TINJAUAN PUSTAKA. Rancangan Fractional Factorial (FF) Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan rancangan yang mencobakan hanya

Transkripsi

1 TINJAUAN PUSTAKA Rancangan Fractional Factorial (FF) Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan rancangan yang mencobakan hanya n p merupakan n p kombinasi perlakuan dari selu ruh kombinasi perlakuan lengkap. Seberapa besar proporsi total kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut dengan fraksi percobaan (Box & Hunter 96). Fraksi percobaan yang sering digunakan adalah : Fraksi setengah, mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengah fraksi ini adalah n. Contoh : percobaan 5 melakukan 6 kombinasi perlakuan dari 3 kombinasi perlakuan lengkap. Fraksi seperempat, percobaan fraksi seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk rancangannya adalah Contoh : percobaan lengkap. n. Secara umum percobaan FF dengan fraksi n 5 melakukan 8 dari 3 kombinasi perlakuan p mencobakan p bagian dari jumlah kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk umum dari rancangan ini adalah n p. Penentuan fraksi percobaan yang digunakan harus menyeimbangkan antara informasi yang ingin diperoleh dengan biaya yang tersedia (Hines & Montgomery 996). Struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation, alias, dan resolusi yang digunakan. Sebuah ilustrasi rancangan FF yang mencobakan 5 faktor dengan fraksi setengah diberikan untuk memberi gambaran tentang rancangan FF.

2 Ilustrasi : Sebuah percobaan fraksi setengah yang mencobakan 5 faktor (A, B, C,. D, dan E) masing-masing dengan dua taraf yaitu taraf tinggi () dan taraf rendah (-) dilakukan dengan 6 kombinasi perlakuan. Defining relation yang digunakan adalah dengan I = ABCDE. Struktur rancangan I = ABCDE pada ilustrasi ini merupakan salah satu dari beberapa struktur rancangan yang dapat dibentuk, matriks rancangan pada ilustrasi ini seperti pada Tabel. Tabel. Matriks rancangan dengan defining relation I = ABCDE 5 V Run A B C D E = ABCD Kombinasi perlakuan a b c d e - - a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e - - a b c d e - - a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e Taraf faktor E ditentukan oleh kombinasi taraf dari faktor A, B, C, dan D melalui persamaan persamaan : E = ABCD. Jika kedua ruas dikalikan dengan E akan didapat E = ABCDE menjadi I = ABCDE Hubungan I = ABCDE disebut dengan defining relation dan interaksi ABCDE disebut sebagai generator. Cochran (957) menyebut defining relation dengan defining contrast. Jika terdapat lebih dari satu defining relation yang digunakan, misalnya pada rancangan dengan fraksi seperempat yang menggunakan dua generator, maka akan ada generalized defining relation yang merupakan perkalian antar defining relation. Sebagai defining relation alternatif dapat diambil defining

3 relation yang bertanda negatif. Struktur generator dan defining relation menentukan struktur alias yang berkaitan dengan pengaruh faktor yang dianalisis. Alias merupakan hubungan pendugaan pengaruh yang saling terpaut (confounded), hubungan tersebut didapatkan dari generalized interaction yang merupakan perkalian antara pengaruh faktor dengan defining relation yang digunakan. Pada ilustrasi diatas, dari defining relation yang digunakan I = ABCDE dapat ditentukan hubungan alias pengaruh faktor tertentu. Sebagai contoh, generalized interaction pengaruh utama faktor A dengan defining relation sebagai berikut : I = ABCDE ; kedua ruas dikali dengan A IA = A BCDE; menjadi A = BCDE Dengan demikian, pengaruh utama faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi BCDE. Begitu juga dengan pengaruh interaksi AB yang terpaut dengan pengaruh interaksi CDE. Hubungan alias pengaruh yang lain dapat diperoleh dengan cara yang sama. Hubungan alias A = BCDE menunjukkan bahwa kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh utama faktor A sama dengan kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh interaksi faktor BCDE. Menduga pengaruh utama A sebenarnya adalah menduga pengaruh faktor A + BCDE. Pengaruh utama faktor A tidak dapat diduga kecuali jika pengaruh interaksi faktor BCDE dianggap bernilai nol atau diabaikan. Sama halnya dengan pengaruh interaksi faktor AB yang tidak dapat diduga kecuali pengaruh interaksi faktor CDE diabaikan. Rancangan n-p memiliki p generator bebas yang membentuk defining relation. Struktur generator yang berbeda akan menghasilkan struktur alias yang berbeda, hal ini akan berpengaruh pada struktur pengaruh faktor tertentu yang dianalisis. Perlu dipilih struktur p generator yang tepat dan resolusi untuk dapat memenuhi pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis (Box & Hunter 96).

