ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN METODE DEKOMPOSISI

Transkripsi

1 ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN METODE DEKOMPOSISI (Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro) Nizar Muhammad Al Kharis PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2014 M / 1435 H

2 ANALISIS PERAMALAN PENDAFTARAN SISWA BARU MENGGUNAKAN METODE SEASONAL ARIMA DAN METODE DEKOMPOSISI (Studi kasus: Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro) Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Oleh: Nizar Muhammad Al Kharis PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2014 M / 1435 H i

3 ii

4 PERNYATAAN DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN. Jakarta, September 2014 Nizar Muhammad Al Kharis iii

5 PERSEMBAHAN Sebuah hadiah kepada Ibunda tercinta sebagai permintaan maaf Ananda yang tak sanggup berbakti dengan sebaikbaiknya bakti Untuk Adik-adikku tersayang, semoga kalian semangat selalu dalam menggapai cita-cita kalian Kepada Ayahanda, saksikanlah Aku mengarungi kehidupan.. iv

6 ABSTRAK Nizar Muhammad Al Kharis, Analisis Peramalan Jumlah Pendaftaran Siswa Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan Metode Dekomposisisi (Studi Kasus Lembaga Bimbingan Belajar Sony Sugema College Cabang Bintaro). Di bawah bimbingan Bambang Ruswandi, M.Stat dan Suma inna, M.Si Data mengenai jumlah pendaftaran siswa baru di lembaga bimbingan belajar SSC cabang Bintaro dapat digunakan untuk memutuskan perencananaan sumber daya dengan melakukan peramalan. Karena data bersifat musiman, Metode Box- Jenkins Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi merupakan metode yang cocok untuk melakukan analisis runtun waktu. Metode Seasonal ARIMA yang mencari pengaruh data di masa lalu terhadap data masa kini menghasilkan model ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 dengan nilai MAPE sebesar % sedangkan metode Dekomposisi yang memecah data menjadi beberapa faktor menghasilkan model dekomposisi aditif dengan nilai MAPE yang lebih baik yakni %. Kata Kunci: Metode Box-Jenkins, ARIMA Musiman, Peramalan Dekomposisi, Indeks Musiman. v

7 ABSTRACT Nizar Muhammad Al Kharis, New Students Enrollment Forecasting Use Seasonal ARIMA Method and Decompotition Method (Case of Study: Sony Sugema College at Bintaro). Advisored by Bambang Ruswandi, M.Stat and Suma inna, M.Si New students enrollment at Sony Sugema College can be used to make decision about their resource by forecasting. Since the data is seasonal, using Box-Jenkins Methods Seasonal ARIMA and Decompotition forecasting method is adequate. Seasonal ARIMA method which is trying to find the correlation between past enrollment and the new enrollment generate ARIMA 0,0,0 1,0,0 12 with MAPE % while Decompotition method which trying to part the data generate aditif model with MAPE % is more satisfied. Key Words: Box-Jenkins Methods, Seasonal ARIMA, Decompotition Forecasting, Seasonal Indices. vi

8 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar sarjana sains dalam bidang Matematika di UIN Syarif Hidayatullah Jakarta. Shalawat beserta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, berikut keluarga, sahabat, serta pengikutnya yang setia hingga akhir zaman. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan maupun lembaga. Untuk itu dengan segala kerendahan hati ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Dr. Agus Salim, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 2. Ibu Yanne Irene, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta. 3. Bapak Bambang Ruswandi, M.Stat selaku dosen pembimbing I penulis yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini. 4. Ibu Suma inna, M.Si selaku dosen pembimbing II penulis yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini. 5. Seluruh Dosen UIN Syarif Hidayatullah Jakarta khususnya Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi khususnya yang tanpa lelah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan. 6. Lembaga Bimbingan Belajar SSC Mutiara Ilmu yang telah menjadi lading bagi penulis untuk belajar dan membagi ilmu. 7. Ibunda tercinta yang selalu memberikan dukungan moril serta do a kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. vii

9 8. Untuk adik-adikku tercinta yang selalu memberikan semangat dan menghibur penulis. 9. Teman-teman Matematika 2008, yang selama ini membantu penulis menghadapi perkuliahan baik di saat suka maupun duka. 10. Agan Shiro Ngampus yang selalu memotivasi para mahasiswa akhir melalui dunia maya dengan karikatur-karikaturnya. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang. Dan akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi dunia pendidikan khususnya bagi mahasiswa Program Studi Matematika. Amin. Jakarta, September 2014 Penulis viii

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL. i LEMBAR PENGESAHAN UJIAN ii LEMBAR PERNYATAAN iii PERSEMBAHAN... iv ABSTRAK v ABSTRACT..... vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI... ix DAFTAR TABEL......xii DAFTAR GAMBAR.....xiv DAFTAR LAMPIRAN.....xv BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perumusan Masalah Pembatasan Masalah Tujuan Penelitian ManfaatPenelitian BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik... 6 ix

11 2.2 Pola Data Deret Berkala Stasioneritas Fungsi Autokorelasi (ACF) Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) Metode Box-Jenkins Proses Autoregressif (AR) Proses Moving Average (MA) Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average Operator Backshift Model Autoregressif Integrated Moving Average Konstanta pada Model ARIMA Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA) Asumsi White Noise Residu Bersifat Acak Residu Bersifat Normal Metode Dekomposisi Evaluasi Model BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber Data Metode Seasonal ARIMA Metode Dekomposisi Alur Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA Pemeriksaan Kestasioneran Data Identifikasi Model Penaksiran Parameter dan Diagnosis Model Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi...61 x

12 4.2.1 Menghitung Indeks Musiman Pencocokan Trend Evaluasi Model Perbandingan Hasil Metode SARIMA dan Metode Dekomposisi Peramalan BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Saran.72 REFERENSI LAMPIRAN xi

13 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Transformasi Pangkat Tabel 4.1 Deskripsi data Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa. 42 Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi.. 44 Tabel 4.4 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,0 1,0, Tabel 4.5 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,0 1,0, Tabel 4.6 Penaksiran Parameter ARIMA 0,0,2 1,0, Tabel 4.7 Penaksiran Parameter ARIMA 2,0,2 1,0, Tabel 4.8 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,0 1,0, Tabel 4.9 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,0 1,0, Tabel 4.10 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 0,0,2 1,0, Tabel 4.11 Nilai Q Box-Pierce ARIMA 2,0,2 1,0, Tabel 4.12 Nilai MSE Model ARIMA Tabel 4.13 Rangkuman Diagnosis Model ARIMA Tabel 4.14 Tabel Data Hasil Transformasi.. 62 Tabel 4.15 Tabel Hasil Perhitungan Rata Rata Bergerak Tabel 4.16 Hasil Pengurangan Data Dengan Rata Rata Bergerak...63 xii

