PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

Transkripsi

1 BAHAN BELAJAR MANDIRI GD0/3SKS/BBM-9 Edisi Kesatu PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Drs. Nahrowi Adjie, S.Pd., M.Pd. Maulana, S.Pd. UPI PRESS

2 Tim Penulis : Drs. Nahrowi Adjie, S.Pd., M.Pd. Maulana, S.Pd. Tim Revisi : Hak Cipta pada penulis Hak Penerbitan pada Universitas Pendidikan Indonesia Dilarang mengutip sebagian atau seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit UPI PRESS. Edisi Revisi Cetakan Kedua, 009 Desain Tim Ahli Desain Cover Tata Letak isi : Drs. Asep Herry Hernawan, M.Pd. Cepi Riyana, S.Pd., M.Pd. : Rudi Sopiana, S.Pd. Asep Saepul Kholiq : Dadi Mulyadi, S.Pd. Angga Hadiapurwa Penerbit : UPI PRESS Gedung Penerbitan dan Percetakan Universitas Pendidikan Indonesia Jl. Dr. Setiabudhi, No. 9 Bandung 4054 Tlp. (0) 0363 Pes.450 Fakultas Ilmu Pendidikan Jl. Dr. Setiabudhi No. 9 Bandung, Tlp (0) 0363 Pes.430 Fax/Telp : (0) 0000

3 KATA PENGANTAR Dewasa ini, guru Sekolah Dasar/Madrasah Ibtidaiyah dipersyaratkan memiliki kualifikasi S- atau D-IV sesuai dengan tuntutan profesional. Hal ini sesuai dengan ketentuan yang terdapat pada UU Nomor 0/003 tentang Sistem Pendidikan Nasional, UU Nomor 4/005 tentang Guru dan Dosen, dan PP Nomor 9/005 tentang Standar Nasional Pendidikan. Sejalan dengan itu, Universitas Pendidikan Indonesia (UPI) mulai tahun akademik 006/007 menyelenggarakan Program Strata I (S-) PGSD bagi guru Sekolah Dasar/Madrasah Ibtidaiyah dengan menggunakan pendekatan dual-modes. Pendekatan ini dilakukan melalui perpaduan antara sistem pembelajaran tatap muka dengan sistem pembelajaran mandiri (self-instruction). Sistem pembelajaran mandiri dilakukan dengan cara mempelajari bahan belajar mandiri tercetak (printed materials) yang dikaji lebih lanjut pada pembelajaran tatap muka. Bahan belajar mandiri ini mencakup materi untuk peningkatan wawasan tentang berbagai konsep dan keterampilan yang berhubungan dengan peningkatan diri sebagai guru profesional. Mudah-mudahan dengan tersusunnya bahan belajar mandiri ini, para mahasiswa dapat belajar secara mandiri dengan tidak mengganggu pelaksanaan tugas-tugas keseharian. Bandung, September 009 Rektor, Prof. Dr. H. Sunaryo Kartadinata, M.Pd. NIP

4 Kata Pengantar...i Daftar Isi...ii Tinjauan Mata Kuliah...v Bahan Belajar Mandiri Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, Dan Strategi Pemecahan Masalah... Pendahuluan... Kegiatan Pembelajaran Makna Masalah dan Klasifikasi Masalah...3 Latihan...9 Rangkuman... Tes Formatif... Balikan dan Tindak Lanjut...3 Kegiatan Pembelajaran Langkah-langkah dan Strategi Pemecahan Masalah...4 Latihan...3 Rangkuman...5 Tes Formatif...6 Balikan dan Tindak Lanjut...8 Kunci Jawaban Tes Formati f...9 Glosarium...3 Daftar Pustaka...3 Bahan Belajar Mandiri Pembelajaran...33 Pendahuluan...33 Kegiatan Pembelajaran Tujuan dan Karakeristik Belajar Matematika...34 Latihan...4 Petunjuk Jawaban Latihan...4 Rangkuman...4 Tes Formatif...43 Balikan dan Tindak Lanjut...44 Kegiatan Pembelajaran Pembelajaran...45 Latihan...54 Petunjuk Jawaban Latihan...55 Rangkuman...56 Tes Formatif...56 Balikan dan Tindak Lanjut...58 Kunci Jawaban Tes Formatif...59 Glosarium...6 Daftar Pustaka...6 Bahan Belajar Mandiri 3 Metode dan Teknik Pembelajaran...63 Pendahuluan...63 Kegiatan Pembelajaran Pembelajaran Dengan Pendekatan Soal Cerita...65 Daftar isi i

5 Latihan...7 Petunjuk Jawaban Latihan...7 Rangkuman...7 Tes Formatif...73 Balikan dan Tindak Lanjut...75 Kegiatan Pembelajaran Metode dan Teknik Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika...76 Latihan...87 Petunjuk Jawaban Latihan...88 Rangkuman...88 Tes Formatif...89 Balikan dan Tindak Lanjut...9 Kunci Jawaban Tes Formatif...93 Glosarium...94 Daftar Pustaka...95 Bahan Belajar Mandiri 4 Pemecahan Masalah Dalam Himpunan, Fungsi, Dan Logika...97 Pendahuluan...97 Kegiatan Pembelajaran Himpunan...99 Latihan...09 Petunjuk Jawaban Latihan...09 Rangkuman... Tes Formatif... Balikan dan Tindak Lanjut...4 Kegiatan Pembelajaran Fungsi...5 Latihan...9 Petunjuk Jawaban Latihan...30 Rangkuman...3 Tes Formatif...3 Balikan dan Tindak Lanjut...35 Kunci Jawaban Tes Formatif...36 Glosarium...44 Daftar Pustaka...45 Bahan Belajar Mandiri 5 Pemecahan Masalah Dalam Logika dan Bilangan Bulat...47 Pendahuluan...47 Kegiatan Pembelajaran Logika...49 Latihan...63 Petujuk Jawaban Latihan...63 Rangkuman...65 Tes Formatif...66 Balikan dan Tindak Lanjut...68 Kegiatan Pembelajaran Bilangan Bulat...69 ii Daftar isi

6 Latihan...77 Petunjuk Jawaban Latihan...78 Rangkuman...79 Tes Formatif...80 Balikan dan Tindak Lanjut...8 Kunci Jawaban...8 Glosarium...84 Daftar Pustaka...85 Bahan Belajar Mandiri 6 Pemecahan Masalah Dalam Sistem Bilangan Cacah...87 Pendahuluan...87 Kegiatan Pembelajaran Sistem Bilangan Cacah dan Operasi Hitungnya...89 Latihan...00 Petunjuk Jawaban Latihan...00 Rangkuman...0 Tes Formatif...0 Balikan dan Tindak Lanjut...03 Kegiatan Pembelajaran Urutan Pada Bilangan Cacah, FPB dan KPK...04 Latihan...5 Petunjuk Jawaban Latihan...5 Rangkuman...7 Tes Formatif...8 Balikan dan Tindak Lanjut...9 Kunci Jawaban...0 Glosarium... Daftar Pustaka... Bahan Belajar Mandiri 7 Pemecahan Masalah Dalam Bilangan Bilangan Pecahan, dan Perbandingan...3 Pendahuluan...3 Kegiatan Pembelajaran Pecahan...5 Latihan...40 Petunjuk Jawaban Latihan...4 Rangkuman...43 Tes Formatif...44 Balikan dan Tindak Lanjut...45 Kegiatan Pembelajaran Perbandingan...46 Latihan...53 Petunjuk Jawaban Latihan...53 Rangkuman...55 Tes Formatif...55 Balikan dan Tindak Lanjut...57 Kunci Jawaban...58 Glosarium...6 Daftar Pustaka...6 Daftar isi iii

7 Bahan Belajar Mandiri 8 Pemecahan Masalah Dalam Peluang dan Statistika...63 Pendahuluan...63 Kegiatan Pembelajaran Pecahan...65 Latihan...79 Petunjuk Jawaban Latihan...80 Rangkuman...8 Tes Formatif...83 Balikan dan Tindak Lanjut...85 Kegiatan Pembelajaran Statistika...86 Latihan...99 Petunjuk Jawaban Latihan...66 Rangkuman Tes Formatif Balikan dan Tindak Lanjut Kunci Jawaban Tes Formatif Glosarium...3 Daftar Pustaka...33 Bahan Belajar Mandiri 9 Pemecahan Masalah Dalam Bilangan Bilangan Pecahan, dan Perbandingan...35 Pendahuluan...35 Kegiatan Pembelajaran Geometri Datar (Struktur konsep)...38 Latihan Petunjuk Jawaban Latihan Rangkuman Tes Formatif Balikan dan Tindak Lanjut Kegiatan Pembelajaran Geometri Ruang...35 Latihan Petunjuk Jawaban Latihan Rangkuman Tes Formatif...36 Balikan dan Tindak Lanjut Kunci Jawaban Glosarium...37 Daftar Pustaka...37 iv Daftar isi

8 Tinjauan Mata Kuliah TINJAUAN MATA KULIAH Mata kuliah merupakan pokok bahasan pengulangan dalam mata kuliah Konsep Dasar Matematika. Bagi Anda yang memilih konsentrasi Pendidikan Matematika Sekolah Dasar, akan dibahas secara lebih mendalam tentang pemecahan masalah matematika, sehingga Anda sebagai guru SD mampu menggunakan berbagai macam strategi dalam menghadapi masalah non-rutin dalam matematika dan mampu membimbing siswa SD dalam menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan matematika, cakupan materinya meliputi himpunan, fungsi, logika, sistem bilangan dan bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan pecahan desimal,, peluang, statistik, dan geometri. Mata kuliah ini tidak menuntut prasyarat. Secara umum, tujuan dari mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat memahami makna masalah yang berhubungan dengan matematika, memahami langkah-langkah dalam penyelesaian masalah, memahami strategi dalam pemecahan masalah matematika, memahami tugas guru dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika, memahami metode/teknik mengadakan proses pembelajaran matematika, memahami peneyelesain masalah yang berhubungan dengan himpunan, himpunan, fungsi, logika, sistem bilangan, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan pecahan desimal, peluang, statistik, dan geometri. Secara khusus mahasiswa dapat:. memahami makna masalah dan klasifikasi masalah. menjelaskan langkah-langkah Penyelesaian Masalah 3. menjelaskan strategi pemecahan masalah 4. menjelaskan tugas guru dalam proses pembelajaran pemecahan masalah matematika 5. menerapakan metode/telnik pembelajaran matematika 6. membimbing siswa SD dalam menyelesaikan masalah 7. mendemostarasikan penyelesaian masalah himpunan dan fungsi, dan logika 8. mendemonstrasikan penyelesaian masalah sistem bilangan, cacah, bulat, dan desimal 9. mendemonstrasikan penyelesaian masalah peluang, statistik, dan geometri Manfaat dari mempelajari modul ini adalah mahasiswa memiliki wawasan yang luas tentang matematika, memiliki keterampilan berpikir matematika, dan memiliki keterampilan pemecahan masalah matematika. Berdasarkan tujuan yang ingin dicapai serta bobot SKS mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika, materi mata kuliah ini disajikan dalam 6 modul, yang terdiri sebagai berikut: Modul : Makna, Klasifikasi, Langkah-Langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Modul : Pembelajaran Modul 3 : Metode dan Teknik Pembelajaran Modul 4 : Penyelesaian Masalah Himpunan dan Fungsi Modul 5 : Penyelesaian Masalah Logika dan Sistem Bilangan Bulat Modul 6 : Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Modul 7 : Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Pecah dan Perbandingan Modul 8 : Penyelesaian Masalah Peluang dan Statistik Modul 9 : Penyelesaian Masalah dalam Geometri Datar dan Geometri Ruang v

9 Tinjauan Mata Kuliah Dengan mempelajari setiap modul secara cermat sesuai dengan petunjuk yang ada pada setiap modul serta dengan mengerjakan semua tugas, latihan, dan tes yang diberikan, mahasiswa akan berhasil dalam menguasai tujuan-tujuan yang ditetapkan. MODUL MODUL MODUL 3 MODUL 4 MODUL 5 MODUL 6 MODUL 7 MODUL 8 MODUL 9 : MAKNA, KLASIFIKASI, LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN, DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH : PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA : METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN ASALAH MATEMATIKA : PEMECAHAN MASALAH DALAM HIMPUNAN DAN FUNGSI : PEMECAHAN MASALAH DALAM LOGIKA DAN BILANGAN BULAT : PENYELESAIAN MASALAH DALAM BILANGAN CACAH : PEMECAHAN MASALAH DALAM BILANGAN PECAHAN, DAN PERBANDINGAN : PEMECAHAN MASALAH DALAM PELUANG DAN STATISTIKA : GEOMETRI DATAR DAN GEOMETRI RUANG vi

10 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah MAKNA, KLASIFIKASI, LANGKAH- LANGKAH PENYELESAIAN, DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH Sesuai dengan perkembangan jaman yang semakin kompleks dan banyak macamnya, maka masalah-masalah kehidupan itupun muncul dan semakin kompleks. Perkembangan jaman tersebut menuntut kita untuk berkompetisi dan dalam memenuhi segala kebutuhan hidup. Hanya orang-orang yang tangguh, disiplin, dan tekunlah yang dapat bersaing dalam kehidupan yang demikian. Untuk itu kita sebagai guru harus dapat mempersiapkan manusia-manusia yang unggul di bidangnya dan mampu bersaing dalam kehidupan yang serba kompleks ini. Dengan kata lain kita harus mencetak manusia-manusia yang berkualitas dengan jalan meningkatkan mutu pendidikan sejak dini. Ilmu matematika memberikan sumbangan yang cukup besar dalam pembentukan manusia unggul, karena salah satu kreteria manusia unggul adalah manusia yang dapat menggunakan nalarnya untuk kemajuan umatnya. Kita yakin bahwa sebaik-baiknya manusia adalah yang mampu membawa manfaat bagi manusia lainnya untuk kehidupan selanjutnya. Tidak dapat dipungkiri lagi bahwa kemajuan teknologi sekarang ini, yang merubah dunia semakin canggih dan praktis dalam segala kehidupan adalah sumbangan ilmu matematika. Dalam mengahadapi kehidupan ini kita sering dihadapkan kepada suatu permasalahan, sehingga kita dituntut untuk menyelesaikannya. Untuk itu generasi penerus kita harus dapat menyelesaikannya sebagai bekal dalam kehidupan di masa yang akan datang. Dalam bahan belajar mandiri ini akan dibahas makna masalah, klasifikasi masalah, dan strategi pemecahan masalah dalam bidang matematika, dengan tujuan pembelajaran khususnya adalah mahasiswa dapat:. menjelaskan arti masalah dalam kehidupan sehari-hari.. menjelaskan maksud penyelesaian masalah dalam matematika 3. menjelasakan klasifikasi masalah dalam matematika 4. menjelaskan langkah-langkah dalam penyelesaian masalah 5. menggunakan berbagai macam strategi dalam penyelesaian maslah matematika.

11 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini.. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya.. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini.

12 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah MAKNA MASALAH DAN KLASIFIKASI MASALAH. Makna Masalah Dalam kehidupann sehari-hari kita sering dihadapkan kepada masalah-masalah, yang menuntut kita untuk menyelesaiakannya. Kata masalah mengandung arti yang komprehensif. Oleh karenanya akan terjadi berbagai tanggapan yang berbeda dalam menghadapi masalah tertentu. Dalam hal ini terjadi perbedaan sikap terhadap sesuatu kejadian atau kondisi tertentu (sikap diartikan sebagai kondisi kejiwaan untuk bereaksi terhadap lingkungan). Dengan demikian akan terjadi perbedaan penyikapan terhadap suatu masalah tertentu, misalnya sesuatu akan menajadi masalah bagi anak-anak, tetapi belum tentu menjadi masalah bagi orang dewasa. Berikut adalah ilustrasi berbagai contoh dalam menyikapi masalah. Ilustrasi : Pada waktu bulan puasa Ida sudah tidur pada pukul.00, dengan harapan tidak akan kesiangan waktu sahur. Pada pukul 4.00 listrik di rumah Ida padam, dan Ida tetap tidur pulas sehingga Ida tidak mengetahui terjadinya padam listrik yang membuat rumahnya gelap-gulita. Ilustrasi : Pada pukul 0.00 Ida terbangun dan melihatnya/merasakan bahwa listrik di rumahnya masih tetap padam, lantas Ida melihat jam dan memutuskan untuk tidur kembali tanpa ada usaha untuk mengecek listrik rumahnya yang padam (apakah padam semua, atau ada gangguan pada instalasi listrik rumahnya) Ilustrasi 3 : Lain halnya dengan Adiknya Ida, begitu terbangun dan melihat listrik mati, lantas menyuruh bapaknya untuk memperbaikinya, karena Adiknya Ida tidak bisa tidur kalau ruangan gelap. Ilustrasi 4 : Bapak Ida memperbaiki listrik yang padam dengan melihat dulu rumah tetangganya apakah listriknya mati atau tidak. Ternyata listrik di rumah tetangga tidak mati. Bapak Ida lantas memeriksa saklar di meteran ternyata dalam keadaan of, lantas saklar dinaikan menjadi on, tetapi saklar tidak mau on dan listrik tetap mati. Bapak Ida memutuskan untuk menggunakan lampu minyak saja, karena tidak sanggup memperbaikinya. Ilustrasi 5: Lain halnya dengan tetangga Ida, jika mengalami hal demikian maka tetangga Ida itu mencobanya untuk memperbaiki sendiri tanpa bantuan orang lain, dengan cara mencobacoba berbagai kemungkinan yang terjadi. Misalnya mengecek kabel-kabel yang dimungkinkan adanya konsleting (sambungan arus pendek yang tidak dikehendaki). Ilustrasi 6: Pagi harinya Bapaknya Ida menghubungi anaknya (Kakaknya Ida) dan memintanya untuk memperbaiki kabel listrik yang konslet. Karena Kakaknya Ida adalah sarjana elektro (mengetahui seluk beluk listrik), maka dengan mudah saja ia menemukan penyebab terjadi penyambungan arus pendek, yaitu dengan menggunakan alat-alat yang dimilikinya. 3

13 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Dari ilustrasi-ilustrasi di atas memberikan gambaran bagaimana seseorang menyikapi suatu masalah atau tidak punya sikap sama sekali. Ilustrasi : menggambarkan yang bernama Ida tidak mempunyai sikap apa-apa, karena Ida tidak mengetahui adanya listrik padam. Pada ilustrasi : Ida mengetahui listrik padam, tetapi Ida masa bodoh (tak peduli) padamnya listrik, karena ia tak terganggu oleh padamnya listrik. Ilustrasi 3: Adiknya Ida merasa terganggu oleh padamnya listrik dan ia menyuruh bapaknya untuk memperbaikinya. Ilustrasi 4: Bapaknya Ida tidak bisa memperbaiki listrik dan memilih membiarkan listrik di rumahnya padam. Ilustrasi 5: Tetangga Ida, jika menemukan kejadian tersebut sering melakukan coba-coba untuk memperbaiki listrik. Dan ilustrasi 6: Kakaknya Ida sudah terampil memperbaiki listrik, karena ia ahli di bidangnya. Dari ilustrasi tersebut ada beberapa kategori sikap yang terjadi padi diri sesorang dalam menghadapi situasi tertentu, yaitu: () Orang yang tidak mengetahui adanya masalah; () orang yang tidak peduli terhadap adanya masalah; (3) orang yang mengetahui adanya masalah, tetapi tidak bisa menyelesaikannya; (4) orang yang sering mencoba-coba menyelesaikan masalah; dan (5) orang yang mahir menyelesaikan masalah. Biasanya masalah muncul pada saat/situasi yang tidak diharapkan atau muncul karena akibatakibat kita melakukan suatu pekerjaan, atau jika merencanakan suatu kegiatan (proyek) kita akan menemukan berbagai permasalahan yang muncul. Munculnya masalah tersebut dapat dikatakan/ dijadikan sebagai masalah jika kita mau menerimanya sebagai tantangan untuk diselesaikan, tetapi jika kita tidak mau menerima sebagai tantangan berarti masalah tersebut menjadi bukan masalah yang terselesaikan. Untuk terampil dalam menyelesaikan masalah dibutuhkan berbagai kemampuan yang ada pada diri kita, sebagai hasil dari belajar, yaitu berbagai pengetahuan, sikap dan psikomotor. Berbagai pengetahuan dimaksud adalah: ingatan, pemahaman, penerapan, analisis,sintesis, dan evaluasi (sering disebut taksonomi Bloom). Dengan demikian tidaklah mudah menyelesaikan suatu masalah, karena melibatkan berbagai kemampuan nalar/berpikir kita dari tingkat rendah sampai tingkat tinggi (tingkat rendah adalah ingatan, pemahaman dan penerapan, sedangkan tingkat tinggi adalah analisis, sintesis dan evaluasi). Misalkan, jika kita ingin mengukur luas tanah, pengetahuan-pengetahuan apakah yang harus kita miliki dan bagaimana cara menggunakannya? Untuk dapat mengetahui luas tanah, kita harus memiliki pengetahuan tentang bentuk-bentuk geometris beserta ciri-cirinya, sataun ukuran panjang, rumus-rumus mencari luas, dan operasi hitung yang terbentuk oleh rumus-rumus tersebut. Masalah-masalah yang dibahas pada bahan belajar mandiri ini adalah masalah yang berhubugan dengan matematika. Maka dari itu pengetahuan yang akan dibahas adalah pengetahuan yang berhubungan dengan matematika. Di dalam memahami permasalahan matematika, biasanya kita bertanya kepada diri kita sendiri dengan sejumlah pertanyaan yang membantu kita untuk dapat menyeleksi informasi yang ada. Pertanyaan-pertanyaan yang dimaksud antara lain: Apa yang kita ketahui? Berapa banyak? Apa itu? Siapa? Apa yang dicari. Permasalahan yang kita hadapi dapat dikatakan masalah jika masalah tersebut tidak bisa dijawab secara langsung, karena harus menyeleksi informasi (data) yang diperoleh. Dan tentunya jawaban yang diperoleh bukanlah kategori masalah yang rutin (tidak sekedar memindahkan/mentransformasi dari bentuk kalimat biasa ke pada kalimat matematika). Berikut contoh masalah rutin dan non rutin. 4

14 Contoh.. Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Masalah rutin: a. Pada mulanya Budi mempunyai 5 buku lantas oleh Bapaknya dibelikan 4 buku. Berapakah jumlah buku Budi sekarang? b. Amir mempunyai tanah berbentuk segitiga, panjang alasnya 3 cm dan tingginya 4 cm. Berapakah luas tanah Amir tersebut? c. Panjang suatu persegipanjang adalah 5 m dan lebarnya 6 m. Berapakah kelilingnya? Masalah/soal a tersebut merupakan contoh dari kalimat matematika 5 + 4, contoh b merupakan contoh soal bagaimana menerapkan rumus mencari luas segitiga, dan contoh c merupakan contoh soal untuk menerapkan rumus mencari keliling persegipanjang. Soal-soal tersebut tidak adanya keterlibatan proses berpikir tingkat tinggi. Contoh.. Masalah non rutin a. Pada mulanya Budi mempunyai 5 buku, kemudian Bapaknya memberi sejumlah buku sehingga buku Budi menjadi buku. Berapakah jumlah buku yang diberikan Bapaknya? b. Amir mempunyai tanah berbentuk segipanjang dengan keliling m, panjangnya kali lipat dari lebarnya. Berapakah luas segipanjang tersebut? c. Ahmad mempunyai tanah 00 kali lipat dari gambar di bawah ini. Berapakah luasnya? Contoh a memperlihatkan penjumlahan 5 + x =. Contoh ini membutuhkan keterampilan penyelesaian suatu persamaan. Contoh b memperlihatkan persamaan: K = p = l K = p + l = ( l ) + l = 4 l + l = 6 l = l = 5

15 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah karena lebarnya maka panjangnya.() = 4 Luas = p x l Luas = 4 x = 8 m Contoh c menuntut kita mengetahui sifat-sifat bangun datar, mau dibawa kemana gambar tersebut. Yang paling mudah gambar tersebut dibawa/dibuat dua segitiga ( ACD dan ACB ). Sehingga kita cukup mengukur alasnya dan garis tinggi segitiga tersebut. Seperti berikut ini. Terlihatlah sesuatu pertanyaan atau permasalahan yang kita hadapi disebut permasalahan bila pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab langsung sebab masih harus menyeleksi informasi (data) yang kita peroleh. Tentunya jawaban terhadap pertanyaan tersebut juga tidak merupakan jawaban yang rutin dan mekanistik, namun memerlukan strategi dengan menggunakan pengetahuan dan pengalaman yang kita miliki untuk menjawab pertanyaan tersebut. Namun pertanyaan yang tadinya merupakan permasalahan, setelah berhasil kita selesaikan, baik masalah tersebut kita selesaikan sendiri maupun diberitahukan penyelesaiannya oleh orang lain atau kita peroleh jawabannya dari buku, maka pertanyaan tersebut bukan merupakan permasalahan lagi. Suatu pertanyaan merupakan permasalahan bagi anak SD, tetapi mungkin bukan permasalahan bagi gurunya, sebab anak SD untuk menjawab pertanyaan tersebut memerlukan proses yang rumit sedang bagi gurunya untuk menjawab tersebut memerlukan proses penalaran yang rutin. Namun apabila suatu pertanyaan merupakan permasalahan bagi anda, apakah pertanyaan tersebut merupakan permasalahan bagi anak SD? Tentu saja pertanyaan tersebut bagi anak SD bukan merupakan permasalahan, karena anak SD memang belum siap untuk mampu menjawab permasalahan Anda. Demikian juga permasalahan yang dihadapi oleh ilmuwan, misalnya ahli geodesi, tentunya bukan masalah bagi kita, karena kita tidak mempelajari permasalahan yang dihadapi oleh ahli geodesi. Selain itu, pertanyaan itu merupakan permasalahan bila pertanyaan itu merupakan tantangan bagi kita untuk menjawabnya. Kalau demikian halnya, apa yang dimaksud dengan masalah? Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah bagi seseorang, jika orang itu tidak mempunyai aturan/ hukum tertentu yang segera dapat digunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut. Ini berarti pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin, pertanyaan tersebut dapat dimengerti, pertanyaan tersebut merupakan tantangan untuk dijawab yang sifatnya individu dan 6

16 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah bergantung pada waktu. Pemecahan/penyelesaian masalah merupakan proses penerimaan tantangan dan kerja keras untuk menyelesaikan masalah tersebut. Jadi aspek penting dari makna masalah adalah bahwa penyelesaian yang diperoleh tidak dapat dikerjakan dengan prosedur rutin. Berpikir keras harus dilaksanakan untuk mendapatkan cara menyelesaikan suatu masalah. Kalkulasi/ perhitungan sederhana dan aplikasi langsung rumus-rumus tidak dikualifikan sebagai permasalahan.. Klasifikasi Masalah Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melakukan aktivitas-aktivitas yang berhubungan dengan kegiatan yang membutuhkan suatu cara untuk melakukannya membutuhkan penalaran yang melibatkan ilmu matematika. Karena memang ilmu matematika tumbuh dan berkembang berdasarkan kebutuhan manusia dalam mengahadapi persoalan/hidup. Oleh karena itu permasalahan yang kita hadapi dapat dibedakan menjadi masalah yang berhubungan dengan masalah tranlasi, masalah aplikasi, masalah proses, dan masalah teka-teki. Masalah translasi merupakan masalah kehidupan sehari-hari yang untuk menyelesaikannya perlu adanya translasi (perpindahan) dari bentuk verbal ke bentuk matematika. Dalam memindahkan bentuk verbal (kata/kalimat) ke bentuk/model matematika membutuhkan kemampuan menafsirkan atau menterjemahkan kata atau kalimat biasa ke dalam simbol-simbol matematika yang selanjutnya dicari cara penyelesaiannya berdasarkan aturan yang berlaku. Dalam memindahkan bentuk verbal ke model matematika ada yang bersifat sederhana dan ada yang kompleks. Sederhana atau tidaknya tergantung dari informasi (data) yang ada, konsep matematika yang ada, dan banyaknya operasi hitung yang digunakan. Contoh berikut adalah bagaimana bentuk verbal diubah menjadi kalimat matematika. Contoh.3. memindahkan ke model matematika. a. Ani menabung di sekolah setiap harinya Rp. 500,00. Berapakah jumlah tabungan Ani setelah lima hari? Pada soal di atas kita harus dapat memindahkan/mengubah kata (pernyataan) setiap harinya Rp 500,00 dan jumlah setelah lima hari. Model matematika adalah : atau diubah dalam kalimat perkalian 5 x 500 = 5 x 5 x (00) = 5 x 00 = 500 Kesimpulan yang dapat dibuat dalam menjawab soal tersebut adalah: Jika Ani menabung setiap harinya Rp 500,00, maka setelah lima hari jumlah tabungan Ani menjadi Rp.500,00 b. Dalam satu bulan tabungan Ani sudah berjumlah Rp 5.000,00, karena ada keperluan untuk beli buku tabungan tersebut diambil sebesar Rp 5.000,00. Berapakah sisa tabungan Ani sekarang? Kata kunci dalam soal tersebut adalah berjumlah Rp 5.000,00 dan diambil sebesar Rp 5.000,00. Kata diambil diartikan sebagai pengurangan, sehingga model matematika menjadi: =... 7

17 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Contoh.4. masalah translasi sederhana dan kompleks. a. Masalah translasi sederhana: Harga kg Apel Rp 0.000,00 dan harga kg Jeruk Rp 8.000,00. Berapa rupiah Amir harus membayar jika ia membeli 5 kg Apel dan 3 kg Jeruk? b. Masalah Translasi Kompleks: Sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang mempunyai panjang dua kali lebarnya dan kelilingnya.500 m. Tanah tersebut ditanami kacang tanah yang masing-masing kacang tanah berjarak satu sama lain 0 cm. Pada perbatasan tanah tersebut juga ditanami. Bila satu kilogram kacang tanah tersebut berisi.500 butir kacang tanah, berapa kg kacang tanah yang dibutuhkan untuk menanami sebidang tanah tersebut. c. Kompleks atau tidaknya suatu maslah tergantung pada seberapa banyak informasi matematika yang termuat dalam masalah sehari-hari tersebut, seberapa banyak konsep matematika yang berbeda yang diperlukan, seberapa banyak operasi matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang dimaksud. Masalah aplikasi, merupakan penerapan berbagai teori/konsep yang dipelajari pada matematika. Sebagai guru perlu memberikan kesempatan pada siswa untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan bermacam-macam ketrampilan dan prosedur matematik. Dengan menyelesaikan masalah semacam itu siswa dapat menyadari kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya sebagai berikut: Contoh.5. Ida ingin memiliki handphone, uang yang dimilikinya terbatas, yaitu hanya Rp ,00. Maka dari itu ia mensurvei harga handphone ke berbagai toko dan didapatkan harga sebagai berikut: Di toko A ditawarkan harga Rp ,00 dengan potongan harga 5 %. Di toko B barang sama ditawarkan Rp ,00 dengan potongan harga 0 %. Di toko manakah Ida harus membeli handphone yang sesuai dengan keadaan uangnya? Masalah proses biasanya untuk menyusun langkah-langkah merumuskan pola dan strategi khusus dalam menyelesaikan maslah. Masalah semacam ini memberikan kesempatan siswa sehingga dalam diri siswa terbentuk keterampilan menyelesaikan masalah sehingga dapat membantu siswa menjadi terbiasa menyeleksi masalah dalam berbagai situasi. Dengan demikian siswa terbiasa dengan strategi penyelesaian masalah khusus, misalnya menyusun tabel, dan akan menggunakan waktu beberapa saat dalam menyelediki suatu permasalahan sehingga strategi tersebut dapat digunakan untuk mengembangkan penyelesaikan terhadap permasalahan yang dihadapi. Masalah proses misalnya: Contoh.6. Pak Ahmad meminjam uang di Koperasi Simpan Pinjam sebesar Rp ,00. Aturan bunga yang terapkan adalah bunga berjalan (tidak tetap) sebesar % pertahun. Pak Ahmad akan mengembalikan selama tahun secara dicicil. Berapakah besar bunga yang diberikan Pak Ahmad kepada Koperasi tersebut? 8

18 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Permasalahan ini dituntut untuk mengetahui rumus yang digunakan (dalam kasus tersebut adalah rumus U n deret aritmatika), untuk dapat menerapkan rumus harus dicari dulu suku pertama, suku kedua, dan beda suku pertama dengan suku kedua. Dengan demikian terlihatlah suatu proses yang agak rumit dalam menyelesaikan masalah tersebut. Masalah teka-teki dimaksudkan untuk rekreasi dan kesenangan serta sebagai alat yang bermanfaat untuk mencapai tujuan afektif dalam pengajaran matematika. Masalah teka teki dapat digunakan untuk pengantar suatu pembelajaran, seperti untuk memusatkan perhatian, untuk memberikan ganjaran (penguatan) atau mengisi waktu kelas yang sedang tidak ada pelajaran (waktu luang). Masalah teka-teki itu bervariasi sesuai dengan cabang matematika, seperti logika, bilangan, kombinatorik, geometri, probabilitas dll. Dalam masalah teka-teki biasanya tidak rumus atau cara khusus yang digunakan, akan tetapi apakah teka-teki masuk akal atau tidak. Contoh.7. a. Disediakan 6 batang korek api. Bentuklah 4 segitiga sama sisi yang setiap sisi segitiga itu batang korek api (tidak dipotong-potong). Gambar seperti berikut. b. Masukanlah bilangan,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 ke dalam kotak-kotak 3 x 3, sedemikian rupa sehingga jumlah bilangan mendatar, menurun, dan diagonal berjumlah 5. c. Bagaimanakah caranya agar 8 : = 0 Dengan contoh-contoh permasalahan yang telah dikemukakan, perlu kita bedakan antara masalah dan soal latihan. Apabila kita mengajarkan ketrampilan matematika, misalnya menuliskan algoritma penjumlahan bilangan bulat dan pecahan desimal, maka siswa berlatih algoritma dalam bentuk simbol. Kegiatan semacam ini lebih baik dikatakan mengerjakan latihan soal. Dalam kegiatan menyelesaikan masalah siswa tidak sekedar mengerjakan algoritma, tetapi mereka menyusun strategi terlebih dahulu sehingga masalah itu dapat diselesaikan.. Perhatikan ilustrasi berikut ini. Ibu akan belanja pergi ke pasar untuk membeli kebutuhan sehari-hari, pada waktu akan berangkat melihat isi loketnya, ternyata tidak ada uangnya. Pertanyaan: a. Apakah Ibu terkena masalah? Jelaskan! b. Sebutkan alternatif tindakan Ibu selanjutnya! 9

19 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah. Ayah pergi ke kantor pada pukul diperjalanan terjebak macet selama 4 jam karena ada kecelakaan, Ayah tiba di kantor pukul Berapa lama sebenarnya perjalanan Ayah ke kantor? Soal tersebut dapat dikategorikan pada pemecahan masalah dalam bentuk apa? Jelaskan! 3. Disediakan 6 batang korek api. Bentuklah 4 segitiga sama sisi yang setiap sisi segitiga itu batang korek api (tidak dipotong-potong). 4. Misalkan Budi sedang berdiri di salah satu titik sudut (A) lapangan bola seperti pada gambar di bawah ini. Ia akan pergi ke titik sudut C dengan memilih jalan yang terdekat. Jalan manakah yang ia pilih? Jelaskan! A B D 5. Jenis pengetahuan apakah yang harus kita miliki agar kita mampu menyelesaikan masalah? Petunjuk Jawaban Latihan. a. Ya, Ibu sedang terkena masalah, karena uang merupakan hal yang penting untuk berbelanja. b. Ibu tidak jadi berangkat kepasar, Ibu meminjam/meminta dulu uang,. Soal tersebut dikategorikan masalah translasi, karena tinggal memindahkan kalimat verbal ke dalam kalimat matematika, seperti x 60 4 = Cobalah Anda buat sebuah limas segitiga, seperti gambar berikut ini. C 4. Budi harus melewati jalan AC, karena hanya itu jalan yang paling dekat dibandingkan dengan jalan ABC dan ADC. Hal tersebut dapat dibuktikan dengan dalil Phytagoras (c = a + b ) A B D C 5. Jenis pengetahuan yang harus kita miliki agar kita mampu menyelesaikan adalah ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi. Kita harus memiliki ingatan yang baik berbagai konsep (sifat, aturan, teorema, rumus, dalil, dan hukum) yang terdapat pada ilmu matematika, memiliki pemahaman yang baik terhadap konsep, dapat menerapkan dalam berbagai situasi, mampu menganalisis, membuat kesimpulan, dan dapat mengevaluasi hasil pekerjaan kita. 0

20 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Kita sebagai guru harus menumbuhkan sikap positif dalam mengahadapi permasalahan kehidupan sehari-hari yang ada di sekeliling kita. Sikap positif tersebut antara laian: () berani menerima tantangan, () mau mencoba menyelesaikannya, (3) tidak lekas menyerah, dan (4) teramapil mengaplikasikan pengetahuan dan pemahaman matematika dalam kehidupan sehari-hari. Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah bagi seseorang, jika orang itu tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang segera dapat digunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut. Ini berarti pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin, pertanyaan tersebut dapat dimengerti, pertanyaan tersebut merupakan tantangan untuk dijawab yang sifatnya individu dan bergantung pada waktu. Pemecahan/penyelesaian masalah merupakan proses penerimaan tantangan dan kerja keras untuk menyelesaikan masalah tersebut. Jadi aspek penting dari makna masalah adalah bahwa penyelesaian yang diperoleh tidak dapat dikerjakan dengan prosedur rutin. Berpikir keras harus dilaksanakan untuk mendapatkan cara menyelesaikan suatu masalah. Kalkulasi/perhitungan sederhana dan aplikasi langsung rumus-rumus tidak dikualifikan sebagai permasalahan. Masalah dapat dibedakan dari masalah translasi, masalah aplikasi, masalah proses, dan masalah teka-teki. Jawablah soal-soal berikut dengan memberi tanda silang pada huruf (A, B, C, atau D) jika: A jika pernyataan () dan () benar B jika pernyataan () dan (3) benar C jika pernyataan () dan (3) benar D jika pernyataan (), (), dan (3) benar. Amin membeli 3 kg telur, harga per kg nya Rp 8.000,00. Berapakah Amin harus membayar. Soal tersebut termasuk kategori... () masalah rutin () masalah translasi (3) non rutin. Amin berangkat ke sekolah menggunakan sepeda, tiba-tiba di perjalanan ban sepedanya kempes. Tindakan Amin yang baik adalah... () menitipkan sepedanya kepada orang yang ada di sekitarnya () menitipkan sepedanya kepada penambal ban (3) pulang kembali untuk menyimpan sepedanya

21 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 3. Tinggi suatu pohon dapat diketahui dengan cara mengukur panjang bayangannya. Pengetahuan yang diperlukan untuk mengetahui tinggi pohon tersebut adalah... () memahami konsep kesebangunan dalam segitiga () memahami sifat segitiga sama sisi (3) menggunakan alat ukur panjang 4. Dengan makin banyaknya kendaraan roda dua atau lebih, membuat perjalanan Ida menuju sekolah sering terlambat, maka dari itu Ida yang biasanya berangkat pukul di majukan menjadi pukul () berangkat ke sekolah bukan maslah bagi Ida () Ida sudah mengambil langkah tepat (3) Ida menghadapi maslah dalam berangkat ke sekolah 5. Pada hari Sabtu tanggal 7 Juni 006 usia Budi tepat 5 tahun. Pada hari apakah Budi lahir 5 tahun yang lalu? Untuk mengetahui hari lahir Budi diperlukan perhitungan... () jumlah hari dalam lima tahun terakhir () jumlah hari dalam lima tahun dibagi dengan bilangan tujuh (3) menghitung mundur dari sisa pembagian 6. Andri pergi sekolah pada pukul tiba di sekolah pukul Berapa lama perjalanan Andri? Model matematika yang dapat dibuat dari soal tersebut adalah... () =... () x = (3) x = Aplikasi apakah untuk menyelesaikan soal berikut ini. Berapakah luas daerah lingkaran yang berdiameter 0 cm. () memcari jari-jari lingkaran () menerapkan rumus (3) menerapkan rumus 8. Pertandingan sepak bola Piala Dunia 006 yang diikuti oleh 3 peserta dan dibagi dalam 8 group. Berapa peratandingan yang terjadi pada putaran pertama (yang diikuti oleh 3 kesebelasan yang dibagi dalam 8 group). Proses untuk menyelesaikan soal tersebut adalah... () menghitung jumlah pertandingan dalam satu group () mengalikan dengan delapan (3) menetapkan pemenang-pemenang pertandingan

22 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 9. Seorang petani akan menyebrangi jembatan dengan membawa rumput, kambing, dan srigala. Dalam menyebrangi jembatan dia hanya dapat membawa satu jenis benda (misalnya hanya rumput saja, atau kambing saja, atau srigala saja). Bagaimana caranya petani tersebut menyebrangi jembatan agar rumput tidak dimakan kambing dan kambing tidak dimakan srigala sewaktu ditinggalkan () menyebrangkan kambing dan menyimpannya. () menyebrangkan srigala dan mebawa kembali kambing yang sudah disebrangkan (3) menyebrangkan rumput dan terakhir menyebrangkan kambing 0. Manusia yang diperlukan di masa yang akan datang adalah manusia yang... () berani menerima tantangan () mampu berkompetisi (3) terampil menyelesaikan masalah Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 3

23 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah LANGKAH-LANGKAH DAN STRATEGI PEMECAHAN MASALAH Di dalam menyelesaikan masalah kita harus bekerja keras menerima tantangan untuk menyelesaikan masalah yang kita hadapi. Berbagai macam kemampuan berpikir yang kita miliki, seperti: ingatan, pemahaman dan penerapan berbagai teorema, aturan, rumus, dalil, dan hukum akan sangat membantu dalam penyelesaian suatu masalah matematika yang kita hadapi. Kemampuan dalam pemecahan masalah termasuk suatu ketrampilan, karena dalam pemecahan masalah melibatkan segala aspek pengetahuan (ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi) dan sikap mau meneriam tantangan. Seseorang yang sedang menghadapi masalah matematika harus ingat, mengerti, dan dapat menerapkan terhadap hal-hal yang terkait dengan masalah yang sedang dihadapinya. Misal, jika ia sedang melakukan pembelian suatu barang maka ia harus ingat terhadap konsep operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh.8. Contoh.9. Contoh.0. Amir membeli telur kg dengan harga perkilogram Rp ,00. Berapa rupiah Amir harus membayar? Dalam contoh tersebut operasi hitung yang terlibat adalah x 8000 atau Amir membeli kg telur, lantas Amir membayarnya Rp ,00. Berapakah harga kg telur? Untuk kasus tersebut operasi hitung yang terlibat adalah pembagian, yaitu x n = 6000 ; 6000 : = n. Amir mengetahui harga kg telur Rp ,00 lantas ia mengambil satu kantong yang harganya Rp ,00. Berapa kg Amir membeli telur? Untuk masalah ini operasi hitung yang terkait adalah operasi hitung pembagian atau pengurangan, yaitu: 6000 : 8000 atau

24 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Lebih jauh lagi seorang yang sedang menghadapi masalah matematika harus dapat menganalisis, mengsintesis, dan mengevaluasi hasil kinerjanya sehingga ia yakin benar akan hasil kinerjanya. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: () memahami soal, () memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. Dalam memahami soal, kita harus memahami dan mengidentifikasi apa fakta atau informasi yang diberikan, apa yang ditanyakan, diminta untuk dicari, atau dibuktikan. Dalam memilih pendekatan atau strategi pemecahan, misalkan mengambarkan masalah dalam bentuk diagram, memilih dan menggunakan pengetahuan aljabar yang diketahui dan konsep yang relevan untuk membentuk model atau kalimat matematika. Dalam menyelesaikan model, kita melakukan operasi hitung secara benar dalam menerapkan strategi, untuk mendapatkan solusi dari masalah. Dan menafsirkan solusi, yaitu kita harus memperkirakan dan memeriksa kebenaran jawaban, masuk akalnya jawaban, dan apakah memberikan pemecahan terhadap masalah semula. Berikut adalah diagram alur matematika sebagai cara memecahkan masalah yang dikutip dari Pusat Kurikulum Depdiknas (003), seperti berikut ini. SITUASI MASALAH ATAU SOAL NYATA SOLUSI ederhanaan pemeriksaan hasil interpretasi transformas matematisasi PERUMUSAN MASALAH MODEL MATEMATIKA Matematika sebagai cara memecahkan masalah Pada diagram pemecahan masalah di atas, soal atau masalah nyata disederhanakan (simplifikasi) kemudian dirumuskan atau diformulasikan ke dalam soal yang bisa diselesaikan secara matematika, lalu proses matematisasi yaitu proses menyatakan soal ke dalam bahasa matematika sehingga diperoleh model matematika. Melalui transformasi atau penyelesaian secara matematis diperoleh solusi (jawab atau pemecahan) dari model matematika. Solusi ini kemudian ditafsirkan atau diinterpretasikan sebagai penyelesaian masalah matematikanya. Kita, sebagai pemecah masalah perlu memeriksa kebenaran atau masuk akalnya jawaban terhadap masalah semula. 5

25 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Kita perlu perencanaan yang berupa langkah-langkah sistematik untuk menyelesaikan masalah tersebut.untuk memahami suatu masalah kita dapat membuat pertanyaan-pertanyan sebagai berikut: a. Bacalah dan bacalah berulang kali masalah tersebut. Pahami kata demi kata, kalimat demi kalimat. b. Identifikasi apa yang diketahui dari masalah tersebut c. Identifikasi apa yang hendak dicari d. Abaikan hal-hal yang tidak relevan dengan permasalahan e. Jangan menambahkan hal-hal yang tidak ada sehingga masalahnya menjadi berbeda dengan masalah yang kita hadapi. Contoh.. Jawab: Ali menyimpan baju dalam almari yang berwarna putih dan biru, di dalam almari tersebut ada delapan baju berwarna putih dan dua baju berwarna biru. Berapa baju yang harus diambil Ali paling sedikit dari dalam almari tersebut dengan tanpa melihat (ruangan dalam keadaan gelap), sehingga ia mendapatkan dua baju yang sama warnanya? Data yang tidak relevan adalah banyaknya baju dalam almari, sedangkan data yang relevan adalah 8 baju putih dan baju biru. Analisis! Apa yang akan terjadi jika Ali mengambil dua baju, tentu bisa sama atau bisa berbeda, jika berbeda warna maka Ali harus mengambil satu baju lagi. Jadi ali perlu mengambil tiga baju sekali-gus. Di dalam merencanakan penyelesaian masalah seringkali diperlukan kreativitas. Sejumlah strategi dapat membantu kita untuk merumuskan suatu rencana penyelesaian suatu masalah. Strategi tersebut antara laian: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru. Pada pelaksanaan pemecahan masalah strategi-strategi tersebut tidak berdiri sendiri, melainkan dapat digunakan lebih dari satu strategi. Berikut adalah contohcontoh penyelesaian pemecahan soal/masalah. () Membuat Tabel Contoh.. Jawab. Harga satu buku Matematika Rp 8.000,00 dan harga satu buku IPA Rp 7.000,00. Amin membeli 0 buku Matematika dan buku IPA, ia membayarnya Rp ,00. Berapakah Amin membeli buku Matematika dan Berapakah buku IPA? Susunan Harga Harga Matematika IPA Matematika IPA Total Jadi, dengan melihat tabel di atas Amin membeli buku Matematika sebanyak 4 buku dan buku IPA sebanyak 6 buku. 6