4 Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i faktor yang ber-alias dengan pengaruh lain yang mengandung kurang dari R-i faktor (Box et al. 978). Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada Tabel. Resolusi Tabel. Resolusi dan maknanya Keterangan Resolusi III Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi. Resolusi IV Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi. Resolusi V Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi. Secara umum resolusi dari rancangan FF sama dengan jumlah huruf terkecil pada defining relation yang digunakan. Pada contoh sebelumnya, rancangan dengan defining relation I = ABCDE memiliki resolusi V. 5 Pemilihan tingkat resolusi tergantung pada interaksi tingkat berapa yang akan diabaikan dan tergantung dari banyaknya generator yang digunakan (p). Menurut Fries & Hunter (98), tingkat resolusi maksimum yang dapat dicapai untuk p = dan p = adalah sebagai berikut: Untuk p = maka resolusi maksimum = n Untuk p = maka resolusi maksimum = [n/3] Dengan n adalah banyaknya faktor yang dicobakan dan [x] adalah nilai bilangan bulat terbesar yang lebih besar dari x. Kriteria resolusi tertinggi kadangkala tidak cukup karena beberapa rancangan berbeda dapat memiliki resolusi yang sama. Sebagai contoh, pada rancangan yang menggunakan 7 faktor, generator dan memiliki resolusi IV 7 IV terdapat tiga alternatif rancangan dengan generator yang berbeda. Ketiga alternatif rancangan tersebut dapat disajikan pada Tabel 3.

5 7 Tabel 3. Tiga alternatif rancangan dengan defining relation berbeda. IV Kode Generator Defining relation (D ) F = ABC dan G = BCD I = ABCF = BCDG = ADFG (D ) F = ABC dan G = ADE I = ABCF = ADEG = BCDEFG (D 3 ) F = ABCD dan G = ABDE I = ABCDF = ABDEG = CEFG Panjang huruf terkecil dari ketiga defining relation adalah 4, dengan begitu ketiga rancangan tersebut sama-sama memiliki resolusi IV. Pola panjang huruf dari defining relation disebut dengan Word Length Pattern (WLP). WLP untuk rancangan D = {4,4,4 }, rancangan D = {4,4,6}, dan rancangan D 3 = {4,5,5 }. Rancangan D memiliki panjang huruf 4 sebanyak 3, rancangan D sebanyak dan rancangan D 3 hanya. Rancangan D 3 memiliki panjang huruf terkecil minimum, dan dikatakan rancangan D 3 merupakan rancangan yang memiliki minimum-aberration. Rancangan minimum-aberration (MA) adalah rancangan yang meminimalkan banyaknya kata dalam defin ing relation yang panjangnya minimum (Fries & Hunter 98). Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi tingkat rendah (dua faktor) yang saling ber-confounded. Pada ilustrasi tiga rancangan di atas, rancangan D menyebabkan 5 pasang interaksi dua faktor saling ber-confounded, rancangan D pasang, dan rancangan D 3 hanya 6 pasang, hal ini dapat dilihat pada Lampiran. Rancangan FF yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration dipilih sebagai rancangan terbaik. Pemilihan rancangan terbaik kadangkala tidak hanya didasarkan pada kriteria di atas, jika diinginkan untuk mengetahui pengaruh faktor tertentu yang spesifik, maka pemilihan rancangan dilakukan berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh spesifik yang diinginkan.

