t adalah proses Lévy dan r adalah suku bunga (interest rate). Misal Y = log(s 0 ) + rt dan F VT adalah transformasi Fourier dari fungsi payoff V T (x) dengan x = logs T. Dengan mensubstitusi ekspektasi discount ke persamaan (4), opsi Eropa dapat dinyatakan dengan rumus: V(S t, t) = e r(t t) E Q [V T (x)] = e r(t t) iμ+ iμ E 2π Q [ e izx F VT (z)dz] = e r(t t) iμ+ iμ e izx φx 2π T ( z)f VT (z)dz, (12) dengan μ = Im z dan φx T (z) adalah fungsi dari X T. Rumus pada persamaan (12) sesuai dengan persmaam (6) yang diperoleh dengan menggunakan relasi Parseval (Parseval relation). 39

5 Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des. 2014V Jika harga saham pada saat t = 0 adalah sebesar S 0, maka pada saat T harga opsi call Eropa dengan payoff sebesar (S T K + ) adalah C(S 0, T; K) = Ke rt = Ke rt 2π iμ+ 2π e izk φx t ( z) iμ z 2 iz iμ+ e izk φx t ( z) i dz iμ z iμ+ e izk φx t ( z) i dz [ iμ z i ] = S 0 [ π Re(e iu log k φx t (u i) 0 iuφx t ( i) Ke rt [ 1 2 )du] dz + 1 Re log k φx t (u) π (e iu ) du], (13) 0 iuφx t (iu) dengan k = log S + rt. Rumus harga opsi pada K persamaan (13) menyerupai rumus Black- Scholes. Adanya sifat singular pada u = 0 pada integral fungsi mengakibatkan FFT tidak dapat digunakan untuk menghitung integral. Jika integral diperluas dengan ekspansi deret Taylor di u, maka leading term pada ekspansi untuk kedua integral adalah ο( 1 ) yang divergen ketika u terjadi kenaikan dari fungsi payoff yang diskontinu di S T = K. Akibatnya, transformasi Fourier dari fungsi payoff memiliki frekuensi yang tinggi. Untuk memperkecil frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan payoff dengan suatu fungsi eksponensial decay. Rumus Carr-Madan merupakan rumus alternative dalam perhitungan harga opsi Eropa dengan menggunakan fungsi dari pergerakan harga saham. Carr and Madan (1999), mengasumsikan transformasi Fourier dari harga Call Eropa kemudian menghitung invers Fourier agar harga Call dapat dihitung dengan FFT. Misal k = log K dan transformasi Fourier dari harga call C(k) ada jika memenuhi fungsi kuadrat-integrabel. Pengatur (dampening factor) harga call c(k). c(k) = e αk C(k), (14) untuk α > 0. ilai positif dari α dilihat dari meningktnya integrabilitas dari modifikasi nilai call di atas sumbu-k negative. Syarat cukup untuk kuadrat-integrabel fungsi c(k) diberikan E Q [S T α+1 ] <. Tulis ψ T (u) sebagai transformasi Fourier dari c(k), P T (s) sebagai fungsi kepadatan (df) dari pergerakan harga saham, dimana s = log S T dan φ T (u) adalah fungsi transformasi Fourier dari P T (s), maka ψ T (u) = e iuk c(k)dk s = e iuk P T (s) [e s+αk e (1+α)k ] e iuk dk ds = e rt φ T (u (α+1)i) α 2 α u 2 +i(2α+1)u. (15) 6. Algoritma Fast Fourier Transform (FFT) Harga call C(k) dapat dihitung dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dimana = e αk C(k) = e αk 2π e iuk ψ T (u)du 0 π e iuk ψ T (u)du. (16) Dengan menggunakan aturan trapezoid untuk mengintegralkan persamaan (16) diperoleh: C(k) e αk π j=1 e iujk ψ T (u j ) u, (17) dengan u j = (j 1) u, j = 1, 2,,, dan = 2 L. Semi-infinite integral dengan domain [0, ] pada persamaan (15) diaproksimasi melalui integrasi domain berhingga, dimana batas atas dari u pada integrasi numeriknya adalah u. 40