26 Contoh.3. Jawab Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Hasil Tes Formatif Matematika kelas VI SD Sukamaju sebagai berikut: 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 9, 4, 5, 6, 7, 8, 6, 7, 8, 9, 8, 8, 6, 6. Berapakah rata-ratanya dan berapa persen yang mendapat nilai lebih besar atau sama dengan 7? Nilai (x) Jml (f) Kumulatif f Kumulatif % f.x % Atas Bawah Atas Bawah Jumlah 5=N f.x 73 Rata-rata = = = 6.9 N 5 Yang mendapat nilai 7 adalah 4 orang atau 56 % () Membuat Gambar Contoh.4. Jawab Suatu kelompok siswa yang terdiri dari 5 anak. 8 anak menyukai matematika dan 0 anak menyukai IPA. Berapa anak yang menyukai kedua-duanya? Diagram Venn Mat IPA

27 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah (3) Menduga, Mencoba, dan Memperbaiki Contoh.5. Masukanlah bilangan,, 3, 4, dan 5 pada lingkaran yang disediakan di bawah ini, dengan syarat bilangan yang berdekatan tidak boleh berurutan (misal dan, dan 3, 3 dan 4, 4 dan 5 tidak boleh berdekatan) Jawab Coba-cobalah dengan cara menduga berbagai kemungkinan dan memperbaikinya jika terjadi kesalahan. (4) Mencari Pola Contoh.6 Jawab Isilah soal berikut dengan menentukan pola terlebih dahulu 5 x 5 = x 5 = 5 [( x ) + ] = 5 5 x 5 = 65 [( x ) + ] = x 35 = [(... x...) +... ] = 5 45 x 45 =... Pola dari perkalian 45 x 45 = [4 x 4) + 4) = 0, angka 0 dijadikan ribuan dan ratusan, sehingga menjadi 05. Jadi 45 x 45 = 05 8

28 (5) Mengguanakan Penalaran Contoh.7 Jawab. Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Jika 6 buku berharga Rp ,00, maka berapakah harga 0 buku? Jika 6 buku berharga Rp ,00, harga 0 buku adalah: 0 x00000 = Jadi harga 0 buku adalah Rp ,00 (6) Menggunakan Variabel dan Persamaan Contoh.8 Jawab Seorang peternak ayam dan sapi tidak ingin ternaknya diketahui secara pasti. Ketika ada yang bertanya dengan pertanyaan berapakah jumlah ayam dan sapi yang bapak miliki?. Peternak menjawab Ternak saya jumlah kepalanya ada 65 sedangkan kaki-kakinya ada 80, silakan Anda cari sendiri berapakah ayam dan sapi yang saya miliki. Misalkan ayam = x dan sapi = y, maka didapatkan persamaan: Kepala (persamaan ): x + y = 65 Kaki (persamaan ): x + 4y = 80 (persamaan ) menjadi x = 65 y (persamaan dimasukan ke persamaan ) menjadi: (65 y) + 4y = y + 4y = 80 y = 50 y = 5 (y = 5 dimasukan ke persamaan ): x + y = 65 x + 5 = 65 x = 40 Jadi x (ayam) = 40 dan y (sapi) = 5 9

29 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Contoh.9. Perhatikan gambar berikut! Berapakah rupiah harga sebuah gunting dan sebuah pulpen? Rp ,00 Rp ,00 Jawab Misalkan harga sebuah gunting = x dan harga sebuah pulpen = y, maka didapatkan persamaan: () 4x + 3y = (kalikan dengan ) () 3x + 6y = () 8x + 6y = () 3x + 6y = x + 0 = x = x = masukan ke salah satu persamaan () atau () Persamaan () 4x + 3y = (35000) + 3y = y = y = 6000 y = 4000 Pemeriksaan: 4(35000) + 3(4000) = pernyataan yang benar Jadi harga gunting (x) = Rp ,00 dan harga sebuah pulpen (y) = Rp 4.000,00 0

30 (7) Menggunakan Algoritma Contoh.0. Jawab Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Bilangan terbesar berapakah yang dapat membagi bilangan 45 dan 0? Untuk menjawab soal tersebut salah satunya dapat dilakukan dengan cara mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Algoritma Euclid, yaitu: FPB (45, 0) = 0 = x ; FPB (30, 45) = 45 = x ; FPB (5, 30) = 30 = x Jadi FPB (45, 0) adalah 5 Pemeriksaan: 45 : 5 = 3 dan 0 : 5 = 8 (8) Menggunakan Sifat-Sifat Bilangan Contoh.. Jawab Amin mempunyai tabungan di Bank Nusa Indah sebesar Rp ,00, tetapi ia mempunyai hutang ke Toko Sumber Rejeki sebesar Rp ,00. Berapa rupiah Amin mempunyai uang sebenarnya? Salah satu cara untuk mengetahui jawaban soal tersebut adalah dengan cara mengetahui sifat invers bilangan bulat, yaitu a + (-a) = 0 x = ( ) x = ( ) + ( ) x = [ ( )] x = x = Jadi Amin sebenarnya mempunyai uang sebesar Rp ,00

31 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah (9) Menggunakan Rumus Contoh.. Satu kolam renang berbentuk seperti gambar di bawah ini. Dengan keterangan: panjang 5 m, lebar 0 m, yang paling dalam 3 m dan yang paling dangkal m sepanjang 5 m. Berapakah air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut? I Jawab II III Volume Balok (I): Panjang 5 m, lebar 0 m, tinggi 3 m Rumus: p x l x t 5 x 0 x 3 = 750 m 3 Volume Balok (II): 5 x 0 x (3-) = 00 m 3 Volume Setengah Balok (III) : (5 5) x(0) x(3 ) 0x0 x = = 00m 3 (Volume I) (Volum II) (Volume III) = = 450 m m 3 = dm 3 = liter Jadi Air yang dibutuhkan untuk memenuhi kolam renang tersebut adalah liter. (0) Menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru. Contoh.3. Jawab Tiang bendera di depan sekolah talinya putus, dengan demikian talinya harus diganti dengan yang baru. Berapakah ukuran panjang tali yang diperlukan dengan tidak mengukur secara langsung panjang tiang bendera? Kita pandang tiang bendera sebagai salah satu sisi segitiga siku-siku yang akan dicari ukuran panjangnya, lantas tentukan salah sati titik untuk menancapkan tiang pendek (misalnya m), pada ujung puncak tiang m tersebut pasang tongkat yang bila ditarik garis lurus akan menyentuh ujung tiang bendera. Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut. D E A B C

32 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Misalkan AB = 3 m, AC = 8 m, dan BE = m Berlaku: AB AC 3 = 8 = CD BE CD = AE AD 3 CD = 6 CD = 5 3 m Jadi panjang CD (tiang bendera) = 5 3 m. Karena tali yang diperlukan untuk mengerek bendera sebanyak dua kali lipat, maka tali yang diperlukan haruslah x 5 = x = = 0 m Sebidang persegi panjang salah satu sisinya 4 m, sedangkan sisi yang lain panjangnya dua kali lipat. Berapakah luas dan kelilingnya? Dari soal tersebut, informasi apa yang diberikan, apa yang hendak diketahui, dan sebutkan rumus yang terkait!. Amir dan Budi dua saudara. Amir dan Budi menabung di celengan yang sama hingga mencapai Rp ,00. Amir merasa telah memasukan uang Rp ,00, sedangkan Budi merasa telah memasukan uang sebesar Rp 0.000,00. Setelah bermusyawarah mereka setuju untuk membagi sama sisa uang yang menjadi milik bersama. Berapakah hasil tabungan mereka masingmasing? 3. Ayah dan Anak mencangkul bersama-sama sebidang tanah menghabiskan waktu 6 jam, sedangkan kecepatan bekerja Ayah tiga kali lipat dari pada Anaknya. Berapa waktu yang diperlukan jika pekerjaan itu diselesaikan secara terpisah, baik oleh Ayah maupun oleh Anaknya? 4. Dua tahun yang lalu umur Ayah 6 kali umur anaknya, dan 8 tahun kemudian umur Ayah akan menjadi dua kali umur anaknya. Tentukan umur mereka masing-masing! 3

33 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Petunjuk Jawaban Latihan. Informasi yang diberikan: panjang sisi 4 m dan sisi lain.(4 m)= 8 m Yang hendak diketahui: Luas dan keliling persegi panjang Rumus yang terkait: Luas = panjang x lebar Keliling = (panjang) + (lebar). Dengan membuat gambar didapat: Amir Budi Karena sudah sepakat yang milik bersama dibagi dua, maka: Uang Amir: ( : ) = Uang Budi : ( :) = Dengan cara lain didapatkan: Misalkan Uang Amir (A) dan uang Budi (B): n(a B) = n(a) + n(b) (A B) = (A B) (A B) = (A B) = Uang milik Amir : ( : ) = Uang milik Budi : ( : ) = Waktu yang dibutuhkan Ayah : 6 : = x6 = 8 jam 4 3 Waktu yang dibutuhkan Anak: 6 : 4 = 4 x6 = 4 jam 4. Misalkan umur Ayah = x, dan umur Anak = y, diperoleh persamaan: () (x ) = 6(y ) x = 6y x 6y = -0 () (x + 8) = (y + 8) x + 8 = y + 36 x y = 8 Jika x = y (persamaan ), maka (persamaan ) = (-0 + 6y) y = 8 4

34 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 4y = 8 y = 7 Untuk y = 7 persamaan () = x 6(7) = -0 x = 3 Jadi umur Ayah sekarang 3 tahun dan umur Anaknya 7 tahun Kemampuan dalam pemecahan masalah termasuk suatu ketrampilan, karena dalam pemecahan masalah melibatkan segala aspek pengetahuan (ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi) dan sikap mau menerima tantangan. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: () memahami soal, () memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. Untuk memahami suatu masalah kita dapat membuat pertanyaan-pertanyan sebagai berikut: a. Bacalah dan bacalah berulang kali masalah tersebut. Pahami kata demi kata, kalimat demi kalimat. b. Identifikasi apa yang diketahui dari masalah tersebut c. Identifikasi apa yang hendak dicari d. Abaikan hal-hal yang tidak relevan dengan permasalahan e. Jangan menambahkan hal-hal yang tidak ada sehingga masalahnya menjadi berbeda dengan masalah yang kita hadapi. Sejumlah strategi dapat membantu kita untuk merumuskan suatu rencana penyelesaian suatu masalah, yaitu: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru, dll. Pada pelaksanaan pemecahan masalah strategi-strategi tersebut tidak berdiri sendiri, melainkan dapat digunakan lebih dari satu strategi. 5

35 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Saya mempunyai selembar kertas dengan ukuran 40 cm x 40 cm, bila akan dibuat suatu kotak kue tanpa tutup, maka gambarnya jaring-jaring kotak tersebut adalah... A B C D. Jika harga kg telur Rp 0.000,00, maka harga 8 kg telur adalah... 8 A. 8 x Rp 5.000,00 C. xrp 0.000, 00 B. xrp 0.000, 00 8 D. Rp 5.000,00 x 8 3. Ayah telah mempunyai pagar sepanjang 40 m untuk memagari kandang itik (berbentuk persegipanjang) di belakang rumahnya ada tembok belakang dapat dijadikan salah satu sisi persegi panjang. Berapakah ukuran yang dapat dibuat agar ukuran luas persegi panjang tersebut yang paling luas? Salah satu sisi persegipanjang tersebut adalah... A. 5 m C. m B. 0 m D. 5 m 4. A dan B berjalan mengelilingi lapangan sepak bola yang kelilingnya km. A membutuhkan waktu 6 menit sedang B membutuhkan 0 menit. Apabila mereka start dan dalam waktu yang sama, dalam berapa menit mereka berpapasan jika mereka start dalam berlawanan arah? A. 3 menit C. 3,75 menit B. 3,5 menit D. 4 menit 6

36 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 5. Seorang Bapak meninggal dunia dengan meninggalkan ahli waris: seorang Istri, anak laki-laki, dan 3 anak perempuan. Harta peninggalannya berupa ha tanah dan uang sebesar Rp ,00. Jika istri mendapat 8 dari total harta peninggalan, sedangkan anak laki-laki mendapat dua bagian dibanding anak perempuan dari sisa harta. Berapakah bagian masingmasing (istri, anak laki-laki, dan anak perempuan). Yang diketahui (informasi) dari soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali... A. Keluarga yang ditinggalkan anak dan istri B. Harta yang ditinggalkan tanah 0000 m dan uang 00 juta rupiah C. Istri mendapat seperdelapan bagian D. Satu orang anak laki-laki mendapat 5 juta rupiah dan 500 m 6. Seorang pengusaha sewaan becak dan sepedah tidak ingin tetangganya mengetahui berapa banyak becak dan sepedah yang ia punyai secara khusus, maka ketika tetangganya bertanya, ia menjawab, Aku mempunyai 69 becak dan sepedah sedangkan jumlah bannya 83. Berapakah banyaknya becak dan berapakah banyak sepedah yang dipunyai pengusha tersebut? Strategi untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali... A. harus menggambar becak dan sepeda B. menggunakan dua variabel C. membuat dua persamaan D. menyelesaikan persamaan dengan menggunakan teknik eliminasi 7. Tanah yang berbentuk persegi panjang mempunyai keliling 50 m dan luasnya 50 m. Berapakah panjang dan lebarnya? Untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut, kecuali... A. mengetahui rumus keliling dan luas persegi panjang B. membuat persamaan berdasarkan apa yang diketahui C. menyelesaiakan persamaan kuadrat yang terbentuk oleh operasi aljabar D. memperkirakan panjang dan lebarnya 8. Persamaan kuadrat yang terbentuk dari gambar di bawah ini adalah... A. x + 4 x 480 = 0 B. x + 4 x 34 = 0 34 x + 4 C. x + 4 x + 34 = 0 D. x + 4 x = 0 x 9. Berapa bulan yang diperlukan untuk membayar hutang Rp ,00, bila bulan pertama dibayar Rp 5.000,00, bulan kedua Rp ,00, bulan ketiga Rp ,00 dst. A. 5 bulan C. 0 bulan B. 6 bulan D. 5 bulan 7

37 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 0. Ada berapa cara dua hadiah dapat diberikan kepada 0 konstestan apabila kedua hadiah tidak boleh jatuh kepada orang yang sama. A. 0 cara B. 0 cara C. 90 cara D. 00 cara Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 8

38 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah KUNCI JAWABAN Tes Formatif. A. C 3. D 4. A 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 0. D Tes Formatif. B. C 3. B X Luas C. Misalkan x = waktu yang dicari dalam menit x + x = km x + x = menit = 3 menit D 6. A 7. D 8. A (x + 4) + (x) = (34) x + 8x x = 56 x + 8x 960 = 0 x + 4 x 480 = 0 9

39 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah 9. B Diketahui a = 5000 dan b = ( ) = 5000 Ditanyakan banyaknya bulan pembayaran (n) n S n = [ a + ( n ) b] n = [ (5.000) + ( n )5.000] n = [ n 5.000] n = [ n] =.500n +.500n n + 9n 400 = 0 n 6 atau n = -5 = Jadi n yang mungkin adalah 6 (banyaknya bulan untuk membayar hutang Rp ,00 0. C Tahap pertama ada 0 cara, dan tahap kedua ada 9 cara, sehingga jumlah seluruhnya adalah 0 x 9 = 90 30

40 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah GLOSARIUM algoritma : suatu tata cara yang sistematis untuk menemukan jawaban dari suatu soal. Setiap langkah harus jelas letaknya. aplikasi : penerapan identifikasi :. tanda kenal diri; bukti diri;. penentu atau penetapan identitas seseorang, benda, dsb interpretasi : menterjemahkan komprehensif : pemahaman matematisasi : proses mengubah kalimat biasa ke model matematika non rutin : tidak biasa rutin : biasa simplikasi : menyederhanakan solusi : penyelesaian transformasi : perubahan rupa (bentuk, sifat, fungsi, dsb) translasi : terjemahan variabel : sesuatu yang belum tentu 3

41 Makna, Klasifikasi, Langkah-langkah Penyelesaian, dan Strategi Pemecahan Masalah DAFTAR PUSTAKA Billstein, Rick, Shlomo Lebeskind, Johnny W. Lott. A Problem Solving Approach to Mathematics For Elementary School Teachers (Fifth Edition). Addison-Wesley Publishing Company. TT Herman Hudoyo dan Akabar Sutawidjaja (996/997), Matematika, Depdikbud, Jakarta. Pusat Kurikulum Depdiknas, Kurikulum Matematika Sekolah Dasar tahun 004 Tim MKPBM Jurusan Pendidikan Matematika (00), Common Text Book Strategi Pembelajaran Matematika Kontempor. UPI, Bandung Wheeler, R.E. (99). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth. 3

42 Pembelajaran PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Peranan guru dalam proses pembelajaran di tingkat sekolah dasar sangat penting adanya, karena siswa belum menyadari akan pentingnya belajar dan mereka belum bisa berpikir secara formal. Oleh karena itu masyarakat umum sering beranggapan, bahwa keberhasilan belajar siswa di tingkat sekolah dasar banyak ditentukan oleh gurunya. Seorang guru yang profesional hendaknya mengenali secara baik komponen-komponen pembelajaran, karena itulah pembahasan pada bahan belajar mandiri ini akan difokuskan pada komponen-komponen pembelajaran, seperti: Tujuan dan karakteristik matematika, kendala dalam belajar matematika, karakteristik siswa sekolah dasar, metode pembelajaran, dan hasil pembelajaran. Secara khusus tujuan yang akan dicapai setelah belajar bahan belajar mandiri ini, Anda dapat:. menjelaskan tujuan belajar matematika. menjelaskan karakteristik materi matematika 3. menjelaskan kendala yang sering ditemukan dalam belajar matematika 4. menjelaskan karakteristik siswa sekolah dasar 5. menyebutkan berbagai metode yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika. 6. menjelaskan hasil belajar matematika Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini.. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya.. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini. 33

43 Pembelajaran TUJUAN DAN KARAKTERISTIK BELAJAR MATEMATIKA. Tujuan Belajar Matematika Matematika adalah salah satu alat berpikir, selain bahasa, logika, dan statistika (Suriasumantri, 999 : 67). Di pihak lain matematika merupakan ilmu yang berperan ganda, yakni sebagai raja dan sebagai pelayan ilmu. Sebagai raja, matematika merupakan bentuk logika paling tinggi yang pernah diciptakan oleh pemikiran manusia, sedangkan sebagai pelayan, matematika menyediakan sistem logika serta model-model matematika dari berbagai segi kegiatan keilmuan. Menurut Russeffendi, matematika sebagai: ilmu deduktif, bahasa, seni, ratunya ilmu, ilmu tentang struktur yang terorganisasikan, dan ilmu tentang pola dan hubungan (Ruseffendi, 997 : 73-74) Matematika disebut ilmu deduktif, sebab dalam matematika tidak menerima generalisasi yang berdasarkan pada observasi, eksperimen, coba-coba (induktif) seperti halnya ilmu-ilmu lain. Kebenaran generalisasi dalam matematika harus dapat dibuktikan secara deduktif. Matematika adalah bahasa, sebab matematika merupakan bahasa simbol yang berlaku secara universal (internasional) dan sangat padat makna dan pengertian. Sebagai seni, dalam matematika terlihat adanya keteraturan, keterurutan dan konsisten, sehinga matematika indah dipandang dan diresapi seperti hasil seni. Sedangkan sebagai ratunya ilmu, matematika adalah bahasa, ilmu deduktif, ilmu tentang keteraturan, ilmu tentang sruktur yang terorgasisaikan dengan baik dan merupakan pelayan ilmu lainnya. Soedjadi (000) memberikan enam definisi atau pengertian tentang matematika, yaitu: () Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir dengan baik, () Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, (3) Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, (4) Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk, (5) Matematika adalah pengetahuan tentang strukturstruktur yang logik, dan (6) Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat. Dalam Kurikulum SD 004, matematika berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika sederhana yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi bilangan, pengukuran dan geometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel. Dan tujuan pembelajaran matematika adalah: 34

44 Pembelajaran () Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi. () Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba. (3) Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah (4) Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan Dari tujuan di atas jelaslah bahwa belajar matematika tidak sekedar dapat menyelesaian suatu soal melalui berbagai operasi hitung, tetapi lebih jauh dari itu, seperti yang telah disebutkan di atas. Seorang guru dituntut untuk dapat memilih strategi atau pendekatan model proses pembelajaran yang dapat diartikan sebagai perbuatan, atau suatu kebijakan dari guru yang menyangkut penyajian materi pelajaran supaya anak didik atau siswa mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Kebijakan itu mencakup kegiatan guru, kegiatan siswa dan interaksi antara guru dan siswa. Hal tersebut sesuai dengan perannya, yaitu sebagai: () demonstrator, () pengelola kelas, (3) mediator dan fasilitator, dan (4) evaluator. Sesuai dengan profesinya yang berhubungan dengan pengelola kelas (pengelola pembelajaran), seorang guru dituntut untuk mengembangkannya, yaitu harus menyadari bahwa profesinya menuntut kompetensi atau kemampuan yang lebih. Adapun yang berhubungan dengan kompetensi atau kemampuan guru, yaitu: () Mengembangkan kepribadian; () Menguasai landasan kependidikan; (3) Menguasai bahan pengajaran; (4) Menyusun program pengajaran; (5) Melaksanakan program pengajaran; (6) Menilai hasil dan proses belajar-mengajar yang telah dilaksanakan; (7) Menyelenggarakan program bimbingan; (8) Menyelenggarakan administrasi sekolah; (9) Berinteraksi dengan sejawat dan masyarakat; dan (0) Menyelenggarakan penelitian sederhana untuk keperluan pengajaran. Adapun kemampuan yang secara langsung terlibat dalam proses pembelajaran adalah: () menguasai bahan pengajaran; () menyusun program pengajaran; (3) melaksanakan program pengajaran, dan (4) menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan. Dalam menguasai bahan pengajaran, berdasarkan kurikulum SD 004 guru dituntut menguasai kemampuan matematika yang dipilih dalam Standar Kompetensi. Kompetensi tersebut dirancang sesuai dengan kemampuan dan kebutuhan siswa agar dapat berkembang secara optimal, serta memperhatikan pula perkembangan pendidikan matematika di dunia sekarang ini. Untuk mencapai kompetensi tersebut dipilih materi-materi matematika dengan memperhatikan struktur keilmuan, tingkat kedalaman materi, serta sifat esensial materi dan keterpakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Secara rinci, standar kompetensi tersebut, adalah sebagai berikut, yaitu: () Bilangan, yang mencakup: melakukan dan menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan dalam pemecahan masalah dan menaksir operasi hitung () Pengukuran dan Geometri, yang mencakup: mengidentifikasi bangun datar dan bangun ruang menurut sifat, unsur, atau kesebangunannya, melakukan operasi hitung yang melibatkan keliling, 35

45 Pembelajaran luas, volume, dan satuan pengukuran, menaksir ukuran (misal: panjang, luas, volume) dari benda atau bangun geometri, menentukan dan menggambarkan letak titik atau benda dalam sistem koordinat (3) Pengelolaan Data, yang mencakup: Mengumpulkan, menyajikan, dan menafsirkan data (ukuran pemusatan data) Sebelum melakukan kegiatan pembelajaran, guru dituntut untuk menyusun program pembelajaran, agar proses pembelajaran terarah dan hasil yang akan dicapai maksimal. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam perencanaan proses pembelajaran ini antara lain adalah: () mengkaji konsep yang akan dipelajari siswa, () mengidentifikasi indikator keberhasilan yang diharapkan dapat dikuasai siswa, (3) mengidentifikasi berbagai keterampilan prasyarat yang akan ditinjau kembali sebelum mengenal konsep baru, (4) memilih metode dan media yang akan digunakan untuk menjelaskan konsep, (5) memikirkan macam kegiatan latihan yang akan digunakan untuk meningkatkan penguasaan, (6) mencari cara menilai keberhasilan proses pembelajaran (Sutawidjaja, 99/993 : 4). Dalam melaksanakan program pengajaran, hal-hal yang perlu diperhatikan antara lain sebabagai berikut: () mengatur ruangan kelas, jika diperlukan guna menghindari gangguan yang mungkin terjadi, () mengusahakan peran siswa aktif, (3) mengenal dan menyelesaikan kesulitan belajar siswa, (4) menyampaikan konsep matematika secara tepat, (5) menyesuaikan kecepatan dan arah pembelajaran guru dengan kelompok siswa, (6) Mengusahakan suatu iklim pembelajaran yang dapat menerima kesalahan sebagai bagian dari proses belajar, dan siswa secara bebas untuk bertanya, (7) mendorong siswa untuk mau belajar matematika, (8) mengembangkan sikap positif siswa terhadap matematika, (9) memilih dan menggunakan metode yang cocok untuk tujuan perilaku dan konsep yang telah ditentukan (Sutawidjaja, 99/993 : 7-8) Dalam suatu proses pembelajaran guru perlu mengetahui hasil kinerjanya, yang berupa berbagai kemampuan yang dapat dikategorikan sebagai aspek kognitif (cognitive), aspek afektif (affective), dan aspek keterampilan (psykomotoric). Aspek kognitif, yaitu aspek yang berkenaan dengan kemampuan berpikir dari tingkatan yang rendah sampai tingkatan yang lebih tinggi, yaitu : pengetahuan (knowledge), pemahaman (comprehension), penerapan (aplication), analisis (analisys), sintesis (synthesis), dan evaluasi (evaluation). Aspek Apektif (affective) adalah hal-hal yang berhubungan dengan sikap(attidute) sebagai manifestasi dari minat (interest), motivasi (motivation), kecemasan (anxiety), apresiasi perasaan (emosional appreatiation), penyesuaian diri (self adjusment), bakat (aptitude), dan semacamnya. Aspek keterampilan (psykomotoric) mencakup gerakan sederhana sampai kompleks, seperti: gerakan refleks, gerakan dasar, gerakan keterampilan, dan gerakan komunikasi (Ruseffendi, 99). Semua aspek-aspek tersebut tidaklah berdiri sendiri, melainkan saling mempengaruhi satu dengan yang lainnya. Misalkan dalam menyelesaiakan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari semua aspek tersebut terlibat, dimulai dari aspek kognitif, afektif dan psikomotor. Maka dari itu dalam menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan haruslah ditujukan pada keberhasilan apek kognitif, afektif, dan psikomotor. Dengan kata lain keberhasilan proses pembelajaran tidak dapat diwakili oleh salah satu aspek saja, melainkan terintegrasi dalam semua aspek. 36

46 Pembelajaran Pembelajaran pemecahan masalah matematika dapat dikatakan sebagai muara dalam belajar matematika, sebab berbagai aspek (kognitif, afektif,dan psikomotor) terlibat di dalamnya. Misalnya, jika kita sedang mengahadapi permasalahan dengan pengukuran luas/keliling suatu bangun geometri, dibutuhkan aspek kognitif seperti pengetahuan, pemahaman, dan aplikasi rumus. Di pihak lain kita dituntut untuk menerima permasalahan sebagai suatu tantangan yang harus dicarikan solusinya, dan akhirnya kita harus mempunyai kemampuan untuk melaksanakan pemecahan masalah dalam bentuk perbuatan yang nyata.. Karakteristik Belajar Matematika Materi pelajaran matematika termasuk materi yang abstraks, oleh karenanya hanya orangorang yang dapat berpikir abstraks saja yang dapat mempelajari matematika. Bagi siswa sekolah dasar akan kesulitan belajar matematika, jika gurunya tidak menyesuaikan dengan kemampuan berpikir siswa-siswanya (siswa SD yang berusia di bawah tahun pada umumnya belum dapat berpikir abstraks). Karena sifat abstraksnya itu maka guru harus memulai dalam belajar matematika dari konkrit (nyata) menuju abstraks. Misal, jika guru akan mengajarkan penjumlahan bilangan cacah + 3 = 5, tahap-tahapnya adalah sebagai berikut: () Ambilah contoh-contoh benda yang dapat mewakili bilangan dan bilangan 3, misalnya apel, kelereng, jeruk, dan sebagainya. () Lakukan penggabungan antara dua apel dengan tiga apel menjadi satu wadah, suruhlah siswa untuk menghitung satu persatu apel yang sudah dijadikan satu wadah tersebut. (3) Tulislah kejadian tersebut dalam kalimat: dua apel digabungkan dengan tiga apel menjadi lima apel atau dua apel ditambah tiga apel sama dengan lima apel (4) Lakukan penggunakan lambang bilangan dan simbol-simbol/lambang-lambang matematika yang digunakan, seperti: apel + 3 apel = 5 apel (catatan: dalam menjumlah atau mengurang jangan mengambil contoh benda yang berbeda, misalnya: apel + 3 jeruk =?) (5) Gunakan kalimat matematika yang sebenarnya, yaitu : + 3 = 5 (6) Suruhlah siswa untuk membuat kalimat biasa dari kalimat matematika + 3 = 5 yang lainnya, misalnya yang sedang dibicarakan adalah jeruk atau pisang. Tahap (5) dari contoh di atas merupakan bentuk abstraks, karena kalimat matematika + 3 = 5 dapat diterapkan dalam berbagai kasus Di pihak lain, orang (siswa) yang akan belajar matematika harus memiliki hukum kekekalan, jika tidak memiliki hukum kekekalan, maka siswa belajar matematikanya melalui hafalan (Ruseffendi, 99). Hukum kekekalan tersebut adalah hukum kekekalan: materi, bilangan, panjang, luas, berat, dan isi. 37

47 Pembelajaran Hukum kekekalan materi sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa benda-benda itu tidak berubah walaupun bentuk wadahnya berubah-ubah. Perhatikan contoh gambar di bawah ini. Manakah yang lebih banyak isinya antara bentuk bangun ruang A atau B? A B Jika siswa/anak mengatakan (berpendapat) bahwa bangun ruang A yang lebih banyak, maka pertanda siswa/anak tersebut belum memilki kekekalan materi. Hukum kekekalan bilangan sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa jumlah benda tertentu tidak berubah jumlahnya jika ditempatkan dengan berbagai cara, misalnya dalam dua wadah, tiga wadah, dan sebagainya. Perhatikan gambar berikut, daerah manakah yang lebih banyak jumlah kelerengnya? A B Jika siswa/anak menyebutkan bahwa daerah B yang paling banyak kelerengnya, maka pertanda anak belum memiliki hukum kekekalan bilangan. Untuk mempercepat siswa memiliki hukum kekekalan bilangan, latihlah siswa dengan percobaan percobaan seperti berikut. Bagaimana caranya agar kita memiliki 0 kelereng? Kemungkinan jawaban adalah sebagai berikut: 38

48 Pembelajaran Siswa A: saya mengambil dari si B sebanyak,dari si C sebanyak, dari si D sebanyak 3, dan dari si E sebanyak 4. Siswa B : saya mengambil dari si A sebanyak, dari si C sebanyak 3, dan dari si D sebanyak 5. Siswa C : saya mengambil dari si A sebanyak 4, dari si D sebanyak 6. Dari contoh kegiatan tersebut, jelas terlihat bahwa 0 kelereng dapat diubah dalam berbagai bentuk, yang akhirnya ditulis dalam kalimat matematika, sebagai berikut: 0 = = = dan lain lain Hukum kekekalan panjang sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa panjang suatu benda tidak berubah walaupun ditempatkan dengan berbagai cara, dibentangkan, digulung, dan sebagainya. Perhatikan gambar berikut. A B Dari ilustrasi di atas jika siswa berpendapat tali A yang paling panjang, maka pertanda siswa itu belum memiliki hukum kekekalan panjang. Untuk mempercepat siswa memiliki hukum kekekalan panjang, lakukan percobaan-percobaan mengukur benda-benda dengan berbagai satuan ukuran yang lebih kecil. Satuan ukuran yang baku adalah metrik (meter), inchi, foot, yard, dan mil. Untuk tahap pertama anak belajar satuan panjang gunakan satuan ukuran yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti di Indonesia yang sering digunakan adalah meter, digambarkan dalam tangga metrik yang menggambarkan besarnya konversi dengan satuan metrik yang lainnya, yaitu: km hm dam m dm cm mm 39

49 Pembelajaran Hukum kekekalan luas sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa luas suatu daerah tidak berubah walaupun dibagi-bagi dalam beberapa bagian. Perhatikan contoh gambar berikut. A B Jika diberikan ilustrasi di atas lantas siswa berpendapat bahwa luas daerah B yang lebih luas, maka pertanda siswa belum memiliki hukum kekekalan luas. Untuk menumbuhkan hukum kekekalan luas, cobalah siswa diajak melakukan percobaan merakit suatu bangun datar yang terpisah menjadi bangun-bangun datar baru yang merupakan satu kesatuan. Untuk tahap pertama anak belajar satuan luas gunakan satuan ukuran yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti di Indonesia yang sering digunakan adalah metrik persegi (m ) dan are, digambarkan dalam tangga metrik yang menggambarkan besarnya konversi dengan satuan metrik yang lainnya, yaitu: km km dam m dm cm mm Hukum kekekalan berat sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa berat suatu benda tidak berubah walaupun dibagi-bagi dalam beberapa bagian. Hukum kekekalan berat akan tumbuh dan berkembang bila siswa sering melakukan percobaan menimbang berat suatu benda dan membandingkan dengan berat benda lain yang lebih banyak jumlahnya, tetapi beratnya sama. Suatu berat hanya dapat dirasakan, sebab benda yang kelihatannya besar belum tentu beratnya juga besar. Misal, kapuk satu kilogram dengan besi satu kilogram, mana yang bentuknya besar?. 40

50 Pembelajaran Satuan ukuran berat yang sering digunakan di Indonesia adalah: ton, kwintal (kw), kilogram (kg), dan gram (g). Hati-hati penggunaan satuan berat ons, untuk di Indonesia satu ons = 00 gram, tetapi untuk di dunia internasional satu ons = 8, 3 gram (Hollands, 984) Hukum kekekalan isi (volume) sudah ada pada diri siswa ditandai dengan adanya persepsi bahwa isi suatu benda ruang tidak berubah walaupun terbagi-bagi dalam satuan yang lebih kecil. Hukum kekekalan isi akan tumbuh dan berkembang bila siswa sering melakukan percobaan mengetahu isi suatu benda dan membanding dengan isi benda lain yang lebih banyak jumlahnya, tetapi isinya sama. Adanya atau telah memiliki hukum kekekalan hukum kekekalan tersbeut merupakan prasyarat siswa untuk belajar matematika, maka dari itu seorang guru yang hendak memberikan pelajaran matematika, perlu mengontrol/mendiagnosis terlebih dahulu siswa-siswanya akan kemampuan dasar yang harus dimiliki. Jika hal ini tidak diperhatikan akan terdapat siswa yang kesulitan belajar matematika secara formal.. Mengapa matematika disebut ilmu deduktif? Berikan alasannya.. Apa yang dimaksud ilmu matematika sebagai pelayan ilmu? berikan contohnya. 3. Sebutkan tujuan belajar matematika secara singkat menurut kata-kata sendiri! 4. Apa yang dimaksud peran guru sebagai pasilitator? Jelaskan! 5. Tugas guru adalah mengajar, sebutkan hal-hal yang harus dilakukan guru sehubungan dengan tugasnya itu? 6. Mengapa dalam belajar matematika siswa perlu memimiliki hukum kekekalan? Petunjuk Jawaban Latihan. Matematika disebut ilmu deduktif, sebab dalam matematika tidak menerima generalisasi yang berdasarkan pada observasi, eksperimen, coba-coba (induktif) seperti halnya ilmu-ilmu lain. Kebenaran generalisasi dalam matematika harus dapat dibuktikan secara deduktif. Ilmu matematika banyak memberikan sumbangan terhadap ilmu lain, seperti dalam ilmu ekonomi, IPA, dan lain-lian. Penerapan rumus deret aritmatika pada perhitungan jumlah bunga yang ditetapkan, menentukan waktu gerhana, dan sebagainya. 3. Melatih berpikir, mengembangkan kreativitas, mengembangakan kemampuan pemecahan masalah, dan dapat berinteraksi secara efisien dan efektif 4. Guru menyediakan pasilitas belajar untuk siswa-siswanya, agar siswa belajar lebih efektif, seperti menyediakan alat/media pembelajaran. 5. Tugas guru dalam mengajar antara lain: menguasai bahan pengajaran, menyusun program pengajaran, melaksanakan program pengajaran, dan menilai hasil dan proses belajar mengajar yang telah dilaksanakan. 6. Sebab belajar matematika bersifat abstraks, jika siswa tidak memiliki hukum kekekalan, maka belajar siswa melalui hafalan. 4

51 Pembelajaran Sebutan terhadap matematika adalah: ilmu deduktif, bahasa, seni, ilmu tentang keteraturan, ilmu tentang struktur, dan pelayan terhadap ilmu lain. Matematika SD berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika sederhana yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui materi bilangan, pengukuran dan geometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan bahasa melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel. Tujuan pembelajaran matematika adalah:. Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikian, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi.. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba 3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah 4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan Peran guru sebagai:demonstrator, pengelola kelas, mediator dan fasilitator, dan evaluator. Guru dituntut untuk kompeten dalam: () Mengembangkan kepribadian; () Menguasai landasan kependidikan; (3) Menguasai bahan pengajaran; (4) Menyusun program pengajaran; (5) Melaksanakan program pengajaran; (6) Menilai hasil dan proses belajarmengajar yang telah dilaksanakan; (7) Menyelenggarakan program bimbingan; (8) Menyelenggarakan administrasi sekolah; (9) Berinteraksi dengan sejawat dan masyarakat; dan (0) Menyelenggarakan penelitian sederhana untuk keperluan Materi pelajaran matematika termasuk materi yang yang abstraks, oleh karenanya hanya orang-orang yang dapat berpikir abstraks saja yang dapat mempelajari matematika.. Di pihak lain, orang (siswa) yang akan belajar matematika harus memiliki hukum kekekalan, jika tidak memiliki hukum kekekalan, maka siswa belajar matematikanya melalui hafalan. Hukum kekekalan tersebut adalah hukum kekekalan: materi, bilangan, panjang, luas, berat, dan isi. 4

52 Pembelajaran Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Kebenaran suatu pernyataan pada matematika haruslah... A. disepakati bersama B. dapat dibuktikan secara intuitif C. didasarkan pada pernyataan lain sebelumnya D. didasarkan pada rumus-rumus. Matematika sering disebut seperti di bawah ini, kecuali... A. pelayan ilmu C. karya seni B. rajanya ilmu D. bahasa universal 3. Cabang matematika yang dipelajri di SD adalah sebagai berikut, kecuali... A. geometri C. aritmatika B. pengukuran D. kalkulus 4. Guru menyusun skenario pembelajaran termasuk tugas guru dalam bidang... A. membuat rencana pembelajaran C. mempersiapkan alat/media B. menyusun materi pelajaran D. mengadakan evaluasi 5. Siswa dapat menjelaskan bahwa =, =, dan = juga. Anak tersebut telah memiliki hukum kekekalan... A. materi C. isi B. bilangan D. panjang 6. Guru menjelaskan konsep bigaimana guru tersebut dapat dikategorikan penjelasan... A. konkrit C. abstrak B. semi konkrit D. semi abstrak 5 + = dengan menggunakan garis bilangan, kegiatan Guru memperlihatkan bagai mana dengan menggunakan bangun lingkaran yang dibagi enam. Kegiatan guru tersebut termasuk sebagai... A. Pengelola kelas C. Demonstrator B. Fasilitator D. Evaluator 43

53 Pembelajaran 8. Melatih siswa untuk dapat memecahkan masalah matematika dalam kehidupan sehari-hari merupakan muara dari belajar matematika, sebab... A. siswa telah belajar matematika B. pemecahan masalah membutuhkan berbagai kemampuan C. diberikan diakhir pelajaran D. hanya siswa yang telah memahami konsep matematikalah yang dalat menyelesaikan pemecahan masalah 9. Siswa oleh gurunya ditugaskan untuk mengukur panjang seutas tali yang panjangnya meter. Siswa A kebagian alat yang ukurannya 0 cm, Siswa B kebagian alat yang ukurannya 0 cm, siswa C kebagian alat yang ukurannya 50 cm, dan siswa D mengukurnya dengan menggunakan jengkal tangannya. Setelah mereka mengukur dan melaporkan hasilnya. Guru bertanya kepada semua siswa, dengan pertanyaan manakah hasil pengukuran yang benar, dan siswa menjawab masing-masing merasa benar. Fenomena tersebut menandakan bahwa siswa-siswa tersebut... A. belum mengetahui ukuran panjang B. mempunyai pendirian yang kuat C. belum memiliki hukum kekekalan panjang D. belum mengetahui alat ukur yang baku 0. Guru yang hendak mengajarkan materi perkalian, prasyarat untuk mempelajari perkalian tersebut adalah... A. siswa telah paham penjumlahan C. siswa telah paham pembagian B. siswa telah paham pengurangan D. siswa telah paham konsep bilangan Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 44

54 Pembelajaran PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Belajar matematika tidaklah bermakna jika tidak dikaitkan dalam kehidupan sehari-hari. Karena dalam kegiatan kehidupan sehari-hari sering membutuhkan bantuan ilmu matematika, misalnya dalam jual-beli, bertani, dan lain-lain. Karena memang matematika tumbuh dan berkembang dari kehidupan sehari-hari manusia dengan segala aktivitasnya. Misalnya saja dalam pekembangan bilangan, yang dimulai dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional/ irrasional, bilangan khayal, dan bilangan kompleks muncul secara bertahap sesuai dengan kebutuhan manusia terhadap bilangan. Manusia primitif membilang dimulai dari,, 3, dan seterusnya (bilangan asli), tetapi setelah ditemukan angka 0 (nol), maka kegiatan membilang pada dasarnya dimulai dari tidak ada, yaitu: 0,,, 3,...(bilangan cacah). Karena kehidupan manusia makin kompleks dan berkembang adanya hak milik, maka muncul bilangan bulat, seperi mempuanyai hutang sesuatu diartikan sebagai mempunyai jumlah yang negatif dan sebaliknya jika mempunyai sesuatu diartikan mempunyai jumlah yang potitif, dan antara mempunyai sesuatu dengan mempunyai hutang adalah tidak mempunyai sesuatu atau dilambangkan dengan bilangan nol. Setelah itu berkembang bilangan rasional dan bilangan pecah, karena suatu bilangan tidak selalu habis dibagi habis, seperti dibagi, ditulis, dibagi 3, ditulis a dan sebagainya. Di pihak lain ada bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk, seperti 3 b, 3, 5 dan lain sebagainya. Gabungan bilangan rasional dan irrasional dinamakan bilangahn real (nyata). Seterusnya muncul bilangan khayal, seperti bilangan dalam bentuk akar negatif (,, 4 dan sebagainya. Gabungan antara bilangan real dan khayal dinamakan bilangan kompleks. Siswa sekolah dasar dimulai kelas satu sudah sewajarnya dibekali dengan manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari, yaitu selalu mengaitkan materi pembelajaran dengan kehidupan nyata yang terjadi dan yang sering dialami siswa. Kemampuan kognitif siswa akan berkembang selaras dengan kematangannya, dan akan berkembang dengan baik dan cepat jika dalam belajarnya sering dihadapkan terhadap permasalahan kehidupan sehari-hari. Kita sebagai guru harus menyadari bahwa kemampuan manusia itu terbatas dan tidak sama irama perkembangan mentalnya, maka dari itu sebagai guru harus menyesuaikan pemberian materi pelajaran dengan kemampuan-kemampuan siswa-siswanya, seperti belajar dari hal-hal konkrit menuju abstrak, dari sederhana ke kompleks, dan dari mudah ke sulit. 45

55 Pembelajaran Siswa diajak menyelesaikan pemecahan masalah dari satu langkah ke penyelesaian masalah yang membutuhkan banyak langkah yang disertai kemampuan memahami dan menangkap lebih banyak vatiabel dan faktor dalam suatu masalah. Tidak ada cara yang pasti bagai mana melatihkan pemecahan masalah kepada siswa, namun ada petunjuk yang dapat membantu guru dalam membelajarkan siswanya kearah penggunaan pendekatan pemecahan masalah matematika, agar siswa belajarnya terarah dan mendapat hasil yang baik. Langkah-langkah Membantu Siswa dalam Penyelesaian Masalah Seperti yang telah dibahas pada bahan belajar mandiri, beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: () memahami soal, () memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. () Memahami Soal Guru memberi masalah dalam bentuk soal setiap hari, baik dalam jam pelajaran matematika, maupun pada mata pelajaran lain secara terpadu (karena matematika banyak kaitannya dengan Bahasa, IPS, IPA, dan lain-lain), dengan langkah-langkah sebagai berikut: (a) menjelaskan kata atau ungkapan operasi hitung yang sering digunakan, seperti sebagai berikut: Penjumlahan : digabungkan, disatukan, dijadikan satu wadah, dijumlahkan, dimasukan, dan pengulangan suatu kegiatan. Contoh.: Amin mempunyai 0 kelereng dan Andri mempunyai 8 kelereng, jika kelereng Amin dan Andri digabungkan/disatukan/dijadikan satu wadah maka kelereng mereka berjumlah... Kelereng Amin dalam gelas ada 5, lantas dimasukan lagi sebanyak 4 kelereng, maka kelereng Amin dalam gelas sekarang ada... kelereng. Pada hari senin Amin menyimpan uang dalam celengan sebanyak Rp.000,00, pada hari selasa sebanyak Rp 5.000,00, pada hari rabu sebanyak Rp 3.000,00. Berapa rupiah banyak uang yang tersimpan dalam celengan tersebut Pengurangan : selisih/ beda, dikurangi/berkurang, diambil, dipisahkan, dan dibagikan. Contoh.: Amin mempunyai uang sebesar Rp 5.000,00 sedangkan Ani mempunyai Rp 7.000,00. Berapakah selisih/beda uang Amin dan Ani? Andri diberi uang jajan dalam satu minggu sebanyak Rp 0.000,00 setalah hari ke empat uangnya berkurang Rp 4.000,00. Berapakah sisa uang Andri sekarang? Pak Budi mempunyai anak ayam yang baru menetas sebanyak 0 ekor, yang 5 ekor dipisahkan dari induknya. Berapakah anak ayam yang ikut induknya? Pak Budi mempunyai uang sebanyak Rp ,00, uang tersebut dibagikan kepada oarng pakir miskin sebanyak Rp 5.000,00. Berapakah rupiah sisa uang Pak Budi sekarang? 46

