dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah periode. Dengan demikian, secara

Transkripsi

1 Gerak harmonik pada bandul Ketika beban digantungkan pada ayunan dan tidak diberikan gaya, maka benda akan dian di titik keseimbangan B. Jika beban ditarik ke titik A dan dilepaskan, maka beban akan bergerak ke B, C, lalu kembali lagi ke A. Gerakan beban akan terjadi berulang secara periodik, dengan kata lain beban pada ayunan di atas melakukan gerak harmonik sederhana Besaran Fisika pada Ayunan Bandul Periode (T) Benda yang bergerak harmonis sederhana pada ayunan sederhana memiliki periode. Periode ayunan (T) adalah waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu getaran. Benda dikatakan melakukan satu getaran jika benda bergerak dari titik di mana benda tersebut mulai bergerak dan kembali lagi ke titik tersebut. Satuan periode adalah sekon atau detik Frekuensi (f) Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda selama satu detik, yang dimaksudkan dengan getaran di sini adalah getaran lengkap. Satuan frekuensi adalah hertz Hubungan antara Periode dan Frekuensi Frekuensi adalah banyaknya getaran yang terjadi selama satu detik. Dengan demikian selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah periode. Dengan demikian, secara matematis hubungan antara periode dan frekuensi adalah sebagai berikut Amplitudo Pada ayunan sederhana, selain periode dan frekuensi, terdapat juga amplitudo. Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan

2 Gaya Pemulih Gaya pemulih dimiliki oleh setiap benda elastis yang terkena gaya sehingga benda elastis tersebut berubah bentuk. Gaya yang timbul pada benda elastis untuk menarik kembali benda yang melekat padanya di sebut gaya pemulih Hukum Hooke Jika gaya yang bekerja pada sebuah pegas dihilangkan, pegas tersebut akan kembali pada keadaan semula. Robert Hooke, ilmuwan berkebangsaan Inggris menyimpulkan bahwa sifat elastis pegas tersebut ada batasnya dan besar gaya pegas sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Dari penelitian yang dilakukan, didapatkan bahwa besar gaya pegas pemulih sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai,dengan k = tetapan pegas (N / m)tanda (-) diberikan karena arah gaya pemulih pada pegas berlawanan dengan arah gerak pegas tersebut. Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Matematis Ayunan matematis merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang. Dari gambar tersebut, terdapat sebuah beban bermassa m tergantung pada seutas kawat halus sepanjang l dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak vertikal dengan membentuk sudut θ, gaya pemulih bandul tersebut adalah mgsinθ. Secara matematis dapat dituliskan : F = mgsinθ Oleh karena, maka : Persamaan, Kecepatan, dan Percepatan Gerak Harmonik Sederhana Persamaan Gerak Harmonik Sederhana Persamaan Gerak Harmonik Sederhana adalah: Keterangan : Y = simpangan, A = simpangan maksimum (amplitudo), F = frekuensi, t = waktu

3 Jika posisi sudut awal adalah θ 0, maka persamaan gerak harmonik sederhana menjadi: Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana Dari persamaan gerak harmonik sederhana Kecepatan gerak harmonik sederhana: Kecepatan maksimum diperoleh jika nilai atau, sehingga : vmaksimum = Aω Kecepatan untuk Berbagai Simpangan : Persamaan tersebut dikuadratkan :...(1) Dari persamaan :...(2) Persamaan (1) dan (2) dikalikan, sehingga didapatkan : Keterangan : v =kecepatan benda pada simpangan tertentu, ω = kecepatan sudut, A = amplitude, Y = simpangan Percepatan Gerak Harmonik Sederhana Dari persamaan kecepatan : Percepatan maksimum jika atau =90 0 = Keterangan : a maks = percepatan maksimum, A = amplitude, ω = kecepatan sudut Pendulum Sederhana Contoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam menganalisis gerakan pendulum sederhana, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bola.

4 Gambar di atas memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan bola pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg) dan gaya tegangan tali FT. Gaya berat memiliki komponen mg cos teta yang searah tali dan mg sin teta yang tegak lurus tali. Pendulum berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin teta. Karena tidak ada gaya gesekan udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama. Hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan : (ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L) Syarat sebuah benda melakukan Gerak Harmonik Sederhana adalah apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangannya Apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangan x atau sudut teta maka pendulum melakukan Gerak Harmonik Sederhana. Gaya pemulih yang bekerja pada pendulum adalah -mg sin teta. Secara matematis ditulis : Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya mempunyai arah yang berlawanan dengan simpangan sudut teta. Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa gaya pemulih sebanding dengan sin teta, bukan dengan teta. Karena gaya pemulih F berbanding lurus dengan sin teta bukan dengan teta, maka gerakan tersebut bukan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Alasannya jika sudut teta kecil, maka panjang busur x (x = L kali teta) hampir sama dengan panjang L sin teta (garis putus-putus pada arah horisontal). Dengan demikian untuk sudut yang kecil, lebih baik kita menggunakan pendekatan : Sehingga persamaan gaya pemulih menjadi karena Maka kita pecah persamaan di atas menjadi,

5 Persamaan ini sesuai dengan hokum Hooke, dimana konstanta gaya efektif adalah: Periode Pendulum Sederhana Periode pendulum sederhana dapat kita tentukan menggunakan persamaan : Konstanta gaya efektif kita ganti dengan mg/l Ini adalah persamaan periode pendulum sederhana Frekuensi Pendulum Sederhana Ini adalah persamaan frekuensi pendulum sederhana Keterangan : T adalah periode, f adalah frekuensi, L adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi. Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode dan frekuensi getaran pendulum sederhana bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi. Karena percepatan gravitasi bernilai tetap, maka periode sepenuhnya hanya bergantung pada panjang tali (L). Dengan kata lain, periode dan frekuensi pendulum tidak bergantung pada massa beban alias bola pendulum. Anda dapat dapat membuktikannya dengan mendorong seorang yang gendut di atas ayunan. Bandingkan dengan seorang anak kecil yang didorong pada ayunan yang sama. Contoh soal 1 : Sebuah pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 sekon. Hitunglah periode dan frekuensi-nya Panduan Jawaban : a) Periode Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran lengkap. Karena pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 detik, maka satu getaran dilakukan selama 2 detik (40/20 = 2). Jadi T = 2 detik b) Frekuensi Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik. Karena satu getaran dilakukan selama 2 detik, maka dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran. Kita juga menghitungkan menggunakan persamaan di bawah : Jadi dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran lengkap. Contoh soal 2 : a) Hitunglah panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik b) Berapa periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter? Anggap saja percepatan gravitasi (g) = 10 m/s2

