BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 perpustakaanunsacid digilibunsacid BAB II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama bab kedua ini diberikan tinjuan pustaka yang berisi penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini Pada bagian kedua bab ini diberikan teori penunjang yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk memperoleh pembahasaan selanjutnya Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur penelitian 21 Tinjauan Pustaka Keragaman data yang rendah menyebabkan model yang dikonstruksikan menjadi lebih baik Keragaman yang rendah dapat diperoleh dari proses pengelompokkan Anderberg [2] menyatakan bahwa pengelompokkan pada metode cluster tidak berdasarkan pada kategori yang sudah ditentukan sebelumnya K-means clustering bertujuan untuk mengelompokkan objek-objek berdasarkan karakteristik yang mirip K-means clustering diperlukan untuk meminimumkan ragam pada data yang memiliki efek ruang dan waktu Data yang memiliki efek waktu dapat diterapkan ke dalam model runtun waktu Data yang memiliki efek ruang dapat diterapkan ke dalam model spasial Jika data memiliki efek waktu dan ruang maka dapat diterapkan ke dalam model ruang waktu Model ruang waktu pertama kali diperkenalkan oleh Pfeifer dan Deustch [13] yaitu model STAR Kemudian pada tahun 2002 Borovkova et al [3] mengembangkan model STAR menjadi model GSTAR Wutsqa dan Suhartono [6] menyatakan bahwa model VAR yang direpresentasikan ke dalam model GS- TAR disebut model VAR-GSTAR Model VAR-GSTAR menyaratkan data harus berpola stasioner dan memiliki sisaan commit whiteto noise user Model VAR-GSTAR memiliki orde waktu dan orde ruang 4

2 perpustakaanunsacid digilibunsacid Karena adanya efek ruang, keterkaitan antar ruang dalam model dapat dinyatakan menggunakan pembobot Salah satu pembobot dalam model VAR- GSTAR adalah normalisasi korelasi silang (Suhartono dan Subanar, [17]) Bobot lokasi normalisasi korelasi silang memberikan semua kemungkinkan bentuk hubungan antar lokasi dengan mempertimbangkan lag waktu Pembobot normalisasi korelasi silang bersifat fleksibel pada nilainya dan tanda hubungan antar lokasi yang berlainan yaitu positif dan negatif 22 Teori-Teori Penunjang Pada bagian ini dijelaskan definisi dan teori yang dipakai dalam mencapai tujuan penelitian Selanjutnya diberikan gambaran tentang k-means clustering, model VAR, model VAR-GSTAR, kestasioneran model VAR-GSTAR, pembobot normalisasi korelasi silang pada model VAR-GSTAR, identifikasi model, pendugaan parameter, regresi stepwise, dan validasi model VAR-GSTAR 221 K-means Clustering Teknik pengelompokkan yang didasarkan pada kemiripan objek disebut clustering Clustering digunakan untuk menggabungkan observasi-observasi ke dalam kelompok-kelompok yang memiliki karakteristik sama Menurut MacQueen [11], k-means clustering memiliki k banyaknya cluster dan means sebagai pusat cluster Metode pengelompokkan ini didasarkan pada kemiripan objek menggunakan alat ukur, yaitu jarak Jarak yang digunakan dalam penelitian ini adalah jarak euclidean Menurut Johnson dan Wichern [10] algoritme k-means clustering dinyatakan sebagai berikut 1 Menentukan banyaknya k cluster serta menetapkan means sebagai pusat cluster 2 Menghitung jarak setiap nilai observasi ke pusat cluster menggunakan jarak euclidean 5