56 Pembelajaran Perkalian : digandakan sebanyak... kali, setiap... terdiri dari..., kegiatan yang berulangulang (dalam jumlah yang sama), Contoh.3: Pak Budi meminjam uang dari Bank Keliling sebanyak Rp ,00 karena ia tak mampu membayar dalam waktu satu tahun utangnya digandakan sebanyak 3 kali. Berapa rupiah Pak Budi harus membayar utangnya jika dalam satu tahun tidak bisa membayar? Kelurahan Munjuljaya terdiri dari.500 Kepala Keluarga (KK), setiap harinya masingmasing KK membuang sampah terdiri dari kg. Berapa kg sampah yang terkumpul dalam satu bulan? Kasir bank menghitung uang menggunakan jari-jarinya, dalam satu kali gerakan jari-jarinya mampu mengambil empat lembar uang. Jika dia menggerakan jari-jarinya sebanyak 5 kali, maka berapa lembar uang yang dia hitung? Pembagian : pengurangan yang berulang, dibagikan, dipisah-pisah (dalam jumlah yang sama) Contoh.4: Amin mempunyai 00 kelereng, setiap hari diambilnya sebanyak 5 kelereng. Pada hari ke berapa kelereng itu habis? Pak Budi membagikan uang zakat sebanyak Rp ,00 kepada 00 orang pakir miskin. Berapa rupiah rata-rata kebagian setiap orangnya? Pak Budi mempunyai ayam sebanyak 50 ekor, ayam tersebut dipisahkan-pisahkan dalam 0 kandang. Berapa ekor rata-rata isi setiap kandangnya? (b) menjelaskan hubungan antara penjumlahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, penjumlahan dengan perkalian, dan pengurangan dengan pembagian. Contoh.5: Penjumlahan dengan pengurangan: Jika a + b = c, berlaku c a = b atau c b = a Perkalian dengan pembagian: Jika a x b = c, berlaku c : a = b atau c : b = a Penjumlahan dengan perkalian: = 4 x 5 Pengurangan dengan pembagian.: 0 = 0: 47

57 Pembelajaran (c) melatih membaca pemahaman dari kalimat pendek dan sederhana ke kalimat panjang dan kompleks. Cobalah dengan menggunakan metode diskusi untuk membahas soal yang diberikan dengan fokus isi pokok kalimat. Apakah topik/tema yang dibicarakan, informasi apa yang diberikan, apa yang ditanyakan, dan sebagainya. (d) bertanya kepada siswa tentang isi kalimat yang diberikan dalam contoh, tentang apa yang diketahui atau data apa yang diberikan dan apa yang ditanyakan atau apa yang akan dicari. Dalam hal ini guru yang mengajukan pertanyaan tentang isi kalimat yang dijadikan contoh. (e) pada tahap awal, pembuatan paragrap cukup terdiri dari satu kalimat, dan jangan berbelit-belit sehingga sulit dimengerti siswa. Contoh: Kasir bank menghitung uang menggunakan jari-jarinya. Dalam satu kali gerakan jari-jarinya mampu mengambil empat lembar uang. Dia menggerakan jari-jarinya sebanyak 5 kali. Berapa lembar uang yang dia hitung? () Memilih Pendekatan atau Strategi Pemecahan Seperti yang telah dibahas pada bahan belajar mandiri, pendekatan atau strategi pemecahan masalah banyak sekali alternatif yang harus kita pakai, hal tersebut didasarkan pada jenis masalah atau soal. Starategi tersebut adalah: membuat tabel, membuat gambar, menduga, mencoba, memperbaiki, mencari pola, mengguanakan penalaran, menggunakan variabel, membuat persamaan, mengunakan algoritma, menggunakan sifat-sifat bilangan, menggunakan rumus, menggunakan informasi yang diketahui untuk mengembangkan informasi baru, dan lain lain. Bagi siswa yang belum dapat berpikir abstraks pendekatan dengan membuat gambar terlebih dahulu akan sangat membantu. Hal tersebut dapat dilakukan secara konkrit atau dengan gambaran obyek yang dimaksud. Setelah itu berkembang kepada strategi-strategi lain yang memungkinkan suatu masalah dapat diselesaikan secara matematis, seperti membuat variabel, membuat persamaan, menggunakan logika, dan lain-lain. Contoh.6: () Penjumlahan dan pengurangan Pada mulanya Ani mempunyai 5 buku, kemudian Ibunya memberi sejumlah buku sehingga buku Ani sekarang menjadi 9 buku. Berapakah Ibu memberi buku kepada Ani? Jawab 48

58 Pembelajaran Lakukan secara konkrit atau dengan membuat gambar, seperti berikut. Tanyakan kepada siswa ada berapa buku yang tidak mempunyai pasangan seperti yang digambarkan di atas dan buku yang tidak mempunyai pasangan tersebut merupakan buku pemberian Ibu. Lantas bimbing siswa kearah model matematika yang terbentuk, seperti: 5 buku +... buku = 9 buku atau = 9 Dari gambar sudah didapat bahwa buku yang tidak mempunyai pasangan sebanyak 4 buku, dan itu adalah buku pemberian Ibu. Jadi kalimat matematika yang terbentuk adalah: = 9 Jika strategi dengan pembuatan gambar telah dikuasai, meningkatlah kepada pembuatan variabel, boleh dengan x, y, n, m, dll.seperti berikut ini. Diketahui: Ani mempunya 5 buku Setelah diberi Ibu menjadi 9 buku Ditanyakan: Berapakah buku pemberian Ibu? Jawaban: Misalkan buku pemberian Ibu = x, maka 5 + x = (-5) + x = 9 + (-5) x = 4 Jadi, buku pemberian Ibu sebanyak 4 buku () Perkalian dan Pembagian Di kelas tiga ada 0 meja yang disusun secara teratur, barisan terdepan ada 4 meja. Ada berapa meja setiap baris ke belakang? Jawab: 49

59 Pembelajaran Membuat gambar Ruangan bagian depan Barisan depan Barisan ke belakang, setiap barisnya ada 5 meja Dalam membuat gambar lakukan membuat meja barisan terdepan sebanyak 4 meja, lantas buatlah gambar meja ke belakang sambil membilang sampai 0 meja. Sehingga gambar akan seperti di atas. Meja sebanyak 5 ke belakang merupakan jawaban dari soal tersebut Model matematikanya adalah: 4 x... = 0 atau Misalkan setiap baris meja kebelakang = m, maka 4 x m = 0 Jika kedua ruas dibagi dengan 4, maka m = 5 Jadi baris meja ke belakang ada 5 meja (3) Operasi hitung campuran Ibu belanja telur 4 kg dan terigu 3 kg, harga setiap kilogram telur Rp 8.000,00 dan harga setiap kilogram terigu Rp 4.000,00. Ibu membayar dengan uang Rp ,00. Berapakah sisa uang Ibu? Jawab Diketahui (a) 4 Rp 8.000,00 (b) 3 Rp 4.000,00 (c) Ibu membayar Rp ,00 Ditanyakan berapa rupiah uang sisa (pengembalian)? 50

60 Model matematikanya: [(4 x 8.000) + (3 x 4.000)] = [ ] = = Jadi sisa (pengembalian) uang Ibu adalah Rp ,00 Pembelajaran (3) Menyelesaikan Model Matematika Dalam menyelesaikan model matematika siswa dituntut untuk terampil menggunakan pengetahuannya tentang konsep-konsep dasar matematika beserta aturan-aturan yang ia ketahui sewaktu mengerjakan latihan-latihan soal. Baik dalam bentuk algoritma maupun secara aljabar sederhana. Seperti hubungan penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pangkat dan akar. Dalam penyelesaian model matematika siswa telah paham dan terampil, seperti hal-hal sebagai berikut: (a) a + b = c, kalimat matematika ini dapat dibolak balik sesuai dengan pola yang didapatkan dalam menterjemahkan (mentransformasi) kedalam model matematika, seperti menjadi c a = b atau c b = a (b) a x b = c, kalimat matematika ini dapat dibolak balik sesuai dengan pola yang didapatkan dalam menterjemahkan (mentransformasi) kedalam model matematika, seperti menjadi c : a = b atau c : b = a (c) a = b, dapat diubah menjadi a = b atau b = b (d) a c ad + bc + = atau b d bd a c (e) = b d ad = bc (f) dan lain-lain a b c d ad bc = bd (4) Menafsirkan Solusi. Sebelum ditafsirkan/diterjemahkan kedalam bentuk kesimpulan, sebaiknya siswa dibiasakan untuk memeriksa dulu, apakah jawaban hasil perhitungan itu benar atau masih terdapat kekeliruan. Untuk ini dibutuhkan ketelitian untuk mengecek ulang hasil perhitungan yang didapatkan. Menafsirkan solusi merupakan kemampuan berpikir tingkat tinggi, karena hal tersebut merupakan penarikan kesimpulan dari hal-hal yang telah dianalisis dengan menggunakan berbagai strategi dan menggunakan berbagai opersi hitung. Menafsirkan solusi merupakan menemukan jawaban dari permasalahan yang sedang dibahas atau diuraikan. 5

61 Pembelajaran Contoh.7: Ina disuruh Ibu membeli sebanyak 0 telur, di perjalanan pulang telur yang dibeli tersenggol temannya, ketika dihitung telur yang utuh tinggal 6 telur. Berapa butir telur yang pecah? Jawab Diketahui : beli telur 0 Sisa telur 6 Ditanyakan: Telur yang pecah Jawab: Alaternatif kalimat: () (Semua telur yang dibeli) - (Sisa telur yang utuh) = (telur yang pecah) () (Sisa telur yang utuh) + (telur yang pecah) = (Semua telur yang dibeli) (3) 0 6 =... (4) = 0 Alternatif Pemecahan: () Perlihatkan 0 benda (sebagai pemisalan telur) lantas ambil sebanyak 6, maka sisanya 4 benda () Perlihatkan 0 jari lantas hitung mundur sebanyak 6 kali bertepatan dengan melipat jari, maka sisa jari yang belum telipat sebanyak 4. (3) Gambarlah 0 telur lantas pasangkan dengan gambar 6 telur, maka 4 telus tidak mempunyai pasangan (4) Enam ditambah berapa agar mnejadi sepuluh? Hitung dimulai 6 sebanyak yang dibutuhkan sehingga berhenti di 0, sambil mengacungkan jari. (5) Jika siswa telah memahami konsep penjumlahan dan pengurangan, maka siswa langsung dibimbing ke model matematika dan menyelesaikannya dengan aturanaturan tertentu. Kesimpulan Jadi telur yang pecah sebanyak 4 telur 5

62 Pembelajaran Contoh.8: Suatu bak mandi mempunyai panjang dua kali lebarnya, dan tingginya setengah dari lebarnya. Jika luas alas bak itu 7.00 cm berakah liter isi bak air tersebut? Diketahui Panjang bak kali lebar Tinggi bak lebar Luas = 7.00 cm Ditanyakan isi bak dalam liter Jawab: Gambar: l Mencari ukuran bak l x l = 700 l = 700 l = 3600 l l l = 3600 l = 60 Jadi lebar (l) = 60 cm Karena lebar 60 cm, maka panjang (p) = x 60 = 0 cm dan tingginya (t) adalah x60 = 30 cm Rumus volum (isi) bak (yang berbentuk balok) adalah p x l x t, yaitu: 0 cm x 60 cm x 30 cm = cm 3 Karena yang ditanyakan adalah dalam bentuk satuan liter, maka cm 3 = 6 dm 3 = 6 liter Jadi isi bak mandi tersebut adalah 6 liter. 53

63 Pembelajaran Dari proses penyelesaian soal di atas, dapat dirinci langkah-langkah sebagai berikut: () Memahami soal, seperti yang terlihat dalam menyederhanakan soal dalam bentuk yang diketahui dan ditanyakan. () Membuat gambar bak mandi yang mempunyai panjang, lebar, dan tinggi. Dalam hal ini harus ingat bahwa bentuk demikian adalah balok yang rumus isinya adalah: p x l x t (3) Mencari ukuran bak yang didahului dengan menterjemahkan luas alas bak yang berbentu balok, yaitu: panjang kali lebar dalam bentuk variabel l, seperti: l x l = 700 (4) Menjalankan operasi hitung, sehingga ditemukan ukuran lebar yang dimaksud. (5) Mengaitkan hasil operasi hitung dengan pernyataan yang diketahui. Sepeti panjangnya dua kali lebarnya dan tingginya setengah lebarnya. Sehingga ditemukan ukuran panjang dan tinggi (6) Karena panjang, lebar, dan tinggi sudah diketahui maka isi bak dapat diketahui dengan menjalankan rumus isi (volumea) balok. (7) Volum bak sudah diketahui tetapi membutuhkan transformasi dari bentuk cm 3 ke liter melalui dm 3. (8) Menyimpulkan isi bak air sebagai hasil proses sebelumnya. Jelaslah, bahwa suatu proses penyelesaian masalah sangatlah kompleks dan banyak hal-hal yang terkait, sehingga membutuh daya nalar yang cukup tinggi.. Perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut dan tentukan termasuk pada bilangan apa yang dimaksud? a. Amin menghitung jumlah kambing peliharaannya dimulai dari, 4, 6, 8, dan 0. b. Ahmad membagikan 5 roti kepada orang temannya samaa banyak. c. Ani menghitung panjang sisi-sisi daerah segitiga dengan menggunakan rumus: c = a + b d. Budi mempunyai meminjam uang di Bank Guna Usaha sebanyak Rp ,00. Pengetahuan apakah yang harus dimiliki oleh seorang pemasang ubin lantai agar jumlah ubin yang akan dipasangkan diketahui secara pasti? 3. Ayah telah mempunyai pagar sepanjang 40 m untuk memagari kandang itik (berbentuk persegipanjang) di belakang rumahnya ada tembok belakang dapat dijadikan salah satu sisi persegi panjang. Berapakah ukuran yang dapat dibuat agar ukuran luas persegi panjang tersebut yang paling luas? Dari soal tersebut di atas apa saja yang diketahui yang menjurus kepada penyelesaian soal? 4. Hasil survei terhadap kelas enam yang terdiri dari 40 siswa, orang menyenangi pelajaran matematika, orang menyenangi pelajaran IPA, 0 orang menyenangi pelajran IPS. 3 orang menyenangi pelajaran Matematika dan IPA, 4 orang menyenangi pelajaran IPA dan IPS, 6 orang menyenangi pelajaran Matematika dan IPS, dan 5 orang yang menyenangi ketiga pelajaran tersebut. Buatlah gambarnya! 54

64 Pembelajaran 5. Buatlah kalimat matematika dari pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Bilangan yang berurutan jumlahnya. b. Amin mendapat bunga bank sebesar Rp ,00 dari saldo simpanan sebesar Rp ,00. Berapa persen bunga yang diterima Amin? c. Harga 4 pensil dan 5 spidol sebesar Rp ,00 d. Lampu merah menyala setiap 5 detik, lampu kuning menyala setiap 6 detik, lampu hijau menyala setiap 8 detik, dan lampu biru menyala setiap detik. Jika ke empat lampu dinyalakan secara bersamaan pada detik ke berapa lampu merah dan lampu kuning menyala bersamaan yang ke dua, ke tiga, dan ke empat. Pada detik ke berpa lampu hijau dan lampu biru menyala bersamaan yang ke dua, ke tiga, dan ke empat. Petunjuk Jawaban Latihan. a. Bilangan Asli b. Bilangan Rasional (Bilangan Pecah) c. Bilangan Rasional atau Bilangan Irrasional (Bilangan real) d. Bilangan Bulat Negatif. Pengetahuan yang dimilikinya adalah pengetahuan tentang bangun datar, luas suatu daerah, dan satuan ukuran panjang/luas. 3. Pagar 40 m sebagai keliling persegipanjang, tetapi salah satu panjang persegipanjang tersebut telah tersedia tembok. 4. IPA Matematika IPS 5. a. Misalkan bilangan pertama n, maka bilangan keduanya adalah n +. Jadi model matematika adalah : n + (n + ) = x b. ( ) = c. Misalkan pensil adalah x dan spidol adalah y, maka model matematika adalah: 4x + 5y = d. KPK (5 dan 6) =... dan KPK (8 dan ) = 55

65 Pembelajaran Belajar matematika tidaklah bermakna jika tidak dikaitkan dalam kehidupan seharihari, misalnya dalam jual-beli, bertani, dan lain-lain. Karena matematika tumbuh dan berkembang dari kehidupan sehari-hari manusia dengan segala aktivitasnya. Beberapa keterampilan untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah antara lain adalah: () memahami soal, () memilih pendekatan atau strategi pemecahan, (3) menyelesaikan model, dan (4) menafsirkan solusi. Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Yang termasuk bilangan rasional adalah... A. 0,, 4, - C. -, 3, 0, 5 B. -3,, 3, 4 D. -4, 4, 0, 4. Siswa yang belum siap belajar matematika, maka belajarnya akan seperti berikut, kecuali... A. melalui hafalan C. verbalisme B. mendapat kesulitan D. melalui jari tangan 3. Guru menjelaskan materi pelajaran matematika mengilustrasikannya dengan menggunakan gambar-gambar, maka kegiatan guru tersebut termasuk menjelaskan matematika secara... A. konkrit C. semi abstrak B. semi konkrit D. abstrak 4. Memilih pendekatan atau strategi pemecahan masalah dilakukan setelah kita... A. Membaca soal C. membuat model matematika B. memahami soal D. menyelesaikan perhitungan 5. Ungkapan yang dapat dikategorikan sebagai penjumlahan adalah sebagai berikut, kecuali... A. digabungkan C. ditempatkan dalam satu wadah B. disatukan D. digandakan 56

66 Pembelajaran 6. Ungkapan yang dapat dikategorikan sebagai perkalian adalah sebagai berikut, kecuali... A. setiap... terdiri dari... B. dilipat-gandakan C. dipisah-pisahkan dalam bagian yang sama D. pengulangan suatu kegiatan dalam jumlah yang sama 7. Suatu tabung berisi kerucut yang luas lingkarannya dan tingginya sama. Jika jari-jari lingkaran 5 cm dan tinggginya 0 cm, berapakah selisisih volume tabung dengan kerucutnya? Catatan π = 3,4 A. 785 cm 3 B. 53,33 cm 3 C. 6,67 cm 3 D. 6 cm 3 8. Seorang peternak ayam dan sapi tidak ingin ternaknya diketahui secara pasti. Ketika ada yang bertanya dengan pertanyaan berapakah jumlah ayam dan sapi yang bapak miliki?. Peternak menjawab Ternak saya jumlah kepalanya ada sedangkan kaki-kakinya ada 34. Sehubungan dengan pernyataan peternak tersebut, maka jumlah ayam dan jumlah sapi dapat diketahui dengan menggunakan pendekatan sebagai berikut, kecuali... A. dua variabel yang berbeda B. membuat dua persamaan C. melakukan subtitusi atau eliminasi pada dua persamaan yang dibuat D. bertanya lagi dengan pertanyaan yang lebih khusus 9. Pada sebuah toko, baru terjual balpoin dan pensil harga sebuah balpoin Rp. 500,00 dan sebuah pensil Rp. 400,00 sedangkan uang yang terkumpul sebanyak Rp.3.500,00. Berapakah balpoin dan pensil yang terjual? A. pensil dan 4 balpoin C. 3 pensil dan 5 balpoin B. 3 pensil dan 4 balpoin D. 4 pensil dan 4 balpoin 0. Jumlah dua bilangan sama dengan dan hasil kalinya 7. Model matematikanya adalah... A. x + y = dan (x + y) = 7 C. x y = dan x.y = 7 B. x = - y dan x.y = 7 D. x + y = dan 7 x = y 57

67 Pembelajaran Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 58

68 KUNCI JAWABAN Pembelajaran Tes Formatif. C. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 0. A πr Tes Formatif. A. D 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B Luas Tabung : = 3,4 x 5 x 0 = 785 cm 3 Luas Kerucut : ( tabungnya) = x 785 = cm3 Selisih volume tabung dengan volume kerucutnya adalah : 785 cm cm 3 = cm 3 59

69 Pembelajaran 9. D Tidak perlu bertanya yang lebih khusus, karena data yang diberikan pada dasarnya sudah cukup jika dikerjakan secara matematis, seperti berikut. Misalkan Ayam = x dan jumlah kakinya = x Misalkan Sapi = y dan jumlah kakinya = 4 y Persmaan yang didapat adalah:. x + y =. x + 4y = 34 dengan cara substitusi didapatkan nilai x dan y, yaitu: x = y (persamaan ) ( y) + 4y = 34 (persamaan ) y + 4y = 34 y = 0 y = 5 Jika y = 5, maka x = 6, hal ini sesuai dengan persamaan, karena = dan (5) + 4(6) = B Perhatikan tabel berikut. Y = 400 X = Jadi balpoin yang terjual sebanyak 3 buah dan pensil sebanyak 5 buah 0. B 60

70 GLOSARIUM Pembelajaran abtraks affektif deduktif eksperimen ilmu eksak induktif kognitif kompeten konkrit konsisten kuatitatif observasi psikomotor solusi : tidak dapat diraba/dilihat, hanya dapat dipikirkan : sikap : proses berpikir dari umum ke khusus : percobaan : ilmu pasti : proses berpikir dari khusus ke umum : pengetahuan : mampu : nyata dapat dilihat, didengar dll : ajeg/tatap : jumlah : pengamatan : keterampilan : penyelesaian 6

71 Pembelajaran DAFTAR PUSTAKA Hollands, Roy. Kamus Matematika Erlangga, Jakarta: 984. Ruseffendi, E.T. (997). Materi Pokok Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Universitas Terbuka. Soedjadi, R. (000) Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Dirjen Dikti, Departemen Pendidikan Nasional. Suriasumantri, Jujun S. (999). Filsafat Ilmu: Sebuah Pengantar Populer. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan Sutawidjaja, Akabar. (99/993). Pendidikan Matematika 3. Depdikbud, Dirjen Dikti, PPTK: Jakarta. 6

72 Metode dan Teknik Pembelajaran METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Perkembangan ilmu dan teknologi telah merubah segala aspek kehidupan manusia. Sesuai dengan perkembangannya, maka masalah-masalah itupun muncul dan semakin tak terbatas jumlah maupun ragamnya. Maka dari itu kita sebagai guru harus mempersiapkan anak didik/siswa kita untuk dapat menyesuaikan dengan kehidupan yang semakin kompleks itu, agar tetap dapat hidup dalam kehidupan modern yang serba canggih. Karena kita yakin bahwa manusia-manusia yang tangguh, cerdas dan kreatiflah yang dapat bersaing dalam kehidupan itu. Jika kita gagal dalam mempersiapkan manusia-manusia yang berkualitas, apalah jadinya generasi penerus kita, apakah akan menjadi budak bangsa lain? Tugas guru adalah tugas yang mulia, karena merupakan tugas kemanusian, yang akan mengangkat drajat manusia dikemudian hari. Kita sebagai guru harus dapat mencari program yang dapat memberi keluwesan dalam kemampuan siswa untuk menyelesaikan permasalahan matematika, karena permasalahan yang akan muncul bukan saja jumlahnya tak terbatas, tetapi juga belum dapat diidentifikasi. Untuk itu siswa perlu dibekali bagaimana cara mengidentifikasi permasalahan, bagaimana menyederhanakan permasalahan, bagaimana memilih langkah-langkah yang efisien, bagaimana menterjemahkan masalah, bagaimana memodifikasi jawaban apabila ada data yang baru, dan bagaimana melatih siswa untuk membuat masalah. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, guru perlu memilih strategi/metode bagaimana mengadakan proses pembelajaran yang dapat membantu siswa menyelesaiakan pemecahan masalah matematika. Bahan belajar mandiri ini berisikan alternatif-alternatif yang dapat dipilih guru ketika merncanakan kegiatan pembelajaran, terutama dalam memilih metode atau teknik pembelajaran yang berhubungan dengan pembelajaran pemecahan masalah matematika. Secara khusus tujuan belajar dari bahan belajar mandiri ini adalah sebagai berikut:. mahasiswa dapat memilih metode/teknik pembelajaran yang baik diterapkan dalam kasus (proses belajar) tertentu.. mahasiswa dapat membuat perencanaan kegiatan pembelajaran dengan menggunakan metode yang yang cocok. 3. mahasiswa dapat membuat skenario pembelajaran yang mengacu pada pemecahan masalah matematika. 63

73 Metode dan Teknik Pembelajaran Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajri bahan belajar mandiri ini, ikutilah petunjukpetunjuk berikut ini.. Bacalah dengan baik pendahuluan bahan belajar mandiri ini sehingga Anda memahami tujuan mempelajari bahan belajar mandiri ini dan bagaimana mempelajarinya.. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam bahan belajar mandiri ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. Ucapkan dalam bahasa sendiri kata/kaliamat yang ditandai tersebut. 3. Pahami pengertian demin pengertiandari isi bahan belajar mandiri ini dengan mempelajari contohcontohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan kawan mahasiswa atau oarang lain. 4. Susunlah ringkasan bahan belajar mandiri ini dengan bahasa sendiri. 5. Kerjakan soal-soal latihan dalam bahan belajar mandiri ini tanpa melihat petunjuk penyelesaiannya lebih dulu. Apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat petunjuk penyelesaiannya. Jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara yang dapat kita lakukan dalam menyelesiakan suatu permasalahan. 6. Kerjakan soal-soal tes formatif untuk mengukur sendiri tingkat penguasaan Anda akan isi bahan belajar mandiri ini. 64

74 Metode dan Teknik Pembelajaran PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN SOAL CERITA Kegiatan belajar matematika membutuhkan kreativitas dari guru, agar siswa dalam belajarnya mencapai tujuan yang diharapkan. Pada dasarnya belajar pemecahan masalah matematika merupakan melatih siswa untuk terampil menggunakan pengetahuan yang telah dipelajari sehingga dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari, baik kejadian yang serupa/mirip ataupun sudah dimodifikasi sesuai dengan kebutuhan yang terjadi. Kegiatan pembelajaran dapat dikatakan berhasil, jika siswa dapat mengakomodasikan dan mengkonstruksi pengetahuannya untuk dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dan lebih jauh lagi dapat dijadikan dasar dalam menyelesaiakan permasalahan kehidupan. Mengakomodasikan berarti tersimpan dalam memori otak yang relatif lama, sedangkan mengkonstruksi berarti membangun pengetahuan baru dari hasil belajar sebelumnya. Seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, agar siswa tidak asing lagi antara kaitan matematika dengan kehidupan sehari-hari, pendekatan yang demikian sering disebut pendekatan Matematika Realistik, dengan karakteristik menggunakan konteks dunia nyata, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan (Suharta, TT). Dengan demikian pendekatan belajar matematika dengan soal-soal cerita (yang sudah dikenal siswa) dapat dikatakan pendekatan belajar Matematika Realistik. Karena guru membawa siswa kearah situasi yang sudah dikenal dan siswa dapat membayangkan situasi atau kondisi yang diceritakan. Dalam pendekatan Matematika Realistik tahap yang dilalui adalah sebagai berikut, yaitu: () Pembelajaran dimulai dengan masalah kontekstual ( dunia nyata ), sehingga memungkinkan mereka menggunakan pengalaman sebelumnya secara langsung. () Siswa diberi kebebasan untuk membuat model-model matematika sendiri dalam menyelesaikan masalah, dari model-of masalah tersebut menjadi model-for masalah yang sejenis, yang akhirnya akan menjadi matematika formal. (3) Menekankan bahwa dengan pembuatan produksi bebas siswa terdorong untuk melakukan refleksi pada bagian yang mereka anggap penting dalam proses belajar. Strategi-strategi informal siswa yang berupa prosedur pemecahan masalah kontekstual merupakan sumber inspirasi dalam pengembangan pembelajaran lebih lanjut yaitu untuk mengkonstruksi pengetahuan matematika formal. (4) Interaksi siswa dengan guru merupakan hal yang mendasar dalam Matematika Realistik, seperti negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-bentuk informasi siswa. (5) Pengintegrasian unit-unit matematika adalah adalah hal esensial, karena jika diabaikan keterkaiatan dengan yang lain, maka akan berpengaruh pada yang penyelesaian masalah. Dalam mengaplikasikan matematika diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks, dan tidak hanya aritmatika, aljabar, atau geometri tetapi juga bidang lain. 65

75 Metode dan Teknik Pembelajaran Dalam pembelajaran matematika dengan menggunakan pendekatan soal cerita, Sutawidjaja (99/993) mengarahkan kepada pendekatan model dan pendekatan terjemahan (tranlasi), sepeti berikut ini. () Pendekatan Model; Dalam pendekatan model ini siswa membaca atau mendengarkan soal cerita, kemudian siswa mencocokan situasi yang dihadapi itu dengan model yang sudah mereka pelajari sebelumnya. Pendekatan model ini mempunyai keunggugalan terutama bagi siswa yang mempunyai kemampuan membaca lemah. Karena seringkali siswa dapat memperoleh model yang sesuai untuk persoalan yang dihadapi setelah membaca sekilas persoalan itu, walaupun mungkin ia tidak memahami kata demi kata. Keunggulan lain adalah jika soal tersebut dibacakan secara lisan atau menggunakan media audio-visual. Pada waktu guru menggunakan pendekatan model dengan secara lisan biasanya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: (a) Soal cerita disajikan secara lisan kepada kelas oleh guru atau siswa. (b) Mencocokan secara verbal dilakukan setelah atau 3 model dibicarakan. (c) Siswa mengemukakan pilihannya melalui kegiatan tunjukkan padaku. (d) Diskusi dilaksanakan untuk melihat model mana yang sesuai, model yang tidak logis disisihkan Contoh3.. Siswa dianggap telah diberi 4 model berikut dari pelajaran-pelajaran sebelumnya (!) () (3) (4) + = 3 3 = 3 = 3 = Dari 4 model di atas cerita-cerita (kalimat verbal) yang mungkin diantaranya, yaitu: Model (): Semula Amin mempunyai dua balon, agar jumlah balon menjadi tiga, maka harus menambahkannya satu balon. Model (): Balon Amir semuanya tiga, agar balonnya tinggal dua, maka balon tersebut satu harus dilepas (diberikan). Model (3): Balon Ani dibandingkan dengan balon Budi ada yang sama, manakah balon yang sama? Model (4) : Balon Ani semula ada tiga, karena pecah maka balonya sekarang ada dua Catatan: Usahakan siswa diarahkan pada pembuatan kalimat yang tidak rutin, soal rutin tersebut seperti: dua balon digabungkan dengan balon atau tiga balon diambil balon, karena dalam pembelajaran pemecahan masalah terfokus pada pemecahan masalah non rutin. 66

76 Metode dan Teknik Pembelajaran () Pendekatan Terjemahan (Translasi); Kegiatan pembelajaran ini melibatkan siswa pada membaca kata demi kata dan ungkapan demi ungkapan dari soal cerita yang sedang dihadapinya, untuk kemudian menterjemahkan kata-kata dan ungkapan-ungkapan itu ke dalam kalimat matematika. Contoh: Soal Cerita Pemikiran Terjemahan Siti mempunyai adalah banyaknya kue sejumlah kue yang dipunyai Siti Ani memberi 3 kue Memberi adalah seperti + 3 kepada Siti menaruh bersama membentuk suatu gabungan, jadi ditambah (+) dengan 3 Siti sekarang Kue Siti semula + 3 = 9 mempunyai 9 kue ditambah dengan pemberian Ani menjadi 9 kue Berapa kue Siti semula = 9 6 kue Pada bahan belajar mandiri ini pembahasan difokuskan pada pembelajaran pemecahan masalah matematika, bukannya pembelajaran matematika secara umum. Pembelajaran matematika secara umum merupakan prasyarat untuk dapat menyelesaiakan masalah matematika, karena pengetahuan matematika akan diaplikasikan dalam pemecahan masalah. Oleh karena itu siswa tidak akan mampu menyelesaikan masalah matematika, jika pengetahuan matematikanya kurang. Karena dalam pemecahan masalah matematika terdapat langkah membuat model matematika dan menyelesaikannya sehingga didapat suatu jawaban yang akan dijadikan kesimpulan. Berikut ini adalah contoh-contoh pengembangan pengalaman belajar pemecahan masalah matematika dimulai dari soal cerita yang sudah dikenal siswa ( dunia nyata ) dan pokok materi diambil dari kurikulum SD 004. Contoh 3.: Materi : Bilangan sampai dengan 500 Pokok Bahasan : Operasi hitung bilangan Kelas : Waktu : x 40 menit Hasil Belajar : Melakukan penjumlahan dan atau pengurangan bilangan Indikator : memecahkan soal cerita yang mengandung penjumlahan dan pengurangan Media/alat : karet gelang dalam ikatan-katan limapuluhan, sepuluhan, dan satuan 67

77 Metode dan Teknik Pembelajaran Pengalaman Belajar : () guru mengadakan apersepsi keterampilan siswa dalam menjumlah dan mengurang suatu bilangan paling besar 500 () Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok (misalnya 5 kelompok), setiap kelompok diberi sejumlah karet gelang yang telah dikelompokkan (diikat) dalam limapuluhan, misalnya sebagai berikut: (a) Kelompok A mendapat 50 karet gelang (3 ikat) (b) Kelompok B mendapat 00 karet gelang (4 ikat) (c) Kelompok C mendapat 50 karet gelang (5 ikat) (d) Kelompok D mendapat 300 karet gelang (6 ikat) (e) Kelompok E mendapat 350 karet gelang (7 ikat) (3) Seterusnya karet gelang setiap kelompok ditambah lagi dengan jumlah sembarang, sehingga jumlahnya berubah, menjadi sebagai berikut, misalnya: (a) Kelompok A menjadi 60 karet gelang (b) Kelompok B menjadi 375 karet gelang (c) Kelompok C menjadi 455 karet gelang (d) Kelompok D menjadi 463 karet gelang (e) Kelompok E menjadi 489 karet gelang (4) Siswa mendiskusikan berapa karet gelang yang ditambahkan pada pemberian yang kedua. (5) Siswa menuliskan kalimat matematika sesuai dengan tugasnya masing-masing. (6) Salah seorang wakil kelompok (secara bergiliran) melaporkan hasil diskusi (presentasi kelompok) (7) Kelompok yang lain dan guru menanggapinya serta guru memberikan penguatan terhadap hasil kerja siswa. Contoh 3.3: Materi : Geometri Pokok Bahasan : Keliling dan Luas persegipanjang Kelas : 3 Waktu : x 40 menit Hasil Belajar : Menentukan keliling dan luas bangun datar Indikator : Menemukan cara menghitung keliling dan luas persegi panjang, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah Media/alat : Tali/benang, alat ukur panjang (meteran), sudut siku-siku Pengalaman Belajar : () Prasyarat siswa telah terampil dalam penjumlahan/pengurangan, perkalian/pembagian, mengunakan alat pengukur meteran dan sudut, dan mengenal rumus keliling dan luas persegi panjang dan segitiga. () Guru menyiapkan bentuk-bentuk geometri di halaman kelas, seperti berikut ini dengan menggunakan media tali/benang. 68

78 Metode dan Teknik Pembelajaran E A B D I C II G F J III I (3) Siswa ditugaskan untuk mengukur keliling dan luas bangun sesuai dengan tugasnya, kelompok mengukur bangun I (segi empat ABCD), kelompok mengukur bangun II (segi lima BEFGC), dan kelompok 3 mengukur bangun III (segi empat DGIJ). (4) Guru membimbing siswa dalam menggunakan meteran dan sudut siku-siku, bimbingan tersebut antara lain: Kelompok : pastikan bahwa bangun tersebut persegi panjang dengan mengukur sudutsudutnya menggunakan sudut siku-siku. Jika sudah siku-siku, ukurlah panjang AB dan panjang AD, masukan kedalam rumus keliling dan rumus luas persegipanjang Kelompok : Bentangkan lagi tali dari BG dan BF, sehingga didapat tiga daerah segitiga (BFE, BFG, dan BCG), buat garis tinggi dari ketinggan segitiga tersebut dengan menggunakan tali dan sudut siku-siku, sehinga didapat gambar seperti di bawah ini. E B K L F C G Lakukan pengukuran untuk keliling adalah panjang BE + EF + FG + GC + BC. Lakukan pengukuran panjang alas dan panjang tinggi segitiga. Gunakan rumus mencari luas segitiga. Kelompok 3: petunjuk hampir sama dengan kelompok. (5) Siswa mempresentasikan hasil tugasnya dihadapan kelompok lain secara bergantian. (6) Guru memberikan penguatan dan saran-saran yang diperlukan. 69

79 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh 3.4: Materi : Bilangan Bulat Pokok Bahasan : Operasi hitung dengan bilangan bulat Kelas : 5 Waktu : x 40 menit Hasil Belajar : menghitung perpangkatan dan akar Indikator : memecahkan masalah sehari-hari yang melibatkan perhitungan bilangan bulat Media/alat : Uang Pengalaman Belajar : () Prasyarat, siswa terampil mengoperasikan bilangan bulat terutama penumlahan dan perkalian. () Siswa dihadapkan pada model matematika seperti berkut: (a) +... = (-5) (b) (-6) +... = (-8) (c)... + (- 4) = 6 (d) 3 x... = (-) (e) (-4) x.. = (-8) (3) Siswa membuat kalimat cerita sesuai dengan soal di atas, seperti: (a) Ani semula memiliki uang lembar ribuan, karena ada keperluan mendesak sekarang menjadi negatif 5 lembar ribuan. Jadi Ani meminjam uang sebanyak 7 lembar ribuan. (b) Kemarin Anto meminjam uang dari temannya sebanyak 6 lembar ribuan dan hari ini meminjam lagi sehingga jumlah uang Anto negatif 8 lembar ribuan. Jadi pinjaman Anto bertambah lembar ribuan. (c) Uang Amin setelah ditambahkan dengan hutagnya 4 lembar ribuan sebesar menjadi 6 lembar ribuan. Jadi uang Amin pada mulanya sebesar 0 lembar ribuan (d) Hutang Adi menjadi 3 kali lipat karena tidak dibayar dalam waktu tertentu, dan sekarang Hutang Adi menjadi lembar ribuan. Jadi hutang Adi pada mulanya 4 lembar ribuan. (e) Hutang Adi pada mulanya 4 lembar ribuan, karena tidak mampu membayar dalam satu bulan hutang Adi sekarang menjadi 8 lembar ribuan. (4) Siswa melaporkan hasil kerjanya secara individual secara acak (5) Guru memberikan penguatas dan saran yang diperlukan Contoh 3.5: Materi : Bilangan Pecah Pokok Bahasan : Operasi hitung dengan bilangan pecah Kelas : 6 Waktu : x 40 menit Hasil Belajar : memecahkan masalah sederhana yang melibatkan perbandingan dan skala Indikator : memecahkan masalah sederhana yang melibatkan perbandingan dan skala Media/alat : Atlas 70

80 Metode dan Teknik Pembelajaran Pengalaman Belajar () Siswa telah memahami translasi perhitungan satuan panjang () Siswa dihadapkan pada penggalan-penggalan cerita seperti berikut ini untuk diskusikan dalam kelompok. (3) Siswa melaporkan hasil pekerjaannya secara berkelompok Soal Cerita (4) Guru Pemikiran memberikan penguatan Terjemahan dan saran-saran yang diperlukan Andi melakukan Perjalanan dari satu Jarak A ke B perjalanan tempat ke tempat lain Setelah dilihat di. Jelaskan Jarak suatu dari kegiatan A ke B belajar = 7 dapat cm = dikatakan berhasil! cm Atlas perjalanannya. Mengapakah 7 cm dan pembelajaran diperbesar matematika 7 cm = 70 harus km selalu dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari? sepanjang 7 cm 3. Sebutkan menjadi karakteristik pembelajaran matematika realistik! dengan skala peta : cm x x Buatlah soal cerita dari operasi hitung campuran : 7 Andi berangkat 5. pukul Terjemahkan Lama perjalanan (translasikan) soal 0.00 cerita berikut ke = dalam 3 jam model matematika, dengan terlebih dahulu dan tiba pukul memberikan s.d. ilustrasi 0.00 yang dipikirkan Berapa km rata-rata Andi akan membuat sangkar burung berbentuk kubus ukuran 60 cm. Sisi-sisi sangkar tersebut perjam perjalanan terbuat dari potongan-potongan 70 bambu km : 3 kecil.dengan jam= 3 jarak kerapatan 3 cm. Berapa potong bambu 3 Andi (maksimal) yang diperlukan untuk membuat sangkar tersebut km Petunjuk Jawaban Latihan. Kegiatan pembelajaran dapat dikatakan berhasil, jika siswa dapat mengakomodasikan dan mengkonstruksi pengetahuannya untuk dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dan lebih jauh lagi dapat dijadikan dasar dalam menyelesaiakan permasalahan kehidupan 7

81 Metode dan Teknik Pembelajaran. Pembelajaran matematika harus selalu dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari karena sifat dari materi matematika abstrak, sehingga siswa akan merasa kesulitan dalam belajar. Oleh karena itu seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, agar siswa tidak asing lagi antara kaitan matematika dengan kehidupan seharihari 3. Karakteristik pembelajaran matematika realistik adalah: menggunakan konteks dunia nyata, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan 4. Pada hari senin Aku membeli bungkus permen setiap bungkusnya terdiri dari 5 biji dan hari Selasa membeli lagi sebanyak 3 bungkus setiap bungkusnya terdiri dari 6 biji. Permen tersebut diberikan kepada 7 orang dengan bagian yang sama. 5. Soal Cerita Pemikiran Terjemahan sangkar burung berbentuk kubus ukuran 60 cm Bangun yang teridiri dari 6 sisi dengan ukuran 60 x Sisi-sisi sangkar tersebut terbuat dari potonganpotongan bambu kecil.dengan jarak kerapatan 3 cm Berapa potong bambu (maksimal) yang diperlukan untuk membuat sangkar tersebut Setiap sisi terdiri dari Potongan bambu yang berjarak sama, yaitu 3 cm 60 : 3 6 x (60 : 3) = 0 Potngan bambu yang diperlukan maksimal 0 potong Seorang guru dalam mengajarkan matematika dapat memilih pendekatan yang sesuai dengan kehidupan siswa, pendekatan tersebut disebut pendekatan matematika realistik, dengan karakteristik menggunakan konteks dunia nyata, model-model, produksi dan kontruksi siswa, interaktif, dan keterkaitan. Soal cerita sebaiknya berawal dari dunia nyata siswa. Penggunaan soal cerita diarahkan pada pendekatan model dan pendekatan terjemahan (tranlasi). 7

82 Metode dan Teknik Pembelajaran Petunjuk : Pilihlah: A. Jika (), (), dan (3) betul B. Jika () dan (3) betul C. Jika () dan (3) betul D. Semuanya betul. Belajar matematika akan bermakna/berguna jika disesuaikan dengan... () kehidupan ( dunia nyata ) siswa () kemampuan guru (3) kemampuan mental siswa. Karakteristik pembelajaran matematika realistik adalah... () berawal dari kehidupan siswa () memahami model-model matematika (3) adanya komunikasi timbal balik anatara guru dan siswa 3. Pembelajaran matematika membutuhkan pengetahuan yang luas dari seorang guru, sebab: () masalah yang muncul dalam kehidupan manusia tak terbatas () matematika harus dipelajari secara terpadu (3) matematika pelayan ilmu lain 4. Pada bulan ini Anton belum mendapat kiriman uang jajan dari orangtuanya, oleh karenanya ia disuruh untuk meminjam pada temannya yang baik hati. Pada minggu pertama Anton meminjam Rp ,00, pada minggu ke dua ia minjam Rp 6.000,00 dan pada minggu ke tiga ia meminjam Rp ,00. Sedangkan pada minggu ke empat Anton mendapat kiriman uang sebesar Rp ,00. Berapakah uang Anton pada minggu ke empat, setelah dibayarkan pada temannya? Kalimat matematika yang benar adalah... () () (-5.000) + (-6.000) + (-7000) + (30.000) (3) ( ) 5. Apakah yang dipikirkan (yang berhubungan dengan matematika ), jika seseorang berkata: Saya mempunyai drum minyak yang isinya 00 liter. () drum minyak biasanya berbentuk tabung () isi (volume) drum adalah luas alasnya dikalikan tingginya (3) 00 liter sama dengan 00 dm 3 6. Seorang siswa tidak akan mengalami kesulitan menyelesaikan soal cerita matematika. () memahami bahasa yang ada pada cerita () dapat menyederhanakan dalam model matematika (3) menguasai sistem matematika 73

83 Metode dan Teknik Pembelajaran 7. Cerita mana yang ccok dengan kaliamat: (-3) + 8 () Bapak meminjam uang sebesar tiga juta rupiah ke bank dan esok harinya ia mendapatkan hadiah undia sebesar delapan juta rupiah () Pada mulanya saya mempunyai uang sebesar tiga ribu rupiah dan kemudian ada yang memberi sebesar delapan ribu rupiah (3) Saya sedang mencari seseorang di suatu gedung bertingkat. Orang yang saya cari itu berpesan pada petugas informan, yaitu: Saya akan menuju lantai dasar ke tiga, kemudian saya akan naik sebanyak delapan lantai 8. Apa harus dipikirkan dari penyelesaian masalah berikut: Ibu Ani lahir tanggal 9 Februari 980. Sudah berapa kali Ibu ani merayakan hari ulang tahunnya tepat sesuai dengan tanggal kelahirannya, jika sekarang adalah tanggal Maret 008? () Ibu Ani lahir pada tanggal yang munculnya setiap empat tahun sekali () Tahun-tahun yang habis dibagi 4 setelah tahun 980 (3) Jumlah tahun-tahun kelipatan 4 setelah tahun Soal cerita yang cocok dengan gambar di bawah ini adalah. () Di kelas Dua terdapat empat baris meja dan setiap barisnya ada lima meja () Meja-meja di kelas Dua disusun sebagai berikut: baris pertama lima meja, baris ke dua lima meja, baris ke tiga lima meja, dan baris ke empat lima meja. (3) Meja-meja di kelas Dua diatur sebagai peerkalian: 4 x 5 0. Amin mempunyai dua tali yang panjangnya 30 cm dan 45 cm. Kedua tali tersebut akan dipotongpotong sama panjang menjadi beberapa bagian. Berapa cm ukuran tali setiap potongnya dan ada berapa potong tali setelah terpotong-potong? Jawaban dari soal cerita tersebut adalah: () FPB (30 dan 45) = 5 dan (30 : : 5) = 5 () KPK (30 dan 45) = 90 dan 90 habis dibagi 30 atau 45 (3) Ukuran talinya 5 cm dan banyaknya potongan tali 5 potong 74