6 Panduan jawaban : a) Panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik Karena jam berdetak sekali perdetik, maka kita bisa menganggap jam melakukan satu getaran selama satu detik (T= 1 sekon). Untuk menentukan panjang pendulum, kita menggunakan persamaan : Jadi panjangnya 0,25 meter (tidak tepat 0,25 meter karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan). b) Periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter? Periode getaran-nya adalah 0,99 sekon (hasilnya tidak tepat = 0,99 sekon karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan) Catatan : Dalam kenyataannya, jam pendulum tidak tepat melakukan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) karena adanya gaya gesekan. Setelah berayun beberapa kali, amplitudonya semakin berkurang akibat adanya gaya gesek. Hal tersebut mempengaruhi ketepatan jam pendulum, di mana periode pendulum sedikit bergantung pada amplitudo (simpangan maksimum). Agar amplitudo jam pendulum tetap, sehingga periode ayunan tidak bergantung pada amplitudo, maka pada jam pendulum disertakan juga pegas utama (pada jam besar disertakan beban pemberat) yang berfungsi untuk memberikan energi untuk mengimbangi gaya gesekan dan mempertahankan amplitudo agar tetap konstan. Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan pada GHS Pada pokok bahasan mengenai hubungan antara GMB dan GHS, kita telah melihat keterkaitan antara GMB dan GHS, di mana Gerak Harmonik Sederhana dipandang sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan atau sebaliknya, Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus. Sekarang dengan menggunakan lingkaran acuan, mari kita selidiki persamaan yang menyatakan posisi, kecepatan dan percepatan benda bermassa yang melakukan GHS sebagai fungsi waktu. PERSAMAAN POSISI SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

7 Dari gambar di atas, tampak bahwa. Kita balik persamaan ini untuk menentukan nilai x : Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega, di mana hubungan antara kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan : Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus) Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 : Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktu Dalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan : Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis gerak melingkar beraturan) Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 : Karena frekuensi dan periode memiliki keterkaitan, yang dinyatakan dengan persamaan: Maka persamaan 3b dapat kita tulis dalam bentuk: Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik Sederhana. Grafik posisi sebagai fungsi waktu Posisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini

8 Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol. Pada saat t = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0). Pada saat t = ½ T, benda berada pada simpangan sejauh -A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kiri titik acuan nol. Pada saat t = ¾ T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari simpangan sejauh -A menuju titik setimbang. Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda dapat kita hitung dengan persamaan Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus. Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan benda tersebut membentuk kurva sinus. Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x = 0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana dengan persamaan untuk menghitung posisi benda? Kita menggunakan persamaan : Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas. tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus. bisa dipahami ya? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda. Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan. PERSAMAAN KECEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS Sekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah

9 v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris. Pada gambar di atas, tampak bahwa besar vx = v sin teta, di mana arah vx menuju ke kiri. Karena kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan vx menjadi : karena Maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi Bagaimana dengan besar v? Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis : Ini adalah persamaan untuk menghitung besar v Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini Cara membaca grafik ini sangat gampang Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan benda = 0.

10 Pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi menjadi -v (kecepatan maksimum). Tanda negatif menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jika kita tetapkan posisi setimbang adalah 0 pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang berada pada posisi setimbang. jadi dari grafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0). Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh -A. Ingat bahwa ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah. Pada saat t = ¾ T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki kecepatan maksimum. Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap. Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni : Mengapa menggunakan sinus? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan simpangan GuruMuda telah menyinggung hal tersebut.. PERSAMAAN PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS Persamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton : Pada GHS, jumlah gaya total dinyatakan dengan persamaan: Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 : Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu. Grafik percepatan sebagai fungsi waktu Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini

11 Bagaimana membaca grafik ini? Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan tadi Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang. Pada saat t = ¼ T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh -A. Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan. Pada saat t = ½ T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang Pada saat t = ¾ T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A. Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah melakukan satu getaran lengkap. demikian seterusnya. BANDUL SEDERHANA ( SIMPLE PENDULUM ) Bandul Sederhana adalah benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur. Jika bandul ditarik ke samping dari posisi seimbangnya dan dilepaskan, maka bandul akan berayun dalam bidang vertikal karena pengaruh gaya gravitasi. Geraknya merupakan gerupakan gerak osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan berapa periode gerak bandul ini.

