TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP MATARAM

Transkripsi

1 Supremum dan Infimum TUGAS ANALISIS REAL OLEH KELOMPOK V KELAS VI A MATEMATIKA ANGGOTA : 1. ADESUHANDI ( ) 2. ABDUSSALIM ( ) 3. WAN SYAFRADINATA ( ) 4. WIWIN WIDIARTI ( ) 5. BQ.EMY JUNI HERLIANI ( ) 6. EKA NUR AZIZAH ( ) 7. HARY KUSNADI ( ) FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP MATARAM 2009 Dalam hal ini, kami akan memperkanalkan suatu konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu himpunan bilangan real. DEFINISI 1 : Misalnya diberikan subset tak kosong SR. 1. Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu bilangan ur sedemikian hingga su untuk semua ss. Setiap bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S. 2. Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded beow) jika terdapat suatu bilangan wr sedemikian hingga ws untuk semua ss. Setiap bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (Lower bound) dari S.

2 3. Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded). Dengan kata lain, terbatas ke atas atau batas atas suatu himpunan adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan dari semua unsur di himpunan tersebut. Sedangkan terbatas ke bawah atau batas bawah suatu himpunan adalah bilangan yang lebih kecil atau sama dengan dari semua unsur di himpunan tersebut. Contoh : Apakah himpunan S={xR:x<2} terbatas ke atas, terbatas ke bawah atau tidak terbatas? Jawab : S={xR:x<2} S={.,-1,0,1} Jadi himpunan S={xR:x<2} terbatas ke atas sebab bilangan 2 dan sembarangan bilangan lebih dari 2 yaitu 3,4.5, dan seterusnya merupakan batas atas dari S. Himpunan S tidak mempunyai batas bawah atau tidak terbatas ke bawah. Dehingga dapat di simpulkan bahwa himpunan S merupakan himpunan yang tidak terbatas. DEFINISI 2 : Misalnya diberikan S subset tak kosong R. 1. Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi suatu kondisi berikut : 1. u merupakan batas atas S 2. Jika v adalah sembarang batas atas S, maka uv. Atau dapat ditulis u=supremum S. 1. Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi suatu kondisi berikut : 1. w merupakan batas bawah S 2. Jika t adalah sembarang batas bawah S, maka tw. Atau dapat ditulis w=infimum S. Contoh : Tentukan batas atas, batas bawah, supremum dan infimum dari himpunan A={5,6,7,8,9,10}! Jawab :

3 A={5,6,7,8,9,10} Batas Atas= 10,11,12,13,. Batas Bawah= 5,4,3,2,1,0,-1,. Supremum= 10 Infimum= 5 Agar kita lebih mudah memahaminya, maka kita gunakan sebuah konsep pemahaman yaitu jika diberikan suatu himpunan S subset dari R, maka hanya terdapat satu supremum atau supremumnya tunggal. Juga dapat ditunjukan bahwa jika u adalah sembarang batas atas dari suatu himpunan tak kosong S, maka Su, sebab supemum S merupakan batas atas terkecil dari S. Suatu subset tak kosong SR mempunyai emat kemungkinan yaitu : 1. Mempunyai supremum dan infimum, 2. Hanya mempunyai supremum, 3. Hanya mempunyai infimum, 4. Tidak mempunyai infimum dan supremum. Setiap bilangan real ar merupakan batas atas dan sekaigus juga merupakan batas bawah himpunan kosong Ø. Jadi himpunan Ø tidak mempunyai supremum dan infimum. DEFINISI 3 : Suatu bilangan u merupakan supremum dari subset tak kosong SR jika dan hanya jika u memenuhi suatu kondisi berikut : 1. s u untuk semua ss, 2. jika v < u, maka terdapat s S sedemikian hingga x<s. DEFINISI 4 : Diberikan subset tak kosong SR, u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap >0 terdapat s 1 sedemikian hingga < s 1. Hal ini dapat dibuktikan bahwa jika diketahui u = sup S dan diberikan > 0. Karena u -< u, maka u- bukan merupakan batas atas S. Oleh karena itu, terdapat s 1 dari S yang lebih besar u.sehingga - u -< s 1. Jika diketahui u -< s 1 dan Jika u merupakan batas atas S, dan memenuhi v < u, maka diambil := u - v. Maka jelas > 0, dan diperoleh bahwa u = sup S. Contoh :