84 Metode dan Teknik Pembelajaran Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 75

85 Metode dan Teknik Pembelajaran METODE DAN TEKNIK PEMBELAJARAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Salah satu tugas guru dalam proses pembelajaran adalah memilih metode dan teknik pembelajaran, di samping menentukan tujuan, mendalami materi, memilih alat/media, dan menentukan alat evaluasi. Dalam memilih metode banyak pilihan yang dapat digunakan, seperti: metode ceramah, metode tanya jawab, metode demonstrasi, metode diskusi, dn lain-lain. Sedangkan dalam memilih teknik pembelajaran lebih difokuskan pada pembelajaran secara sempit dan dilaksanakan bersamaan dengan penggunaan metode yang dipilih, teknik-teknik pembelajaran tersebut antara lain, yaitu: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Analisis, Teknik Aturan dan Hukum, Teknik Definisi, Teknik Percobaan yang Disempurnakan, Teknik Translasi, Teknik Contoh, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan dan Simulasi, dan Teknik Penemuan (Sutawidjaja, 99/993). Teknik-teknik yang akan dibahas adalah teknik-teknik yang dapat dipilih untuk proses pembelajaran pemecahan masalah matematika, yaitu: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan/Teka-teki, dan Teknik Simulasi. Teknik-teknik tersebut dijelaskan sebagai berikut:. Teknik Keterlibatan Siswa Teknik keterlibatan siswa merupakan teknik mengajar yang mengikutsertakan siswa secara fisik dan mental. Secara fisik seperti ikut aktif dalam suatu kegiatan yang melibatkan anggota tubuh maupun panca indra, sedangkan secara mental siswa mengikuti jalannya suatu pembelajaran dengan antusias dan konsentrasi penuh. Suatu pembelajaran sudah seharusnya selalu melibatkan siswa, karena jika siswa aktif dalam suatu proses pembelajaran adalah suatu pertanda adanya keinginan siswa untuk belajar, dan jangan sampai guru saja yang aktif. Dalam belajar matematika keterlibatan mental siswa sangat diperlukan, sebab penjelasan guru sering kali sulit dimengerti. Untuk penjelasan yang tidak/belum dimengerti siswa, dapat langsung ditanyakan atau minta penjelasan ulang. Sering kali terjadi, guru memberikan kesempatan bertanya, tetapi siswa tidak ada yang bertanya dan bila disuruh mencoba sering kali tidak bisa atau jika diberikan soal yang berbeda tidak dapat menyelesaikannya. Hal tersebut merupakan gejala yang umum pada pembelajaran matematika, hal tersebut dimungkinkan beberapa sebab, diantaranya yaitu: penjelsan guru tidak komunikatif (tidak dipahami, di luar jangkauan daya pikir siswa, terlalu cepat, dll). 76

86 Metode dan Teknik Pembelajaran Keunggulan dari keterlibatan siswa diantaranya adalah: () dapat menimbulkan minat belajar yang tinggi, sehingga hasil belajar akan bertahan lama. () Guru mudah mengendalikan kelas, jika kegiatan-kegiatan siswa sudah terarah dan siswa mengerti akan tugas yang harus dilakukannya. (3) Dapat dijadikan guru untuk mendiagnosa kesulitan-kesulitan dalam belajar siswa. Sedangkan kelemahannya seringkali menimbulkan kegaduhan, misalnya dalam keterlibatan lisan atau guru kurang kontrol terhadap aktivitas siswa. Agar siswa terlibat secara penuh dalam belajar, guru memberikan siswa untuk mencoba, menganalisis, dan menemukan sendiri. Contoh 3.6. Pak Budi ingin siswa-siswanya memahami/menyadari bahwa luas suatu daerah pada dasarnya adalah panjang kali lebar atau luas persegi panjang. Oleh karena itu ia memberikan tugas kepada siswa-siswanya untuk melakukan percobaan membandingkan menghitung luas suatu daerah (segitiga dan lingkaran) dengan pendekatan rumus dan pendekatan panjang kali lebar. Daerah yang dijadikan percobaan sebagai berikut.. Daerah Rumus Model Persegipanjang Luas = alas x tinggi Tinggi = lebar alas = panjang Luas = π.r Jari-jari= r = lebar π. r keliling = = panjang 77

87 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh 3.7. Seorang guru ingin siswa-siswanya mengalami langsung proses pengukuran panjang, pengukuran sudut, pengukuran keliling, dan pengkuran luas. Alat yang digunakan: tali, busur, meteran, dan pasak bambu (paku 0 cm). Langkah-lankahnya sebagai berikut: () Guru menyediakan bangun datar persegipanjang (besar) yang terbagi-bagi dalam bentuk bangun datar lebih kecil (tangram), Bangun tersebut dibuat di tengah lapangan/halaman sekolah dengan menggunakan tali dan paku, gambar seperti berikut ini. () Dengan menggunakan busur, bangun-bangun datar yang dibuatnya diberi nama/ditentukan jenisnya (jenis bangun apakah yang dibuatnya, apakah bujursangkar, persegipanjang, segitiga, travesium, layang-layang, belah ketupat, jajaran genjang, atau lingkaran.) (3) Siswa mengukur ukuran panjang yang dibutuhkan untuk menentukan keliling dan luas dengan menggunakan alat ukur meteran. (4) Siswa membuat gambar bangun datar yang dibuatnya (5) Siswa melakukan perhitungan keliling dan luas bangun datar yang dibuatnya. (6) Siswa mempresentasikan hasilnya di depan kelas. (7) Siswa menggambar bangun datar tersebut dalam skala yang sama dan memamerkan hasil kerjanya di papan buletin/pengumuman.. Teknik Analogi Teknik analogi adalah suatu teknik yang berusaha menciptakan suatu cerita untuk mengilustrasikan suatu konsep. Teknik ini digunakan untuk meningkatkan ketrampilan bagaimana tentang suatu konsep. Penggunaan teknik ini terkadang sering mengorbankan ketepatan matematika demi menyederhanakan konsep itu. Di pihak lain sifat abstraks matematika membutuhkan ilustrasi yang dapat memudahkan siswa memahami suatu konsep, oleh karenya dengan berbagai macam ilustrasi yang dapat dipahami siswa dan sesuai dengan dunia nyata siswa, proses pembelajaran matematika akan mudah dimengerti dan menarik untuk dipelajari. 78

88 Metode dan Teknik Pembelajaran Teknik analogi diterapkan dalam pembelajaran pemecahan masalah merupakan alternatif yang dapat dipilh guru, agar siswa mengenal penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Karakteristik penggunaan teknik analogi adalah: () Menimbulkan minat tinggi, karena aspek cerita dari teknik ini akan menimbulkan minat belajar () Ketepatan bahasa akan berkurang jika menggunakan teknik ini (3) Suatu konsep mungkin harus diajarkan kembali untuk mengembangkan pemahaman matematika secara tepat untuk menghindari kesalahan konsep jika konsep tersebut disajikan dengan teknik analogi. (4) Teknik analogi lebih sering digunakan untuk ketrampilan bagaimana daripada ketrampilan mengapa tentang suatu konsep (5) Teknik analogi yang dirancang secara baik akan mengurangi tingkat abstraksi sajian dan kebanyakan akan berhasil dalam menyajikan suatu konsep, jika teknik yang lebih abstrak tidak berhasil Kelebihan teknik anaogi anatar lain: () dapat meningkatkan minat siswa karena aspek cerita yang disajikan () dapat meningkatkan pemahaaman siswa (3) dapat mengurangi tingkat abstraksi sajian suatu konsep Kelemahannya antara lain: () ketepatan bahasa akan berkurang () mungkin suatu konsep harus diajarkan kembali untuk mengembangkan pemahaman matematika secara tepat untuk menghindari kesalahan konsep. Contoh penerapan teknik analogi dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika, seperti pada tabel dibawah ini. Contoh 3.8. Konsep Matematika a + b = c Analogi () Jika dalam gelas ada butir kelereng lantas dimasukan lagi 3 butir kelereng, maka sekarang dalam gelas tersebut ada 5 butir kelereng. () Jika dalam gelas semula ada butir kelereng, tetapi setelah dimasukan kelereng lagi jumlahnya bertambih menjadi 5 butir kelereng, maka kelereng yang dimasukan itu adalah 3 butir kelereng. (3) Jika dalam satu gelas ada 0 butir kelereng, lantas akan ditempatkan dalam dua gelas, maka kemungkinan isi masing-masing gelas itu berjumlah genap atau ganjil adalah: ( dan 8), (4 dan 6), ( dan 9), (3 dan 7), (5 dan 5) 79

89 Metode dan Teknik Pembelajaran a x b = c () Lantai kelas IV terbuat dari keramik, panjang sisi pertama ada keramik sedangkan panjang sisi kedua ada 5 keramik. Jadi banyaknya keramik di lantai kelas IV tersebut adalah x 5 = 55 keramik. () Jika lantai kelas IV salah satu sisinya ada 5 keramik, sedangkan jumlah keramiknya ada 55 keramik, maka sisi lantai yang lainnya adalah 55 : 5 = keramik s = x s = x () Lantai kelas V berbentuk persegi (bujursangkar), sisi-sisinya terdiri dari 8 keramik, maka jumlah keramik lantai kelas V adalah: 8 = 784 keramik. () Jika lantal kelas V berbentuk persegi (bujursangkar) dan jumlah keramiknya ada 784 keramik, maka banyaknya keramik pada sisisisinya adalah: 784 = 8 = 8 keramik 3. Teknik Menggunakan Model Teknik ini menggunakan model dalam proses belajar mengajar, model-model yang digunakan biasanya berupa gambar atau benda yang digunakan untuk memperagakan referensi dari konsep yang akan dikembangkan. Teknik ini digunakan secara luas untuk mengurangi tingkat abstraksi suatu konsep. Sebagai contoh adalah sebagai berikut: () Kita menggunakan gambar-gambar geometri untuk menanamkan konsep geometri yang abstrak. () Kita menggunakan garis bilangan untuk menanamkan konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang (3) Kita menggunakan benda-benda berwarna untuk menanamkan konsep pengurangan. Karakteristik teknik ini adalah: () Sangat menarik minat siswa, karena semua siswa melihat dan mengamati model () Model mengurangi kerumitan konsep (3) Teknik ini dapat digunakan secara luas, apabila mengenalkan konsep bilangan, operasi hitung, penyelesaian masalah, geometri dan pengukuran. (4) Dalam menggunakan model, harus hati-hati sehingga suatu atribut suatu model yang tidak berhubungan dengan konsep yang dikembangkan tidak akan membawa siswa kearah kesalahan konsep terhadap konsep yang dikembangkan. Misal dalam menjelaskan konsep bilangan kita selalu menggunakan satu jenis benda saja atau selalu menggunakan satu warna saja, hal tersebut akan menimbukan kesan pada siswa bilangan tertentu akan menunjuk pada benda tertentu atau warna tertentu. 80

90 Metode dan Teknik Pembelajaran Dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika penggunaan model merupakan salah satu strategi yang dapat dipilih. Seorang guru dapat menggunakan benda-benda satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi untuk membuat suatu model. Misal guru dalam menjelaskan konsep bilangan dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai benda sebagai berikut: () Benda satu dimensi, seperti model perkalian 5 x yang tidak sama dengan x 5 dengan menggunakan tali atau garis bilangan: Model perkalian 5 x Model perkalian x 5 () Benda dua dimensi, seperti luas suatu daerah digunakan dalam menjelaskan konsep perkalian. Contoh sebagai berikut. Model perkalian 7 x atau x 7 (3) Benda tiga dimensi, seperti isi suatu benda ruang (dalam kubus/balok satuan). Contoh sebagai berikut. Model perkalian 8 x 8 x 5 Model-model tersebut di atas dapat dijadikan dasar untuk menyelesaikan masalah, jika siswa telah memahami dan dapat mengasosiakan dalam kehidupan sehari-hari. 8

91 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh 3.9 Tukang kerupuk mengisi blek/kaleng kerupuk dengan cara memasukannya lima-lima, ia menghitung urut sampai 8 kali. Berapakah kerupuk yang dimasukan ke dalam blek/kaleng tersebut? Jawab: Model yang mungkin adalah: Model perkalian 8 x 5 Jadi jika menghitung kerupuk dengan kelipatan 5 sebanyak 8 kali, maka jumlah kerupuk dalam blek/kaleng ada 40 kerupuk. Contoh 3.0. Tempat duduk bus penumpang ada baris, ketika kondektur memeriksa penumpang ia mengatakan jumlah penumpang ada 57 orang, sebab ada 3 kursi yang kosong. Berapa jumlah kursi setiap barisnya? Jawab: Model kursi dapat digambarkan sebagai berikut: Model perkalian x 5 = = 57 Jadi jumlah kursi setiap barisnya ada 5 kursi Contoh 3.. Pak Amir seorang penjual Mie Rebus, pada hari Minggu ia belajanja ke pasar untuk membeli mie rebus sebanyak 5 dus, setiap dusnya terdiri dari 48 bungkus dan harga setiap dusnya Rp ,00. Mie rebus tersebut dijualnya seharga Rp.000,00 perbungkus. Berapa persen keuntungan Pak Amir jika mie tersebut habis terjual? Jawab: Model banyaknya mie rebus dalam setiap dus adalah: 8

92 Metode dan Teknik Pembelajaran Modal: 5 x Rp ,00 = Rp 9.000,00 Hasil penjualan: 5 x 48 x Rp.000,00 = Rp ,00 Keuntungan: Rp ,00 - Rp 9.000,00 = Rp ,00 Persentase Keuntungan: x 00 = 5 % Teknik Permainan/Teka-teki Permainan adalah sembarang alat atau aktivitas yang mempunyai satu atau lebih pemenang, di mana seorang atau kelompok siswa saling berhadapan melakukan kegiatan bermain dengan menggunakan aturan-aturan tertentu sehingga didapatkan seorang/kelompok pemenang (juara). Sedangkan teka-teki merupakan jenis perlombaan, di mana penentuan pemenang didasarkan pada kreteria tertentu, misalnya: kecepatan, ketetapan, kreativitas, dan lain-lain. Keuntungan pembelajaran matematika dengan menggunakan teknik permainan dan teka-teki adalah sebagai berikut: () Sudah termuat sifat-sifat cara berpikir matematika, sehingga secara langsung atau tidak langsung kita telah menanamkan dasar matematika. () Memperluas belajar matematika (3) Pada umumnya siswa sekolah dasar senang melakukan permainan, seyogyanya pembelajaran matematika dapat disajikan dalam bentuk/teknik permainan yang sesuai dengan usia/ kemampuan siswa. (4) Dalam waktu luang (jam bebas) dapat diisi dengan jenis permainan yang terarah. Contoh-contoh permaian dan teka-teki yang dapat digunakana antara lain sebagai berikut. Contoh 3.. Disediakan bangun bujursangkar tiga kali tiga, isikan (masukan) bilangan,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 kedalam bujursangkar-bujursangkar tersebut sedemikian rupa sehingga jumlah bilangan dalam bujursangkar mendatar, menurun maupun diagonal berjumlah 5. Guru memperlihatkan cara pengisian bujursangkar-bujursakar tersebut, seperti berikut: 83

93 Metode dan Teknik Pembelajaran I II III IV Setelah memberikan contoh tersebut di atas, merubah bilangan-bilangan yang dimasukan menjadi seperti berikut, yaitu: -5, -4, -3, -, -, 0,,, dan 3. Sehingga setelah dimasukan jumlah mendatar, menurun, dan diagonal berjumlah sama. Jawab: Langkah-langkahnya sebagai berikut: () Masukan bilangan yang tengah (-) pada kotak (bujursangkar) yang tengah dan masukan bilangan urutan pertama (-5) pada kotak kedua paling atas. () Setelah menempatkan bilangan (-5), tempatkan bilangan (-4) pada kota jalan kuda (pada permainan catur) atau mengikuti leter L dan dilanjutkan untuk bilangan (-3) dan (-) ada pada posisi diagonal. (3) Bilangan 0 ditempatkan pada jalur diagonal yang lurus dengan bilangan (-). (4) Untuk bilangan yang lain mengikuti leter L setelah menempatkan bilangan 0. (5) Gambarnya seperti berikut: (6) Dari kotak-kotak mendatar, menurun, dan diagonal didapat jumlah-jumlahnya adalah (-3) 84

94 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh Masukan bilangan-bilangan:,, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 pada kotak-kotak berikut ini, dengan syarat satu bilangan dengan bilangan yang berdekatan tidak boleh berurutan (misal dengan, 3 dengan atau 4, dll). Bilangan-bilangan tersebut salah satu yang mungkin adalah sebagai berikut: Contoh Misalkan gambar di bawah ini adalah gambar ikan yang terbuat dari batang-batang korek api, ubahlah gambar di bawah ini dengan memindahkan dua batang korek api sedemikian rupa sehingga posisi ikan beruabah arah. Jawab: 85

95 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh 3.5. Aku adalah adalah bilangan bulat, bila dikalikan dengan bilangan asli berapa saja, jumlah angka-angka hasil perkaliannya selalu menunjuk aku, aku sering mendapat sebutan: bilangan istimewa, bilangan paling kuat, dan bilangan keberuntungan. Bilangan berapakah aku? Jawab: Bilangan tersebut adalah bilangan 9 (sembilan) Misal: 9 x 5 = = 9 9 x 67 = = 9 9 x 8 = = 9 9 x 8675 = = = 9 5. Teknik Simulasi Simulasi adalah sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata. Dalam simulasi biasanya dituntut kemampuan prasyarat, oleh karenanya simulasi biasanya diterapkan dalam pembelajaran pada akhir kegiatan. Kegiatan simulasi dapat meningkatkan minat belajar, tetapi akan menimbulkan kegaduhan dan memakan waktu yang relatif lama. Untuk meminimalkan kegaduhan dan waktu yang lama, guru membuat perencanan dan peraturan yang yang baik. Kegiatan/aktivitas yang dapat disimulasikan misalnya: proses jual beli, proses lelang, kegiatan perbangkan, usaha koperasi, membuat suatu proyek, dan lain sebagainya. Contoh 3.6. Tema : Proses jual beli Alat/media : uang-uangan, gambar/benda yang diperjualbelikan, nota penjualan, etalase/ meja pajangan, kalkulator/alat hitung. Pemeran : kasir, penjaga barang, pembeli Contoh etalase : 86

96 Metode dan Teknik Pembelajaran Contoh nota penjualan : Nama Pembeli :... Tanggal :... Alamat :... No. Urut Jumlah Barang Nama Barang Harga Satuan (Rp.) Besar Discont (%) Harga setelah Discont (Rp.) Harga Total (Rp.) 5 Pensil 3,000 5,850 4,50 3 Gunting 7, ,550 3, Buku 4, ,500 05,000 4 Telepon 45, ,750 67, Amplop ,375 6 Mouse 5, ,750 9, Meteran 8, ,00 0, Komputer 5,000, ,50,000 9,750,000 Jumlah 0,000,075. Apa yang harus dilakuan guru jika setelah proses pembelajaran selesai, ternyata hasil belajar siswa tidak memenuhi target yang telah ditentukan?. Bagaimana tanggapan Anda terhadap pernyataan: tidak ada metode/teknik yang terbaik untuk digunakan dalam proses pembelajaran. 3. Hasil belajar yang didapatkan dari mencoba sendiri, menemukan sendiri akan bertahan lama dibandingkan dengan hasil informasi dari guru, jelaskan. 4. Buatlah suatu analogi cerita yang cocok untuk 0 + (-3) + (-5). 5. Dua kelompok siswa sedang melakukan tebak-tebakan titik koordinat (x, y). Kelompok A memberikan data (x, y ) adalah permutasi bilangan kurang dari 0. Bilangan (x, y) tersebut harus ditebak oleh kelompok B dengan cara mengajukan 5 pertanyaan dan harus dijawab dengan jujur oleh kelompok A. (Ketentuan pemenang adalah: jika menebak salah satunya (x atau y) tepat skornya 50 dan jika menebak keduanya tepat skornya 00) Silakan Anda mencoba. 87

97 Metode dan Teknik Pembelajaran Petunjuk Jawaban Latihan. Guru merefleksi kegiatan belajar mengajar yang telah dilakukan, sehingga didapatkan kemungkinan-kemungkinan penyebab kegagalan, dan selanjutnya merubah strategi pembelajaran (salah satunya adalah memilih metode/teknik yang lain).. Pernyataan tersebut benar, sebab pemilihan metode harus menyesuaikan dengan kemampuan guru, sifat materi, karakteristik siswa, dan situasi dan kondisi kelas. 3. Hasil belajar yang didapatkan dari mencoba sendiri, menemukan sendiri akan bertahan lama dibandingkan dengan hasil informasi dari guru, sebab materi yang diinformasikan (dijelaskan) guru kurang berkesan dibandingkan dengan hasil pengalaman sendiri. 4. Ibu menyimpan uang sebanyak 0 lembar uang ribuan, tetapi ia mempunyai hutang kepada bu Minah sebanyak 3 lembar uang ribuan dan bu Ijah sebanyak 5 lembar uang ribuan. 5. Kelompok A menuliskan titik kordinat (x, y) dalam secarik kertas dan menyimpannya di tempat yang netral (tempat yang tidak memungkinkan untuk merubah), misalnya (3, ) Proses permainan tebak-tebakan seperti berikut: Pertanyaan : apakah x anggota bilangan genap? Jawaban : tidak/bukan Pertanyaan : apakah y anggota bilangan genap pula? Jawab : tidak/bukan Pertanyaan 3 : apakah x kurang dari 5 Jawab : ya Pertanyaan 4 : apakah y kuarang dari 5 pula Jawab : ya Pertanyaan 5 : apakah x sama dengan 3 Jawab : ya Pemikiran dari kelompok B adalah sebagai berikut: () x adalah bilangan ganjil sama dengan 3 () y adalah bilangan ganjil kurang dari 5, berarti y = 3 atau y = (3) Kesimpulan (x, y) adalah (3, 3) atau (3, ) Tugas guru yang tidak kalah pentingnya dengan tugas lain yaitu menentukan/memilih metode/teknik pembelajaran. Pemilihan etode/teknik yang monoton akan berpengaruh terhadap minat dan hasil belajar. Oleh karena itu guru perlu memilih/menentukan metode/ teknik yang cocok agar tujuan yang telah ditentukan mudah dicapai. Metode/teknik yang sesuai dengan proses pembelajaran pemecahan masalah di sekolah dasar diantaranya adalah: Teknik Keterlibatan Siswa, Teknik Analogi, Teknik Menggunakan Model, Teknik Permainan/Teka-teki dan Teknik Simulasi. 88

98 Metode dan Teknik Pembelajaran Teknik Keterlibatan Siswa merupakan teknik mengajar yang mengikutsertakan siswa secara fisik dan mental. Secara fisik seperti ikut aktif dalam suatu kegiatan yang melibatkan anggota tubuh maupun panca indra, sedangkan secara mental siswa mengikuti jalannya suatu pembelajaran dengan antusias dan konsentrasi penuh. Teknik Analogi adalah suatu teknik yang berusaha menciptakan suatu cerita untuk mengilustrasikan suatu konsep Teknik Menggunakan Model biasanya guru menggunakan berupa gambar atau benda memperagakan referensi dari konsep yang akan dikembangkan. Teknik ini digunakan secara luas untuk mengurangi tingkat abstraksi suatu konsep. Permaian adalah sembarang alat atau aktivitas yang mempunya satu atau lebih pemenang, di mana seorang atau kelompok siswa saling berhadapan melakukan kegiatan bermain dengan menggunakan aturan-aturan tertentu sehingga didapatkan seorang/kelompok pemenang (juara). Sedangkan teka-teki merupakan jenis perlombaan, di mana penentuan pemenang didasarkan pada kreteria tertentu, misalnya: kecepatan, ketepan, kreativitas, dan lain-lain. Simulasi adalah sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata. Dalam simulasi biasanya dituntut kemampuan prasyarat, oleh karenanya simulasi biasanya diterapkan dalam pembelajaran pada akhir kegiatan. Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Tugas guru dalam merencanakan kegiatan pembelajaran adalah sebagai berikut, kecuali... A. Membuat tujuan pembelajaran secara umum B. Menentukan materi pembelajaran C. Memilih metode/teknik pembelajaran D. Menentukan media pembelajaran. Pemilihan metode/teknik pembelajaran haruslah memperhatikan hal-hal sebagai berikut, kecuali... A. karakteristik siswa B. situasi dan kondisi kelas C. keyakinan akan keberhasilan D. kesukaan guru 89

99 Metode dan Teknik Pembelajaran 3. Pemilihan metode/teknik keterlibatan siswa, mungkin dilaksanakan jika didukung oleh hal-hal sebagai berikut, kecuali... A. siswa memiliki minat belajar yang tinggi B. media/alat pembelajaran yang diperlukan tersedia C. guru kurang menguasai metode/teknik yang lain D. kemampuan guru dalam mengelola kelas 4. Guru akan menjelaskan bahwa perkalian berhubungan erat dengan pembagian, misal jika 5 x 8 = 40, maka 40 habis dibagi 5 atau 8. Contoh cerita yang cocok untuk mengungkapkan 40 : 5 adalah... A. Budi memiliki 5 bungkus permen, setiap bungkusnya terdiri dari 8 biji perpen B. Budi memiliki 8 bungkus permen setiap bungkusnya terdiri dari 5 biji permen C. Jika Budi memiliki 40 biji permen yang tersimpan dalam 5 bungkus, maka setiap bungkusnya terdiri dari... biji permen. D. Jika Budi memiliki 40 biji permen yang tersimpan dalam 8 bungkus, maka setiap bungkusnya terdiri dari... biji permen. 5. Model yang cocok untuk cerita: Terdapat sejumlah garis bertemu di satu titik, maka sudutsudut yang mungkin terjadi adalah sebanyak... sudut A B C D 6. Model yang cocok untuk cerita: Dalam suatu rapat yang dihadiri oleh lima orang dan mereka saling bersalaman satu dengan yang lainnya, maka banyaknya bersalaman adalah... A B C D 90

100 Metode dan Teknik Pembelajaran 7. Tanggal berapa Pak Ahmad lahir?. Data yang diberikan adalah sebagai berikut: A B C D E Berdasarkan tabel di atas, tanggal lahir Pak Ahmad terdapat pada kolom seperti berikut: A B C D E v v v Atau dengan kata lain, tanggal kelahiran Pak Ahmad terdapat pada kolom B, C, dan E. Maka tanggallahir Pak Ahmad adalah tanggal... A. 4 C. B. 8 D Amin, Budi, dan Cuncun masing-masing mempunyai sejumlah uang. Jika Uang Amin disatukan dengan uang Budi berjumlah Rp ,00, uang Budi disatukan dengan uang Cuncun berjumlah Rp 0.000,00, dan uang Cuncun disatukan dengan uang Amin berjumlah Rp ,00. Jumlah uang mereka semua adalah... A. Rp 5.000,00 C. Rp 5.000,00 B. Rp 0.000,00 D. Rp ,00 9. Berikut ini adalah kegiatan/aktivitas yang dapat disimulasikan, kecuali... A. Kegiatan menentukan rumus bangun ruang C. Kegiatan berkoperasi B. Kegiatan perbankkan D. Kegiatan melelang 0. Jika guru tidak mengantisipasi terlebih dahulu dalam penggunaan teknik simulasi, maka kelemahannya adalah sebagai berikut, kecuali... A. menimbulkan kegaduhan C. tujuan pembelajaran sulit dicapai B. memerlukan waktu yang relatif lama D. terlena dalam simulasi, sehingga lupa tujuan 9

101 Metode dan Teknik Pembelajaran Cocokanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah jawaban anda yang benar Tingkat penguasaan = x 00 % 0 Arti tingkat penguasaan yang anda capai: 90 % - 00 % = baik sekali 80 % - 89 % = baik 70 % - 79 % = cukup < 70 % = kuran Kalau tingkat penguasaan Anda di atas 80 %, Anda siap untuk ujian akhir semester Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum Anda kuasai. 9

102 Metode dan Teknik Pembelajaran KUNCI JAWABAN TES FORMATIF Tes Formatif. B. A 3. B 4. C 5. A 6. A 7. B 8. D 9. D 0. B Tes Formatif. A. D 3. C 4. D 5. A 6. D 7. C Perhatikan bilangan yang terdapat di sebelah kiri setiap kolom (bilangan:,, 4, 8, dan 6). Karena tanggal kelahiran Pak Ahmad terdapat pada kolom B, C, dan E, maka tanggal lahirnya adalah: = 8. C Perhatikan pola berikut B A C 9. A 0. C Uang A = Uang B = Uang C = [ ( A + B) + ( A + C) ] ( B + C) [ ] [ ( A + B) + ( B + C) ] ( A + C) [ ] [ ( A + C) + ( B + C) ] ( A + B) [ ] = = = = = =

103 Metode dan Teknik Pembelajaran GLOSARIUM analogi : berdasarkan persamaan atau kiasan, yang menggunakan persamaan, kiasan dua dimensi : benda yang mempunyai panjang dan lebar interaktif : bersifat saling mempengaruhi karakteristik : sifat-sifat kontekstual : berhubungan dengan konteks kontruksi : bersifat membangun, secara tidak langsung operasi hitung : perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan, akar dan pangkat satu dimensi : benda yang mempunyai panjang saja simulasi : sembarang alat atau aktivitas yang menggunakan aspek terpilih tentang situasi kehidupan nyata strategi : Siasat tiga dimensi : benda yang mempunyai panjang, lebar dan tinggi translasi : terjemahan 94

104 Metode dan Teknik Pembelajaran DAFTAR PUSTAKA Billstein, Rick, Shlomo Lebeskind, Johnny W. Lott. A Problem Solving Approach to Mathematics For Elementary School Teachers (Fifth Edition). Addison-Wesley Publishing Company. TT Herman Hudoyo dan Akabar Sutawidjaja (996/997), Matematika, Depdikbud, Jakarta. Pusat Kurikulum Depdiknas, Kurikulum Matematika Sekolah Dasar tahun 004 Ruseffendi, E.T. (997). Materi Pokok Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Universitas Terbuka Suharta, I Gusti Putu. Matematika Realistik: Apa dan Bagaiman?. Sutawidjaja, Akabar. (99/993). Pendidikan Matematika 3. Depdikbud, Dirjen Dikti, PPTK: Jakarta. Tim MKPBM Jurusan Pendidikan Matematika (00), Common Text Book Strategi Pembelajaran Matematika Kontempor. UPI, Bandung Wheeler, R.E. (99). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth. 95

105 Metode dan Teknik Pembelajaran 96

106 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi PEMECAHAN MASALAH DALAM HIMPUNAN DAN FUNGSI Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 4 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan nonrutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 4 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam himpunan dan fungsi, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar : Himpunan, dan Kegiatan Belajar : Fungsi. Meskipun antara kegiatan belajar yang satu bukan merupakan prasyarat untuk mempelajari kegiatan belajar lainnya, akan tetapi satu sama lain memiliki keterkaitan yang erat. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan dan fungsi. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Membedakan suatu kumpulan yang termasuk himpunan atau bukan himpunan.. Menyatakan suatu himpunan dengan cara dengan mendaftar anggota himpunan. 3. Menyatakan suatu himpunan dengan menjelaskan sifat anggota himpunan. 4. Menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. 5. Memperoleh pengertian mengenai himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan bagian, serta komplemen suatu himpunan. 6. Terampil menggunakan diagram venn untuk menjelaskan keanggotaan dan melakukan operasi suatu himpunan. 7. Terampil melakukan operasi irisan, gabungan, dan selisih antara dua himpunan. 8. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan. 9. Memperoleh pemahaman tentang pengertian fungsi. 0. Terampil menginterpretasikan dan menggambar grafik suatu fungsi linear. 97

107 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan persamaan garis melalui satu titik dengan gradien tertentu.. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan persamaan garis melalui dua titik. Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB : Himpunan KB : Fungsi Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini:. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan! 98

108 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi HIMPUNAN PENGANTAR Himpunan merupakan konsep matematika yang sangat mendasar dan sangat penting karena aplikasinya yang begitu luas, banyak digunakan baik dalam cabang-cabang matematika, maupun di luar bidang matematika. Himpunan juga merupakan kajian matematika yang banyak dipelajari oleh siswa SD, sehingga guru atau calon guru SD diharapkan untuk menguasai konsep himpunan ini. Cakupan materi dalam Kegiatan Belajar ini antara lain: Pengertian Himpunan, Penulisan Himpunan, Himpunan Kosong, Himpunan Semesta, Himpunan Bagian, Diagram Venn, dan Operasi- Operasi pada Himpunan, serta di dalam setiap kajian materi tersebut disuguhkan pemecahan masalah matematiknya. INDIKATOR Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini, Anda diharapkan dapat:. Membedakan suatu kumpulan yang termasuk himpunan atau bukan himpunan.. Menyatakan suatu himpunan dengan cara dengan mendaftar anggota himpunan. 3. Menyatakan suatu himpunan dengan menjelaskan sifat anggota himpunan. 4. Menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. 5. Memperoleh pengertian mengenai himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan bagian, serta komplemen suatu himpunan. 6. Terampil menggunakan diagram venn untuk menjelaskan keanggotaan dan melakukan operasi suatu himpunan. 7. Terampil melakukan operasi irisan, gabungan, dan selisih antara dua himpunan. 8. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan. URAIAN Pernahkah Anda berbelanja ke pasar? Apa sajakah yang bisa Anda lihat di sana? Di pasar, Anda pasti akan melihat banyak sekali barang dagangan yang sedang diperjualbelikan. Beberapa pedagang ada menjual buah-buahan seperti lengkeng, apel, jeruk, durian, anggur, dan berbagai jenis buah lainnya. Banyak pula pedagang yang menjual beraneka sayuran seperti wortel, bayam, kol, kacang panjang, ataupun buncis. Selain bahan makanan, tentu saja masih banyak pedagang yang menjual barang lain seperti pakaian, mainan, alat tulis, dan sebagainya. Dapatkah Anda menyebutkan kelompok barang dagangan lain yang sering dijumpai di pasar selain yang disebutkan baru saja? 99

109 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Pengertian Himpunan Himpunan dalam pengertian matematika sering juga disebut kumpulan, atau kelompok. Himpunan dapat dibayangkan sebagai suatu kumpulan benda-benda baik yang jelas maupun yang tidak jelas. Kumpulan benda-benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan benda-benda yang tidak jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut. a. Kumpulan nama-nama bulan dalam satu tahun. Apakah Anda dapat menyebutkan nama-nama bulan dalam satu tahun? Tentu saja kita semua mengetahui bahwa nama-nama bulan dalam satu tahun adalah: Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Tepatnya ada bulan dalam satu tahun. Hal ini berarti bahwa kumpulan nama-nama bulan dalam satu tahun memiliki anggota yang dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. b. Kumpulan orang kaya di kota Sumedang. Apakah Anda mengetahui siapa saja orang kaya di kota Sumedang? Berapa banyak uang tabungannya di bank agar dapat disebut sebagai orang kaya? Berapa banyak mobil yang harus dia miliki agar tersohor sebagai orang kaya? Anggota dari kumpulan orang kaya di kota Sumedang tidak dapat kita tetapkan atau kelompokkan secara jelas, karena pengertian kaya itu sendiri sangat relatif atau tidak jelas. Dari kedua contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pada contoh (a) kita dapat mengetahui bahwa kumpulan tersebut merupakan sebuah himpunan. Mengapa demikian? Karena kita dapat mengelompokkan anggota-anggotanya dengan jelas. Sedangkan pada contoh (b), karena kita tidak dapat menetapkan anggota kelompoknya dengan jelas, maka kumpulan tersebut bukan merupakan suatu himpunan. Dengan demikian, kita dapat menyusun suatu pengertian himpunan, yaitu: Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang anggota-anggotanya dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, dan seterusnya. Contoh 4..: Himpunan bilangan asli kurang dari 5! Misalnya himpunan itu diberi nama A, maka A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5 yang dapat kita tulis, A = {bilangan asli kurang dari 5}. 00

110 Contoh 4..: Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. Misalnya himpunan itu diberi nama B, maka B adalah himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J yang dapat kita tulis, B = {nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan lambang dan untuk menyatakan bahwa suatu objek atau benda yang bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang. Contoh 4..3: A = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, maka: merupakan anggota A, ditulis A, 5 merupakan anggota A, ditulis 5 A, bukan anggota A, ditulis. b x bx Penulisan Himpunan Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan, antara lain:. dengan mendaftar anggota himpunan;. dengan menjelaskan sifat anggota himpunan; 3. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh 4..4: Misalkan kita akan menyatakan himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.. Dengan mendaftar anggota himpunan, misalnya B = {Januari, Juni, Juli}. Dengan menjelaskan sifat anggota himpunan, misalnya Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. 3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, misalnya B = { nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}. Kalimat ini dapat dibaca, B adalah himpunan dari semua x adalah nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J. Penggunaan A = { A = { pada notasi penulisan himpunan dapat diganti dengan huruf kecil lainnya. Misalnya: nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J} atau, y y nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J} 0

111 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Contoh 4..5: Suatu Himpunan A = {,, 3, 4, 5, 6, 7} mempunyai anggota sebanyak 7 buah dan ditulis n(a) = 7. Sedangkan suatu himpunan Z = { x x huruf yang menyusun kata harry potter }. Kata harry potter terdiri atas huruf, yaitu h, a, r, r, y, p, o, t, t, e, r. Huruf r ada 3 buah dan huruf t ada buah, tetapi karena anggota yang sama dalam satu himpunan hanya ditulis satu kali, sehingga salah jika kita menuliskannya sebagai Z = {h, a, r, r, y, p, o, t, t, e, r}. Yang benar Z = {h, a, r, y, p, o, t, e}. Dengan demikian, kita dapat mengetahui bahwa banyaknya anggota himpunan K adalah 8 buah dan dapat ditulis n(z) = 8. Himpunan Kosong Apakah setiap himpunan mempunyai anggota? Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut. Contoh 4..6: A = {bilangan cacah yang kurang dari 8}, maka A = {0,,, 3, 4, 5, 6, 8}. Sehingga kita dapat mengetahui bahwa banyak anggota himpunan A adalah 8 dan ditulis n(a) = 8. Contoh 4..7: B = { x x adalah bilangan asli yang kurang dari }. Menurut Anda, adakah bilangan asli yang kurang dari? Karena tidak ada suatu bilangan yang termasuk kelompok bilangan asli yang kurang dari, maka kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan B tidak memiliki anggota. Sehingga kita dapat menulisnya B = { } dan n(b) = 0. Contoh 4..8: P = {himpunan bilangan prima antara 4 dan 6}. Hanya ada satu bilangan antara 4 dan 5, yaitu bilangan 5. Tetapi, apakah bilangan 5 merupakan bilangan prima? Ternyata bilangan 5 bukan merupakan bilangan prima, karena memiliki faktor-faktor {, 3, 5, 5}. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan bahwa himpunan P tidak memiliki anggota dan ditulis P = dan n(p) = 0. Dari himpunan-himpunan pada Contoh 4..6, Contoh 4..7, dan Contoh 4..8, ternyata terdapat himpunan yang tidak mempunyai anggota, yaitu himpunan pada Contoh 4..7 dan Contoh Himpunan yang tidak mempunyai anggota tersebut kita namakan sebagai himpunan kosong. Ingat, suatu himpunan kosong yang ditulis P = { }, berarti himpunan tersebut tidak memiliki anggota, atau n(p) = 0. Akan tetapi suatu himpunan dengan anggotanya nol, misal Q = {0}, bukan merupakan himpunan kosong, karena jumlah anggotanya adalah, ditulis n(q) =. Anda harus hati-hati, jangan sampai keliru membedakannya. 0

112 Himpunan Semesta Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Untuk dapat memahami pengertian himpunan semesta, perhatikanlah beberapa contoh himpunan di bawah ini. Contoh 4..9: H = {bebek, ayam, kucing, sapi, macan} Himpunan H terdiri dari nama-nama hewan. Oleh karena itu, himpunan semesta ini dapat dinyatakan sebagai himpunan semua hewan yang ada di dunia. Contoh 4..0: K = {5, 7, } Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua anggota K di antaranya adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, atau {bilangan prima}. Oleh karena itu, himpunan semesta dari himpunan B adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, {bilangan prima}. Himpunan Bagian Diketahui dua himpunan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f, g}. Dari kedua himpunan tersebut dapat dilihat bahwa semua anggota A merupakan anggota B juga. Ini berarti bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dan dapat ditulis A B. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B dan dapat ditulis A B. Atau dapat juga dikatakan bahwa himpunan B memuat A yang dapat ditulis B A. Contoh 4..: Diketahui M = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} dan N = {, 4, 6, 8, 0}. Tentukan hubungan antara himpunan M dan himpunan N! Jawaban: Karena setiap anggota N merupakan anggota M, maka hubungan antara himpunan M dan himpunan N adalah M N, atau N M. Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan digunakan rumus n, dengan n menyatakan jumlah anggota suatu himpunan. Misal, himpunan A = {,, 3}. Karena n(a) = 3, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan A adalah 3, yaitu 8. 03

113 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Diagram Venn Masih terdapat cara selain untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan (lihat kembali 3 cara pada bagian sebelumnya, yakni dengan Diagram Venn. Diagram Venn ini diperkenalkan oleh John Venn (834-93) dapat digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan. Diagram venn dapat digambarkan dalam bentuk elips atau lingkaran yang di dalamnya terdapat anggota suatu himpunan yang ditunjukkan dengan sebuah noktah atau titik. Contoh 4..: Diketahui himpunan A = {a, b, c, d} sedangkan himpunan semestanya adalah S = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Gambar diagram venn untuk himpunan A tersebut adalah sebagai berikut: Unsur yang tidak termasuk dalam anggota himpunan harus diletakkan di luar diagram venn. Dalam diagram venn, semesta pembicaraan digambarkan dalam bentuk persegi. Himpunan bagiannya digambarkan dengan kurva tertutup sederhana. Anggota himpunannya digambarkan dengan noktah (titik). Irisan (Intersection) Himpunan Untuk mempermudah pemahaman mengeai operasi irisan pada himpunan, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 4..3: Himpunan A dan himpunan B berikut ini. A = {,, 3, 4, 5, 6} dan B = {4, 6, 8, 0}. Bilangan berapakah yang termasuk anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B? Ternyata, bilangan 4 dan 6 merupakan bilangan yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Oleh karena itu, {4, 6} merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan himpunan B yang dapat disebut sebagai irisan himpunan A dan B, ditulis: A B = {4, 6}. Irisan himpunan A dan himpunan B tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk diagram venn sebagai berikut. Irisan himpunan A dan B dapat ditulis sebagai: A B = { dan x B } 04

114 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Artinya, irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B juga. Gabungan (Union) Himpunan Untuk mempermudah pemahaman mengenai operasi irisan pada himpunan, perhatikan contoh berikut ini. Contoh 4..4: Perhatikan himpunan A dan himpunan B berikut ini. A = {,, 3} dan B = {3, 4, 5}. Dari kedua himpunan tersebut kita dapat membentuk sebuah himpunan baru, yaitu {,, 3, 4, 5}. Himpunan tersebut merupakan anggota himpunan A saja, anggota himpunan B saja, dan anggota persekutuan A dan B. Pada himpunan tersebut telah berlaku operasi gabungan antara himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara himpunan a dan b tersebut dapat ditulis: A B = {,, 3, 4, 5}. Gabungan himpunan A dan B dapat ditulis sebagai: A B = { x x A atau x B } Artinya, gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A saja, anggota himpunan B saja, dan anggota persekutuan A dan B. Banyaknya anggota himpunan dari gabungan dua himpunan dan tiga himpunan dapat dilihat dari diagram venn berikut. S A B Karena: n(a) = a + b, n(b) = b + c, n(a B) = b, Maka: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) 05

115 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Komplemen Suatu Himpunan Misalkan suatu himpunan semesta S = {,, 3, 4, 5} dan himpunan A = {, 3, 5}. Himpunan lain yang beranggotakan {, 4} adalah anggota dari S tetapi bukan anggota A. Himpunan demikian dinamakan sebagai Komplemen dari A, biasa ditulis A C atau A. Dengan demikian A C = { x x A dan x S }. Perhatikan diagram venn di bawah ini: S A C Selisih Dua Himpunan Misalkan A = {,, 3, 4, 5, 6}, B = {, 4, 6, 8, 0}, berarti A B = {, 4, 6}. Selisih himpunan yang ditulis sebagai A B adalah seluruh anggota A tetapi bukan anggota B. Selisih himpunan tersebut dinyatakan dengan: A B = { atau, x x A dan x B } A B = A B C Perhatikan diagram venn berikut ini, bagian yang diarsir menyatakan A B. S A B 06

116 Sifat-Sifat Operasi Himpunan Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Untuk lebih memudahkan Anda dalam memahami konsep himpunan, perhatikan beberapa sifat operasi himpunan berikut ini.. Sifat komutatif irisan : A B = B A. Sifat asosiatif irisan : (A B) C = A (B C) 3. Sifat komutatif gabungan : A B = B A 4. Sifat asosiatif gabungan : (A B) C = A (B C) 5. Sifat distributif irisan terhadap gabungan : A (B C) = (A B) (A C) 6. Sifat distributif gabungan terhadap irisan : A (B C) = (A B) (A C) Pemecahan Masalah Dalam Topik Himpunan Bekerja cerdas dan bekerja keras dalam menerima tantangan merupakan syarat mutlak yang harus dimiliki oleh kita ketika memecahkan masalah. Seseorang harus bekerja cerdas untuk mencari langkah-langkah yang mungkin dilakukan, dan bekerja keras ketika melaksanakan langkahlangkah tersebut. Memang banyak rumus, teorema, aturan, maupun hukum yang kita miliki, akan tetapi belum dapat segera digunakan langsung untuk menyelesaikan masalah tersebut. Oleh karena itu, kita perlu perencanaan yang berupa langkah-langkah sistematik untuk memecahkan masalah tersebut. Seperti yang telah Anda pelajari pada bahan belajar mandiri sebelumnya, terdapat langkah-langkah sistematik pemecahan masalah, seperti yang dianjurkan Polya sebagai berikut ini:. Memahami masalah, bisa dengan cara menuliskan kembali masalah dengan kata-kata sendiri, menuliskan masalah dalam bentuk lain yang lebih operasional, dalam bentuk rumus, dalam bentuk gambar, dan sebagainya.. Membuat rencana atau cara untuk memecahkan masalah. Dalam pembuatan rencana ini juga memungkinkan kita untuk membuat hipotesis-hipotesis sebagai jawaban sementara. 3. Menjalankan rencana yang telah dibuat pada langkah kedua. Dengan kata lain, kita menyelesaikan permasalahan yang ada dengan cara yang telah kita susun pada langkah kedua. 4. Melihat kembali apa yang telah dilakukan, yaitu memeriksa benar atau tidaknya pemecahan masalah yang telah dilakukan, atau juga untuk melihat alternatif penyelesaian yang lebih baik (lebih praktis dan efisien). Dalam topik himpunan, beberapa permasalahan non-rutin yang mungkin Anda hadapi untuk dicari pemecahannya misalnya sebagai berikut ini. Contoh 4..5: Suatu kelompok siswa yang terdiri dari 5 anak. 8 anak suka tennis, 9 anak suka catur, serta 5 anak menyukai tennis dan catur. Berapa anak yang tidak menyukai kedua-duanya (tennis maupun catur)? 07