14 Tabel 4.17 Hasil Pembagian Data Dengan Rata Rata Bergerak..64 Tabel 4.18 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Aditif Tabel 4.19 Hasil Perhitungan Indeks Musiman Model Multiplikatif.. 65 Tabel 4.20 Perhitungan MAPE Model ARIMA 0,0,0 1,0, Tabel 4.21 Perhitungan MAPE Model Dekomposisi Aditif Tabel 4.22 Peramalan Pendaftaran Siswa Baru Tahun Ajaran Tabel5.1 Indeks Musiman Model Aditif xiii

15 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Pola Data Horizontal. 8 Gambar 2.2 Pola Data Trend 9 Gambar 2.3 Pola Data Musiman Gambar 2.4 Pola Data Siklus.. 10 Gambar 3.3 Alur Penelitian Gambar 4.1 Plot Data Siswa Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa.. 42 Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi. 44 Gambar 4.5 Plot ACF data input model. 45 Gambar 4.6 Plot PACF data input model Gambar 4.7 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,0 1,0, Gambar 4.8 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,0 1,0, Gambar 4.9 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,0 1,0, Gambar 4.10 Plot ProbabilitasResidu ARIMA 2,0,0 1,0, Gambar 4.11 Plot ACF Residu ARIMA 0,0,2 1,0, Gambar 4.12 Plot Probabilitas Residu ARIMA 0,0,2 1,0, Gambar 4.13 Plot ACF Residu ARIMA 2,0,2 1,0, Gambar 4.14 Plot Probabilitas Residu ARIMA 2,0,2 1,0, xiv

16 DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN 1 Data Jumlah Pendaftaran Siswa Baru LBB SSC Bintaro (Periode Mei 2007 April 2014) LAMPIRAN 2 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Aditif LAMPIRAN 3 Deseasonalized Data Input dengan Indeks Musiman Multiplikatif LAMPIRAN 4 Perhitungan Nilai Parameter Trend. 78 xv

17 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Seiring pesatnya kemajuan ilmu pengetahuan, kesadaran mengenai peristiwa mendatang semakin bertambah dan akibatnya kebutuhan akan berbagai peramalan semakin meningkat. Misalnya berbagai peramalan di bidang ekonomi, perdagangan, industri, lingkungan, dan sosial telah menghadirkan berbagai macam hasil yang dapat digunakan oleh beragam pihak untuk mengambil keputusan. Contoh yang paling lazim tentunya adalah kecermatan dalam peramalan cuaca yang dapat kita gunakan untuk mengambil beberapa keputusan seperti mempersiapkan kebutuhan di musim hujan yang diramalkan akan datang. Sering kali dijumpai berbagai masalah yang bersifat musiman di sekitar kehidupan. Permasalahan tersebut bagi sebagian orang lantas hanya menjadi angin lalu yang tidak diperhatikan. Padahal jika dicermati dan diteliti, pola musiman yang memiliki pola berulang-ulang tersebut dapat memberikan gambaran akan kondisi masa depan sehingga dapat dibuat suatu perencanaan dan pengambilan keputusan yang baik berdasarkan peramalan yang dilakukan. Dalam kegiatan organisasi, peramalan merupakan bagian integral dari pengambilan keputusan yang dilakukan oleh pihak manajemen. Organisasi akan 1

18 menentukan sasaran dan tujuan, kemudian berusaha menduga berdasarkan faktorfaktor lingkungan yang ada, lalu memilih tindakan yang diharapkan dapat menghasilkan pencapaian sasaran dan tujuan tersebut. Hal ini menjadikan kebutuhan akan peramalan meningkat seiring dengan keinginan manajemen untuk mengurangi ketergantungan terhadap hal-hal yang belum pasti pada beberapa bagian penting. Beberapa bagian tersebut di antaranya adalah penjadwalan sumber daya yang tersedia, penyediaan sumber daya tambahan, dan penentuan sumber daya yang diinginkan. Mungkin terdapat banyak bagian lain yang memerlukan peramalan, namun ketiga bagian di atas merupakan bentuk khas dari keperluan peramalan dalam suatu organisasi pada umumnya. Bentuk-bentuk keperluan peramalan yang khas tersebut tentunya juga terdapat pada lingkup organisasi lembaga bimbingan belajar. Peramalan jumlah pendaftaran siswa pada suatu lembaga bimbingan belajar tentunya akan dapat membantu menentukan penjadwalan kelas dan jam belajar (penjadwalan sumber daya), menentukan kapan diperlukannya pengajar tambahan dan buku materi tambahan bagi siswa baru (penyediaan sumber daya tambahan), serta penentuan peralatan yang dibutuhkan di masa mendatang (penentuan sumber daya yang diinginkan). Oleh karena itu, meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru akan sangat penting. Ini dilakukan agar kegiatan belajar mengajar tetap terjaga stabil dan kebutuhan siswa dapat terpenuhi. Untuk meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode yang akan datang, dapat digunakan analisis deret berkala (time series). Metode peramalan ini 2

19 didasarkan atas konsep bahwa hasil observasi saat ini dipengaruhi oleh hasil observasi masa lalu dan hasil observasi yang akan datang dipengaruhi hasil observasi saat ini. Namun karena jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar bersifat musiman, maka metode yang cocok untuk digunakan adalah metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi. Metode Seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus untuk data musiman dari model ARIMA. Metode Seasonal ARIMA memiliki beberapa asumsi yang harus terpenuhi sehingga memiliki kekuatan dari pendekatan teori statistik. Metode ini sendiri dapat diaplikasikan pada berbagai bidang diantaranya penelitian mengenai peramalan debit air sungai [1], peramalan jumlah penderita demam berdarah [2], dan peramalan produksi air bersih [3]. Berbeda dengan metode Dekomposisi yang lebih sederhana, yakni dengan melakukan proses pemisahan faktor musiman lalu menghitungnya secara terpisah untuk kemudian digunakan kembali dalam peramalan. Metode ini sering diterapkan pada bidang marketing karena kemudahan prosesnya, beberapa diantaranyanya yakni pada peramalan daya beban listrik [4], analisis data runtun waktu Indeks Harga Konsumen [5], dan analisis peramalan ekspor Indonesia [6]. Meskipun kebutuhan peramalan mengenai jumlah pendaftaran siswa baru pada suatu lembaga bimbingan belajar termasuk dalam bidang marketing yang lebih sering menggunakan metode Dekomposisi, namun penerapan metode Seasonal ARIMA dirasa perlu dipertimbangkan mengingat keunggulannya secara statistik dibandingkan metode Dekomposisi. Berdasarkan uraian di atas maka 3