12 Gambar tersebut memperlihatkan sebuah bandul yang panjangnya l dengan massa partikenya m, membentuk sudut θ dengan vertikal. Gaya yang bekerja pada m adalah mg, yaitu gaya berat dan T,tegangan tali. Pilihah sumbu sumbu yang menyinggun lingkaran gerak dan yang berarah sepanjang jari-jari. Uraikan mg atas komponen radial, dengan besar mg cos θ dan komponen tangensial, dengan besar mg sin θ. Komponen radial dari gaya tersebut memberi sumbangan pada gaya sentripetal yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak pada busur lingkaran. Komponen tangensialnya bertindak sebagai gaya pemulih yang bekerja pada m untuk mengembalikannya ke titik seimbang. Jadi gaya pemulihnya adalah F = -mg sin θ. Perhatikan bahwa gaya peulih ini tidaklah sebanding dengan simpangan sudut θ. Karena itu yang terjadi bukanlah gerak harmonik sederhana. Tetapi jika sudut θ kecil, maka sin θ hampir tidak sama dengan θ bila dinyatakan dengan radian. Pergeseran sepanjang busur x = 10, dan untuk sudut yang kecil keadaannya mendekati gerak dalam garis lurus. Jadi, dengan menganggap : maka akan kita peroleh : Untuk simpangan yang kecil, gaya pemulihnya sebanding dengan simpangan dan berlawanan arah. Ini tidak lain daripada kriteria gerak harmonik sederhana. Konstanta mg/l menyatakan konstanta k dalam F = -kx. Periksalah bagaimana dimensi k dan mg/l. Jadi periode bandul sederhana jika amplitudonya kecil adalah : Perhatikan bahwa periode ini tidak bergantung kepada massa partikel yang digantungkan, artinya untuk mencari periode, tidak perlu memperhatikan massa partikel. Jika amplitudo osilasinya tidak kecil, dapat ditunjukkan bahwa persamaan umum periodenya adalah : Disini adalah pergeseran sudut maksimum. Suku suku selanjutnya makin lama makin bertambah kecil. Dengan deret ini periodenya dapat dihitung sampai berapapun tingkat ketelitian yang dikehendaki, asalkan diambil suku yang cukup banyak dari deret tak terhingga tersebut. Jika, bersesuaian dengan simpangan sudut total dari ujung ke ujung sebesar 30o, perbedaan periode benar dengan yang diberikan persamaan kurang dari 0,5%. Karena periode bandul sederhana ini praktis tidak bergantung kepada amplitudo, maka bandul ini sangat bermanfaat untuk penjaga waktu, walaupun gaya redaman mengurangi amplitudo ayunan, periodenya dapat dikatakan hampir tidak berubah. Dalam bandul jam, tenaga yang diberikan secara otomatis oleh suatu mekanisme pelepasan (escapement) untuk menutupi hilangnya tenaga karena gesekan. Bandul jam dengan pelepasan (escapement) mula-mula diciptakan oleh Christian Huygens ( ). Bandul sederhana ini juga memberikan cara pengukuran harga g, percepatan gravitasi yang cukup sederhana. Di sini kita tidak perlu melakukan percobaan gerak jatuh bebas, cukup hanya dengan mengukur l dan T saja.

13 bandul matematis - Gerak periode merupakan suatu gerak yang berulang pada selang waktu yang tetap. Contohnya gerak ayunan pada bandul. Dari satu massa yang brgantung pada sutas tali, kebanyakan gerak tidaklah betul-betul periodik karena pengaruh gaya gesekan yang membuang energi gerak. Benda berayun lama akan berhenti bergetar. ini merupakan periodik teredam. Gerak dengan persamaan berupa fungsi sinus merupakan gerak harmonik sederhana. Periode getaran yaitu T. Waktu yang diperlukan untuk satu getaran frekwensi gerak f. jumlah getaran dalam satu satuan waktu T = 1/f posisi saat dimana resultan gaya pada benda sama dengan nol adalah posisi setimbang, kedua benda mencapai titik nol (setimbang) selalu pada saat yang sama Gaya pada partikel sebanding dengan jarak partikel dari posisi setimbang maka partikel tersebut melakukan gerak harmonik sederhana. Teori Robert hooke ( ) menyatkan bahwa jika sebuah benda diubah bentuknya maka benda itu akan melawan perubahan bentuk dengan gaya yang seimbang/sebanding dengan besar deformasi, asalkan deformasi ini tidak terlalu besar, F = -kx. Dan dalam batas elastisitas gaya pada pegas adalah sebanding dengan pertambahan panjang pegas. sedangkan pertambahan panjang pegas adalah sama dengan simpangan osilasi atau getaran. F = + k x Gaya gesekan adalah sebanding dengan kecepatan benda dan mempunyai arah yang berlawanan dengan kecepatan. persamaan gerak dari suatu osilator harmonik teredam dapat diperoleh dari hukum II Newton yaitu F = m.a dimana F adalah jumlah dari gaya balik kx dan gaya redam yaitu b dx/dt, b adalah suatu tetapan positif. Banyak benda yang berosilasi bergerak bolak-balik tidak tepat sama karena gaya gesekan melepaskan tenaga geraknya. Periode T suatu gerak harmonik adalah waktu yang dibutuhkan untuk menempuh suatu lintasan langkah dari geraknya yaitu satu putaran penuh atau satu putar frekwensi gerak adalah V = 1/T. Satuan SI untuk frekwensi adalah putaran periodik hert. posisi pada saat tidak ada gaya netto yang bekerja pada partikel yang berosilasi adalah posisi setimbang. partikel yang mengalami gerak harmonik bergerak bolak-balik melalui titik yang tenaga potensialnya minimum (setimbang). contoh bandul berayun. Chritian Haygens ( ) menciptakan : Dalam bandul jam, tenaga dinerikan secara otomatis oleh suatu mekanisme pelepasan untuk menutupi hilangnya tenaga karena gesekan. bandul matematis adalah salah satu matematis yangbergerak mengikuti gerak harmonik sederhana. bandul matematis merupakan benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa yang digantungkan pada tali ringan yang tidak bermassa. jika bandul disimpangkan dengan sudut θ dari posisi setimbangnya lalu dilepaskan maka bandul akan berayun pada bidang vertikal karena pengaruh dari gaya grafitasinya.