6 Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des FFT merupakan algoritma numeric yang efisien dalam menghitung transformasi Fourier diskrit. Pada FFT kita menghitung y(k) = e i 2π j=1 (j 1)(k 1) x(j), k = 1,2,,. (17) Misal batas integrasi limit adalah a, dimana a = u. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan harga opsi call dengan pengambilan k bernilai diskrit. k m = b + (m 1) k, m = 1,2,,, (18) dengan b adalah range level log strike dari b ke b dimana b = 1 k. Dengan 2 mensubstitusi persamaan (18) ke persamaan (17), diperoleh e αk m C(k m ) e i(j 1) u ( b+(m 1) k) ψ π j=1 T (u j ) u. e αk m π j=1 e i u k(j 1)(m 1) e ibu jψ T (u j ) u. (19) Ingat bahwa dan u k = 2π, dengan menggunakan transformasi Fourier dan aturan Simpson dan batas u k = 2π diperoleh harga opsi call C(k m ) = e αk m π e i2π (j 1)(m 1) e ibu n j=1 jψ T (u j ) [3 + 3 ( 1) j δ j 1 ], (20) Dengan δ n adalah fungsi Konocker s delta 1, n 0 dimana n. 0, lainnya 7. FFT dengan Variansi Gamma (VG) pada Perhitungan Harga Opsi Call Eropa Pada jurnal ini dilakukan metode FFT dalam menghitung harga opsi call Eropa dengan fungsi karaktersitik Variansi Gamma (VG). Madan, Carr, Chang (1998) memodelkan perhitungan harga opsi dengan VG. Proses VG diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift θ dan volatilitas σ pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi v. X t (σ, θ, v) adalah proses lompatan (jump process) dua parameter θ dan v yang mengikuti model Black-Scholes. Perhitungan harga opsi call berdasarkan persamaan (16) dan (15) dan dengan fungsi VG diperoleh harga opsi call Eropa: C(k) e αk e ivk π [α 2 α v 2 +i(2α+1)v](1 iuvθ+ 1 2 σ2 vu 2 tdv ) v, (21) dengan u = v (α + 1)i. Proses risk-neutral untuk harga saham diberikan oleh: S t = S 0 exp[rt + X t (σ, θ, v) + ωt], t > 0, (22) dimana ω = 1 v ln (1 θv 1 2 σ2 v) dan r adalah interest rate. Fungsi untuk log S T adalah φ T (u) = exp [ln(s 0 ) + (r + ω)t](1 iuvθ σ2 vu 2 ) T v, (23) φ T ( (α + 1)i) = exp [ln(s 0 ) + (r + ω)t](1 (α + 1)vθ σ2 v(α+1) 2 ) T v. Untuk membatasi fungsi karakteristi nilai α (damping factor) haruslah α < θ2 σ 4+ 2 θ σ 2 v σ2 1. (24) 8. Hasil Simulasi Perhitungan Harga Opsi Call Simulasi perhitungan harga opsi call dengan menggunakan = 2 12, S 0 = $ 100, r = 5 %, divident yield (d) = 3 %, T = 1, u = 0.25, Volatilitas = 30 %, drift (θ) = 5 %, v = 0.05 dan nilai α = 1.5. Hasil perhitungan opsi call Eropa dengan beberapa beberapa nilai strike price (K) = 77, 78, dan 79 menggunakan software Matlab Matlab diperoleh $ e+001, $ e+001, dan $1.6648e+001 dengan elapsed time Elapsed time = detik. 41

