Oleh : Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng Teknik Industri Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 4 Oleh : Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng Teknik Industri Universitas Brawijaya debrina@ub.ac.id

2 O 1. Gradien a. Gradien Aritmatik b. Gradien Geometrik 2. Bunga Nominal vs Bunga Efektif 3. Majemuk Kontinyu 4. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu U T L I N E ENGINEERING ECONOMY - 2

3 ENGINEERING ECONOMY - 3

4 1. GRADIEN ARITMATIK 1 A G i A G n ( 1+ i) n ( A/ G, i, n) 1 ENGINEERING ECONOMY - 4

5 GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (1) Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar $200/tahun selama 9 tahun berikutnya. Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10, dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian gradien/kenaikan pemasukan $200/thn? ENGINEERING ECONOMY - 5

6 GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (2) SOLUSI : " 1 A $ $200 0, $ # $ 1+ 0, 08 ( ) 10 1 " A $ $200 12, 5 10 % $ ' # 1,1589& [ ] [ ] A $ $200 12, 5 8, 6287 A $ $200 3,8713 A $ $774, 2628 A $1.774 % ' &' Atau dengan Tabel A $ $200(A / G,i, n) A $ $200(A / G,8%,10) A $ $200(3.8713) A $1.774, 26 ENGINEERING ECONOMY - 6

7 GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (1) Bunga 9% per tahun Tentukan annual worth yang ekivalen ENGINEERING ECONOMY - 7

8 GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (2) SOLUSI : A $ $600 ( ) A / G,9%,6 A $ $600 ( ) 2,2498 A $ $1.350 A $3.650 ENGINEERING ECONOMY - 8

9 GRADIEN ARITMATIK P G i " $ # $ (1+ i) N 1 i(1+ i) N ( ) P G P / G,i%, N N ( ) N i 1+ i % ' &' F G i " $ # $ (1+ i) N 1 i(1+ i) N F G F / G,i%, N ( ) N ( ) N i 1+ i % ' &' 1+ i ( ) N ENGINEERING ECONOMY - 9

10 GRADIEN ARITMATIK ( G / P,i%, N) ( G / A,i%, N) ( A / P,i%, N) ( G / F,i%, N) ( G / P,i%, N) ( P / F,i%, N) ( G / A,i%, N) ( G / F,i%, N) ( F / A,i%, N) Dan seterusnya. ENGINEERING ECONOMY

11 HUBUNGAN P, F, A DENGAN G A (A/G, i%, N) (G/A, i%, N) (P/G, i%, N) P G (G/P, i%, N) (G/F, i%, N) (F/G, i%, N) F ENGINEERING ECONOMY

12 2. GRADIEN GEOMETRIK ENGINEERING ECONOMY

13 GRADIEN GEOMETRIK P F 1 1+ g P F 1 1+ g g' 1+ i 1+ g 1 "( 1+ g' ) n 1% $ ' # $ g' ( 1+ g' ) n &' ( P / A, g', n) Catatan! g' > 0 P g' 0 P g' < 0 P F1 1+ g F1 1+ F1 1+ g [ P / A, g', n] n g n ( 1+ g' ) 1 ( ) n g' 1+ g' ENGINEERING ECONOMY

14 SOAL TUGAS 1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7% per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $ Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku bunga 15%? 2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun dari awal tahun pertama $ Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%? 3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari awal $ untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas pendapatan tersebut? ENGINEERING ECONOMY

15 ENGINEERING ECONOMY

16 BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual (efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per tahun Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari waktu ENGINEERING ECONOMY

17 TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF r tingkat suku bunga nominal per tahun i tingkat suku bunga efektif dalam interval waktu (per periode pemajemukan) l jangka interval waktu (dalam tahun) m timbal balik dari jangka periode majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun) c jumlah periode yang dimajemukkan dalam interval waktu (c l x m) ENGINEERING ECONOMY

18 TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL r i x m ENGINEERING ECONOMY

19 TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF i eff (1 + i) m 1 i eff (1 + r/m) m 1 ENGINEERING ECONOMY

20 Jumlah Pemajemukan/ tahun (m) Tingkat bunga Nominal (r)% Tingkat bunga efektif i eff % TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF ENGINEERING ECONOMY

21 TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari i eff F P P i eff F P 1 # F P(1+ i eff ) n i eff F & N $ % P ' ( 1 ENGINEERING ECONOMY