6 Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) ( n + n ) ( p + p) Huang et al. (998) menotasikan rancangan FFSP dua taraf dengan. Rancangan ini dibentuk dengan mengkombinasikan rancangan n p petak utama ( ) yang memiliki n faktor dan p generator dengan rancangan n p n p anak petak ( ) yang memiliki n faktor dan p generator. Ada kombinasi perlakuan yang dilakukan pada rancangan petak utama, sedangkan pada rancangan anak petak ada sebanyak dilakukan. ( n + n) ( p + p ) kombinasi perlakuan yang Pembentukan generator dalam rancangan FFSP dilakukan dengan memperhatikan dua hal, yaitu :(Bingham & Sitter 999).. Generator anak petak boleh mengandung beberapa faktor petak utama.. Generator petak utama harus bebas dari faktor anak petak dan generator anak petak harus mengandung sedikitnya dua faktor anak petak. Jika generator petak utama mengandung faktor anak petak maka sama halnya dengan melibatkan taraf faktor anak petak ke dalam penentuan taraf faktor petak utama. Sama dengan apa yang berlaku pada rancangan FF, generator yang dibentuk akan menentukan defining relation yang digunakan. Defining relation pada rancangan FFSP disebut dengan defining contrast subgroup (DCS). Nembehard et al. (6) menjelaskan bahwa ada dua kemungkinan proses pembauran yang dapat terjadi pada rancangan FFSP, yaitu : pembauran dalam anak petak (confounding within sub-plots) dan pembauran split-plot (confounding split-plot). Penggunaan dari pembauran dalam anak petak dan pembauran splitplot tergantung tujuan dari percobaan yang dilakukan. Pembauran dalam anak petak lebih mampu untuk menduga pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak, sedangkan pembauran split-plot lebih mampu untuk menduga pengaruh utama faktor petak utama dan pengaruh utama faktor anaka petak. Ilustrasi rancangan yang digunakan adalah sebuah rancangan FFSP dengan A dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, R, S, T, U sebagai faktor anak petak. Karakteristik kedua pembauran dijelaskan oleh Tabel 4.

7 Tabel 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP Pembauran dalam anak petak (confounding within sub-plots) Generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama Contoh : S = PQ, T = QR dan U = PR DCS : I = PQS = QRT = PRU = PRST = PQTU = QRSU Resolusi III * Pengaruh utama faktor petak utama dan faktor anak petak berconfounded dengan interaksi dua faktor. * Interaksi antara petak utama dan anak petak bebas dari pembauran (dengan asumsi interaksi tiga faktor atau lebih diabaikan) Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak Pembauran split-plot (confounding split-plot) Generator anak petak mengandung faktor petak utama Contoh : S = APQ, T = BQR, dan U = APR DCS : I = APQS = BQRT = APRU = ABPRST = QRSU = ABPQTU Resolusi IV * Pengaruh utama faktor anak petak bebas dari pembauran. * Interaksi dua faktor saling berconfounded. Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pengaruh utama dari faktor petak utama dan faktor anak petak Meningkatkan resolusi parsial dari petak utama. Generator dibangun dari beberapa huruf (letter) yang membentuk satu kata (word). Banyaknya kata yang memiliki panjang i dapat dituliskan dalam suatu pola yang disebut dengan word length pattern. Misal A i (D) merupakan banyaknya kata yang panjangnya i, yang didefinisikan dalam defining contrast subgroup rancangan D, dan misal : WLP = ( A D), A ( D), A ( D),..., A ( )) 3( 4 5 n D + n adalah word length pattern (panjang kata dan tidak digunakan). A 3 (D) merupakan banyaknya kata dalam defining contrast subgroup rancangan D yang panjangnya 3 huruf, A 4 (D) dengan panjang 4 huruf, A 5 (D) dengan panjang 5 huruf, dan seterusnya sampai A n + n ( ) dengan panjang n + n huruf. D