14 " berdasarkan penurunan hukum-hukum newton disebutkan bahwa periode ayunan bandul sederhana dapat di hitung sbb : T = 2π (l/g) Dimana: T : Periode ayunan (detik) l : Panjang tali (m) g : Konstanta percepatan gravitasi bumi ( m/ det ^2 ) Bandul adalah benda yang terikat pada sebuah tali dan dapat berayun secara bebas dan periodik yang menjadi dasar kerja dari sebuah jam dinding kuno yang mempunyai ayunan. Dalam bidang fisika, prinsip ini pertama kali ditemukan pada tahun 1602 oleh Galileo Galilei, bahwa perioda (lama gerak osilasi satu ayunan, T) dipengaruhi oleh panjang tali dan percepatan gravitasi. gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang digantungkan pada ujung tali, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bola. Dengan bandulpun kita dapat mengeahui grafitasi di tempat bandul tersebut diuji. Bandul sederhana adalah sebuah benda kecil, biasanya benda berupa bola pejal, digantungkan pada seutas tali yang massanya dapat diabaikan dibandingkan dengan massa bola dan panjang bandul sangat besar.dibandingkan dengan jari-jari bola. Ujung lain tali digantungkan pada suatu penggantung yang tetap, jika bandul diberi simpangan kecil. dan kemudian dilepaskan, bandul akan berosilasi (bergetar) di antara dua titik, misalnya titik A dan B, dengan periode T yang tetap. Seperti sudah dipelajari pada percobaan mengenai, getaran, satu getaran (1 osilasi) didefinisikan sebagai gerak bola dari A ke B dan kembali ke A, atau dari B ke A dan kembali ke B, atau gerak dari titik a ke A ke B dan kembali ke titik O. Ada beberapa parameter (atau variabel) pada bandul, yaitu periodenya (T), ), massa bandul (m), dan simpangan sudut (O) panjangnya ( ). Gerak Pendulum merupakan gerak harmonis di sekitar titik setimbang yang arahnya seperti orang menggeleng atau berayun ke kiri ke kanan. Berbeda dengan ayunan pegas yang bergerak sepanjang garis vertikal atau disebut gerak manggut-manggut Dengan ayunan bandul yang mengandalkan faktor panjang tali dan nilai percepatan gravitasi, maka khusus untuk di bumi dapat digunakan untuk menentukan percepatan gravitasi bumi secara sederhana selain metode tetes air yang mengandalkan gerak jatuh bebas.

15 Dalam menurunkan persamaan-persamaan rumus pada bandul gabungan maka terlebih dahulu kita harus mengetahui tentang radius dan teori sumbu sejajar. Berikut penjelasannya a. Radius Gyrasi atau jari-jari putar Jika kita mempunyai suatu bentuk benda sembarang, kemudian kita tentukan sembarang sumbu pada benda tersebut, maka akan dapat menentukan suatu lingkaran yang terpusat pada sumbu tadi dengan jari-jari yang sedemikian rupa. Jika massa benda tersebut dipusatkan disuatu titik pada lingkaran itu, maka kelembamannya tidak akan berubah pada sumbu tadi. Jika bidang lingkaran itu tegak lurus pada sumbu, jarak titik-titik pada lingkaran ke sumbu atau jari-jari lingkaran tersebut dapat di sebut dengan radius gyrasi dan dapat dinyatakan dengan K. Bila massa benda M itu betul-betul dipusatkan pada jarak itu, maka momen kelembamannya akan sama dengan momen kelembaman suatu titik massa M pada jarak K dari sumbu. Oleh karena itu, momen kelembaman atau inersia adalah I = I 0 = M.K 2. Persamaan dapat dianggap sebagai definisi dari gyrasi radius. Pada umumnya massa benda tidak dapat dianggap berpusat pada pusat massanya untuk maksud menghitung momen kelembamannya. b. Teori Sumbu Sejajar Teori sumbu sejajar berguna sekali untuk menghitung momen kelembaman (inersia) suatu benda terhadap sumbu sembarang, jika momen kelembaman itu terhadap sumbu lain diketahui. Teori ini menyatakan momen inersia benda terhadap suatu sumbu sama dengan momen inersia nya terhadap sumbu lain yang sejajar. Teori ini pertama kali dinyatakan oleh Langrenge pada tahun Dimana pusat massa terletak di titik asal, sehingga x=0 dan x dm=0, maka dapat diketahui bahwa I=I 0 + M n Skema berikut menunjukkan suatu benda tegar yang tergantung pada sumbu horizontal melalui titik 0 (skema pada lampiran gambar I). Itu menunjukkan bahwa 0 sangat kecil sehingga sin θ = 0. Pada skema teori diatas (skema pada lampiran gambar II), titik P adalah sebuah titik sekendak pada sumbu x, dan pada sumbu tersebut dibuat P dan pusat massa benda (P m ). momen kelembaman terhadap sumbu yang lewat pusat massa dan tegak lurus pada diagram ialah momen kelembaman terhadap sumbu sejajar dengan sumbu diatas yaitu I 0 = R 2 dm. lalu momen kelembaman terhadap sumbu sejajar dengan sumbu diatas dan lewat titik P dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut I = r 2 dm dimana r 2 = R 2 + h 2 2 Rh cos θ karena cos θ merupakan koordinat x (massa dm), maka r 2 = R 2 + h 2 2 hx, harga ini kemudian dimasukkan kedalam integral kedua sehingga di dapat resultan gaya ini selalu berusaha membawa benda kembali ke titik seimbangnya, maka disebut juga gaya pemulih. Massa suatu benda adalah ukuran kelembaman atau inersia pada benda tersebut. Kelembaman atau inersia itu sendiri adalah kecenderungan suatu benda yang diam untuk tetap diam dan suatu benda yang bergerak untuk tetap bergerak dengan kecepatan tetap. Selama berabad-abad, para ahli fisika merasakan kegunaan untuk menganggap massa sebagai ukuran yang menunjukkan jumlah atau kuantitas dari zat, tetapi gagasan tersebut (sebagaimana telah kita ketahui dan telah dipelajari dari Relativitas Khusus) tidak dapat dipertahankan lagi. gaya secara umum adalah suatu bentuk