117 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi Jawaban: Untuk menjawab permasalahan ini, ada baiknya kita laksanakan langkah-langkah berikut:. Memahami masalah, bisa dengan cara menuliskan kembali masalah dengan kata-kata sendiri, atau menuliskan masalah dalam bentuk gambar. Dalam hal ini kita mengetahui bahwa jumlah seluruh siswa adalah 5 orang. Akan tetapi jika kita melakukan penjumlahan untuk setiap jumlah siswa berdasarkan kesukaannya, pasti akan melebihi 5 anak, karena = 7. Jika Anda menganggap bahwa jumlah siswa keseluruhannya adalah 7, itu keliru. Oleh karena itu, perlu cara lain untuk memecahkan permasalahan ini.. Membuat rencana atau cara untuk memecahkan masalah. Agar lebih mudah, ada baiknya jika masalah ini dipecahkan dengan membuat suatu diagram venn. Kita misalkan T sebagai kelompok yang menyukai tennis, dan C sebagai kelompok yang menyukai catur. Berarti akan terdapat irisan antara himpunan T dan C yang menyatakan kelompok yang menyukai keduanya, yaitu T C. Banyaknya siswa yang tidak menyukai tennis maupun catur adalah dengan mengurangkan jumlah anggota himpunan semesta dengan gabungan T dan C, yakni n(s) n(t C). 3. Menjalankan rencana yang telah dibuat pada langkah kedua. Dengan kata lain, kita menyelesaikan permasalahan yang ada dengan cara yang telah kita susun pada langkah kedua, yaitu: Jumlah siswa yang tidak menyukai tennis maupun catur adalah: n(s) n(t C) = n(s) [n(t) + n(c) n(t C)] = 5 ( ) = 5 = 3 4. Melihat kembali apa yang telah dilakukan, yaitu memeriksa benar atau tidaknya pemecahan masalah yang telah dilakukan, atau juga untuk melihat alternatif penyelesaian yang lebih baik (lebih praktis dan efisien). Dalam kasus ini, kita juga dapat melakukan pemecahan masalah dengan menggunakan gambar suatu diagram venn. Perhatikan gambar berikut: T: kelompok yang suka tennis, berjumlah 8 siswa. C: kelompok yang suka catur, berjumlah 9 siswa. Jadi, memang benar bahwa ada 3 anak yang tidak suka tennis maupun catur. Coba Anda bandingkan, cara manakan yang menurut Anda lebih efisien? 08

118 Pemecahan Masalah dalam Himpunan dan Fungsi. Diketahui himpunan A = {a, b, c}. Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A. Hitunglah banyak himpunan bagian dari A!. Jika untuk dua buah himpunan A dan B berlaku rumus umum: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) maka untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, tentukan rumus umum untuk n(a B C)! 3. Dalam sebuah kelas terdapat 45 siswa yang terdiri dari 3 siswa yang gemar makan soto, 35 siswa yang gemar makan sate, dan 7 siswa gemar makan soto dan sate. Berapa banyak siswa yang tidak gemar makan soto dan sate? Kunci Jawaban Latihan. Pertama, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Kedua, himpunan bagian yang terdiri dari satu anggota, yaitu {a}, {b}, {c}. Ketiga, himpunan bagian yang terdiri dari dua anggota, yaitu {a,b}, {a,c}, dan {b,c}. Keempat, himpunan bagian yang terdiri dari tiga anggota atau dengan kata lain himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari Himpunan A sendiri, yaitu {a, b, c}. Jadi, jumlah himpunan bagian dari himpunan A adalah penjumlahan dari himpunan kosong (), himpunan bagian dengan satu anggota (3), himpunan bagian dengan dua anggota (3), dan himpunan bagian dari himpunan A sendiri () yang seluruhnya berjumlah delapan anggota.. Misalkan a, b, c, d, e, f, dan g menyatakan jumlah anggota seperti pada gambar berikut ini: S A a c b d f e B g C Dengan demikian, n(a B C) = a + b + c + d + e + f + g. Karena n(a) = a + b + c + d n(a B) = b + d n(b) = b + d + e + f n(a C) = c + d d + n(c) = c + d + f + g n(b C) = maka f n(a B C) = d n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C) 09

119 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat PEMECAHAN MASALAH DALAM LOGIKA DAN BILANGAN BULAT Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 5 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik logika dan bilangan bulat. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Memperoleh pengertian tentang logika.. Memahami tentang nilai kebenaran suatu pernyataan dan menyusun tabel kebenarannya. 3. Menggunakan kaidah-kaidah yang ada dalam operasi uner dan biner; 4. Membuktikan validitas suatu argumen. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang berlaku dalam logika matematika. 6. Terampil menggunakan kaidah-kaidah dalam logika untuk melakukan pemecahan masalah matematik. 7. Memahami pengertian, operasi, dan sifat-sifat bilangan bulat. 8. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan bulat. 9. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan pada bilangan bulat. 0. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat.. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pembagian pada bilangan bulat.. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan bulat. 3. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan bulat. 4. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan. 47

120 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB : Logika KB : Bilangan Bulat Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini:. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan! 48

121 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat LOGIKA PENGANTAR Kita menyadari bahwa betapa pentingnya berpikir kritis dalam melakukan pemecahan masalah, baik itu masalah matematik, maupun masalah yang berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Dengan berpikir kritis, seseorang dapat mengatur, menyesuaikan, mengubah, atau memperbaiki pikirannya, sehingga ia dapat mengambil keputusan untuk bertindak lebih tepat. Untuk dapat berpikir kritis, seseorang harus juga memiliki kemampuan penalaran. Sedangkan jalan kunci untuk melakukan penalaran adalah dengan memahami logika. Jadi, secara tidak langsung, untuk dapat melakukan pemecahan masalah, syarat yang tak boleh ditinggalkan adalah memahami logika. Pada Kegiatan Belajar ini akan dibahas dengan cukup detail mengenai logika, khususnya logika matematika. Secara garis besar, kajian materi dalam Kegiatan Belajar ini akan dimulai dari pengertian logika, pernyataan dan operasinya, serta argumen dan penarikan kesilmpulan. Setiap kajian materi tersebut disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik. INDIKATOR Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini, Anda diharapkan dapat:. Memperoleh pengertian tentang logika.. Memahami tentang nilai kebenaran suatu pernyataan dan menyusun tabel kebenarannya. 3. Menggunakan kaidah-kaidah yang ada dalam operasi uner dan biner; 4. Membuktikan validitas suatu argumen. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan aturan yang berlaku dalam logika matematika. 6. Terampil menggunakan kaidah-kaidah dalam logika untuk melakukan pemecahan masalah matematik. 49

122 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat URAIAN Pengertian Logika Secara etimologis, istilah logika berasal dari bahasa Yunani, logos, yang berarti kata, ucapan, pikiran, atau bisa juga mengandung arti ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, logika merupakan suatu metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah. Pengajaran logika terbilang sudah sangat tua, sejak ribuan tahun yang lalu. Tokoh yang dikenal sebagai pelopor logika adalah Aristoteles (348 3 SM). Dalam mempelajari logika, kita tak bisa lepas dari penalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen. Banyak sering pula yang mengartikan penalaran sebagai cara berpikir, sebagai suatu penjelasan dalam menunjukkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan menggunakan cara-cara tertentu hingga mencapai suatu kesimpulan yang tepat. Selama kita hidup, banyak permasalahan keseharian yang harus dihadapi. Kita dituntut untuk senantiasa menggunakan akal pikiran dalam melakukan setiap kegiatan yang penuh pemikiran dan pertimbangan. Kita harus memiliki pola pikir yang tepat, akurat, rasional, dan objektif. Pola berpikir seperti ini adalah pola berpikir yang terdapat dalam logika. Kelebihan lain dalam mempelajari logika adalah dapat bisa memperoleh nilai-nilai bersifat praktis. Dengan menguasai prinsip-prinsipnya, kita akan sangat tertolong untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan bernalar yang dilakukan oleh orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri kita sendiri. PENGERTIAN PERNYATAAN Pernyataan harus dibedakan dari kalimat biasa. Tidak semua kalimat termasuk ke dalam pernyataan. Pernyataan diartikan sebagai kalimat matematika tertutup yang benar saja, atau salah saja, tetapi tidak kedua-duanya dalam waktu yang bersamaan. Biasanya pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil, seperti: p, q, r, s, dan sebagainya. Contoh 4.3.: Di bawah ini adalah contoh-contoh pernyataan: p : Semua sapi adalah hewan menyusui. q : 3 + = 6. r : Semua makhluk hidup pasti akan mengalami kematian. s : Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dua. Contoh 4.3.: Di bawah ini adalah contoh-contoh yang bukan pernyataan:. Kapan kamu menikah?. Makan, yuk! 3. x + 3 = y 3 = 7, dengan y adalah bilangan real. 50

123 NILAI KEBENARAN Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan disebut Nilai Kebenaran dari pernyataan tersebut. Nilai kebenaran suatu pernyataan p ditulis ô (p). Jika benar, maka nilai kebenarannya B, dan jika salah nilai kebenarannya S. Contoh 4.3.3: p : 3 + = 6 maka ô (p) = S. p : x 4 = 6, untuk x = 5 maka ô (p) = B. OPERASI UNER Dalam logika matematika terdapat dua jenis operasi, yaitu operasi uner dan biner. Operasi uner berarti hanya melibatkan satu unsur, yang dalam hal ini unsur tersebut berupa pernyataan. Yang termasuk operasi uner ini adalah operasi negasi, atau penyangkalan. Negasi biasanya dilambangkan dengan ~. Nilai kebenaran negasi dari sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran pernyataan itu. Jadi, jika nilai kebenaran suatu pernyataan adalah B, maka nilai kebenaran negasinya adalah S, begitu pun sebaliknya. Contoh 4.3.4: p : = 00 maka ~ p : , atau ~ p : Tidak benar bahwa = 00. ô (p) = S dan ô (~ p) = B. OPERASI BINER Operasi biner adalah operasi yang melibatkan dua unsur. Contoh operasi biner yang sering kita jumpai dalam matematika adalah: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan sebagainya. Khusus dalam logika, terdapat empat macam operasi biner, antara lain: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Keempat operasi biner ini akan segera kita pelajari, namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai pernyataan majemuk. Pernyataan Majemuk Pernyataan tunggal yang digabung disebut pernyataan majemuk. Perhatikan contoh sederhana berikut! Elzan adalah pria yang kaya. Elzan adalah pria yang tampan. Kedua pernyataan tunggal di atas dapat digabungkan sehingga membentuk suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung dan. Pernyataan majemuk yang dimaksud adalah Elzan adalah pria yang kaya dan tampan. Dalam Kegiatan Belajar 3 ini, kita hanya akan mempelajari pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan tunggal. Kata penghubungnya adalah: () dan, () atau, (3) jika... maka..., serta (4)...jika dan hanya jika... 5

124 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat. Operasi Konjungsi Salah satu cara untuk menggabungkan pernyataan tunggal sehingga menjadi pernyataan majemuk adalah dengan menggunakan kata dan., yang dikenal dengan nama operasi konjungsi. Perhatikan kembali kalimat majemuk yang telah dibuat sebelumnya dengan menggunakan kata penghubung dan, yaitu Aufa adalah pria yang kaya dan tampan. Pernyataan pertama : Aufa adalah pria yang kaya. Pernyataan kedua : Aufa adalah pria yang tampan. Pernyataan majemuk dengan kata penghubung dan hanya bernilai benar jika baik pernyataan pertama maupun pernyataan kedua sekaligus benar. Dalam keadaan lain adalah salah, yaitu jika salah satu atau kedua-duanya dari pernyataan tunggal adalah salah, pernyataan majemuk adalah salah. Kata penghubung dan pada pernyataan majemuk dilambangkan dengan, Definisi Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p dan q disebut konjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan p q Pernyataan p dan q masing-masing disebut konjung-konjung. Konjungsi bernilai benar jika keduannya p dan q adalah benar, dan dalam keadaan lain adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut. Tabel 4.3. Tabel Kebenaran Konjungsi p q p q B B S S B S B S B S S S Contoh 4.3.5: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q berikut ini! a. p : = 800 q : 4 adalah faktor dari b. p : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata q : 65 adalah bilangan kuadrat 5

125 Jawaban: a. p salah, q benar p q : = 800 dan 4 adalah faktor dari (Salah) Atau bisa juga ditulis: ô (p) = S, ô (q) = B. Jadi, ô (p q) = S. b. ô (p) = B, ô (q) = B. p q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 65 adalah bilangan kuadrat (benar). Jadi, ô (p q) = B. Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat. Operasi Disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata atau dinamakan pernyataan disjungsi. Kedua buah pernyataan pembentuk disjungsi ini disebut sebagai disjung-disjung. Kata penghubung atau dalam keseharian dapat memiliki arti ganda. Misalnya seorang berkata, Pada pukul 0 malam nanti, saya akan menonton pertandingan sepakbola world cup atau tidur, tetapi tidak mungkin keduanya. Pernyataan majemuk seperti ini disebut disjungsi eksklusif. Sekarang, perhatikan disjungsi majemuk berikut: Orang yang boleh memilih dalam pemilu adalah WNI yang berumur di atas 7 tahun atau sudah kawin. Pernyataan ini dapat diartikan, orang yang boleh memilih dalam pemilu tidak hanya yang berumur di atas 7 tahun dan sudah kawin. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif. Dalam matematika dan sains, atau diartikan sebagai disjungsi inklusif, kecuali jika disebut lain. Disjungsi pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk p atau q, ditulis p q. Disjungsi didefinisikan sebagai berikut : Misalkan p dan q adalah pernyataan. Pernyataan majemuk p atau q disebut disjungsi dari p dan q dan dilambangkan dengan p q. Disjungsi p q bernilai benar jika salah satu p atau q, atau keduanya adalah benar, disjungsi adalah salah hanya jika keduanya p dan q adalah salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut. 53

126 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat Tabel 4.3. Tabel Kebenaran Disjungsi p Q p q B B S S B S B S B B B S Contoh 3.6: Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan! a. p : = q : Dua meter sama dengan 00 cm b. p : 9 adalah bilangan prima q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat c. p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong q : Jawaban: 3 adalah bilangan cacah. a. ô (p) = S, ô (q) = B. Jadi, ô (p q) = B. p q : = atau dua meter sama dengan 00 cm (benar). b. ô (p) = B, ô (q) = B. Jadi, ô (p q) = B. p q : 9 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa barat (benar). c. ô (p) = S, ô (q) = S. Jadi, ô (p q) = S. 3. Operasi Impilikasi Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya. Misalkan, p : Sore tidak hujan. q : Elzan mengajak Gusrayani menonton. 54

127 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat Pernyataan jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton. Dapat dinyatakan sebagai jika p maka q atau dilambangkan dengan p q. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk jika p maka q disebut implikasi. Definisi: Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk jika p maka q, dilambangkan dengan p q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini. Tabel Tabel Kebenaran Implikasi p q p q B B S S B S B S Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh B S B B Contoh 4.3.7: Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut! a. Jika = 0 maka besi adalah benda padat. b. Jika = 5 maka besi adalah benda cair. c. Jika cos 30 = 0,5 maka 5 adalah bilangan ganjil. Jawab : a. Jika = 0 maka besi adalah benda padat. Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar. b. Jika = 5 maka besi adalah benda cair. Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah. c. Jika cos 30 = 0,5 maka 5 adalah bilangan ganjil. Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar. 55

128 Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat 4. Operasi Biimplikasi Perhatikanlah pernyataan berikut: Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah. Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan oleh hujan? Tentu saja tidak selalu begitu, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi. Sekarang, perhatikan pernyataan berikut: Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas. Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disenut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat ganda. Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan yang berarti jika dan hanya jika disingkat jhj atau jikka. Biimplikasi p q ekuivalen dengan jika p maka q dan jika q maka p, dinotasikan sebagai: (p q) (q p). Adapun definisi tentang biimplikasi adalah sebagai berikut. Definisi: Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan p q. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar atau jika keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi adalah salah. Perhatikan Tabel berikut ini. p q p q B B S S Tabel 3.4 Tabel Kebenaran Biimplikasi B S B S B S B B 56

129 Contoh 4.3.8: Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah ini! a = 7 jika dan hanya jika 7 bukan bilangan prima. Pemecahan Masalah dalam Logika dan Bilangan Bulat B ô (p) = B, ô (q) = B. Jadi, ô (p q) = B. B b. + 5 = 7 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap. ô (p) = B, ô (q) = S. Jadi, ô (p q) = S. c. tan 45 + cos 45 = jika dan hanya jika tan 45 = ô (p) = S, ô (q) = S. Jadi, ô (p q) = B. Pernyataan Majemuk Bertingkat Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang menggunakan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( ) seperti pada: ~p, ~q, p q, p q, p q dan p q. Pada kenyataannya, suatu pernyataan majemuk bersusun dapat dibentuk oleh lebih dari dua pernyataan tunggal serta beberapa pernyataan majemuk. Berikut ini disajikan beberapa contoh agar Anda bisa lebih menangkap maksudnya.. ~ (p q) (p q) p (p q) (p q) ~ (p ~q) (p q) [ p ( q r) ] [ ~ p ( ~ q ~ r) ] Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk Bertingkat Anda telah menguasai cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran untuk operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, seperti pada Tabel 4.3., Tabel 4.3., Tabel 4.3.3, dan Tabel Dari tabel-tabel tersebut, dapat diketahui bahwa untuk dua pernyataan tunggal yang berbeda terdapat 4 kemungkinan komposisi atau komposisi. Apabila pernyataan tunggal ada 3 buah (misalnya (p q) r), maka akan terdapat = 8 kemungkinan komposisi sehingga anda harus menyusun tabel dengan jumlah baris sebanyak 8 baris seperti pada Tabel berikut ini. 57

130 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah PENYELESAIAN MASALAH DALAM SISTEM BILANGAN CACAH Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 6 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 6 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam bilangan cacah, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar:sistem Bilangan Cacah Dan Operasi Hitungnya dan Kegiatan Belajar : Urutan pada Bilangan Cacah dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) serta Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Setiap kegiatan belajar yang Anda pelajari, satu sama lainnya memiliki keterkaitan yang erat, sehingga diharapkan Anda mampu mempelajari dan memahaminya secara tuntas. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik system bilangan cacah. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami pengertian, dan sifat-sifat bilangan cacah.. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan cacah. 3. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan pada bilangan cacah. 4. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan cacah. 5. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pembagian pada bilangan cacah. 6. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan cacah. 7. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan cacah. 8. Memahami urutan-urutan pada bilangan cacah. 9. memahami dan terampil menggunakan FPB dan KPK dalam kehidupan sehari-hari 87

131 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi dua Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB : Sistem Bilangan Cacah dan Operasi Hiitungnya KB : Urutan pada Bilangan Cacah, FPB dan KPK Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini:. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan! 88

132 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah SISTEM BILANGAN CACAH DAN OPERASI HITUNGNYA PENGANTAR Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. (Sumber: Ensiklopedia Matematika, 998). Konsep dasar mengenai bilangan sungguh merupakan hal mutlak yang harus dipelajari oleh setiap orang. Bagaimana tidak, bilangan merupakan idea yang selalu muncul dan menjadi bagian dari kehidupan sehari-hari, baik itu kita sadari maupun tidak. Bahkan Pythagoras seorang matematikawan yang sangat tersohor dan sangat besar pengaruhnya mengatakan bahwa semua hal dalam hidup ini adalah bilangan. Pembelajaran mengenai bilangan pun menjadi bagian vital yang dilaksanakan di persekolahan dasar. Oleh karenanya, setiap guru dan calon guru SD harus lebih dalam menguasai konsep dan sistem bilangan. Di samping itu juga, setiap guru dan calon guru SD harus pandai pula menyuguhkan pembelajaran mengenai bilangan kepada setiap anak didiknya dengan bentuk pemecahan masalah, sehingga ke depannya nanti diharapkan agar para siswa tersebut mampu memecahkan persoalan kehidupan sehari-harinya yang berkenaan dengan konsep bilangan. Kegiatan Belajar ini mencakup pokok-pokok materi mengenai: pegertian bilangan cacah, beberapa operasi yang berkenaan dengan bilangan cacah, sifat-sifat yang berlaku dalam setiap operasi pada bilangan cacah, serta di dalam setiap kajian materi tersebut disuguhkan pemecahan masalah matematiknya. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam Kegiatan Belajar ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami pengertian, operasi, dan sifat-sifat bilangan cacah.. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan cacah. 3. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan cacah. 4. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan dan pembagian pada bilangan cacah. 5. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi pemangkatan pada bilangan cacah. 6. Memahami dan terampil menggunakan sifat-sifat operasi penarikan akar pada bilangan cacah. 7. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik bilangan cacah. 89

133 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Pengertian BILANGAN CACAH Bilangan (number) dapat diartikan sebagai: Suatu ukuran dari besaran, tetapi juga dipakai dalam suatu cara abstrak (tak berwujud) tanpa menghubungkannya dengan `berapa banyak` atau pengukurannya (Hollands, 984: 5). Pada operasi hitung selanjutnya akan dibahas tentang bilangan kardinal (cardinal number), yaitu yang berhubungan dengan bilangan cacah (whole numbers), yang didefinisikan sebagai gabungan bilangan asli (natural numbers) dengan bilangan 0 (nol), bilangan asli itu sendiri adalah himpunan A = {,, 3,..) (Wheeler, 973: 8-83). Jadi bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai himpunan C = {0,,, 3, }. Dalam membilang biasanya kita mulai dari (satu), (dua), 3 (tiga) dan seterusnya sesuai dengan objek yang kita bilang. Membilang yang demikian merupakan system bilangan asli. Lain halnya jika membilang kita mulai dari tidak ada, yang dilambangkan dengan 0 (nol),,, 3, Bilangan demikian disebut bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah adalah {0,,, 3, }, himpunan yang diperoleh dengan memasukkan bilangan nol ke himpunan bilangan asli. Bilangan tersebut jika digambarkan dalam garis bilangan adalah sebagai berikut. OPERASI HITUNG BILANGAN CACAH DAN SIFAT-SIFATNYA Operasi hitung yang akan dibahas adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Penjelasannya sebagai berikut:. Penjumlahan Definisi penjumlahan adalah: Andaikan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, A dan B adalah himpunan-hipunan yang terpisah, sedangkan a = n(a) dan b= n(b), maka a + b = n(a B) Kata-kata yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan penjumlahan adalah: digabungkan, disatukan, dijadikan satu wadah, dijumlahkan, dimasukan, dan pengulangan suatu kegiatan Sifat-sifat Penjumlahan a. Tertutup Bentuk sifat tertutup dalam penjumlahan bilangan cacah adalah setiap jumlah (hasil penjumlahan) selalu menghasilkan bilangan cacah pula. Seperti + 3 = 5, bilangan 5 termasuk bilangan cacah. b. Komutatif Bentuk sifat komutatif (sifat pertukaran) dalam penjumlahan bilangan cacah selalu menunjuk untuk setiap bilangan cacah a dan b, berlaku a + b = b + a. Seperti + 4 = 4 +, = dan lain-lain. c. Assosiatif Bentuk sifat assosiatif )sifat pengelompokkan) dalam penjumlahan bilangan cacah selalu menunjuk untuk setiap bialangan cacah a, b dan c, berlaku: (a + b) + c = a + (b + c). Seperti ( + 4) + 5 = + (4 + 5) dan lain-lain 90

134 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah d. Sifat Penjumlahan dengan bilangan 0 (nol) Setiap bilangan cacah bila dijumlahkan dengan bilangan nol selalu menunjuk kepada bilangan itu sendiri, dengan sifat a + 0 = a. Seperti = 5, = 7 dan lain-lain. Penggunaan sifat-sifat tersebut dalam pemecahan masalah hanyalah untuk menyederhanakan pengerjaan operai hitung, sehingga dapat lebih cepat terselesaikan. Contoh Soal 6... Pada hari Senin Ina membeli kue sebanyak dua kali, yang pertama membeli lima bungkus kue dan yang kedua membeli 8 bungkus kue. Berapa bungkus kue yang dibeli Ina pada hari senin tersebut? Jawab: 5 bungkus kue + 8 bungkus kue = bungkus kue, dengan menggunakan sifat komutatif soal tersebut di selesai dengan cara: (mengapa?). Contoh soal 6... Pada hari raya Idul Fitri, Amin mendapat hadiah uang dari tiga orang saudaranya, yaitu masing-masing sebesarnya 57 ribu rupiah, 5 rikbu rupiah dan 75 ribu rupiah. Berapakah jumlah hadiah yang diterima Amin seluruhnya? Jawab: 57 ribu rupiah + 5 ribu rupiah + 75 ribu rupiah =.. ribu rupiah. Dengan menggunakan sifat assosiatif soal tersebut diselesaikan dengan cara: 57 + (5 + 75) (mengapa?) Pemahaman konsep dasar penjumlahan diarahkan pada penguasaan fakta dasar penjumlahan, dengan table sebagai berikut. Tabel 6..: Fakta Dasar Penjumlahan Dari 00 fakta dasar penjumlahan di atas yang harus dikuasai hanyalah 55 fakta dasar, karena penggunaan sifat komutatif, seperti = dan lain lain. 9

135 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah. Perkalian Pemahaman konsep perkalian dapat diilustrasikan sebagai pemasangan silang antara dua himpunan, yaitu: Jika a dan b bilangan cacah, A dan B adalah himpunan yang terhingga sedemikian hingga n(a) = a dan n(b) = b, maka a x b = n (A x B). Misalkan perkumpulan bulu tangkis mempunyai pemain putra sebanyak 3 orang, yaitu: Rudi, Candra, dan Gunawan, serta mempunyai orang pemain putri, yaitu: Susi dan Yeni. Jika akan diturunkan bermain dalam pasangan ganda campuran, maka pasangan yang mungkin terjadi adalah: () Rudi dan Susi; () Rudi dan Yeni; (3) Candra dan Susi; (4) Candra dan Yeni; (5) Gunawan dan Susi; dan (6) Gunawan dan Yeni. Jadi banyaknya pasangan atau kombinasi yang mungkin terjadi adalah 6 pasang. Banyaknya pasangan tersebut didapat dari pemasangan silang dua anggota himpunan atau didapat dari perkalian bilangan 3 dan bilangan. Contoh lain, ambil dua himpunan A dan B yang saling lepas, A dengan a anggota dan B dengan b anggota, kemudian bentuklah A x B. Maka banyaknya anggota (pasangan) dalam A x B disebut a x b. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {k, l, m, n}. Maka A x B = {(a, k), (a, l), (a, m), (a, n), (b, k), (b, l), (b, m), (b, n), (c, k), (c,l), (c, m), (c, n)}. Hasil perkalian tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 6..: Perkalian silang dua anggota himpunan x k l m n a a, k a, l a, m a, n b b, k b, l b, m b, n c c, k c, l c, m c, n Atau perkalian tersebut dapat digambarkan sebagai persilangan 3 baris dengan 4 garis, seperti gambar berikut: Gambar 6..: Persilangan 3 garis dengan 4 garis Perkalian dapat pula dinyatakan sebagai penjumlahan berulang, dengan definisi: Jika a dan b bilangan cacah, maka a.b = b + b + b b atau ab adalah penjumlahan berulang yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku adalah b. Atau perkalian axb ialah penjumlahan atau penjumlahan berganda yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku sama dengan b. Definisi ini dapat pula dilihat pada Bell(96), Atau dapat dinyatakan: Jika N + N = x N, maka N + N + N = 3 x N dan seterusnya. Dan pada Grossnickle (959), definisi perkalian ini diilustrasikan dengan: x 5 = 0, sebagai groups of 5`s are 0. Misal: Jika ada 4 kandang ayam, dalam setiap kandangnya terdapat 5 ekor ayam, maka jumlah ayam tersebut adalah = 4 x 5 = 0 ekor ayam. 9

136 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Perkalian dapat pula dipandang sebagai gabungan suatu himpunan atau dengan perkataan lain, a x b ialah banyaknya anggota dalam persatuan (gabungan) a himpunan, yang sepasang-sepasang lepas dan masing-masing mempunyai b anggota. Misal: Jika A, A, A 3,... A n adalah himpunan-himpunan yang sepasang-sepasang lepas dan masingmasing mempunyai b anggota, maka a x b adalah banyaknya anggota : A A A 3... A n. Contoh Perkalian 3 x 4 dapat diperagakan sebagai berikut: Gambar 6..: Perkalian 3 x 4 anggota Atau dengan jajaran yang terdiri dari 3 baris masing-masing dengan 4 anggota (pesawat) seperti gambar berikut: Gambar 6..3: Perkalian 3 x 4 anggota Definisi lain dalam hal perkalian dapat digunakan dengan pendekatan kelipatan suatu bilangan, atau dengan istilah lain yaitu membilang loncat, seperti terlihat pada tabel berikut ini. Tabel 6..3: Kelipatan suatu bilangan Kelipatan Kelipatan ke Penggunaan kelipatan pada proses perkalian misalnya x 4, yaitu mencari kelipatan 4 pada langkah ke dua (pada tabel di atas adalah 8, karena pada kelipatan 4 kita temukan: 4, 8,...). Contoh lain, 4 x 5, bilangan yang dimaksud adalah bilangan pada kelipatan 5 dalam langkah ke 4 ( pada tabel di atas adalah 0, karena pada kelipatan 5 kita temukan: 5, 0, 5, 0,... ). Fakta dasar perkalian adalah perkalian bilangan 0 sampai dengan 9. Sedangkan fakta dasar pembagian adalah pembagian bilangan dimana bilangan yang dibaginya dari 0 sampai dengan 8, pembaginya bilangan asli dari satu sampai dengan 9, dan hasil baginya adalah bilangan cacah dari 0 sampai dengan 9. Dalam kalimat matematik seperti 6 x 9 = 54, 6 dan 9 disebut faktor sedangkan 54 hasil kali dan semuanya menyusun apa yang disebut fakta perkalian. 93

137 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Fakta dasar perkalian dalam bilangan cacah dapat dimisalkan sebagai berikut, yaitu ada sembarang bilangan a x b = c, dengan keterangan sebagai berikut : 0 a 9 (a tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9), 0 b 9 (b tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9), 0 c 8 (c tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 8), dengan keterangan a, b, dan c elemen (anggota) bilangan cacah. Contoh-contoh perkalian fakta dasar dapat dilihat pada tabel perkalian di bawah ini. Tabel 6..4: Perkalian Fakta Dasar x Untuk memantapkan penguasaan fakta dasar perkalian dan pembagian dapat digunakan tabel, jari tangan, dan mengaitkan suatu perkalian dengan fakta yang mudah diingat, seperti kelipatan dua yang hasil perkaliannya selalu bilangan genap, kelipatan lima sering ada pada penggaris atau bilangan menit pada jam (satu bilangan nilainya 5 menit, dan kelipatan tujuh yang ada pada perhitungan hari dalam satu mingu. Sifat Operasi Hitung Perkalian Dalam perkalian bilangan cacah berlaku sifat-sifat, yaitu: () tertutup, () komutatif, (3) asosiatif, (4) elemen identitas, (5) perkalian dengan bilangan nol, dan (6) distributif perkalian terhadap penjumlahan (Soewito, 99/99: 40-4). Juga dapat dilihat pada Wheeler (973), yang memiliki: Commutative, Assosiative, Identity, Distributive (distributif perkalian terhadap penjumlahan), dan sifat perkalian dengan bilangan nol. Berikut ini penjelasan sifat-sifat perkalian tersebut, yaitu: 94

138 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah ) Sifat Tertutup Sifat tertutup dalam perkalian bilangan cacah maksudnya ialah, jika ada dua bilangan cacah atau lebih diperkalikan, maka hasilnya bilangan cacah pula (tidak keluar dalam konteks bilangan cacah). Misalnya: x 4 = 8, 3 x 7 = dan lain lain, 8 dan adalah anggota bilangan cacah. ) Sifat Pertukaran (Commutative) Sifat pertukaran (komutatif) didefinisikan: Untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku a.b = b.a. Atau dengan perkataan lain, hasil suatu perkalian tidak berubah bila pengali dan yang terkalikan dipertukarkan. Untuk bukti secara umum, dapat diambil himpunan A dan B sedemikian hingga n(a) = a, n(b) = b. Karena A x B = B x A maka, n ( A X B) = n (B x A) atau a.b = n ( A x B) = n ( B x A) = b.a. Misalkan 3 x 4 = 4 x 3 =. Karena = = Bukti lain adalah sebagai berikut: Ambil himpunan H dengan A anggota dan I dengan B anggota. H dan I saling lepas, a x b adalah banyaknya anggota himpunan H x I, yaitu himpunan { (x,y) : x H, y I }. b x a adalah banyaknya anggota himpunan I x H, yaitu himpunan { (y,x) : y I, x H}. Karena setiap (x, y) H x I dapat dipasangkan dengan ( y, x) I x H dan sebaliknya, maka H x I sama dengan I x H, dengan kata lain a x b = b x a. Sebagai contoh diambil: H = {k, l, m, n} dan I = {s, t }, maka perkalian silang kedua himpunan tersebut menjadi: {(k,s), (k,t), (l,s), (l,t), (m,s), (m,t), (n,s), (n,t)}. Sedangkan Jika perkalian himpunannya tersebut dipertukarkan (dibalikkan posisi), maka menjadi seperti berikut, yaitu: {(s, k), (s, l), (s, m), (s, n), (t, k), (t, l), (t, m), (t, n)}. Dalam kasus ini dapat disimpulkan bahwa perkalian dua himpunan tersebut adalah sama, karena masing-masing menghasilkan 8 kemungkinan pemasangan anggota himpunan. Dengan adanya sifat komutattif perkalian, maka perbedaan antara pengali dan terkalikan tidak berarti, dan untuk menyatakan masingmasing disebut faktor. Pemakaian sifat komutatif dapat dilihat pada contoh berikut: a). Seorang yang harus mengalikan 439 x 8 akan lebih mudah kalau ia melakukannya dengan sifat pertukaran, yaitu 8 x 439 dari pada 439 x 8 b). x 9 berarti x berarti Dengan demikian seorang yang harus menghitung 9 x akan mengubahnya dengan x 9 karena bentuk x 9 ini lebih mudah dihitung. c). Penggunaan sifat komutatif sering digunakan dalam perhitungan luas suatu daerah (bangun datar/ dua dimensi), contohnya seperti gambar berikut, bahwa luas gambar di sebelah kiri sama dengan luas daerah di sebelah kanannya: 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm Gambar 6..4: Luas suatu daerah dalam dua posisi 95

139 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah 3) Sifat Pengelompokan (Assosiative) Untuk mengalikan tiga bilangan cacah, misalnya x 3 x 4, dapat digunakan pengelompokan yang berbeda, yaitu: x 3 x 4 = ( x 3) x 4 = 6 x 4 = 4 atau, x 3 x 4= x (3 x 4) = x = 4 Dengan demikian didapat ( x 3) x 4 = x (3 x 4). Dari contoh tersebut nampak adanya sifat asosiatif dalam perkalian. Cara lain untuk memperlihatkan sifat assosiatif adalah dengan membuat alat peraga tiga dimensi, yang terdiri dari panjang, lebar dan tinggi. Contoh berikut perkalian (4 x 3) x = 4 x (3 x ), seperti gambar berikut: cm 4 cm 4 cm 3 cm 3 cm cm Gambar 6..5: Bangun ruang dalam dua posisi Sifat asosiatif tersebut dapat dikatakan sulit diterima oleh siswa kelas III sekolah dasar sebab kemampuan siswa masih terbatas, yaitu harus memahami terhadap benda ruang tiga dimensi, pemahaman terhadap benda ruang tiga dimensi tersebut siswa harus memiliki daya tilik ruang, seperti pada kubus ada istilah sisi, rusuk dan titik sudut, maka dari itu sifat tersebut tidak akan diajarkan dalam penelitian tindakan kelas ini. 4) Elemen Identitas dan Sifat Perkalian dengan Bilangan 0 (nol) Bilangan (satu) adalah elemen identitas perkalian sehingga untuk setiap bilangan cacah a berlaku.a = a dan a. = a. Sedangkan untuk bilangan 0 (nol) berlaku 0. a = 0 dan a.0 = 0 Contoh: 4 x = 4 ; 6 x = 6 ; x 8 = 8 ; x 0 = 0 ; dsb. 4 x 0 = 0 ; x 0 = 0 ; 5 x 0 = 0 ; 0 x 0 = 0; dsb. 96

140 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah 5) Sifat Penyebaran (Distributive) Perkalian terhadap Penjumlahan Untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a). Sifat distributif ini dapat diilustrasikan sebagai berikut, dengan contoh 3 x 8 menjadi (3 x 5) + (3 x 3): Gambar 6..6.: Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Contoh: 7 x 3 = 7 x (0 + 3) = (7 x 0) + (7 x 3) 8 x 3 = 8 x (0 + 3) = (8 x 0) + (8 x 3) 63 x 4 = (60 + 3) x 4 = (60 x 4) + (3 x 4) = = x = (34 x 0) + (34 x ) = = 74 Sifat-sifat tersebut di atas fungsinya untuk mempermudah penyelesaian suatu soal, seperti contoh soal berikut: 87 x 34= 34 x 87 (sifat komutatif) = (30 + 4) x (80 + 7) (sifat distributif) = 30 x (80+7) + 4 x (80+7) (sifat distributif) = (30 x 80) + (30 x 7) + (4 x 80) + (4 x 7) (sifat distributif) = = = = 958 6). Pemberian Contoh dan Penggunaan dalam Kehidupan Sehari-hari Dalam pemberian contoh perkalian, hendaknya mengacu pada definisi yang sudah dipahami siswa, yaitu definisi penjumlahan berulang. Dalam hal ini guru dapat menggunakan sejumlah himpunan dan garis bilangan. Misalkan untuk menjelaskan 3 x =... dengan pendekatan himpunan: = Gambar 6..7: Perkalian sebagai penggabungan himpunan 97

141 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Sedangkan jika menggunakan pendekatan garis bilangan untuk perkalian seperti 3 x dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar 6..8: Perkalian dalam garis bilangan Penggunaan perkalian dalam kehidupan sehari-hari dapat dikaitkan dengan jumlah siswa, jumlah orang yang berbaris, dan lain-lain yang memperlihatkan adanya keteraturan. Misalkan: jika jumlah meja di dalam kelas ada 0 dan setiap satu meja dipakai kursi, maka jumlah kursi dapat diprlihatkan oleh perkalian 0 x kursi = 40 kursi. 3. Pengurangan dan Pembagian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan istilah-istilah kebalikan atau invers, begitupun dalam matematika. Seperti pengurangan dapat didefinisikan sebagai kebalikan penjumlahan, sedangkan pembagian didefiniskan sebagai kebalikan dari perkalian. Atau dengan kalimat lain pengurangan didefinisikan sebagai berikut: Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c b = a atau c a = b. Contoh: 7 + = 9 sebab 9 = = 5 sebab 5 = = 47 sebab 47 3 = 4 Pengurangan ini sering dijadikan sebagai pemeriksaan hasil dari penjumlahan, untuk meyakinkan bahwa hasil penjumlahan tersebut benar. Misalkan, apakah benar + 3 = 5, maka untuk meyakinkan hasil penjumlahan tersebut cobalah balikan, berapkah 5 3 =? Jika hasil, maka hasil penjumlahan tersebut adalah benar. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai masalah yang melibatkan penyelesaiannya berhubungan dengan pengurangan. Misalanya dalam contoh soal berikut. Contoh Soal Amin disuruh ibunya membeli 0 butir telur, ketika dalam perjalanan pulang tiba-tiba terjatuh, sehingga telur yang dibelinya ada yang pecah. Adapun telur yang masih tersisa 7 butir. Berapa butir telor yang pecah? Jawab: Soal tersebut dapat diselesaikan dengan pendekan model matematika seperti berikut: 0 7 = 3 sebab = 0 98

142 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Misalkan x adalah telur yang pecah, maka 0 x = 7 x = 3 Jadi telur yang pecah adalah 3 butir. Sedangkan pembagian didefinikan sebagai berikut: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y = x Contoh: : 3 = 4 sebab 4 x 3 = 4 : 7 = 6 sebab 6 x 7 = 4 0 : 5 = 4 sebab 4 x 5 = 0 Contoh Soal Ibu membagikan kue sebanyak 30 biji kepada anaknya yang berjumlah 5 orang, masing mendapatkan bagian yang sama. Berapakah anaknya masing-masing mendapatkan kue? Jawab: Misalkan A, B, C, D, dan E adalah nama-nama anak, jika 30 kue dibagi habis kepada 5 orang, maka masing-masing mendapatkan 6 biji kue. Dan gambar yang da[at dibuat adalah sebagai berikut Contoh soal Pak Ahmad membagikan uang sodaqoh kepada sejumlah fakir miskin sebanyak Rp ,00, masing-masing mendapatkan Rp..500,00. Berapakah jumlah pakir miskin yang diberi uang oleh Pak Ahmad? Jawab: Misalkan jumlah orang pakir miskin adalah p Rp ,00 : p = Rp..500,00 atau ditulis = 500 p 500 p = A B C D E 99

143 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah p = 500 p = 4 Jadi banyaknya pakir miskin yang dibagi uang sebanyak 4 orang. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan sifat komutatif atau asosiatif. a. 5 + = b =. c = d. 5 x 5 =. e. x 6 x 0 = f. 35 x 8 =. Jika penduduk kelurahan berjumlah berjumlah 500 Kepala Keluarga (KK), dan setiap KK membuang sampah setiap harinya sebanyak kg. Berapa kg banyaknya sampah yang terkumpul setelah 4 minggu? 3. Amin mengadakan perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 60 km dengan menaiki sepeda. Di perjalanan Amir istirahat setiap km. Berapa kali istiharahat yang dilakukan Amir selama perjalan sebelum sampai tujuan? 4. Nina mempunyai karet gelang yang diikat dalam 5-an, ia mempunyai sebanyak 30 ikat. Berapakah karet gelang yang dipunyai Nina? 5. Pedagang air mineral gelas setiap harinya laku terjual sebanyak dus. Modal yang ia keluarkan untuk stiap dusnya Rp..000,00. Berakah keuntungan yang diperoleh selama seminggu, jika harga eceran pergolas Rp 500,00? Petujnjuk Jawaban Latihan. Selesaikan soal berikut dengan menggunakan sifat komutatif atau asosiatif. a. 5 + = + 5 (sifat komutatif b = (5 + 3) + (sifat komutatif) c = (0 + 0) + (5 + 3) (sifat komutatif) d. 5 x 5 = 5 x 5 (sifat komutatif) e. x 6 x 0 = x (6 x 0) (sifat asosiatif) f. 35 x 8 = (30 x 8) + (5 x 8) (sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan). (500 x kg ) x (4 x 7 hari) = {( x 4) x 500] x 7 = 000 x 7 = ( x 7) x000 = Jadi banyak sampah yang terkumpul dalam wakti 4 minggu adalah kg atau 84 ton 00

144 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah 3. Perhatikan garis bilangan berikut dalam kelipatan Amin istirahat pada km, 4, 36, dan 48. Jadi Amir istirahat sebanyak 4 kali x 30 = 750 karet gelang ( x 48 x Rp 500 x 7 hari) - ( x Rp 000 x 7) = Rp Rp = Rp Bilangan cacah adalah sebagai gabungan bilangan asli dengan bilangan 0 (nol), bilangan asli itu sendiri adalah himpunan A = {,, 3,..), jadi bilangan cacah terdiri dari {0,,, 3,..}. Sifat-sifat Penjumlahan yaitu: tertutup, komutatif, asosiatif, dan sifat penjumlahan dengan nol. 3. Fakta dasar penjumlahan terdapat 00 yaitu dimulai dari sampai dengan Penguasaan konsep perkalian sedikitnya dapat dilakukan dengan empat pendekatan, yaitu: () pendekatan pemasangan dari dua anggota himpunan; () pendekatan penjumlahan berulang; (3) pendekatan gabungan dua himpunan; dan (4) pendekatan membilang loncat. 5. Sifat perkalian adalah: tertutup, komutatif, asosiatif, distributive, adanya Elemen Identitas dan Sifat Perkalian degan Bilangan 0 (nol) 6. Fakta dasar perkalian sebanyak 00, dimuali dari 0 x 0 sampai dengan 9 x 9 7. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c b = a atau c a = b. 8. Pembgian didefinikan: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y = x 0

145 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Yang bukan termasuk bilangan cacah adalah 4 A. 3 D. B. C. 5. Budi mendapat pertanyaan dari gurunya, dengan pertanyaan sebagai berikut: Berapalah hasil penjumlahan Budi melakukannya dengan mengambil 5 benda, dan menghitungnya dengan memulai menyebut 7, 8, 9, 30, dan 3.Sehingga ia menyebutkan hasil = 3. Perbuatan Budi tersebut menggunakan sifat penjumlahan. A. tertutup C. asosiatif B. komutatif D. distrinutif 3. Dalam menyelesaikan soal dapat diselesaikan dengan cara 47 + (5 + 75). Penyelesaian tersebut termasuk sifat. A. tertutup C. asosiatif B. komutatif D. distrinutif 4. Yang bukan termasuk fakta dasar penjumlahan adalah. A. + 0 C. + 3 B D yang bukan termasuk fakta dasar perkalian adalah, A. 5 x 5 C. 8 x 7 B. 0 x 7 D. 0 x 0 6. Definisi perkalian adalah: a x b = b + b + b +.(sebanyak a), tetapi dalam kasus perkalian 6 x yang paling baik penyelesian perkalian tersebut adalah dengan menjumlahakan Hal tersebut dapat dilakukan dengan acuan sifat perkalian, yaitu sifat. A. Komutatif C. Identitas B. Asosiatif D. Distributif 7. perkalian 36 x 7 diselesaikan dengan cara (00 x 7) + (30 x 7) + (6 x 7) penyelesaian tersebut termasuk sifat, A. Komutatif B. Asosiatif C. Identitas D. Distributif 0