3 perpustakaanunsacid digilibunsacid 3 Mengelompokkan data ke dalam cluster dengan jarak terpendek 4 Mengulangi langkah ke-2 dan ke-3 hingga pusat cluster menjadi tetap Jarak euclidean digunakan untuk menentukan kemiripan anggota dalam cluster Menurut Anderberg [2], jarak euclidean dirumuskan sebagai d (x ij, x ic ) = (x ij x ic ) 2 (x ij x ic ) 2 (x ij x ic ) 2 (21) dengan x ij adalah data curah hujan pada lokasi ke-i bulan ke-j dan x ic adalah data curah hujan bulanan pada lokasi ke-i dan centroid ke-c 222 Model Vector Autoregressive (VAR) Model VAR dikemukakan oleh Sims [16] dalam bidang makroekonomi Penelitian ini menjelaskan jika dalam suatu persamaan terdapat sifat simultan, maka semua variabel dianggap variabel endogen Model VAR (p) dinyatakan sebagai Y t = c ϕ 1 Y (t 1) ϕ 2 Y (t 2) ϕ p Y (t p) ε t, t = 1,, T dengan Y t = (y 1t, y 2t,, y nt ) merupakan vektor variabel runtun waktu pada waktu ke-t (n x 1), ϕ adalah matriks koefisien (n x n) dan ε t adalah vektor sisaan white noise pada waktu ke-t (n x 1) 223 Model Vector Autoregressive-Generalized Space Time Autoregressive (VAR-GSTAR) Menurut Wutsqa dan Suhartono [6], model VAR-GSTAR merupakan model VAR yang direpresentasikan ke dalam model GSTAR Model VAR-GSTAR dinyatakan sebagai p λ s n Z i (t) = Φ i klw l (k)z i (t k) e i (t) (22) k=1 l=0 i=1 dengan Φ i kl merupakan matriks diagonal ruang waktu dengan lag spasial l dan lag waktu ke-k pada daerah i, W l (k) yaitu matriks pembobot ukuran (n n), e i,t yaitu sisaan (n 1) yang berdistribusi normal pada daerah i dan waktu ke-t, Z i,t yaitu nilai observasi pada daerah i dan waktu ke-t 6

4 perpustakaanunsacid digilibunsacid 224 Kestasioneran Model VAR-GSTAR Menurut Dhoriva dan Suhartono [6], penerapan model VAR-GSTAR dimulai dengan menentukan kestasioneran data Hal ini sejalan dengan Ruchjana [14] yang menyatakan bahwa dalam pemodelan VAR-GSTAR data harus stasioner Identifikasi pola stasioner dilakukan dengan uji Im Pesaran Shin (IPS) Berikut adalah uji hipotesisnya 1 Hipotesis H 0 : data tidak stasioner H 1 : data stasioner 2 Taraf signifikansi : α = Statistik uji : t = 1 N ti (23) dengan t adalah nilai IPS, t i adalah nilai t hitung Fuller (ADF) wilayah ke-i Nilai t i diperoleh dari t i = n t=1 Z(t 1)Z(t) n t=1 Z(t 1)2 1 n t=1 (Z(t) ηz(t 1))2 dari augmented Dickey (24) n 1 4 Daerah kritis (DK) : {t t > t α 2 ;n } 5 Keputusan uji : H 0 ditolak jika t DK dengan α adalah tingkat kesalahan, n adalah banyaknya data, p adalah banyaknya parameter, dan Z t data pengamatan ke-t 225 Pembobot Normalisasi Korelasi Silang pada Model VAR-GSTAR Pembobot lokasi yang digunakan dalam penerapan model VAR-GSTAR pada curah hujan adalah pembobot commit normalisasi to user korelasi silang Pembobot lokasi normalisasi korelasi silang merupakan pembobot lokasi dengan menggunakan 7