20 penulis membuat skripsi dengan judul Analisis Peramalan Jumlah Pendaftaran Siswa Baru Menggunakan Metode Seasonal ARIMA dan Metode Dekomposisisi (Studi Kasus Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro). 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimanakah memodelkan data deret waktu jumlah pendaftaran siswa baru dengan analisis metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi? 2. Bagaimana perbandingan keakuratan hasil peramalan dari metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi? 3. Berapakah nilai peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode selanjutnya? 1.3 Batasan Masalah Data yang digunakan pada penelitian ini terbatas pada: 1. Jumlah pendaftaran siswa baru di Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bintaro. 2. Jumlah pendaftaran siswa baru tiap bulan mulai tahun ajaran 2007/2008 hingga tahun ajaran 2013/

21 1.4 Tujuan Penelitian Selaras dengan latar belakang masalah dan perumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Melakukan pemodelan data jumlah pendaftaran siswa baru dengan analisis deret waktu menggunakan metode Seasonal ARIMA dan metode Dekomposisi. 2. Menentukan model yang lebih baik untuk digunakan dalam meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya. 3. Meramalkan jumlah pendaftaran siswa baru pada periode berikutnya menggunkan metode terpilih. 1.5 Manfaat Penelitian Penulis berharap penelitian ini memberi manfaat sebagai berikut: 1. Menambah pengetahuan dan meningkatkan kemampuan penulis maupun pembaca dalam melakukan analisis data deret waktu musiman. 2. Sebagai bahan pertimbangan di Lembaga Bimbingan Belajar SSC dalam menentukan langkah-langkah manajemen selanjutnya. 5

22 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Deret Berkala dan Proses Stokastik Deret berkala merupakan kumpulan data yang didapatkan melalui observasi per satuan waktu yang terbagi merata, misalkan per jam, per hari atau per bulan [7]. Misalkan data hasil obsevasi ini disebut sebagai Z t, karena tujuan dari analisis deret berkala adalah untuk memodelkan ketidakpastian pada hasil observasi maka diasumsikan bahwa Z t adalah variabel acak. Sehingga sifat-sifat dari Z t akan mengikuti distribusi peluang. Selain itu, asumsi paling penting pada model deret berkala ialah bahwa hasil masing-masing observasi untuk setiap titik waktu yang berbeda adalah bergantung satu sama lain. Lebih tepatnya, kebergantungan inilah yang akan diperiksa dalam analisis runtun waktu. Kumpulan dari variabel acak inilah yang disebut sebagai proses stokastik. Beberapa konsep dasar yang perlu diketahui dalam proses stokastik diantaranya, yakni rata-rata dan kovarians. dimana untuk suatu proses stokastik Z t = 0, ±1,±2, fungsi rata - rata didefinisikan oleh: μ t = E Z t untuk t = 0, ±1, ±2, 2.1 Yakni nilai ekspektasi proses stokastik pada selang waktu t, artinya μ bisa berbeda untuk setiap selang waktu. 6

23 Sedangkan fungsi Autokovarians didefinisikan sebagai berikut: γ t,s = Cov Z t,z s = E Z t μ t Z s μ s = E Z t Z s μ t μ s 2.2 untuk t, s = 0,±1, ±2, Dan selanjutnya, fungsi Autokorelasi yang diberikan oleh: ρ t,s = Corr Z t,z s = Cov Z t, Z s Var Z t Var Z s 1 2 = γ t,s γ t,t γ s,s untuk t, s = 0,±1, ±2, Berdasarkan definisi-definisi di atas maka dihasilkan beberapa sifat umum sebagai berikut: 1.γ t,t = Var Z t, ρ t,t = 1 2. γ t,s = γ s,t, ρ t,s = ρ s,t γ t,s = γ t,t γ s,s, ρ t,s 1 Nilai ρ t,s yang mendekati ±1 menunjukkan ketergantungan yang kuat, sedangkan jika nilainya mendekati 0 menunjukkan ketergantungan yang lemah atau tidak terdapat ketergantungan linier. Jika ρ t,s = 0, maka dapat dikatakan bahwa Z t dan Z s tidak memiliki korelasi. 7

24 2.2 Pola Data Deret Berkala Salah satu langkah penting dalam memilih metode peramalan adalah mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan data tersebut dapat bermanfaat. Berikut ini adalah pola-pola deret berkala yang telah dikenal [8]: 1. Pola Data Horizontal Pola horizontal terjadi ketika nilai-nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan. Penjualan produk yang tidak naik ataupun turun secara signifikan dalam suatu rentang waktu tertentu. Pola data ini dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar 2.1 Pola Data Horizontal 8

25 2. Pola Data Trend Pola data trend didefinisikan sebagai kenaikan atau penurunan pada suatu deret waktu dalam selang periode waktu tertentu. Pola data ini dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar 2.2 Pola Data Trend 3. Pola Data Musiman Pola data musiman terjadi ketika data dipengaruhi faktor musiman yang signifikan sehingga data naik dan turun dengan pola yang berulang dari satu periode ke periode berikutnya. Data penjualan buahbuahan dan konsumsi listrik rumah tangga menunjukkan pola data tipe ini. Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar 2.3 Pola Data Musiman 9

26 4. Pola Data Siklus Pola data siklus didefinisikan sebagai fluktuasi data berbentuk gelombang sepanjang periode yang tidak menentu. Pola data musiman dapat digambarkan sebagai berikut: 2.3 Stasioneritas Gambar 2.4 Pola Data Siklus Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi disekitar ratarata tersebut konstan selama waktu tertentu [9]. Pada model stasioner, sifat-sifat statistik di masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi di masa lalu. Berdasarkan definisi, suatu proses stokastik Z t dikatakan stasioner jika distribusi bersama dari Z t 1,Z t 2,, Z t n sama dengan distribusi bersama dari Z t 1 k, Z t 2 k,, Z t n k untuk setiap waktu t dan s dan untuk setiap selang waktu k. Hal ini menyebabkan jika n = 1, maka E Z t = E Z t k, untuk semua t dan k, sehingga fungsi rata-rata μ t konstan sepanjang waktu. Selain itu, Var Z t = Var Z t k juga konstan sepanjang waktu. Jika n = 2, maka 10