146 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah 8. Tempat duduk dalam suatu bus digambarkan sebagai 9 x 5. Ketika kondektur bus akan mengecek jumlah penumpang, cukup dengan melihat kursi mana saja yang kosong. Pemikiran kondektur tersebut adalah menggunakan konsep. A. penjumlahan dan pengurangan C. perkalian dan penjumlahan B. perkalian dan pembagian D. perkalian dan pengurangan 9. Celengan Amin sampai hari terakhir dibuka diperkirkan Rp ,00, tetapi setelah dibuka ternayta ada Rp ,00. Jika selisih kedua jumlah tersebut adalah m, maka model matematika untuk menyelesaikan kasus tersebut adalah sebagai berikut, kecuali. A = m C m = B m = D m = Jika harga 4 pensil adalah Rp 4.000,00, maka harga 9 pensil dapat diselesaikan dengan model matemqatika sebagai berikut, kecuali. 4 A : 4 x 9 C. x B. x 4000 D x 4 Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 0 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum anda kuasai. 03

147 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah URUTAN PADA BILANGAN CACAH, FPB DAN KPK A. Urutan pada Bilangan Cacah Seperti yang telah dibahas pada kegiatan belajar, bahwa bilangan cacah di mulai dari 0,,, 3, 4, 5, dan seterusnya. Jika digambarkan dalam garis bilangan seperti berikut ini Bilangan-bilangan tersebut dapat kita bedakan berdasarkan sifat-sifat, seperti sebagai berikut, yaitu: () bilangan habis dibagi dua yang kita namakan bilangan genap dan bilangan yang tidak habis dibagi dua yang kita namakan bilangan ganjil, () bilangan kelipatan tiga, kelipatan empat, kelipatan lima dan sebagainya, (3) bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi yang dinamakan bilangan prima dan bilangan yang mempunyai banyak pembagi yang dinamakan bilangan komposit, (4) bilangan dari kuadrat sempurna dan bilangan kubik.. Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil (Gasal) Jika bilangan cacah yang bukan nol dikategorikan sebagai bilangan ganjil dan bilangan genap, maka kesimpulan yang perlu kita ketahui adalah: () bilangan ganjil kali bilangan ganjil adalah bilangan ganjil; () bilangan ganjil kali bilangan genap atau sebaliknya adalah bilangan genap; dan (3) bilangan genap kali bilangan genap adalah bilangan genap. Hal tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 6..: Perkalian bilangan ganjil dengan bilangan genap x Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Genap Bilangan Genap Bilangan Genap Konsep bilangan ganjil pada siswa SD dapat diilustrasikan sebagai jumlah suatu himpunan yang anggota-anggota pada himpunan tersebut dipasangkan satu-satu (korespondensi -), terdapat satu anggota tidak mempunyai pasangan. Sedangkan konsep bilangan genap dapat diilustrasikan sebagai jumlah suatu himpunan yang anggota-anggota pada himpunan tersebut dipasangkan satu-satu (korespondensi -), setiap anggotanya mempunyai pasangan. 04

148 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Secara matematika bilangan genap didefinisikan n, sedangkan bilangan ganjil didefinisikan sebagai n +, dengan n sembarang bilangan cacah. Sedangkan penjumlahan bilangan genap dan dan ganjil seperti tabel di bawah ini, yaitu: Tabel 6..: Penjumlahan bilangan ganjil dengan bilangan genap + Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Genap Untuk membuktikan tabel perkalian di atas adalah sebagai berikut, yaitu: Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah, maka yang dimaksud dengan bilangan genap adalah a atau b, sedangkan yang dimaksud bilangan ganjil adalah a + atau b +. Untuk selanjutnya berlaku: (). (a + ) x (b + ) = 4ab + a +b += ( (ab + a + b)) +, di sini terlihat bahwa 4ab, a, dan b adalah bilangan genap, karena jika bilangan genap ditambahkan dengan bilangan genap sama dengan bilangan genap, maka bilangan genap ditambahkan dengan (satu) adalah sama dengan bilangan ganjil. Atau dengan cara lain dengan mengkuadratkan bilangan ganjil, seperti: (a + ) = (a + ) x ( a + ) = 4a + 4a + = [4a (a + )] +. Dengan demikian bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil adalah sama dengan bilangan ganjil, terbukti; (). a x (a + ) = 4a + a, di sini terlihat bahwa kedua bilangan tersebut adalah bilangan genap, dengan demikian bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil adalah selalu bilangan genap, terbukti. Contoh: = 5 (bilangan ganjil + bilngan ganjil = bilangan ganjil) = 9 (bilangan genap + bilangan ganjil = bilangan ganjil) = (bilangan genap + bilangan genap = bilangan genap) 3 x 5 = 5 (bilangan ganjil x bilngan ganjil = bilangan ganjil) 5 x 4 = 0 (bilangan ganjil x bilangan genap = bilangan genap) 6 x 8 = 48 (bilangan genap x bilangan genap = bilangan genap) Dan sebagainya, silakan anda cari lagi yang lainnya! 05

149 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah. Bilangan Kelipatan Tiga, Kelipatan Empat, Kelipatan Lima dsb. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membilang atau menghitung banyak suatu benda dengan cara mengambil tiga-tiga, empat-empat, lima-lima, dan sebagainya. Hal tersebut dilakukan untuk mempersingkat suatu pekerjaan, misalnya menghitung (memasukkan) kerupuk ke dalam blok sering dilakukan cara pengambilannya sebanyak lima-lima. Contoh lain, penggaris (kayu) satu meter, angkaangka yang tertera yaitu: 0, 5, 0, 5, 0, 5,.00 (dalam satuan centi meter). Pekerjaan menghitung atau membilang dengan kelipatan tertentu sebenarnya adalah penerapan konsep perkalian. Misalnya tukang kerupuk memasukan kerupuk sebanyak 0 kali, setiap memasukan kerupuk ke dalam blek dia mengambilnya sebanyak 5 kerupuk. Jadi kerupuk yang dimasukan ke dalam blek dapat dihitung dengan proses perkalian 0 x 5. Proses membilang dengan kelipatan tertentu dapat digunakan dalam penguasan perkalian dan pembagian. Kalau penguasaan perkalian menggunakan kelipatan maju (dari bilangan kecil ke yang besar), sedangkan sedangkan penguasaan pembagian menggunakan kelipatan mundur (dari yang besar ke yang kecil). Contoh kelipatan maju (perkalian), seperti pada table berikut. Tabel 6.. 3: Kelipatan Maju Besar Langkah kekelipatan Keterangan: Kelipatan, berhenti pada langkah ke-5, berarti x 5 = 0 Kelipatan 3, berhenti pada langkah ke-6, berarti 3 x 6 = 8 Kelipatan 4, berhenti pada langkah ke-8, berarti 4 x 8 = 3 Kelipatan 5, berhenti pada langkah ke-3, berarti 5 x 3 = 5 06

150 Contoh kelipatan mundur (pembagian), seperti pada table berikut. Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Tabel 6.. 4: Kelipatan Mundur Contoh Langkah Pembagian : : : : Keterangan: 6 :, mundur dimulai dari 6 dan mengurangkannya dengan dua-dua sampai didapatkan nol, ternyata membutuhkan 8 langkah. Jadi 6 : = 8 : 7, mundur dimulai dari dan mengurangkannya dengan tujuh-tujuh sampai didapatkan nol, ternyata membutuhkan 3 langkah. Jadi : 7 = 3 45 : 9, mundur dimulai dari 45 dan mengurangkannya dengan sembilan-sembilan sampai didapatkan nol, ternyata membutuhkan 5 langkah. Jadi 45 : 9 = 5 64 : 8, mundur dimulai dari 64 dan mengurangkannya dengan delapan-delapan sampai didapatkan nol, ternyata membutuhkan 8 langkah. Jadi 64 : 8 = 8 3. Bilangan Prima dan Bilangan Komposit Bilangan prima adalah suatu bilangan yang mempunyai dua pembagi, yaitu dirinya sendiri dan satu. Sedangkan Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai banyak pembagi (lebih dari dua pembagi). Kegunaan mengetahui suatu bilangan adalah bilangan prima diantaranya untuk menentukan FPB dan KPK dari satu bilangan atau lebih. Untuk mengetahui apakah suatu bilangan itu bilangan prima, ikutilah langkah-langkah berikut. a. Tuliskan semua bilangan ganjil (karena bilangan prima selalu ganjil, kecuali bilangan dua, nol, dan satu), seperti berikut ini akan diketahui bilangan-bilangan prima lebih kecil

151 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah b. Coretlah semua kelipatan 3 kecuali 3 itu sendiri (ciri kelipatan 3 atau habis dibagi 3 adalah jumlah angka-angka yang membentuk bilangan tersebut dapat dibagi tiga, misal, 7 habis dibagi 3 sebab + 7 = 9, bilangan 9 habis dibagi 3). Bilangan-bilangan tersebut menjadi sebagai berikut c. Coretlah kelipatan 5 kecuali 5 itu sendiri (cirri kelipatan 5 atau habis dibagi 5 adalah bilangan tersebut berakhir dengan angka 5 atau 0). ). Bilangan-bilangan tersebut menjadi sebagai berikut d. Coretlah kelipatan 7 kecuali 7 itu sendiri (jika bilangannya cukup besar, ciri kelipatan 7 atau habis dibagi 7 adalah angka-angka yang dibentuk oleh angka sebelum angka terakhir dikurangi dua kali angka terakhir, hasilnya dapat habis dibagi 7). Bilangan tersebut menjadi e. Karena bilangan prima yang dicari adalah bilangan prima kurang dari 00, maka pencarian cukup sampai pada kelipatan 7. Dan bilangan-bilangan prima tersebut adalah yang tertera pada poin d di atas, yaitu:

152 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah 4. Bilangan Kuadrat Sempurna (Persegi) dan Bilangan Pangkat Tiga (Kubik) a. Bilangan Kuadrat Sempurna (Persegi) Perhatikan persegi-persegi yang tampak pada Gambar 6.. Persegi-persegi tersebut dibuat dan diwarnai (hitam dan putih) sedemikian rupa sehingga tampak seperti pengubinan. Berikan oleh Anda sebuah ungkapan mengenai Gambar 6.! Adakah kaitan dengan contoh-contoh sebelumnya? Mengapa demikian? Ubin hitam: Ubin putih: 3 Ubin hitam: 5 bilangan ganjil Ubin putih: 7 Gambar 6.. Seperti kita ketahui pada kegiatan belajar di atas, bahwa bilangan-bilangan, 3, 5, 7, merupakan bilangan ganjil, yang ditulis sebagai himpunan bilangan ganjil sebagai berikut: {, 3, 5, 7,...}. Jika kita bagi lagi menjadi persegi-persegi seperti tampak pada Gambar 6.. berikut ini, maka kita dapat menentukan suatu bentuk penjumlahan bilangan ganjil = = = 6 Gambar

153 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Pola ke- : 0 = 0 (sebelum dilakukan pengubinan). Sedangkan untuk pola selanjutnya, mengikuti keteraturan berikut ini: Pola ke- : = Pola ke-3 : + 3 = 4 = Pola ke-4 : = 9 = 3 Pola ke-5 : = 6 = Pola ke-n: n = n Pola bilangan seperti ini sering disebut sebagai Bilangan Persegi dan merupakan hasil penjumlahan sederetan bilangan ganjil. Dengan demikian, Bilangan Persegi tersebut dapat ditulis dalam bentuk barisan: 0,, 4, 9, 6, 5, yang ekuivalen dengan 0,,, 3, 4, 5,. Atau jika Anda ingin menentukan akar-akar dari setiap sukunya, maka Anda akan menemukan: 0,, 4, 9, 6, 5,... yang ekuivalen dengan 0,,, 3, 4, 5,. b. Bilangan Pangkat Tiga (Kubik) Sekarang perhatikan situasi berikut ini: 8 7 Jumlah kubus pada pola ke- : = 3 Jumlah kubus pada pola ke- : 8 = 3 Jumlah kubus pada pola ke-3 : 7 = 3 3 Dapatkah Anda menentukan jumlah kubus pada pola selanjutnya? Mudah saja bukan? Pada pola ke-n Anda akan menemukan suatu formula: Jumlah kubus pada pola ke-n = n 3 0

154 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Bilangan-bilangan yang berpola seperti ini: 3, 3, 3 3, 4 3, yang ekuivalen dengan, 8, 7, 64, disebut sebagai bilangan Pangkat Tiga atau disebut juga sebagai Bilangan Kubik. Mengapa demikian? Jawabannya adalah karena bilangan-bilangan tersebut dapat ditentukan seperti halnya menentukan isi suatu kubus satuan. Isi suatu kubus dapat ditentukan dengan menghitung (panjang x lebar x tinggi), atau (rusuk x rusuk x rusuk) = (rusuk) 3. Untuk kubus dengan rusuk satuan panjang, isinya adalah x x = 3 = isi, sedangkan untuk kubus dengan rusuk satuan panjang, isinya adalah x x = 3 = 8 satuan isi, dan seterusnya. B. FPB dan KPK a. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) Jika bilangan bulat positif r merupakan pembagi bilangan bulat positif p dan q, maka r disebut pembagi persekutuan p dan q, atau faktor persekutuan p dan q. Selanjutnya di antara faktor persekutuan dua bilangan bulat tersebut terdapat bilangan yang terbesar, disebut sebagai Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Misalkan P adalah himpunan pembagi 4, maka P = {,, 3, 4, 6, 8,, 4}, dan Q adalah himpunan pembagi 56, maka Q = {,, 4, 7, 8, 4, 8, 56}. Sehingga P Q = {,,4,8 } adalah himpunan faktor persekutuan dari 4 dan 56. Jelas bahwa 8 merupakan anggota terbesar dari P Q. Jadi, 8 merupakan FPB dari 4 dan 56. Definisi: Faktor Persekutuan Terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif p dan q, adalaj bilangan bulat positif terbesar r sedemikian sehingga r p dan r q. Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Biasanya dinyatakan dengan: r = FPB ( p, q). Contoh : Carilah FPB dari 60 dan 90! Jawaban: Karena 60 = 3 5, dan 90 = 3 5, maka, 3, dan 5 merupakan faktor prima sekutu dari 60 dan 90. Jadi, FPB (60, 90) = 3 5 = 30.

155 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Contoh : Tentukan FPB dari 5 dan 70! Jawaban: 5 = = dan 3 adalah faktor sekutu 5 dan 70. Jadi, FPB (5, 70) = 3 = 8. FPB tiga bilangan p, q, dan r, dapat dicari dengan menemukan FPB bilangan p dan q terlebih dahulu, misal FPB (p, q) = k. Maka FPB (p, q, r) = (k, r). Atau dapat juga dengan menemukan FPB (p, q) = k dan FPB (q, r) = f. Dengan demikian FPB (p, q, r) = FPB (k, f). Cara seperti ini dapat diperluas untuk menemukan FPB empat bilangan atau lebih. Contoh 3: Tentukan FPB dari 7, 08, dan 66! Jawaban: FPB (7, 08) = 3 =. Maka FPB (7, 08, 66) = FPB (, 66) = 6. Atau Anda juga dapat menggunakan cara lainnya, yakni FPB (7, 08) =, dan FPB (7, 66) = 6. Sehingga FPB (7, 08, 66) = FPB (, 6) = 6. Silakan Anda pilih cara yang menurut Anda lebih efisien untuk menentukan FPB. Proses menuliskan bilangan sebagai bentuk perkalian bilangan prima untuk menemukan FPB dua bilangan, dapat pula digunakan untuk menentukan FPB tigs :bilangan atau lebih. Dari contoh di atas, kita peroleh: 08 = = = 3 Sehingga FPB (7, 08, 66) = 3 = 6. Cara-cara seperti yang telah diungkapkan di atas nampaknya kurang efektif untuk menentukan FPB dari bilangan-bilangan yang besar. Untuk itu, diperlukan cara lain yang lebih praktis, yang didasarkan pada Algoritma Pembagian dengan berulang. Menurut Algoritma Pembagian, bilangan positif a dan b, selalu dapat ditulis sebagai: Dengan q bilangan bulat positif, r bilangan cacah, dan.

156 Contoh 4: Tentukan FPB (35, 0)! Jawaban: Menurut Algotitma Pembagian: 35 = , dan 0 95 < 0. Ini berarti pembagi 35 dan 0 berarti juga pembagi 95. Sehingga FPB (35, 0) = FPB (0, 95). Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Selanjutnya, kita gunakan lagi Algoritma Pembagian: 0 = , dan. FPB (0, 95) = FPB (95, 30). 95 = , dan. FPB (95, 30) = FPB (30, 5). 30 = Pernyataan ini menunjukkan bahwa FPB (30, 5) = 5. Jadi, FPB (35, 0) = < < 3095 Contoh 5: Carilah FPB (786, 684)! Jawaban: 786 = , FPB (786, 684) = FPB (684, 550) = , FPB (684, 550) = FPB (550, 34). 550 = , FPB (550, 34) = FPB (34, 6). 34 = , FPB (34, 6) = FPB (6, 4). 6 = 4 +, FPB (6, 4) = FPB (4, ). 4 = + 0, FPB (4, ) =. Dengan demikian, FPB (786, 684) = FPB (4, ) =. Ingat, jika FPB dari dua bilangan positif p dan q adalah, maka p dan q tersebut disebut sebagai bilangan Relatif Prima. Misalnya 3 dan 5 adalah relative prima, karena FPB (3, 5) =. b. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) Telah dipelajari bahwa jika r p, maka p dikatakan kelipatan r. Himpunan kelipatan positif 7 adalah {7, 4,, 8, 35, }, Himpunan kelipatan 3 adalah {3, 6, 9,, 5, 8,, }. Selanjutnya himpunan Kelipatan Persekutuan dari 7 dan 3 diperoleh dengan mencari irisan dari kedua himpunan kelipatan tadi, yaitu {, 4, 63, 84, }. Di antara persekutuan tersebut terdapat anggota persekutuan terkecil yang disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil. Dengan demikian merupakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 7 dan 3. 3

157 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Definisi: Bilangan bulat positif m adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positif p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q. Biasanya dinyatakan sebagai m = KPK (p, q). Contoh 6: Tentukan KPK (5, 4) dan KPK(75, 60)! Jawaban: KPK (5, 4) dapat ditentukan dengan cara: 5 = = 3 3 KPK dua bilangan bulat positif adalah hasil kali pangkat tertinggi dari semua faktor prima yang terjadi dalam pemfaktoran masing-maisng bilangan, yaitu: KPK (5, 4) = = 0. KPK (75, 60) dapat ditentukan dengan cara: 75 = = 3 5 Jadi, KPK (75, 60) = 3 5 = 300. Salah satu cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan KPK pasangan bilangan bulat positif adalah dengan menentukan terlebih dahulu FPB pasangan biolangan tersebut. Setelah itu, KPK ditentukan dengan cara membagi antara hasil kali pasangan bilangan tersebut dengan FPB-nya. Secara singkat dapat kita tulis sebagai: KPK (p, q) =. Contoh 7: Tentukan KPK (46, 4)! Jawaban: Kita dapat menghitungnya dengan cepat seperti berikut ini: KPK (46, 4) =. Cara lain yang seringkali memberikan kemudahan bagi kita untuk menentukan baik itu FPB maupun KPK adalah dengan mencoba melalui proses pembagian bilangan prima. Misalnya dalam menentukan FPB dan KPK dari 4 dan 60: 4

158 FPB (4, 60) = 3 = Sedangkan KPK (4, 60) = 3 5 = 0 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Contoh 8: Carilah FPB dan KPK dari 36, 54, 8! Jawaban: Buat tabel seperti pada contoh 6, sedemikian rupa sehingga: FPB (36, 54, 8) = 3 3 = 9 KPK (36, 54, 8) = = 944. Buktikan bahwa KPK (p, q) =!. Carilah KPK dari 4, 54, 8, dan 35! 3. Bilangan persegi dibentuk seolah-olah dari sebuah persegi dengan sisi n, sehingga bilangan persegi yang dimaksud adalah luas persegi tersebut, yaitu n. Jika sisi-sisi persegi tersebut adalah n = (a + b), gambarkan secara geometris bahwa luas persegi tersebut adalah a + ab + b. KUNCI JAWABAN LATIHAN. Akan dibuktikan bahwa KPK (p, q) =! Misalkan FPB (p, q) = r, maka p = rx dan q = ry, dengan FPB (x, y) =. Jelas bahwa FPB (x, y) = karena jika ada bilangan lain pembagi x dan y, maka r bukan FPB dari p dan q. Karena yp = y(rx) = xry, dan xq = x(ry) = xry, maka xry adalah kelipatan p dan q. 5

159 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Akan ditunjukkan bahwa xry adalah KPK p dan q. Kelipatan persekutuan p dan q misalkan kp. Sehingga q kp karena kp kelipatan persekutuan. Lalu, ry krx dan y kx. Telah diketahui bahwa y kx, berarti y harus membagi k, karena FPB (x, y) =. Sehingga xry membagi sebarang kelipatan p dan q, yaitu kp sebab xr = p dan y k. jadi, xry adalah KPK p dan q. Misalkan xry = m, sehingga pq = (rx) (ry) = r(xry) = rm. Dengan demikian terbukti bahwa, atau KPK (p, q) =.. Untuk dapat menyelesaikan KPK dari 4, 54, 8, dan 35 bisa dilakukan dengan membuat tabel seperti berikut ini: KPK (4, 54, 8, 35) = = Mengapa demikian? Untuk ini diserahkan kepada Anda untuk mendiskusikannya! 3. Bilangan persegi dibentuk seolah-olah dari sebuah persegi dengan sisi n, sehingga bilangan persegi yang dimaksud adalah luas persegi tersebut, yaitu n. Jika sisi-sisi persegi tersebut adalah n = (a + b), gambarkan secara geometris bahwa luas persegi tersebut adalah a + ab + b. Tinjauan geometrisnya adalah: a b a a ab b ab b Persegi dengan sisi n = a + b, akan memiliki luas seperti pada gambar di atas. Tampak bahwa luas persegi n dapat dipecah menjadi 4 bagian luas, yaitu: 6

160 Luas I = a Luas II = ab Luas III = ab Luas IV = b Sehingga jumlah keempat bagian tersebut adalah: a + ab + ab + b = a + ab + b Dari sini kita memperoleh rumusan baru mengenai bentuk polinom; (a + b) = a + ab + b Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Bilangan cacah dapat kita bedakan berdasarkan sifat-sifatnya, yaitu: () bilangan habis dibagi dua yang kita namakan bilangan genap dan bilangan yang tidak habis dibagi dua yang kita namakan bilangan ganjil, () bilangan kelipatan tiga, kelipatan empat, kelipatan lima dan sebagainya, (3) bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi yang dinamakan bilangan prima dan bilangan yang mempunyai banyak pembagi yang dinamakan bilangan komposit, (4) bilangan dari kuadrat sempurna dan bilangan kubik. Bilangan prima adalah suatu bilangan yang mempunyai dua pembagi, yaitu dirinya sendiri dan satu. Sedangkan Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai banyak pembagi (lebih dari dua pembagi). Bilangan Persegi dan merupakan hasil penjumlahan sederetan bilangan ganjil dengan pola n = n. Pola bilangan ke-n yang memiliki formula seperti Jumlah kubus pada pola ke-n = n 3 (misalanya 3, 3, 3 3, 4 3, ) disebut sebagai bilangan Pangkat Tiga atau disebut juga sebagai Bilangan Kubik. Faktor Persekutuan Terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif p dan q, adalaj bilangan bulat positif terbesar r sedemikian sehingga r p dan r q. dengan kata lain, FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Biasanya dinyatakan dengan: r = FPB ( p, q). Bilangan bulat positif m adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positif p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q. Biasanya dinyatakan sebagai m = KPK (p, q). 7

161 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Terdapat pasangan bilangan p dan q, kemudian akan dicari KPK dari pasangan bilangan tersebut. Jika ternyata KPK (p, q) = pq, itu berarti: A. Nilai p = q. B. FPB (p, q) =. C. p dan q keduanya harus merupakan bilangan-bilangan prima. D. p dan q keduanya merupakan bilangan-bilangan ganjil. E. p merupakan bilangan ganjil, sedagkan q merupakan bilangan genap.. Andaikan FPB dari pasangan bilangan m dan n adalah m, maka kesimpulan yang benar adalah. A. m dan n adalah pasangan bilangan yang relatif prima. B. n adalah faktor dari m. C. n habis dibagi oleh m. D. KPK dari m dan n adalah m n E. FPB dari m dan n adalah. 3. Andaikan m = a 4 b c 5 d dan n = a b 3 c 3, dengan a, b, c, dan d adalah bilangan prima, maka KPK (m, n) adalah.. A. a b c 3 D. a 4 b c 5 B. a b c 3 d E. a 4 b 3 c 5 d C. a 4 b 3 c 3 d 4. Jika p = a 6 b c 3 d dan q = a b 3 c k, dengan a, b, c, dan d adalah bilangan prima, serta k adalah bilangan prima genap, tentukan FPB (p, q)! A. a b c D. a b c k d B. a b c 3 E. a b c k d C. a b c d 5. Tentukan KPK (x, 4x, 6x, 8x, 0x,, 000x)! A. x + 4x + 6x + 8x + 0x x B. x 4x 6x 8x 0x 000x C D. 000x E

162 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif 3 yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 5 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, Anda telah berhasil menyelesaikan bahan belajar mandiri ini. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum anda kuasai. 9

163 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah KUNCI JAWABAN Tes Formatif. B. B 3. C 4. C 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 0. C Tes Formatif. Terdapat pasangan bilangan p dan q, kemudian akan dicari KPK dari pasangan bilangan tersebut. Jika ternyata KPK (p, q) = pq, itu berarti: kedua bilangan p dan q tersebut reliatif prima, atau dengan kata lain FPB (p, q) =. Jawaban: B. Andaikan FPB dari pasangan bilangan m dan n adalah m, atau FPB (m, n) = m, maka kesimpulan yang benar adalah m merupakan faktor dari n. Karena m merupakan faktor dari n, berarti m membagi habis n, atau dengan kata lain n habis dibagi oleh m. Jawaban: C 3. Diketahui m = a 4 b c 5 d dan n = a b 3 c 3, dengan a, b, c, dan d adalah bilangan prima, maka KPK (m, n) dapat kita tulis sebagai perkalian dari faktor-faktor prima dengan pangkat tertinggi, yaitu: a 4 b 3 c 5 d. Jawaban: E 4. Jika p = a 6 b c 3 d dan q = a b 3 c k, dengan a, b, c, dan d adalah bilangan prima, serta k adalah bilangan prima genap, yaitu k =. Maka FPB (p, q) dapat kita tulis dalam bentuk perkalian faktor-faktor prima dengan pangkat terkecil, yaitu: a b c k = a b c. Jawaban: A 5. Bentuk barisan: x, 4x, 6x, 8x, 0x,, 000x, merupakan bentuk barisan kelipatan dari x. Dengan demikian, KPK (x, 4x, 6x, 8x, 0x,, 000x) haruslah 000x. Jawaban: D 0

164 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah GLOSARIUM implikasi invers konjungsi kontradiksi kubik logika tautologi uner : pernyataan yang berbentuk: jika.., maka.. : lawan : pernyatan majemuk yang menggunakan kata dan : pernyataan yang semua nilai kebenarannya Salah : suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil-kali dari tiga bilangan bulat. : metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah : pernyataan yang semua nilai kebenarannya Benar : satu unsur

165 Penyelesaian Masalah dalam Sistem Bilangan Cacah DAFTAR PUSTAKA Hollands, Roy. (984). Kamus Matematika (Terjemahan Naipopos Hutahuruk). Jakarta: Erlangga. Wheeler, Ruric E. (973). Modern Mathematics An Elementary Approach (Third Edition), (California: Brooks/Cole Publishing Company, Monterey. Soewito, Dkk.(99/99) Pendidikan Matematika I. Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti PTK.

166 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PEMECAHAN MASALAH DALAM BILANGAN PECAHAN, DAN PERBANDINGAN Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Adapun pada BBM 7 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahan-permasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 7 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam bilangan pecahan, dan perbandingan, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar :Bilangan Pecahan, dan Kegiatan Belajar:Perbandingan. Setiap kegiatan belajar yang Anda pelajari, satu sama lainnya memiliki keterkaitan yang erat, sehingga diharapkan Anda mampu mempelajari dan memahaminya secara tuntas. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik bilangan pecahan, dan perbandingan. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami konsep pecahan dan aplikasinya.. Menggunakan sifat-sifat dan operasi dalam pecahan untuk memecahkan permasalahan matematik. 3. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik pecahan. 4. Memahami konsep, prinsip, dan aturan-aturan dalam bahasan perbandingan dan aplikasinya. 5. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik perbandingan. Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB : Pecahan KB : Perbandingan. 3

167 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini:. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan! 4

168 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PECAHAN PENGANTAR Pecahan merupakan konsep matematika yang sangat penting karena aplikasinya yang begitu luas, banyak digunakan dalam kehidupan kesehaian. Cakupan materi dalam Kegiatan Belajar ini antara lain: Pengertian Pecahan, Jenis Pecahan, Pecahan Murni dan Pecahan Tidak Murni, Pecahan Senilai, Membandingkan Pecahan, Mengubah Pecahan ke Bentuk Lain, Sifat dan Operasi Pecahan, dan Bentuk Baku. Kajian materi ini dapat dikatakan sebagai prasyarat untuk menempuh Kegiatan Belajar selanjutnya. Adapun setiap kajian materi tersebut disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik. INDIKATOR Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami konsep pecahan dan aplikasinya.. Menggunakan sifat-sifat dan operasi dalam pecahan untuk memecahkan permasalahan matematik. 3. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik pecahan. URAIAN Apakah kamu pernah merayakan hari ulang tahun bersama keluargamu? Acara tiup lilin dan potong kue ulang tahun merupakan salah satu acara yang paling dinanti dalam peristiwa tersebut. Bagaimana caranya agar kamu dapat membagi kan kue ulang tahun secara merata kepada seluruh tamu undangan agar semua tamu undangan dapat mencicipi lezatnya kue ulang tahunmu? 5

169 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PENGERTIAN BILANGAN PECAHAN Apakah kamu masih ingat dengan materi bilangan bulat yang telah kamu pelajari padakb sebelumnya? Ternyata, tidak semua masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat dinyatakan dengan konsep bilangan bulat. Contohnya, ketika kamu ingin membagi kue ulang tahun untuk diberikan kepada tiga temanmu, maka kue ulang tahun yang diperoleh tiap orangnya tidak dapat dinyatakan dengan konsep bilangan bulat, tetapi kita dapat menyatakannya dengan konsep bilangan pecahan. Perhatikan gambar berikut! bagian 3 bagian 3 Bentuk bilangan b a, dengan b tidak sama dengan nol, a kita namakan pembilang dan b kita namakan penyebut, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan pecahan. bagian 3 a Bilangan pecahan adalah nilai bilangan antara dua bilangan bulat yang ditulis, b 0, a disebut b pembilang dan b disebut penyebut. Pecahan negatif diperoleh ketika pembilang atau penyebutnya merupakan bilangan bulat negatif. Contoh:. ditulis. 3 4 ditulis 3 4 Contoh 7..: Dua buah roti yang sama besar dibagikan kepada 5 orang anak. Berapa bagiankah setiap anak tersebut mendapatkan roti? Jawaban: Secara sederhana, dapat ditulis : 5 = 5 6

170 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Contoh 7..: Gambar berikut memperlihatkan sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 8 daerah yang sama besar. (i) (ii) Berapa bagiankah setiap daerah yang diarsir pada gambar di atas? Jawaban: Secara sederhana dapat ditulis: (i) 8 (ii) 8 5 Contoh 7..3: Tentukan mana pembilang dan penyebut dari pecahan berikut: b c a. 4 3 b. 5 7 Jawaban: a. 3 disebut pembilang dan 4 disebut penyebut b. 7 disebut pembilang dan 5 disebut penyebut JENIS BILANGAN PECAHAN. Pecahan Biasa 3 Ada banyak nama untuk bilangan seperenam, di antaranya adalah:, 8 sebagainya. Nama-nama seperti itu disebut nama biasa atau nama pecahan biasa. 4, 4 5, 30, dan. Pecahan Campuran Pecahan yang memiliki campuran nama bilangan bulat dan nama pecahan biasa disebut pecahan b campuran. a merupakan pecahan campuran karena memiliki nama bilangan bulat yaitu a dan c nama pecahan biasa yaitu. Pecahan campuran dengan dapat dinyatakan pula dengan pecahan biasa. 7

171 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 3. Pecahan Desimal Pecahan dengan menggunakan nama desimal disebut pecahan desimal. Contoh: nama desimalnya 0,5 dan 4 3 nama desimalnya 0, Persen Persen mengandung arti perseratus, dilambangkan %. Persen adalah nama lain dari suatu 5 pecahan dengan penyebut 00. Contoh: 5 persen ditulis 5% atau dapat pula dinyatakan. 00 a a Untuk setiap pecahan dengan b 0 dapat dinyatakan dalam bentuk persen menjadi = b b a 00%. b 5. Permil Permil mengandung arti perseribu, dilambangkan Permil adalah nama lain dari suatu 5 pecahan dengan penyebut 000. Contoh: 5 permil ditulis 5 atau dapat pula dinyatakan. 000 a a Untuk setiap pecahan dengan b 0 dapat dinyatakan dalam bentuk permil menjadi b b a b = 00. PECAHAN MURNI DAN PECAHAN TIDAK MURNI Dengan memperhatikan pembilang dan penyebutnya, suatu bilangan pecahan dapat kita golongkan ke dalam pecahan murni dan pecahan tidak murni. Pecahan b a kita sebut pecahan murni, apabila nilai a selalu lebih kecil daripada nilai b. Contoh:, 3 a,. Sedangkan pecahan kita sebut pecahan tidak murni, apabila nilai a selalu lebih besar 5 4 b daripada nilai b. Contoh:,, Khusus untuk pecahan tidak murni dapat kita nyatakan dalam bentuk pecahan campuran dan cara mengubahnya kita pelajari pada subbab berikutnya. 8

172 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan INGAT!!! a dengan a > b merupakan pecahan tidak murni. b dengan a < b merupakan pecahan murni. Contoh 7..4: Manakah di antara pecahan-pecahan berikut yang merupakan pecahan murni dan pecahan tidak murni! 5 a b c. 50 d. 5 Jawaban: 5 a. Karena 5 lebih besar daripada 99, maka pecahan merupakan pecahan tidak 99 murni. 00 b. Karena 00 lebih besar daripada 99, maka pecahan merupakan pecahan tidak 99 murni. 49 c. Karena 49 lebih kecil daripada 50, maka pecahan merupakan pecahan murni. 50 d. Karena lebih kecil daripada 5, maka pecahan 5 merupakan pecahan murni. 9

173 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PECAHAN SENILAI Perhatikan gambar berikut! (i) (ii) Gambar di atas menunjukkan dua lingkaran yang sama, tetapi gambar (i) dibagi menjadi 8 bagian, sehingga daerah yang diarsir menunjukan pecahan dan gambar (ii) dibagi menjadi 4 bagian, sehingga daerah yang diarsir menunjukan pecahan 4. Karena pada kedua gambar tersebut daerah arsirannya sama besar, maka pecahan 8 4 dan 4 memiliki nilai yang sama. Secara singkat dapat kita katakan bahwa 8 4 senilai dengan 4. Kemudian, jika kita mengamati lebih lanjut, ternyata 8 4 dan 4 memiliki hubungan, yaitu kita dapat 4 memperoleh dari pecahan dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan : 4 = = 8 8 : 4. Begitu juga sebaliknya kita dapat memperoleh dari pecahan, yaitu dengan 8 4 cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan = 4 x = 4x 4 8. Dari uraian di atas kita dapat menyimpulkan bahwa untuk mendapatkan pecahan senilai dari suatu pecahan dapat kita lakukan dengan membagi atau mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama. INGAT!!! Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang sama nilainya dan dapat diperoleh dengan mengalikan bilangan yang sama pada pembilang dan penyebut dari suatu pecahan. a b a k = atau m k a b a = b : : j j 30

174 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Contoh 7..6: Tentukan pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahan 3! Jawaban: Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka, maka diperoleh Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka 3, maka diperoleh Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka 4, maka diperoleh dan seterusnya x = = x 3x3 = = x x4 = =, x 4 8 MEMBANDINGKAN DUA PECAHAN Apakah kamu senang makan martabak telor? Misalnya di rumah, kamu punya satu orang adik. Kebetulan malam itu ayah membeli sebuah martabak telor dan dibagikan kepada kedua orang anaknya, yaitu kamu dan adikmu. Kamu mendapatkan 5 bagian dan adikmu mendapatkan 4 bagian dari martabak telor yang dibeli ayah. Siapakah yang mendapatkan bagian martabak telor yang lebih banyak? Mengapa? Agar kau dapat menjawab permasalahan tersebut, alangkah lebih baiknya jika kamu ikuti penjelasan mengenai cara membandingkan dua pecahan berikut ini. Selamat mengikuti! Untuk dapat membandingkan dua pecahan, ada tiga hal penting yang harus kamu perhatikan, yaitu:. b a lebih dari r p, ditulis b a > r p.. b a sama dengan r p, ditulis b a = r p. 3. b a kurang dari r p, ditulis b a < r p. IINGAT!!! Untuk mengetahui hubungan antara dua pecahan, samakan dahulu penyebut pada kedua pecahan yang dibandingkan tersebut. 3

175 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Contoh 7..7: Apakah hubungan antara 8 dan 0? Apakah 8 lebih dari 0 atau sebaliknya 8 kurang dari 0? Jawaban: Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan dahulu penyebut pada kedua pecahan tersebut dengan cara mencari KPK dari 8 dan 0. Setelah kita mengetahui bahwa 5 4 KPK dari 8 dan 0 adalah 40, selanjutnya. berubah menjadi. (Mari kita cari tahu, kenapa jadi seperti itu?). Langkah terakhir, kita tinggal melihat bilangan yang terdapat pada pembilang, yaitu bilangan 4 dan 5. Kalau menurut kamu mana yang lebih besar nilainya, bilangan 4 atau bilangan 5? Karena bilangan 5 lebih besar nilainya dari bilangan 4, maka kita dapat menyimpulkan bahwa 5 4 >. Dan hal itu berarti bahwa > MENGUBAH BENTUK PECAHANKE BENTUK LAIN Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal Dua konsep yang harus dipahami benar dalam topik ini, yaitu konsep pecahan biasa dan pecahan desimal. Dalam topik ini, kita akan mencoba belajar mengubah bentuk pecahan biasa ke pecahan desimal atau sebaliknya. Perhatikan beberapa contoh 7..8 berikut. 35. = 0, = = = 0, = = = 0, Dalam menyelesaikan pengubahan bentuk pecahan biasa ke pecahan desimal, kamu harus selalu mengubah dulu penyebut agar merupakan bilangan perpangkatan 0, yaitu 0, 00, 000, dan seterusnya. Pada contoh dan 3 kamu dapat melihat bagaimana proses yang harus dilakukan untuk mengubah 4 3 dan 8 3 ke dalam bentuk pecahan desimal. 3

176 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Lalu bagaimana cara yang harus kamu lakukan agar dapat mengubah dari bentuk pecahan desimal ke bentuk pecahan biasa? Berikut ini disajikan beberapa contoh mengenai hal tersebut ,75 = (7 ) + (5 ) = + = + = = (3 ) + (7 ) + (5 ) = + + = + + = Suatu pecahan yang mempunyai penyebut 0, 00, 000 dan seterusnya disebut pecahan desimal. Ada dua macam pecahan desimal, yaitu:. Pecahan desimal yang jelas, misalnya: 5 35,, dan Pecahan desimal yang masih harus ditentukan, misalnya: 4 3. Nama desimal untuk 4 3 adalah 0,75 75 dan pecahan desimalnya adalah. 00 MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK PERSEN Perhatikan beberapa contoh berikut = = = 50% = = = 60% : 5 75 % = 75 = = = : MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK PERMIL Perhatikan beberapa contoh berikut. 7 = = = : 5 = 75 = = : =

177 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan MENGUBAH BENTUK PECAHAN KE BENTUK PECAHAN CAMPURAN Perhatikan beberapa contoh berikut = = = (6 ) = = = Ketika kamu mengubah bentuk pecahan ke bentuk lainnya atau sebaliknya, kamu dapat membuat pecahan dalam bentuk yang paling sederhana. Suatu pecahan dikatakan sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan lagi, kecuali : 9 3 Misalnya, sederhanakanlah pecahan! Maka = = : 9 4 OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN Penjumlahan Pecahan Dalam operasi penjumlahan ada dua hal penting yang harus diperhatikan. Pertama, ketika kamu akan menjumlahkan pecahan dengan penyebutnya yang telah sama, maka kamu dapat secara langsung menjumlahkan pembilang-pembilangnya saja. Contoh 7..9: = + 6 = Kedua, ketika kamu akan menjumlahkan pecahan dengan penyebutnya yang tidak sama, maka kamu harus mengubah dulu pecahan tersebut sehingga penyebutnya yang baru merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebut semula. Contoh 7..0: = = = 5 5 Agar lebih mudahnya, perhatikan formula berikut ini: a c a c + = + b b b 34

178 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan a c ad cb + = + b d bd SIFAT PENJUMLAHAN PADA PECAHAN Sifat Komutatif Penjumlahan a b + c b = c b + a b Sifat Asosiatif Penjumlahan a c d ( + ) + b b b = a c d + ( + ) b b b PENGURANGAN PADA PECAHAN Perhatikan contoh berikut = = = = 0 56 Agar lebih mudahnya, perhatikan kedua formula berikut ini: a b c b = a c b a b c d = ad cb bd SIFAT PENGURANGAN PADA PECAHAN Pengurangan Pecahan Tidak Bersifat Komutatif a b c b c b a b 35

179 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 36 PERKALIAN PECAHAN Pada operasi perkalian pecahan berlaku pengerjaan-pengerjaan seperti berikut ini.. b a b a = Contoh: 5 5 =. ab b a b a = = Contoh: 3 4 = 3. b a q p b q a p = Contoh: = = SIFAT OPERASI PERKALIAN PADA PECAHAN. Sifat Komutatif Perkalian b a d c d c b a =. Sifat Asosiatif Perkalian ) ( ) ( q p d c b a q p d c b a = 3. Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan ) ( ) ( ) ( d p b a d c b a d p d c b a + = + 4. Sifat Distributif Perkalian terhadap Pengurangan ) ( ) ( ) ( d p b a d c b a d p d c b a = 5. Sifat Perkalian Pecahan dengan Bilangan b a b a = 6. Sifat Perkalian Pecahan dengan Bilangan = = b a b a

180 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Sifat Urutan Pecahan cb ad d c b a > > PPEMBAGIAN PECAHAN Dalam operasi pembagian pecahan, sembarang b a dan d c dengan 0 b dan 0 d berlaku: c d b a c d b a c d d c c d b a d c b a d c b a = = = = :, c d adalah kebalikan dari d c Contoh: : 7 3 = = PEMANGKATAN PECAHAN b a b a b a b a b a n =... ) (, 0 b, n bulat positif. Sifat-Sifat Pemangkatan Pecahan:. n m n m b a b a b a + = ) ( ) ( ) ( Contoh: ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( = = +. n m n m b a b a b a = ) ( ) ( : ) ( Contoh: 4 4 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( : ) 3 ( = = 3. n m n m b a b a = ) ( ] ) [( Contoh: ) 3 ( ) 3 ( ] ) 3 [( = =

181 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan OPERASI PADA BILANGAN DESIMAL Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Desimal Pada operasi penjumlahan dan pengurangan, kamu perlu memperhatikan dua hal penting, yaitu tanda koma diletakkan dalam satu lajur dan angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya diletakkan pada satu lajur pula. Contoh 7..: a. 0, ,383 =.. b. 0,789 0,3 = Jawaban: a. 0,653 b. 0,789 0, ,3,036 0,666 PERKALIAN PADA BILANGAN DESIMAL Proses pengerjaan perkalian pada bilangan desimal harus memperhatikan hal berikut, yaitu banyak tempat desimal dari hasil kali diperoleh dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengalinya. Contoh 7..: 0,35 dua tempat desimal 0, x dua tempat desimal 0,0735 empat tempat desimal PEMBAGIAN PADA BILANGAN DESIMAL Contoh 7..3: Jawaban 5,35 : 0,5 =... Tiga aturan yang harus Anda pahami untuk proses pembulatan pecahan desimal, yaitu:. Untuk membulatkan bilangan sampai tempat desimal, maka kamu harus memperhatikan angka di belakang koma.. Jika angka yang akan dibulatkan lebih dari atau sama dengan 5, maka angka di depannya bertambah satu. 3. Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, maka angka di depannya tetap. 38

182 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Contoh 7..4:. 0,35 jika ingin dibulatkan menjadi satu angka di belakang koma (satu desimal), maka menjadi 0,4 (aturan ).. 0,34 jika ingin dibulatkan menjadi satu angka di belakang koma (satu desimal), maka menjadi 0,3 (aturan 3). 3. Bilangan 63 jika dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 60. Kenapa? Karena angka batas pada tempat bilangan puluhan yaitu bilangan 3 kurang dari 3, maka kita kita dapat membuangnya. 4. Bilangan 65 jika dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 70. Mengapa? Lihat aturan. 5. Bila angka di belakang batas sama dengan 5 dan ada angka selain nol yang mengikutinya, tambahkan pada angka di depannya.,75006 ke perseratusan terdekat adalah, Bila angka di belakang batas sama dengan 5 dan tidak angka selain nol yang mengikutinya, genapkan angka di depannya. 5,455 ke perseratusan terdekat adalah 5,46. BENTUK BAKU Bentuk baku bilangan adalah penulisan bilangan yang menggunakan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 0. Penulisan bentuk baku ini biasanya digunakan untuk bilangan yang sangat besar maupun yang sangat kecil. n a 0 Ada dua aturan penting dalam penulisan bentuk baku, yaitu:. Bentuk baku bilangan yang sangat besar dapat dinyatakan dengan dan n merupakan bilangan asli. Contoh: 83,9 =, =,839 0, dengan a < 0. Bentuk baku bilangan yang sangat kecil dapat dinyatakan dengan n a 0, dengan a < 0 dan n merupakan bilangan asli. 6 Contoh: 0,00000 =, 0 TRIK!!! Untuk mempermudah kamu dalam membuat bentuk baku dari sebuah bilangan, lakukan langkahlangkah berikut ini.. Tentukan nilai a.. Tentukan nilai n. Contoh: Tulislah bilangan dalam bentuk baku! Jawab: Lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Cari nilai a sehingga memenuhi aturan a < 0. Nilai a yang memenuhi aturan tersebut adalah,5. Selanjutnya kita akan menentukan nilai n dengan cara menggeser tanda koma ke kanan untuk mengubah,5 menjadi Ternyata untuk mengubah,5 menjadi kita harus menggeser tanda koma sebanyak 7 kali yang berarti 7 n=7. Dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa bentuk baku dari adalah,