7 Jurnal MSA, Vol. 2 o. 2, Juli Des. 2014V Kesimpulan Jurnal ini membahas perhitungan harga call Eropa dengan menggunakan teknik Fast Fourier Transform (FFT). Fungsi yang digunakan dalam FFT adalah fungsi Variance Gamma (VG). Proses VG diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift θ dan volatilitas σ pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi v, X t (σ, θ, v). Dari hasil pembahasan di atas dapat dilihat langkahlangkah matematika serta simulasi teknik FFT dengan fungsi VG dalam memntukan nilai opsi call Eropa. Dari hasil simulasi terlihat bahwa dengan nilai yaitu titik diskrit transformasi Fourier yang besar yaitu 2 12 =4906 titik, waktu yang dibutuhkan untuk menghitung nilai opsi call sangat efisien yaitu hanya Elapsed time = detik. amun, Teknik FFT dengan menggunakan VG hanya cocok untuk short-time maturity. Oleh karena itu kedepannya perlu dilakukan modifikasi time valued method. 9. Daftar Pustaka [1] Schmelzle, martin Option Pricing Using Fourier Transform: Theory and Aplication. [2] Bu, Yongqiang Option using Lévy Processes. Göteborg, Sweden: Deaprtment of mathematical Statistics, Chalmers University of Technology. [3] J. C. Duan et al Handbook of Computational Finance. Berlin Heidelberg: Springer. [4] Carr and Madan Option Valuation using Fast Fourier Transformation. Journal of Computational Finance, [5] Carr, Madan and Chang The Variance Gamma Process and Option Pricing. European Finance Review 2: etherlands: Kluwer Academic Publishers. [6] Raible, Sebastian Lévy Processes in Finance: Theory, umerics and Enpirical Fact. Freiburg: Institut für Mathematische Stochastik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. 42

OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG)

OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG) OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG) Fitriani Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM scientistmuslimah@gmail.com ABSTRACT Info: Jurnal

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI CALL EROPA DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.INC)

PENENTUAN HARGA OPSI CALL EROPA DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.INC) PEETUA HARGA OPSI CALL EROPA DEGA MEGGUAKA TRASFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.IC) Andri Saputra 1, Rian Febrian Umbara, Irma Palupi 3 1,,3 Program Studi Ilmu Komputasi Universitas Telkom,

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI CALL EROPA DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.INC)

PENENTUAN HARGA OPSI CALL EROPA DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.INC) ISS : 355-9365 e-proceeding of Engineering : Vol., o. Agustus 05 Page 685 PEETUA HARGA OPSI CALL EROPA DEGA MEGGUAKA TRASFORMASI FAST FOURIER (STUDI KASUS SAHAM FIREEYE.IC) Andri Saputra, Rian Febrian

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

BAB III METODE MONTE CARLO

BAB III METODE MONTE CARLO BAB III ETODE ONTE CARLO 3.1 etode onte Carlo etode onte Carlo pertama kali ditemukan oleh Enrico Fermi pada tahun 1930-an. etode ini diawali dengan adanya penelitian mengenai pemeriksaan radiasi dan jarak

Lebih terperinci

Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex

Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex Bab 2 Landasan Teori Salah satu hal yang menarik dari topik tugas akhir ini adalah penggunaan sebuah ilmu dari dunia insurance (teori comonotonic) ke dunia matematika keuangan. Oleh karena itu untuk memahaminya

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

ABSTRAK SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER

ABSTRAK SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER ABSTRAK SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI BARRIER Djaffar Lessy, Dosen Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Ambon 081343357498, E-mail: Djefles79@yahoo.com Opsi yang

Lebih terperinci

LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PERNYATAAN ABSTRAK KATA PENGANTAR UCAPAN TERIMA KASIH DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN

LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PERNYATAAN ABSTRAK KATA PENGANTAR UCAPAN TERIMA KASIH DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR PERNYATAAN ABSTRAK... i KATA PENGANTAR... iii UCAPAN TERIMA KASIH... iv DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... x BAB I PENDAHULUAN...

Lebih terperinci

PERBANDINGAN METODE BLACK SCHOLES DAN SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI EROPA

PERBANDINGAN METODE BLACK SCHOLES DAN SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI EROPA Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 7 16 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PERBANDINGAN METODE BLACK SCHOLES DAN SIMULASI MONTE CARLO DALAM PENENTUAN HARGA OPSI EROPA TOMI DESRA YULIANDI,

Lebih terperinci

Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option

Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 4, No., May 2007, 47 58 Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option Endah Rokhmati MP, Lukman Hanafi, Supriati

Lebih terperinci

ABSTRAK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA DENGAN MODEL BINOMIAL