27 Cov Z t,z s = Cov Z t k, Z s k. Apabila dipilih t = s, kemudian k = t, maka didapatkan, γ t,s = Cov Z t,z s = Cov Z t s, Z 0 = Cov Z 0,Z s t = Cov Z 0, Z t s = γ 0, t s Hal ini berarti kovarians antara Z t dan Z s bergantung hanya pada selisih waktu bukan pada waktu ke t dan s. Oleh karena itu, pada sebuah proses stokastik yang stasioner, notasi di atas dapat disederhanakan menjadi γ k = Cov Z t,z t k dan ρ k = Corr Z t,z t k Dan berdasarkan persamaan [2.3] maka ρ k = γ k γ 0, menjadi Sehingga sifat umum mengenai kovarians pada persamaan [2.4] akan γ 0 = Var Z t, ρ 0 = 1 γ k = γ k, ρ k = ρ k 2.5 γ k γ 0, ρ k 1 11

28 Jadi jika sebuah proses stokastik benar-benar stasioner dan memiliki varians berhingga, maka fungsi kovariansnya hanya akan bergantung pada selang waktu. Pengujian stasioneritas dari suatu data deret waktu dapat dilakukan dengan melakukan Uji Augmented Dicky Fuller [10]. Uji ini merupakan salah satu uji yang paling sering digunakan dalam pengujian stasioneritas dari data, yakni dengan melihat apakah terdapat akar satuan di dalam model. Hipotesis: H 0 : δ = 0 (data deret waktu tidak stasioner) H 1 : δ < 0 (data deret waktu stasioner) Statistik Uji: τ = δ se δ Kriteria Pengujian: Tolak H 0 jika τ δ τ n, Dickey Fuller dengan: δ = parameter yang ditaksir n = jumlah data a = taraf signifikansi (0.05) τ = konstanta 12

29 Sering kali data pada suatu penelitian tidak menunjukkan kestasioneran Ketidakstasioneran ini bisa disebabkan karena data belum stasioner secara rata rata, varians atau keduanya. Pada data yang belum stasioner secara varians maka dapat dilakukan proses transformasi Box-Cox dengan rumus y = x λ 1 λ dimana λ 0. Selain itu juga dapat menggunakan transformasi pangkat [11] dengan kriteria sebagai berikut: Tabel 2.1 Transformasi Pangkat Nilai λ -1,0-0,5 Transformasi 1 Z t 1 Z t 0,0 lnz t 0,5 Z t 1,0 Tanpa Transformasi Dimana λ adalah parameter transformasi yang dapat ditaksir dari data runtun waktu dan t= 1, 2,, n. Pada data yang belum stasioner secara rata-rata maka dapat dilakukan proses differencing, yakni dengan mengurangi data dengan data itu sendiri namun dengan lag yang berbeda sesuai dengan kebutuhan. Dan jika 13

30 data belum stasioner secara rata-rata maupun varians maka dilakukan transformasi data dan dilanjutkan dengan proses differencing. 2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF) Fungsi autokorelasi berarti hubungan (korelasi) terhadap diri sendiri, yaitu korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun dengan time lag yang berbeda misal Z t dengan Z t+k. Menurut [12] autokorelasi pada lag ke-k untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisien autokorelasi sampel. r k = n k t=1 Z t Z Z t+k Z Z t Z 2 n t=1, k = 0,1,2, 2.6 Dimana r k = koefisien korelasi untuk lag periode ke-k Z t = nilai observasi pada periode ke-t Z t+k = nilai observasi pada periode ke- t + k Z = rata-rata nilai observasi Menurut [13], karena r k merupakan fungsi terhadap lag ke-k maka hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi autokorelasi. 14

31 Untuk memeriksa apakah suatu r k berbeda secara nyata dari nol, dapat digunakan rumus kesalahan standar dari r k yakni se rk = 1/ n. Sehingga seluruh nilai korelasi dari barisan data yang random (tidak berautokorelasi signifikan) akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z- score pada taraf signifikansi 95 % yakni 1,96 kali kesalahan standard. 2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) Fungsi autokorelasi parsial menyatakan hubungan antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri. Autokorelasi parsial pada lag ke-k dinyatakan sebagai korelasi antara Z t dan Z t k setelah dihilangkannya efek dari variabel-variabel Z t 1, Z t 2,,Z t k+1. Levinson (1940) dan Durbin (1960) memberikan metode yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai berikut. kk = ρ k k 1 j =1 k 1,j ρ k j k 1 1 k 1,j ρ j j =1 2.7 Dimana kk = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke-k. kj = k 1,j kk k 1,j 1, j = 1,2, k 1 15

32 2.6 Metode Box Jenkins Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA (Autoregressive Intergrated Moving Average) merupakan integrasi dari beberapa model runtun waktu yang terlebih dahulu ada. Model Autoregressif pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model Moving Average pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Kemudian dasardasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini (ARMA) dihasilkan oleh Wold (1938). Keseluruhan metode ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan metode ARIMA itu sendiri Proses Autoregressif (AR) Proses autoregressif memiliki arti regresi pada diri sendiri. Lebih spesifik, proses autoregresif Z t orde p menyatakan persamaan[7]: Z t = 1 Z t Z t p Z t p + a t 2.8 Dimana diasumsikan bahwa Z t stasioner dan E Z t = 0 Jadi, nilai barisan Z t adalah kombinasi linier dari sejumlah p nilai Z t terakhir di masa lampau ditambah sebuah a t yang menyatakan sesuatu yang tidak dapat dijelaskan oleh nilai-nilai Z t di masa lampau tersebut. Selain itu a t merupakan variabel acak yang independent dengan rata-rata nol. 16