16 perubahan. Dalam mekanika gaya adalah apa yang mengubah kecepatan suatu benda. Gaya termasuk kedalam suatu besaran vector yang memiliki besar dan arah. Suatu gaya eksternal adalah gaya yang sumbernya terletak diluar system yang diamati. Gaya eksternal total yang bekerja pada suatu benda menyebabkan benda tersebut mengalami percepatan searah dengan gaya tersebut. Percepatan tersebut berbanding lurus dengan gaya dan berbanding balik dengan massa benda tersebut. Percepatan tersebut mengalami perubahan baik arah dan nilainya. Bandul sederhana ada hubungannya dengan hokum Newton dan arah vector. Newton adalah satuan gaya dalan SI. Satu newton adalah gaya resultan yang membuat massa satu kilogram mengalami percepatan 1 m/det 2. Hokum Newton ada tiga macam dan hokum Newton aplikasi dari bandul sederhana ini termasuk ke dalam hokum Newton kedua dan hokum Newton ketiga. Hokum Newton pertama : suatu benda yang diam akan tetap diam. Suatu benda yang bergerak akan terus bergerak dengan kecepatan yang tetap atau konstan, kecuali pada benda bekerja pada benda gaya eksternal. Gaya adalah perubahan gerakan pada suatu benda tersentuh. Hokum Newton kedua sebagaimana dinyatakan oleh Newton. Hokum Newton kedua disusun dalam konsep momentum. Disini kita akan memusatkan perhatian pada variasi yang lebih baik tidak fundamental tetapi sangat berguna. Jika gaya resulatan atau total F yang bekerja pada suatu benda dengan massa m adalah bukan nol, benda tersebut akan mengalami percepatan dengan arah yang sama dengan gaya. Percepatan ā adalah berbanding lurus dengan gaya dan berbanding terbalik dengan massa benda. Dengan F dalam Newton, m dalam kilogram, dan ā dalam m/s 2. F = m.a, percepatan a memiliki arah yang sama dengan gaya resultan F. Maka dalam bandul sederhana dapat dituliskan dengan - m g sin θ = m.a. jadi percepatan benda pada bandul adalah a = - g sin θ. Perhatikan gambar (terlampir pada gambar 6) karena sudut θ kecil ( θ < 10 0 ) maka simpangan x dapat didekati oleh BB 1. Sinus θ bias dihitung dari segitiga siku-siku MB 1 B : sin θ = x/l dan dapat diperoleh dengan percepatan adalah a = - g x / l dimana g adalah percepatan gravitasi dan l adalah panjang tali. 2. Bandul Puntiran Berikut ini ditunjukkan sebuah piringan yang digantungkan pada batang sebuah kawat yang dipasang pada pusat massa piringan. Batang kawat dibuat tetap terhadap sebuah penyangga yang kokoh dan terhadap piringan tersebut. Pada posisi seimbang, piringan ditarik sebuah garis radial dari pusat piringan ketitik P. Jika piringan dirotasikan dalam bidang horizontal kearah posisi radial Q, kawat akan melakukan terka pada piringan, yang cenderung akan mengembalikannya ke posisi P. Inilah terka pemulihannya. Untuk puntiaran yang kecil terka pemulihnya ternyata sebanding terhadap banyaknya puntiran atau penggeseran sudut (gambar terlampir pada gambar 9). T = - k θ. θ adalah amplitude, k adalah konstanta yang bergantung pada sifat kawat dari disebut konstanta puntiran (Torsional), sedangkan tanda negative menunjukkan bahwa terka berlawanan arah dengan simpangan sudut θ. System Hookean yaitu pegas, kawat, batang, dan lain-lain adalah system yang kembali pada system konfigurasi awalnya

17 setelah berubah bentuk dan kemudian dilepaskan. Lebih lanjut. Ketika system semacam ini diregangkan dengan jarak x ( untuk penekanan x adalah negative) gaya pemulih yang ditimbulkan pegas ditentukan oleh Hukum Hooke. Tanda minus mengindikasikan bahwa gaya pemulih selalu berlawanan agar arah dengan perpindahan. Konstanta pegas atau konstanta elastic k memiliki satuan N/m dan merupakan ukuran kekakuan pegas. Sebagian pegas memiliki Hukum Hooke untuk perubahanperubahan bentuk yang kecil. Seringkali berguna untuk menyatakan Hukum Hooke dalam bentuk Feks, gaya eksternal untuk meregang pegas sejauh x. gaya ini adalah bentuk negative dari gaya pemulih, maka Feks = k x. gerak harmonis sederhana adalah getaran yang dialami suatu system yang mematuhi Hukum Hooke.kemiripan grafik dengan kurva sinus dan kurva kosinus, gerak harmonic sederhana seringkali disebut gerak sinusoidal dan gerak harmonic. Ciri utama gerak harmonic sederhana adalah bahwa system tersebut berosilasi pada suatu frekuensi tunggal yang konstan. Hal tersebut membuatnya disebut gerak harmonic sederhana. Kawat yang dipuntir akan melakukan tarikan pada piringan yang cenderung akan kembali ke posisi awal. Torsi pemulihannya ternyata sebanding dengan banyaknya puntiran atau geseran sudut dalam Hukum Hooke, sehingga dapat diketahui bahwa persamaan yang terjadi adalah persamaan T = -k.0. persamaan ini adalah syarat gerak harmonic sudut yang dibentuk oleh bandul sederhana. Apabila batang kawat ditarik secara radial maka akan menciptakan suatu bandul yang harmonis. Sehingga percepatan yang terbentuk dalam gerakan harmonic sederhana akan ditentukan melalui Hukum Hooke F = - k x dan F = m a segera setelah dipindahkan dan dilepaskan gaya pemulih yang mengendalikan gaya tersebut. Menyetarakan kedua pernyataan bagi F menghasilkan a = -k/m x. periode diberi notasi T adalah selang waktu yang diperlukan oleh suatu benda untuk menjalani suatu getaran lengkap. Rumus untuk mencari periode adalah angka 1 dibagi jumlah frekuensi dengan satuan detik/sekon. Frekuensi adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam kurun waktu satu detik. Rumus frekuensi adalah jumlah getaran dibagi jumlah detik waktu. Frekuensi memiliki satuan Hertz/Hz. Amplitudo adalah jarak terjauh simpangan dan titik keseimbangan getaran adalah gerak bolak balik yang ada di sekitar titik keseimbangan, dimana kuat lemahnya dipengaruhi oleh besar kecilnya energy yang diberikan. Satu getaran frekuensi adalah satu kali gerak bolak balik penuh. Berdasarkan gambar (terlampir pada gambar 7) yang dimaksud satu per periode adalah selang waktu yang diperlukan beban untuk bergerak dari posisi A ke A lagi, melalui lintasan A-B-C-A. Bisa juga satu periode dihitung dari B kembali ke B lagi, melalui lintasan B-A-C-A-B. Dengan demikian satu periode adalah waktu yang diperlukan untuk bergetar dari suatu posisi tertentu dan kembali ke posisi semula. Hubungan antara periode dan frekuensi adalah keduanya saling berkebalikan yaitu T = 1/F dan kebalikannya yaitu F = 1/T. Getaran frekuensi dan getaran