8 Resolusi merupakan panjang kata terpendek yang didefinisikan dalam defining contrast subgroup. Sebagai contoh rancangan (5+ 3) ( + ) dengan huruf kapital A, B, C, D dan E merupakan faktor-faktor petak utama dan huruf kecil p, q, r adalah faktor-faktor anak petak. Defining contrast subgroup yang dibentuk: I = pqr = ABCDE = ABCDEpqr memiliki WLP = (,,,,,) dan memiliki resolusi tingkat III karena panjang kata terpendek adalah 3 (Bingham & Sitter ). Sebuah rancangan FFSP ( n + n) ( p + p ) maksimum jika tidak ada rancangan FFSP lain dikatakan memiliki resolusi ( n + n) ( p + p ) yang memiliki resolusi lebih besar. Rancangan dengan resolusi yang sama bisa memiliki WLP yang berbeda. Dalam kondisi demikian, Fries & Hunter (98) memperkenalkan minimum-aberration sebagai kriteria untuk pemilihan rancangan terbaik. Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, yang mana dari banyak kemungkinan rancangan FFSP yang sebaiknya digunakan? Penentuan ini mempertimbangkan seberapa banyak unit percobaan yang digunakan, dan faktorfaktor mana saja yang masuk sebagai petak utama dan faktor-faktor mana yang masuk sebagai anak petak. Kebutuhan untuk mendapatkan informasi yang luas harus diimbangi keinginan untuk mereduksi biaya percobaan. Bingham & Sitter () memberikan beberapa petunjuk yang bisa digunakan untuk melakukan rancangan FFSP :. Menempatkan hard-to-change factors sebagai faktor petak utama dan menempatkan faktor-faktor sisanya sebagai faktor anak petak.. Memilih WLP terbaik, pada umumnya yaitu WLP yang menghasilkan resolusi tertinggi. Misalkan ada dua rancangan FFSP, yaitu : D : I = ABC = Apqr = BCpqr D : I = ABpq = ACpr = BCqr WLP ( D ) = (,,,) dan WLP ( D ) = (,3,, ) sehingga D memiliki resolusi III dan D memiliki resolusi IV. Secara umum, D lebih baik daripada D.

9 3. Memilih rancangan minimum aberration. 4. Pertimbangan biaya dan run-size Hal lain yang perlu dipertimbangkan selain minimum-aberration adalah pemilihan rancangan yang paling ekonomis. Perhitungan biaya dilakukan pada unit percobaan yang digunakan. Pertimbangan-pertimbangan tersebut di atas diselaraskan untuk mendapatkan rancangan yang terbaik dengan tidak menentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis. Huang et al. (998) menggunakan generating matrix yang merupakan matriks dari generator-generator yang digunakan. Generating matrix untuk rancangan FF n p dapat dituliskan secara umum dalam bentuk matriks : dengan I adalah matriks identitas ( I C) G FF =.... () p p dan C adalah matriks p ( n p) yang elemennya sama dengan atau dan setiap baris harus mengandung paling sedikit satu elemen tak nol. Sebagai contoh rancangan relation I = ADEF = BDEG = CDFG bisa dijelaskan dengan: 7 3 dengan generating G FF A = B C D E F G Berdasarkan bentuk umum generating matrix untuk rancangan FF, dapat dibentuk generating matrix untuk rancangan FFSP dengan rancangan petak utama ( n p) dan rancangan anak petak ( I ) C ( n p ) sebagai berikut: G = adalah generating matrix petak utama, dan ( I ) G = adalah generating matrix anak petak. C dengan I merupakan matriks identitas berukuran p p dan C merupakan matriks berukuran p n ), begitu juga dengan I merupakan matriks ( p identitas berukuran p p dan C merupakan matriks berukuran

10 p ( n ). Jika generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama, p maka generating matrix untuk rancangan FFSP berbentuk sebagai berikut: G FFSP G = O O G = O p n p p n p I C O O p... () 3 O 4 I Generating matrix untuk rancangan FFSP dengan generator anak petak yang mengandung faktor petak utama adalah : p n p p n p G p FFSP = I C O O..... (3) B B I C p dengan B dan B adalah matriks dengan element atau ; (I C ) dinotasikan dengan G menjelaskan generating matrix dari petak utama, dan ( B I ) B dinotasikan dengan G merupakan generating matrix dari C anak petak. Jika pada awal percobaan telah ditentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis, maka struktur rancangan FFSP dipilih berdasarkan kriteria struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh faktor yang diinginkan tersebut. C p Plot kuantil Half-Normal Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh faktor yang telah diurutkan dengan nilai kuantil half-normal dari masing-masing pengaruh faktor. Pengaruh faktor ke-i dapat diduga dengan persamaan : (kontras ) λ = N i i = kontras ( N ) i Kontras i didapatkan dari penjumlahan respon menurut tanda plus dan minus pada k p pengaruh faktor ke-i dan N = (Montgomery ). Angka muncul karena taraf yang digunakan pada masing-masing faktor adalah dua.