33 Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses AR(p) secara umum dapat diperoleh sebagai berikut[7]: ρ k = 1 ρ k ρ k p ρ k p, untuk k dan varians dari proses AR (p) adalah[7]: σ a 2 γ 0 = 1 1 ρ 1 2 ρ 2 p ρ p Dengan mengganti k = 1,2,, p dan ρ 0 = 1 serta ρ k = ρ k pada persamaan di atas maka diperoleh Persamaan Yule-Walker sebagai berikut: ρ 1 = ρ p ρ p 1 ρ 2 = 1 ρ p ρ p ρ p = 1 ρ p 1 + p p Jika diberikan nilai 1, 2,, p, sistem persamaan linier ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan ρ 1, ρ 2,, ρ 1 dan untuk ρ k pada orde yang lebih tinggi. Untuk keperluan identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik fungsi autokorelasi yang turun secara eksponensial dan fungsi autokorelasi parsial terputus pada lag ke-p, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam proses AR(p). 17

34 2.6.2 Proses Moving Average (MA) oleh Bentuk umum untuk proses MA dengan orde q, ditulis MA (q) diberikan Z t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 θ q a t q 2.11 masa lampau. Yakni, nilai barisan Z t adalah kombinasi linier dari sejumlah a t terakhir di Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses MA(q) secara umum dapat diperoleh sebagai berikut [7]: ρ k = θ k + θ 1 θ k +1 + θ 2 θ k θ q k θ q 1 + θ θ θ q 2,k = 1,2,, q 2.12 = 0 untuk k q + 1 Sebagai pelengkap, varians dari proses MA(q) adalah[7]: γ 0 = 1 + θ θ θ q 2 σ 2 Sekali lagi untuk keperluan identifikasi, jika suatu deret waktu memiliki grafik fungsi autokorelasi yang terputus pada lag ke-q dan fungsi autokorelasi parsial turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam proses MA(q). 18

35 2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average (ARMA) Jika diasumsikan bahwa suatu deret berkala memiliki model yang sebagian merupakan proses Autoregressif dan sebagian yang lain merupakan proses Moving Average maka deret tersebut akan memiliki model yang secara umum berbentuk[7]: Z t = 1 Z t Z t p Z t p + a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 θ q a t q Yakni Z t merupakan proses campuran Autoregressif Moving Average dengan orde p dan q atau biasa disingkat dengan nama ARMA p, q Operator Backshift Operator backshift yang dinyatakan dengan B merupakan sebuah operator dengan penggunaan sebagai berikut[12]: BX t = X t 1 Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada X t mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang. Operator backshift sering digunakan untuk menggambarkan proses pembedaan (differencing) untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut ini gambaran pembedaan menggunakan operator backshift. Misalkan X t merupakan pembedaan pertama dari X t 19

36 X t = X t X t 1 X t = X t BX t = 1 B X t Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan 1 B. Untuk pembedaan orde kedua perhatikan penggambaran berikut: X" t = X t X t 1 = X t X t 1 X t 1 X t 2 = X t 2X t 1 X t 2 = 1 2B + B 2 X t = 1 B 2 X t Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinyatakan dengan 1 B 2, hal ini penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Suatu deret berkala Z t dikatakan mengikuti model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) jika pembedaan orde ke-d dari Z t merupakan proses ARMA yang stasioner yakni W t = 1 B d Z t. Karena W t adalah proses ARMA p,q, maka Z t dapat disebut sebagai proses ARIMA p, d, q. Dalam bentuk operator backshift model ARIMA dapat ditulis sebagai berikut, 20

37 B 1 B d Z t = θ B a t dimana B = 1 1 B 2 B 2 p B p adalah operator backshift proses AR θ B = 1 θ 1 B θ 2 B 2 θ p B p adalah operator backshift proses MA 1 B d = operator differencing ordo ke-d Konstanta pada Model ARIMA Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dimulai dari model AR hingga model ARIMA, adalah bahwa model - model tersebut stasioner dan memiliki rata rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model model tersebut memiliki nilai rata rata konstan bukan nol. Model stasioner ARMA W t yang memiliki rata rata konstan μ bukan nol dapat dibentuk sebagai berikut[7]: W t μ = 1 W t 1 μ + 2 W t 2 μ + + p W t p μ + a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 θ q a t q Atau W t = 1 W t W t p W t p + δ + a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 θ q a t q Dimana δ = μ 1 μ + 2 μ + + p μ 21

38 2.7 Model Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA) Model seasonal ARIMA merupakan bentuk khusus dari model ARIMA jika terdapat unsur musiman yang jelas pada hasil observasi Z t. Hal ini berarti data memiliki pola berulang ulang dalam selang waktu yang tetap. Selain melalui grafik data, unsur musiman juga dapat dilihat melalui grafik ACF dan PACF. Untuk menanggulangi ketidakstasioneran data akibat unsur musiman maka dapat dilakukan proses differencing sebesar periode musimannya. Differencing musiman dari Z t ditulis dengan x t sehingga x t = 1 B s Z t Dengan s adalah panjang periode per musim. Model Seasonal mengalihkan perhatiannya kepada data sebelumnya dengan jarak (lag) sepanjang musiman yang terjadi. Berdasarkan ide tersebut, maka model MA Q yang bersifat seasonal dengan musiman sepanjang s dinyatakan oleh[7]: Z t = a t θ 1 a t s θ 2 a t 2s θ Q a t Qs Atau dalam bentuk operator backshift, Z t = 1 θ 1 B s θ 2 B 2s θ Q B Qs a t Z t = θ s B a t 22

39 Sedangkan untuk model seasonal AR P dengan musiman sepanjang s dapat dinyatakan oleh[7]: Z t = 1 Z t s + 2 Z t 2s + + P Z t P + a t Atau dalam bentuk operator backshift, Z t 1 Z t s 2 Z t 2s P Z t P = a t 1 1 B s 2 B 2s Q B Qs Z t = a t s B Z t = a t Sehingga jika suatu hasil observasi Z t mengikuti proses yang dibentuk oleh gabungan antara model ARIMA p, d, q dan model SARIMA P, D, Q, maka modelnya dapat dimanipulasi menggunakan operator backshift sebagai berikut: B s B d s D Z t = θ B θ s B a t dimana d = operator differencing non musiman ordo ke-d s D = operator differencing musiman ordo ke-d 23

