[3] Daniel, James W. The Approximate Minimization of Functional. New York: Prentice Hall Inc, 1971.

Transkripsi

1 Daftar Pustaka [1] Bloch, A dan Drakunov S. Stabilization of a Nonholonomic System via Sliding Modes. IEEE Conference on Decision and Control, [2] Brockett, R. W. Differential Geometric Control Theory, Chapter Asymptotic Stability and Feedback Stabilization. Birkhauser, [3] Daniel, James W. The Approximate Minimization of Functional. New York: Prentice Hall Inc, [4] Demuth, Howard dan Mark Beale. Neural Networks Toolbox For Use with MATLAB. The Math Works Inc, [5] Hagan, Martin T. dan Howard B. Demuth. Neural Networks for Control. School of Electrical & Computer Engineering, Oklahoma State University. [6] Hartanto, Thomas Wahyu Dwi dan Y. Wahyu Agung Prasetyo. Analisis dan Desain Sistem Kontrol dengan MATLAB. Yogyakarta: Penerbit Andi, [7] Haykin, Simon. Neural Networks: A Comprehensive Foundation. Englewood Cliffs: Macmillan College Publishing Company, 1994 [8] Hoeffman, J.D. Numerical Methods For Engineers And Scientists. Singapore: McGraw-Hill Inc, [9] Janglov, Danica. Neural Networks in Mobile Robot Motion. International Journal of Advanced Robotic Systems, Vol. 1 No. 1,

2 DAFTAR PUSTAKA 36 [10] Kröse, Ben dan Patrick van der Smagt. An Introduction to Neural Networks, 8th edition. The University of Amsterdam, [11] Lewis, Frank L. Optimal Control. Canada: John Wiley & Sons Inc, [12] Medsker, L. R. dan L. C. Jain. Recurrent Neural Networks: Desain and Applications. New York: CRC Press, [13] Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering. New York: Prentice Hall Inc, [14] Oriolo, G. dkk. WMR Control via Dynamic Feedback Linearization: Design, Implementation, and Experimental Validation. IEEE Journal on Control Systems Technology, [15] Pitowarno, Endra. Robotika Disain, Kontrol dan Kecerdasan Buatan. Yogyakarta: Penerbit Andi, [16] Purcell, Edwin J. Calculus With Analytic Geometry, 3rd edition. New York: Prentice Hall Inc, [17] Samson, C. Control of Chained Systems: Application to Path Following and Time-Varying Point-Stabilization of Mobile Robots. IEEE Journal on Automatic Control, 1995 [18] Sugiharto, Aris. Pemrograman GUI dengan MATLAB. Yogyakarta: Penerbit Andi, [19] Seyr, Martin dan Stefan Jakubek. Mobile Robot Predictive Trajectory Tracking. Institute of Mechanics and Mechatronics, Division of Control and Automation Vienna University of Technology. [20] Seyr, Martin, Stefan Jakubek, dan Gregor Novak. Neural Network Predictive Trajectory Tracking of an Autonomous Two-Wheeled Mobile Robot. Institute of Mechanics and Mechatronics, Division of Control and Automation Vienna University of Technology. Copyright c IFAC, 2005.

3 DAFTAR PUSTAKA 37 [21] Tan, Y. dan A. Van Cauwenberghe. Non-linear One-step-ahead Control Using Neural Networks: Control Strategy and Stability Design. Automatica, 1996.

4 Lampiran A Algoritma Gauss-Newton. Algoritma Gaus-Newton bermanfaat untuk menyelesaikan masalah least-square yang nonlinier. Metode ini merupakan hasil modifikasi dari metode Newton yang tidak memuat turunan kedua. Modifikasi ini dilakukan oleh Carl Freidich Gauss. Masalah yang ingin diselesaikan adalah diberikan m fungsi f 1,..., f m dari n parameters p 1,..., p n dengan m=n, ingin diminimumkan jumlah dari S(p) = m (y i f(t i p)) 2, (6.1) i=1 untuk p berbentuk vektor p 1,..., p n. Algoritma Gaus-Newton memiliki prosedur iterasi sehingga kita harus menyediakan tebakan awal untuk p, yaitu p 0. Rumusan rekursif untuk menghitung p k diberikan oleh persamaan berikut p k+1 = p k (J f (p k ) T J f (p k )) 1 (J f (p k ) T J f (p k )), (6.2) dengan f=f 1,..., f m and J f (p k ) merupakan matriks Jacobi dari f pada saat p (catatan bahwa J f tidak harus berbentuk persegi). Invers matriks di atas sulit untuk dihitung, sehingga digunakanlah p k+1 = p k + δ k, (6.3) dengan δ k dihitung dari penyelesaian sistem persamaan linier berikut (J f (p k ) T J f (p k ))δ k = (J f (p k ) T J f (p k )). (6.4) 38

5 Lampiran B Algoritma Levenberg-Marquardt. Hasil dari algoritma Levenberg-Marquardt adalah solusi numerik dari masalah minimisasi fungsi, pada umumnya fungsi nonlinier. Masalah yang ingin diselesaikan adalah diberikan pasangan data (t i,y i ), lalu optimisasikan parameter p pada f(t p) sedemikian sehingga kuadrat jumlah dari m S(p) = (y i f(t i p)) 2, (6.5) i=1 seminimal mungkin. Seperti algoritma Gauss-Newton, algoritma Levenberg-Marquardt juga memiliki prosedur iterasi sehingga kita harus menyediakan tebakan awal untuk parameternya. Pada umumnya tebakan awal yang dipilih berbentuk p = (1, 1,..., 1) T. Pada beberapa kasus, algoritma ini akan konvergen bila tebakan awal sudah sangat dekat dengan solusi yang diinginkan. Untuk setiap iterasi, parameter p diestimasi dengan p + q, dengan q dihitung dari fungsi f i (p + q). Fungsi ini diaproksimasi dari bentuk linierisasinya f i (p + q) f(p) + J q, (6.6) dengan J q matriks Jacobi dari f pada saat p. Persamaan (5.5) mencapai minimum bila gradien dari S terhadap q adalah 0. Diferensialkan bagian kanan persamaan (5.5) lalu samakan dengan 0, maka akan diperoleh (J T J)q = J T (y f(p)), (6.7) dari persamaan (5.7) q dapat diperoleh dengan menginverskan (J T J). Pada umumnya algoritma ini melibatkan damped version sehingga q berubah menjadi (J T J + λi)q = J T (y f(p)), (6.8) 39

6 LAMPIRAN B 40 dengan I matriks idenditas. Dari persamaan (5.8) diperoleh q = (J T J + λi) 1 J T (y f(p)), (6.9) yang merupakan perubahan (increment) q untuk mengestimasi p.