11 Menurut Aunuddin (989), pengertian dari kuantil serupa dengan pengertian persentil. Sebagai contoh adalah nilai kuantil.67 berarti bahwa ada.67 bagian data yang nilainya lebih kecil dari nilai kuantil dan.33 bagian lainnya memiliki nilai yang lebih tinggi. Penetapan nilai kuantil dilakukan dengan mengurutkan terlebih dahulu data yang dimiliki dari data yang terkecil sampai dengan data yang terbesar. Kumpulan data yang telah diurutkan tersebut membentuk suatu kumpulan data baru y i dengan i adalah nomor urut besarnya data tersebut. Kuantil empirik didefinisikan sebagai berikut : Q( p ) = y i i untuk i =,,...,n dan p i = ( i.5) / n Secara umum dapat dirumuskan bahwa : F{ Q } ( p = p i ) i dan Q( p ) = F ( pi ) i Dengan F adalah kebalikan fungsi F yang merupakan fungsi sebaran kumulatif yang digunakan, dan p i = ( i.5) / n. Prosedur pembuatan plot kuantil-kuantil ini dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : Urutkan data menjadi y,...,y i,...,y n Dengan y adalah nilai y terkecil, y i adalah nilai y urutan ke-i, dan y n adalah nilai y terbesar. Untuk setiap y i, tetapkan p i = ( i.5) / n Untuk setiap p i, tetapkan F ( p ) = Q( ). Nilai Q p ) adalah kuantil berdasarkan sebaran hipotetik. Plotkan antara y i dengan Q p ). ( i i p i Plot kuantil half-normal dapat digunakan untuk mendeteksi pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar. Pengaruh faktor yang berada diluar pola garis lurus yang terbentuk, dideteksi sebagai pengaruh faktor yang memiliki ( i

12 pengaruh besar terhadap respon. Hal ini karena nilai mutlak dari pendugaan pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dibandingkan dengan pengaruh faktor lain. dan ragam Jika peubah x menyebar menurut sebaran normal dengan nilai tengah = σ, maka x akan menyebar menurut sebaran half-normal dengan nilai tengah = πσ dan ragam σ. Fungsi sebaran half-normal dengan nilai tengah = πσ dan ragam σ adalah sebagai berikut : f ( x) = e πσ x σ, untuk x = untuk x < dengan demikian fungsi sebaran half-normal kumulatifnya adalah: F ( x) = x π σ e x σ dx x x σ = e dx πσ e πσ x σ dx x = Φ. 5 σ Dengan Φ (x) adalah sebaran normal baku yang dapat dengan mudah didapatkan dengan bantuan tabel sebaran normal baku. Nilai kuantil half-normal merupakan nilai fungsi kebalikan dari fungsi half-normal kumulatif di atas. Pengujian terhadap penentuan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar digunakan statistik uji modulus-ratio (Daniel 959, Birnbaum 959). Uji tersebut dapat diberikan sebagai berikut : yn t n = y a dengan y n : nilai mutlak pengaruh terbesar y : nilai mutlak pengaruh pada urutan yang mendekati (.683n +.5) a

13 jika nilai n = 5 maka y a merupakan nilai mulak pengaruh pada urutan. dengan n = 3, y a merupakan nilai mutlak pengaruh pada urutan. Nilai t n kemudian dibandingkan dengan nilai kritik k ( n, α ) yang didapat dengan persamaan berikut : = Φ ( α ) k( n, α ) + / n Batas signifikan pengaruh faktor : t n > k( n, α) y y n > a k( n, α) y > k( n, α) n y a Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari pengaruh faktor yang signifikan. k ( n, α ) y diputuskan sebagai a Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection Analisis regresi merupakan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas. Peubah bebas yang diamati tidak semuanya memiliki kontribusi yang besar terhadap peubah tak bebas. Jika terdapat banyak peubah bebas yang diamati maka perlu dilakukan penyeleksian untuk mendapatkan peubah bebas yang memiliki kontribusi besar dalam menjelaskan keragaman yang terdapat pada peubah tak bebas. Penyeleksian peubah bebas dengan metode forward selection (seleksi maju) dilakukan dengan tahap pertama adalah memasukkan satu peubah bebas yang memiliki nilai R terbesar diantara peubah bebas yang lain, misal peubah tersebut adalah x. Tahap kedua adalah memilih peubah bebas kedua yang memberi kenaikan terbesar terhadap nilai R pada saat sudah ada x di dalam model, misal peubah tersebut adalah x. Proses pemilihan tersebut sama halnya