18 periode sangat berhubungan dalam bandul gabungan. Karena dalam setiap perpindahan gerak pada di setiap bandul artinya perubahan itu adalah perubahan nilai dan arah. Setiap terjadi getaran frekuensi pasti akan terjadi perubahan arah maupun nilai, dan juga setiap terjadi getaran periode pasti akan terjadi perubahan arah dan juga perubahan nilainya. Percepatan suatu benda bergerak hanya karena pengaruh gaya gravitasi atau diberi lambing g. satuan periode dalam SI adalah sekon yang diberi lambang s, dan satu satuan untuk frekuensi adalah s -1 atau Hertz (Hz). Selain itu perlu diketahui tentang frekuensi sudut atau yang diberi dengan lambang w dengan satuan rad/s yang dapat dinyatakan sebagai w = 2 π f. jadi frekuensi merupakan kebalikan dari pada suatu periode. Grafik gerak getaran (terlampir pada gambar 8) menggambarkan osilasi naik dan osilasi turun dari suatu massa pada ujung pegas. Satu putaran lengkap adalah dari a ke b, atau dari c ke d, atau dapat juga dari e ke f, dan waktu yang dibutuhkan untuk satu putaran dari a ke b atau c ke d dan seterusnya disebut dengan periode. Perpindahan setiap benda disebut jarak benda yang bergetar dari posisi kesetimbangannya atau posisi diam normal yaitu garis dari pusat lintasan getarannya. Perpindahan maksimum setiap bendanya disebut dengan amplitude. Gaya pemulih adalah gaya berlawanan dengan perpindahan system yang merupakan hal penting agar getaran terjadi. Dengan kata lain, gaya pemulih selalu berarah sedemikian rupa sehingga mendorong atau menarik system kembali pada posisi kesetimbangannya. Untuk suatu massa pada ujung pegas yang teregang menarik massa kembali pada posisi kesetimbangan. 3. Bandul Fisis Bandul fisis yaitu sembarang benda tegar yang tergantung sehingga benda dapat berayun dalam bidang vertikal terhadap sumbu yang melalui sumbu benda itu. Pada kenyataannya semua bandul yang berayun adalah benda fisis. Sebagai hal khusus tinjaulah sebuah titik massa m yang di gantung pada ujung tali tanpa berat yang panjangnya l berlaku (rumus 12 terlampir ). Dalam penentuan gravitasi bandul fisis sering di gunakan karena bandul fisis ini cukup akurat dalam penentuan adapun komponen yang berlaku dan perlu dilakukan dan diperhatikan dalam pengaflikasikan metode ini dalam menentukan percepatan gravitasi. a) Radial Gyrasi (jari-jari putar) Jika kita mempunyai bentuk sembarang sumbu pada benda tersebut Maka kita akan mendapatkan suatu daerah untuk satu lingkaran yang berpusat pada sumbu tali dan berjari-jari sedemikian rupa. Jika massa benda itu dipusatkan di suatu titik pada lingkaran itu. Makah hal itu tidak merubah momen kelembamannya. Titik-tititk pada sumbu yang lain atau sumbu tali atau jari-jari lingkaran tersebut terhadap sumbu dan dinyatakan dengan symbol k. Bila massa M dari benda tersebut betulbetul di pusatkan pada jarak R, maka akan membuat momen kelembamannya sama dengan jarak k dan di rumuskan sebagai berikut. (rumus 13 terlampir).

19 Persamaan di atas di anggap sebagai definisi radius gyrasi, pada umumnya massa benda tidak dapat di anggap berpusat pada pusat massanya untuk, maksud menghitung momen kelembamanya. b) Teori Sumbu Sejajar Teori sumbu sejajar berguna sekali di dalam menghitung momen Kelembabamnya benda terhadap sumbu sembarang. Seandainya momen kelembabam benda itu terhadap sumbu lain yang sejajar di ketahui. Teori ini menyatakan momen kelembabamanya sumbu sama dengan momen kelembamannya terhadap sumbu lewat massa benda dengan kuadrat jarak antara dua sumbu. Teori ini pertama kali di rumuskan oleh langrange pada tahun Pada skema teori di gambar (terlampir). Titik P adalah sebuah titik pada sumbu x dan pada sumbu tersebut di buat P dan pusat massa benda tersebut x dan pada sumbu tersebut di buat P dan pusat massa benda tersebut (PM). Momen kelembabamannya terhadap sumbu yang lewat. Sehingga sangat berguna sekali teori sumbu sejajar ini untuk menghitung kelembaman suatu benda. Persamaan tersebut pada umumnya berguna untuk mencari, menentukan, menemukan dan menghitung kelembamannya suatu benda tertentu dengan ketelitian yang cukup menggunakan teori turunan matematika, kita dapat menentukan momen kelembamannya. Pusat massa dan tegak lurus pada diagram adalah momen kelembaman terhadap sumbu sejajar dengan sumbu di atas, dapat kita ketahui dengan persamaan rumus yaitu : I 0 = R² dm. Lalu momen kelembamannya terhadap sumbu sejajar dengan persamaan berikut ini I = R² dm. Dari teori teori yang dikemukakan di atas, maka rumus rumus mengenai bandul dapat di laksanakan skema gambar (terlampir) menggambar suatu benda tegar yang tergantung pada sumbu horizontal melalui titik θ. Persamaan gerak dengan kecil sin θ = 0 untuk benda tersebut adalah (rumus 5 terlampir). Untuk memperjelas skema di atas, maka kita liat bentuk penjabaran skema tersebut melalui sumbu sumbu ordinatnya. Skema melihat penjabaran dari masing masing rumus yang telah di kemukakan sebelumnya. Dengan menggunuakn rumus teorema sumbu sejajar seperti yang telah di kemukakan di atas. Di mana R²/h dapat digunakan sebagai L panjang bandul gabungan ekuivalen sederhana. Panjang L dapat di ketahui dari grafik T terhadap d yaitu jarak pusat gantungan terhadap ujung bebas. Panjang L adalah sama dengan jarak antara titk potong kedua, sedangkan percepatan gravitasinya dapat dihitung dengan menggunakan rumus yaitu (rumus 14 terlampir). Rumus tersebut dapat dianggap sebagai definisi radius gyrasi. Pada umumnya massa tidak dapat di anggap terpusat pada pusat massanya untuk maksud menghitung