5 perpustakaanunsacid digilibunsacid hasil normalisasi korelasi silang antar lokasi pada lag waktu yang bersesuaian Oleh karena itu, menurut Suhartono dan Atok [18] pembobot normalisasi korelasi silang memberikan semua kemungkinan hubungan yang terjadi antar lokasi Pembobot normalisasi korelasi silang tersebut oleh Suhartono dan Subanar [17] dinyatakan sebagai w ij (k) = r ij (k) p k=1 r ik(k) (25) dengan i j, k = 1,2,,p, dan nilai r ij (k) merupakan korelasi silang yang ditentukan dengan r ij (k) = n t=k1 [Z i(t) Z i ][Z j (t k) Z j ] ( n t=1 [Z i(t) Z i ] 2 )( n t=1 [Z j(t) Z j ] 2 ) (26) Pembobot ini dihitung berdasarkan korelasi antar lokasi pada data curah hujan Karena nilai korelasi yang terjadi pada suatu lokasi memiliki nilai lebih dari atau kurang dari 1, untuk memenuhi asumsi jumlah elemen dalam matriksnya bernilai 1, perlu dilakukan normalisasi Menurut Suhartono dan Subanar [17], langkahlangkah menghitung pembobot normalisasi korelasi silang dengan menjumlahkan nilai mutlak korelasi pada setiap lokasi dan membagi setiap elemen matriksnya dengan jumlah nilai mutlak korelasi tersebut 226 Identifikasi Model Model VAR-GSTAR memiliki keterkaitan ruang dan waktu sehingga orde modelnya berupa orde waktu dan spasial Penentuan orde spasial menurut Wutsqa et al [7] dibatasi dengan orde spasial 1 karena orde tinggi sulit diintepretasikan Selain itu, menurut Wutsqa dan Suhartono [6], penentuan orde autoregressive model VAR-GSTAR dapat menggunakan orde model VAR (p) Widarjono [22] menyatakan bahwa pengidentifikasian orde model VAR ditentukan dengan panjang lag optimal Kriteria menentukan panjang lag optimal menggunakan nilai AIC terkecil Nilai AIC merupakan suatu nilai yang digunakan sebagai ukuran kriteria kebaikan model Menurut Tsay [20] nilai AIC dapat dirumuskan sebagai commit ( to ) user JKS AIC = ln 2K2 (27) n n 8

6 perpustakaanunsacid digilibunsacid dengan JKS jumlah kuadrat sisaan, n banyaknya data, dan K jumlah parameter pada model 227 Pendugaan Parameter Dalam model VAR-GSTAR, menurut Wutsqa dan Suhartono [6], metode kuadrat terkecil (MKT) digunakan untuk pendugaan parameter Model VAR-GSTAR memiliki nilai pengamatan yang dinotasikan dengan Z i (t), t = 0, 1, 2,, T adalah waktu, lag waktu yang dinotasikan dengan k, lag spasial yang dinotasikan dengan l, pembobot yang dinotasikan dengan W l (k) dan i = 1, 2,, n adalah daerah observasi Berdasarkan persamaan (22), bentuk matriks model VAR-GSTAR dapat dinyatakan sebagai Z 1 (1) Z 1 (T ) Z n (1) Z n (T ) = ϕ 1 k ϕ 2 k ϕ 3 k ϕ 4 k ϕ 5 k ϕ n k0 Z 1 (T k) Z 2 (T k) Z 3 (T k) Z n (T k) ϕ 1 kl ϕ 2 kl ϕ 3 kl ϕ 4 kl ϕ 5 kl ϕ n kl 0 w 12 (k) w 13 (k) w 1n (k) w 21 (k) 0 w 23 (k) w 2n (k) w 31 (k) w 32 (k) 0 w 3n (k) w 41 (k) w 42 (k) w 43 (k) w 4n (k) w 51 (k) w 52 (k) w 53 (k) w 5n (k) w n1 (k) w n2 (k) w n3 (k) 0 Z 1 (T k) Z 2 (T k) Z 3 (T k) Z n (T k) e 1 (T ) e 2 (T ) e 3 (T ) e n (T ) 9