14 dengan memilih peubah bebas yang memiliki nilai F parsial terbesar. Pada tahap kedua di atas, nilai F parsial dirumuskan dengan : F = R( x x ) s ( x, x ) Dimana R x x ) adalah jumlah kuadrat regresi parsial x pada saat x ( sudah ada di dalam model dan s x, x ) adalah kuadrat tengah galat dari model ( regresi yang peubah bebasnya terdiri dari x dan x. Nilai R x x ) dirumuskan dengan persamaan berikut : R( x x) = R( x, x) R( x) ( R x, x ) adalah jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x dan x, dan ( R ( x ) merupakan jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x (Myers 99). Proses pemilihan peubah bebas di atas sama juga halnya dengan memilih peubah bebas dengan P-value terkecil. Proses pemilihan terus berlanjut sampai tidak ada peubah bebas x yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang telah ditentukan. Jika tidak dibatasi pada sebuah nilai tertentu maka proses di atas akan berlanjut sampai semua peubah bebas masuk ke dalam model. Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP Analisis ragam yang dilakukan pada rancangan FF dan FFSP sedikit berbeda dengan analisis ragam yang dilakukan pada rancangan faktorial lengkap dan rancangan split-plot lengkap. Pada percobaan FF dan FFSP, analisis ragam dilakukan hanya terhadap pengaruh faktor dan interaksi tertentu yang dianalisis, tidak untuk semua pengaruh faktor dan interaksi. (Montgomery, Nembhard et al. 6). berikut : Model matematis yang digunakan dalam rancangan FF ini adalah sebagai y = f (x) + ε

15 Dengan y adalah respon, f(x) merupakan fungsi dari faktor pengaruh perlakuan yang signifikan dan ε adalah komponen galat yang diasumsikan merupakan variabel acak yang saling bebas dan ε N (, σ ). Berbeda dengan analisis ragam pada rancangan FF, analisis ragam pada rancangan FFSP memiliki dua jenis galat yang dihasilkan dalam rancangan FFSP, yaitu galat petak utama dan galat anak petak. Hal ini sama seperti pada rancangan split-plot lengkap. Perbedaannya adalah pada pengujian pengaruh faktor yang beralias. Model yang digunakan pada rancangan FFSP adalah : y = f ( x) + δ + g( x) + ε dimana δ adalah galat petak utama dan ε adalah galat dari anak petak. f (x) dan g (x) merupakan fungsi parameter dari rancangan petak utama dan fungsi parameter dari rancangan anak petak. Diasumsikan bahwa δ dan ε merupakan variabel acak yang saling bebas, δ N(, σ ) dan ε N(, σ ). Keragaman antar plot ( σ ) diharapkan lebih besar daripada keragaman dalam plot ( σ ), PU atau σ > (Bingham & Sitter, Loeppky & Sitter ). PU σ AP Nembhard et a.l (6) melakukan pendekatan analisis ragam pada rancangan FFSP dengan menggunakan pengaruh-pengaruh faktor tertentu sebagai komponen ragam model dan pengaruh faktor yang diabaikan sebagai komponen galat. Ada beberapa aturan untuk pengujian pengaruh faktor pada rancangan FFSP (Bingham & Sitter ):. Pengaruh petak utama dan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama.. Pengaruh anak petak dan interaksi yang beralias dengan pengaruh petak utama atau ber-alias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama. PU AP AP

16 3. Pengaruh anak petak dan interaksi yang melibatkan paling tidak satu faktor anak petak yang tidak beralias dengan pengaruh petak utama atau tidak beralias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat anak petak. Dalam rancangan ini galat petak utama lebih besar daripada galat anak petak, oleh karena itu titik berat pengujian pada rancangan ini lebih kepada anak petak.