ABSTRAK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA DENGAN MODEL BINOMIAL ABSTRAK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA DENGAN MODEL BINOMIAL Djaffar Lessy, Dosen Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Ambon 081343357498, E-mail: Djefles79@yahoo.om Banyak model telah

Lebih terperinci

Bab 7. Minggu 12 Formula Black Scholes untuk Opsi Call

Bab 7. Minggu 12 Formula Black Scholes untuk Opsi Call Bab 7. Minggu Formula Black Scholes untuk Opsi Call ujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan valuasi opsi call tipe Eropa model Black Scholes Menurunkan

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematik(a)

Pengantar Statistika Matematik(a) Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics

MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak

Lebih terperinci

DISCOUNTED FEYNMAN KAC UNTUK MENCARI PDP PADA PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM KARYAWAN SETELAH VESTING PERIOD

DISCOUNTED FEYNMAN KAC UNTUK MENCARI PDP PADA PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM KARYAWAN SETELAH VESTING PERIOD DISCOUNTED FEYNMAN KAC UNTUK MENCARI PDP PADA PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM KARYAWAN SETELAH VESTING PERIOD Rudianto Artiono Universitas Negeri Surabaya rudianto_82@yahoo.com An-3 Abstrak Pada makalah ini

Lebih terperinci

g(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1

g(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1 Fast Fourier Transform (FFT) Dalam rangka meningkatkan blok yang lebih spesifik menggunakan frekuensi dominan, akan dikalikan FFT dari blok jarak, dimana jarak asal adalah: FFT = abs (F (u, v)) = F (u,

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik

Catatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik

Lebih terperinci

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

Peubah Acak dan Distribusi Kontinu BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO. Rina Ayuhana

PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO. Rina Ayuhana PENENTUAN HARGA OPSI PUT AMERIKA MENGGUNAKAN ALGORITMA MONTE CARLO Rina Ayuhana Program Studi Ilmu Komputasi Universitas Telkom, Bandung rina.21.kids@gmail.com Abstrak Opsi adalah suatu kontrak yang memberikan

Lebih terperinci

(T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

(T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT (T.8) SEBARAN ATIMTOTIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Universitas Bina Nusantara Jl. K.H. Syahdan No. 9 Palmerah Jakarta Barat 11480 rrachmawati@binus.edu

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

MODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN

MODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN MODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN oleh RETNO TRI VULANDARI M0106062 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains

Lebih terperinci

BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA

BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA BAB V IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA 5.1 Harga Saham ( ( )) Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak

Lebih terperinci

Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo

Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan tentang Model matematis harga Saham Membuat simulasi harga

Lebih terperinci

PERHITUNGAN HARGA OPSI TIPE ARITMATIK CALL ASIA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO

PERHITUNGAN HARGA OPSI TIPE ARITMATIK CALL ASIA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO PERHITUNGAN HARGA OPSI TIPE ARITMATIK CALL ASIA DENGAN SIMULASI MONTE CARLO Ardhia Pringgowati 1 1 Prodi Ilmu Komputasi Telkom University, Bandung 1 ardya.p@gmail.com Abstrak Pada penelitian ini berhubungan

Lebih terperinci

ESTIMASI NILAI VaR MENGGUNAKAN SIMULASI PROSES LÉVY

ESTIMASI NILAI VaR MENGGUNAKAN SIMULASI PROSES LÉVY ESTIMASI NILAI VaR MENGGUNAKAN SIMULASI PROSES LÉVY S - 20 Komang Dharmawan 1 1 Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Udayana 1 e-mail dharmawan.komang@gmail.com Abstrak Ketika data harga saham menunjukkan

Lebih terperinci

KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA

KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 4 Hal. 9 ISSN : 33 9 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA MARNISYAH ANAS Program Studi Magister Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri

Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya 1), Bambang Susanto 2), dan Hanna Arini Parhusip 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika email:

Lebih terperinci

PENGGUNAAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI JUAL TIPE EROPA

PENGGUNAAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI JUAL TIPE EROPA Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 02 no. 1 (2013), hal 13 20 PENGGUNAAN MODEL BLACK SCHOLES UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI JUAL TIPE EROPA Widyawati, Neva Satyahadewi, Evy Sulistianingsih