183 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Contoh 7..5: Tulislah bilangan-bilangan di bawah ini dalam bentuk baku! a b. 0, Jawaban: a. Pertama, tentukan dahulu nilai a. Nilai a dari adalah 5,6 karena 5,6 < 0. Kemudian kita tentukan nilai n dengan cara menggeser tanda koma desimal untuk mengubah 5,6 menjadi Ternyata untuk mengubah 5,6 menjadi kita harus menggeser tanda koma sebanyak 6 kali yang berarti n = 6. Jadi, bentuk baku dari adalah. b. Nilai a dari 0, adalah 9,5 karena 9,5 < 0. Untuk mengubah 9,5 menjadi 0, kita harus menggeser tanda koma ke kiri sebanyak 5 kali yang berarti n = 5. Jadi, bentuk baku dari 0, adalah.. Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?. Seorang nenek dengan 5 cucu, memiliki sebidang tanah kebun berbentuk persegi yang di dalamnya terdapat kolam berbentuk persegi pula, serta sepuluh pohon jeruk yang sama besarnya. Si nenek berpesan, Cucu-cucuku mungkin umur nenek tidak lama lagi dan nenek tidak memiliki apa-apa untuk diberikan kepada kalian kecuali kebun dengan sepuluh pohon jeruknya. Tolong, kalian bagi rata kebun tersebut, hingga kalian masing-masing memperoleh luas kebun yang sama, dengan dua pohon jeruk di dalamnya Dapatkah Anda memecahkan masalah ini? Bagaimana caranya? Keterangan: = pohon jeruk. 40

184 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan ab + a + 0 b a 3. Misalkan a dan b biangan bulat yang berbeda, sehingga: =. Tentukanlah nilai b + 0a b! JAWABAN LATIHAN. Jika sebuah pekerjaan dikerjakan oleh A, maka dalam satu hari pekerjaan itu selesai sepertiganya. Sedangkan bila dilakukan oleh B, maka satu pekerjaan akan diselesaikannya dalam enam hari. Jika mereka berdua melakukannya bersama-sama, berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan? Permasalahan tersebut dapat dinyatakan kembali seperti ini: Jika A mengerjakan, maka selesai 3 bagiannya dalam sehari. Jika B mengerjakan, maka selesai 6 bagiannya dalam sehari. Atau, pernyataan lain yang masih ekuivalen: Jika A mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 3 hari. Jika B mengerjakan, maka pekerjaan selesai dalam 6 hari. Kemudian, kita akan memisalkan si A dan si B berunding untuk mengerjakan bersama-sama, sehingga terjadi percakapan seperti ini. A: Mari kita selesaikan pekerjaan ini bersama-sama, agar kita dapat lebih cepat menyelesaikannya. B: Baiklah, tapi bagaimana caranya? A: Aku akan mulai mengerjakannya dari sebelah kiri, sedangkan kamu bekerja mulai dari sebelah kanan. Pada akhirnya nanti kita akan bertemu di pertengahan. B: Ide yang bagus. Ayo, kita mulai! Dari percakapan yang sengaja kita buat tersebut, kita akan melukis modelnya berupa gambar berikut: Dengan demikian, dari ilustrasi tersebut kita menemukan jawabannya, yakni jika A dan B bekerja bersama-sama, maka pekerjaan itu selesai dalam waktu hari. 4

185 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan. Salah satu caranya adalah di bawah ini. tentukan oleh Anda beebrapa cara lainnya! Keterangan: = pohon jeruk. ab + a + 0 b 3. Misalkan a dan b biangan bulat yang berbeda, sehingga: =. Maka untuk b + 0a a menentukan nilai adalah: b ab + a + 0 b = dikali dengan b ( b + 0a) b + 0a dibagi dengan. a a = 0 b b a a 5 4 = 0 b b a 4 = b 5 4

186 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan.Bentuk bilangan b a, dengan b tidak sama dengan nol, a kita namakan pembilang dan b kita namakan penyebut, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan pecahan.. Jenis-jenis bilangan pecahan: Pecahan Biasa, Pecahan Campuran, Pecahan Desimal, Persen, Permil. 3. Dengan memperhatikan pembilang dan penyebutnya, suatu bilangan pecahan dapat kita golongkan ke dalam pecahan murni dan pecahan tidak murni. Pecahan b a kita sebut pecahan murni, apabila nilai a selalu lebih kecil daripada nilai b. Sedangkan pecahan a kita sebut pecahan tidak murni, apabila nilai a selalu lebih besar daripada nilai b. b 4. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang sama nilainya dan dapat diperoleh dengan mengalikan bilangan yang sama pada pembilang dan penyebut dari suatu pecahan. a b a k = atau m k a b = a b : : j j 5. Ada dua aturan penting dalam penulisan bentuk baku, yaitu: Bentuk baku bilangan yang sangat besar dapat dinyatakan dengan n a 0, dengan a < 0 dan n merupakan bilangan asli. Bentuk baku bilangan yang sangat kecil dapat dinyatakan dengan n a 0, dengan a < 0 dan n merupakan bilangan asli. 43

187 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Riana dan Ira ingin mengecat pagar. Riana dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Ira menyelesaikannya dalam 4 jam. Pukul.00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu waktu mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 0 menit dan dalam masa itutidak satu pun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut, Ira pergi dan Riana mentelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Riana menyelesaikan pengecatan pukul 4.5, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai? A..30 C E B D Misalkan: a = dan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a b b = Tentukan A. 499 C. 50 E. 503 B. 500 D = n + n + 3 A. B. n + 3 n C. D. 3( n + ) n + 3 4( n + ) n + 3 E. 4 ( n + )( n + 3) 4 4. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi + =, berapakah m n 7 m + n? A. 600 C. 400 E. 00 B. 576 D Jarak sebuah bintang dari bumi adalah 375 juta km. Nyatakan jarak tersebut ke dalam bentuk baku! A km C. 37,5 0 7 km E. 3, km B. 3, km D. 37,5 0 8 km 44

188 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 0 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum anda kuasai. 45

189 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PERBANDINGAN PENGANTAR Dalam Kegiatan Belajar ini, materi yang dicakup antara lain adalah : Pengertian Perbandingan, Perbandungan Senilai dan Berbalik Nilai, dan Skala. Setiap kajian materi tersebut disuguhkan dalam bentuk pemecahan masalah matematik. Materi Perbandingan ini sangat erat kaitannya dengan materi yang Anda pelajari pada Kegiatan Belajar, yakni Pecahan. Oleh karena itu, semakin Anda menguasai materi Pecahan, akan lebih memudahkan Anda untuk menuntaskan Kegiatan Belajar ini. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam Kegiatan Belajar ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami konsep, prinsip, dan aturan-aturan dalam bahasan perbandingan dan aplikasinya.. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik perbandingan. URAIAN Tahukah Anda, juara dunia Formula Satu (F-) 005? Pemuda Spanyol ini telah membuat rekor sebagai juara dunia F- termuda sepanjang sejarah. Fernando Alonso berhasil mematahkan rekor sang juara dunia sebelumnya, raja F- berkebangsaan Jerman, Michael Schumacher. Walaupun baru juara dunia F- yang pertama kalinya, tetapi Fernando Alonso membuktikan bahwa dirinya sudah mulai dapat disejajarkan dengan Michael Schumacher sekali pun yang sudah juara dunia F- lima kali. Berapa perbandingan gelar juara yang telah diraih Alonso dan Michael Schumacher di ajang F-? 46

190 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan PENGERTIAN PERBANDINGAN Ajang F- merupakan salah satu olah raga yang paling digemari oleh sebagian besar masyarakat olah raga dunia. Siapa yang tidak kenal dengan nama besar Michael Schumacher dan Fernando Alonso yang namanya kian melambung setelah dirinya mampu menjuarai F- dalam usia yang masih sangat muda dalam catatan sejarah F-. Michael Schumacher telah menjadi juara dunia sebanyak lima kali, sedangkan Fernando Alonso baru sekali merengkuh gelar juara dunia F-. Dari informasi tersebut kita dapat membandingkan gelar juara yang pernah diraih oleh Michael Schumacher dan Fernando Alonso sebagai berikut.. Michael Schumacher menjadi juara dunia F- empat kali lebih banyak dibanding raihan gelar juara yang pernah diraih Fernando Alonso. Dalam contoh ini, kita membandingkan raihan gelar juara kedua pembalap F- dengan menentukan selisihnya, yaitu 5 = 4.. Michael Schumacher menjadi juara dunia F- lima kali dari yang pernah dicapai Fernando Alonso. Dalam contoh ini, kita membandingkan pencapaian juara dunia yang telah diraih oleh kedua 5 pembalap dengan menentukan hasil baginya, yaitu atau ditulis 5 :. Apa yang dapat Anda simpulkan sementara ini? Perbandingan adalah pembagian antara dua satuan yang sama. Contoh: Kita memiliki kemeja A dan dasi A, serta kemeja B dan dasi B. Ketika kita ingin membandingkan kedua benda tersebut dengan tepat, benda mana saja yang dapat kita bandingkan? Apakah kemeja A akan kita bandingkan dengan dasi B atau sebaliknya dasi B kita bandingkan dengan kemeja A untuk melihat dasi dan kemeja mana yang lebih mahal harganya? Yang tepat, kita akan dapat membandingkan dasi atau kemeja mana yang lebih mahal jika kita membandingkan kemeja A dengan kemeja B, serta dasi A dan dasi B untuk melihat mana yang lebih mahal di antara keduanya. a Perbandingan dapat dinyatakan dalam atau b a : b, dan dibaca a berbanding b, b 0. Adapun syarat sebuah perbandingan adalah:. Satuan-satuan yang diperbandingkannya sejenis.. Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan dinyatakan dengan bilangan bulat positif. 3. Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan satuan. Contoh 7..: Umur ayah adalah 40 tahun dan umur ibu adalah 35 tahun. Ayah dan ibu memiliki seorang anak yang masih duduk di bangku SMU dengan umur 7 tahun. a. Berapa perbandingan umur ayah terhadap umur ibu? b. Berapa perbandingan umur ayah terhadap anaknya yang masih duduk di bangku SMU? c. Berapa perbandingan umur ibu terhadap anak tersebut? 47

191 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Jawaban Ingat, syarat sebuah perbandingan adalah satuan atau besaran yang dibandingkannya harus sejenis. Dalam contoh ini satuan/besaran yang akan kita bandingkan adalah besaran yang sejenis, yaitu besaran umur a. umur ayah : umur ibu = 40 : 35, ditulis = b. umur ayah : umur anak = 40 : 7, ditulis c. umur ibu : umur anak = 35 : 7, ditulis. 7 Contoh 7.. Sederhanakanlah perbandingan-perbandingan berikut. a. 0 : 45 =. 4 b. : 3 = Jawaban Perhatikan cara menyederhanakan perbandingan berikut ini a. 0 : 45 = : = 4 : b. : 3 = : = = = 5 : Contoh 7..3: Jika kecepatan mobil A adalah 50 km/jam dan perbandingan antara kecepatan mobil A dan mobil B adalah 5 : 6. Berapa kecepatan mobil B? Jawaban: Kecepatan mobil A : kecepatan mobil B = 5 : 6, jika kecepatan mobil A adalah 50 km/jam, maka kecepatan mobil B adalah, kecepatan mobil A 5 = kecepatan mobil B 6 5 kecepatan mobil B = 6 kecepatan mobil A 48

192 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 6 kecepatan mobil B = 50 = Jadi, kecepatan mobil B adalah 300 km/jam. PERBANDINGAN SENILAI Agar Anda dapat memahami mengenai konsep perbandingan senilai, perhatikan tabel berikut ini. Banyak jam tangan Harga (Rp) Keterangan 6 kecepatan mobil BJika = kita kecepatan perhatikan mobil tabel tersebut, A maka kita dapat melihat bahwa besar harga untuk satu buah jam tangan 5 dalam setiap baris adalah: = Baris ke Baris ke Baris ke Baris ke Baris ke-5 A B Baris ke = = = = A = B Contoh di atas merupakan penjelasan mengenai konsep perbandingan senilai, yaitu perbandingan harga jam tangan yakni jika jumlah jam tangan terus bertambah, maka harganya pun terus bertambah pula. INGAT!!! Perbandingan senilai merupakan suatu bentuk perbandingan yang jika salah satu besaran yang diperbandingkannya naik, maka besaran yang lainnya pun ikut naik. Sebaliknya, jika salah satu besaran yang diperbandingkan turun, maka besaran yang lainnya pun ikut turun. 49

193 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Ada dua cara untuk menghitung perbandingan senilai, yaitu:. Berdasarkan Nilai Satuan Contoh 7..4: Harga 3 buah komik Rp ,00. Berapa harga 6 buah komik? Jawaban: Untuk dapat mengetahui berapa harga 6 buah komik, kita harus mengetahui terlebih dahulu harga satuan sebuah komik. Informasi apa yang dapat kita jadikan modal untuk dapat menjawab soal itu? Perhatikan kalimat pertama pada soal, Harga 3 buah komik Rp ,00. Informasi itu sangat membantu kita agar dapat menjawab permasalahan yang diajukan. Kalau harga 3 buah komik Rp ,00, berapa harga sebuah komik? Harga buah komik = = Setelah kita mengetahui bahwa harga komik Rp.5.000,00, maka kita dapat mencari harga 6 buah komik sebagai berikut. Harga 6 buah komik = 6 harga buah komik = = Jadi, harga 6 buah komik adalah Rp ,00.-. Berdasarkan Perbandingan Cara kedua untuk menghitung perbandingan senilai adalah dengan cara perbandingan. Kita akan mencoba menyelesaikan permasalahan pada contoh soal di atas dengan cara perbandingan sebagai berikut. Banyak komik Harga (Rp) x Perbandingan harga komik dan harganya dapat ditulis dalam bentuk 3 : 6 = Dalam bentuk yang lain dapat ditulis, dan dapat diselesaikan menjadi: 3 x = x = x = Jadi, ternyata jawabannya sama dengan cara menghitung perbandingan berdasarkan nilai satuan, yaitu Rp ,00. 50

194 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Perbandingan senilai didasarkan pada dua cara, yaitu:. Berdasarkan nilai satuan.. Berdasarkan perbandingan. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI Perhatikan tabel berikut ini. Kecepatan ( m det ik ) Waktu (detik) Keterangan Baris ke Baris ke Baris ke Baris ke Baris ke-5 Kalau kita perhatikan dengan seksama, semakin besar nilai yang terdapat pada kolom kecepatan, maka nilai waktu semakin kecil. Mari kita uraikan beberapa perbandingan pada tabel di atas. Kita lihat perbandingan pada baris dan. Jika kecepatan dikali (50 m det ik menjadi 00 m det ik ), maka waktu dibagi atau dikali (60 detik menjadi 30 detik).. Pada baris ke-3 dan ke-6, jika kecepatan dikali 3 (00 m det ik. menjadi 600 m det ik ), maka waktu dibagi 3 atau dikali 3 (5 detik menjadi 5 detik).. Pada baris ke-4 dan ke-5, jika kecepatan dikali (300 m det ik. menjadi 600 m det ik ), maka waktu dibagi atau dikali (0 detik menjadi 5 detik), dan seterusnya. 5

195 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Pada tabel di atas, kita dapat melihat sebuah contoh mengenai konsep pebandingan berbalik nilai. Jika salah satu besaran nilainya bertambah, maka besaran lainnya yang diperbandingkan nilainya semakin berkurang. INGAT!!! Perbandingan berbalik nilai adalah suatu bentu perbandingan yang jika salah satu besaran yang diperbandingkan nilainya bertambah, maka besaran lainnya nilainya semakin kecil. Bentuk umum perbandingan berbalik nilai: a : b = a : b SKALA Apakah kamu pernah menggambar peta? Apakah kita mengambarkan suatu wilayah pada peta dengan ukuran yang sebenarnya? Ternyata tidak, karena dalam menggambar sebuah peta menggunakan konsep perrbandingan senilai, di mana perbandingan antara jarak-jarak wilayah yang digambarkan dalam peta dan jarak yang sesungguhnya adalah sama. Dalam sebuah peta, kita sering menemukan istilah skala. Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar pada peta dan ukuran benda sesungguhnya. Apa artinya : ? Arti dari : yang terdapat pada peta adalah bahwa dalam setiap cm pada gambar mewakili cm pada ukuran sebenarnya. Contoh 7..5: Tentukan skala pada peta, jika jarak cm pada peta mewakili jarak 5 km! Jawaban: Skala = ukuran gambar : ukuran sebenarnya = cm : 5 km = cm : cm = : Jadi, skala pada peta tersebut adalah :

196 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan. Di suatu padang rumput, Syahda dan Ria melihat sekumpulan hewan ternak yang terdiri dari kambing dan ayam. Secara keseluruhan, Syahda melihat 3 ekor hewan. Sedangkan Ria melihat 38 kaki hewan. Berapa perbandingan jumlah kambing dan ayam yang ada di padang rumput tersebut?. Suatu gambar peta kota berskala : 00. Tentukan jarak pada gambar peta kota tersebut jika jarak sebenarnya 8,5 km! 3. Sebuah bak mandi dapat terisi air penuh jika menggunakan 80 timba air dengan volume liter. Berapa timba air yang diperlukan untuk mengisi bak mandi dengan volume 5 liter? JAWABAN LATIHAN. Untuk menjawab permasalahan tersebut kita gunakan variabel yang kita susun menjadi persamaan sesuai dengan permasalahan. Misalnya kambing dilambangkan dengan k dan ayam diberi lambang a, dan ingat bahwa kaki seekor kambing ada 4, serta seekor ayam mempunyai kaki. Dari sini kita memperoleh suatu sistem persamaan linear: 4k + a = 38 k + a = 3 Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan berbagai cara, misalnya substitusi, eliminasi, grafik, atau gabungan antara subtitusi dan eliminasi. Mari kita selesaikan masalah ini! 4 k + a = 38 dan k + a = 3 a = 3 k sehingga: 4k + (3 k) = 38 4k + 6 k = 38 4k k = 38 6 k = k = 6 Nilai k = 6 kita substitusikan ke dalam k + a = 3 sehingga: 6 + a = 3 a = 3 6 a = 7 Jadi, hewan yang ada di padang rumput adalah 6 ekor kambing dan 7 ekor ayam. 53

197 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan. Ukuran gambar = skala ukuran sebenarnya = 8,5km 00cm cm = = 450 cm 00cm Jadi, jarak gambar pada peta berskala : 00 dengan jarak sebenarnya 8,5 km adalah 450 cm. 3. Untuk menjawab permasalahan pada nomor 3, silkan Anda perhatikan uraian berikut ini: Timba air Volume liter 80 x 5 Cara I (menggunakan perbandingan), yaitu: 80 = x 5 x 80 = 5 5 x = x = 5 x = 64 Jadi, untuk dapat memenuhi bak mandi dengan volume 5 liter, kita membutuhkan 64 timba air. Cara II (menggunakan hasil kali), yaitu: Sebuah bak mandi dapat terisi penuh 80 liter = 960 liter. Jika kita ingin mengisi penuh bak mandi dengan timba bervolume 5 liter, maka kita membutuhkan timba air. INGAT!!! Perbandingan senilai didasarkan pada dua cara,yaitu:. Berdasarkan perbandingan. Berdasarkan hasil kali 54

198 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Perbandingan dapat dinyatakan dalam b a atau b 0. Adapun syarat sebuah perbandingan adalah: a : b, dan dibaca a berbanding b, Satuan-satuan yang diperbandingkannya sejenis. Perbandingannya dibuat dalam bentuk pecahan yang paling sederhana dan dinyatakan dengan bilangan bulat positif. Perbandingan dapat disederhanakan bentuknya tanpa menggunakan satuan. Perbandingan senilai merupakan suatu bentuk perbandingan yang jika salah satu besaran yang diperbandingkannya naik, maka besaran yang lainnya pun ikut naik. Sebaliknya, jika salah satu besaran yang diperbandingkan turun, maka besaran yang lainnya pun ikut turun. Perbandingan berbalik nilai adalah suatu bentu perbandingan yang jika salah satu. Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Suatu peta berskala : Berapakah jarak sebenarnya antara kota jika jarak pada peta 8 mm? A. 0,5 km C. 0,7 km E. 0,9 km B. 0,6 km D. 0,8 km.. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 0 cm. Tetapi yang tesedia hanya pipa-pipa berdiameter 3 cm. agar kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapa banyak pipa 3 cm yang perlu dipakai untuk mengganti satu pipa 0 cm. A. 0 C.. E. 4 B. D Sebuah segitiga sama sisi, sebuah lingkaran, dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. Di antara ketiga bangun tersebut, manakah yang memiliki luas terbesar? A. Lingkaran. D. Lingkaran dan persegi B. Segitiga sama sisi E. Segitiga sama sisi dan persegi C. Persegi 55

199 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 4. Dalam suatu lingkaran berpusat di O yang luasnya L dibuat lingkaran yang sepusat dengan jarijari setengah dari jari-jari lingkaran luarnya. Luas lingkaran kelima adalah... A. L 4 B. L 6 5. Perhatikan gambar berikut: C. L 3 D. L 64 E. L. 56 Segitiga ABC sama sisi dan luasnya satuan. Di dalam segitiga ABC dibuat segitiga dengan titik sudutnya berimpit dengan pertengahan sisi-sisi segitiga pertama. Begitu seterusnya. Tentukan luas segitiga keenam! A C. 79 E. 3 B. 04 D

200 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif 3 yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 0 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, Anda telah berhasil menyelesaikan bahan belajar mandiri ini. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum anda kuasai. 57

201 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 58 KUNCI JAWABAN Tes Formatif. Jawaban: B Misalkan pekerjaan tersebut adalah x. 3 x V R = dan 4 x V I = Misalkan mereka bertengkar setelah t jam mengecat bersama-sama, maka: x t V t V R DUANYA DUA = + 4. x t x t x x = x t x t x = = = = + t t t t Jadi, keduanya mulai bertengkar mulai pukul: = Jawaban: C = b a a b = a b = ,5) (00,5 00 a b = , a b = Bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a b adalah 50.

202 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan 3. Jawaban: B. = n + n + 3 n Jawaban D. 00. Misalkan m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi + = m n = m n = + m n = + m n 4 diperoleh m = dan n = 4. Jadi m + n = + 4 = = Jawaban: E. 375 juta km = km = 3, km Tes Formatif. Jawaban: D. 0,8 km. Ukuran sebenarnya = ukuran gambar : skala = 8 mm : =,8 cm : cm cm cm =,8 cm = cm = 0,8 km 4 + =, berapakah m n 7 m + n. Jadi, jarak sebenarnya antara dua kota dengan skala peta : dan jarak pada peta 8 mm adalah 0,8 km. 59

203 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan. Jawaban: C.. Misalkan n adalah jumlah pipa kecil yang diperlukan. n luas pipa kecil e luas pipa besar nπ 3 π 0 9 n π 5π 4 n 5 n Jawaban: A. Lingkaran. Misalkan keliling = x. Setiap sisi segitiga = 4x - Luasnya = 4x 3. Setiap sisi persegi = 3x Luasnya = 9x. 6x Lingkaran Keliling = x = πr R = π Sehingga luas lingkaran = πr =, x 4. Jawaban: E. L. 56. L L L L 3 5 = π R = L = π ( R) = L 4 = π ( R) = L = π ( R) = L Jawaban: B. 04 Cara yang digunakan mirip dengan nomor 4. 60

204 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan GLOSARIUM assosiative : sifat pengelompokkan commutative : sifat pertukaran desimal : dihubungan dengan atau didasarkan pada pokok sepuluh distributive : sifat penyebaran permil : dibagi seribu persen : dibagi seratus skala : skala adalah perbandingan antara ukuran gambar pada peta dan ukuran benda sesungguhnya 6

205 Pemecahan Masalah dalam Bilangan Pecahan, dan Perbandingan DAFTAR PUSTAKA Bryant, V. (993). Aspectcs of Combinatorics: A Wide Ranging introduction. Cambridge: Cambridge University Press. Cabrera, G.A. (99). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical Thinking. Education 3 () Copi, I.M. (97). Introduction to Logic. New York: Macmillan. Durbin, J.R. (979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons. Gerhard, M. (97). Effective Teaching Strategies With the Behavioral Outcomes Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc. Lipschutz, S. (98). Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series. Singapore: McGraw Hill International Book Company. Naga, D.S. (980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT. Gramedia. Purcell, E.J. dan Varberg, D. (996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, E.T. (984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Bandung: Tarsito. Ruseffendi, E.T. (99). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito. Suryadi, D. (005). Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak Langsung dalam Rangkan Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat Tinggi Siswa SLTP. Disertasi Program Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia. Bandung: Tidak diterbitkan. Thomas, D.A. (00). Modern Geometry. California, USA: Pacific Grove. Wheeler, R.E. (99). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth. 6

206 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika PEMECAHAN MASALAH DALAM PELUANG DAN STATISTIKA Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Demikian pula pada BBM 8 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahanpermasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 8 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam peluang dan statistika, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar :Peluang, dan Kegiatan Belajar :Statistika. Kegiatan Belajar merupakan prasyarat untuk mempelajari Kegiatan Belajar, karena peluang merupakan suatu kajian khusus matematika yang menjadi dasar untuk mempelajari statistika pada tahap yang lebih lanjut. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik peluang dan statistika. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami dan dapat menggunakan permutusi dalam menyelesaikan Persoalan terkait;. Memahami dan dapat menggunakan kombnasi dalam menyelesaikan persoalan terkait; 3. Memahami dan dapat menggunakan peluang dalam menyelesaikan persoalan terkait. 4. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik peluang. 5. Mampu mengelola data suatu sampel sehingga diperoleh gambaran yang jelas tentang data sampel tersebut. 6. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik statistika. Untuk membantu Anda mencapai tujuan/indikator tersebut, BBM ini diorganisasikan menjadi tiga Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut: KB : Peluang KB : Statistika 63

207 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Untuk membantu Anda dalam mempelajari BBM ini, silakan perhatikan beberapa petunjuk belajar berikut ini:. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari BBM ini.. Bacalah sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci dari kata-kata yang dianggap baru. Carilah pengertian kata-kata kunci tersebut dalam kamus atau ensiklopedia yang Anda miliki. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian melalui pemahaman sendiri dan tukar pikiran dengan mahasiswa lain atau dengan tutor Anda. 4. Untuk memperluas wawasan, baca dan pelajari sumber-sumber lain yang relevan. Anda dipersilakan untuk mencari dan menggunakan berbagai sumber, termasuk dari internet. 5. Mantapkan pemahaman Anda dengan mengerjakan latihan dan melalui kegiatan diskusi dalam kegiatan tutorial dengan mahasiswa lainnya atau dengan teman sejawat. 6. Jangan lewatkan untuk mencoba menyelesaikan setiap permasalahan yang dituliskan pada setiap akhir kegiatan belajar. Hal ini berguna untuk mengetahui apakah Anda sudah memahami dengan benar kandungan BBM ini. Selamat belajar! Tetaplah bersemangat! Ingatlah, kemampuan yang Anda miliki sebenarnya jauh lebih hebat daripada yang Anda pikirkan! 64

208 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika PELUANG PENGANTAR Pernahkah Anda bertanya-tanya dalam diri, Apakah hari ini akan hujan? Oleh karenanya perlukah saya membawa payung? Atau bisa saja pertanyaannya seperti ini, Seberapa besar peluang saya untuk menjadi kepala desa? Lalu bagaimana dengan peluang anak saya untuk melanjutkan kuliah? Sebagaimana kajian himpunan, fungsi, dan logika yang Anda pelajari pada BBM 4, maka kajian peluang pun sangat erat hubungannya dengan kehidupan sehari-hari yang kita alami. Misalnya saja pada pertanyaan-pertanyaan di atas tadi. Banyak sekali permasalahan keseharian yang berkaitan dengan kajian peluang dan membutuhkan konsep-konsep peluang untuk dapat memecahkannya. Untuk itu, pada KB ini, akan dibahas beberapa konsep dasar dan pemecahan masalah matematik mengenai peluang. Cakupan materi pada KB ini antara lain: permutasi, kombinasi, peluang (probabilitas), peluang empiris dan kaidah pencacahan. INDIKATOR Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan:. Dapat memahami dan dapat menggunakan permutusi dalam menyelesaikan persoalan terkait.. Dapat memahami dan dapat menggunakan kombnasi dalam menyelesaikan persoalan terkait. 3. Dapat memahami dan dapat menggunakan peluang dalam menyelesaikan persoalan terkait. 4. Dapat terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik himpunan URAIAN Peluang (probability) merupakan suatu kajian khusus matematika yang menjadi dasar untuk mempelajari statistika pada tahap yang lebih lanjut. Adapun untuk mempelajari peluang itu sendiri, diperlukan pemahaman kaidah pemecahan,permutasi, dan kombinasi. Meskipun demikian, kajian mengenai permutasi dan kombinasi juga merupakan dasar untuk mempelajari matematika diskret yang memiliki banyak peran dalam kehidupan karena penerapannya. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep mengenai permutasi, kombinasi, dan peluang sebagai bekal atau persiapan untuk mempelajari pembahasan pada bab selanjutnya, yakni statistika. 65

209 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika PERMUTASI Pernahkah Anda tersesat di jalanan? Apakah Anda bingung, ada berapa banyak jalan terpendek dari A ke B? (lihat Gambar 8..). Atau, pernahkah Anda terlibat dalam kepanitiaan suatu kejuaraan di lingkungan sekitar Anda? Mungkin kejuaraan sepakbola, basket, volley, atau lainnya? Gambar 8.. Seringkali kita temui dalam kehidupan sehari-hari, berbagai persoalan yang menuntut kita untuk menyusun atau mengurutkan benda-benda. Seperti pada Gambar 8.. di atas, seringkali kita kebingungan menentukan jalan mana yang harus ditempuh untuk segera sampai ke tempat tujuan karena begitu banyaknya pilihan jalan yang harus ditempuh. Atau andaikan saja Anda ditunjuk untuk menjadi panitia pertandingan volley pada peringatan HUT RI, yang lebih dikenal dengan istilah Agustusan. Andaikan saja dalam kelurahan terdapat 8 RW, dan masing-masing RW mengirimkan tim volley yang siap berlaga. Ini berarti terdaftar 8 tim yang akan segera dipertandingkan. Setiap tim akan berhadapan kali, sekali main kandang, dan sekali main tandang. Suatu persoalan yang muncul dan harus dijawab adalah, Berapa kali pertandingan dalam kejuaraan ini? Untuk lebih memudahkan, 8 tim itu kita beri inisial: A, B, C, D. E, F, G, dan H. Sedangkan pasangan terurut AB berarti pertandingan antara A dan B dikandang A, dan BA berarti pertandingan antara A dan B dikandang B. Sehingga banyaknya pertandingan sama dengan banyaknya pasangan terurut kedelapan unsur (tim) tadi. Untuk menyelesaikan persoalan terakhir ini kita tetapkan lebih dahulu unsur pertama pasangan terurut itu. Dalam hal ini kita mempunyai 8 kemungkinan. Kemudian setelah unsur pertama kita tetapkan (dipilih) maka ada 7 unsur yang bisa kita ambil sebagai unsur kedua pasangan terurut itu. Jadi seluruhnya kita akan memperolch (8 7) = 56 pasangan terurut, sehingga terdapat 56 perlandingan dalam kejuaran tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram pada Gambr 8.. di bawah ini. 66

210 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Unsur pertama Unsur kedua Pasangan terurut Banyak pasangan A B AB 7 C D E F G H AC AD AE AF AG AH B A BA 7 C BC dan seterusnya. Banyak pasangan 8 7 = 56. D BD Gambar 8.. Terdapat 8 benda atau unsur, yaitu: A, B, C, D, E, F, G, dan H, dalam setiap pasangan hanya digunakan unsur saja. Masing-masing pasangan ini disebut permutasi dari 8 unsur tersebut. Banyaknya seluruh permutasi ini ditulis P 8, Jadi P 8, = 8 7 = 56, P 9, = 9 x 8 = 7. Kita dapat juga membuat susunan terdiri dari 3 unsur dari 8 unsur tadi. Masing-masing susunan itu disebut permutasi 3 dari 8 unsur. Secara umum permutasi dapat ditentukan sebagai berikut. Definisi Permutasi Susunan terurut yang terdiri dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda (r n) disebut permutasi r dari n unsur. Jika kita memiliki 8 unsur dan akan disusun secara terurut terdiri dari 8 unsur, berapa banyak susunan seluruhnya yang hisa kita buat? Dengan kata lain, berapa P 8,8? Untuk menjawabnya, kita pilih unsur pertama, untuk ini kita mempunyai 8 pilihan. Kemudian setelah unsur pertama kita tetapkan, kita pilih unsur kedua, untuk ini kita mempunyai 7 pilihan. Setelah unsur pertama dan kedua kita tetapkan, kita pilih unsur ketiga, untuk ini kita punya 6 pilihan. proses ini kita lanjutkan sampai unsur ke 8 dari susunan dan untuk yang terakhir ini kita hanya punya pilihan. Jadi banyak susunan yang peroleh adalah: l 67

211 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Jadi P 8,8 = l = 8! n! dibaca n faktorial, yang nilainya n! = n (n ) 3 l. Dengan demikian, kita peroleh sebagai berikut: Banyak permutasi n unsur dari n unsur berbeda, yaitu P n : P n = n (n ) 3 l = n! Definisi Faktorial n faktorial ditulis n! = n (n ) 3 l dengan n bilangan asli, dan 0! = =! Contoh 8..: Terdapat 6 mahasiswa yg memenuhi syarat dan bersedia menjadi pengurus Kerohanian Islam (Rohis). Jika pengurus Rohis tersebut terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara, ada berapa macam susunan pengurus Rohis yang mungkin terbentuk? Jawaban: Persoalan ini termasuk dalam persoalan mencari banyak susunan terdiri dari 4 unsur yang diambil dari 6 unsur. Oleh karena itu, yang akan kita tentukan adalah P 6,4. Untuk itu, perlu dijelaskan/ dilakukan hal-hal berikut. Ada 6 mahasiswa yang dipilih sebagai ketua. Seandainya ketua telah dipilih, maka 5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan wakil ketua telah terpilih, maka ada 4 pilihan untuk sekretaris. Jika ketua dan sekretaris telah dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin = 360. Perkalian dapat diubah menjadi bentuk faktorial sebagai berikut ! 6! = = =! (6 4)! Dengan demikian, P 6,4 6! = (6 4)! 68

212 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Banyaknya Permutasi Banyaknya permutasi r benda berbeda diambil dari n benda adalah P n, r n! = ( n r)! Kini kita akan mendalami kasus lain dari permutasi. Jika pada permutasi di atas kita mempunyai n benda yang berbeda. Sekarang kita akan melihat bila diantara n benda itu ada yang sama. Yaitu misalkan di antara n benda ada n buah benda yang sama (n n). Maka di antara P n,n permutasi, setiap n! di antaranya adalah adalah sama, sehingga n! n, = n!. P n Misalnya 3 unsur a, a, dan b. Maka macam permutasinya adalah: Pertama: a a b dan a a b Kedua: a b a dan a b a Ketiga: b a a dan b a a 3! Setiap permutasinya sama, sehingga P n, n = = 3.! Sekarang, andaikan kita terdapat n benda yang terdiri dari k kelompok, dan setiap kelompok terdiri dari benda yang sama. Kelompok beranggot n, kelompok beranggota n, dan seterusnya hingga kelompok k beranggota n k. Jadi, jumlah n = n + n + n k. Dengan menggunakan hasil tersebut, kita peroleh: Banyak Permutasi dengan Beberapa Unsurnya Sama Banyaknya permutasi dari n benda terdiri k kelompok yang setiap kelompok ke-i ( i k) mempunyai anggota yang sama sebanyak n i adalah: P n! n, n = i n! n! n!... n 3 k! 69

213 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Contoh 8..: Tentukan banyak susunan 4 huruf yang diambil dari kata MANA Jawaban: Diketahui n = 4, banyak huruf M = n =, banyak huruf A = n =, dan banyak huruf N = n 3 =, 4! sehingga P n, n i = =.!!! Dengan demikian, banyak cara menyusun (permutasi) huruf pada kata MANA adalah cara. KOMBINASI Pada permutasi urutan unsur pada susunan diperhatikan yaitu sebagai contoh permutasi BCA tidak sama dengan ABC. Akan tetapi, jika urutannya tidak diperhatikan maka permutasi itu disebut kombinasi (kelompok benda yang urutannya tidak diperhatikan). Jadi pada kombinasi BCA sama dengan ABC. Contoh 8..3: Sebuah buku terdiri dari 5 bab. Anda hanya ingin membaca 3 bab saja. Ada berapa banyak cara yang bisa dilakukan untuk membaca buku tersebut? Jawaban: Persoalan ini termasuk dalam persoalan kombinasi yaitu mencari banyak susunan 3 unsur dari 5 unsur berbeda tanpa memperhatikan urutannya. Misalkan bab yang akan dibaca tersebut adalah A, B, C, D dan E, kombinasi itu dapat diperoleh dengan cara berikut. Pertama kita pilih A sebagai unsur pertama, B sebagai unsur kedua dan untuk unsurke tiga ada tiga pilihan yaitu C, D atau E. Kemudian A sebagai unsur pertama, C sebagai unsur kedua, dan untuk unsur ketiga ada pilihan yaitu D atau E. Selanjutnya A sebagai unsur pertama D sebagai unsur kedua dan E sebagai unsur ketiga. Berikutnya B kita pilih sebagai unsur pertama C kedua dan D atau E ketiga. Selanjutnya C sebagai unsur pertama, D unsur kedua dan E atau A unsur ketiga. Sehingga kita memperoleh susunan (kombinasi) sebanyak = 0. Susunan yang lain dapat diperoleh dari 0 susunan ini dengan mengubah urutannya. Jadi jika urutan tidak diperhatikan maka kita memperoleh 0 susunan (kombinasi) tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 6..3 berikut ini. 70

214 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Gambar 6..3 Soal di atas dapat juga diselesaikan sebagai berikut. Banyaknya permutasi terdiri dari 3 unsur diambil 5! dari 5 unsur berbeda adalah P5,3 = (5 3)! Akan tetapi permutasi ini dapat dikelompokkan menjadi. 3! = 6 kelompok yang setiap kelompok memiliki anggota yang urutannya saja yang berbeda. Jadi setiap 3! permutasi merupakan satu kombinasi saja. Sehingga banyak kombinasi 3 dari 5 unsur itu 5! yang diberi simbol C 5,3 adalah C 5,3 = = = 0 (5 3)! 3! 3. Banyak Kombinasi r Unsur Diambil dari n Unsur Berbeda Banyak cara memilih r benda dari n benda yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya yaitu banyaknya kombinasi r unsur diambil dari n unsur berbeda adalah C n, r n! = (n r)! n! Didefinisikan 0! =. 7

215 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika PELUANG (Probabilitas) Peristilahan dalam Peluang Pada bagian ini kita akan mengkaji beberapa istilah, prosedur menentukan peluang, aturan yang mengendalikan peluang, dan kesimpulan yang secara valid (sah) dapat ditarik dari peluang yang telah ditentukan. Karena peluang bersifat tak tentu, maka setiap pembicaraan tentang peluang dianggap sebagai proses observasi (pengamatan) atau pengukuran yang hasilnya tak tentu pula. Hasil Percobaan Proses pengamatan atau pangukuran yang hasilnya mengandung ketidaktentuan disebut percobaan, sedangkan hasilnya disebut hasil percobaan. Contoh 8..4: Percobaan mengetos atau melambungkan mata uang logam. Hasil yang mungkin: Angka (A) atau Gambar (G) Contoh 8..5: Percobaan mengetos atau melemparkan sebuah dadu. Hasil yang mungkin adalah: sisi,, 3, 4, 5 atau 6. Gambar 6..4 Pada percobaan di atas baik mata uang maupun dadu kita anggap mempunyai muka yang seimbang yaitu setiap muka mempunyai kesempatan muncul yang sama. Ruang Sampel Sebelum kita menganalisis suatu percobaan kita perlu menentukan ruang sampel yang terdiri atas semua hasil yang mungkin. Ruang sampel yang berbeda bisa berasal dari percobaan yang sama, yang bergantung pada bagaimana pengamat mencatat hasil percobaan itu. 7

216 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Contoh 8..6: Bayangkan suatu percobaan mengambil secara acak satu kartu dari 8 kartu yang diberi nomor,, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, lalu mengamati bilangan pada kartu yang diambil yaitu mengambil satu kartu tetapi mengamati apakah yang diperoleh bilangan ganjil atau genap, maka Ruang sampel = {genap, ganjil}. Definisi Ruang Sampel Ruang sampel (dilambangkan dengan S) suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan itu. Contoh 8..7: Dua keping mata uang logam dilambungkan satu kali. Tentukan macam ruang sampelnya! Jawaban: Agar lebih mudah memahami kasus ini, kita coba membuat diagram berikut (lihat Gambar 6..5) Uang Pertama Uang Kedua Gambar 6..5 Ruang sampel pertama: Seluruh hasil percobaan, S = {(G,G),(G,A),(A,G),(A,A)}. Dapat kita lihat bahwa hasil percobaan ini berkesempatan sama untuk muncul atau terpilih (equally likely/berkesamaan), yaitu masing-masing hasil muncul atau terpilih dalam banyak cara yang sama. Ruang sampel kedua: Seluruh hasil percobaan tetapi urutan tidak diperhatikan, yaitu: S = {(G), (G dan A),(A)} 73

217 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Contoh ruang sampel yang lain adalah mendaftar banyaknya gambar yang muncul, jadi dalam hal ini, S = {0,,}. Di sini hasil percobaan tidak berkesamaan. Nol dapat muncul dalam satu cara saja (yaitu mata uang pertama muncul gambar dan yang kedua juga muncul gambar), demikian pula gambar. Tetapi gambar dan angka dapat muncul dalam cara (yaitu mata uang pertama muncul gambar sedangkan yang lain angka, dan yang pertama muncul angka sedangkan yang lain muncul gambar). Contoh 6..8: Suatu kantong berisi 5 kelereng hijau (H), 3 kelereng putih (N), kelereng kuning (K). Satu kelereng diambil dari kantong. Kemudian satu kelereng lagi diambil. Tentukan ruang sampel percobaan ini? Apakah hasil percobaannya berkesamaan? Jawaban: S = {(H,H), (H,P), (H,K), (P,P), (P,H), (P,K), (K,K), (K,H), (K,P)} Hasil percobaannya tidak berkesamaan. Kejadian (Events) Andaikan kita mengambil kartu dari 9 kartu dengan angka,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang tersedia, mungkin kita tertarik pada hasil yang berupa bilangan genap yaitu, 4, 6, dan 8. Bilangan ini adalah unsur himpunan bagian ruang sampel {,,3,4,6,7,8,9}, yang mengarahkan kita ke definisi berikut ini. Definisi Kejadian Kejadian adalah himpunan bagian ruang sampel. Contoh 8..9: Tabulasikan ruang sampel dan kejadian memperoleh paling sedikit satu mata uang muncul gambar pada waktu melambungkan mata uang. Jawaban: Ruang sampel Kejadian {GG,GA,AA,AG} {GG,GA,AG} Kejadian terdiri atas hasil pada ruang sampel dengan G muncul paling sedikit satu kali. 74

218 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Aturan Peluang Aturan Peluang adalah cara mengawankan setiap hasil percobaan dengan tepat satu bilangan real p dengan 0 p. Jika A kawan p maka dikatakan peluang A yaitu P(A) = p. Sifat Peluang Peluang pada ruang sampel memenuhi dua sifat berikut: () Jika A suatu hasil percobaan maka peluangnya (P(A)) bernilai: 0 P(A) () Jumlah peluang semua hasil percobaan sama dengan yaitu P(S) = Contoh 8..0: Secara intuitif kita bisa menerima bahwa peluang munculnya gambar pada pelambungan satu mata uang logam adalah ½ [P(G) = ½, dan P(A) = ½]. Peluang ini memenuhi kedua sifat peluang tersebut, yaitu: () 0 P(G) dan 0 P(A), dan () P(S) = P(G) + P(A) = ½ + ½ = Ruang Sampel Seragam Jika setiap hasil percobaan pada ruang sampel berkesamaan, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel seragam. Peluang Suatu Kejadian Misalkan S ruang sampel dengan n(s) banyaknya hasil percobaan yang berkesamaan (S ruang sampel seragam), dan K sebarang kejadian pada S maka: () Jika K himpunan kosong, maka P(K) = 0. () Jika K seluruh ruang terok maka P(K) = P(S) =. n( K) (3) Jika K kejadian terdiri atas n(k) hasil percobaan maka P ( K) = n( S). Contoh 8..: Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu remi. Berapa peluang bahwa yang diambil itu kartu jack? Jawaban: Seluruhnya terdapat 5 kartu, 4 di antaranya adalah kartu jack. Jadi, n(s) = 5 dan n(k) = 4 Sehingga, 75

219 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika n( K) 4 P ( jack) = = = n( S) 5 3. PELUANG EMPIRIS DAN KAIDAH PENCACAHAN Peluang empiris Sebelumya, kita telah menentukan peluang untuk hasil percobaan berdasarkan banyak cara kejadian muncul. Dalam bagian ini kita akan menentukan berdasar pada apa yang kita sebut data empiris. Coba perhatikan contoh berikut. Contoh 8..: Sebuah dadu dilemparkan 5000 kali. Andaikan cacatan banyak munculnya mata pada berbagai tahap proses itu dituliskan seperti berikut: Banyak Lemparan (N) Banyak Munculnya Mata (m) Frekuensi Relatif/Nisbi (m/n) 0, 0,8 0,667 0,68 0,657 0,66 Pada data tersebut terlihat bahwa ketika N membesar, frekuensi relatif menjadi stabil disekitar 0,66. Oleh sebab itu kita menetapkan peluangnya sebesar: P ( ) =. 6 6 Jika diasumsikan bahwa dadu yang dipergunakan mempunyai sisi berkesamaan, karena ruang sampelnya S = {,,3,4,5,6} dan K = {}, maka dengan menggunakan definisi peluang yang n( K) menggunakan ruang sampel kita peroleh bahwa P ( ) = = n( S) 6. Ternyata hasil ini sama dengan hasil yang kita peroleh dengan cara empiris. 76