7 perpustakaanunsacid digilibunsacid = ϕ 1 k0 Z 1(T k) ϕ 2 k0 Z 2(T k) ϕ 3 k0 Z 3(T k) ϕ 4 k0 Z 4(T k) ϕ 5 k0 Z 5(T k) ϕ n k0 Z n(t k) ϕ 1 kl ϕ 2 kl ϕ 3 kl ϕ 4 kl ϕ 5 kl ϕ n kl w 12 (k)z 2 (T k) w 1n (k)z n (T k) w 21 (k)z 1 (T k) w 2n (k)z n (T k) w 31 (k)z 1 (T k) w 3n (k)z n (T k) w 41 (k)z 1 (T k) w 4n (k)z n (T k) w 51 (k)z 1 (T k) w 5n (k)z n (T k) w n1 (k)z 1 (T k) w nn (k)z n (T k) e 1 (T ) e 2 (T ) e 3 (T ) e n (T ) 10

8 perpustakaanunsacid digilibunsacid dengan V i (t) = n j=1 w ij(k)z i (t) sehingga bentuk matriks model VAR-GSTAR dapat dinyatakan sebagai Z 1 (1) Z 1 (T ) Z n (1) Z n (T ) = ϕ 1 k0 Z 1(T k) ϕ 2 k0 Z 2(T k) ϕ 3 k0 Z 3(T k) ϕ 4 k0 Z 4(T k) ϕ 5 k0 Z 5(T k) ϕ n k0 Z n(t k) ϕ 1 kl ϕ 2 kl ϕ 3 kl ϕ 4 kl ϕ 5 kl ϕ n kl V 1 (T k) V 2 (T k) V 3 (T k) V n (T k) e 1 (T ) e 2 (T ) e 3 (T ) e n (T ) Model untuk lokasi ke-i dapat dinyatakan dengan Z i = Z i Φ ε sehingga pendugaan parameter Φ untuk masing-masing lokasi dapat dihitung secara terpisah Model VAR-GSTAR untuk keseluruhan lokasi dapat dinyatakan dalam model regresi linier yaitu Z = Z Φ ε (28) sehingga bentuk matriks model sebagai Z 1 (1) Z 1 (2) Z 1 (T ) Z n (1) Z n (2) Z n (T ) = Z 1 (T k) V 1 (T k) 0 0 Z 1 (T k) V 1 (T k) 0 0 Z 1 (T k) V 1 (T k) Z n (T k) V n (T k) 0 0 Z n (T k) V n (T k) 0 0 Z n (T k) V n (T k) ϕ 1 k0 ϕ 2 k0 ϕ n k0 ϕ 1 kl ϕ 2 kl ϕ n kl 11

9 perpustakaanunsacid digilibunsacid e 1 (1) e 1 (2) e 1 (T ) e 2 (1) e 2 (2) e n (T ) dengan Z = Z 1 (1) Z 1 (2) Z 1 (T ) Z n (1) Z n (2) Z n (T ), Z = Z 1 (T k) V 1 (T k) 0 0 Z 1 (T k) V 1 (T k) 0 0 Z 1 (T k) V 1 (T k) Z n (T k) V n (T k) 0 0 Z n (T k) V n (T k) 0 0 Z n (T k) V n (T k), Φ = ϕ 1 k0 ϕ 2 k0 ϕ n k0 ϕ 1 kl ϕ 2 kl ϕ n kl, dan ε = e 1 (1) e 1 (2) e 1 (T ) e 2 (1) e 2 (2) e n (T ) Menurut Gujarati [9], MKT yang merupakan metode pendugaan parameter digunakan dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaannya Berdasarkan model (28), diperoleh ε = Z Z Φ 12