Lebih terperinci

BAB III METODE BINOMIAL

BAB III METODE BINOMIAL BAB III METODE BINOMIAL Metode Binomial ialah metode sederhana yang banyak digunakan untuk menghitung harga saham. Metode ini berdasarkan pada percabangan pohon yang menerapkan aturan binomial pada tiap-tiap

Lebih terperinci

MA5181 PROSES STOKASTIK

MA5181 PROSES STOKASTIK Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183

Lebih terperinci

BAB III METODE MONTE CARLO

BAB III METODE MONTE CARLO BAB III METODE MONTE CARLO 3.1 Metode Monte Carlo Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah

Lebih terperinci

BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA

BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. pembeli opsi untuk menjual atau membeli suatu sekuritas tertentu pada waktu dan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. pembeli opsi untuk menjual atau membeli suatu sekuritas tertentu pada waktu dan BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Kontrak Opsi Kontrak opsi merupakan suatu perjanjian atau kontrak antara penjual opsi dengan pembeli opsi, penjual opsi memberikan hak dan bukan kewajiban kepada pembeli opsi

Lebih terperinci

Penentuan Nilai Opsi Call Eropa Dengan Pembayaran Dividen

Penentuan Nilai Opsi Call Eropa Dengan Pembayaran Dividen Jurnal ainsmat, eptember 16, Halaman 143-1 ol., No. IN 79-686 (Online) IN 86-67 (Cetak) http://ojs.unm.ac.id/index.php/sainsmat Penentuan Nilai Opsi Call Eropa Dengan Pembayaran Dividen Determine the value

Lebih terperinci

PROSES POISSON MAJEMUK. 1. Pendahuluan

PROSES POISSON MAJEMUK. 1. Pendahuluan PROSES POISSON MAJEMUK Chris Risen, Respatiwulan, Pangadi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Proses Poisson merupakan proses menghitung {; t 0} yang digunakan untuk menentukan jumlah kejadian

Lebih terperinci

DASAR-DASAR TEORI PELUANG

DASAR-DASAR TEORI PELUANG DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A

Lebih terperinci

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI BELI TIPE ASIA DENGAN METODE MONTE CARLO-CONTROL VARIATE

PENENTUAN HARGA OPSI BELI TIPE ASIA DENGAN METODE MONTE CARLO-CONTROL VARIATE E-Jurnal Matematika Vol. 6 (1), Januari 2017, pp. 29-36 ISSN: 2303-1751 PENENTUAN HARGA OPSI BELI TIPE ASIA DENGAN METODE MONTE CARLO-CONTROL VARIATE Ni Nyoman Ayu Artanadi 1, Komang Dharmawan 2, Ketut

Lebih terperinci

BAB V PENUTUP ( ( ) )

BAB V PENUTUP ( ( ) ) BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Penentuan harga opsi Asia menggunakan rata-rata Aritmatik melalui Simulasi Monte Carlo dapat dinyatakan sebagai berikut. ( ( ) ) ( ( ) ) dimana merupakan harga opsi Call Asia

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan.

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan. II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi) Dalam keuangan,

Lebih terperinci

Jurnal Ilmiah Komputer dan Informatika (KOMPUTA) PERBANDINGAN METODE NEWTON-RAPHSON DAN ALGORITMA GENETIK PADA PENENTUAN IMPLIED VOLATILITY SAHAM

Jurnal Ilmiah Komputer dan Informatika (KOMPUTA) PERBANDINGAN METODE NEWTON-RAPHSON DAN ALGORITMA GENETIK PADA PENENTUAN IMPLIED VOLATILITY SAHAM Jurnal Ilmiah Komputer dan Informatika (KOMA) Volume. I Nomor. 2, Bulan Oktober 212 - ISSN :289-933 9 PERBANDINGAN METODE NEWTON-RAPHSON DAN ALGORITMA GENETIK PADA PENENTUAN IMPLIED VOLATILITY SAHAM Kania

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 017 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