20 kelembamannya. Setelah itu ada juga benda yang mengayun pada permukaan zat cair. Adapun teori sumbu sejajar berguna sekali untuk menghitung kelembaman benda terhadap sumbu sembarang kalau momen kelembamaman benda itu terhadap sumbu lain sejajar diketahui. Pada bandul sederhana berlaku rumus berikut (terlampir rumus 15). Komponen radiasi agar benda bergerak pada busur lingkaran. Komponen tangensial adalah gaya pemulih pada mula lagi, atau kembali ke posisi awal. c) Kecepatan dan Percepatan Gerak Harmonik* Kita dapat menurunkan persamaan kecepatan dan persamaan percepatan gerak harmonic dari persaman simpangan dengan cara menurunkan perumusan perumusan yang telah di dapat di atas. Rumus rumus tersebut dapat kita turunkan menjadi kecepatan gerak harmonic dan percepatan gerak harmonic. Kedua macam rumus ini dapat di gunakan sebagai pedoman untuk mempelajari bandul gabungan. i. Kecepatan Gerak Harmonik Kecepatan gerak harmonic merupakan turunan pertama dari persamaan turunan pertama dari simpangan gerak harmonic yang dapat di tukiskan sebagai berikut ini (terlampir pada rumus 16) dari uraian tersebut tampak bahwa, jika persamaan simpangan gerak merupakan fungsi sinus. Persamaan kecepatannya akan merupakan fungsi sinus. Dari bentuk persamaan x terhahap waktu dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa pada saat t = 0 y = 0, kecepatan gerak harmonic adalah maksimum v (t = 0) = aw akan tetapi pada saat y mencapai harga maksimum, yaitu y = A dengan t = T / 4 kecepatan geraknya atau gerak harmonic menjadi v = (t = T / 4 ) = 0 ii. iii. Percepatan Gerak Harmonik Persamaan percepatan gerak harmonic dapat di tentukan dari turunan pertama Persamaan kecepatan v terhadap waktu t atau turunan kedua dari persamaan simpangan gerak harmonic y terhadap waktu t, yaitu (terlampir pada rumus 17) tanda negative pada persamaan tersebut menunjukkan bahwa percepatan gerak harmonic selalu menuju titik keseimbangannya. Pada saat melalui titik keseimbangannya, yaitu y = 0 nilai percepatannya juga nol. Makin besar simpangannya makin besar pula nilai mutlak dari percepatan gerak harmonic tersebut dengan kata lain nilai percepatannya sebanding dengan besar simpangan gerak harmonic.s Fase Gerak Harmonik Secara fisis fase gerak harmoni dapat dipandang sebagai suatu keadaan gerak yang ada hubungannya dengan arah simpangan dan arah geraknya pada suatu saat tertentu. Secara sederhana dapat dirumuskan kembali

21 pada saat tertentu nilai y dan nilai x adalah tertentu pula (telampir pada rumus 18). Bilangan yang menentukan arah dan nilai x dan y adalah besaran ( w t + θ 0 ) yang disebut sebagai sudut fase gerak harmonic sederhana. Persamaan tersebut menjelaskan bahwa fase gerak harmonic dengan θ 0 adalah sudut fase awal karena pada t = 0, sudut fasenya θ = θ 0 dengan θ adalah sudut gerak fase harmonic bersatuan radian atau sederajat. Oleh karena keadaan gerak harmonic selalu berulang setiap fungsi sinus berunah sebesar 2 π sehingga sudut fasenya gerak harmonic dapat dituliskan sudut fase gerak menjadi w t = 2 π t / T. Walaupun nilai fase dapat melebihi 2π atau tetapi pada umumnya fase dinyatakan dengan sudut yang besarnya sama antara π atau o. Bagaimanakah dengan benda yang mengalami dua gerakkan yang sudut fasenya sama atau disebut dengan sefase. Kedua gerakkan itu akan saling melemahkan. Berikut juga periode dan amplitudonya. Kita ketahui bahwa sudut fase θ dari gerak harmonic adalah θ = (wt + θ o ) untuk θ o = 0 sudut fase teta (θ) akan menjadi dengan dengan θ = wt sekarang sefase atau yang diberi lambang λ adalah besarnya sudut fase θ dibagi dengan bilangan 2π. Secara sistematis dapat di tuliskan persamaannya wt = 2πt sehingga У = t / t + θ o / 2π sebuah benda melakukan gerak harmonic pada saat t = t I s benda tersebut memiliki fase (У = t I /T + У o ) dan pada saat t = t 2 s memiliki fase (У o = t 2 /T + У o ). Benda fase dari kedua keadaan tersebut adalah У = У 2 У I. Beda fase У memiliki nilai antara 0 dan 1. Apabila beda fase dari dua keadaan lebih dari satu, misalnya 1 1 / 4, 2 1 / 2, 3 2 / 3, dan seterusnya, beda fase kedua keadaan tersebut sama dengan 1 / 4, 1 / 2, 2 / 3, dan seterusnya. Dua keadaan tersebut sama gerak harmonic disebut sefase atau berlawanan fase. Persamaan Posisi sebagai Fungsi waktu Pada Gerak Harmonik Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut yang disebut dengan omega, dimana hubungan di antara kecepatan sudut omega dan besar sudut di on simpangan teta, dimana teta dinyatakan dalam hubungan dengan frekuensi, dimana frekuensi f kecil. Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan teta, dimana teta dinyatakan dalam radian, bandingkan dengan s = vt pada simpangan sejauh +A dengan yang di maksud A adalah amplitudo. Tanda positif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol. Misalnya pada saat T = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0). Jika pada saat t = 1 / 2 T, benda berada pada simpangan sejauh A. Tanda negative ( - ) menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kiri titik acuan nol. Pada saat t =- 3 / 4 T, benda kembali berada pada posisi setimbang maka dapat dipastikan bahwa A = 0. JIka benda bergerak kembali dari sifat dipastikan bahwa A = 0. Jadi benda bergerak kembali dari simpangan sejauh A menuju titik setimbang. Pada saat t =T, benda berada di timpangan sejauh +A. Posisi dimana benda pertama kali mulai bergerak. Demikian seterusnya, benda bergerak bolak-balik dan membentuk kurva cosinus. Benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakkan benda tersebut membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari simpangan A = 0, maka gerakkan benda tersebut membentuk kurva sinus.