4 (a). Jika suatu himpunan tak kosong S 1 mempunyai elemen sebanyak berhingga, maka dapat dilihat bahwa S 1 mempunyai elemen terbesar, namakan u, dan elemen terkecil, namakan w. Maka u = sup S 1 dan w = inf S 1, dan keduanya merupakan elemen S1. (b). Himpunan S 2 := mempunyai batas atas 1. Akan dibuktikan bahwa 1 merupakan supremumnya. Jika v <1, maka terdapat s S 2 sedemikian hingga v < s. Oleh karena itu, v bukan merupakan batas atas S 2 dan karena v merupakan sebarang v<1, maka dapat disimpulkan bahwa sup S 2 =1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa inf S 2 = 0. Sifat Lengkap R Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong R yang terbatas ke atas pasti mempunyai batas atas terkecil. Sifat seperti ini disebut Sifat Lengkap R. Sifat Lengkap juga sering disebut dengan Aksioma Supremum R. DEFINISI 5 : Jika subset tak kosong SR terbatas ke atas, maka supremumnya ada, yaitu terdapat ur sedemikian hingga u = sup S. DEFINISI 6 : Jika subset tak kosong SR terbatas ke bawah, maka infimumnya ada, yaitu terdapat wr sedemikian hingga w = inf S. Bukti. Misalkan himpunan T terbatas ke bawah, TR. Dibentuk himpunan S =, maka S terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Aksioma Supremum, sup S ada, dan dinamakan u = sup S, maka -u= inf T. Penggunaan Sifat Aksioma Supremum Pada subbab ini,kami akan membahas beberapa akibat dari aksioma supremum. DEFINISI 1 : Diberikan subset tak kosong SR yang terbatas ke atas dan sebarang ar. Didefinisikan himpunan a + S :=, maka berlaku

5 sup(a + S ) = a + sup(s ). Bukti. Jika diberikan u := sup S, maka xu untuk semua xs, sehingga a + xa + u. Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S. Akibatnya sup(a + S )a + u. Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas a + S, maka a + xv untuk semua xs. Akibatnya xv - a untuk semua xs sehingga, v - a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup Sv-a. Karena vadalah sebarang batas atas a + S, maka dengan mengganti v dengan u = sup S, diperoleh a + usup(a + S ). Di lain pihak diketahui sup(a + S ) a + u terbukti bahwa sup(. Akibatnyaa + S ) = a + u = a + sup S. DEFINISI 2 : Diberikan subset tak kosong SR yang terbatas dan sebarang bilangan real a > 0. Didefinisikan himpunan as := {as :ss}, maka berlaku inf (as ) = a inf (S ). Bukti. Tulis u = inf as dan v = inf S. Akan dibuktikan bahwa u = av. Karena u = inf as, maka uas, untuk setiap ss. Karena v = inf S, maka vs untuk setiap ss. Akibatnya avas untuk setiap ss. Berarti av merupakan batas bawah as. Karena u batas bawah terbesar as, maka avu. Karena uas untuk setiap ss, maka diperoleh u / a s untuk setiap ss (sebab a > 0 ). Karena v = inf S, maka u / a v yang berakibat u av. Di lain pihak diketahui av u. Akibatnya u = av. Jadi, terbuktibahwa inf (as ) = a inf (S ). DEFINISI 3 : Jika A dan B subset tak kosong R dan memenuhi ab untuk semua aa dan bb, maka sup A inf B.

6 Bukti. Diambil sebarang bb, maka ab untuk semua aa. Artinya bahwa b merupakan batas atas A, sehingga sup Ab. Selanjutnya, karena berlaku untuk semua bb, maka sup A merupakan batas bawah B. Akibatnya diperoleh bahwa sup Ainf B.