40 2.8 Asumsi White Noise Suatu model yang baik akan memiliki sifat white noise, yaitu memenuhi asumsi residual yang bersifat acak dan berdistribusi normal Residu Bersifat Acak Keacakan sekumpulan barisan residu dapat diperiksa dengan memperhatikan fungsi autokorelasi dari barisan residu tersebut. Barisan residu dikatakan acak apabila tidak terdapat autokorelasi yang signifikan untuk setiap lag yang ditentukan. Untuk lebih formal, keacakan residu dari suatu model dapat diuji menggunakan uji statistik Q Box-Pierce dengan hipotesis sebagai berikut: H 0 : r 1 = r 2 = = r k = 0 (residu bersifat acak) H 1 : r i r j = 0 (residu tidak bersifat acak) Dengan α = 0.05 dan statistik uji: Q = n n + 2 m 2 r k k=1 n k Serta kriteria uji: Terima H 0 jika nilai Q > X α,db atau p-value > α. Artinya secara keseluruhan, autokorelasi dari barisan residu yang diuji tidak berbeda dari nol, atau dengan kata lain residu bersifat acak. 24

41 2.8.2 Residu Bersifat Normal Untuk memeriksa apakah residu bersifat normal atau tidak, dapat dilakukan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut; H 0 : residu berdistribusi normal H 1 : residu tidak berdistribusi normal Dengan α = 0.05 dan statistik uji: D = maksimum F 0 X S N X Serta kriteria uji: Tolak H 0 jika jika D hit < D tabel atau p-value > α. Artinya residu bersifat normal. 2.9 Metode Dekomposisi Suatu pendekatan pada analisis data deret berkala meliputi usaha untuk mengidentifikasi komponen-komponen yang mempengaruhi tiap-tiap nilai pada sebuah data deret berkala. Prosedur pengidentifikasian ini disebut dekomposisi. Tiap-tiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi tiap-tiap komponen ini kemudian digabung untuk menghasilkan ramalan nilai-nilai masa mendatang dari data deret berkala tersebut. 25

42 Metode dekomposisi biasanya mencoba memisahkan tiga komponen dari pola dasar yang cenderung mencirikan pola deret data ekonomi dan bisnis. Komponen-komponen tersebut adalah trend, siklus dan musiman. Faktor trend menggambarkan perilaku data dalam jangka panjang dan dapat meningkat, menurun atau tidak berubah sama sekali. Faktor siklus menggambarkan naik turunnya ekonomi atau industri tertentu. Faktor musiman berkaitan dengan fluktuasi periodik dengan panjang konstan. Perbedaan antara musiman dan siklus adalah bahwa musiman berulang dengan sendirinya pada interval yang tetap, sedangkan faktor siklus mempunyai jangka waktu yang lebih lama dan panjangnya berbeda dari siklus yang satu ke siklus yang lain. Metode dekomposisi berasumsi bahwa data tersusun sebagai berikut[12]: data = pola + kesalahan = f trend, siklus, musiman + kesalahan. Jadi selain komponen pola, terdapat pula unsur kesalahan yang acak. berikut[12]: Keempat komponen dalam analisis deret berkala adalah sebagai 1. Komponen trend, adalah komponen jangka panjang yang mendasari pertumbuhan atau penurunan dalam suatu data deret berkala. 2. Komponen musiman, menggambarkan pola perubahan yang berulang secara terartur dari waktu ke waktu 26

43 3. Komponen siklis, fluktuasi gelombang yang mempengaruhi keadaan selama lebih dari semusim. 4. Komponen kesalahan, komponen tak beraturan yang tebentuk dari fluktuasi-fluktuasi yang disebabkan oleh peristiwa tak terduga. Metode dekomposisi termasuk pendekatan peramalan tertua. Metode ini digunakan oleh para ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus bisnis. Terdapat beberapa pendekatan alternatif untuk mendekomposisi suatu deret berkala, yang semuanya bertujuan memisahkan dat deret berkala seteliti mungkin. Konsep dasar dalam pemisahan tersebut bersifat empiris dan tetap yang mula-mula adalah memisahkan musiman, lalu trend, dan akhirnya siklus.residu yang ada dianggap yang walaupun tidak dapat diprediksi, namun dapat diidentifikasi. adalah: Menurut [14] Penulisan matematis secara umum dari model dekomposisi di mana X t = f I t, T t, C t,e t X t adalah data aktual pada periode ke-t I t adalah indeks musiman pada periode ke-t C t adalah unsur siklus pada periode ke-t E t adalah unsur kesalahan pada periodeke-t. 27

44 Bentuk fungsional yang pasti dari persamaan di atas bergantung pada metode dekomposisi yang digunakan diantaranya yakni metode dekomposisi ratarata sederhana yang berasumsi pada model aditif: X t = I t + T t + C t + E t Metode dekomposisi rasio-trend yang berasumsi pada model multiplikatif: X t = f I t T t C t E t Metode dekomposisi rata-rata sederhana dan rasio pada trend pada masa lampau telah digunakan terutama karena perhitungannya yang mudah tetapi metodemetode tersebut kehilangan daya tarik dengan dikenalnya komputer secara meluas, dimana mengakibatkan aplikasi pendekatan dengan variasi metode ratarata bergerak lebih disukai Evaluasi Model Model yang baik tentunya memiliki tingkat keakuratan yang baik. Untuk mengukur tingkat keakuratan ini, ada beberapa alat ukur yang dapat digunakan untuk mengevaluasi hasil peramalan model terhadap data observasi. Beberapa alat ukur tersebut yakni, 1. Mean Square Error (MSE) n MSE = 1 A n t F 2 t t =1 28

45 2. Mean Absolute Error (MAE) n MAE = 1 n t =1 A t F t 3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE = 100 n n t =1 A t F t A t dimana: A t = nilai observasi pada periode ke-t F t = peramalan untuk periode ke-t n = banyaknya data observasi 29

46 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder berupa jumlah pendaftaran siswa baru mulai tahun ajaran hingga tahun ajaran Data tersebut berjumlah sebanyak 84 data runtun waktu yang diperoleh dari lembaga bimbingan belajar Sony Sugema College cabang Bintaro. Dalam pengujiannya, data dari tahun ajaran hingga tahun ajaran digunakan untuk menentukan model yang sesuai sedangkan data dari tahun ajaran digunakan untuk mengevaluasi model yang tepat untuk digunakan sebagai peramalan. Data pendaftaran siswa baru tersebut dapat dilihat pada Lampiran Metode Seasonal ARIMA 1. Pemeriksaan Kestasioneran Data Untuk menguji apakah data yang digunakan memiliki sifat stasioner atau tidak, dapat dilihat grafik fungsi autokorelasinya. Data yang tidak stasioner akan memiliki pola yang cenderung lambat menuju nol pada beberapa lag awal. Selain itu karena data yang digunakan memiliki unsur musiman, maka akan terlihat beberapa korelasi yang lebih signifikan dan berulang sepanjang musiman data. 30