220 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Definisi Peluang Empiris Jika suatu percobaan dilakukan n kali, dengan n bilangan yang sangat besar, peluang hasil percobaan A mendekati perbandingan berikut ini: banyak pemunculan A P( A) = n Kombinasi Dua Kejadian Pada bagian ini kita akan mempelajari kombinasi dari beberapa kejadian. Misalkan kita mempunyai dua kejadian A dan B. Ada tiga kejadian yang dapat diperoleh dari kedua kejadian tersebut, yaitu:. Kejadian A B (A atau B) adalah himpunan hasil percobaan yang ada dalam A atau B.. Kejadian A B (A dan B) adalah himpunan semua hasil percobaan yang ada dalam A dan B. 3. Komplemen kejadian A, dinyatakan dengan A, adalah himpunan semua hasil percobaan yang tidak dalam A. Contoh 8..3: Dalam melemparkan satu dadu yang simetris, berapa peluang munculnya bilangan ganjil atau? Jawaban: Kita memisalkan J menyatakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan K kejadian munculnya 4, kemudian kita cari P(J K). Dengan menggunakan diagram Venn pada Gambar 6..6 di bawah ini kita peroleh: J S K Gambar 8..6 Contoh 8..4: Dalam melemparkan sebuah dadu yang simetris, berapa peluang memperoleh kelipatan 3 atau bilangan genap? Jawaban: Misalkan G menyatakan kejadian munculnya bilangan genap dan T menyatakan munculnya kelipatan 3. Maka yang hendak kita cari tidak lain adalah P(G T). 77

221 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Perhatikan Gambar Kita lihat bahwa: S Gambar P ( G) = dan 6 P( T ) = Akan tetapi, P(G T) P(G) + P(T) karena Apa perbedaan contoh persoalan pada terakhir di atas? Pada Contoh 8..3 di atas kita ketahui bahwa kedua himpunan J dan K tidak mempunyai anggota persekutuan. Kejadian Saling Asing (Mutually Exclusive). Kejadian A dan B disebut saling asing apabila mereka tidak mempunyai hasil percobaan sekutu.. Jika A dan B kejadian yang saling asing maka P(A B) = P(A) + P(B) Jika kejadian A dan B memiliki hasil percobaan sekutu seperti pada Contoh.5, maka kita dapat memperumum hasil ini menjadi sebagai berikut ini. Peluang A atau B Untuk setiap dua kejadian A dan B, Peluang A atau B adalah P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Hasil terakhir ini dapat kita perluas meliputi 3 kejadian misalnya A, B dan C. Peluang A atau B atau C Untuk setiap tiga kejadian A, B dan C, peluang A atau B atau C adalah P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) 78

222 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Komplemen dari Kejadian A Komplemen dari kejadian A (ditulis: A C ) adalah himpunan semua anggota ruang sampel S yang bukan anggota A. Jadi (A A C ) = S, dan (A A C ) = Ø, P(A A C ) = dan P(A A C ) = 0, sehingga P(A A C ) = P(A) + P(A C ) =. Jadi P(A C )= P(A). Kota Impian terdiri dari beberapa lorong yang digambarkan sebagai garis-garis pada gambar di bawah ini. Tentukan berapa banyak jalur terpendek dari A ke B seperti pada gambar berikut ini! B Kota Impian A. Seperti nomor, namun di Kota Impian tersebut telah dibangun taman kota yang digambarkan sebagai daerah yang diarsir. Maka tentukan banyak jalur terpendek yang dapat dilalui dari A ke B, jika Anda tidak boleh melalui atau menembus taman kota tersebut! B Kota Impian A 3. Seorang siswa diminta untuk menyelesaikan 5 dari 6 soal ulangan, akan tetapi soal nomor harus dipilih. Tentukan banyaknya pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut! 4. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Tentukan peluang muncul sisi gambar pada mata uang logam dan sisi bermata lima pada dadu! 79

223 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika JAWABAN LATIHAN. Dengan cara apapun Anda mencoba, maka Anda akan memperoleh jalur terpendek dari A ke B dengan melangkah 4 kali ke kanan dan 5 kali ke atas. Mengapa demikian? Karena untuk mendapatkan jalur terpendek, Anda tidak bisa berbalik arah ke kiri maupun ke bawah. Misalnya: arah Kanan = K, dan Atas = A. B A Sehingga salah satu contoh jalur terpendek dari A ke B adalah: K,K,K,K,A,A,A,A,A, atau A,A,A,A,A,K,K,K,K, atau K,A,K,A,K,A,K,A,A. Ini mengandung arti bahwa ada 9 langkah di mana 4 langkahnya harus ke kanan. Dengan demikian kita akan menyususun 4 unsur dari 9 unsur yang ada menggunakan kombinasi, yaitu: C 9! = (9 4)!.4! 9,4 = 6 Atau jika Anda mengartikan bahwa untuk jalur terpendek dari A ke B adalah melalui 9 langkah di mana 5 langkahnya harus ke atas, maka kita akan menyusun 5 unsur dari 9 unsur sebagai berikut: C 9! = (9 5)!.5! 9,5 = 6. Nampaknya masalah pada nomor ini lebih rumit jika dibandingkan dengan nomor. Untuk mengetahui berapa banyak jalur terpendek dari A ke B, tanpa melalui daerah yang diarsir, berarti kita harus mengetahui berapa cara dari A ke B melalui P, Q, R, S, T, dan U. 80

224 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika A ke P, lalu P ke B = C C = 6 6 6, 3,0 = A ke Q, lalu Q ke R, lalu R ke B = C C C = A ke S, lalu ke B = C C = , 4, = A ke T, lalu ke B = C C = 5 5 5, 4,0 = 4,, 3, = Dengan demikian, banyaknya jalur terpendek dari A ke B tanpa melalui taman kota (daerah yang diarsir) adalah = = 75 jalur terpendek. 3. Dari 6 soal yang tersedia diambil 5 soal (tanpa memperhatikan urutannya) dan soal nomor harus dipilih. Ini berarti hanya tinggal 5 soal yang akan diambil 4 soal saja, sehingga banyaknya 5! 0 pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut adalah: C 5,4 = = = 5 (5 4)!.4! 4 pilihan. 4. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Untuk menentukan peluang muncul sisi gambar pada mata uang logam dan sisi bermata lima pada dadu, pertama kali kita misalkan bahwa: A adalah kejadian munculnya gambar pada mata uang logam, dan B adalah kejadian munculnya sisi mata dua pada dadu. Sehingga P(A) = dan P(B) = 6. 6 = Dalam hal ini kejadian antara A dan B merupakan kejadian yang saling bebas, sehingga P(A B) = P(A) P(B) =..Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda diambil r benda sama dengan n! P n, r = ( n r)!.. Banyaknya permutasi n benda yang terdiri k kelompok dan setiap kelompok ke-i ( i k) mempunyai anggota yang sama sebanyak n i, maka P n! n, n = i n! n! n!... n 3 k! 8

225 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 3.Banyak cara memilih r benda dari n benda yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya yaitu banyaknya kombinasi r unsur diambil dari n unsur yang berbeda adalah n! C n, r = (n r)! n!. 4. Proses pengamatan atau pengukuran yang hasilnya mengandung ketidaktentuan disebut percobaan, sedangkan hasilnya disebut hasil percobaan. 5. Ruang sampel (diberi simbol S) dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin percobaan itu. 6. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. 7. Aturan Peluang adalah cara mengawankan setiap hasil percobaan dengan tepat satu bilang real p dengan 0 p. Jika A kawan p maka dikatakan peluang A yaitu P(A) = p. 8. P Peluang pada ruang sampel memenuhi sifat berikut. (i) Jika A suatu hasil percoban maka peluangnya (P(A)) bernilai: 0 P(A). (ii) Jumlah peluang sernua hasil percobaan sama dengan yaitu P(S) =. 9. Jika setiap hasil percobaan pada ruang sampel berkesempatan sama untuk muncul maka ruang sampel itu disebut ruang sampel seragam. 0. Misalkan S ruang sampel dengan n(s) banyaknya hasil percobaan yang berkesamaan (S ruang sampel seragam), dan K sebarang kejadian pada S maka: a. Jika K himpunan kosong, maka P(K) = 0. b. Jika K seluruh ruang sampel maka P(K) = P(S) =. n( K) c. Jika K kejadian terdiri atas n(k) hasil percobaan maka P ( K) = n( S).. Kejadian A B (A atau B) adalah himpunan yang terdiri atas hasil percobaan yang ada dalam A atau B.. Kejadian A B (A dan B) adalah himpunan sernua hasil percoban yang ada dalam A dan B. 3. Komplemen kejadian A, dinyatakan dengan A C, adalah himpunan semua hasil percobaan yang tidak berada dalam A. 4. Kejadian A dan B disebut saling asing apabila mereka tidak mempunyai hasil percobaan sekutu. 5. Jika A dan B kejadian yang saling asing maka P(A B) = P(A) + P(B) 6. Untuk setiap dua kejadian A dan B, Peluang A atau B adalah P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Untuk setiap tiga kejadian A, B dan C, peluang A atau B atau C adalah P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C) 7. Untuk setiap kejadian A, P(A C ) = P(A) 8

226 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari himpunan A = {,, 3, 4, 5}! A. 0 bilangan C. 4 bilangan E. 5 bilangan B. 00 bilangan D. 6 bilangan. Terdapat 0 siswa dalam satu kelas. Jika setiap siswa besjabat tangan pada saat bertemu dan berpisah, maka tentukan berapa banyak jabat tangan yang terjadi! A. 0 kali C. 76 kali E. 380 kali B. 40 kali D. 90 kali 3. Ada 8 mahasiswa hendak mengadukan persoalannya kepada Dosen Pembimbing Akademiknya. Akan tetapi di antaranya sudah menjalani proses bimbingan. Tentukan banyak cara mereka antri. A C. 70 E. 8 B D Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang terambilnya kartu merah atau kartu As adalah... A. 5 8 C. 5 3 E. 5 6 B D Tentukan banyaknya jalur terpendek dari A ke B pada gambar di bawah ini: B A. 735 B. 340 C. 80 D. 50 E.30 A 6. Dalam permainan sepakbola ada empat kategori pemain yaitu depan, tengah, belakang dan penjaga gawang. Persib dalam menghadapi Persipura, menggunakan sistem (gawang, belakang, tengah, depan). Jika tersedia penjaga gawang, 7 belakang, 7 tengah, 5 depan, ada berapa kemungkinan kesebelasan yang bisa dibentuk? A C E B D

227 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 7. Seperti pada konteks soal nomor 6, tentukan berapa peluang terpilihnya seseorang untuk dijadikan pemain inti? A. 0,07 C. 0,5 E. 0,70 B. 0,0 D. 0,50 8. Dalam suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 orang pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah... A. 84 C. 76 E. 66 B. 8 D Pada pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 atau 0 adalah... A. 0,555 C. 0, E. 0, B. 0,50 D. 0,43 0. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekuirang-kurangnya kelereng putih adalah... 7 A C E B D

228 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 0 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum anda kuasai. 85

229 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika STATISTIKA PENGANTAR Sejak puluhan tahun lalu, statistika merupakan ilmu yang sangat penting, bukan saja sebagai ilmu yang dipelajari di sekolah dan perguruan tinggi, melainkan juga sebagai ilmu terapan. Penerapannya misalnya dalam ekonomi, manajemen, biologi, pendidikan, kedokteran, riset, serta dalam kegiatan masyarakat lainnya. Sebagian dari kita memang tidak memperoleh pengetahuan statistika secara mendalam. Akan tetapi, setidaknya kita memiliki pengertian tentang statistika, meskipun tidak terlalu banyak. Pada Kegiatan belajar ini akan dibahas sebagian Statistika Diskriptif, yang meliputi penyajian data dengan tabel dan grafik, ukuran tendensi pusat yaitu rerata, median, serta modus dan ukuran sebaran data. INDIKATOR Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan:. Mampu mengelola data suatu sampel sehingga diperoleh gambaran yang jelas tentang data sampel tersebut.. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik statistika URAIAN Statistika Diskriptif dan Statistika Inferensial merupakan dua istilah yang sudah tidak asing lagi dalam statistika. Dalam Statistika Diskriptif terdapat bagian pengelolaan data. Data suatu sampel perlu diolah sehingga diperoleh gambaran ringkas dan jelas tentang data tersebut. Karena sebenarnya kita tertarik pada populasi sedangkan yang tersedia hanya sampel yang terbatas, maka deskripsi yang diperoleh dari sampel tersebut perlu dianalisis lebih lanjut agar bisa digunakan untuk menerangkan sifat populasi, atau dengan kata lain sampelnya harus representatif. Inilah yang merupakan inti Statistika Inferensial. 86

230 PENYAJIAN DATA Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Setiap orang pasti pernah melakukan pengamatan. Lalu sebagian dari orang yang melakukan pengamatan tersebut melakukan pencatatan atas apa yang telah diamatinya. Sebagai hasil suatu pengamatan atau pengukuran terhadap suatu variabel tertentu, misalnya berat badan, suhu udara, dan banyaknya pengunjung swalayan setiap hari, dapat diperoleh data berupa sekumpulan bilangan. Untuk meringkas data yang berupa kumpulan bilangan itu kita lakukan dengan membuat tabel sebaran seringan (distribusi frekuensi), dan membuat diagram. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI Contoh 8..: Andaikan terdapat data mengenai banyaknya siswa yang terkena cacar air di SD Marikangen pada musim hujan tahun lalu setiap hari selama sebulan, seperti yang tertera pada Tabel 6.. berikut. Tabel 8.. Banyak Anak SD Marikangen yang Terserang Cacar Air Setiap Hari Dari Tabel 8.. tersebut, kita bisa melihat bahwa bilangan terbesar adalah 7 dan terkecil adalah 0, sehingga rentangan data tersebut 7 0 = 7. Contoh 8.. Buatlah daftar sebaran seringan sekor ujian akhir PAI berikut ini. 7, 75, 7, , 85, 75, 6, 49, 0, 85, 7. 90, 6, 8, , 93, 58, 85, 7, 7 Jawaban Daftar distribusi frekuensi terdiri atas kolom yaitu kolom skor dan kolom frekuensi. Tabel 8.. berikut ini mendaftar frekuensi setiap skor di atas. Apabila banyak jenis data cukup besar sebaran seringan seperti diatas mungkin menjadi kurang memadai, perlu diambil cara lain yaitu dengan mengelompokkan data dalam kelaskelas yang pada umumnya berupa interval. 87

231 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Skor Ujian Tabel 8.. Frekuensi Skor Ujian Frekuensi Frekuensi data yang dikelompokkan disusun dengan membagi rentangan data menjadi selang/ interval yang berjarak sama, kemudian mendaftar butir yang termasuk dalam setiap interval. Berikut adalah langkah menyusun sebaran seringan data berkelompok. Langkah dalam menyusun sebaran seringan data berkelompok. Memilih banyak dan lebar kelas. Mentabulasikan data ke dalam kelas 3. Mencari seringan dalam setiap kelas Contoh 8..3: Andaikan diketahui data berupa lama pendidikan (dalam tahun) yang pernah diikuti oleh para petani di suatu desa adalah seperti berikut: 3, 3,, 0, 9, 7, 6, 9, 4, 5, 8, 8, 9, 0, 8, 8, 8,, 4,,,, 0, 7,,, 6, 6, 6,. Kelompokkan data itu dalam kelas interval berlebar sama dan susun tabel frekuensinya. Jawaban Pertama, kita harus mencari sebaran atau rentangannya, yaitu 8 = 7. Kedua, menentukan banyak kelas. Cara yang standard digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sturges, yaitu: k = + 3,3 log n dengan k adalah banyaknya kelas dan n adalah banyak data. 88

232 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Jadi, kita kelompokkan data ini menjadi + 3,3 log 30 =,477. Dengan besarnya nilai k =,477 berarti kita boleh mengambil sebanyak 3 kelas. Ketiga, menentukan panjang kelas, yaitu dengan rumus berikut: P = rentangan banyak kelas 7 Berarti, P = = 5, 667. Ini memperbolehkan kita untuk mengambil 6 panjang kelas. Jika 3 tadi kita ambil banyak kelasnya 3, dengan panjang kelasnya diambil 6 (k = 3 dan p = 6). Tabel 8..3 Frekuensi dalam Kelas Kelas Frekuensi Jumlah 0 DIAGRAM. Diagram Dahan-Daun Salah satu untuk menyederhanakan data adalah dengan Diagram Dahan-Daun. Untuk menunjukkan bagaimana cara menyusun diagram ini kita perhatikan Contoh 8..4 berikut ini. Contoh 8..4: Data skor ujian matematika kelas III SD Marisuka berikut ini Angka pertama dan kedua setiap skor kita pasang berturut-turut sebagai dahan dan daun, sehingga diperoleh diagram dahan-daun berikut ini. Diagram Dahan dan Daun Skor Ujian Matematika Gambar

233 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Angka pertama dan kedua setiap skor berturut-turut kita pasang sebagai dahan dan daun. Sebagai contoh, 8 pada sekor 85 kita letakkan 8 pada dahan dan 5 pada daun. Berikut adalah tiga langkah menyusun diagram dahan-daun: () Tentukan banyaknya angka yang dipilih sebagai dahan. () Buat daftar dahan dalam suatu kolom dari yang kecil ke yang besar. (3) Buat daftar angka sisanya dalam setiap butir data sebagai daun dari yang kecil ke yang besar pada kolom di sebelah kanan kolom dahan (Anda bisa juga memilih urutan daun dari besar ke kecil). Selain dengan diagram dahan-daun, kita bisa juga menggambar data dengan diagram batang, histogram, poligon, diagram lingkaran, dan diagram pastel (pie).. Diagram Batang Untuk memahami bagaimana menggambarkan data dalam suatu diagram batang coba perhatikan contoh berikut. Contoh 8..5: Gambarlah diagram batang untuk banyak lulusan PGSD UPI kampus daerah per tahun seperti berikut ini (catatan: data ini fiktif). Tahun Jumlah Lulusan Jawaban Jumlah Lulusan PGSD UPI Per Tahun Jumlah Lulusan Tahun Gambar 8.. Lulusan 90

234 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Sumbu horizontal menyatakan tahun dan sumbu vertikal menyatakan banyaknya lulusan. Jika kita ingin mengetahui banyak lulusan katakanlah pada tahun 005, tarik garis horizontal dari puncak batang sehingga memotong sumbu vertikal, kemudian tentukan pada sumbu vertikal bilangan yang berkaitan. Bilangan itu menyatakan banyaknya lulusan di tahun 005, yaitu Histogram Histogram adalah diagram batang yang menggambarkan distribusi frekuensi data berkelompok. Oleh sebab itu untuk membangun histogram suatu data lebih dahulu kita cari distribusi frekuensi yang dikelompokkan data tersebut. Tinggi persegi panjang (batang) menyatakan seringan pada interval yang bersangkutan. F R E K U E N S I Usia (dalam tahun) Gambar8..3 Diagram 8..3 merupakan histogram data usia pasien Puskesmas Cimalaka pada bulan Januari 006. Data tersebut diambil dari distribusi frekuensi berikut ini. Tabel 8..4 Jumlah Pasien Puskesmas Cimalaka Kelas (dalam Tahun) Titik Tengah Frekuensi

235 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 4. Poligon Pada histogram, titik tengah puncak setiap batang yang berdekatan kita hubungkan, maka kita akan memperoleh suatu poligon (segi banyak). Poligon ini disebut Poligon Frekuensi. Gambar 8..4 adalah poligon frekuensi untuk data pada Tabel Frekuensi Usia (dalam tahun) Gambar Diagram Lingkaran Daerah lingkaran dapat juga dipergunakan untuk menggambarkan data. Diagram yang menggunakan lingkaran ini disebut Diagram Lingkaran. Coba perhatikan Contoh 6..6 berikut ini. Contoh 8..6: Berdasarkan Tabel 6..4, disusun diagram lingkaran berikut ini. 0 s.d. 4 5 s.d. 9 0 s.d 4 5 s.d s.d. 34 Gambar

236 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Suatu himpunan pada Diagram Lingkaran dalam Gambar 3.5 adalah suatu juring lingkaran dengan ni 0 besar sudut pusat: α i = 360 n total Misalnya untuk kelas ketiga (berwarna kuning), n 3 = 0, dan n total = 30, maka: α n = 360 = 360 = 0 n total Diagram Pastel (Pie) Ada satu lagi diagram yang mirip dengan diagram lingkaran, hanya saja diagram ini bergambar bangun dimensi-3. Diagram demikian disebut diagram pastel atau diagram pie. Berdasarkan data pada Tabel 6..4, kita dapat menggambar diagram pastel seperti berikut ini: Gambar s.d. 4 5 s.d. 9 0 s.d 4 5 s.d s.d. 34 UKURAN TENDENSI (Gejala) PUSAT Ukuran tendensi pusat sangat berguna untuk menyatakan data secara ringkas. Ukuran tendensi pusat yang terdiri atas rerata, median, dan modus.. RERATA Rerata atau rata-rata hitung adalah ukuran tendensi pusat yang banyak digunakan dan memiliki ketentuan sebagai berikut. Definisi Rerata Misalkan kita mempunyai data berupa bilangan x, x, x 3,, x n,maka rerata data tersebut yaitu x dengan x x = + x + x n x n 93

237 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Contoh 8..7: Tentukan rerata dari 5, 7, 3, dan 3! Jawaban x = = = 5 5 Contoh 8..8: Tentukan rerata nilai ujian matematika, pada data berikut ini: nilai frekuensi Jawaban: Dari data di atas diketahui bahwa ada siswa memperoleh nilai 40, jadi untuk menggunakan rumus rerata di atas bilangan 40 muncul kali. Sedangkan bilangan 45 muncul 6 kali, 50 muncul 3 kali, 55 muncul 0 kali, 60 muncul 4 kali, dan 65 muncul 7 kali, sehingga kita gunakan rumus rerata data berkelompok. Rerata Data Berkelompok Misalkan x, x, x 3,, x n mempunyai seringan berturut turut f, f,,f n Maka rerata data ini adalah: x = dengan demikian, jawaban pada soal di atas adalah: f x + f f + x f + + f f 3 3 x x = = = 54, f n f n x n 94

238 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika. Median Median dari suatu data yang berupa bilangan adalah bilangan yang terletak di tengah jika data itu diurutkan menurut besarnya. Definisi Median Jika x, x, x 3,, x n adalah data yang telah diurutkan menurut besarnya (dari kecil ke besar atau dari besar ke kecil) maka mediannya adalah bilangan yang di tengah jika n ganjil. Jika n genap mediannya adalah rerata bilangan yang berada di tengah data terurut tersebut. Contoh 8..9: Tentukan median data ini: 3, 5, 9, 8, 4. Jawaban: Data ini diurutkan menjadi 3, 4, 5, 8, 9. Mediannya adalah 5. Contoh 8..0: Tentukan median data 4, 6, 7, 3, 5,, 8, 9 Jawaban: Data diurutkan menjadi, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Median = = 5, MODUS Modus sekelompok bilangan dari suatu hasil pengukuran adalah bilangan yang munculnya paling sering, atau frekuensinya paling tinggi. Definisi Modus Modus sekelompok bilangan (hasil pengukuran) adalah bilangan yang muncul paling sering. Jika masing-masing bilangan muncul sekali maka data itu, tidak mempunyai modus. Jika ada dua bilangan yang frekuensinya sama dan paling banyak, maka data itu mempunyai dua modus. Bahkan ada pula data mempunyai tiga atau lebih modus. Contoh 8..: Tentukan modus data 4, 3, 5, 6, 7, 8, 6, 4, 5, 8, 8, 7, 9, 9,

239 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Jawaban: Setelah diurutkan diperoleh 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9. 8 muncul paling sering yaitu 4 kali. Jadi modus data ini adalah 8. UKURAN SEBARAN Ukuran sebaran data yang akan kita pelajari adalah rentangan, rentangan antar kuartil dan variansi.. Rentangan (Range) Rentangan data adalah selisih bilangan yang terbesar dan yang terkecil yang ada pada data tersebut. Contoh 8..: Tentukan rentangan data berikut. 4, 6, 7, 8, 3,9 Rentangan = 9 3 = 6. Rentangan Antar Kuartil (Interquartile Range) Untuk mencari rentangan antar kuartil terlebih dulu kita cari kuartil pertama (K ) dan kuartil ketiga (K 3 ). Rentangan antar kuartil dirumuskan sebagai berikut. Rentangan Antar Kuartil (RAK) = K 3 K Contoh 8..3: Diketahui suatu data berupa banyaknya pengunjung suatu Museum Sribaduga Bandung setiap hari selama 6 hari sebagai berikut: 5, 30, 6, 45, 4, 4,, 34, 9, 8, 3, 7, 3, 3, 35, 43. Tentukan rentangan antar kuartilnya. Jawaban: Untuk mencari K, K 3 dan RAK data kita urutkan dari kecil ke besar, sehingga kita peroleh sebagai berikut., 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 3, 3, 34, 35, 4, 43, 45. Kemudian kita sekat menjadi 4 bagian dengan banyak anggota sama. Titik perempat pertama, K, jatuh antara 5 dan 6 sehingga 96

240 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Titik perempat kedua yaitu K (atau median) jatuh antara 9 dan 30 sehingga Me = = 9,5 Titik perempat ketiga, K 3 jatuh antara 34 dan 35 sehingga K = 3 = Jadi RAK = K 3 K = 34,5 5,5 = 9. 34,5 Rentangan antar kuartil dapat digunakan untuk mencari pencilan (outlier), yaitu anggota yang letaknya jauh dari anggota data yang lain. Definisi Pencilan Pencilan suatu data adalah skor yang lebih dari (K 3 +,5 RAK) atau yang kurang dari (K,5 RAK). Untuk data pada Contoh 6..3 di atas, diperoleh: K 3 +,5(RAK) = 34,5 +,5(9) = 48 K,5(RAK) = 4,5,5(9) = Dengan demikian, data diatas tidak mempunyai pencilan. Diagram yang bisa digunakan untuk mencari pencilan adalah diagram kotak dan Whisker seperti pada Gambar 8..7 berikut ini. Gambar

241 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 3. Variansi Ukuran sebaran keempat yang hendak kita kaji adalah variansi. Berikut ini adalah langkah untuk mencari variansi suatu data. () Hitung rerata ( x ). () Tentukan beda setiap skor dengan rerata, (x x ). (3) Kuadratkan, beda itu, yaitu hitung (x ). (4) Bagi jumlah kuadrat beda ( x i x) tadi oleh (n ) untuk estimasi kecil. Contoh8..4: Tentukan variansi dari data di bawah ini: 3, 4, 9,, 5, 44, 4, 33, 8, 7,, 6, 3, 30, 34, 4. Jawaban: Kita tentukan dahulu reratanya: x x = + x + x n x n x = x = = 30 6 Kemudian, sajikan tabel berikut ini: x i x i x ( x i x) Jumlah 77 98

242 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika ( x ) i x 77 Jadi variansi = s = = = 5, n 5. Peserta ujian matematika terdiri dari 40 orang siswa kelas A, 30 orang siswa kelas B, dan 30 orang siswa kelas C. Nilai rerata seluruh siswa adalah adalah 7, dan nilai rerata siswa kelas B dan C adalah 7,0. Tentukan nilai rerata siswa kelas A!. Rerata tinggi badan 30 wanita adalah 56 cm, sedangkan rerata tinggi badan 0 pria adalah 68 cm. Berapakah rerata tinggi badan kelimapuluh orang tersebut? 3. Suatu data memiliki rerata 6 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan p kemudian dikurangi q, maka diperoleh data baru dengan rerata 0 dan jangkauan 9. Tentukan nilai p + q. 4. Pada suatu pemilihan umum diikuti 5 partai A, B, C, D dan E dengan perolehan suara berturutturut 30%, 7%, 3%, dan sisanya terbagi dua sama rata. Susunlah diagram lingkaran untuk data tersebut. JAWABAN LATIHAN. Diketahui jumlah peserta n(a) = 40, n(b) = 30, n(c) = 30. x total = 7, x B x C = 7,0 = 7,0 x x total total = f x n( A) x A + n( B) x B + n( C) x = n( A) + n( B) + n( C) 40 x 7, = A + f f x + f 3 x f n x + f + f f (7,) 0 0 x A = = 7,5 40 Jadi, nilai rerata siswa kelas A adalah 7,5. 3 n n C 99

243 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika. Diketahui: n(w) = 30, dan cm n(p) = 0, dan cm n total = 50 Ditanyakan: Jawaban: x x x total total total xtotal = f x + f f x + f 3x f n x + f + f f n( W ) xw + n( P) x = n( A) + n( B) = 50 =60,8 3 P n n Jadi, rerata tinggi badan seluruhnya adalah 60,8 cm. 3. Diketahui: x =6 R = Xmax Xmin = 6. Jika tiap data dikalikan p lalu dikurangi q, maka: x = 0 R = Xmax Xmin = (pxmax q) (pxmin q) = 9 Tentukan nilai p + q! Jawaban: R = Xmax Xmin = 6, bisa juga ditulis: X X = n 6 Dan R = (pxmax q) (pxmin q) = 9, bisa ditulis: ( px q) ( px q) = p( X X) q + q = p( X X) = 9 n n n. Karena X X = n 6, maka p( X n X) = p(6) = Dengan demikian nilai p adalah p = =. 6 Perhatikan nilai reratanya: X + X X n x = = 6 X + X X n = 6n n x ( px = p( X q) + ( px + X X q) ( px n n ) nq = 0n n q) = 0 300

244 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Karena maka X + X X n 6n, = p X + X X n ) nq = p(6n) nq 0n. ( = Dengan membagi semua ruas oleh n dan mensubstistusikan nilai p( 6n) nq = 0n p(6) q = 0 3 (6) q = 0 4 q = 0 q = 4 3 Dengan demikian, p + q = + 4 = 7. 3 p =, diperoleh: n α i = n i total 4. Partai A memperoleh suara 30%, Partai B memperoleh suara 7%, Partai C memperoleh suara 00 ( ) 3%, Partai D memperoleh suara % = 0%, sedangkan Partai E memperoleh suara sama dengan partai D, yaitu 0%. Untuk mengetahui ukuran sudut masingmasing bagian juring, maka dapat digunakan formula: Dengan demikian, partai A memperoleh partai B memperoleh partai C memperoleh partai D memperoleh α B α C α D = = = α A = = 97, = 8,8 = partai E memperoleh α E = 360 = =

245 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Gambar diagram yang dimaksud adalah sebagai berikut: Gambar 8..8 Partai A Partai B Partai C Partai D Partai E BAHAN UNTUK DISKUSI Untuk permasalahan nomor 0 ini, perhatikan uraian di bawah ini: Suatu pelelitian tentang penggunaan pendekatan metakognitif dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar menggunakan data sampel berupa skor tes matematika, sebagai berikut. Skor Kelompok eksperimen: 57,9,7,45,68,60,7,35,36,4,6,54,73,80,45, 45,38,46,75,60,87,90,46,75,65,78,4,45,54,65. Skor Kelompok kontrol: 60,76,70,45,56,6,45,43,35,45,67,8,45,34,50, 43,34,65,44,3,65,4,54,5,5,67,80,90,65,45. (a) Buatlah tabel frekuensi skor masing-masing kelompok. (b) Kelompokkan data kelompok eksperimen dalarn 5 kelas dengan lebar sama, kemudian lengkapi dengan frekuensinya. (c) Buatlah histogram untuk (b). (d) Tentukan rerata skor kelompok kontrol dengan dua cara, yaitu tanpa mengelompokkan dan dengan mengelompokkan. (e) Mengapa pada (d) Anda memperoleh dua hasil yang tidak sama? Hasil yang mana yang lebih akurat? (f) Tentukan median dan modus skor kelompok eksperimen. (g) Tentukan K, K 3 dan RAK skor kelompok eksperimen. (h) Tentukan variansi dan simpangan baku skor kelompok kontrol. (i) Buatlah kotak dan whisker skor kelompok kontrol. (j) Adakah pencilan dalam kelompok kontrol? Jika ada, tuliskan semua pencilan skor kelompok kontrol. (k) Mana yang lebih baik hasil kelompok perlakuan atau hasil kelompok kontrol? Mengapa demikian? 30

246 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika.Cara menyusun diagram dahan-daun: () Tentukan banyaknya angka yang dipilih sebagai batang. () Daftar angka batang dalam suatu kolom dari yang kecil ke yang besar. (3) Daftar angka sisanya dalam setiap butir data sebagai daun dari yang kecil ke yang besar pada kolom di sebelah kanan kolom batang (Anda bisa juga memilih urutan daun dari besar ke kecil).. Langkah dalam menyusun distribusi frekuensi data berkelompok: () Memilih banyak kelas dengan aturan Sturges k = + 3,3 log n. rentangan () Menentukan lebar kelas dengan rumus P = banyak kelas. (3) Mentabulasikan data ke dalam kelas. (4) Mencari frekuens dalam setiap kelas. 3. Rerata dari suatu data yaitu x adalah x = x + x + x n x n 4. Rerata data berkelompok: x, x, x 3,, x n mempunyai frekuensi berturut turut f, f,,f n Maka rerata data ini adalah: x = f x + f f + x f + + f f 3 3 x f n f n x n 5. Median data x, x, x 3,, x n yang telah diurutkan menurut besarnya (dari kecil ke besar atau dari besar ke kecil) adalah bilangan yang di tengah jika n ganjil, atau rerata bilangan yang di tengah jika n genap. 6. Modus sekelompok data (hasil pengukuran) adalah bilangan yang muncul paling sering. Jika masing-masing bilangan muncul sekali maka data itu tidak mempunyai modus. Jika ada dua bilangan yang seringannya sama dan paling banyak, maka data itu mempunyai dua modus. Ada kemungkinan data mempunyai modus lebih dari satu. 303

247 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 7.Pencilan Pencilan suatu data adalah sekor yang lebih dari K 3 +,5 RAK atau yang kurang dari K,5 RAK. 8. Cara menghitung variansi langkah untuk mencari variansi suatu data. () Hitung rerata ( x ). () Tentukan beda setiap skor dengan rerata, (x x ). (3) Kuadratkan, beda itu, yaitu hitung (x ). (4) Bagi jumlah kuadrat beda tadi oleh (n ) untuk data yang sedikit. Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!. Diketahui x- 0 merupakan rerata dari: x, x, x 3,..., x 0. Jika data bertambah mengikuti pola: x + x, + 4 x, x, 4 + 8, dan seterusnya, maka nilai reratanya menjadi... A. x + 0 C. x0 + E. x B. x + 0 D. x 0 +. Jika 30 siswa kelas A mempunyai rerata 6,5; kemudian 5 siswa kelas B mempunyai nilai rerata 7; dan 0 siswa kelas C mempunyai nilai rerata 8, maka nilai rerata ke-75 siswa tersebut adalah... A. 7,04 C. 7,0 E. 7, 6 B. 7,07 D. 7,5 3. Tahun lalu gaji per bulan 5 orang karyawan dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut: 480, 360, 60, 650, 700. Tahun ini gaji mereka naik 5% bagi yang sebelumnya bergaji kurang dari Rp ,- dan 0% bagi yang sebelumnya bergaji lebih dari Rp ,-. Rerata besarnya kenaikan gaji mereka per bulan adalah... A. Rp ,- C. Rp ,- E. Rp ,- B. Rp 6.000,- D. Rp ,- 304

248 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 4. Pendapatan rata-rata karyawan suatu perusahaan adalah Rp ,- per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp ,- dan karyawan wanita Rp ,- maka perbandingan jumlah karyawan pria dengan karyawan wanita adalah... A. : 3 C. : 5 E. : B. 4 : 5 D. 3 : 4 5. Rerata dari lima bilangan bulat yang berurutan adalah. Jumlah bilangan yang terkecil dan terbesar dari kelima bilangan tersebut adalah... A. 4 C. E. 0 B. 4 D. 6. Diagram batang berikut membandingkan banyak pengemis (dalam juta) sejak tahun 00 sampai dengan 004 di kota A, B, dan C Pengemis Kota A Pengemis Kota B Pengemis Kota C Gambar 8..9 Dari Gambar 8..9, coba Anda analisis, dibandingkan dengan tahun 00, kota manakah yang jumlah pengemisnya meningkat? Kota mana pula yang jumlah pengemisnya menurun? A. Jumlah pengemis Kota A meningkat, sedangkan Kota B jumlah pengemisnya menurun. B. Jumlah pengemis Kota B meningkat, sedangkan Kota A menurun. C. Setiap kota mengalami peningkatan dan penurunan jumlah pengemisnya. D. Hanya Kota C yang mengalami peningkatan dan penurunan jumlah pengemisnya. E. Jumlah pengemis Kota A meningkat, sedangkan di Kota B dan C jumlah pengemisnya menurun. 7. Jika suatu data memiliki rerata x, median Me, Modus Mo, serta simpangan bakunya sama dengan nol, maka dapat disimpulkan bahwa... A. Nilai x < Me < Mo C. Nilai x = Me = Mo E. Nilai x = Mo < Me B. Nilai x > Me > Mo D. Nilai x = Me < Mo 305

249 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Cocokkan hasil jawaban Anda dengan kunci jawaban Tes Formatif yang ada pada bagian belakang bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Rumus: Jumlah Jawaban Anda yang benar Tingkat Penguasaan = x 00 % 0 Arti Tingkat Penguasaan : 90 % - 00 % = Baik Sekali 80 % - 89 % = Baik 70 % - 79 % = Cukup < 69 % = Kurang Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, Anda telah berhasil menyelesaikan bahan belajar mandiri ini. Bagus! Akan tetapi apabila tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum anda kuasai. 306

250 KUNCI JAWABAN Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Tes Formatif. Jawaban: A. 0 bilangan Banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari himpunan A = {,, 3, 4, 5}! Banyaknya angka yang bisa diurutkan: Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah: 5! = = 0.. Jawaban: E. 380 kali. Jumlah siswa adalah 0 orang dalam satu kelas. Banyaknya cara berjabat tangan adalah 0! 0.9.8! C 0, = C(0,) = = = 90 (0 )!.! 8!.. cara. Akan tetapi karena berjabat tangannya dua kali, yaitu saat bertemu dan berpisah, maka jumlah jabatan tangan seluruh siswa tersebuat adalah 90 = 380 cara. 3. Jawaban: C. 70 Dari 8 mahasiswa yang 8 hendak bimbingan, di antaranya sudah selesai, berarti yang tersisa P( M A) = + hanya = 6 orang. Banyaknya = cara mereka antri adalah sama dengan (8 )! = 6! = = Jawaban: C Total kartu bridge adalah 5 kartu. Peluang terambilnya kartu merah [P(M)] atau kartu As [P(A)] adalah: P( M A) = P( M ) + P( A) P( M A) 307

251 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 5. Jawaban: B. 340 Tentukan banyaknya jalur terpendek dari A ke B pada gambar di bawah ini: P B Q S R T U A ASPB C(5,3) C(,) C(4,0) = 0 ASQB C(5,3) C(,) C(4,) = 80 ASRB C(5,3) C(,0) C(4,) = 60 ATQB C(5,) C(,) C(4,) = 40 ATRB C(5,) C(,) C(4,) = 0 AURB C(5,) C(,) C(4,) = 30 Banyaknya jalur terpendek dari A ke B adalah: = 340 cara. 6. Jawaban: B Formasi: (gawang, belakang, tengah, depan) Persediaan: (dalam hal ini pengisisan formasi tak menghiraukan urutan calon pemain). Sehingga kemungkinan kesebelasan yang dibentuk: C(,) C(7,4) C(7,4) C(5,) = Jawaban: A. 0,07 Peluang terpilihnya seseorang untuk menjadi anggota inti tim sepakbola adalah: C(,) C(7,4) C(7,4) C(5,) C(,) C(7,4) C(7,4) C(5,) P = = C C(,) P = Total 875 = = 0,

252 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 8. Jawaban: D. 74 Perwakilan terpilih: 6 orang. Calon pria: 5 orang Calon wanita: 4 orang. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria berarti susunan perwakilan tersebut mungkin memuat 3 pria 3 wanita, 4 pria wanita, atau 5 pria wanita. Sehingga, aturan kombinasi yang digunakan adalah: [ C (5,3 C(4,3)] + [ C(5,4) C(4,)] + [ C(5,5) C(4,)] = Jawaban: B. 0,50 Pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 atau 0 adalah: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 0. Jawaban: E. [ C(7,) C(5,)] + [ C(7,) C(5,)] + [ C(7,0) C(5,3)] P = = C(,3) Tes Formatif P( A B) = + 0 = = = 0, Jawaban: 36 C. 4 0 x +. Diketahui x- 0 merupakan rerata dari: x, x, x 3,..., x 0. x Jika data bertambah mengikuti pola: + Data lama: x Data baru: x 0 x = + x + x x0 x, + 4 x, x + x x0 + ( ) 0 ( x + x x x x 0 ) = x,

253 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 30. Jawaba: B. 7,07 7, ,5 30 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + + = = = total C B A total n n n total x C n B n A n x C n x B n x A n x f f f f x f x f x f x f x 3. Jawaban: A. Rp , ) ( ) ( = = = TOTAL TOTAL x x 4. Jawaban: D. 3 : 4 4 3: ) ( ) : ( ) ( 4 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = + + = + + = w n P n P n W n P n W n W n P n W n P n W n P n x W n x P n x W W total 5. Jawaban: A. 4 Rerata dari lima bilangan bulat yang berurutan adalah = = = E D C B A E D C B A x Karena A,B,C,D,E berurutan, berarti: B = A + C = A + D = A + 3 E = A + 4

254 Sehingga, Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika A + B + C + D + E = A + ( A + ) + ( A + ) + ( A + 3) + ( A + 4) = 5A + 0 = 60 Jadi, nilai A = 0. Bilangan terbesar, A = 0, dan bilangan terkecil E = A + 4 = 4. Jumlah keduanya adalah A + E = 4. 6 Jawaban: E. Diagram batang berikut membandingkan banyak pengemis (dalam juta) sejak tahun 00 sampai dengan 004 di kota A, B, dan C Pengemis Kota A Pengemis Kota B Pengemis Kota C Jika kita membandingkan pertumbuhan pengemis setiap tahun terhadap tahun 00, maka hanya Kota A yang mengalami peningkatan. Sedangkan untuk Kota B maupun C, dari tahun ke tahum selalu lebih rendah daripada tahun 00. Jumlah pengemis Kota A meningkat, sedangkan di Kota B dan C jumlah pengemisnya menurun dibandingkan tahun 00 (seperti permintaan pada soal). 7. Jawaban: C. Nilai x = Me = Mo. Jika suatu data memiliki rerata x, median Me, Modus Mo, serta simpangan bakunya sama dengan nol, makan x = Me = Mo. Ini dikenal dengan distribusi normal. 3

255 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika GLOSARIUM combination : suatu pilihan unsur-unsur dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutan unsurunsur yang dipilih event : kejadian faktorial : hasil kali dari suatu bilangan-bilangan s.d. yang terkecil dari bilangan frekuensi : jumlah kejadian yang lengkap atau fungsi muncul dalam suatu waktu histogram : diagram frekuensi untuk peubah tunggal; pada diagram ini luas persegi panjang sebanding dengan frekuensi nisbi dr masing-masing kelas mutually exclusive : kejadian salaing asing permutasi : Susunan terurut yang terdiri dari r unsur berbeda yang diambil dari n unsur berbeda (r n) disebut permutasi r dari n unsur pie : diagram lingkaran poligon : segi banyak (bidang rata yg sudut atau sisinya lebih dr empat) probability : peluang range : rentangan sample : ukuran-ukuran yang dianggap mewakili populasi standar deviasi : simpangan baku variansi : kuadrat simpangan baku dalam statistika 3

256 DAFTAR PUSTAKA Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika Bryant, V. (993). Aspectcs of Combinatorics: A Wide Ranging introduction. Cambridge: Cambridge University Press. Cabrera, G.A. (99). A Framework for Evaluating the Teaching of Critical Thinking. Education 3 () Copi, I.M. (97). Introduction to Logic. New York: Macmillan. Durbin, J.R. (979). Modern Algebra. New York: John Wiley & Sons. Gerhard, M. (97). Effective Teaching Strategies With the Behavioral Outcomes Approach. New York: Parker Publishing Company, Inc. Lipschutz, S. (98). Set Theory and Related Topics. Schaum Outline Series. Singapore: McGraw Hill International Book Company. Naga, D.S. (980). Berhitung, Sejarah, dan Pengembangannya. Jakarta: PT. Gramedia. Purcell, E.J. dan Varberg, D. (996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, E.T. (984). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Bandung: Tarsito. Ruseffendi, E.T. (99). Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Potensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito. Suryadi, D. (005). Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak Langsung dalam Rangkan Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat Tinggi Siswa SLTP. Disertasi Program Pascasarjana Universitas Pendidikan Indonesia. Bandung: Tidak diterbitkan. Thomas, D.A. (00). Modern Geometry. California, USA: Pacific Grove. Wheeler, R.E. (99). Modern Mathematics. Belmont, CA: Wadsworth. 33

257 Pemecahan Masalah dalam Peluang dan Statistika 34

258 GEOMETRI DATAR DAN GEOMETRI RUANG Geometri Datar dan Geometri Ruang Pada Bahan Belajar Mandiri (BBM) sebelum ini, Anda telah dibekali beberapa strategi untuk memecahkan masalah non-rutin dalam matematika. Demikian pula pada BBM 9 ini, Anda dihadapkan pada beberapa kajian matematika dengan permasalahanpermasalahan non-rutin yang perlu untuk dipecahkan atau dicarikan solusinya. BBM 9 ini memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam geometri, yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar :Geometri Datar dan Kegiatan Belajar : Geometri Ruang. Kegiatan Belajar merupakan prasyarat untuk mempelajari Kegiatan Belajar, karena geometri datar merupakan suatu kajian khusus matematika yang menjadi dasar untuk mempelajari geometri ruang pada tahap yang lebih lanjut. KOMPETENSI DASAR Setelah Anda mempelajari BBM ini, diharapkan Anda dapat memahami dan terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik peluang, statistika, dan geometri. INDIKATOR Setelah mempelajari materi dalam BBM ini, Anda diharapkan dapat:. Memahami konsep-konsep dasar geometri.. Memahami benda-benda geometri serta sifat-sifatnya. 3. Terampil melakukan pemecahan masalah matematik yang berhubungan dengan topik geometri 35