PENENTUAN KOMPENSASI KARYAWAN DALAM BENTUK OPSI SAHAM MODEL VERR (vesting period, exit rate, reload, reset)

PENENTUAN KOMPENSASI KARYAWAN DALAM BENTUK OPSI SAHAM MODEL VERR (vesting period, exit rate, reload, reset) Seminar Nasional Statistika IX Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009 PENENTUAN KOMPENSASI KARYAWAN DALAM BENTUK OPSI SAHAM MODEL VERR (vesting period, exit rate, reload, reset) Rudianto

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN 18 BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal

Lebih terperinci

Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik

Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Konduksi-Konveksi dalam Media Anisotropik Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah nilai batas 1 3 Persamaan integral batas 2 4 Hasil

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Opsi merupakan suatu kontrak/perjanjian antara writer dan holder yang

BAB I PENDAHULUAN. Opsi merupakan suatu kontrak/perjanjian antara writer dan holder yang 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Opsi merupakan suatu kontrak/perjanjian antara writer dan holder yang memberikan hak, bukan kewajiban, kepada holder untuk membeli atau menjual suatu aset

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. untuk menjual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah

BAB 2 LANDASAN TEORI. untuk menjual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah BAB LANDASAN TEORI. Option Option merupakan sebuah kontrak yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menual atau membeli aset pada waktu tertentu dengan harga yang telah disepakati. Yang akan dibahas

Lebih terperinci

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n!

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n! Analisa Numerik Teknik Sipil 1 PENDAHULUAN 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya),

Lebih terperinci

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik

Lebih terperinci

DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS

DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK

Lebih terperinci

Prosiding Statistika ISSN:

Prosiding Statistika ISSN: Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Penentuan Distribusi Kerugian Agregat Tertanggung Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia Menggunakan Metode Rekursif Panjer Determination of Aggregate Insured Losses

Lebih terperinci

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit

Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. 2 (216) 2337-352 (231-928X Print) A-25 Analisis Reduksi Model pada Sistem Linier Waktu Diskrit Yunita Indriana Sari dan Didik Khusnul Arif Jurusan Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria

AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Opsi merupakan salah satu produk finansial turunan. Opsi memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual suatu aset acuan (underlying asset) saat jatuh

Lebih terperinci

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah

II. LANDASAN TEORI. sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah II. LANDASAN TEORI Peubah acak X(s) merupakan sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota sєs (S ruang sampel) dengan sebuah bilangan real. Salah satu peubah acak adalah peubah acak diskrit, yaitu banyaknya

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK

PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK e-proceeding of Engineering : Vol.2, No.2 Agustus 2015 Page 6751 PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK Muhammad Faizal1, Irma Palupi2, Rian Febrian Umbara3 1,2,3 Fakultas

Lebih terperinci

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi

MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi

Lebih terperinci

STATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. WEEK 5 Hanung N. Prasetyo TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS WEEK 5 Hanung N. Prasetyo Kompetensi 1. Mahasiswa memahamikonsep dasar distribusi peluang kontinu khusus seperti uniform dan eksponensial 2. Mahasiswamampumelakukanoperasi hitungyang berkaitan

Lebih terperinci

BAB III METODE UNTUK MENAKSIR VOLATILITAS. harga saham, waktu jatuh tempo, waktu sekarang, suku bunga,

BAB III METODE UNTUK MENAKSIR VOLATILITAS. harga saham, waktu jatuh tempo, waktu sekarang, suku bunga, BAB III METODE UNTUK MENAKSIR VOLATILITAS 3.1. Pendahuluan Dalam menentukan harga opsi call dan opsi put dibutuhkan parameter harga saham, waktu jatuh tempo, waktu sekarang, suku bunga, strike price, dan

Lebih terperinci

Agus Suryanto dan Isnani Darti

Agus Suryanto dan Isnani Darti Pengaruh Waktu Tunda pada Model Pertumbuhan Logistik Agus Suryanto dan Isnani Darti Jurusan Matematika - FMIPA Universitas Brawijaya suryanto@ub.ac.id www.asuryanto.lecture.ub.ac.id Prodi Pendidikan Matematika

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Lebih terperinci

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi

Dengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.