47 Secara lebih formal, untuk menguji kestasioneran data maka akan digunakan uji Augmented Dickey-Fuller dengan hipotesis dan kriteria uji sebagai berikut: Hipotesis: H 0 : δ = 0 (data deret waktu tidak stasioner) H 1 : δ < 0 (data deret waktu stasioner) Kriteria Pengujian: Tolak H 0 jika τ δ τ n, Dickey Fuller Jika data menunjukkan ketidakstasioneran maka perlu diputuskan apakah data tidak stasioner secara rata-rata atau varians atau keduanya, selanjutnya dapat ditanggulangi dengan transformasi atau/dan differencing. 2. Identifikasi model Setelah data dinyatakan bersifat stasioner baik secara rata-rata maupun varians maka dapat dilakukan pemilihan model yang tepat berdasarkan kriteria yg ada. Hal ini penting dilakukan agar hasil peramalan dari model yang dibentuk tidak sia-sia. Model yang tepat tentu akan menghasilkan peramalan yang memuaskan. 31

48 berikut: Menurut [15] model SARIMA dapat dipilh dengan kriteria sebagai a. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak signifikan dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down), maka diperoleh model non seasonal MA (q=1 atau 2). b. Jika ACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman tidak signifikan dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down), maka diperoleh model seasonal MA (Q=1). c. Jika ACF terpotong setelah lag musiman L; lag non musiman terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2, maka diperoleh model non seasonal-seasonal MA (q=1 atau 2; Q=1). d. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag 1 atau 2; lag musiman tidak signifikan, maka diperoleh model non seasonal AR (p=1 atau 2). e. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L; lag non musiman tidak signifikan, maka diperoleh model seasonal AR (P=1). f. Jika ACF perlahan-lahan menghilang (dies down) dan PACF terpotong (cut off) setelah lag musiman L; dan non musiman terpotong (cut off) setelah lag 1atau 2, maka diperoleh model non seasonal dan seasonal AR (p=1 atau 2 dan P=1). g. Jika ACF dan PACF perlahan-lahan menghilang (dies down) maka diperoleh campuran (ARMA) model. 32

49 3. Estimasi Parameter dari model Setelah beberapa model telah terpilih, langkah selanjutnya adalah mengestimasi parameter-parameter dari model itu sendiri. Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ialah dengan metode perbaikan secara iteratif. Taksiran awal dipilih kemudian diperhalus secara iteratif hingga kesalahan menjadi sekecil mungkin. Proses ini akan dikerjakan oleh suatu program komputer. 4. Pengujian Model Setelah model-model terpilih telah diestimasi nilai parameternya, langkah selanjutnya ialah menguji apakah model tersebut sesuai dengan data. Beberapa pengujian yang harus dilalui adalah; a. Keberartian koefisien Hipotesis dan kriteria uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut: Hipotesis: H 0 : koefisisen tidak berarti H 1 : koefisien berarti Dengan α = 0.05 Kriteria uji: Tolak H 0 jika p-value < α, artinya koefisien telah berarti. 33

50 b. Memenuhi asumsi White Noise Yakni suatu asumsi yang menyatakan bahwa residu bersifat acak dan normal. Hipotesis dan kriteria uji keacakan residu adalah sebagai berikut: Hipotesis: H 0 : r 1 = r 2 = = r k = 0 (residu bersifat acak) H 1 : r i r j = 0 (residu tidak bersifat acak) Kriteria uji: Terima H 0 jika nilai Q > X α,db atau p-value > α. Sedangkan hipotesis dan kriteria uji kenormalan residu adalah sebagai berikut: Hipotesis: H 0 : residu berdistribusi normal H 1 : residu tidak berdistribusi normal Kriteria uji: Tolak H 0 jika jika D hit > D tabel atau p-value < α. c. Pemilihan model terbaik Dari beberapa model yang memenuhi asumsi keberartian koefisien dan asumsi white noise akan dipilih satu model terbaik yang ditentukan melalui nilai MSE dari masing masing model. 34

51 5. Peramalan Setelah model tebaik dari beberapa model dugaan sementara dipilih, maka dapat dilakukan peramalan untuk periode selanjutnya menggunakan persamaan dari model terpilih tersebut. Hasil peramalan metode SARIMA bisa digunakan dalam peramalan jangka waktu menengah yaitu tiga bulan sampai dengan dua tahun [16]. Hasil peramalan model SARIMA yang diperoleh kemudian akan dibandingkan dengan hasil peramalan model dekomposisi menggunakan data input 1 musim terakhir yakni data tahun ajaran Model peramalan dikatakan baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE yang lebih baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran berikutnya. 3.3 Metode Dekomposisi Sebelum data masuk ke dalam metode dekomposisi maka terlebih dahulu dilakukan penormalan terhadap data. Hal ini dilakukan karena sebagian besar analisis statistik inferensia (parametrik) menggunakan asumsi normal pada data untuk menghasilkan rumus perhitungannya. Jadi data yang akan digunakan adalah data hasil transformasi. Selanjutnya masuk pada proses pendekomposisian data. Berikut ini tahapan-tahapan dalam menggunakan metode dekomposisi pada suatu barisan data runtun waktu: 35

52 1. Menghitung Indeks Musiman a. Dekomposisi Aditif Langkah langkahnya sebagai berikut: i. Trend-Siklus T t dihitung menggunakan rata-rata bergerak sepanjang 1 musiman (n data berurutan). Trend-Siklus terkadang dipisahkan ke dalam komponen trend dan komponen siklus, tapi pembedaan ini agaknya buatan dan sebagian besar prosedurprosedur dekomposisi menjadikan trend dan siklus sebagai komponen tunggal. ii. Mengurangi data dengan komponen trend-siklus yang akan meninggalkan komponen musiman dan acak. X t T t = I t + E t iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan periodenya masing-masing dan dihitung rata rata medialnya (rata-rata dari data yng telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil) untuk tiap periode yang bersesuaian. iv. Rata-rata medial ini kemudian ditambah dengan faktor koreksi agar jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi nol. Hasil penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya. 36