22 Persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu pada gerak harmonic Persamaan kecepatan pada gerak harmonic sederhana tetap menggunakan bantuan lingkaran sebagai titk acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi satuan waktu. Sebuah benda yang bergerak dengan laju linier tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari jari sebesar A dengan v adalah laju benda dalam bentuk linier, 1/x adalah proyeksi laju linier benda pada sumbu x. V x = v sin θ. Dimana arah V x menuju ke kiri. Misalkan pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi v yaitu kecepatan maksimum. Tanda negative menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke kanan bahwa jika kita tetapkan posisi setimbang adalah nol pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negative maka dapat dipastikan benda sedang berada pada posisi setimbang. Jadi dari grafik tersebut tampak bahwa benda mulai bergerak dari simpangan sejauh + A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0). Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh A. Ingat bahwa ketika mencapai simpangan maksimum kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah. Pada saat t = ¾ T, benda akan bergerak dengan kecepatan benda bernilai positif, sehingga bias disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada pada posisi setimbang. ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki kecepatan maksimum. Pada saat t = T, kecepatan benda = 0, sekarang benda berada pada simpangan sejauh + A yaitu benda berada di sebelah kanan posisi setimbang dan benda berada di kanan dengan melakukan satu getaran lengkap. Selanjutnya benda bergerak lagi ke posisi setimbang. Grafik kecepatan sebagai fungsi waktu, misalkan pada saat t = 0 percepatan benda bernilai maksimum. Percepatan benda bernilai negative, ini berarti benda sedang bergerak ki kiri atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang. Pada saat t = ¼ T percepatan benda sama dengan nol benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh A. Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol pada sesaat saja, sehingga percepatannya juga nol. Pada saat posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan. Pada saat t = ½ T, percepatan benilai maksimum. Tanda negative menunjukkan bahwa arah percepatan ke kanan. Pada saat ini benda berada pada posisi setimbang. Pada saat t = ¾ T percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh + A atau dengan ditunjukkan bahwa percepatan benda adalah negative. Jadi benda sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. Pada saat t = T benda telah melakukan satu getaran lengkap demikian seterusnya, apabila benda sedang bergerak ke kanan benda adalah positif dan posisi benda saat ini sedang berada pada posisi tidak seimbang. Hubungan Gerak Harmoni Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan Gerak harmonic sederhana dan gerak melingkar beraturan memiliki keterkaitan yang sangat sederhana, namun memiliki hubungan yang sistematis yang penting. Keterkaitan ini memberikan gambaran mengenai

23 banyak hal dalan gerak harmonic sederhana. Tentu saja tidak ada yang berotasi dalam lingkaran ketika sebuah pegas berosilasi linier, tetapi kesamaan matematisnya yang kita anggap penting. Persamaan Posisi Benda Pada Gerak Melingkar Beraturan Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A. Karena benda melakukan gerak melingkar beraturan maka kecepatan sudut adalah perbandingan antara jarak linier x dengan jari-jari lingkaran (r). x adalah jarak linier, sedangkan v adalah kecepatan linier dan t adalah waktu tempuh Persamaan Posisi Benda Pada Gerak Harmonik Sederhana Untuk benda berosilasi, persamaan x sebagai fungsi waktu t dapat diperoleh melalui percobaan. Misalnya, kita gantungkan sebuah pegas pada arah vertical dan pada bagian bawah pegas tersebut kita gantungkan sebuah pena dan diatur sedemikian rupa sehingga pena dapat menulis di atas secarik kertas yang dapat digerakkan tegak lurus terhadap arah pegas yang melakukan getaran. Selanjutnya benda kita simpangkan sejauh A (amplitudo) alias nilai simpangan terjauh ketika pegas kita lepaskan, kertas kita tarik ke samping kanan atau kirinya dengan laju tetap. Pena yang digantungkan pada pegas yang berosilasi tersebut akan menghasilkan sebuah kurva. A adalah amplitude, T adalah periode waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran. Persamaan ini sama dengan persamaan posisi benda pada sumbu x alias simpangan x. sebuah fungsi untuk waktu yang kita peroleh pada gerak melingkar beraturan. Gerak melingkar beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonic sederhana yang saling tegak lurus, memiliki amplitude (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki beda fase relative π/2 atau kita dapat memandang gerak harmonic sederhana sebagai suatu komponen gerak melingkar beraturan. Kita dapat menyimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan gerak melingkar beraturan merupakan gerak harmonic sederhana. Frekuensi dan periode kedua gerak ini sama dengan yang diproyeksikan. Energy Pada Sebuah Gerak Harmonik Sederhana Pada gerak harmonic sederhana, gaya yang bekerja pada benda dan pegas tidak tetap artinya selalu berubahubah. Oleh karenanya lebih mudah jika kita menggunakan pendekatan energi, untuk menekan atau meregangkan pegas, kita memberikan energy pada pegas tersebut. Energy yang disimpan dalam pegas yang tertekan atau teregang merupakan energy potensial ketika pegas yang kita tekan atau yang kita regangkan dilepaskan. Maka energy potensial pegas berubah menjadi energy kinetic. Demikian juga pada ayunan sederhana, ketika benda yang digantungkan pada seutas tali yang kita simpangkan sampai jarak tertentu dari posisi setimbangnya pada benda tersebut terdapat energy potensial. Jika ayunan dilepaskan sehingga benda