Lebih terperinci

{ B t t 0, yang II LANDASAN TEORI = tn

{ B t t 0, yang II LANDASAN TEORI = tn II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan definisi-definisi yang akan digunakan di dalam pembahasan. 2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Proses Stokastik Definisi 2.1 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK

PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK PENENTUAN HARGA OPSI BELI EROPA DENGAN DUA PROSES VOLATILITAS STOKASTIK Muhammad Faizal 1, Irma Palupi 2, Rian Febrian Umbara 3 1,2,3 Fakultas Informatika Prodi Ilmu Komputasi Telkom University, Bandung

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Menurut Sharpe et al. (1993), investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang agar jumlah aset menjadi

Lebih terperinci

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Jurnal Penelitian Sains Volume 3 Nomer A) 3 Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Herlina Hanum Yuli Andriani dan Retno Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

Teorema Newman Pearson

Teorema Newman Pearson pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang nantinya akan diperoleh dalam

digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang nantinya akan diperoleh dalam II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian ini, antara lain : 2.1 Fungsi Gamma Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. return, mean, standard deviation, skewness, kurtosis, ACF, korelasi, GPD, copula,

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. return, mean, standard deviation, skewness, kurtosis, ACF, korelasi, GPD, copula, BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas semua konsep yang mendasari penelitian ini yaitu return, mean, standard deviation, skewness, kurtosis, ACF, korelasi, GPD, copula, VaR, estimasi VaR dengan

Lebih terperinci

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!

MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dalam pembahasan ini dikaji mengenai nilai ekspektasi saham pada jatuh tempo, persamaan nilai portofolio, penentuan model Black-Scholes harga opsi beli tipe Eropa,

Lebih terperinci

a. Static Portfolio Analysis: Markowitz (1959) b. Dynamic Portfolio Analysis c. Contingent Claims Analysis: Black and Scholes (1973), Merton (1973)

a. Static Portfolio Analysis: Markowitz (1959) b. Dynamic Portfolio Analysis c. Contingent Claims Analysis: Black and Scholes (1973), Merton (1973) 1. Pendahuluan Dalam pasar keuangan, beberapa instrument financial yang perlu dikenali: a. Stock (Equitis, Securities, Shares) b. Bonds : Corporate, Municipal, Government (Long Term Borrowing) c. Corporate

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. seperti; saham, obligasi, mata uang dan lain-lain. Seiring dengan

BAB I PENDAHULUAN. seperti; saham, obligasi, mata uang dan lain-lain. Seiring dengan 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam dunia pasar modal, terdapat berbagai macam aset yang diperjualbelikan seperti; saham, obligasi, mata uang dan lain-lain. Seiring dengan perkembangan

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO

PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO PENENTUAN HARGA OPSI KEUANGAN DENGAN SIMULASI MONTE CARLO TUGAS AKHIR Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mengikuti sidang Sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung Oleh : Kunarto

Lebih terperinci

PENERAPAN METODE BINOMIAL TREE DALAM MENGESTIMASI HARGA KONTRAK OPSI TIPE AMERIKA

PENERAPAN METODE BINOMIAL TREE DALAM MENGESTIMASI HARGA KONTRAK OPSI TIPE AMERIKA E-Jurnal Matematika Vol. 5 (4), November 2016, pp. 156-163 ISSN: 2303-1751 PENERAPAN METODE BINOMIAL TREE DALAM MENGESTIMASI HARGA KONTRAK OPSI TIPE AMERIKA I Gusti Ayu Mita Ermia Sari 1, Komang Dharmawan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai

Lebih terperinci

METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

BAB 4 Implementasi. Kasus 1. Diberikan suatu persamaan

BAB 4 Implementasi. Kasus 1. Diberikan suatu persamaan BAB 4 Implementasi Pada bab ini akan diperlihatkan bagaimana proses penyelesaian ekplisit persamaan transenden dengan menyelesaikan beberapa kasus yang sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, dengan

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang

Lebih terperinci

Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi

Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan model binomial dalam pergerakan harga saham Menjelaskan model binomial

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di

BAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di 5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.

Lebih terperinci