53 b. Dekomposisi Multiplikatif Langkah-langkahnya sebagai berikut: i. Mengitung rata-rata bergerak sepanjang 1 musiman (n data berurutan). ii. Membagi data dengan rata-rata bergerak yang bersesuaian sehingga tersisa komponen acak dan siklus. X t T t = I t E t iii. Komponen musiman dan acak ini kemudian disusun sesuai dengan periodenya masing- masing dan dihitung rata-rata medialnya (ratarata dari data yang telah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil) untuk tiap periode yang bersesuaian. iv. Rata-rata medial ini kemudian dikali dengan faktor koreksi agar jumlah rata-rata medial untuk semua periode menjadi n (panjang musiman). Hasil penjumlahan akhir ini adalah indeks musimannya. 2. Pencocokan trend Sebelum dilakukan pencocokan trend, komponen musiman harus dipusahkan terlebih dahulu dengan mengurangi/membagi data awal dengan komponen musimannya yang bersesuaian. Pada penelitian ini, trend yang digunakan adalah linier. Yakni, Z t = a + bt Dengan meminimumkan MSE didapatkan 37

54 b = n tz t t Z t n t 2 t 2 a = Z t n b t n Dimana X t = data awal t n = periode = banyak data 3. Pemilihan Model Terbaik Apabila model telah diperoleh, maka dapat dilakukan pemilihan model terbaik dengan membandingkan hasil peramalan dengan data pengujian, dan memperhatikan ukuran keakuratan dari model. Ukuran keakuratan yang digunakan pada tahap ini adalah MSE. 4. Peramalan Setelah model tebaik dipilih, maka dapat dilakukan peramalan untuk periode selanjutnya menggunakan faktor faktor yang telah diduga sebelumnya yakni, faktor trend dan musiman. Hasil peramalan model dekomposisi yang diperoleh kemudian akan dibandingkan dengan hasil peramalan model SARIMA menggunakan data input 1 musim terakhir yakni data tahun ajaran Model peramalan dikatakan baik jika nilai MAPE kurang dari 20%. Model dengan nilai MAPE yang lebih baik akan digunakan pada peramalan untuk periode tahun ajaran berikutnya. 38

55 3.4 Alur Penelitian Mulai Input Data Metode Seasonal ARIMA Metode Dekomposisi Transformasi Differencing Tidak Data Stasioner? Data Normal? tidak ya ya Transformasi Identifikasi Model Penentuan Indeks Musiman Estimasi Parameter Model Pencocokan Trend tidak -- Keberartian Koefisien? -- Asumsi White Noise? -- Paling Akurat? Evaluasi model ya Perbandingan Peramalan Selesai Gambar 3.3. Alur Penelitian 39

56 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Peramalan jumlah pendaftaran siswa baru pada lembaga bimbingan belajar Sony Sugema College cabang Bintaro menggunakan data jumlah pendaftaran siswa baru dari tahun ajaran sampai tahun ajaran , total berjumlah 84 data yang terdiri dari 7 musiman. Dari 7 musiman tersebut, 6 musiman pertama (tahun ajaran sampai tahun ajaran ) digunakan untuk menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi dan data 1 musiman terakhir (tahun ajaran ) digunakan untuk peramalan. Berikut ini tabel deskripsi data 6 musiman pertama yang digunakan untuk menentukan model Seasonal ARIMA dan model Dekomposisi: Tabel 4.1 deskripsi data Jumlah Data Data Rata-rata Nilai tengah Deviasi data minimum maksimum deviasi kuadrat standar Tabel 4.1 memperlihatkan bahwa range data adalah 138 dengan rata rata 18.86, deviasi standar dan nilai tengah deviasi kuadrat bernilai

57 siswa 4.1 Pengolahan Data Menggunakan Metode SARIMA Beberapa tahapan yang akan dilakukan pada bagian ini adalah dimulai dengan pemeriksaan kestasioneran data, kemudian jika data telah stasioner maka dilanjutkan dengan proses mengidentifikasi model-model yang cocok untuk data input, dan terakhir, menentukan model terbaik dari beberapa model yang ada untuk digunakan dalam peramalan Pemeriksaan Kestasioneran Data Pemeriksaan kestasioneran data dapat dilakukan secara visual dengan melihat plot data input sebagai berikut (menggunakan software): 140 Time Series Plot of siswa Index Gambar 4.1 Plot Data Siswa 41

58 Autocorrelation Autocorrelation Function for siswa (with 5% significance limits for the autocorrelations) Lag Gambar 4.2 Plot ACF Data Siswa Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat plot data telah stasioner pada rata-rata namun tidak dengan variansnya. Sedangkan gambar 4.2 menunjukkan adanya bentuk musiman pada data sehingga metode SARIMA memang tepat digunakan untuk menganalisis data. Untuk memastikan kestasioneran secara statistik maka dilakukan uji Augmented Dickey Fuller. Dengan bantuan software, diperoleh hasil uji Augmented Dickey Fuller sebagai berikut: Tabel 4.2 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller Data Siswa t-statistics Prob.* Augmeted Dickey Fuller Test Statistics Test Critical values 1% level % level % level

59 StDev Tabel 4.2 memperlihatkan bahwa dengan taraf signifikansi sebesar 5% diperoleh τ δ < τ n,α atau < , maka H 0 tidak ditolak. Jadi data input model belum stasioner. Karena data belum stasioner secara varians maka akan dilakukan proses transformasi. Untuk menentukan transformasi yang cocok dengan data input model dengan melihat Plot Box-Cox, adapun outputnya adalah sebagai berikut: Box-Cox Plot of C1 180 Lower CL Upper CL Lambda (using 95.0% confidence) Estimate 0.02 Lower CL Upper CL 0.25 Rounded Value Lambda 2 3 Limit Gambar 4.3 Plot Box-Cox data siswa Berdasarkan Gambar 4.3 diperoleh λ = 0.0. Maka transformasi yang digunakan adalah transformasi W t = ln Z t. Transformasi ini akan menyebabkan data stasioner secara varians. Plot data hasil transformasi dapat dilihat pada gambar di bawah ini: 43

60 Data Input Model Time Series Plot of Data Input Model Index Gambar 4.4 Plot data hasil transformasi Berdasarkan Gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner baik secara rata-rata maupun varians karena pola data bergerak secara fluktuatif di sekitar nilai rata-rata. Untuk memastikan data tersebut sudah stasioner dilakukan kembali Uji Augmented Dickey Fuller. Dengan menggunakan software, hasil uji Augmented Dickey Fuller untuk data setelah ditransformasi adalah sebagai berikut: Tabel 4.3 Hasil Uji Augmented Dickey Fuller data hasil transformasi t-statistics Prob.* Augmeted Dickey Fuller Test Statistics Test Critical values 1% level % level % level