22 CONTOH (1) Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif tahunan dari pinjaman tersebut? ENGINEERING ECONOMY

23 JAWAB 1! i eff F $ N " # P % & 1! i eff 4, 5 $ " # 3 % & 1 6,5 1 i eff 1, 5 1 6,5 1 i eff 1, i eff 0, , 44% setahun ENGINEERING ECONOMY

24 JAWAB Atau juga bisa dengan cara 1! i F $ n " # P % & 1! i 4, 5 $ " # 3 % & i 1, i 1, , , , i 0, ,17% per 6 bln i 0,0644 6,44% r r i 1 + r m m i 1 + i 1, setahun ENGINEERING ECONOMY

25 CONTOH (2) Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap 6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari sekarang? ENGINEERING ECONOMY

26 CONTOH Maka F Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P, 12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4) Rp. 11,6345 juta ENGINEERING ECONOMY

27 CONTOH Cara lain F Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P, 12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)] Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%, 12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8) Rp. 11,6345 juta ENGINEERING ECONOMY

28 ENGINEERING ECONOMY

29 BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK TERUS- MENERUS # i eff lim 1+ r & % m $ m ( ' m * # i eff lim 1+ r &,% ( m +, $ m ' # lim 1+ r & r % (m e m $ m ' 1 m r - /./ r 1 i eff e r 1 e 2,71828 ENGINEERING ECONOMY

30 ENGINEERING ECONOMY

31 Single Payment Compound Amount Factor Single Payment Present Worth Factor Uniform Series Compound Amount Factor Uniform Series Sinking Fund Factor Uniform Series Present Worth Factor Uniform Series Capital Recovery Factor Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik PEMAJEMUKAN KONTINYU UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT ENGINEERING ECONOMY

32 SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR F P(e rn ) ( ) F P F / P,r%, N ENGINEERING ECONOMY

33 SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR! P F 1 # " e rn $ & % P F ( P / F,r%, N) ENGINEERING ECONOMY

34 UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR " F A ern 1% $ # e r ' 1 & F A( F / A,r%, N) ENGINEERING ECONOMY

35 UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR " A F er 1 % $ # e rn ' 1& A F ( A / F,r%, N) ENGINEERING ECONOMY

36 UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR " P A$ # " P A$ # $ 1 e rn e r 1 e rn % ' & e rn % 1 ' ( e r 1) &' P A P / A,r%, N ( ) ENGINEERING ECONOMY

37 UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR " A P er 1 $ # 1 e rn % ' & " A P ern e r 1 $ # $ e rn 1 ( ) % ' &' A P A / P,r%, N ( ) ENGINEERING ECONOMY

38 GRADIEN ARITMATIK " A G 1 $ # e r 1 N % e rn ' 1& A G( A / G,r%, N) ENGINEERING ECONOMY

39 GRADIEN GEOMETRIK ( ( )) g' 1+ er 1 1+ g ( ) 1 g' " P F 1 $ # er ( 1+ g) 1 P / A, g', N ( ) 1+ g % ' & ENGINEERING ECONOMY

40 CONTOH Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun dengan jumlah Rp per tahun. Bila tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga efektif dan nilai awal (P) dari semua tabungannya! ENGINEERING ECONOMY

41 JAWAB i e r 1 Tingkat bunga efektif i i e 0,10 1 0, ,52% Nilai P P e Rp rn e rn 1 ( r e 1) P P P Rp e Rp Rp e 0, ,10 10 ( 6,0104) 1 ( 0,10 e 1) ENGINEERING ECONOMY

42 42 ENGINEERING ECONOMY - C.ID

43 UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR F F A A e rn r 1 ( ) F / A, r, n ENGINEERING ECONOMY

44 UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR r A F e rn 1 A F ( ) A / F, r, n ENGINEERING ECONOMY

45 UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR P A e rn re rn 1 P A ( ) P / A, r, n ENGINEERING ECONOMY

46 UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR A P e re rn rn 1 A ( ) P A / P, r, n ENGINEERING ECONOMY

47 PEMBAYARAN TUNGGAL DAN SERAGAM DAN KONTINYU HANYA DALAM PERIODE N SAJA P F e rn re 1 F P e re rn 1 P F e rn re r ( ) e r 1 F P e rn ( ) e r 1 re r ENGINEERING ECONOMY

48 SOAL TUGAS Misalkan pengeluaran sebuah instansi terjadi secara kontinyu dengan total $ Bunga uang dimajemukkan secara kontinyu dengan tingkat bunga 15% per tahun. Bila kita mengambil waktu studi 5 tahun, berapakah: Nilai awal (P) Nilai pada tahun kelima (F) dari seluruh pengeluaran tersebut? ENGINEERING ECONOMY

49