10 perpustakaanunsacid digilibunsacid sehingga jumlah kuadrat residual model tersebut adalah ε ε = ( Z Z Φ) ( Z Z Φ) = Z Z Z Z Φ Φ Z Z Φ Z Z Φ = Z Z 2 Φ Z Z Φ Z Z Φ Untuk memperoleh nilai minimum dari jumlah kuadrat sisaannya diperoleh dari turunan parsial pertama fungsi ε ε terhadap Φ yang disamadengankan 0 sehingga didapatkan ε ε Φ = 2 Φ Z Z Φ Z Z Φ 0 = 2 Φ Z Z Φ Z Z Φ ˆΦ = ( Z Z ) 1 ( Z Z) 228 Metode Stepwise pada Model Regresi Penentuan parameter yang dapat diterapkan ke dalam model terkadang menemui kendala Jika terdapat parameter duga yang tidak signifikan maka dilakukan regresi dengan metode stepwise Hal ini dilakukan untuk mereduksi parameter yang tidak signifikan Regresi dengan metode stepwise merupakan gabungan metode maju dan mundur yang diterapkan secara bergantian Metode stepwise memilih variabel berdasarkan korelasi parsial terbesar dengan variabel yang telah masuk dalam model Variabel yang telah masuk ke dalam model dapat dikeluarkan lagi Menurut Sembiring [15], berikut merupakan tahapan metode stepwise 1 Variabel bebas dimasukkan satu demi satu menurut urutan besarnya korelasi terhadap variabel terikat 2 Menguji apakah variabel bebas yang masuk memiliki pengaruh signifikan 3 Jika sudah tidak ada variabel commit yang to memiliki user pengaruh signifikan ketika ditambahkan variabel, maka tahapan berhenti 13

11 perpustakaanunsacid digilibunsacid 229 Uji White Noise Sebelum melakukan validasi model, sisaan yang diperoleh harus bersifat white noise pada masing-masing cluster terlebih dahulu Menurut Wei [21], pemeriksaan sisaan yang bersifat white noise dengan uji Ljung and Box (LB) Berikut uji hipotesisnya 1 Hipotesis H 0 : sisaan tidak white noise H 1 : sisaan white noise 2 Taraf signifikansi : α = Statistik uji : LB = n(n 2) n k=1 ˆρ k 2 n k (29) dengan n adalah banyaknya pengamatan, k adalah banyaknya lag, dan ˆρ k adalah autokorelasi duga pada lag ke-k 4 Daerah kritis (DK) : {LB LB > χ 2 1 α;k } 5 Keputusan uji : H 0 ditolak jika LB DK 2210 Validasi Model VAR-GSTAR Setelah memperoleh sisaan yang bersifat white noise dilakukan validasi model VAR-GSTAR sebagai ukuran ketepatan model dengan melihat nilai RMSE RMSE dirumuskan sebagai RMSE = n t=1 (Z t Ẑt) 2 n (210) dengan n adalah banyaknya data, Z t adalah data aktual curah hujan masingmasing cluster, dan Ẑt adalah data prediksi curah hujan dengan pembobot normalisasi korelasi silang pada masing-masing cluster 14

12 perpustakaanunsacid digilibunsacid 23 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, disusun kerangka pemikiran untuk penerapan model VAR-GSTAR dengan k-means clustering Besarnya curah hujan yang berbeda-beda setiap lokasi membutuhkan teknik pengelompokkan yaitu 2-means clustering Model VAR-GSTAR yang memiliki ketergantungan ruang dan waktu dapat diterapkan pada data curah hujan di 29 kabupaten/kotamadya di Jawa Tengah Model VAR-GSTAR diterapkan pada data yang memiliki karakteristik lokasi heterogen Asumsi yang dimiliki model VAR-GSTAR adalah kestasioneran data dan sisaan bersifat white noise Kestasioneran model VAR-GSTAR menurut Ruchjana [14] berasal dari kestasioneran model VAR dan sisaan yang bersifat white noise berdasarkan uji LB Menurut Wutsqa dan Suhartono [6] model VAR-GSTAR memiliki orde waktu dan orde ruang Orde waktu menyatakan pengaruh waktu dan orde spasial menyatakan keterkaitan lokasi Keterkaitan antar lokasi ditunjukkan dengan pembobot lokasi Pembobot lokasi yang ditentukan adalah pembobot normalisasi korelasi silang Pendugaan parameter dalam model VAR-GSTAR dengan metode MKT Adapun teori-teori yang berkaitan dalam penerapan model VAR-GSTAR adalah uji stasioneritas, model VAR, pembobot lokasi normalisasi korelasi silang, pendugaan parameter, dan validasi model 15